相似形
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
数学中的相似形状与三角形
数学中的相似形状与三角形一、相似形状1.定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形称为相似图形。
2.相似图形的性质：（1）对应边成比例：相似图形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似图形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似图形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
1.定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形。
2.三角形的分类：（1）按边长分类：等边三角形：三条边都相等的三角形。
等腰三角形：有两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）按角度分类：锐角三角形：三个角都小于90°的三角形。
直角三角形：有一个角等于90°的三角形。
钝角三角形：有一个角大于90°的三角形。
3.三角形的性质：（1）内角和定理：三角形的内角和等于180°。
（2）外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的中线、高线、角平分线：中线：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
高线：从三角形一个顶点垂直于对边的线段。
角平分线：从三角形一个顶点将对应角平分的线段。
4.三角形的判定：（1）SSS判定：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形相似。
（2）SAS判定：如果两个三角形有两对对应边成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）ASA判定：如果两个三角形有两对对应角相等且夹边成比例，那么这两个三角形相似。
（4）AAS判定：如果两个三角形有两对对应角相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形1.定义：如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形称为相似三角形。
2.相似三角形的性质：（1）对应边成比例：相似三角形的对应边长之比相等。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角度相等。
（3）面积比等于边长比的平方：相似三角形的面积之比等于它们对应边长比的平方。
3.相似三角形的应用：（1）求解三角形：利用相似三角形的性质，可以求解未知边长或角度。
24.1放缩与相似形
第24章相似三角形第一节相似形§24.1放缩与相似形教学目标能用图形放缩运动的观点认识相似形的意义，知道相似形的概念，理解相似多边形的对应角、对应边的含义.通过对进行放缩运动的图形进行度量分析，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征以及相似形与全等形的关系.知识点梳理1.图形的放缩运动：图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形.2.相似形：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形.相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的相似形，可以看成大的图形由小的图形放大而得到，或者小的图形由大的图形缩小而得到.对于大小相同的两个相似形，它们可以重合，这时它们是全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形(就是说它们同为n边形而且形状相同)，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1.4.相似多边形的判定：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，那么这两个多边形相似.经典题型解析(一)相似形的基本概念例1.①所有的等腰梯形都是相似图形；②所有的平行四边形都是相似图形；③所有的圆都是相似图形；④所有的正方形都是相似图形；⑤所有的等腰三角形都是相似图形；上述说法中，正确的是( )A.①②④B.②③C.③④⑤D.③④例2.书画经装后更便于收藏，如图，画心ABCD为长90cm，宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B′的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm。
当AD与A′D′的距离、BC与B′C′的距离都等于acm，且矩形ABCD~矩形A′B′C′D′时，整幅书画最美观，此时，a的值为( )A.4B.6C.12D.24(二)图形的放大与缩小例3.在平面直角坐标系中，已知点)2,4(-E ,)2,2(--F ,以原点O 为位似中心，相似比为21，把EFO ∆ 缩小，则点E 的对应点E '的坐标是( )A .)1,2(-B .)4,8(-C .)4,8(-或)4,8(-D .)1,2(-或)1,2(-同步练习：在平面直角坐标系中，已知点)2,4(-E ,)2,2(--F ,以原点O 为位似中心，相似比为21，把EFO ∆ 缩小，则点F 的对应点F '的坐标是( )A .)1,1(--B .)4,4(--C .)4,4(--或)4,4(D .)1,1(--或)1,1(例4.在38000:1的交通旅游图上，南京玄武湖隧道长7cm ，则它的实际长度是 ( )A .26.6kmB .2.66kmC .0.266kmD . 266km(三)画位似图形例5.如图所示，在平面直角坐标系中，有两点)0,3(),2,4(B A ，以原点为位似中心，B A ''与AB 的相似比为21，得到线段B A ''．正确的画法是( )A B C D例6.如图，点D C B A ,,,的坐标分别是)1,6(),1,4(),1,1(),7,1(，以E D C ,,为顶点的三角形与ABC ∆相似，则点E 的坐标不可能是( )A .)0,6(B .)3,6(C .)5,6(D .)2,4(例7.如图，在边长为1的14个小正方形组成的72⨯长方形网格中有一个格点ABC ∆(顶点均在格点的三角形叫做格点三角形)，请你在所给的网格中画出彼此不全等的格点三角形，使它们都与ABC ∆相似(相似比不等于1).则最多能画( )个.A .2B .3C .4D .5(四)相似多边形例8.下列说法正确的是( )A .两个等腰三角形相似B .所有的等腰梯形相似C .两个等腰直角三角形相似D .所有的正多边形相似同步练习：下列说法正确的是( )A .矩形都是相似图形B .菱形都是相似图形C .各边对应成比例的多边形是相似多边形D .等边三角形都是相似三角形例9.如图所示，长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形图中阴影部分，如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是( )A .28cm 2B . 27cm 2C .21cm 2D .20cm 2同步练习：如图，若两个多边形相似，则x 的值为( )A .63B .263C .42D .342 例10.已知ABC ∆与C B A '''∆相似，并且点C B A 、、的对应点是C B A '''、、.其中CA BC AB 、、的长分别为cm cm cm 1086、、，且B A ''的长为cm 4，求C B ''、A C ''的长，以及C B A '''∆的周长.163B C cm ''=,203C A cm ''=,16cm例11.图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数(V )，网眼数(F )，边数(E )之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：表中“☆”处应填的数字为__________；根据上述探索过程，可以猜想E F V ,,之间满足的等量关系为__________；如图2，若网眼形状为六边形，则E F V ,,之间满足的等量关系为__________．例12.如图，ABC ∆和ADE ∆是相似形，顶点A B C 、、分别与点A D E 、、对应，已知035A ∠=， 065B ∠=， 1.2AE =， 2.5AB =，2AC =，1ED =.求AD BC 、的长和AED ∠的度数. 051.5,,803巩固提升一、填空题1.ABC ∆与A B C '''∆相似，并且点A B C 、、的对应点是A B C '''、、.若7AB cm =，6BC cm =，5CA cm =，且5A B cm ''=，则B C ''=__________cm ，C A ''=_________cm .2.以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有__________.3.如果在比例尺为1:6000000地图上，量得甲乙两地在地图上的距离为12cm ，那么甲乙两地的实际距离为_________.4.如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E F 、分别为AB CD 、上一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF .若4AD =，9BC =，则:AE EB =_________.5.如图，各组图形中，是相似形的是_________.6.所有的等边三角形_________相似，四个角都对应相等的两个四边形_________相似(填“一定”或“不一定”)7.下列命题中：①两个直角三角形一定是相似图形；②两个等边三角形一定是相似图形；③有一个角是300的等腰三角形一定是相似图形；④对于任意两个边数大于3的相似图形，它们的各对应边相等、对应角也相等；⑤两个图形全等也可以说这两个图形是相似的.其中正确的命题有__________.(填写命题的序号)二、选择题8.对于一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( )A .图形中线段的长度与角的大小都保持不变B .图形中线段的长度与角的大小都会改变C .图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D .图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变9.如图，用放大镜将图形放大，应该属于( )A .相似变换B .平移变换C .对称变换D .旋转变换10.下列四个图案是空心直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边.如果每个图案的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )A .B .C .D .11.下列判定中，正确的是( )A .所有的正方形都相似B .所有的矩形都相似C .所有的菱形都相似D .对应边成比例的两个四边形都相似12.如图，有三个矩形，其中是相似形的是( )A .甲和乙B .甲和丙C .乙和丙D .甲、乙和丙13.如图，正五边形FGHMN 与正无边形ABCDE 相似，并且点F 与点A ，点G 与点B ，点H 与点C ，点M 与点D ，点N 与点E 是对应点.若:2:3AB FG =，则下列结论正确的是( )A .23DE MN =B .32DE MN =C .32A F ∠=∠D .23A F ∠=∠14.已知ABC ∆的三边长分别是345、、，与其相似的A B C '''∆的最大边长是15，求A B C '''∆的最小边长. 15.已知点D 是BC 边上一点，且ABC ∆与DAC ∆是相似形，点A B C 、、分别与D A C 、、对应， :3:2CB CA =，求:CD DB 的值.16.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A B C D ''''相似，065A '∠=，6A B cm ''=，8AB cm =， 5AD cm =，试求梯形ABCD 的各角的度数与A D B C ''''、的长.17.正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你画出它的相似图形，使新图形与原图形的对应线段的比是3:2(不要求写作法).18.如图，ABC ∆与DEF ∆是相似图形，且点A 与D 点相对应，点B 与点E 相对应， 1.7AB cm =， 2.9BC cm =， 3.7AC cm =， 3.4DE cm =，050A ∠=，070B ∠=.求DF EF 、的长，并求C ∠、D E F ∠∠∠、、的度数.19.如图，在下列方格中，将等腰ABC ∆缩小，缩小后图形对应线段的比值为12. (1)画出缩小后的相似图形A B C '''∆.(2)若每个小方格的边长为1，试计算A B C '''∆的面积S .(3)比较两个三角形面积的比值和对应边的比值，你有怎样的发现?参考答案： 1.302577， 2.①④⑤ 3.720千米 4.235.③⑤6.一定,不一定7.②⑤8.D9.A 10. D 11.A 12.B 13.B 14.9 15.45 16.154A DBC ''''==，0115CD ∠=∠=，065B A ∠=∠= 17.略 18. 060C ∠=，00050,70,60DEF ∠=∠=∠= 19.(2)92S = (3)面积的比值是对应边比值的平方.。
几何形的相似性了解相似形的特点与判断方法
几何形的相似性了解相似形的特点与判断方法几何形的相似性：了解相似形的特点与判断方法在几何学中，相似形是指两个或多个形状在形式上相似的图形。
相似形具有一些特定的特点和判断方法，通过了解这些特点和方法，我们可以更好地理解几何形的相似性。
本文将介绍相似形的特点和判断方法。
一、相似形的特点相似形具有以下特点：1. 边对应成比例：相似形的对应边的长度比例相等。
例如，如果两个三角形相似，它们的对应边AB和A'B'之间的比例是相等的：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
2. 角相等：相似形的对应角度相等。
如果两个三角形相似，它们的对应角∠A和∠A'、∠B和∠B'、∠C和∠C'是相等的。
3. 面积成比例：相似形的面积之间的比例等于它们对应边长度的比例的平方。
设两个相似三角形的对应边AB和A'B'的长度比为k，则它们的面积之比为k²。
二、相似形的判断方法判断两个图形是否相似的方法有以下几种：1. 角-角-角相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
这种方法适用于已知两个三角形的角度，并且能够通过测量或已知条件来比较它们的角度。
2. 边-边-边相似判定法：如果两个三角形的对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
这种方法适用于已知两个三角形的边长，并且能够通过测量或已知条件来比较它们的边长。
3. 边-角-边相似判定法：如果两个三角形的某个角相等，并且它们的两个对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
这种方法适用于已知两个三角形的一个角和两个对应边的长度，并且能够通过测量或已知条件来比较它们的角度和边长。
除了三角形之外，其他几何形状（如矩形、圆形等）也具有相似性。
判断这些形状是否相似的方法可以根据它们特定的性质来进行推导和验证。
三、应用举例1. 三角形相似性的应用：在解决实际问题中，我们可以利用三角形相似性来求解各种长度、面积和角度的问题。
相似形的性质与判断
相似形的性质与判断相似形是几何学中的一个重要概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的图形。
在几何学中，相似形的性质与判断是一个基本而常见的问题，它对于解决与形状相关的几何问题具有重要的指导意义。
本文将探讨相似形的性质以及如何进行相似形的判断。
一、相似形的性质相似形的性质主要包括比例关系和对应角的相等。
1. 比例关系：如果两个图形的对应边的长度之比相等，并且对应边所成角的相等，则这两个图形是相似的。
具体而言，设三角形ABC与三角形DEF是相似的，可以表示为∆ABC ∽∆DEF。
则有以下比例关系成立：AB/DE = BC/EF = AC/DF也可以表示为a/b = c/d = e/f，其中a、b、c、d、e、f分别表示两个三角形对应边的长度。
2. 对应角的相等：在相似形中，对应角是相等的。
也就是说，两个相似形中的对应角的度数相等。
这一性质对于相似形的判断和证明非常重要。
二、相似形的判断方法相似形的判断方法主要包括“边比例法”和“角相等法”。
1. 边比例法：这是判断两个图形是否相似的常用方法。
相似形的边之比是相等的，因此我们可以通过比较两个图形中对应边的长度之比来判断它们是否相似。
如果对应边的长度之比相等，则可以确定这两个图形是相似的。
当然，判断相似形时还需要注意对应角的相等情况。
2. 角相等法：在相似形中，对应角是相等的。
所以，我们可以通过比较两个图形的对应角是否相等来判断它们是否相似。
如果两个图形中对应角的度数相等，则可以确定这两个图形是相似的。
三、相似形的应用相似形的性质与判断不仅仅是几何学中的一种概念，它还具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量：利用相似形的性质，我们可以通过测量一个图形的一些特定部分来计算其他部分的尺寸。
这对工程测量和设计具有重要的意义。
2. 运动：在运动学中，相似形的性质可以用来描述物体运动的几何特征。
例如，当两个物体运动的轨迹相似时，它们的相对位置和速度关系也是相似的。
相似形的性质与判定
相似形的性质与判定相似形是指两个或多个几何图形在形状上相似，但尺寸不一致。
在数学几何中，相似形是研究形状相似但大小不同的图形之间的性质和关系的分支。
相似形的性质与判定是几何学中重要的概念，对于解决实际问题和推理逻辑具有重要意义。
一、相似形的性质1. 对应边的比值相等：相似形的边长比值相等，即两个相似形的对应边的长度比等于相似比。
例如两个相似的三角形，它们对应边AB和A'B'的比值等于边AC和A'C'的比值等于边BC和B'C'的比值。
2. 对应角的相等：相似形的对应角相等，即两个相似形的对应角度度数相等。
例如两个相似的角度，它们分别是角ABC和角A'B'C'的度数相等。
3. 对应的边数成比例：相似形的对应边数成比例，即两个相似形的边数之比等于相似比。
例如一个三角形和另一个三角形相似，那么它们的边数之比等于相似比。
二、相似形的判定1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
也就是说，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也相等，从而确定两个三角形是相似的。
2. SSS判定法：若两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
也就是说，如果两个三角形的三条边之间的比例相等，则它们的对应角度也相等，从而确定两个三角形是相似的。
3. SAS判定法：若两个三角形的一对对应边的比值相等，并且包含这对边的两个角度分别相等，那么这两个三角形是相似的。
也就是说，如果两个三角形的一对对应边的比例相等，并且包含这对边的两个角度也相等，则它们的对应角度也相等，从而确定两个三角形是相似的。
三、相似形的应用相似形的性质与判定在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是相似形在实际中的一些应用：1. 测量高楼建筑的高度：由于高楼建筑往往难以直接测量其高度，可以利用相似形的性质与判定，通过测量建筑物与地面的距离和测量测量仪器与建筑物尖顶之间的距离，以及测量仪器与地面的高度，来计算出建筑物的准确高度。
几何中的相似形
几何中的相似形几何学是一门研究图形、尺寸和空间关系的学科。
其中，相似形是一项重要的概念，指的是形状相似但尺寸比例不同的图形。
在本文中，我们将探讨几何中的相似形以及其应用。
一、相似形的定义和性质相似形是指两个或多个图形的形状相似但尺寸不同。
具体来说，如果两个图形的对应边成比例，则它们是相似的。
相似形具有以下性质：1. 对应角相等：相似形的对应角度相等。
2. 对应边成比例：相似形的对应边的长度成比例。
3. 周长比例：相似形的周长之比等于对应边的比例。
4. 面积比例：相似形的面积之比等于对应边长度平方的比例。
二、相似形的例子1. 三角形的相似形：两个三角形的各边成比例且对应角度相等，则它们是相似的。
例如，一个三角形的边长分别是2cm、3cm、4cm，而另一个三角形的边长分别是4cm、6cm、8cm，这两个三角形就是相似形。
2. 矩形的相似形：两个矩形的长度和宽度成比例，则它们是相似的。
例如，一个矩形的长为6cm，宽为4cm，而另一个矩形的长为12cm，宽为8cm，这两个矩形就是相似形。
3. 圆的相似形：两个圆的半径之比等于它们的周长、面积之比的平方根。
例如，一个圆的半径为2cm，而另一个圆的半径为4cm，则它们是相似形。
三、相似形的应用相似形的概念广泛应用于实际生活和工程领域。
以下是一些应用示例：1. 地图绘制：为了将真实世界缩小到纸面上，地图的绘制常使用相似形。
通过保持地物之间的相对位置和形状，但按照一定比例缩小，可以有效地将真实的地球表面呈现在纸上。
2. 建筑设计：在建筑设计中，使用相似形可以根据规定的比例尺缩放建筑物的图纸。
通过保持建筑物的比例关系，从而实现将设计转化为实际建筑的过程。
3. 影视制作：在电影和动画制作中，使用相似形可以创建特效和视觉效果。
通过对原始图像进行相似变换，可以制造出缩小、放大或拉伸的幻觉效果。
4. 工程测量：在测量工程中，相似形可以用来确定难以直接测量的物体尺寸。
通过测量已知图形和未知图形的对应边的长度，可以计算出未知图形的尺寸。
相似三角形判定+性质+经典例题分析
相似形（一）一、比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：cda b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换)3.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．5.黄金分割：○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.例题2．已知111x y x y+=+，求y x x y +的值。
概念： 谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
相似形的概念与性质
相似形的概念与性质相似形是几何学中的一个重要概念，它在形状、大小及比例等方面与另一图形相似。
相似形的研究对于几何学的发展起到了重要的推动作用。
本文将探讨相似形的概念与性质，以及其应用。
一、相似形的定义相似形是指两个或更多个图形，在形状上相似，但大小可能不同。
形状相似意味着它们的内部角度相等，并且相应边的比值相等。
以两个三角形为例，如果它们的内部角度相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
比如，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似形的性质1. 内部角度相等相似形的最重要性质之一是内部角度相等。
两个相似的图形的对应角度始终相等。
例如，在相似三角形∆ABC与∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 边长比例相等另一个重要的性质是边长比例相等。
对于两个相似的图形，它们对应边的比值始终相等。
在∆ABC与∆DEF中，我们有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 面积比例相等相似形的面积比例也是相等的。
如果两个图形相似，那么它们的面积比例等于相应边的比例的平方。
在∆ABC与∆DEF中，我们有S(∆ABC)/S(∆D EF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
三、相似形的应用1. 测量不规则图形的面积相似形的性质可以应用于测量不规则图形的面积。
通过将不规则图形划分为许多相似的简单形状，然后计算各个相似形的面积，最后将它们相加，我们可以得到整个不规则图形的近似面积。
2. 设计和建筑相似形的概念在设计和建筑领域也得到广泛应用。
设计师和建筑师可以利用相似形的性质来保持设计的对称性和美感。
使用相似形理论可以确保建筑物的各个部分在形状和比例上是一致的。
3. 地图制作在地图制作中，相似形也发挥了重要的作用。
地图上的各种地物和地区通过相似形来表示，使得地图更加准确和易读。
四、总结相似形作为几何学的一个重要概念，具有多样的性质与应用。
形的相似性大班数学教案
形的相似性大班数学教案一、教学目标1. 知识目标：了解形的相似性及其特点，掌握判断形的相似性的方法。
2. 能力目标：能够通过观察图形的特点，准确判断形的相似性。
3. 情感目标：培养学生的观察力和逻辑思维能力，激发他们对数学的兴趣。
二、教学重难点1. 教学重点：形的相似性的概念及其特点。
2. 教学难点：判断形的相似性的方法。
三、教学准备1. 教具准备：黑板、彩色粉笔、教学投影仪、教学PPT。
2. 材料准备：一些有形的图形实例，如三角形、长方形等。
四、教学过程Step 1 引入新课1. 利用教学投影仪将一些有形的图形实例展示给学生，引导学生观察这些图形的形状和特点。
2. 提问：你能发现这些图形之间的相似性吗？请简单描述一下。
Step 2 讲解形的相似性1. 引导学生逐个讨论他们对于相似性的理解，并指出相似性的概念是指具有相同形状但大小不同的特点。
2. 利用教学PPT展示形的相似性的定义，并与学生一起理解和记忆。
3. 分析相似性的特点，包括比例关系相同、对应角相等。
Step 3 判断形的相似性的方法1. 示范法说明判断形的相似性的步骤和方法：a. 观察图形的形状，判断是否具有相同的比例关系。
b. 观察图形的对应角，判断是否相等。
c. 若满足以上两个条件，则判断为相似形。
2. 布置练习题，提供一些图形让学生尝试判断其相似性。
Step 4 练习与巩固1. 布置小组活动，让学生自主合作，互相交流判断图形相似性的方法，并解释自己的思路。
2. 整理学生的答案和解释，分析正确与错误的原因。
3. 针对错误的解答，进行纠正和解释，引导学生找到正确的判断方法。
Step 5 拓展与应用1. 展示一些实际生活中应用相似性的例子，如建筑物的模型缩放、地图的比例尺等。
2. 提出问题，让学生思考如何通过相似性来解决实际问题。
3. 鼓励学生将相似性的概念和方法应用到其他数学知识的学习中。
五、课堂总结1. 整理形的相似性的概念和特点，让学生进行复述和总结。
相似形的概念与判定
相似形的概念与判定相似形（similar figure）是几何学中的重要概念之一。
在平面几何中，当两个或多个图形具有相同的形状，但可能不同的大小时，我们称它们为相似形。
相似形是一种比例关系的体现，它们具有相同的形状，但是可以通过缩放（放大或缩小）来得到不同的大小。
在本文中，我们将探讨相似形的概念以及判定相似形的方法。
相似形的定义是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能具有不同的大小。
我们可以通过以下两个条件来定义相似形：1. 对应边比例相等：当两个图形相似时，它们的对应边的比例是相等的。
比如，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
2. 对应角相等：相似形还要求对应角相等。
也就是说，两个相似形的对应角度是相等的。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
在判定相似形时，我们可以使用以下几种方法：1. SSS 相似判定法：SSS 相似判定法是指当两个三角形的三边成比例时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的所有边长比例都相等，那么它们就是相似的。
2. SAS 相似判定法：SAS 相似判定法是指当两个三角形的某两边成比例，且包含这两边的夹角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两条边比例相等，并且它们之间的夹角相等，那么它们是相似的。
3. AA 相似判定法：AA 相似判定法是指当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。
通过上述三种相似判定法，我们可以方便地判断两个三角形是否相似。
除了三角形，其他几何图形如矩形、圆等也可以使用相似判定法进行判断。
相似形的概念在几何学和实际生活中都具有重要意义。
在几何学中，我们可以利用相似形的性质解决各种问题，比如计算长度、面积、体积等。
在实际生活中，相似形的概念也被广泛应用于建筑、城市规划、地图制作等领域。
通过相似形的变换，我们可以在不改变物体形状的基础上进行缩放和放大，从而满足实际需求。
相似形的特点和判断方法
相似形的特点和判断方法相似形是数学中的常见概念，它指的是在形状上相似的图形。
在几何学中，相似形具有一些特点和判断方法，本文将对这些内容进行详细的介绍。
一、相似形的特点1. 边比例关系：相似形的边与边之间存在比例关系。
即，如果两个图形的对应边的长度比值相等，则它们是相似形。
例如，对于两个相似三角形ABC和DEF，可以表示为AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 角度相等：相似形的对应角度是相等的。
这是相似形的重要特点之一。
如果两个图形的对应角度相等，则它们是相似形。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F。
3. 面积比例关系：相似形的面积与对应边长度的平方成正比。
即，如果两个相似形的对应边长度比为a:b，则它们的面积比为a²:b²。
二、相似形的判断方法1. 角对应判别法：如果两个图形的对应角度相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的基本方法之一。
例如，可以通过测量角度来判断两个三角形是否相似。
2. 边长比例法：如果两个图形的对应边长比值相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的常用方法之一。
例如，在判断两个三角形是否相似时，可以通过测量边长来比较它们的比例关系。
3. 角边对应法：如果两个图形的一个角等于另一个图形的对应角，且两个图形的两条边与这两个角的夹角分别相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的另一种方法。
例如，在判断两个三角形是否相似时，可以通过比较它们的角度和边长来应用这个方法。
4. 高与底比例法：如果两个三角形的高与底的比例相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的一种特殊情况。
例如，在判断两个等腰三角形是否相似时，可以通过比较它们的高和底的比例来判断。
通过以上的特点和判断方法，我们可以准确地判断两个形状是否相似。
相似形在几何学和实际应用中都有重要的意义，它们之间的关系可以帮助我们解决许多与形状变换和比例有关的问题。
总结起来，相似形具有边比例关系、角度相等和面积比例关系等特点。
相似形的性质
相似形的性质相似形是几何学中常用的一个概念，用来描述两个或多个图形在形状上的相似程度。
当两个图形具有相同的形态，但尺寸不同的时候，我们可以称它们为相似形。
相似形的性质是几何学中的重要内容之一，具有广泛的应用。
一、相似形的定义相似形是指两个或多个图形的对应边成比例，并且对应角相等。
具体来说，对于两个图形A和B，若存在一个比例因子k，使得图形A的对应边与图形B的对应边的长度之比都等于k，而且图形A的对应角与图形B的对应角的度数相等，则可以称图形A与图形B为相似形。
二、相似形的性质1. 对应边成比例：对于相似形的两个图形A和B，它们的对应边的长度之比都等于一个常数k。
即A的一条边与B的相应边的长度之比等于k，而且对于A的其他边与B的相应边也都相等。
2. 对应角相等：相似形的两个图形A和B的对应角的度数相等，即A的一个角与B的相应角的度数相等，而且对于A的其他角与B的相应角也都相等。
3. 面积成比例：相似形的两个图形A和B的面积之比等于对应边的长度之比的平方。
即A的面积与B的面积的比等于(k^2)。
4. 周长成比例：相似形的两个图形A和B的周长之比等于对应边的长度之比。
三、相似形的证明方法在几何学中，要证明两个图形是相似形，通常有以下几种方法：1. AA判相似法：若两个三角形的两个角分别相等，则可得出这两个三角形是相似的结论。
2. SSS判相似法：若两个三角形的三条边对应成比例，则可推出这两个三角形是相似的结论。
3. SAS判相似法：若两个三角形的两个角分别相等，而夹在它们之间的那个边与另一个角夹在一起的那条边成比例，那么这两个三角形是相似的。
4. 已知比例因子法：若在已知两个图形相似的情况下，根据已知的比例因子，计算出其他对应边的长度。
四、相似形的应用1. 测量困难图形的尺寸：相似形的性质可以用来测量一些难以直接测量的图形的尺寸。
比如，可以通过相似形来测量高楼大厦的高度、高山陡坡的斜率等。
2. 设计绘画：相似形可以用于艺术设计中，通过调整图形的比例，使得整个画面看起来更协调、更美观。
相似三角形-知识点总结
相似三角形-知识点总结第一节相似形与相似三角形基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,ADaBEbCFc可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。
如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。
②合比性质：如果，那么。
③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析例1：①在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若=则=__________.③若=则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
初三数学相似形的知识点
在计算面积、体积时，要注意使用相似形的性质，并正确计算对应边之比；
在解决解析几何问题时，要注意利用相似形的性质，并根据题意确定对应边。
希望以上内容能够帮助您更好地理解相似形的概念和应用。
在初中数学学习中，相似形是一个重要的概念。
1.定义：如果两个图形在同一坐标系内，且任意一个图形的任意一条边与任意一条角的对应边或对应角相等，则这两个图形为相似形。
2.相似形的性质：
两个相似形的相似比等于每对对应边之比的乘积相等；两个相似形源自面积之比等于每对对应边之比的平方相等；
两个相似形的体积之比等于每对对应边之比的立方相等。
3.相似形的判定：
两个图形相似，当且仅当它们的所有内角相等；
如果两个图形的两条对应边之比相等，则它们的所有内角相等；
如果两个图形的三条对应边之比相等，则它们的所有内角相等。
4.相似形的应用：
利用相似形的性质解决计算面积、体积的问题；
利用相似形的性质解决解析几何问题，如求线段中点、垂足等。
5.相似形的注意事项：
第二十四章 相似三角形
第二十四章 相似三角形★ 24.1 【放缩与相似形】要点归纳:1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
2. 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。
观察下面的图片提问：图中的两面国旗，大小、形状有什么特点？图中的大五星与小五星，大小、形状有什么特点？ 1.相似形的定义我们曾学习过形状相同，大小也相同的图形是全等形。
而日常生活中，还可以看到许多相这样形状相同、大小不一定相同的图形。
对于下图的三个四边形，缩小四边形ABCD ，就得到四边形A 1B 1C 1D 1 ；放大四边形ABCD ，就得到四边形A 2B 2C 2D 2 。
像这样对图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
提问：四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2大小和形状是什么关系？提问：将一个图形放大或缩小后，得到的图形与原图形的形状相同吗？ 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
提问：如何用放缩的观点来描述两个相似形呢？ 提问：相似的图形，其大小与形状有什么特点呢？ 练习：请你举出日常生活中图形放大或缩小的实例。
2.相似形的性质如图，△A 1B 1C 1是△ABC 通过放大后得到的图形。
提问：这两个图形是相似形吗？提问：请对这两个三角形的三个内角与三条边的大小进行观察和测量。
提问：这两个三角形的三个内角分别有怎样的大小关系？ （∠A 1与∠A 、∠B 1与∠B 、∠C 1与∠C 对应相等） 三条边的长度的比值间有怎样的大小关系？ （111111A B B C A C AB BC AC ==的长度的长度的长度的长度的长度的长度，即这两个三角形的边的长度对应成比例）可见，△ABC 放大为△A 1B 1C 1后，角的大小不变，而各边“同样程度”的放大了。
图形的相似与相似比
图形的相似与相似比相似形是几何学中一个重要的概念，它与比例和比例相似有密切的关系。
在本文中，我们将探讨图形的相似性以及如何计算相似比。
一、相似形的定义相似形指的是具有相同形状但不一定有相同大小的两个图形。
换句话说，如果两个图形的对应角度相等，并且对应边的长度成比例，那么它们就是相似形。
二、相似比的计算相似比是用来表示两个相似形之间对应边的长度比例关系的比值。
当我们研究相似形时，相似比是一个重要的参考指标。
计算相似比的方法是将两个相似形中的对应边的长度相除。
具体来说，如果两个相似形的长度比为a:b，那么它们的相似比可以表示为a:b或者a/b。
相似比的计算可以应用于各种图形，包括三角形、矩形、圆形、正多边形等。
通过计算相似比，我们可以了解到两个相似形的大小关系。
三、相似形的应用相似形有广泛的应用领域，包括建筑设计、地图制作、模型制作等。
在这些领域中，相似形的概念和计算相似比的方法都会被经常使用。
在建筑设计中，相似形可以帮助设计师按照既定比例缩放建筑模型，以便更好地展示设计意图。
相似形的概念也可以用于地图制作，帮助我们在保持地理比例的基础上绘制精确的地图。
另外，相似形的概念还在模型制作中得到应用。
例如，当我们制作飞机模型或者汽车模型时，可以通过计算相似比来按比例缩放原型，从而制作出准确的模型。
四、相似形的性质相似形具有一些重要的性质，这些性质对于理解相似形的特点和特性非常重要。
1. 对应角相等：两个相似形的对应角是相等的，即它们的内角度量相等。
2. 对应边成比例：两个相似形的对应边之间的长度比是相等的，即它们的边长成比例。
3. 面积比例的平方：如果两个相似形的边长比为a:b，那么它们的面积比例为a²:b²。
五、相似形的判定判定两个图形是否相似需要满足以下两个条件：1. 角对应相等：两个图形的对应角度相等。
2. 边长成比例：两个图形的对应边长度之比相等。
只有当这两个条件同时满足时，我们才能判定两个图形是相似形。
理解相似形大班数学教案
理解相似形大班数学教案一、引言相似形是数学中的重要概念，它能够帮助我们理解物体之间的关系和性质。
在大班数学课上，教师需要设计合适的教案来帮助学生理解相似形的概念和特性。
本文将介绍一份适用于大班数学课的相似形教案，以帮助学生深入理解相似形。
二、教案目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解相似形的概念；2. 比较和辨认相似形；3. 运用相似形的性质进行问题求解。
三、教学步骤1. 导入教师可通过展示一些相似形的实例或者在黑板上画出几个相似形，引起学生对相似形的兴趣和好奇心。
2. 概念讲解教师对相似形进行简单的概念讲解，强调相似形在形状上的相似性，但大小不同。
可以通过类比日常生活中的相似形来帮助学生更好地理解。
例如，一张放大的照片和原始照片的关系。
3. 组织活动将学生分成小组，每个小组分发一些卡片，卡片上画有各种形状的图案。
学生需要在小组内比较卡片上的形状，找出相似形，并将它们归类。
然后，学生可通过展示他们找到的相似形与全班分享。
4. 运用性质教师提供一些练习题，引导学生运用相似形的性质进行解答。
例如，“如果两个三角形是相似形，它们的对应角度是否相等？”、“如果两个三角形的对应角度相等，它们是否一定是相似形？为什么？”等等。
通过这些练习题，学生能够更好地理解相似形的性质。
5. 知识拓展教师可以引导学生应用相似形的知识，解决一些实际问题。
例如，计算高楼的高度、在地图上测量距离等。
这些实际问题能够让学生将相似形的概念与日常生活相结合，加深他们对相似形的理解。
6. 总结教师通过总结本节课的内容，再次强调相似形的概念和性质。
可以请几位学生分享他们对相似形的理解，促进学生之间的交流和互动。
四、教学评估教师可以设置一些简单的评估题目，以检验学生对相似形的理解程度。
例如，让学生判断几个图形是否为相似形、给出一些图形要求学生判断它们之间的关系等。
通过这些评估题目，教师可以及时了解学生的学习情况，以便进行针对性的辅导和指导。
初三相似形的知识点总结
初三相似形的知识点总结1.相似形的定义相似形是指形状相似但大小不同的两个或多个图形。
其中，相似形的边对应成比例，角度相等。
2.判断相似形的条件判断两个图形是否相似，需要满足以下条件：对应角相等：两个图形中对应的角度相等。
对应边成比例：两个图形中对应的边的比例相等。
3.相似比例相似比例，又称为比例系数，是指两个相似形对应边的长度之比。
相似比例可以用 a:b 或 a/b 表示，其中 a 和 b 是两个相似形对应边的长度。
相似比例的性质：如果两个相似形的相似比例为 a:b，那么它们的面积比例为 a^2:b^2，体积比例为 a^3:b^3.4.相似形的性质相似形具有以下性质：对应角相等性质：两个相似形中，对应角相等。
对应边成比例性质：两个相似形中，对应边的比例相等。
面积比例性质：两个相似形的面积比例等于相似比例的平方。
周长比例性质：两个相似形的周长比例等于相似比例。
5.相似形的应用相似形的知识在几何学中具有广泛的应用，包括：几何图形的放大和缩小。
图形的刻画和构造。
解决实际问题中的比例关系。
6.常见的相似形在初三数学中，我们常见的相似形包括：直角三角形：具有相似比例的直角三角形，即两条直角边的长度比相等。
等腰三角形：具有相似比例的等腰三角形，即等腰边的长度比相等。
圆：具有相似比例的圆，即半径的长度比相等。
7.相似形的证明在数学证明中，证明两个图形相似一般有两种方法：AAA相似三角形定理：两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。
AA相似比例定理：两个三角形对应两角相等，则这两个三角形相似。
8.相似形的应用举例在地图上测量长距离时，可以利用相似形的原理，通过测量一段短距离得出较长距离的长度。
在建筑设计中，通过对建筑物的模型进行放大和缩小，可以控制建筑物的比例和尺寸。
在工程测量中，利用相似形的性质可以计算水池或容器的容积，判断物体的体积。
综上所述，相似形知识是初三数学中重要的一部分，它有着广泛的应用和深远的意义。
几何形的相似性质
几何形的相似性质几何学是研究形状、大小和相对位置的数学学科。
在几何学中，相似性质是一个重要的概念，它描述了两个或多个几何形的部分相似的关系。
本文将探讨几何形的相似性质及其应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相似性质的三角形，它们的形状相似，但可能尺寸不同。
相似三角形有以下性质：1. AA相似性质：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
这是相似三角形的基本相似性质之一。
2. SSS相似性质：如果两个三角形的对应边长成比例，则它们是相似的。
这个性质表明，对于两个相似三角形，它们的对应边长之比保持不变。
3. SAS相似性质：如果两个三角形的两条边成比例，并且它们的夹角相等，则它们是相似的。
这是判定两个三角形相似的常用方法。
相似三角形的性质使得我们能够通过已知的尺寸计算未知的尺寸，或者在不同尺度下构建相似的几何形。
我们可以利用相似三角形的性质解决实际问题，例如测量高楼的高度、计算不可直接测量的长度等。
二、相似多边形的性质除了三角形，相似性质也适用于其他多边形。
相似多边形是指具有相似性质的多边形，它们的内部角度相等，而各边长成比例。
相似多边形的性质包括：1. AA相似性质：如果两个多边形的对应角度相等，则它们是相似的。
这个性质与相似三角形的AA相似性质类似。
2. SSS相似性质：如果两个多边形的对应边长成比例，则它们是相似的。
这个性质与相似三角形的SSS相似性质类似。
3. 对称性：如果两个多边形分别与一相似中心相似，并且对应边的比值相等，则它们是相似的。
这个性质常用于判断并构造相似多边形。
相似多边形的性质使得我们能够在不同比例下保持形状的相似几何形。
使用相似多边形的性质，我们可以通过已知的尺寸计算未知的尺寸，或者在不同比例下构建相似的多边形。
三、应用举例几何形的相似性质在许多实际问题中都能够得到应用。
以下是一些例子：1. 地图测量：地图通常是在比例尺下绘制的，根据相似几何形的性质，我们可以通过测量地图上的一些长度或角度，计算实际距离或角度。
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相 似 形湖南省重点中学隆回一中 邹启文 湖南省重点中学隆回二中 魏华习 知识 方法 要点 用相似形知识解决几何问题应该注意抓住三个要点：一是两个多边形边数相等，二是两个多边形对应角相等，三是它们的对应边成比例．要掌握两种方法：一是图形计算法，它包括比例的更比、等比、合比、分比等性质，也包含方程和方程组的解法技巧及面积计算技巧的应用等等；二是辅助线构造法，在几何证明题中，往往所给图形并不一定直接给出解决题目问题所需要的图形，还要我们根据要求作辅助线构造新图形来作解题桥梁，才能达到证明或解决问题的目的．我们还要形成一种思想：即任何多边形都可化为形式简单的三角形来研究的变换思想。
为了掌握这些知识，我们先一起研究下面例题。
，BC=450，CA=510， ABC 内部，DE 、FG 、P 点， d, 、BC 、CE ，求（第四届美国邀请赛试题）解:设PE= m ,PH= n,PG=s 由题意得，四边形AIPD 和CGPH 及FBEP均为平行四边形 所以 DP = AI = d －m ,BF = EP = mPH = CG = n 又因为△DPG ～△ABC ，所以ABDP ACCG =即510md d--=又因为△PEH ～△ABC 所以AB GHBC CH =GH=PE 即450m d =-①＋②得425450450510510dd d=+--即d(425145015101++)=2从而解得：d = 306反思：本题由三角形的相似比得方程组，把几何问题转变为代数问题，这是利用比例计算解决几何求值问题的一种常用方法，也是相似比的最终目的。
在题目中我们发现，过P 点的三条线段分别平行于三边，所以其中必存在多组相似形，题目中各已知量的关系必满足多个相似比，于是应考虑到设参数参与解题。
最后通过消去参数得关于d 的方程450510dd d =+--，从而求得d = 306 本题也可由AD=IP=d-n PH=CG=n 根据 △PEH ∽△ABC △IFP ∽△ABC 得关于ｄ与n 的方程组，消去n 后解得d = 306 例2、点E 、F 、G 、H 分别在面积为1的四边形ABCD 的AB 、BC 、CD 、DA 上，且k H A D HG D CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形ABCD 的面积。
（2004年“TRUL R信利杯全国初中数学竞赛试题” AC 、DB H 作HN ∥BD 交于N ，有AD AHAB AN = k EBAE= 则1+=K K AB AE 即：AE =1+K KAB ① 又由 k HA DH =得: 11+=K AD HA ， 于是有11+==K AD HA AB AN ，即：AN =11+K AB ②由①÷②k K K K AE ==++111从而k ANAES S A NH A HE==∆∆由△ANH ∽△ABD 得：()2)1(12+==∆∆k AB AN S S A B DA NH故K k S S S S A B DA NHA NHA HE∙=∙+∆∆∆∆211）（ 因此ABD k k AHE S S ∆+∆=2)1( ③同理 ④BCD k k CFG S S ∆+∆=2)1(反思：本题是应用异底同高三角形的面积比等于它们两底的边长比，及相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行几何计算解题的一个典型例子，其中具反映了一种解题思想:即将四边形EFGHS的面积计算问题转化为求大四边形的面积与几个三角形面积和的差的简单问题;同时合理地运用了相似比的合比定理和反比定理，使题目由条件kHADHEBAE==变为1+=KKABAE和11+==KADAHABAN后，最终变为面积比kANAESSA NHA HE==∆∆，和ABDkkAHE SS∆+∆=2)1(，为实现计算EFGHS铺设基石，这就是本题的妙处所在。
ADCkk S∆+2)1(后面的步骤与前法相同例3、如图在△ABC中,D、E分别为BC、AC的中点,AD、BE相交于P,若∠BPD=∠C,求证以△ABC三条中线为边所构成的三角形与原△ABC相似．（2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题）证明:连结CP并延长交AB于F, 过F点作BE的平行线FG, 作AD的平行线CG交FG于G,显然，FG=BE、CG=DA、CF为原三角形的中线，如图所示: ∴在△APE和ACD中ACD∠DAC∽△ACDDCAD=、E分别为的中点∴AE=CE DC=BD 故BDADPECE=∴△CEP∽△ADB 故∠BAD=∠PCE又∵GC∥AD ∴∠DAC=∠GCA∴∠BAD+∠DAC =∠PCE+∠GCA即：∠GCF =∠BAC ①又∵FG∥BE GC∥AD∴∠BPD=∠FHC =∠FGC但∠ACD=∠FGC ②于是在△ABC和△CFG中，可由①和②得：△ABC∽△CFG反思:本题是作辅助线(平行线)构造相似形的典例.应该注意：从角相等到多边形相似，再由多边形相似证对应边成比例，反过来由多边形相似证对应边成比例，到多边形相似,再判角相等，是解相似形问题的常用方法。
也是本题的重要特征，其关键步骤在于将DCADPEAE=转换为BDADPECE=，使我们能从一组三角形的相似（△APE∽△ACD）转到另一组三角形相似（△CEP∽△ADB），于是得出∠GCF =∠BFC，∠ACD=∠FGC，从而得出△ABC∽△CFG的结论。
例4、如图：△ABC的BC边的延长线上任取CEAECDBD=过E 点作AB 的平行线交BD于G,EG∥AB＝③+④得S△AHE+S△CFG=2)1(+kk（S△ABD+S△BCD）=2)1(+kk SABCD=2)1(+kk连结BD，同理可证FEBHGD SS∆∆+=2)1(+kk所以EFGHS)(FEBHGDCFGAAHEABCD SSSSS∆∆∆∆+++-=222)1(1)1(21+++=-=kkkk当然，本题还可通过连结AC、HC，DH CDADGDH G S∆∆=AD CD AD HD CD G S∆∙=AD CkkkS∆++∙=111=在△BFD 和△GED 中,＝＞∵ EG ∥AB ＝＞ ＝＞在△BFD 和 ＝＞△GED 中＝＞＝＞ ＝ 分比＝＞ ＝＝＞ ＝ 更比＝＞ ＝ 分比＝＞ ＝＝＞＝＞ ＝反思：本例是通过作辅助线解证明题的，重点介绍了比例的更比、分比性质。
但本题作辅助线方法较多，笔者已发现了十种，其中比较简单的思路有：①过A 点作AG ∥FD 交BD 的延长线于点G ， A 由DE ∥AG 可得 = ，F E 又由AF=BF 可得GD=BD ，代换后可得 = B C D G②过A 点作AG ∥BD 交 A DF 于G ， 可得 G= ，又由F EAF=FB 可得AG=BD 。
B C D同样可得 =③过B 点作BG ∥DF ，交AC 的延长线于G ， ④过B 点作BG ∥AC 交DF 的延长线于G等等，这些思路都比上述证明过程简单，所以合理作好辅助线,能够降低解题难度.同时应该注意的是：合理作辅助线要尽可能地保证已知条件的全面综合利用。
赛题、练习、反馈1、 如图：AB 是⊙O 的直径，直线EF 与⊙O相切于点C ，AE ⊥EF 于E ，BF ⊥EF 于F ，连结AC3、图ABCD 为梯形，一直线与DA 的延长线AB 、BD 、AC 、CD 、BC 顺次交于点E 、F 、G 、H 、I 、J ，若EF=FG=GH=HI=IJ ，则AD ：BC=1解：①连结AC 、BC ，∵∠ACE =∠ABC且∠AEC =∠ACB∴△AEC ∽△ACB∴∠EAC =∠CAB∴AC是∠EAB的平分线，②连结OC、BC，∵OA=OC∴∠OAC =∠OCA =∠EAC∴AE∥OC∥BF又∵O是⊙O圆心∴C为EF的中点，即EC = CF = EF∵在△AEC△CFB中∠AEC =∠CFB =900∠ACE =∠CBF∴△AEC∽△CFB于是有 =∴CF·EC=BF·AE∴ EF· EF = AE·BF∴EF2 = 4AE·BF即EF =22解:连结AP、PC，延长AN与补全的半圆⊙O交于E，过E点作CB的垂线，垂足为O连结BE。
AB是大圆的切线，∴∠PAB=∠PCA又∵四边形ABCD是正方形∴∠CAB=450∴∠CAB =∠CAP+∠PAB=∠CAP+∠PCA=∠EPC=450在△ABN与△EON中∠ENO=∠ANB∠EON=∠ABN∴△EON∽△ABN∴ = = =故 =3解：由△HCJ∽△HAE得 = = ∴CJ = EA ①由△GBJ∽△GDA得 = =∴ = =∴BC = AD + AE ②由△FBJ∽△FAE得 = = 4，BJ = 4AE即：BC+CJ=4AE，BC+ AE=4AE∴AE= BC，代入②中得 AD：BC = 1：24提示、连结AD、A1D，延AA1交CD于O，交C1C于E，∵∠ADA1=900-∠A1DC=∠CDC1，得AD：DC= =DA1：DC1∴△AA1D∽△CD1D∴∠A1AD =∠C1CD∽△CEO∴∴∴∠∠∠∠∠△△OE=OB= AB= a与△CAN中。