浅谈平面几何及平面几何辅助线的教学

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方面的书籍，网上也很难查到！我一直想解决这个问题很久了，根据自己平时做几何题积累 的经验我总结出用动态的思想作辅助线好想也好掌握， 并在同事中做了一些推广收到不错的 效果，现在把它整理出来供大家参考
3.平面几何常见辅助线作法顺口溜
3.1 遇到一边有中线，只需将其一倍延
例题 1： ABC 的边 AB=6,AC=4,AD 是 BC 边上的中线，求 AD 的取值范围 解析：AD 是 BC 边上的中线，要直接求出 AD 的取值范围 A 是不可能的，可考虑延长 AD 至 E 使 DE=AD,连接 BE,则
BED CAD( SAS ) BE AC 4
Q AE 2 AD
在△ABE 中由三角形三边关系定理得：
AB-BE< AE<AB+BE 即 6-4<2AD<6+4,解得：1<AD<5
B
D
C
E
例题 2： AM 是△ABC 的中线，四边形 ABCDE,ACFG 都是正方形 求证：AM=
例 2： 求证： 自三角形的顶点引线垂直于两底角的平分线， 则两垂足的连线必平行于底边。 已知：在△ABC 中，BD 平分 ABC ,CK 平分 ACB , AE BD于E, AF CK于F
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B H A
K F E
D
G
C
求证： EF P BC
分析： 题目中有角平分线和垂线的条件， 这就是我们想到以角平分线或垂线为轴把某个三角 形翻转 180 度， 制造出全等三角形， 利用全等三角形的性质来证题和解题， 因此如果把 AE,AF 延长交 BC 于 G,H,就能发现 E,F 分别为 AG,AH 的中点，从而证得 EF P BC 证明：延长 AE,AF 交 BC 于 G,H 因为 ABE= GBE, AEB= GEB=90 ，BE=BE 所以 VBEA VBEG 所以 AE=EG 同理可证 AF=FH 所以 EF 是△AHG 的中位线 所以 EF P HG 即 EF P BC 例 3（99 年天津市初二数学竞赛试题）已知 CB=AC, C=90 ， A 的平分线 AD 交 BC 于 D,过 B 作 BE 垂直 AD 于 E.
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例 1（2012•盐城二模）阅读下列材料： 问题：如图 1，P 为正方形 ABCD 内一点，且 PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB 的度数． 小娜同学的想法是： 不妨设 PA=1， PB=2， PC=3， 设法把 PA、 PB、 PC 相对集中， 于是他将△BCP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△BAE（如图 2），然后连接 PE，问题得以解决． 请你回答：图 2 中∠APB 的度数为_____________ 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题： 如图 3，P 是等边三角形 ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°． （1）在图 3 中画出并指明以 PA、PB、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以 PA、PB、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于_______ ．
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(此题初二学生不要求掌握到初三学完相似形后就可以做了)例 2（2014•吉州区一模）问 题情境：如图 1，直角三角板 ABC 中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的 直角的顶点 D 放在直角三角板 ABC 的斜边 AB 上，再将该直角绕点 D 旋转，并使其两边分别 与三角板的 AC 边、BC 边交于 P、Q 两点． 问题探究： （1）在旋转过程中， ①如图 2，当 AD=BD 时，线段 DP、DQ 有何数量关系？并说明理由． ②如图 3，当 AD=2BD 时，线段 DP、DQ 有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当 AD=nBD 时，DP、DQ 满足的数量关系为____ （直接写出结论，不必证明） （2）当 AD=BD 时，若 AB=20，连接 PQ，设△DPQ 的面积为 S，在旋转过程中，S 是否存在最 小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
分析：图 2 中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形 的判定推知△BPE 是等腰三角形，则∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、 勾股定理证得∠APE=90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°； （1）设法把 PA、PB、PC 相对集中，将△BCP 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△ACM，然后连接 PM，问题得以解决． （2）根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．然后根据全等三角形的对应边、对应 角相等，周角的定义以及三角形内角和定理来求以 PA、PB、PC 的长度为三边长的三角形的 各内角的度数．
1 DG 2
E
D
A
G
B
M
C
F
解析：欲证 AM=
1 DG 2
只需证明 DG=2AM 即可， 因为 AM 是 BC 边上的中线，可考虑把 AM 延长一倍，即：延长 AM 至 Q 使 MQ=AM,连接 QB,QC, 则四边形 ABQC 是平行四边形且 AQ=2AM,AC=BQ, QBA BAC 180 ,所以只需证明△ AQB △ DGA 即 可 ， 由 四 边 形 ABCDE,ACFG 都 是 正 方 形 可 得 ： DAB GAC 90 ,AB=AD,AC=AG 而 DAB GAC DAG BAC 360 , 故
1 AD 2 1 分析：欲证 BE AD ，只需证明 AD=2BE 即可，需要通过作辅助线作出 2BE,考虑到 AE 是 2 A 的平分线，很容易想到以 AE 为轴把△AEB 翻转 180 度，我们所需的辅助线就是把△AEB
求证： BE 翻转 180 度后所得的三角形画出来即可，自然会想到延长 BE,和 AC 相较于点 F,则△AEF 与 △AEB 全等，则 BF=2BE,问题转化为证明 AD=BF,只需证△ADC 与△BCF 全等即可 证明：延长 BE,与 AC 的延长线交于 F 因为 AEB= AEF,AE=AE, EAB= EAF, △AEB △AEF BE=EF Q F+ EAF= F+ CBF=90 EAF= CBF, ACD= BCF=90 ,AC=BC 从而有△ACD △BCF AD=BF=2BE
Q
DAG BAC 180 ,所以 QBA DAG ,所以△AQB △DGA
3．2：遇到垂线分角线，翻转全等来变换
在题目中有角平分线或者垂线的条件时候， 往往是以角平分线或者垂线为轴把某个三角
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形沿着轴翻转 180 度之后，得到另外一个三角形，显然俩三角形全等，我们需要做的是适当 的做辅助线把翻转 180 度之后的三角形画出来， 制造出一对全等三角形， 使得分散条件集中 起，便于问题的解决。 例 1：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，求证：AC=AB+BD
1 绪论
平面几何教学始终存在两个瓶颈问题，一是不习惯从代数的训练基本功转向学习几何语 言用演绎方法来书写，另外拿道中等难度的几何题就无从下手，不知道先做再做什么，缺乏 正规训练。 二是遇到需要添加几何辅助线的题目不知道如何添加， 不会想， 只是盲目地实验， 运气好的话试出来了否则就是不会做，学习数学的积极性大受打击，对数学学习丧失信心， 产生畏难情绪。 看到这种情况我多年以来一直试图解决这个问题： 对于初学几何证明的同学， 我提倡他们用综合分析法来解决问题，效果良好。对于几何辅助线，我借助于教材中的几何 变换内容教给学生用动态的方式去想辅助线如何做， 想好后然后用规范的作图语言写出辅助 线，遇到什么条件该怎么想，我把它几何编制成顺口溜教给学生，容易记忆和运用，收到了 很好的效果。 为提升学生综合解平面几何题的能力我把平时的作法总结出来形成这篇文章以 供同行借鉴.
2 2 2
（1）如图 3，将△BCP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△ACM，然后连接 PM，△APM 即为所求， 即以 PA、PB、PC 的长度为三边长的一个三角形是△APM．以 PA、PB、PC 的长度为三边长的 一个三角形是△APM． （2）如图 3． ∵根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM． ∴PC=CM，∠AMC=∠BPC=125°， ∴△PCM 是等边三角形， ∴∠MPC=∠PMC=60°，∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°． ∵∠APB=115°，∠BPC=125°，∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°， ∴∠APM=60°， ∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°． ∴以 PA、PB、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 故答案是：60°、65°、55°． 60°、65°、55°．
A
B
D
C
解析：按照传统的方法“截长补短法”是可以的，若按照题目中有角平分线这个条件，按照 本口诀的思路就是把△ADB 以 AD 为轴翻转 180 度，点 B 落在 AC 上，很自然想到的辅助线就 是 ： 在 AC 上 截 取 AQ=AB, 连 接 DQ, 然 后 证 明 QC=BD 即 可 。
A Q
B
D
C
证明：在 AC 上D ,AD=AD
△ADB △ADQ
AQD B 2C DQ DB Q AQD QDC C 2C QDC C QDC C QD QC QC BD AC AQ QC AB BD
F C E D A
BE
1 AD 2
B
3.3：遇到边边若相等，旋转三角来变换
在解决几何问题时候有时会遇到有正方形， 菱形， 等边三角形， 等腰直角三角形的图形， 给我们提供了边相等的条件，根据做题的需要我们往往需要把某个三角形旋转适当的角度， 把一个三角形拼接的另外的一个位置，这样就把分散的条件给集中起来使得问题容易解决