浅谈平面几何及平面几何辅助线的教学

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初中平面几何常见添加辅助线的方法

初中平面几何常见添加辅助线的方法

初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支,通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。

在解决平面几何问题中,添加辅助线是一种常见且有效的方法,可以帮助我们更好地理解和分析问题。

下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法:1.使用垂直辅助线:垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线,可以用来分割和构造几何图形。

比如,在矩形中,可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线,从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。

2.使用平行辅助线:平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线,可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。

例如,在平行四边形中,可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线,从而证明平行四边形的对边相等。

3.使用角平分线:角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。

在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时,添加角平分线是非常有用的方法。

例如,在等腰三角形中,可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线,从而证明等腰三角形的顶角相等。

4.使用中线:中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。

在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时,添加中线是一种常见的方法。

例如,在四边形中,可以通过连接相对边的中点来构造中线,从而证明中线互相平分。

5.使用高线:高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。

在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时,添加高线是非常有用的方法。

例如,在三角形中,可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线,从而证明高线汇聚于三角形的垂心。

6.使用辅助图形:有时,我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。

例如,在求解平行四边形的面积时,可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形,从而方便计算面积。

在实际应用中,我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。

添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题,还可以提高解题效率和准确性。

探究平面几何辅助线方法的教学设计

探究平面几何辅助线方法的教学设计

探究平面几何辅助线方法的教学设计淮北师范大学数学科学学院(235000)李佳佳张昆平面几何的教育价值主要体现于逻辑思维与理性思维,这些思维形式的特点在于需要避开物质性材料的干扰,使学生能深入到空间点线面体的结构性本质[1],然而多数教师直接将作辅助线的方法抛给学生,学生误以为找到辅助线很容易,这对平面几何教育价值的实现并没有什么帮助,学生如果长期在这样的教学活动中进行学习,当再次遇到新的几何题需要探究辅助线时还可能依然会束手无策,这么容易找出的辅助线为何找不到,使学生对自我存在怀疑从而丧失信心.对此,在平面几何证明题教学时,引导学生用分析的方法,充分发散自己的思维,训练自己的逻辑,有理有据,随着分析层次的递进,一步一步产生出合适的辅助线.为此,本文主要考察基于分析法构建辅助线的途径.一、分析法概念的内涵牛顿谈到分析法时说:“一般来说,从结果到原因,从特殊原因到普遍原因,直到论证止于最普遍的原因为止,这就是分析的方法.”[2]分析就是将被研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次,并分别加以考察的认识活动.经常使用的分析方法有如下几类:1、组成分析;2、过程分析;3、因素分析.在数学思维活动中,要经常综合的使用上述分析方法.分析的过程常由三个阶段构成即为:解剖,探究本质和综合.分析的方法是执果索因的方法,即它从问题的结论出发,追溯导致结论成立的原因[3].下面给出使用分析法探索证明命题“若A则B”时的思路图,在图中首先假定结论B成立.从图中可以看出,在大多数情况下,分析法可以将变幻不定的富有尝试性的探索活动纳入方向明确,途经单一的轨道,分析是在原有的综合指导下进行的,同时分析又以达到新的综合为目的.可见问题的结论对于探索活动的定向作用比综合法更为强烈,分析法相对于综合法对逻辑思维、与发散思维的培养更为合适[2](58).为了说明问题,我们看一个奠定的辅助线方法的例子.解析我们可以把椭圆、双曲线和抛物线都看作平面截圆锥面所得的截线,其本质相同.那么,我们可以仿照例题的求解方式,使学生自诘自问,独立求解.在习题教学中,应对问题进行归类和比较,使学生能有效迁移,以此知彼,举一反三,真正发挥解题的作用.三、结语波利亚给予我们的是一种更富层次性的思维方式,以及一种能循序接近结果的方法.对那些无从下手的问题,利用解题表逐步分析,更易探得思路和突破点.他所提出的解题步骤,从不同侧面反映出解题活动的一些特性,透析其中的心理机制与认知结构,避免孤立的、就提讲题的教学方式,帮助学生有效实现知识的整合与方法的迁移.解题表提供了习题教学的一种典范,给予我们许多有益的启示.教师通过引导和提问,呈现出解题思维的获得过程,使学生觉得“有迹可循”,进而克服恐惧心理,形成自己的解题策略.这或许不如点金石一般完美,但它是切实可行的.若是将波利亚的解题模式,有意识的运用于习题教学,定会获益良多.参考文献[1]波利亚,怎样解题[M].阎育苏,译,北京:科学出版社,1982.[2]曾俊鑫,利用波利亚的“怎样解题表”培养学生的解题思维能力[J],数学学习与研究,教研版,2018(01):122.二、教学示例当一道稍微复杂的平面几何证明题呈现出来,我们即刻会想到借用辅助线的方法来进行证明.至于到底怎么找到正确的辅助线,许多教师是直接地将辅助线画在图形中,或者引导学生观察直接作出辅助线,看似学生好像会找辅助线了,事实却是学生只是按照教师指定的方向进行操作,并非学生自己摸索出来的方向.这样的教学方式学生的思维很难展开,数学能力也很难提升.这个时候就需要教师引导学生对文字进行分析,对图形进行分析,然后将文字与图形进行结合分析找出辅助线.对此,这里举出一个具体的例子进行说明:在等腰三角形△ABC (如图1)的两腰AB,AB 分别取E 、F ,使AE =CF ,BC =2,求证EF ≥1.(一)设计一1.文字分析当学生拿到一个题目,他们的思维就会理解作用于问题,但却往往容易在解题过程中迷路,既浪费时间又磨灭信心.如果我们对题目进行有条理、有顺序的分析,了解题目的结构,捋清题目的出题意图,就会有后面解题成功的可能,从而实现事半功倍的结果,否则即使后面的思路、方法再正确,也是徒劳无功.师:请同学们仔细研究这道题的相关内容,有谁能说说从中我们知道了哪些信息?生1:整个题目是围绕着一个等腰三角形进行的,已知AE =CF ,且边底BC =2,求证EF 不小于1.师:非常正确,即这个题目中我们知道三个部分,第一个即为在等腰三角形中这一大的限制条件,第二个即为已知数据及其关系,第三个即为求证问题.师:这三个是题目中用肉眼可找出的信息,我们能从这些信息中通过推理发掘出什么联系吗?生1:E 、F 点的位置没有确定,说明是一个动态的,但是在动的同时始终遵循AE =CF .生2:两个数字2和1,刚好是一倍的关系,而等腰三角形我们会想到中位线与底边是一倍的关系.生3:刚刚生2说到中位线让我想到了,当E 、F 分别在两等腰边的中点时,EF 一定是1.而EF 不小于1,现在只要想EF 为什么会大于1就行了.师:三位同学都分析得很到位.2.图形分析对文字进行分析以后,我们将会对文字有一个初步的了解.然而仅仅对文字分析只是停留在字面上的理解,没有利用图形直观.加上图形,学生可以很好的运用想象力,便于发散思维的产生与形象思维的建立.很大程度上能提高解题效率,因此这也是解题的关键之所在.师:刚刚对文字进行了分析,现在我们开始对图形进行分析.生2:因为E 、F 两点位置不定,因此我将这两点看成一个有伸缩效果的运动过程(如图2).因为当E 、F 分别运动到中点时,会出现一个特殊值即中位线,对此我将这个等腰三角形的底边的垂线与中位线的交点设为O ,我猜想这个EF 线总是经过这个O 点.师:把EF 看成一个有伸缩效果的运动线是一个非常好的想法,这个猜想也很大胆,但是生2这个想法能证明出来吗?生3:不能证明出来,假如当E 、F 分别与A 、B 无限接近时,很明显的看出来,EF 线不经过O 点.所以猜想不成立.生4:因为中位线,且BE =AF ,那么过E 、F 分别做BC 的平行线,设F M 与AB 交与点M ,EN 与AC 交与点N .那么就有F M +EN 等于两倍的中位线(如图3).这个是从生2想法中推出的一个发现,不知道对解题有没有帮助.师:非常好,不管有没有帮助,能发现就说明我们对图形分析的更透彻了,离解答肯定也更近了一步.生5:根据刚刚生2设的O 点,O 点肯定平分EF 和垂线,我想到了对角线,由对角线我想到了平行四边形.是否可以转换成平行四边形来尝试解答.师:怎样来利用平行四边形呢?生3:作出如图4,做E 点平行BC 并且与CD 边连线为G ,EG 长与F M +EN 和长相等,连接F G .发现EF 与F G 有某种关系,应该是相等.生5:多做几个这样的图形,发现底边不会变.只有两腰的长在不断改变.3.文字与图形结合分析通过前面对文字和图形的分析,由于学生的经验不足,他们会得出各种各样的信息和猜测,这个时候还不能快速并且合理的添加辅助线,因此需要将文字与图形结合,验证检验猜测,这样将变幻不定的富有尝试性的探索活动纳入方向明确,途经单一的轨道,最后便借助于辅助线的方法将证明过程表示出来.生4:确实可以借助于平行四边形,因为当经过O 点的EF 线长为1由题目知证明EF 不小于1,延长此时的EF ,作出与AB 平行的CD ,可以画出一个平行四边形.师:我们刚刚已经通过对图形进行分析有了一个大概的了解,我们知道题目当中等腰三角形的底边长为2,这个和什么边长是一样的?生4:和构造出来的平行四边形中的等腰三角形的底边长是一样的.师:非常好,但是题中只出现了1,我们能通过平行四边形中的等腰三角形的底边长等于2找出与数字1有关的情况吗?生4:能,当等腰三角形△EFG 的两腰移动到边AB 、DC 的中点时,我们会发现这个时候等腰三角形的底被AC 截成了两半,各半长即为1(如图4).生3:当E 、G 移到边AB 、DC 的中点时,这个时候已经不是等腰三角形了,因为F 点也移动到了AC 的中点,此时是一条直线(如图4).生4:是的,当E 继续往A 点移动时,F 点会继续往C 点移动,这个时候等腰三角形又出现了(如图4).师:很好同学们已经把图形结合题目的解决轨迹描述出来了.那现在能判断出来EF 不小于1吗?生4:可以,E 点从B 点移动到AB 中点前,一直是一个等腰三角形,我们会发现等腰三角形的高在逐渐变小,以至于变成0,我们知道等腰三角形两腰之和一定大于第三边,假如设腰为r ,用式子来表示就是2r >2,所以r 就大于1.而当E 点从B 点移动到AB 中点时,r 就为1.而当E 点继续往上移动,F 点继续往下移动时,等腰三角形又出现了,这个时候同样也可以按照刚刚的想法,发现r 仍然大于1.所以可以得出证明.生5:我有一个更好的解释,我们知道等腰三角形的底是一直不变的,刚刚生4也说了,高在逐渐变小,我们可以把这个平行四边形中的等腰三角形看成两个直角三角形(如图5),即这是一个高在一直变但是底边不变且为1的两个直角三角形,我们知道直角三角形的斜边一定大于直角边,而在三角形△FEH 中,EF 为斜边,所以EF 一定大于底边1.师:非常好,几位同学的逐渐深入的设想最终使问题获得了解决.(二)设计二1.文字分析文字分析可以理解为某种程度上的结构性分析,是将这道题的题设条件之间、题设条件与所证明的结论之间的关键性联结的线索发掘出来,从而引导我们从全局上、整体上检视所有的元素,从而获得其中内涵的意义,为合理地生成辅助线打下基础.师:从文字中我们可以分析出什么?生1:文字中说等腰三角形的底为2,而求得证明EF 不小于1,等腰三角形的中位线等于1,也即一定不小于等腰三角形的中位线长.生2:等腰三角形的两腰相等,我们可以从这个话中做文章.生3:BE 等于AF ,又有两腰,估计可以构造出两个全等三角形.生4:构造的两个全等三角形通过尝试可能会出现在一些特殊位置,从而发现关系.师:同学们分析的都非常好.2.图形分析平面几何直线型问题的辅助线一般是由图形直观所赋予解题主体相关知识的意义决定的.因此,图形分析就是借助于图形的直观经过想象而生成意义的过程,当解题主体理解了图形中不同线条的意义后,这些线条之间的关系也就比较清楚了,一般情况下,辅助线也就可能出现了.师:我们来看一下题目.生1:构造两个相等的三角形,做AD 平行于BC ,三角形△AD ′F 全等于三角形∆BB ′E (如图6).生2:那样好像没有什么关系可找,做AO ′垂直于F O ′,会有三角形△BEB ′与三角形∆FAO ′全等.生3:在生1的基础上延长AD ′,作出一个正方形GBCD 出来,同时将E 点作出EG ′垂直于AG (如图7).我感觉这样会有帮助.生4:将F 点作出F C ′垂直于BC ,这样找出了两对全等三角形,三角形△AD ′F 和三角形∆CF C ′,三角形和三角形(如图8),而这四个三角形面积之和等于长方形G ′D ′C ′B ′面积.师:这就是数学的美之处啊.3.文字与图形结合分析一道平面几何证明的问题总是由文字(语言)与图形(语言)组织而成的,因此,在分析问题探究辅助线方法时,将这文字表述与图形表达整合起来,在相互调整与平衡中生成意义,是探究平面几何证明题辅助线的必不可少的途径,因此,文字与图形结合的分析在制作辅助线中起了十分重要的作用.生4:多画几个,我们会发现三角形△G ′EA 与三角形∆F D ′A 有一种关系,即为这两个三角形的底边长之和G ′D ′刚好等于文字中出现的数字1,连接EF (如图9).生3:可以从梯形EF C ′B ′中看出,EF 不小于1.因为当EF 移动到与BC 平行时,是一个矩形,此时EF 边长等于底边长1.而当EF 再移动一点点就一定比1大.师:能不能再具体一点.生4:经过E 点做与BC 平行的EH ,H 在F C ′上(如图10),这时候出现一个直角三角形△F EH .在直角三角形中,斜边总是大于任一直角边,所以EF 总是大于1.这样就给证明出了想要的结果.师:非常好,那么这样我们找出了最合适的辅助线,从而可以继续解题.三、简要小结问题解决,其实就是找到问题题设条件与所求结论之间的联结,而题设条件与所求结论之间存在着某种千丝万缕的联系.如何解题,就是要找到其中蕴含的某种关系[4].以前学生听老师讲解时清楚明白:一步一步顺利的推出,使得学生误认为几何证明有如先天预成的,对他们来说平面几何是“非学习和训练”所能达到的那种水平[5].从这两个不同的解题方法中,我们发现,数学平面几何解题的关键之处,在于对文字进行深入分析,同时在图形上进行尝试,最后将自己发散出来的想法与文字结合,一步一步向结果靠拢.如此,通过数学教学,才有可能最大限度的促进数学教育教学的高层次目标的实现,提高作为教育资源的数学知识的育人价值的基本保证.对于学生来说,利用分析法对平面几何解题具有极好的意义,他从文字出发,通过分析题目中给出的条件,接着在图形上用符号表示出来,最后,通过前面的探究尝试活动,将题目的分析与图形中使用的符号结合起来,水到渠成的得出想要的辅助线,从而证明出结论.这样学生在自己的探究过程中一步一步的分析出适合解题的辅助线,既不突兀,也让学生体验到了探索的乐趣.也就是说,平面几何的解题教学已经不仅仅只是在知识的层面上影响学生,它将对学生分析问题、解决问题和在征服困难时的情感态度有积极的助力作用.参考文献[1]张昆,张乃达.探究辅助线方法的教学设计研究——平面几何命题证明入门教学的视点[J].中学数学杂志,2017(08):9-12.[2]章士嵘.科学发现的逻辑[J].人民出版社,1979.[3]张乃达.数学思维教育学[J].江苏:江苏教育出版社,1990:56.[4]乔治•波利亚.数学的发现[M].北京:科学出版社,2009.[5]张昆.基于平面几何理性思维教育价值的教学实践研究[D].北京:北京师范大学,2006:4.。

初中数学实例分析:平面几何辅助线画法!

初中数学实例分析:平面几何辅助线画法!

初中数学实例分析:平面几何辅助线画法!
平面几何是几何学学习中相对较为简单和基础的,但依旧是很多孩子的学习难题。

首先,他主要考验的是孩子对所有基础知识的掌握;其次是孩子的一个逻辑思维能力,这一点就体现在添加辅助线上。

那么,平面几何的辅助线到底要怎么画呢?首先,要观察和分析图形;其次,结合已知条件,需要明白通过添辅助线能出现哪些图形;最后,从中找出证明的关键。

只有真正弄清辅助线的桥梁作用,对题目多分析,才能添好辅助线。

今天,分享给大家的是平面几何辅助线怎么画以及不会画的原因,并结合实例来讲解。

总之,要学好平面几何还是得多练。

这里的多练,不是说让你盲目的去找题做,而是要有方法,有规律的去练习,见的题、做的题多了,再遇到时脑海中自然有一套应对的方法。

孩子的好成绩也离不开家长、老师的付出,且学习是一个循序渐进的过程,重在平常的积累。

希望各位同学能抓住暑假这个契机,成为新学期的黑马学霸!
想听中小学学习课程,咨询学习和教育问题。

平面几何辅助线的方法

平面几何辅助线的方法

平面几何辅助线的方法平面几何中,辅助线是指在解题过程中为了方便分析,辅助求解而引入的辅助线段、辅助点等。

常见的平面几何辅助线的方法包括:1. 过某点引直线或线段:在解决直线或线段相交、平行、垂直等问题时,可以通过引入过某一点的辅助线或线段,利用垂直关系或等角关系来求解。

例如,已知平面上直线AB与CD相交于点P,要证明直线AB与CD平行,可以引入线段AC和BD,利用等角关系,证明直线AB与线段CD平行,最终推出直线AB 与直线CD平行。

2. 过某线段中点引直线:在解决线段平分、线段比例等问题时,可以通过引入过线段中点的辅助线段或线段延长线,利用垂直关系或等角关系来求解。

例如,已知线段AB上有一点C,且AC:BC=1:2,要证明线段AB被点C平分,可以引入过点C的辅助线段AD和CE,利用等角关系,证明线段AB被点C平分,最终推出线段AB被点C平分。

3. 过某角的两边引直线:在解决角平分、角相等、角垂直等问题时,可以通过引入过角的两边的辅助直线或线段,利用垂直关系或等角关系来求解。

例如,已知角ABC,要证明角ABC被一条直线垂直平分,可以引入辅助线段AD和CE,利用等角关系和垂直关系,证明角ABC被直线DE垂直平分,最终推出角ABC 被一条直线垂直平分。

4. 引入垂直关系:在解决垂直关系问题时,可以通过引入垂直线段或垂直直线的辅助线段或线段延长线,来帮助求解。

例如,求解过一个点作与一条给定直线垂直的直线,可以通过引入过该点的辅助线段,选择一个任意点和该点连线,然后通过求解垂直关系来确定垂直直线的位置。

5. 引入平行关系:在解决平行关系问题时,可以通过引入平行线段或平行直线的辅助线段或线段延长线,来帮助求解。

例如,要证明两条直线平行,可以通过引入两条直线的平行线段或平行直线,然后通过运用平行关系来证明最初要证明的两条直线平行。

在实际应用中,选择合适的辅助线方法可以大大简化解题步骤,提高解题效率。

初中辅助线的正确使用方法

初中辅助线的正确使用方法

初中辅助线的正确使用方法
初中辅助线是一种在数学几何中常用的辅助工具,它可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。

以下是初中辅助线的正确使用方法:
1. 初中辅助线的目的是为了辅助解题,提供更直观的几何图形。

在解题时,我们可以根据具体的问题选择合适的辅助线。

2. 辅助线的选择应该基于问题的要求和几何图形的特点。

常见的辅助线包括垂直线、平行线、角平分线、中线、高线等。

3. 在选择辅助线时,需要注意保持几何图形的对称性和相似性。

辅助线的引入应该使问题更简单,而不是增加复杂度。

4. 辅助线的引入需要合理的解释和证明。

在解题过程中,我们应该清晰地说明辅助线的作用和推理过程,以确保解答的准确性。

5. 在使用辅助线后,我们可以利用几何图形的性质和关系来推导结论。

需要注意的是,辅助线只是解题的辅助工具,最终的解题思路和推导过程仍然需要清晰和合理。

总之,初中辅助线是解决几何问题的有用工具,正确地使用它可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。

但是,在使用辅助线时,我们需要根据具体问题和几何
图形的特点进行选择,并合理地解释和推导解答过程。

例谈初中平面几何中的辅助线1

例谈初中平面几何中的辅助线1

例谈初中平面几何中的辅助线平面几何是初中数学的重要部分,它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用,又是继续学习数学和其他学科的基础,但对不少初中学生来说,平面几何证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策,这就验证了:“几何几何角角,学生难学,老师难教”。

解数学题的一个基本思路是将复杂的问题转化为较为熟悉的或已经掌握的问题,不少平面几何问题都需要进行这种转化,而添加适当的辅助线就是实现这种转化的一种重要手段。

在此针对学生在平面几何学习中对于添加辅助线的问题与错误,分析原因并总结规律,帮助学生进行归纳:如何有效地添加辅助线来实现问题的转化,从而提高学生的学习能力。

有关辅助线问题,是平面几何教学的难点,不少初中生感到平面几何比较难学,特别是遇到需要添加辅助线的习题,有时会感到无从下手。

在初中几何题中,经常会用到辅助线,尽管教师把辅助线的一般规律讲的淋漓尽致,学生做的时候还会卡住。

那么,究竟怎样进行辅助线的教学?认识规律,掌握方法很重要,为此,对初中几何中添加辅助线的思路从以下几个方面进行了总结,希望帮助学生有效地学习。

平面几何中,最常见的辅助线添作方式有如下几种:一、连结两点:这是最常用、最简单、最基本也是最广泛的辅助线添作,无论在三角形、四边形、多边形、圆都经常运用。

连结对角线,可将四边形、多边形转化为三角形,再利用三角形的性质求解,这是多边形最常见的辅助线添作,例如: D C图(1),在直角梯形中,已知AB //CD,AD⊥DC,AB=BC, E且AE⊥BC。

求证:AD=AE(连结AC、,运用三角形全等判定定理及"等边对等角"求证)。

在与圆有关的三角形全等或相 A B似的判定也常用。

如图(2),已知:AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切于点A,CE∥AB交⊙O于D、E,求证:EB×EB = CD×AB。

解题中连结AD、AE,BE利用弦切角定理,平行弦性质,直线性质,三角形相似判定定理求解。

浅谈平面几何及平面几何辅助线的教学

浅谈平面几何及平面几何辅助线的教学
三分析:在联想的基础上再进行“执果索因”的分析,比较容易找到解题和证题的途径, 若在探索解题路径的过程中遇到了过不去的鸿沟就需要搭座桥梁------辅助线,帮我们过 去!
四书写:用综合法来书写也就是从“已知”出发朝“结论”来写,注意推理过程要求步 步有据,不能杜撰。大的做题的方法有了,学生们解答几何题的能力得到了大的提升,但是 新的问题又出现了,遇到作辅助线的题目很难想到辅助线如何作如何想,书店几乎买不到这
所以 EF PHG
即 EF PBC
例 3(99 年天津市初二数学竞赛试题)已知 CB=AC, C=90 , A 的平分线 AD 交 BC 于
D,过 B 作 BE 垂直 AD 于 E.
求证: BE 1 AD 2
分析:欲证 BE 1 AD ,只需证明 AD=2BE 即可,需要通过作辅助线作出 2BE,考虑到 AE 是 2
A
Q
B
D
C
证明:在 AC 上截取 AQ=AB,连接 DQ
Q BAD QAD ,AD=AD
△ADB △ADQ
AQD B 2C DQ DB Q AQD QDC C 2C QDC C QDC C QD QC QC BD AC AQ QC AB BD
A
K F
D E
B
H
G
C
例 2:求证:自三角形的顶点引线垂直于两底角的平分线,则两垂足的连线必平行于底边。
延长交 BC 于 G,H,就能发现 E,F 分别为 AG,AH 的中点,从而证得 EF PBC
证明:延长 AE,AF 交 BC 于 G,H
因为 ABE= GBE, AEB= GEB=90 ,BE=BE 所以VBEA VBEG
所以 AE=EG 同理可证 AF=FH 所以 EF 是△AHG 的中位线

初中平面几何添加辅助线教学研究

初中平面几何添加辅助线教学研究

初中平面几何添加辅助线教学研究
初中平面几何添加辅助线教学研究可以从以下几个方面入手:
1. 教授基本辅助线添加方法:首先需要教授学生一些基本的辅助线添加方法,例如倍长中线、构造直角三角形等。

这些方法是最基本的,可以帮助学生更好地理解辅助线添加的思路和方法。

2. 培养学生观察能力:在平面几何的教学中,需要培养学生的观察能力,让他们能够敏锐地发现图形中隐藏的线索,从而更好地添加辅助线。

3. 加强几何语言训练:几何语言是平面几何的基础,因此需要加强几何语言的训练,让学生能够熟练地使用几何语言进行推理和表达。

这不仅有助于提高学生的几何思维能力,也有助于提高他们的几何解题能力。

4. 练习典型题目:在辅助线的教学中,需要选取一些典型的题目,让学生进行练习和思考。

这些题目可以是常见的几何问题,也可以是某些竞赛中的题目,让学生通过练习和思考,逐渐掌握辅助线添加的技巧和方法。

5. 鼓励学生交流讨论:在辅助线的教学中,需要鼓励学生进行交流和讨论。

通过交流和讨论,学生可以相互学习、相互启发,从而更好地掌握辅助线添加的技巧和方法。

需要注意的是,辅助线的教学需要结合具体题目进行,不
能简单地教授一些抽象的方法。

同时,在教学中需要充分考虑学生的认知水平和接受能力,采用合适的教学方法,让学生逐渐掌握辅助线添加的技巧和方法。

浅谈初中平面几何几种常见添加辅助线的方法-上海北初级中学

浅谈初中平面几何几种常见添加辅助线的方法-上海北初级中学

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法当今社会,数学作为一门基础学科,发挥着越来越来越重要的作用,学好数学尤为重要。

作为新世纪的教师,教学要坚持“以人为本,以学生的发展为本”,要能真正展现学生是数学学习的主人,使学生积极地参与教学活动,探索知识的形成过程,学得并掌握获取知识的方法和途径,使思维的能力在探索过程不断升华和发展。

因此我在教学过程中,相应地采用各种教学方法去启发和促进他们的求知和探索欲,引导学生归纳知识点之间的内在联系,总结解题规律,使数学的学习更有时效性。

初中数学包括代数与平面几何两大部分。

代数部分的学习,一般都有公式可套,题型较为集中,学生学习起来比较轻松。

而平面几何是一门提高学生逻辑思维和分析能力的学科。

对于大部分学生来说学习起来比较困难。

往往学生最为头痛的就是如何在这些错综复杂的几何图形去添加合适的辅助线,其实添加辅助线也是有规律可循,教师在教学的过程中,不但要引导学生对知识进行系统的整理,同时也要引导学生对教材(包括例、习题)深入挖掘、提炼总结其思想实质,揭示归纳方法因素,以其更好地发挥思想方法的整体功效,从而提高解题技巧。

这里介绍几种常见的添加辅助线的方法。

一、过分点添平行线相似形是初中数学的重要内容,由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜,我们在学习相似形内容时,不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形,还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。

这里,笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中,发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法,现说明如下:在证明一些线段成比例的题型中,若图形中未出现相似三角形中的基本题型:A字型与X型,通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。

而且找分点还是有规律可循。

通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线,把几条热线的交点称为热点。

那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。

浅谈如何发挥辅助线在平面几何中的作用

浅谈如何发挥辅助线在平面几何中的作用

提倡的是参与、探索、思考、实践的学习方式,真正体现了创新课
程理念所倡导的自主、探究、合作、交流的学习方式. 由于活动课形式丰富多样,学生喜欢,乐于参与,所以学生 始终是在愉快中接受教育,这也正符合素质教育的要求.在活 动中,既培养学生认识问题、分析问题、综合评价问题的能力,又 培养了学生们语言表达能力、组织能力和创造能力. 2009--2010学年第二学期时,我接到通知要开一节市公开 课,按照进度应该在七下第九章“从面积到乘法公式”的章尾, 或第十一章“图形的全等”章头(第十章“二元一次方程组”我 校已在第一学期上完了).经过慎重考虑,决定大胆创新,挑战 活动课. 教学内容:苏科版七下教材P。。的数学活动内容. 课题:整式乘法及因式分解与拼图
格的纸片,如图1,我将全班学生吲}—爿
分成了三大组,第一大组的每个L纠l
学生做A类彩色纸片10个,第二 大组的每个学生做B类彩色纸片 lo个,第三大组的每个学生做c
图】
课前准备:1.规定好三.她量得客厅的长为(1la +76),宽为(9a+46),她该分别买这三种地砖多少块呢?材料 买回后装修工人又该如何铺设呢? (二)建构活动
[江苏省泰州市海军中学(225300)]
一节数学活动课的教学设计
◇叶小红
数学活动课是指在教师的指导下,通过学生自己活动,以 获得直接经验和培养实践能力的课程.它可以促进学生兴趣、 个性、特长等自主、和谐发展,从而全面提高学生的数学素质,它 上三类颜色差异较大的纸片各10个,装好25个信封. 2.分好小组:每2个学生一组,效果较佳. 3.收集小磁铁,以便到时把图形展现在黑板上. 一、教学目标 知识目标:1.经历从具体问题抽象出数学问题一一建立模 型一一综合运用已有知识解决问题的过程,获得一些研究问题 与合作交流的方法及经验. 2.用代数方法解决几何问题,体验数形结合的思想.

初中平面几何解题中的辅助线应用探讨

初中平面几何解题中的辅助线应用探讨

初中平面几何解题中的辅助线应用探讨发布时间:2022-11-25T18:30:12.613Z 来源:《中国教师》2022年11月作者:张彩兰[导读] 在初中数学教学中,平面几何问题是比较重要的内容,如果学生在学习中如果不能掌握正确的学习方法,那么很难正确掌握平面几何的知识。

而将辅助线运用到平面几何解题中,能够更好地向学生展示线段、图形间关系,进而使得学生更好的掌握平面几何知识。

所以初中数学教学中,应结合平面几何知识的特点,有效的将辅助线技巧教授给学生,使得学生能够在辅助线知识的帮助下更好的解答平面几何问题,从而进一步积累相关知识和技巧,为增强学生综合学习水平提供保障。

张彩兰格尔木市第十一中学【摘要】在初中数学教学中,平面几何问题是比较重要的内容,如果学生在学习中如果不能掌握正确的学习方法,那么很难正确掌握平面几何的知识。

而将辅助线运用到平面几何解题中,能够更好地向学生展示线段、图形间关系,进而使得学生更好的掌握平面几何知识。

所以初中数学教学中,应结合平面几何知识的特点,有效的将辅助线技巧教授给学生,使得学生能够在辅助线知识的帮助下更好的解答平面几何问题,从而进一步积累相关知识和技巧,为增强学生综合学习水平提供保障。

【关键词】初中;平面几何;解题;辅助线;中图分类号:G688.2 文献标识码:A 文章编号:ISSN1672-2051(2022)11-164-02辅助线属于几何学中有效解答较难几何图形问题的辅助性知识,以原图为基础,另作一有价值的直线或线段,其能够在解题中创造一个条件,并构成某种图形,从而更为简便的解决几何问题。

可以说辅助线属于条件、结论间的关键纽带,更是平面几何中重难点知识。

因此,在初中平面几何教学中,教师应注重培养学生掌握辅助线知识的能力,并引导学生借助辅助线来解决平面几何问题,以此增强学生思维能力,为促进中学生稳定发展提供坚实基础。

一、辅助线作用分析(一)具有纽带作用在几何题的证明中,其重点就在于要找到已知条件、求证结论间关系,在其中建立辅助线可以为解题构成一条纽带,使得题干在辅助线的作用下连接已知条件以及求证结论,进而明确其关系,并针对结论中几何量、图形进行过渡分析,以此明确解题的方向。

辅助线在初中几何解题中的应用与技巧

辅助线在初中几何解题中的应用与技巧

辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中几何是学生学习数学中的重要一部分,几何知识广泛应用于生活和科学技术中,因此掌握几何知识对学生来说非常重要。

在几何学习中,辅助线是一个非常有用的解题工具,能够帮助学生更好地理解和解决问题。

本文将讨论辅助线在初中几何解题中的应用与技巧。

一、什么是辅助线辅助线是在几何图形中,为了方便解题而临时添加的直线。

添加辅助线的目的是为了简化问题,使原先复杂的几何图形变得更易解。

通过添加辅助线,可以更清晰地看清关键关系,从而更容易得到问题的解答。

1. 求证问题在求证问题中,经常会遇到需要使用辅助线来简化问题。

证明两个三角形全等,或证明两个角相等等问题,添加合适的辅助线可以使问题更加直观、清晰,更容易得到证明过程。

2. 求解长度或面积问题在求解长度或面积问题中,添加辅助线可以帮助学生更好地理清问题结构,从而更容易得到问题的解答。

求三角形面积时,可以通过添加高作为辅助线,从而简化问题,使问题更容易解决。

在求解角度问题中,经常需要使用辅助线来辅助推导出关键角度的大小。

一般情况下,添加辅助线可以使问题简化,更容易得到解答。

通过以上例子,可以看出辅助线在初中几何解题中具有非常重要的作用。

添加适当的辅助线,可以使问题更加清晰、直观,更容易得到解答。

三、辅助线的添加技巧1. 尽量选择简单的线在添加辅助线时,应尽量选择简单的线。

过于复杂或难以理解的辅助线可能会使问题变得更加复杂,得不偿失。

2. 考虑几何关系在添加辅助线时,需要考虑几何图形的关系,选择能够帮助理清关键关系的辅助线。

这样可以使问题更加直观和清晰。

3. 熟练掌握基本几何知识熟练掌握基本几何知识对于正确添加辅助线非常重要。

只有对基本几何知识掌握得很好,才能根据几何图形的特点和规律选择正确的辅助线。

四、辅助线解题技巧与方法1. 观察几何图形的特点和规律在解决几何问题时,首先要观察几何图形的特点和规律。

只有明确了几何图形的特点和规律,才能更好地选择添加适当的辅助线。

辅助线在初中几何解题中的应用与技巧

辅助线在初中几何解题中的应用与技巧

辅助线在初中几何解题中的应用与技巧初中数学中的几何学是一个十分重要的学科,而辅助线在初中几何解题中起到了至关重要的作用。

辅助线的应用可以使得原本复杂的几何问题变得简单直观,因此熟练的掌握辅助线的技巧对于初中生来说是至关重要的。

本文将从辅助线的基本概念开始,结合具体的例题来介绍辅助线在初中几何解题中的应用与技巧。

一、辅助线的基本概念1.1 辅助线的定义在几何学中,辅助线是指为求解某一几何问题而人为添加的一条线。

辅助线的作用是将原本复杂的图形分割成简单的几何形状,使得求解问题变得更加直观和容易。

根据具体的几何问题,辅助线可以分为垂线、平行线、角平分线等不同类型。

选择合适的辅助线种类是解题的关键之一。

辅助线的作用主要有两点:一是简化几何问题,将原本复杂的问题转化为简单直观的几何图形或是基本的几何定理;二是帮助我们找到一些隐含的几何关系,从而能够更好地解决问题。

在解决与三角形相关的几何问题中,辅助线的应用尤为常见。

对于某一题目中的三角形,可能通过引入高、中线、角平分线等辅助线,将原本复杂的三角形问题转化为熟悉的直角三角形或等腰三角形问题,从而更容易求解。

举例:已知△ABC中AB=AC,D是BC的中点,连接AD,则△ABD≌△ACD。

在这个例子中,通过引入辅助线AD,将△ABC分割成两个等腰三角形△ABD和△ACD,从而得到△ABD≌△ACD。

这个例子充分展示了辅助线的作用,通过引入辅助线将原本复杂的问题转化为简单的几何关系。

2.2 四边形的辅助线对于四边形相关的几何问题,同样可以通过引入辅助线来简化问题。

举例:如图所示,ABCD是一个平行四边形,E为AD的中点,F为BC的中点,连接EF。

证明:EF=AB。

在这个例子中,通过引入辅助线EF,将原本的平行四边形问题转化为三角形问题,从而可以较容易地证明EF=AB。

在解决与圆相关的几何问题中,辅助线同样扮演着重要的角色。

举例:已知AB是圆O的直径,M为圆上一点,连接AM、BM,过M点作OH垂直AB于H,则证明:AM=BM。

浅谈初中平面几何常见辅助线的添法

浅谈初中平面几何常见辅助线的添法

· 155 ·读写算数学教育研究2012年 第57期在解几何证明题或计算题时,常由于条件不够,而在琢磨证明途径中遇到了障碍,这时就需要添一些辅助线补上原来的不足,分析才能进行下去,直到把求请和已知完全沟通,因此添辅助线要经过分析才添,分析到了,添什么辅助线就自然清楚了,一定不要乱添,搞乱图开,要做到这一点应该弄清楚辅助线的两大作用。

一、辅助线能把图形中分散的元素集中起来1、利用平移、迁线、迁角是集中元素常用的方法,证明三角形内角和定理用的就是这个方法(如下图)平移梯形的一条腰,可以把梯形的两腰,两底和两底的差集中到一个三角形里去,平移梯形的一条对角线,可以把梯形的两条对角线和两底的和集中到一个三角形里去(如下图)2、利用翻折或旋转能把整个三角形搬到合适的位置,从而集中分散的,简化复杂的结论,构造出全等的三角形。

例1 如图,△ABC 中,∠A 是直角,AB=AC ,BD 是∠B 的平分线,BD 交AC 于D 点。

求证:AB+AD=BC 分析:由于BD 是∠B 的平分线,只要把角平分线一侧的三角形翻到另一侧,就会成为相互对称的两个全等三角形,因此把△ABC 沿着BD 翻折,AB 就搬到了DE ;证AB+AD=BC 就变成证BE+DE=BC ,只要证DE=EC 就行了。

由∠A 是直角,AB=AC ,可得∠C 45°,因此DE=EC ,证明过程略。

例2 正方形ABCD 中,∠EAF 45°,AH ⊥EF.求证:AH=AD分析:如果要证△AHF 和△ADF 全等,直接证出AH=AD 是很困难的,要是注意到△ABE 绕A 点在平面内转动,使AB 和AD 重合,△ABE 就搬到了△ADE`,∠1+∠2=45°便成了∠ +∠2 ∠E ′,条件集中了,AE=A E ′、AF=AF ,∴△AF E ′和△AFE ,AD 和AH 是全等三角形对应边上了高,显然也可证它们相等,证明过程略。

谈谈平面几何中的辅助线

谈谈平面几何中的辅助线

谈谈平面几何中的辅助线解证几何问题,往往需要在图中另外添加一些线,通常称为辅助线.在图中一般画为虚线.常见的辅助线不外直线、线段、射线、圆或圆弧等等.(一)为什么要添线?解几何题是从题设条件出发,运用正确的逻辑推理,得到题断的结果.我们碰到的几何题有的并非一定要添线,有些则需要添线.为什么有的几何题一定要添线呢?我们还是从具体例题分析谈起.例1 △ABC中,AC>AB,在AC上取一点D,使CD=AB,E为AD 中点,F为BC中点.连FE交BA延长线于G.求证AE=AG.分析要证AE=AC.只须证∠1=∠2,问题的关键在于如何由AB =CD等题设来证得∠1=∠2.由于AB、CD位置分散,它们与∠1、∠2的联系不易直接观察到.因此,必须设法添线使它们由分散状态相对集中,使它们之间的联系由隐蔽变为明显.为此,连结BD,取BD中点0.联OE、OF.这样就将∠1“搬”到了∠3、∠2“搬”到了∠4.AB、CD各以其一半的面目“搬”到了OE和OF.于是就把已知、求证中有关的元素相对地集中在一个△OEF中了.容易见到,只要证得∠3=∠4,问题即可迎刃而解.证明(略).例2 在△ABC中,∠B=2∠C,求证b2=c2+ac分析要证b2=c2+ac,只须证b2=c(a+c)只须证b∶c=(a+c)∶b即只须证b、c、(a+c)、b分别为一对相似三角形的对应边.这对三角形要满足①以b为公共边,②其中有一个三角形要有一边为a+c.为此延长AB至D,使BD=BC,这时AD=a+c.连结DC.要证b∶c=(a+c)∶b只须证△ABC~△ADC,由于∠A为这两个三角形的公用角,只须条件∠ACB=∠D.也即只须2∠ACB=∠ABC.这正是题设所给出的我们通过添线沟通了题设与题断之间的逻辑通路.大家不难写出本题的证明.(略)上述诸例表明,解证几何问题,就是由已知出发,用形式逻辑的推理与量的计算,来探求新的、未知的结果.一句话,就是要创造条件实现从已知向结论的转化.实现这一转化,要求我们依据具体问题具体分析,而添设辅助线,正是我们创造的转化条件的一部分,是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁.添设辅助线的总目的在于沟通解题思路.创设由已知条件向所求结论过渡的条件.其作用(1)使复杂的问题化为我们所熟悉或早已掌握、解决的问题,应有如梯形中位线定理证明中通过添线把问题转化为三角形中位线定理;(2)使图形中隐蔽的关系显现出来,(如例2,例3)(3)使不直接联系的元素发生联系.(如例1)添设辅助线既不是随心所欲的胡添乱画,也不可生硬地机械照搬.而是随着解题思路的展开,当碰到某些条件不能直接与结论发生联系时,为发掘、创设这些条件联系的途径,来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线.这正是理解添设辅助线方法的精髓.练习一对下述各题分析解题思路,决定添线方法,从中体会添线的目的与作用.1.△ABC中,AB为高,D为垂足,∠B=2∠C,求证AB+BD=DC.2.△ABC中,∠A=60°,∠B的平分线BD与∠C的平分线CE相交于O,求证OD=OE.3.四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠ACB=50°,求∠BDC的度数.4.△ABC中,AC=BC,∠C=20°,作∠ABD=70°,且BD交AC 于D.求证CD=AB.(二)添线的原则原则一化繁为简添设辅助线有助于①把复杂的图形分解成简单的图形;②把复杂问题分割为若干个简单问题;③把不规则图形转化为规则图形.无论添线怎样复杂,仔细分析,都是为了把某方面的“繁”化为“简”,从而以“简”来驾驭“繁”.例4 如图4,已知凸六边形ABCDEF,对角线BF、AC、BD、CE、DF、EA的中点分别是A1,B1,C1,D1,E1,F1.若A1B1C1D1E1F1也是一个凸六边形,求证A1B1C1D1E1F1面积恰为ABCDEF分析 容易发现,小六边形的对角线,平行且等于大六边形相应的分为两个四边形,连A 1D 1把小六边形也分为两个四边形.四边形A 1D 1E 1F 1面积=A 1E 1×D 1F 1sin α1由于两对边对应平行的角α=α1,这样,立即可得出结论.本题连AD ,A 1D 1把六边形面积计算转化为两个四边形面积计算问题,这样达到化繁为简的目的.例5 在△ABC 中,E 是AC 中点,D 是BC 边一点.若BC=1,∠ABC =60°,∠BAC =100°,∠CED=80°.求△ABC 的面积与二倍的△CDE 面积之和.分析 设K=S △ABC +2S △CDE .由于∠BCA=20°,∠EDC =80°,∴ CE=CD .直接计算两个三角形的面积很困难,要碰到求特殊角的三角函数值.但如果注意到∠ABC=60°这个条件,把△ABC 复原为一个边长为1的正三角形.为此,延长BA 到G ,使BG=BC=1.连CG ,在AG 上取F 点,使BA=GF .连CF ,则易知△ABC ≌△FGC ,且AC=CF ,∠ACF=20°.于是△ACF ~△CDE ,但CA=2CE ,∴ S △ACF =4S △CDE ,S △BCG =2△ABC 面积+4△CDE 面积,此题添线后从表面看使图形变得复杂了,但实质上则使不规则图形转化为规则的正三角形,达到化繁为简的目的.同时也使我们捕捉到了解答本题的途径.原则二 相对集中添设辅助线常常要将已知和未知中的有关元素集中在同一个三角形中或集中到两个相关的(全等、两对边对应相等、相似)的三角形中.只有元素相对集中,才便于联系与比较,才能充分应用有关的几何定理例6 在△ABC中,经过BC中点M,有垂直相交于M的两条直线,它们与AB、AC分别交于D、E.求证BD+CE>DE.分析要证BD+CE>DE.需要设法把这三条线段集中到同一个三角形中,为此,由M是BC中点,DM⊥EM,使我们联想到不妨用轴对称“翻折”的方法.在DM的延长线上取D',使MD'=MD,连ED',CD'.易证ED'=DE,CD'=BD.最终把BD、DE、CE三条线段以CD'、ED'、CE的“身份”集中到了△ECD'中,而使问题获证.原则三作图构造已知条件、求证结论中出现线段、角的和差倍分,可在图形中把它们的关系具体构造出来.只要构造得当,往往有利于对问题的探索.例7 △ABC中,AD为∠A的平分线.若AB+BD=m,AC-CD=n.求AD=?分析条件中出现AB+BD、AC-CD,不妨在图中具体作图构造出来.为此,延长AB至E,使BE=BD.则AE=AB+BD=m,在AC上取点F,使CF=CD,则AF=AC-CD=n.连ED、DF,由∠1=∠2,容易设想,可否通过△AED与△ADF相似来计算AD.为此尚需寻求另一对对应角相等.比如,我们不妨寻求∠E与∠ADF的关系.由以上分折,易由△AED~△ADF,得出AD2=nm.原则四显现特殊性通过联结辅助线,在图形中常常可造出特殊角、特殊线、特殊点或图形的某种特殊性质.例9 过正方形ABCD的顶点A作直线l//对角线BD,以B为中心BD为半径画弧交l于E(如图9),连BE交AD于F.求证DE=DF.分析要证DE=DF.只须证∠1=∠2.但试图证明∠1=∠2往往会周旋不止而达不到目的.愿因在于隐藏在题中的条件还未仔细挖掘.其所以马上得出∠HEB=30°,∠EBD=30°,∠2=∠EBD+∠ADB=30°+45=75°,所以∠1=∠2,问题迎刃而解.练习二通过以下各题体会各种添线原则.1.四边形ABCD的面积为1,M为AD的中点,N为BC的中点,的面积.2.P为正方形ABCD内一点,且PA=1,PB=5,PC=7.求证A、P、C三点共线.3.△ABC中,∠C=2∠B,求证AB<2AC.4.△ABC中,∠C=n∠B.(其中n为大于2的自然数)求证AB<nAC.5.不等边△ABC中,最长的高线AD等于中线BE,求证∠B<60°.6.矩阵ABCD中,AB=2AD.以A为中心AB为半径画弧交DC于E,连EB.求∠EBC的度数.7.直角梯形ABCD中,P为垂直于底的腰BC上一点.AP=PD,∠APB=75°,∠DPC=45°,求证BC=AB.(三)添线的手段通过什么手段来实现上述原则?添设辅助线,从整体看,可以理解把图形的一部分变换到另外的位置,以此来实现条件和结论的联系.这些变换很多,常用的是平行、对称、旋转,线段等比及等积等等.其中,平移、对称、旋转是合同变换,它不改变线段的长度与角的大小;而相似变换,只保留线段间的比例关系,而线段本身的大小要改变;等积变形,只是图形在保持面积不变情况下的形变.此外圆中弦的一侧所张的圆周角均相等,可以看成一个角顶点沿圆弧滑动,角的两边通过弦的两个端点的运动,这些都是很有用的变化手段.下面举例说明这些变换在添线中的应用1.平移常常通过特殊点添平行线,或利用三角形中位线性质,造成平行线,使图中的某些线段保持平行,或使某些角平移到新的位置.例10 在四边形ABCD中,AB=DC,又E、F各是BC、AD的中点,延长BA、EF、CD,如图10(甲)交成∠1,∠2.求证∠1=∠2.图10(甲)中,利用平移使AB,CD,∠1,∠2集中在一个三角形中.图10(乙)中,利用中位线,使∠1,∠2集中,AB、CD以半长集中.(解略)例11 六边形ABCDEF中,AB//ED,BC//FE,CD//AF,对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD>0.求证该六边形的各角均相等.提示过A作AQ//BC,过C作CR//DE,过E作EP//FA交成图中的△PQR.PQ=BC-EF,QR=DE-AB.PR=AF-CD.故PQ=QR=PR.∴△PQR为正三角形.以下容易推证六边形各内角均为120°.本题是通过平移将元素相对集中.2.对称对称分轴对称与中心对称.等腰三角形的底边上的高线是对称轴.一个角的平分线是这个角的对称轴.而一条线段关于中点为中心对称.平行四边形为中心对称图形.一般地,一个图形要关于一条直线“翻折”过去,采用轴对称,一个图形绕一定点旋转180°,采用中心对称.例13 △ABC中,底边BC上的两点E、F把BC三等分.BM是AC上的中线,AE、AF分BM为x、y、z三部分(x>y>z),求x∶y∶z.解本题解法很多,我们利用中心对称求解.如图13,以M为中心作△ABC的中心对称图形,则E'C//AE,F'C//AF.由①,得x-y=z,③3.旋转在具有等边或特殊角的图形中,将图形一部分绕定点旋转一特殊角,往往使分散的条件相对集中,显示出若干新的联系.例14 △ABC中,AB=AC,D是形内一点,若∠ADB>∠ADC.求证∠DBC>∠DCB.分析将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC,到△ACE的位置.连DE,由∠ADB>∠ADC,得∠AEC>∠ADC.又∠ADE=∠AED,相减,得∠DEC>∠EDC.∴CD>CE.即CD>BD,从而∠DBC>∠DCB.例15 设M是等腰直角三角形ABC的腰AC的中点,AD⊥BM.交斜边BC于D.求证∠AMB=∠DMC.分析要证∠1=∠2,由于∠3与∠1互余,∠4与∠1互余,又AB=AC,设想把△ABM平移加旋转到△ACN.(∠4与∠3重合,M→N,A→C)问题变为要证∠2=∠5.这时,只要设法证△MDC≌△NDC即可.例16 若P为正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1:2:3.试证∠APB=135°.分析利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中,为简单起见不妨设PA=1,PB=2,PC=3.绕B点顺时针旋转90∴∠APE=90°.于是∠APB=135°.4.线段的等比移动.在一直线上二线段比的关系转移到另外直线上的二经段之比.例17 等腰梯形ABCD中,底角为67.5°,以它的一腰BC为直径作圆,交底AB于E,且恰与另一腰AD相切于M,求BE:AE的值.分析由OE=OB,得∠OEB=∠OBE=∠A,因此OE//AD.设想把AE:EB等比移动.方法有二.方法1 延长AD、BC相交于P,如图18(甲),∠P=45°,例18 O为△ABC内任一点,直线AO交BC于B,BO交AC于分析过A作BC的平行线,交CF延长线于C',交BE的延长线于B',形成二平行线被线束所截及三角形相似.所以至于等积变形,我们留在专题扩展讨论.有了以上一些基本原则与方法,我们不难对一些常见的辅助线分类研究,将某些类型题目的辅助线的经验系统化,这一工作留待大家去完成.练习三通过下列习题体会变换在添线中的作用.1.三角形ABC的边CB上有一点D,如果AC=3,AB=6,∠CAD=∠DAB=60°,求AD的长.(答2)2.在等边三角形内有一点P.连接P与各项点的三条线段的长为3、3.P为正方形ABCD内一点,P到A、B、D的距离分别为1、4.如图,AB=AC,∠APB,与∠APC为钝角且相等,求证BP=PC.5.等腰直角三角形ABC中,E、D分别为直角边BC、AC上的点,且CE=CD.过C、D分别作AE的垂线交斜边AC于L、K.求证B L=L K.提示利用平行截线把B L、L K等比移动到FC、CD,又相当于把△CAE旋转90°到△BFC、∠2=∠4=∠1,C L//BF//DK.由CD。

谈几何教学中的“辅助线”作法

谈几何教学中的“辅助线”作法

移线段 , 延长 D M至பைடு நூலகம்E, ME D 联结 使 = M,
A E E、 C,这 样 , △肋 肼 △C M- B E - D= -  ̄ C A 是 D E,M E的 中 垂 线 — D= E, A 在
△A C 中 ,E- C( C 即 AD一 < C E A E A 肋 A 。
此条 件 , 也看不 出 怎样证明 A / B/ C 若透过圆内切作外公切线 , D, 就容易发
证 △E C B △D B; 要 证 △E C C B
作 F / H交 B M/B D于 , 结 E 这 样 联 M,
就将两个角放在一个 三角形 中 ,得以证
明:
思 考 方 法 :要 证 D A = C B E・ B B ・ E这

等 式只 证 器 。 想 证 积 ,须 器= 故 到
角形 中 , 所以过 D点作 D /E F/ C交 B C的
延长线 于 F 连 E 这样 , C借助于等量 , D, E 线段与 B D就 在同一个三 角形 中。因为 F借助 于辅助线起到桥梁作用 。
助线 的作用 等各个角度去斟酌 ,选择添
画有效的辅助线 。
A C, 是 B 的 中 线 ,过 作 D = C B B AM C F E = D,所 以 2 =/F /1 = ,这样 ,
几何命 题的证明 ,大多数需要 添作
A Co
辅助线才能解决问题 。要使学生真正 掌 握辅 助线 的作 法 ,必须让学生 明确辅 助
矢 。辅助线的作用大致有以下几点 :

思 考 方
法 :证 明 边 边 ( 和 ) 于或 曰 之 小
,’
三 、 隐蔽 的条件显露 使

初中平面几何如何添加辅助线

初中平面几何如何添加辅助线

初中平面几何如何添加辅助线平面几何作为数学的一个重要分支,研究平面上的几何图形和它们之间的关系。

在解决平面几何问题时,添加辅助线是一种常用的方法,可以帮助我们更好地理解和解决问题。

接下来,我将详细介绍平面几何中添加辅助线的方法和技巧。

一、为了更好地理解问题和图形,我们可以根据题目的条件和要求,主动添加辅助线。

具体的添加方法有以下几种:1.平分辅助线:平分辅助线是一条将一些角度或线段平分为两等分的线。

我们可以将图形的一些角度平分,以便于进行计算或找出更多的几何性质。

平分辅助线对于证明问题的唯一性或求证一些等式非常有效。

2.垂直辅助线:垂直辅助线是指与目标线段或角度相交且垂直于之前的线段或角度的线。

它能够将原有的图形分割成更容易处理的几何图形,从而解决问题。

垂直辅助线常常用于求证两条线段垂直、平行四边形性质、直角三角形性质等问题。

3.平行辅助线:平行辅助线是指通过一个点与条线段平行的线。

通过添加平行辅助线,我们可以将原有的图形拆分为多个平行四边形或相似三角形,从而更好地理解和利用图形的对称性质、比例性质等。

平行辅助线常用于证明线段平行和求证两角相等或互补、邻补等等。

4.中垂线:中垂线是指连接一个线段的中点和它的垂直平分线的线段。

通过添加中垂线,我们可以找到线段的垂直平分线,并利用垂直平分线的性质,如:两条垂直平分线相交于线段中点、垂直平分线的垂足在线段上等等。

中垂线常用于证明一个角平分线和对边中点的连线垂直、线段中点和三角形顶点的连线互相垂直等问题。

以上是常用的几种添加辅助线的方法,根据问题的不同,我们可以选择不同的方法来添加辅助线,以期达到更好地解题目的效果。

二、在实际操作过程中,我们要根据具体的题目和要求,灵活运用添加辅助线的方法。

以下是一些关于添加辅助线的技巧和要点:1.选择合适的线段或角度:在选择辅助线时,我们应该尽量选择图形中已知的线段或角度,以便于减少未知的数量,简化问题。

2.利用对称性质:对称性质是几何图形中常见的性质,可用于添加辅助线。

辅助线在平面几何中的应用定稿

辅助线在平面几何中的应用定稿

辅助线在平面几何中的应用摘要:利用辅助线解题是几何证明中常用方法,也是平面几何教学的重点和难点.通过分析辅助线添加在平面几何中的作用,以三角形,四边形,圆为例研究了添加辅助线的几种常用方法,并指出了如何在教学中提高学生正确添加辅助线的能力.关键词:辅助线;作用;方法;能力辅助线是几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.它是在解证明题过程中,为解证明题创造某个条件,构成某种图形而添加的.辅助线是条件和结论间的纽带,而且也是平面几何教学的重点和难点.本文通过引导学生在分析图形特点的同时,让学生掌握恰当的添加辅助线的方法及每一类辅助线的作用,从而培养学生直觉思维能力,类比、归纳探索规律的能力以及运用数学思维法则的能力等,以实现提高学生正确添加辅助线的能力.1.辅助线的作用1.1纽带作用几何题证明的关键在于寻找已知条件和求证结论的联系,而构作辅助线在解题中起着一条纽带的作用.通过引辅助线,连接已知条件和求证结论的关系或者从结论中的一个几何量或图形过渡到另一个几何量或图形,从而确定证明题方向.例1.已知O和O'外切于点A,经过点A作直线BC和DE,BC交O于点B,交O'于点C,DE交O于点D,交于O'点E.求证:BD∥CE.分析:要证BD∥CE,只要证B C∠=∠,这是一对内错角.BD、CE不在同一个圆中,可作公切线AT,利用弦切角与圆周角的关系,容易证明B C∠=∠.这里公切线AT犹如纽带一样连接两圆的关系.1.2 聚散作用当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形聚集在一起时,通过引辅助线,把聚集在一起的已知条件或求证结论几何量或图形进行分解;反之,当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形比较分散时,通过引辅助线,将分散零乱的已知条件或求证结论的几何量或图形集中于一个几何图形中,使之共同发挥作用,达到解题目的.如平移、对称、旋转都是聚散己知条件或求证结论几何量或图形的常用手段.例2.已知AD 是ABC ∆的中线,AB AC >,求证:BAD CAD ∠<∠.分析:要证BAD CAD ∠<∠,这是一个比较两个角的大小.因此,应设法适当集中.延长AD 到E ,使DE AD =,连结BE (图2),集中条件于ABE 中.事实上,EDB ADC ∆≅∆,所以,CAD E ∠=∠,AC EB =;又因为AB AC >,所以AB EB >,因此E B A ∠>∠,故BAD CAD ∠<∠,这里利用辅助线把分散的条件集中在ABE ∆中,以便证明.1.3 挖掘作用在几何题的解题中,有些题目往往条件和结论之间的关系不够明确.为了找到解题的方法,必须揭示条件和结论之间的关系.这时,添加辅助线是一种可行的办法.通过引辅助线,挖掘证明题所需要的几何量或已知图形的性质,发现并使用图形中的隐含条件,为证明题的关键一步——使用定理创造条件.例3.已知1O 和2O 交于A 、B 两点,CD 过点A 分别交1O 和2O 于C 、D 点,且CD ∥12O O ,求证:CD =122O O分析:要证CD =122O O ,连结BC 、BD 可联想到12O O 是CBD ∆的中位线,可证BC 过点1O 、BD 过点2O ,连结AB (图4).事实上12O O AB ⊥,CD ∥12O O AB CD ∴⊥于A ,BC ∴过点1O 、BD 过点2O ,又因为11CO O B =,22DO O B =,故CD =122O O .这里连结公共弦AB ,目的是挖掘两圆相交的性质,即12O O AB ⊥这个隐含条件.2.添加辅助线的常用方法图2图3辅助线在平面几何证明题中的运用极其重要,若能掌握辅助线的添加方法,那么,解决此类题型就易如反掌了.下面以常用的几种图形为例,介绍几种添加辅助线的常用方法.2.1 三角形中的常用方法(1)有关中点问题,即中点为对称中心,常用旋转法添加辅助线.引中位线、中线,延长法,造成全等三角形或相似三角形.(2)有关角平分线问题,由于角是轴对称图形,对称轴就是角平分线,常用对称法添加辅助线.(3)有关高或垂线问题,以高或垂线为轴,作出轴对称图形、直角三角形,引斜边上的高、中线,与勾股定理、射影定理、面积元素联系.下面就以有关角平分线问题为例给予说明.例4:已知:AB AC >,AD 是A ∠角平分线,求证:BD DC >.思考1:“直觉”告之,求证似乎显然,却难在如何把BD 、DC 放到一个三角形中去.如果AC 沿角平分线AD 折叠,AC 会叠合到AB 上,点C 会落到AB 内部点E 处.使得AED ∆和ACD ∆关于角平分线AD 对称,再由对称性得AED ∆≅ACD ∆,CD =ED ,从而只需证BD DE >(图4(a )).思考2:类似地,将AB 沿AD 折叠必然重合到AC 上,且点B 将落到的延长线AC 上点F 处,同样可将“求证”化难为易(图4(b )).思考3:同时考虑上述两种折叠法,即只需在AB 上取点E ,在AC 的延长线上取点F ,看似作了较多辅助线(图4(c )),可要求证起来,却非常的简便.2.2 四边形中常用方法连结对角线,化为三角形问题,再用平移法、中连法、割补法.(1)在平行四边形中引高线转化为直角三角形问题,连对角线转化为三角形问题,这就是常用的中连法、平移法.(2)在梯形中连对角线,作高线,延长两腰组成三角形,化为三角形问题,或用平移法将梯形的腰或对角线平移,造成平行四边形和三角形问题,这就是割补法.下面以梯形为例给予说明.例5.己知四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD ,AC BD =.求证:AD BC =图4()c图4()a 图4()b分析:要证AD BC =,只需证明AD 、BC 为边的三角形ABD ∆和CAB ∆全等,因对角线AC 、BD 都在梯形内.因此,可分别过点D 、C 作DE AB ⊥、CF AB ⊥,垂足为点E 、F (图5(a )),容易证得AED BFC ∆≅∆.或过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于E (图5(b )).容易证得ABD CAB ∆≅∆.这里利用辅助线作高线或平移,将梯形转化为三角形问题,不难证得本题的结论.2.3 圆中常用方法圆是轴对称图形,所以常用对称法来解决有关圆的数学问题.(1)有关弦的问题,常作弦心距,有时也作出相应的半径、直径,再用垂径定理解决.(2)有关直径问题,由于直径所在的直线是圆的对称轴,所以用对称法,构作有用的辅助线,也常作直径上的圆周角.(3)有关直线与圆相切问题,常连结过切点的半径,得垂直,引过切点的弦,得弦切角,用弦切角定理.(4)有关两圆相交问题,连心线是对称轴,常用对称法,引公共弦、连心线.用两圆相交定量揭示隐含条件.(5)有关两圆相切问题,引过切点的公切线、连心线过切点的弦,用垂直、弦切角定理可连通两圆关系.下面以有关直线和圆相切为例给予说明.例6.已知:BC 与O 相切于点B ,CE 垂直直径AF 于点E ,求证:CD CB =分析一:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由己知AF 是直径.所以可连结FB (图6()a ),则90ABF ∠=.已知F ∠=90BDC ADE A ∠=∠=-∠故图5()a 图6()a 图6()b 图6()c 图6()d 图5()bBDC DBC ∠=∠;或利用E 、D 、B 、F 四点共圆证BDC DBC ∠=∠.分析二:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由已知BC 与O 相切于点B ,所以可连结OB (图6(b )).则90DBC OBA ∠=-∠,由90BDC ADE A ∠=∠=-∠,又因为O A O B =,所以D B A A ∠=∠.因此D B C B D∠=∠. 分析三:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由已知BC 与O 相切于点B ,所以可连结OB .AB 是弦,可过点O 作OG AB ⊥于点G (图6(c )),利用圆心角及垂径定理容易证得,F AOG ADE ∠=∠=∠,再由分析一即可证得.分析四:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由已知AF 是直径且BC 是O 的切线,所以可过点A 作O 的切线AG (联系弦切角)得BAG DBC ∠=∠(图6(d )),AF AG ⊥,又因为AF CE ⊥.所以CE ∥AG ,因此BAG BDC ∠=∠,故BDC DBC ∠=∠.2.4 直线形比例线段中常用方法在直线形比例线段中,引过所证比的分点或终点作平行线,引过已知比的分点或终点作平行线,或常用中间比.例7:已知ABC ∆中点D 是AC 上任一点,延长CB 至点E ,使BE =AD ,连接ED 交AB 于点F ,求证:EF :FD =AC :BC .思考:欲得“求证”,关键是正确添加辅助线,直观构成能用平行截割定理或相似形性质.经类比、归纳,可由如下两方面的分析得:分析一:过D 作DM ,使DM ∥AB (图7()a ),则有:EF :FD =EB :BM EF :FD =AC :BC ⇐ EB :BM =AD :BM ⇐已知AD :BM =AC :BC分析二:过D 作DN , 使DN ∥BC (图7()b ), 有:EF :FD =EB :DN ⇐∆EFB ∆DFNEF :FD =AC :BC ⇐ EB :DN =AD :DN ⇐已知 AD :DN =AC :BC ⇐∆ADN∆ACB 图7()a 图7()b最后,需要强调的,常用的一些添加辅助线的方法,如线段的平移,中位线、公切线的应用等都是基本的,理当熟悉,而且应该首先考虑使用. 当基本方法难于作出起到“桥梁”作用的辅助线时,最主要还是应靠学生自己在学习中不断摸索,积累,以致形成经验.另外,应注意添加辅助线时,往往不是一下子可以作出来的,应根据分析逐步完成,举一反三.总之,学会了辅助线的添加,利用一题多解添加辅助线,能提高学生分析,解决问题的能力,开阔学生的视野,启发学生多方面,多层次地思考问题.参考文献[1]陈锡志.帮你学作辅助线[J].中学生数理化(初一版),2004,(12).[2]尹恩余.圆中常见的辅助线的作法[J].才智,2008,(12):96.[3]陈鼎岗,罗丹锋.谈谈在几何证题中怎样添加辅助线[J].郴州师范高等专科学校学报,1997,(02).[4]高秀芳.几何证明中添加辅助线的途径[J].甘肃教育,2001,(09).[5]高绍强.解梯形问题常用辅助线[J].科技信息(科学教研),2008,(08):301.[6]李安民.浅谈用几何变换的方法引辅助线[J].运城学院学报1992-12-30.致谢本论文的研究工作是在冯娟老师的悉心指导下完成的,在我的整个论文写作期间,冯娟老师始终给予了我悉心的指导和帮助,在论文的写作过程中冯老师一直给予我极大的关注,对论文的选题、写作和修改都提出了很多建设性的意见。

浅谈平面几何中辅助线的作用

浅谈平面几何中辅助线的作用

编号学士学位论文浅谈平面几何中辅助线的作用学生姓名:学号:系部:数学系专业:数学与应用数学年级:指导教师:完成日期:2012 年月日中文摘要解证几何题离不开辅助线,辅助线作的好坏直接影响几何题证得过程的繁简,甚至决定着能否证出这道几何题。

那么应该如何添加辅助线?本文中主要介绍有角平分线,有中点,有垂线或垂直平分线,三角形,和圆问题中如何添加辅助线的方法.关键词:辅助线;角平分线;垂直平分线;三角形;圆.目录中文摘要 (1)引言 (3)1.与角平分线有关的辅助线 (3)2。

有中点时添加辅助线的方法 (5)3.垂直与垂直平分有关的辅助线 (6)4。

与三角形有关的辅助线 (8)5。

相似三角形中常用的辅助线 (8)6。

与圆有关的辅助线 (10)6。

1与圆的性质有关的辅助线为 (10)6。

2与切线有关的辅助线 (11)6.3与两圆有关的辅助线 (12)总结 (14)叁考文献 (15)致谢 (16)23引言几何题的证明除少数极简易者外,一般都需要添加辅助线。

辅助线的作法千变万化,是几何证明题中的难点,在几何证题中,能否正确的添加辅助线,是证题的关键,也是分析问题和解决问题能力的表现.我们要正确添加辅助线,需我们对图形作具体观察,分析,图形中各元素之间的关系从而找出它们内在的规律。

连通图形的位置关系和数量关系。

添加辅助线的目的是使隐蔽的条件显现出来,通过搭桥引线,沟通已知和未知的联系。

1。

与角平分线有关的辅助线1.在角两边上取相等的线段构造三角形全等证明题.过角平分线上一点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到就角两边距离相等去证明题.例1:如图1。

AD 是ABC ∆的中线,分别,,DE DF ,平分,ADB ADC ∠∠,连接EF .求证: EF BE CF <+证明:在中线AD 上取 DN BD DC == 连接,EN NF ,DE 平分ADB ∠,BDE NDE ∠=∠,BD DN =,DE DE =,BDE ∆≌NDE ∆,BE NE ∴=同理可证: CF NF =, 而 NEF ∆中有 NE NF EF +>EF BE CF ∴<+;2。

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方面的书籍,网上也很难查到!我一直想解决这个问题很久了,根据自己平时做几何题积累 的经验我总结出用动态的思想作辅助线好想也好掌握, 并在同事中做了一些推广收到不错的 效果,现在把它整理出来供大家参考
3.平面几何常见辅助线作法顺口溜
3.1 遇到一边有中线,只需将其一倍延
例题 1: ABC 的边 AB=6,AC=4,AD 是 BC 边上的中线,求 AD 的取值范围 解析:AD 是 BC 边上的中线,要直接求出 AD 的取值范围 A 是不可能的,可考虑延长 AD 至 E 使 DE=AD,连接 BE,则
BED CAD( SAS ) BE AC 4
Q AE 2 AD
在△ABE 中由三角形三边关系定理得:
AB-BE< AE<AB+BE 即 6-4<2AD<6+4,解得:1<AD<5
B
D
C
E
例题 2: AM 是△ABC 的中线,四边形 ABCDE,ACFG 都是正方形 求证:AM=
例 2: 求证: 自三角形的顶点引线垂直于两底角的平分线, 则两垂足的连线必平行于底边。 已知:在△ABC 中,BD 平分 ABC ,CK 平分 ACB , AE BD于E, AF CK于F
3
B H A
K F E
D
G
C
求证: EF P BC
分析: 题目中有角平分线和垂线的条件, 这就是我们想到以角平分线或垂线为轴把某个三角 形翻转 180 度, 制造出全等三角形, 利用全等三角形的性质来证题和解题, 因此如果把 AE,AF 延长交 BC 于 G,H,就能发现 E,F 分别为 AG,AH 的中点,从而证得 EF P BC 证明:延长 AE,AF 交 BC 于 G,H 因为 ABE= GBE, AEB= GEB=90 ,BE=BE 所以 VBEA VBEG 所以 AE=EG 同理可证 AF=FH 所以 EF 是△AHG 的中位线 所以 EF P HG 即 EF P BC 例 3(99 年天津市初二数学竞赛试题)已知 CB=AC, C=90 , A 的平分线 AD 交 BC 于 D,过 B 作 BE 垂直 AD 于 E.
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例 1(2012•盐城二模)阅读下列材料: 问题:如图 1,P 为正方形 ABCD 内一点,且 PA:PB:PC=1:2:3,求∠APB 的度数. 小娜同学的想法是: 不妨设 PA=1, PB=2, PC=3, 设法把 PA、 PB、 PC 相对集中, 于是他将△BCP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到△BAE(如图 2),然后连接 PE,问题得以解决. 请你回答:图 2 中∠APB 的度数为_____________ 请你参考小娜同学的思路,解决下列问题: 如图 3,P 是等边三角形 ABC 内一点,已知∠APB=115°,∠BPC=125°. (1)在图 3 中画出并指明以 PA、PB、PC 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹); (2)求出以 PA、PB、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于_______ .
6
(此题初二学生不要求掌握到初三学完相似形后就可以做了)例 2(2014•吉州区一模)问 题情境:如图 1,直角三角板 ABC 中,∠C=90°,AC=BC,将一个用足够长的细铁丝制作的 直角的顶点 D 放在直角三角板 ABC 的斜边 AB 上,再将该直角绕点 D 旋转,并使其两边分别 与三角板的 AC 边、BC 边交于 P、Q 两点. 问题探究: (1)在旋转过程中, ①如图 2,当 AD=BD 时,线段 DP、DQ 有何数量关系?并说明理由. ②如图 3,当 AD=2BD 时,线段 DP、DQ 有何数量关系?并说明理由. ③根据你对①、②的探究结果,试写出当 AD=nBD 时,DP、DQ 满足的数量关系为____ (直接写出结论,不必证明) (2)当 AD=BD 时,若 AB=20,连接 PQ,设△DPQ 的面积为 S,在旋转过程中,S 是否存在最 小值或最大值?若存在,求出最小值或最大值;若不存在,请说明理由.
分析:图 2 中,根据旋转的性质知△BCP≌△BAE.由全等三角形的对应边相等、等腰三角形 的判定推知△BPE 是等腰三角形,则∠BPE=∠BEP=45°;然后由全等三角形的对应边相等、 勾股定理证得∠APE=90°;最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°; (1)设法把 PA、PB、PC 相对集中,将△BCP 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△ACM,然后连接 PM,问题得以解决. (2)根据旋转的性质知∠PCM=60°,△BCP≌△ACM.然后根据全等三角形的对应边、对应 角相等,周角的定义以及三角形内角和定理来求以 PA、PB、PC 的长度为三边长的三角形的 各内角的度数.
1 DG 2
E
D
A
G
B
M
C
F
解析:欲证 AM=
1 DG 2
只需证明 DG=2AM 即可, 因为 AM 是 BC 边上的中线,可考虑把 AM 延长一倍,即:延长 AM 至 Q 使 MQ=AM,连接 QB,QC, 则四边形 ABQC 是平行四边形且 AQ=2AM,AC=BQ, QBA BAC 180 ,所以只需证明△ AQB △ DGA 即 可 , 由 四 边 形 ABCDE,ACFG 都 是 正 方 形 可 得 : DAB GAC 90 ,AB=AD,AC=AG 而 DAB GAC DAG BAC 360 , 故
1 AD 2 1 分析:欲证 BE AD ,只需证明 AD=2BE 即可,需要通过作辅助线作出 2BE,考虑到 AE 是 2 A 的平分线,很容易想到以 AE 为轴把△AEB 翻转 180 度,我们所需的辅助线就是把△AEB
求证: BE 翻转 180 度后所得的三角形画出来即可,自然会想到延长 BE,和 AC 相较于点 F,则△AEF 与 △AEB 全等,则 BF=2BE,问题转化为证明 AD=BF,只需证△ADC 与△BCF 全等即可 证明:延长 BE,与 AC 的延长线交于 F 因为 AEB= AEF,AE=AE, EAB= EAF, △AEB △AEF BE=EF Q F+ EAF= F+ CBF=90 EAF= CBF, ACD= BCF=90 ,AC=BC 从而有△ACD △BCF AD=BF=2BE
Q
DAG BAC 180 ,所以 QBA DAG ,所以△AQB △DGA
3.2:遇到垂线分角线,翻转全等来变换
在题目中有角平分线或者垂线的条件时候, 往往是以角平分线或者垂线为轴把某个三角
2
形沿着轴翻转 180 度之后,得到另外一个三角形,显然俩三角形全等,我们需要做的是适当 的做辅助线把翻转 180 度之后的三角形画出来, 制造出一对全等三角形, 使得分散条件集中 起,便于问题的解决。 例 1:如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线,求证:AC=AB+BD
1 绪论
平面几何教学始终存在两个瓶颈问题,一是不习惯从代数的训练基本功转向学习几何语 言用演绎方法来书写,另外拿道中等难度的几何题就无从下手,不知道先做再做什么,缺乏 正规训练。 二是遇到需要添加几何辅助线的题目不知道如何添加, 不会想, 只是盲目地实验, 运气好的话试出来了否则就是不会做,学习数学的积极性大受打击,对数学学习丧失信心, 产生畏难情绪。 看到这种情况我多年以来一直试图解决这个问题: 对于初学几何证明的同学, 我提倡他们用综合分析法来解决问题,效果良好。对于几何辅助线,我借助于教材中的几何 变换内容教给学生用动态的方式去想辅助线如何做, 想好后然后用规范的作图语言写出辅助 线,遇到什么条件该怎么想,我把它几何编制成顺口溜教给学生,容易记忆和运用,收到了 很好的效果。 为提升学生综合解平面几何题的能力我把平时的作法总结出来形成这篇文章以 供同行借鉴.
2 2 2
(1)如图 3,将△BCP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△ACM,然后连接 PM,△APM 即为所求, 即以 PA、PB、PC 的长度为三边长的一个三角形是△APM.以 PA、PB、PC 的长度为三边长的 一个三角形是△APM. (2)如图 3. ∵根据旋转的性质知∠PCM=60°,△BCP≌△ACM. ∴PC=CM,∠AMC=∠BPC=125°, ∴△PCM 是等边三角形, ∴∠MPC=∠PMC=60°,∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°. ∵∠APB=115°,∠BPC=125°,∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°, ∴∠APM=60°, ∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°. ∴以 PA、PB、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 故答案是:60°、65°、55°. 60°、65°、55°.
A
B
D
C
解析:按照传统的方法“截长补短法”是可以的,若按照题目中有角平分线这个条件,按照 本口诀的思路就是把△ADB 以 AD 为轴翻转 180 度,点 B 落在 AC 上,很自然想到的辅助线就 是 : 在 AC 上 截 取 AQ=AB, 连 接 DQ, 然 后 证 明 QC=BD 即 可 。
A Q
B
D
C
证明:在 AC 上D ,AD=AD
△ADB △ADQ
AQD B 2C DQ DB Q AQD QDC C 2C QDC C QDC C QD QC QC BD AC AQ QC AB BD
F C E D A
BE
1 AD 2
B
3.3:遇到边边若相等,旋转三角来变换
在解决几何问题时候有时会遇到有正方形, 菱形, 等边三角形, 等腰直角三角形的图形, 给我们提供了边相等的条件,根据做题的需要我们往往需要把某个三角形旋转适当的角度, 把一个三角形拼接的另外的一个位置,这样就把分散的条件给集中起来使得问题容易解决
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