3.4.6环形跑道问题
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解得：X=2.4 答：小明和爷爷首次相遇，相遇时间为2.4分钟
当然，我们也可以利用多次相遇公式甲总路程+乙总 路程=跑道周长*N来求相遇的时间。
2. 运动场一圈为400米，张森和丁烁一同参加学校运动会的长跑 比赛。已知丁烁然平均每分钟跑230米，张森每分钟跑150米。
（1）若两人从同一处同时同向起跑，问经过多长时间两人可以首 次相遇？
解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350x+250x=400
2 答：经过 3分钟甲、乙相遇。 2 解得：x= 3
变式1、 若两人同时反向出发，且两人相距100米。问经过
多少时间两人首次相遇？1.相遇问题——同时反向不同地.gsp
变式2、 若两人从同一处反向出发，且乙先跑1分钟。问
经过多少时间两人首次相遇？2.相遇问题——同地反向慢先跑.gsp
环形跑道问题——追及问题
理论依据 甲 乙
甲乙在同一地点出发，同向而行（甲快，乙慢），当甲追上乙时， 肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙） 甲总路程-乙总路程=跑道周长 这时，我们可以看做甲乙在同一地点出发，同向而行，当甲再次 追上乙时，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上时） 甲总路程-乙总路程=跑道周长+ 1圈周长 ……从而我们可以发现，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此， 追上的次数就等于多跑的圈数。 甲总路程-乙总路程=跑道周长*N
分类 一、环形跑道上的追及问题
同向而行，双方的速度不同（假设甲快，乙慢），甲追 上乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我们把这 种问题称为环形跑道上的追及问题
二、环形跑道上的相遇问题
背向而行，在跑道的某处相遇，以相同的方式在 跑道上多次与乙相遇。我们把这种问题称为环形 跑道上的相遇问题
环形跑道问题——相遇问题
（2）若两人同时同地
（2）同向
小王
同向出发，多长时间两 人首次相遇？
相等关系：
小王路程 + 400 = 叔叔路程
五、知识验证提升
1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道的周 长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷爷的速度 是200米/分钟，有天，小明心里在想要和爷爷赛跑。 （1）他们从同一地点同时同向起跑，当小明第三次 追上爷爷的时候，小明笑着对爷爷说：爷爷，我都 追上了你三次了，爷爷笑着说：我知道我们跑了多 长时间了！聪明的你，知道从起跑的时候算起，到 小明第三次追上爷爷后，一共用了多长时间吗？
2）顺速 – 逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速
变式1、 甲在后，乙在前，且两人相距100米。若两
人从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？
时同向不同地.gsp
1.追及问题——同
变式2、 甲在前，乙在后，且两人相距100米。若两
人从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？
同向不同地.gsp
2追及问题——同时
变式3、 两人从同一处同向出发，若乙先跑1分钟， 经过多少时间首次相遇？ 变式4、 两人从同一处同向出发，若甲先跑1分钟，
分析：圆形跑道中的规律：
(第1次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝1圈的长度 (第2次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝2圈的长度 (第3次相遇wk.baidu.com)快者跑的路程－慢者跑的路程＝3圈的长度 ………. (第n次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝n圈的长度
解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350x-250x=400 解得：x=4 答：经过4分钟甲、乙相遇。
变式3、 若两人从同一处反向出发，且甲先跑1分钟。问 经过多少时间两人首次相遇？3.相遇问题——同地反向快先跑.gsp
例2、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑
自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均 每分250m．两人从同一处同时同向出发，经过 多少时间首次相遇？
追及问题——同时同地同向.gsp
例1、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑
自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均
每分250m．两人从同一处同时反向出发，经过 多少时间首次相遇？
分析：圆形跑道中的规律：
(第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝1圈的长度 (第2次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝2圈的长度 (第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝3圈的长度 ………. (第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝n圈的长度
s甲 s乙 s总
一、追及问题的基本题型
1、不同地点同时出发 2、同地点不同时出发 二、追及问题的等量关系
1、追及时快者行驶的路程－慢者行驶的路 程＝相距的 路程 2、追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程 或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间
二、展示目标和任务
三、自主合作与交流
环 形 跑 道 问 题
3.4.6一元一次方程与实际问题 行程问题------环形跑道问题
陇川县第五中学 申光诺
一 ︑ 激 发 求 知 欲
运用方程解决实际问题的一般过程是什么？
1、审题：分析题意，找出题中的数量及 审 其关系； 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表 示（例如x）； 设
3、列方程：根据相等关系列出方程； 列 4、解方程：求出未知数的值； 解 5、检验：检查求得的值是否正确和符合 验 实际情形，并写出答案。
6、答：把所求的答案答出来。
答
用一元一次方程分析和 解决实际问题的基本过 程如下:
实际问题
抽象
数学问题
分析
实际问题答案
合理
已知量,未 知量,等量 关系
列出
解的合理性
验证
方程的解
求出
一元一次方程
一、相遇问题的基本题型
1、同时出发（两段） 2、不同时出发 （三段 ） 二、相遇问题的等量关系
s先 s甲 s乙 s总
3.追及问题——同地反向慢先跑.gsp
经过多少时间首次相遇？
4.追及问题——同地反向快先跑.gsp
四、成果展示，教师点拨
找等量关系的方法：
1.从题中的关键语句入手寻找等量关系。 2.利用某些基本公式寻找等量关系。 3.从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。 4.还可以借助图形、表格、线段图等分析较复杂问题 中的等量关系。
理论依据 甲 乙
甲乙在同一地点出发，背向而行（甲快，乙慢），当甲与乙第一 次相遇时，甲乙共同跑了一圈。由相遇问题，我们有 甲总路程+乙总路程=跑道周长 同样，我们可以把他们相遇的地点作为起点来看，第二次相遇的 时候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙总共跑了两圈，有： 甲总路程+乙总路程=跑道周长*2 ……从而我们可以发现，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈， 因此，相遇的次数就等于共同跑的圈数。 甲总路程+乙总路程=跑道周长*N
（2）若两人从同一处同向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时 间两人可以首次相遇？ （3）若两人从同一处同时反向起跑，问经过多长时间两人可以首 次相遇？ （4）若两人从同一处反向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时 间两人可以首次相遇？
2.小结： 行程问题包括相遇、追击和飞行、航行的速度问题 其基本关系是：路程=时间×速度 相遇问题的等量关系：甲行距离+乙行距离=总路程 追击问题的等量关系： 1）同时不同地 ： 慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离 2）同地不同时： 甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间 顺水逆水的问题的等量关系： 1）顺水的路程 = 逆水的路程
解：（1）设小明第三次追上爷爷时， 总共用的时间为X分钟
300X-200X=400×3
解得：X=12 答：小明第三次追上爷爷，总共用的时间为12分 钟
1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道 的周长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷 爷的速度是200米/分钟，有天，小明心里在想 要和爷爷赛跑。
例题
讲解
分
析
叔叔
【例1】小王、叔叔 在400米长的环形跑道 上练习跑步，小王每秒 跑5米，叔叔每秒跑7.5 米。 （1）若两人同时同地
（1）反向
小王
反向出发，多长时间两 人首次相遇？
相等关系：
小王路程 + 叔叔路程 = 400
例题
讲解
分
析
叔叔
【例1】小王、叔叔 在400米长的环形跑道 上练习跑步，小王每秒 跑4米，叔叔每秒跑 7.5米。
（2）这次比赛后，小明疑惑的问爷爷：爷爷，要 是我们向相反的方向跑，没有表，你能知道我们跑 了多长时间吗？爷爷笑着说：我们就按照平时跑的 速度，只要我知道我们相遇的次数，我就知道我们 能跑多少时间……你能帮小明解决这个疑惑么？
（2）解：假设第三次相遇，设小明与爷爷第 相遇的时间为X分钟
300X+200X=400×3
当然，我们也可以利用多次相遇公式甲总路程+乙总 路程=跑道周长*N来求相遇的时间。
2. 运动场一圈为400米，张森和丁烁一同参加学校运动会的长跑 比赛。已知丁烁然平均每分钟跑230米，张森每分钟跑150米。
（1）若两人从同一处同时同向起跑，问经过多长时间两人可以首 次相遇？
解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350x+250x=400
2 答：经过 3分钟甲、乙相遇。 2 解得：x= 3
变式1、 若两人同时反向出发，且两人相距100米。问经过
多少时间两人首次相遇？1.相遇问题——同时反向不同地.gsp
变式2、 若两人从同一处反向出发，且乙先跑1分钟。问
经过多少时间两人首次相遇？2.相遇问题——同地反向慢先跑.gsp
环形跑道问题——追及问题
理论依据 甲 乙
甲乙在同一地点出发，同向而行（甲快，乙慢），当甲追上乙时， 肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙） 甲总路程-乙总路程=跑道周长 这时，我们可以看做甲乙在同一地点出发，同向而行，当甲再次 追上乙时，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上时） 甲总路程-乙总路程=跑道周长+ 1圈周长 ……从而我们可以发现，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此， 追上的次数就等于多跑的圈数。 甲总路程-乙总路程=跑道周长*N
分类 一、环形跑道上的追及问题
同向而行，双方的速度不同（假设甲快，乙慢），甲追 上乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我们把这 种问题称为环形跑道上的追及问题
二、环形跑道上的相遇问题
背向而行，在跑道的某处相遇，以相同的方式在 跑道上多次与乙相遇。我们把这种问题称为环形 跑道上的相遇问题
环形跑道问题——相遇问题
（2）若两人同时同地
（2）同向
小王
同向出发，多长时间两 人首次相遇？
相等关系：
小王路程 + 400 = 叔叔路程
五、知识验证提升
1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道的周 长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷爷的速度 是200米/分钟，有天，小明心里在想要和爷爷赛跑。 （1）他们从同一地点同时同向起跑，当小明第三次 追上爷爷的时候，小明笑着对爷爷说：爷爷，我都 追上了你三次了，爷爷笑着说：我知道我们跑了多 长时间了！聪明的你，知道从起跑的时候算起，到 小明第三次追上爷爷后，一共用了多长时间吗？
2）顺速 – 逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速
变式1、 甲在后，乙在前，且两人相距100米。若两
人从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？
时同向不同地.gsp
1.追及问题——同
变式2、 甲在前，乙在后，且两人相距100米。若两
人从同时同向出发，经过多少时间首次相遇？
同向不同地.gsp
2追及问题——同时
变式3、 两人从同一处同向出发，若乙先跑1分钟， 经过多少时间首次相遇？ 变式4、 两人从同一处同向出发，若甲先跑1分钟，
分析：圆形跑道中的规律：
(第1次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝1圈的长度 (第2次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝2圈的长度 (第3次相遇wk.baidu.com)快者跑的路程－慢者跑的路程＝3圈的长度 ………. (第n次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝n圈的长度
解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350x-250x=400 解得：x=4 答：经过4分钟甲、乙相遇。
变式3、 若两人从同一处反向出发，且甲先跑1分钟。问 经过多少时间两人首次相遇？3.相遇问题——同地反向快先跑.gsp
例2、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑
自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均 每分250m．两人从同一处同时同向出发，经过 多少时间首次相遇？
追及问题——同时同地同向.gsp
例1、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑
自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均
每分250m．两人从同一处同时反向出发，经过 多少时间首次相遇？
分析：圆形跑道中的规律：
(第1次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝1圈的长度 (第2次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝2圈的长度 (第3次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝3圈的长度 ………. (第n次相遇)快者跑的路程+慢者跑的路程＝n圈的长度
s甲 s乙 s总
一、追及问题的基本题型
1、不同地点同时出发 2、同地点不同时出发 二、追及问题的等量关系
1、追及时快者行驶的路程－慢者行驶的路 程＝相距的 路程 2、追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程 或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间
二、展示目标和任务
三、自主合作与交流
环 形 跑 道 问 题
3.4.6一元一次方程与实际问题 行程问题------环形跑道问题
陇川县第五中学 申光诺
一 ︑ 激 发 求 知 欲
运用方程解决实际问题的一般过程是什么？
1、审题：分析题意，找出题中的数量及 审 其关系； 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表 示（例如x）； 设
3、列方程：根据相等关系列出方程； 列 4、解方程：求出未知数的值； 解 5、检验：检查求得的值是否正确和符合 验 实际情形，并写出答案。
6、答：把所求的答案答出来。
答
用一元一次方程分析和 解决实际问题的基本过 程如下:
实际问题
抽象
数学问题
分析
实际问题答案
合理
已知量,未 知量,等量 关系
列出
解的合理性
验证
方程的解
求出
一元一次方程
一、相遇问题的基本题型
1、同时出发（两段） 2、不同时出发 （三段 ） 二、相遇问题的等量关系
s先 s甲 s乙 s总
3.追及问题——同地反向慢先跑.gsp
经过多少时间首次相遇？
4.追及问题——同地反向快先跑.gsp
四、成果展示，教师点拨
找等量关系的方法：
1.从题中的关键语句入手寻找等量关系。 2.利用某些基本公式寻找等量关系。 3.从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。 4.还可以借助图形、表格、线段图等分析较复杂问题 中的等量关系。
理论依据 甲 乙
甲乙在同一地点出发，背向而行（甲快，乙慢），当甲与乙第一 次相遇时，甲乙共同跑了一圈。由相遇问题，我们有 甲总路程+乙总路程=跑道周长 同样，我们可以把他们相遇的地点作为起点来看，第二次相遇的 时候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙总共跑了两圈，有： 甲总路程+乙总路程=跑道周长*2 ……从而我们可以发现，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈， 因此，相遇的次数就等于共同跑的圈数。 甲总路程+乙总路程=跑道周长*N
（2）若两人从同一处同向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时 间两人可以首次相遇？ （3）若两人从同一处同时反向起跑，问经过多长时间两人可以首 次相遇？ （4）若两人从同一处反向起跑，且张森先跑2分钟。问经过多长时 间两人可以首次相遇？
2.小结： 行程问题包括相遇、追击和飞行、航行的速度问题 其基本关系是：路程=时间×速度 相遇问题的等量关系：甲行距离+乙行距离=总路程 追击问题的等量关系： 1）同时不同地 ： 慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离 2）同地不同时： 甲行距离=乙行距离 或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间 顺水逆水的问题的等量关系： 1）顺水的路程 = 逆水的路程
解：（1）设小明第三次追上爷爷时， 总共用的时间为X分钟
300X-200X=400×3
解得：X=12 答：小明第三次追上爷爷，总共用的时间为12分 钟
1.小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道 的周长是400米，小明的速度是300米/分钟,爷 爷的速度是200米/分钟，有天，小明心里在想 要和爷爷赛跑。
例题
讲解
分
析
叔叔
【例1】小王、叔叔 在400米长的环形跑道 上练习跑步，小王每秒 跑5米，叔叔每秒跑7.5 米。 （1）若两人同时同地
（1）反向
小王
反向出发，多长时间两 人首次相遇？
相等关系：
小王路程 + 叔叔路程 = 400
例题
讲解
分
析
叔叔
【例1】小王、叔叔 在400米长的环形跑道 上练习跑步，小王每秒 跑4米，叔叔每秒跑 7.5米。
（2）这次比赛后，小明疑惑的问爷爷：爷爷，要 是我们向相反的方向跑，没有表，你能知道我们跑 了多长时间吗？爷爷笑着说：我们就按照平时跑的 速度，只要我知道我们相遇的次数，我就知道我们 能跑多少时间……你能帮小明解决这个疑惑么？
（2）解：假设第三次相遇，设小明与爷爷第 相遇的时间为X分钟
300X+200X=400×3