数学思想方法专题复习参考资料14化归思想

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数学中的化归思想

数学中的化归思想文章摘要：化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。

在中考中几乎都要用到化归思想。

化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。

总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

关键词：未知熟悉化难为易化繁为简数学知识很重要，但更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法。

化归思想是一种重要的数学思想，包括转化和归结。

所谓化归思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。

如将分式方程化为整式方程，将高次方程化为低次方程，将二元方程组化为一元方程，将四边形问题化为三角形问题等等。

实现这种转化和归结的方法有；换元法、待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由具体到抽象等等方法。

化归思想是一种非常重要的数学思想，抓住数学思想方法，善于运用数学思想方法，是提高和解决数学问题的根本所在，所谓化归思想，就是转化和归结，化未知为已知，化繁为简，化难为易。

化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。

在中考中几乎都要用到化归思想。

化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。

总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。

从所举例子可以看出，化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变形并不是一种无目的的活动。

因此，我们应始终“盯住目标”。

即应始终考虑怎样才能达到解决原来问题的目的。

例如，怎样才能求出问题中的未知量？怎样才能证明问题中的结论？这就需要我们在确定化归的方向和方法时，既要保持一定的灵活性，多作些必要的尝试，又应有一定的韧性，即只要还有一线希望，就不要轻易放弃已有的工作。

知识的丰富和发展是离不开化归这一思想方法的，它使后继的知识找到发展的根基，找到解决问题的方向。

然而，化归意识并不是教给学生一个模式就能解决问题，而是需要通过长期的培养，逐渐形成的。

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。

初中数学思想方法篇——化归思想

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之化归思想一、注解：“化归”就是转化和归结的简称。

所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。

具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。

如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（）A -17℃B 17℃C 5℃D 11℃【例2】计算：()()02324732+-++2. 在代数式的化简求值中的运用【例3】计算：111x x x ++-【例4】已知31x =-，求代数式11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。

3.在方程（组）中的运用【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩【例7】用换元法解方程：226212x x x x +-=+4.在确定函数解析式中的运用【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（）A. 2I R =B. 3I R =C. 6I R =D. 6I R=-【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。

（2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。

数学思想方法及例题

数学思想方法及例题一、化归思想“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”．化归思想是解决问题的常见思想方法．【例1】△ABC为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值．分析：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出x的值，然后回代又可求出y的值．解：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，又因为2x-8=x+6，解得，x＝14，将x＝14代入x+6＝3y+2，解得，y＝6，将x＝14 y＝6代入点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度．二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的．【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求的值．分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果．解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，①当a>0，b>0时，，，＝＝1+1-1＝1．②当a<0，b<0时，，，＝＝－1－1－1＝－3．故当ab>0，＝1或－3．点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果．三、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑．在整体思想中，往往能够找到问题的捷径．分析：若将问题中的x看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路．点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法．四、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的'数（量），利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法．【例4】（北京市“迎春杯”数学竞赛题）已知：a>0，b<0，且a+b<0，那么有理数a，b，-a，的大小关系是（用“<”连接）．解析：因为b<0，＝－b，因为a>0，b<0且a+b<0，根据有理数加法法则，可得，<，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，－a，－b的位置关系．故b<－a<a<－b，即b<－a<a<．。

高考数学复习分类讨论思想、转化与化归思想

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12，因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2，若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二转化与化归思想应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20，又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。

初中数学专题复习(一) 化归思想

初中数学专题复习(一) 化归思想本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．【典型例题剖析】一、转化思想在代数中的应用。

1.已知：n m ,满足13,1322=-=-n n m m , 求nmm n +的值。

二、转化思想在函数问题上的应用： 1.函数1y x=】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积．三、转化思想在几何中的应用。

2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

求证：AC ＝AE ＋CDy kx =my x=四、代数问题与几何问题之间的化归：1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10，求AE 的长。

2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。

⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。

【强化训练】一、选择题与填空题1、用换元法解方程xx x x +=++2221时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=02、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为（）A 、64πcm 2B 、64 cm 2C 、32 cm 2D 、48 πcm 2EABCD EFP3.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a, EF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞cB 、a=b=cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( )(A)(B)(C) (D) 5. 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12 的矩形，接着把面积为12 的矩形等分成两个面积为14 的正方形，再把面积为14 的正方形等分成两个面积为18 的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：11111111+++++++=_____248163264128256.三、解答题1. (2016·新疆)如图，▱ABCD 中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形BCED ′是菱形；（2）若点P 时直线l 上的一个动点，请计算PD ′+PB 的最小值．2、已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。

一、化归的思想方法.doc

一、化归的思想方法化归是解决数学问题常用的思想方法。

化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。

客观事物是不断发展变化的,事物之间的相互联系和转化,是现实世界的普遍规律。

数学中充满了矛盾,如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等,实现这些矛盾的转化,化未知为已知,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化困难为容易,都是化归的思想实质。

任何数学问题的解决过程,都是一个未知向已知转化的过程,是一个等价转化的过程。

化归是基本而典型的数学思想。

在教学平面图形求积公式中,就以化归思想、转化思想等为理论武器,实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应,从而构建和完善了学生的认知结构。

二、归纳的思想方法在研究一般性性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。

数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。

在解决数学问题时运用归纳思想,既可认由此发现给定问题的解题规律,又能在实践的基础上发现新的客观规律,提出新的原理或命题。

因此,归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法,也是思维过程中的一次飞跃。

三、符号化的思想方法数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。

符号就是数学存在的具体化身。

英国著名数学家罗素说过:“什么是数学?数学就是符号加逻辑。

”数学离不开符号,数学处处要用到符号。

怀特海曾说:“只要细细分析,即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便,甚至是必不可少的。

”数学符号除了用来表述外,它也有助于思维的发展。

如果说数学是思维的体操,那么,数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。

现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。

人教版教材从一年级就开始用“□”或“()”代替变量x,让学生在其中填数。

例如:1+2=□,6+()=8,7=□+□+□+□+□+□+□;再如:学校有7个球,又买来4个。

数学解题思想【数学解题中的化归思想】

数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。

化归思想──小学数学思想方法的梳理

化归思想──小学数学思想方法的梳理二、化归思想1．化归思想的概念。

人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。

从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。

因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。

2．化归所遵循的原则。

化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。

因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。

数学来源于生活，应用于生活。

学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。

因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。

（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。

人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。

从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。

因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。

（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。

对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。

因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。

化归思想

例题5 已知实数 x, y满足 x 2 y 2 4 x 1 0. y （ 1）求的最大值与最小值； x （2）求 y x 的最小值；（3）求 x 2 y 2 的最大值与最小值 .
例题6 若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是 A．f(x)为奇函数 C．f(x)＋1为奇函数 B．f(x)为偶函数 D．f(x)＋1为偶函数
数学符号化、形式化后，每一种数学语义，或者每一个数学概念、关系等，一般都有一种确定的数学符号表示。但是，数学的符号表示与数学的语义解释不是“一一对应”的，即一种数学符号（式）可能有多于一种的语义解释。例如：
a b 就有多于一种的语义解释。
2 2
数学中的同一个数学形式表示式可以作不同的语义解释，同一种数学语义的内容可以用不同的数学语言形式地表示。这就为数学问题的语义化归创造了“客观”基础。通过语义转换实现化归就是根据数学问题的不同形式，选择合理的、恰当的语义解释和转换，从而实现化归，解决问题。
④初等数学中代数与几何之间的转换是最常见、最基本的转换，围绕代数与几何的相互转化形成了一种重要的数学思想方法，即数形结合思想方法。数形结合思想的实质是通过对同一数学对象进行代数释意与几何释意的互补，实现“形” 与“数”的语义转换，将“形”解释为 “数”，利用“数”的知识解决“形”的问题；将“数”解释为“形”，利用“形”的知识解决“数”的问题。因此，数形结合思想方法是一种最常用的语义转换策略。
(2)和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当. 化归的关键： A. 将问题中的元素统一； B.将问题中的条件和结论统一. 化归就是朝着这两个进行的. 例如，在三角函数计算中要求：同角；同名；化成一个角的一个三角函数的形式等。

数学思想方法化归思想

化归思想
（3）简单化原则即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
化归思想
（4）直观化原则即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。
化归思想在小学数学中应用
空正方体的体积：转化为长方体求体间体积公式积图圆柱的体积：转化为长方体求体积形圆锥的体积：转化为圆柱求体积统统计图和运用不同的统计图表述各种数据计统计表与可能性运用不同的方式表示可能性的大小概率
化归思想
解决问题中的化归思想（1）化抽象问题为直观问题。从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法；解决问题中画线段图表等帮助理解数量关系，进行推理；用图表进行推理；函数图像直观地表示变量间的关系；统计图表直观地表示数据。

化归思想
例：把256拆分成两个自然数的和，怎么样拆分才能使拆分的两个自然数乘积最大？257呢？
分析：通过对10以内的自然数拆分可知, 偶数拆分为两个相等的自然数时,积最大, 由此可以类比出周长相同的正方形面积比长方形面积大.在周长相等的长方形中, 长和宽的差距越小,面积越大.
化归思想
（3）化一般问题为特殊问题。例：某旅行团队翻越一座山。上午9时上山，每小时行 3千米，到达山顶时，休息1小时。下山时，每小时行4千米，下午4时到达山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？

什么是化归思想

浅谈化归思想东莞中学数学科刘瑞红论文摘要：数学学科的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法和数学思想组成的。

其中数学方法是数学活动的行为规则,而数学思想又是数学方法的灵魂。

在中学数学教学中,数学思想对于培养学生的创造思维能力和数学素养具用十分重要的作用,其中化归思想在中学数学中的应用广泛,本文将以举例子的形式,从定义、化归原则、化归策略介绍化归思想。

关键词：数学思想；化归思想；化规策略；代换一什么是化归思想定义：把问题A 通过一定的手段进行转化，归结为问题B ，而问题B 是相对容易解决的问题或已有固定的解决程式的问题，且通过B 的解决，能够得到A 的解决。

转化（化归途径）还原二化归的原则（一）.划归目标简单化原则：主要表现为问题结构表示形式的简单。

如问题的方式、方法上的简单。

例1. 已知：22222(21)(12)4,0af x bf x x a b -+-=-≠,求)(x f 。

解：设t x =-122，则原式可变形为：22)()(+=-+t t bf t af ① 把t 换成t -，则 22)()(+-=+-t t bf t af ② ① ,② 式联立可得：b a t b a t f b a 22)22()()(22-++=-∵ 022≠-b a∴ 得 ba b a t t f ++-=22)( ∵ 022≠-b a ∴ 得 b a b a t t f ++-=22)( 即 ba xb a x f ++-=22)( 即 b a x b a x f ++-=22)(例2.已知：c b a ,,是三角形的三条边，求证：0)(22222=+-++c x a c b bx 无实根。

证明：)0(0sin 4)1(cos 44)cos 2(4)(222222222222222≠<-=-=-=--+=∆A A c b A c b c b A bc c b a c b 所以，原方程无实根。

例析数学思想中的化归思想及其原则

例析数学思想中的化归思想及其原则
数学思想是影响人类思维的一门重要的学科，研究其中的概念和原则可以帮助人们了解并学习更多的知识。

数学中的化归思想和原则是重要的元素，影响了数学思想的发展。

本文通过例析这一概念和原则，将介绍并讨论它们对数学思想的影响。

化归思想是一种基本的数学思想，它倡导将一个数学问题化为一系列较小问题，然后解决它们，从而求解原来的问题。

化归思想认为，一个复杂的问题可以看作是若干简单问题的组合，因此，可以把复杂的问题分解成若干个小问题，从而得出原来的问题的答案。

举一个例子来说，假如有一个包含3个项目的数学题目，可以把它看成是3个独立的问题，然后根据3个问题的答案，得出原来的问题的答案。

化归思想的原则是基于化归思想的基本原理而制定的，主要有三条原则：一是“复杂问题可以分解成一系列小问题”；二是“若能够解决小问题，就可以解决复杂问题”；三是“对于解决复杂问题，往往需要给出多条解决路径，而最优解则是最佳的”。

这些原则构成了数学思想中的“化归原则”，也是由化归思想派生出的具体思考方法。

化归思想和它包含的原则，对数学思想有重大影响。

首先，它有助于增强人们的逻辑思维能力，让人们更容易理解和解决复杂的数学问题。

其次，它有助于节约数学推理所需的步骤，可以让人们在最短的时间内得出最优解，从而提高数学思维的效率，使数学思维更容易被广大的学习者接受和理解。

总之，化归思想和它的原则在数学思想中拥有重要的地位，它们
有助于提高人们的逻辑思维能力和减少推理步骤，节省大量的时间和努力，从而提高数学思维效率，为人们更有效地探索数学思想奠定了基础。

中学数学专题(化归思想)

2 2n
n(n 1, 2,3....) 即设公差 d 1 则
2 1
(2n) 2 1 a a lim 8 lim ＝ n 1 n sn n(n 1) 2
练习
cos2 cos2( 120 ) cos2( 240 )的值为（）
１ A －１Ｂ０ＣＤ１２
四正面与反面的转化
在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
间 1， 1 内至少有一个值 , 使f (c) 0, 求实数p的取值范围。 c
解：如果在[-1，1]内没有值满足f(c) >0
则 f(-1) ≤0 f(1) ≤0 p≤-1/2或p≥1 p≤-3或p≥3/2 ∴p≤-3或p≥3/2 取补集为-3<p<3/2,即为满足条件的p的取值范围。
七宝中学2012年高考数学第二轮复习专题
转化与化归思想
1.高考要求
: 化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法
g (1) ＞0
或 x＜1 或 x＞3
练习六、函数与方程的转化
若方程x3 3x a 0有三个相异的实数根， a的取值范围．求
2 a 2 如果是两个相异的根呢？ 2或2 a
一个呢？
y
-1
a 2或a 2
2 1
函数与方程的转化
o
-2
x
数与形的转化
四、已知与未知的转化

专题：数学思想方法突破转化与化归思想的应用

[解析] 由题意，知，令， .因为对，恒有，即，所以即解得 .故当时，对任意都有 .
技法秘籍在处理多变量的数学问题中,在常量（或参数）在某一范围取值的前提下求变量的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看作是变量,而把变量看作是常量,从而达到简化运算的目的.
（2）是否存在点，当将沿折起到时，二面角的余弦值等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
[解析] 存在点使得二面角的余弦值等于，此时理由如下：因为，，且，平面，平面 ,所以平面，又，所以平
面，因为平面，平面 ,所以，，又，所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
A. B. C. D.
D
[解析] 因为点与点关于直线对称，所以必满足，解得，从而可以排除A，B,C.故选D.
技法秘籍一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，从而得到问题的答案.
（法二：补形法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图正方体体积的一半.又正方体的体积，故所求几何体的体积为 .
技法秘籍形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征.
应用1 正与反的转换
例1 (2022·河南驻马店模拟)已知从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是( ).

中考专题复习：数学思想方法之化归探讨-19页精选文档

【2019年中考攻略】专题14：数学思想方法之化归探讨
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。“化归”是转化和归结的简称。数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。通常有从未知——已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等。
【答案】解：原式= ，
当a = 1，b = 时，原式=2。
【考点】代数式求值，完全平方公式和平方差公式。
【分析】应用完全平方公式和平Fra bibliotek差公式展开后合并同类项，最后代入求值。
【点评】先化简后求值体现了由复杂——简单的化归。

中学数学的思想方法——化归

1、化未知问题为已知问题
解：过D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则得AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8。 ∵AC⊥BD ∴BD⊥DE 又∵AB=CD ∴AC=BD ∴BD=DE 在Rt△BDE中， BD 2 DE 2 BE 2 ∴BD=
=
2 BE 2
4 2
即AC=
4 2
2、化新问题为旧问题
数学思想与方法——化归
蠡县电大
白鹤鹏
数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链：
原始概论
⇒
结论A
⇒
结论B
⇒
结论C
⇒
……
一、化归思想的涵义和作用
化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。
5、化代数问题为几何问题（即数形转化思想）
例：已知直线 y1 2 x 4 与 x轴、y轴的交点分别是B、A，直线
y2 1 x3 2
与x轴、y轴
的交点分别是D、C。求四边形ABCD的面积.
5、化代数问题为几何问题（即数形转化思想）
解：在直线 y1 2 x 4 中， y1 4 ，当x＝0时，所以A点坐标为（0，4），当 y1 0 时，x＝－2，所以B点的坐标为（－2，0）； 1 y x 3 中，在直线 2 y 2 3 当x＝0时，所以C点坐标为（0，－3））. 函数图象如图： 1 1 S S S BD AO BD CO ∴ 2 2