第三节 克拉玛公式
三阶行列式与克拉玛公式
3-3三階行列式與克拉瑪公式(5)兩列（行）成比例，其值為0： 321142- 0463=(6)將一列（行）的k 倍加到另一列（行），其值不變。
3.行列式的應用：(1)面積公式：設),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 為平面上不共線三點，則ABC ∆的面積||21|111|2113131212332211y y x x y y x x y x y x y x ----==。
(2)共線性質：),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 三點共線的充要條件為0111332211=y x y x y x 。
(3)直線方程式：過點),(),,(2211y x B y x A 的直線方程式為01112211=y x y x yx 。
(4)空間向量的外積：設),,(),,,(222111c b a v c b a u ==，則定義u 與v 的外積為),,(221122112211b a b a a c a c c b c b v u =⨯。
(5)u v u ⊥⨯)(，且v v u ⊥⨯)(。
(6)u 與v 所展開的平行四邊形面積=||v u ⨯(6)平行六面體體積：由),,(),,,(),,,(333222111c b a w c b a v c b a u ===三向量所決定的平行六面體體積=||333222111c b a c b a c b a 。
所決定的四面體體積=61平行六面體體積。
(7)三向量共平面：),,(),,,(),,,(333222111c b a w c b a v c b a u ===共平面的充要條件為0333222111=c b a c b a c b a 。
4.克拉瑪公式：一次方程組⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 中，令333222111c b a c b a c b a =∆，333222111c bd c b d c b d x =∆，333222111c d a c d a c d a y =∆，333222111d b a d b a d b a z =∆，則(1)若0≠∆，則方程組恰有一組解),,(),,(∆∆∆∆∆∆=zy x z y x 。
数学教师手册_面积与二阶行列式
面积与二阶行列式教学眉批行列式除可求面积外，也可利用克拉玛公式求解联立方程式。
其推广为三阶行列式可处理平行六面体体积或空间中不共线三点所决定的平面方程式。
此为一般向量所推导之公式，故其可应用在二度空间求两向量所张成的平行四边形面积或三角形面积，也可适用于三度空间。
将向量的坐标表示法代入 ()222 u v u v -⋅，化简后可得12∣a 1b 2－a 2b 1∣。
利用列向量引入行列式的符号1212a ab b ，我们简记成 uv，其中 u ＝（a 1，a 2）， v ＝（b 1，b 2）。
教学眉批若向量是 u 绕着原点逆时针转 θ 至 v ，则 u v 之值为正，反之 vu 之值为负，故用其来表示面积时，须加上绝对值。
整理目前学过之三角形面积公式： 三角形面积＝12×底×高＝12 ab sin C （由正弦 sin 2cC R=） ＝4abcR（R 为外接圆半径）（s 为周长一半） ＝rs （r 为内切圆半径）()2221212211211 22a a u v u v a b a b b b ⎛⎫-⋅=-= ⎪⎝⎭的絕對值。
（u ＝（a 1，a 2），v ＝（b 1，b 2））教学眉批已知向量长度及内积，求三角形面积利用下列公式为佳。
()222 u v u v -⋅±8。
教学眉批已知向量的坐标表示式求三角形面积利用12121 2a ab b⎛⎫ ⎪⎝⎭的絕對值（u＝（a 1，a 2），v ＝（b 1，b 2））公式为佳；至于1212a ab b 的性质则在引进行列式定义后再谈。
－1 或 8。
二阶行列式代表一种运算方式，即a bcd ＝ad －bc ，且acbd＝ad －bc ，故(1)a bc d是一个数值，可正可负也可 0。
(2)a b a cc db d=。
补充演练设∣a ∣＝4，∣b ∣＝5，∣a ＋b ∣＝7，试求△ABC 的面积。
解 ∣a ＋b ∣2＝∣a ∣2＋2（a ‧b ）＋∣b ∣2＝49 ⇨ 42＋2（a ‧b ）＋52＝49 ⇨a ‧b ＝4， 故△ABC 的面积为 2144462= 。
数学习作_面积与二阶行列式
面积与二阶行列式一、若v u ，v v 为非零向量，已知│v u │，│v v │及v u ．v v ，则由v u ，vv 所张成的1. 三角形面积为122.二、二阶行列式的定义a ，b ，c ，d 为四个数，称a bc d 为二阶行列式，其值为a bc d＝ad －bc 。
三、若v u ，v v 为非零向量，已知v u ＝（a 1﹐a 2），v v ＝（b 1﹐b 2），则由v u ，vv 所张成的1. 三角形面积为121212a a b b 的绝对值＝12│a 1b 2－a 2b 1│。
2. 平行四边形面积为1212a ab b 的绝对值＝│a 1b 2－a 2b 1│。
四、平行向量的判定法则设a v ＝（a 1﹐a 2），b v ＝（b 1﹐b 2）是平面上两个非零向量，则有a v //b v ⇔1212a a b b ＝0。
五、行列式的性质1. 行列式的行、列互换，其值不变。
2. 任意两行（列）对调，其值变号。
3. 任一行（列）乘上k 倍，其值变为k 倍。
4. 两行（列）成比例时，其值为0。
5. 将一行（列）乘上k 倍加到另一行（列），其值不变。
6. 可依任一行（列），将一个行列式拆成两个行列式。
例：a e b c f d ＋＋＝a b c d ＋e b f d ，a e b f c d ＋＋＝a b c d ＋e fc d7. 其中一行（列）为0时，其值为0。
六、方程式的解与几何关系的代数判定对于二元一次联立方程式111222a xb yc a x b y c ⎧⎨⎩＋＝＋＝，设Δ＝1122a b a b ，Δx ＝1122c b c b ，Δy ＝1122a c a c ，则：1. 当Δ≠0时 ⇔ 两直线恰交于一点 ⇔ 联立方程式恰有一组解为（x ﹐y ）＝y x ∆⎛⎫∆ ⎪∆∆⎝⎭，，此即克拉玛公式。
2. 当Δ＝0，但Δx ≠0或Δy ≠0时 ⇔ 两直线平行 ⇔ 方程式无解。
3. 当Δ＝Δx ＝Δy ＝0时 ⇔ 两直线重合 ⇔ 方程式有无限多组解。
数学互动式教学讲义{教用}_面积与二阶行列式
面积与二阶行列式主题1 面积公式与二阶行列式 搭配课本P.198～P.2021. 三角形的面积公式：由u v ＝（a 1﹐a 2），v v ＝（b 1﹐b 2）两个非零向量所张成的三角形面积为1212│a 1b 2－a 2b 1│＝121212a ab b 的绝对值。
说明：①由u v ，v v所张成的三角形面积为12│u v ││v v │sin θ＝12│u v ││v v＝12＝12。
②若u v ＝（a 1﹐a 2），v v＝（b 1﹐b 2），如右图所示，则由u v ，v v所张成的三角形面积可表为122vv ＝12＝12 ＝1212│a 1b 2－a 2b 1│。
2. 平行四边形的面积公式：由u v ＝（a 1﹐a 2），v v ＝（b 1﹐b 2）两个非零向量所张成的平行四边形面积为a 1b 2－a 2b 1│＝1212a ab b 的绝对值。
说明：三角形面积显然是平行四边形面积的一半，如右图所示，因此，由u v ，v v所张成的平行四边形为a 1b 2－a 2b 1│。
3. 二阶行列式：a ，b ，c ，d 为四个数，称a bc d为二阶行列式，其值为a bc d＝ad －bc ，其中横的称为列，直的称为行。
4. 平行向量的判定法则： 设a v ＝（a 1﹐a 2），b v ＝（b 1﹐b 2）是平面上两个非零向量，若a v //b v ，则1212a ab b ＝0，反之亦然。
说明：∵a v //b v ∴由a v ，b v 所张成的三角形面积为 0，可推得 1212a ab b ＝0。
范例1 三角形与平行四边形的面积搭配课本例题1(1)设u v ＝（4﹐3），v v ＝（1﹐2），则由u v 和v v 所决定的平行四边形面积为 。
(2)已知平面上三点A （2﹐1），B （3﹐3），C （1﹐5），则△ABC 的面积为 。
解 (1)平行四边形面积为4312的绝对值＝│8－3│＝5(2)∵AB uu u v＝（1﹐2），AC uuu v ＝（－1﹐4）∴△ABC 的面积为121214－的绝对值＝12×│4＋2│＝3类题1 (1)设u v ＝（3﹐－2），v v ＝（－1﹐－3），则u v 与v v所决定的平行四边形面积为 11 。
数学课本_平面向量的表示法
向量源自物理中“力”的概念，是同时具有大小与方向的量。
本章介绍向量这个重要的数学工具，利用向量或其坐标表示，可以将任意向量分解成线性组合。
引进向量的内积后，可以处理角度，将直线看成沿着某向量的运动，可得直线的参数式。
最后我们介绍行列式，并讨论其代数与几何的意义。
3平面向量3-1平面向量的表示法●向量的几何表示法●向量的坐标表示法●向量的线性组合●分点公式3-2平面向量的内积●向量的夹角与内积●内积的性质●柯西不等式●正射影●内积在几何上的应用3-3平面上的直线●直线的参数式●两直线的交角●点到直线的距离3-4面积与二阶行列式●面积公式与二阶行列式●行列式的性质●两直线几何关系的代数判定、克拉玛公式3-1平面向量的表示法日常生活中，有一些量需要用大小和方向才能完整描述其特性，例如：力、位移、速度等，这种同时具有大小与方向的量称为向量。
在本节里，我们将探讨平面向量的表示方法及简单的运算。
1向量的几何表示法向量的几何表示如图1 所示，撞球选手将球台上位于A点的母球沿直线方向撞击位于B点的子球。
我们要如何描述这两颗球的位置关系呢？我们用线段将A，B两点连接起来，并在B点画上箭号，就形成一个带有方向的线段，我们称它是从A点到B点的有向线段，以AB表示，其中A点称为有向线段AB的始点，B点称为有向线段AB的终点。
线段AB的长度则称为有向线段AB的长度，以∣AB∣表示。
图1在数学上，我们把同时具有大小与方向的量称为 向量。
通常我们用有向线段来表示向量，有向线段的 方向与长度分别表示向量的方向与大小。
而且只要两个有向线段的大小（长度）相等，方向相同，就表示 这两个有向线段是相同的向量。
例如：图 2 中的 AB 与 CD 就是两个相同的向量，记为 AB CD 。
向量只考虑大小与方向，不计较其所在位置，所以，也可以不标示出始点与终点，只以简单的文字表示向量，例如：a ，b ，u ，v 等。
当一个向量的始点与终点重合时，这个向量称为零向量，记为 0 ，例如：AA ，PP 均为零向量，其大小为 0，而方向可视为任意方向。
高中数学 三元一次联立方程式 范本例题
∵ 2 ＝－1＝\ －9 ∴無解 －4 2 －21
且三平面之法矢量均不互相平行
故三平面两两交于一直线且三交线两两平行
(D) ○：由(C)知
(E) ○：由(A)知
故选(A)(B)(D)(E)
上一题 下一题
范例 10 线性组合
给定坐标空间中四个矢量 a ＝（1 , 3 , 2）， b ＝（－1 , －1 , －1）， c ＝（1 , 7 , 5）， d ＝（1 , 5 , 2），试问： (1) d 是否可表成 a ， b ， c 的线性组合 x a ＋y b ＋z c ？
多 99，则原数为
。
解■ 设原数的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c
b＝c＋a 由題意可知 c＋b＝8
100c＋10b＋a＝100a＋10b＋c＋99
a－b＋c＝0 b＋c＝8
a－c＝－1
解之得 a＝2，b＝5，c＝3
故原数为 253
上一题 下一题
主题 2 三元一次方程组的克拉玛公式
②
3x－5 y＋4 z＝3
③
將①
2＋②及②
2＋③得
5x＋y＝17 5x＋y＝17
④ ⑤
范例 5 Δ＝0，解方程组——无限多组解
2x－y＋z＝5
解方程组
x＋3 y－2 z＝7
。
3x－5 y＋4 z＝3
解■ 由④解得 y＝17－5x，代入①消去 y，得 z＝22－7x 令 x＝t（t 为实数），得 y＝17－5t，z＝22－7t
故 d ＝5 a ＋3 b － c
上一题
主题 1 消去法
例题 1 解三元一次联立方程式
x＋y＋z＝1 試求三元一次聯立方程式 x－y＋z＝7 的解（x , y , z）。
三元一次方程组的公式解克拉玛法则
3. 三階行列式的性質
三階行列式的定義(Ⅰ)
a1 形如 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 的式子，稱為三階行列式。 c3
三階行列式的展開，規定如下：
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2 c3
克拉瑪法則： 三元一次方程組為
d1 b1 c1 d3 b3 c3 a1 b1 c1
a1 x b1 y c 1 z d 1 a 2 x b 2 y c 2 z d 2 a x b y c z d 3 3 3 3
若令Δ a2 b2 c2 ，
a3 b3 c3 a1 b1 d1
第二章 行列式
2－2 一次方程組的解法
2-1 二階與三階行列式
1. 二階行列式的定義 2. 三階行列式的定義
二階行列式的定義
形如 a b 叫做二階行列式，其值規定 c d 為 ad - bc
二階行列式的展開，規定如下： a b ad bc c d
二階行列式實例
三階行列式的定義
1. 三階行列式的定義(Ⅰ) 2. 三階行列式的定義(Ⅱ)
二元一次方程組的公式解 (克拉瑪法則)
a1 b1 若令Δ ，Δ a2 b 2
c1 x c2 b1 ，Δ b2
a1 y a2
c1 c2
a1 x b1 y c1 則二元一次方程組 以二階行列式表示的 a2 x b2 y c2 y x y 解為 (1) 當Δ 0 時 恰有一組解 x ， 。
a1 d1 c1 a3 d3 c3
x d 2 b2 c2 Δ ， Δ y a2 d 2 c2
， Δ z a2 b2 d 2
数学课本_面积与二阶行列式
面积与二阶行列式在 3－2 节中，我们利用向量的内积求一向量的长度或两向量的夹角，本节里，我们将利用向量求三角形与平行四边形的面积，并引进二阶行列式来表示这两种图形的面积。
同时，我们将以行列式判定两直线的几何关系。
1 面积公式与二阶行列式设 u ，v 为平面上两个非零向量，且其夹角为 θ，如图 57(a) 所示，蓝色阴影区域分别称为由 u ，v 两向量所张成的三角形和平行四边形。
底下我们说明这些面积可以用 u ，v 表示。
(a)(b)图 57先求三角形面积，如图 57(b) 所示，由 1－3 节的面积公式可知， 由 u ，v 所张成的三角形面积为1 sin 2u v θ＝211cos 2u v -＝()222 cos u v u v θ-()222 u v u v -。
若 u ＝（a 1，a 2），v ＝（b 1，b 2），如图 58 所示，那么，由 u ，v 所张成的三角形面积可表为()222 u v u v -＝2222121211()()(a a b b a b ++-+＝＝＝122112a b a b -。
此三角形面积显然是平行四边形面积的一半，如图 59 所示，因此，由 u ，v 所张成的平行四边形面积为()222u v uv-＝∣a 1b 2－a 2b 1∣。
图 59为了方便起见，把 a 1b 2－a 2b 1 写成1212a ab b 。
因此，由向量u ，v 所张成的(1) 三角形面积为12121 2a a bb 的绝对值，(2) 平行四边形面积为 1212a ab b 的绝对值。
我们将上述结果整理如下： ※三角形与平行四边形的面积公式图 58(1) 由 u ＝（a 1，a 2），v ＝（b 1，b 2）两个非零向量所张成的三角形面积为1212211211 22a a a b a b b b -=的绝对值。
(2) 由 u ＝（a 1，a 2），v ＝（b 1，b 2）两个非零向量所张成的平行四边形面积为()22212122112a a u v uva b a b b b -=-=的绝对值。
高一地理必修一知识点公式
高一地理必修一知识点公式在高一地理必修一中，我们学习了许多重要的地理概念和知识点，其中一些知识点可以用公式来表达。
下面我将介绍一些常用的地理公式，帮助大家更好地理解和应用这些知识。
1. 高度公式高度公式用于计算物体的高度，公式如下：高度（h）= 斜边长（c） x 正弦角度（sinθ）这个公式可以应用于山脉、建筑物等高度的测量，通过测量斜边长和角度，可以计算出物体的高度。
2. 距离公式距离公式用于计算两点之间的直线距离，公式如下：距离（d）= 速度（v） x 时间（t）这个公式可以应用于车辆、航空器等在一定时间内行驶的距离计算，通过速度和时间的乘积可以得到距离。
3. 面积公式面积公式用于计算地理空间的面积，公式如下：面积（A）= 长（l） x 宽（w）这个公式可以应用于土地、水域等地理空间的面积计算，通过长度和宽度的乘积可以得到面积。
4. 比例公式比例公式用于计算比例关系，公式如下：比例（P）= 已知量（K）/ 未知量（U）这个公式可以应用于地图、图表等比例关系的计算，通过已知量和未知量的比值可以得到比例。
5. 密度公式密度公式用于计算物体的密度，公式如下：密度（ρ）= 质量（m）/ 体积（V）这个公式可以应用于岩石、土壤等物体密度的计算，通过质量和体积的比值可以得到密度。
6. 等温线公式等温线公式用于计算气温随海拔的变化，公式如下：气温（T）= 参考温度（T0） - 环境温度变化率（∆T） x 海拔高度（h）这个公式可以应用于气候研究中，通过参考温度和环境温度变化率的乘积再乘以海拔高度可以得到气温。
7. 地震震级公式地震震级公式用于计算地震的震级，公式如下：震级（M）= log10（振幅（A）/ 参考振幅（A0））这个公式可以应用于地震研究中，通过振幅和参考振幅的比值取对数可以得到地震的震级。
总结：地理学中的公式可以帮助我们计算和理解各种地理现象。
通过合理运用这些公式，我们可以更好地解决地理问题，提高地理学习的效率。
课本PPT_面积与二阶行列式
搭配課本第 206頁
求下列各行列式的值：
(1)
6 3
－2 5
。
(2)
－2 4
0 －1
。
(3)
6
24
4 16
。
解
(1)
6 3
－2 5
＝6×
5－(－2 )×
3 ＝36。
(2)
－2 4
0 －1
＝－2×
(－1 )－0×
4 ＝2。
(3)
6
24
4 16
＝6×
16－4×
24 ＝0。
搭配課本第 206頁
則由
3-1
節例題
7
知
a1 b1
a2 b2
＝a1b2－a2b1＝0。
搭配課本第 206頁
另外，若a＝( a1，a2 ) 與b＝( b1，b2 ) 是 兩個不平行的非零向量，
那麼顯然地，由 2a＝( 2a1，2a2 ) 與 b＝( b1，b2 ) 為兩鄰邊之平行四邊形面積為 由a＝( a1，a2 ) 與b＝( b1，b2 ) 為兩鄰邊之 平行四邊形面積的 2 倍，如圖 3-79 所示，
三角形的面积与 二阶行列式
二阶克拉玛 公式
3-3 习题
3-3 面积与二阶
行列式
第3章 总习题
搭配課3本第-3 大頁考试题
1.1 三角形的面积
在第一章裡，我們介紹過：由三角
形“ 兩邊長及夾角” 求其面積，
b
現在我們也可以利用向量的內積( 涉及
θ
夾角的餘弦 ) 來推導以a，b ( 皆非零
a
向量 ) 為兩邊的三角形面積，
因此我们可以得到三角形与平行四边形面积的行列式表示法。
面積的行列式表示法 設a＝( a1，a2 )，b＝( b1，b2 ) 為兩不平行的非零向量，
透射率公式
透射率公式透射率公式是光学学科中重要的物理公式之一。
它用于表示物质在不同频率下透射出去的光量，可以更好地描述物质在不同条件下各种光学效果。
透射率公式可以从多个层面推导出来，最常见的一种就是理想透射定律，由英国物理学家汤姆森提出于1818年。
这个定律表明，一块物质在不同波长的辐射下，其透射率跟对应的波长成正比，可以用下面的公式表示：Tη=其中，Tη是物质的透射率，λ是辐射的波长。
波长越长，在相同的物质透射比例中，入射的辐射越小，透射率也越低。
实际上，大多数物质的透射率在可见光范围内是不变的，但是在紫外线以外的频率范围，透射率就会显著下降，同时厚重的物质也会导致透射率下降。
另外，理想透射定律只是一种物理定律，并不能真实地反映物质在实际环境中的表现。
所以，很多时候，我们需要用更加复杂的公式来描述物质在不同条件下的透射率，比如拉尔平布尔定律、克拉玛公式、莱什特-斯瓦尔布公式、菲涅尔公式等，都能更为准确地计算出物质的透射率。
拉尔平布尔定律是物质透射率计算中被广泛使用的一种模型，由German scientist Johann Friedrich August von Rumford出，并以他的名字命名。
它认为，物质在不同波长的辐射下的透射率，可以用下面的公式描述：Tη=η0+(η1η0)×(λλ0)/(λ1λ0)Tη是被考虑物质的透射率，η0是波长λ0时的透射率，η1是波长λ1时的透射率，λ0和λ1是拉尔平布尔定律所使用的两个波长。
拉尔平布尔定律可以更准确地反映不同物质在实际环境中的表现，一般在推导透射率时使用它可以获得更准确的结果。
克拉玛公式是由英美物理学家克拉玛贝尔提出的，它认为，物质的表面反射率、表面折射率和透射率之间存在一种有趣的关系，那就是：、Tη+Rε+nē=1其中，Tη是物质的透射率，Rε是物质表面的反射率，nē是物质的表面折射率。
克拉玛公式表明，在光学效果的计算中，反射率和折射率是会影响到物质的透射率的，所以在计算物质透射率时，一定要将反射率和折射率一并考虑进去。
高中数学 三元一次联立方程式
因此利用克拉玛公式可得
xx 源自3 13， y
y
1 1
1，z
z
2 1
2
故方程组恰有一组解 x 3，y 1， z 2
◎
三元一次方程组的克拉玛公式 p.107~p.112
三元一次方程组解的判定：
a1 x b1 y c1z d1
对于三元一次方程组
a2
x
b2
y
c2z
d2
，令
，
，
x
a3
x
b3
y
c3z
d3
y， z 定义如前，则：
(1) 若 0，则方程组有唯一一组解。 (2) 若 0，但 x， y， z 其中有一个不为 0，则方程
组无解。
(3) 若 0，且 x y z 0，则方程组可能无解， 也可能有无限多组解。
6 p.117
给定坐标空间中四个矢量 a 1 , 1 , 1，b 1 , 3 , 4， c 1 , 2 , 6，d 6 , 13 , 27。
试问：d 是否可表成 a，b，c 的线性组合 xa yb zc ？ 若可以，请表出其线性组合。
且 d =6 , 13 , 27
定义 ， x， y， z 如下：
a1 b1 c1
d1 b1 c1
a1 d1 c1
a2 b2 c2 ，x d2 b2 c2 ，y a2 d2 c2
a3 b3 c3
d3 b3 c3
a3 d3 c3
a1 b1 d1 z a2 b2 d2
a3 b3 d3
克拉美罗界公式
克拉美罗界公式克拉美罗界（Cramer-Rao Bound）公式是统计学和信息论中的一个重要概念，在参数估计领域有着广泛的应用。
咱们先来说说啥是参数估计。
比如说，你想知道你们班同学的平均身高，但是你又不可能一个一个去量，那你可能就会随机抽几个同学量一下，然后通过这几个同学的身高来估计全班同学的平均身高。
这个过程就是参数估计。
而克拉美罗界公式呢，就像是给你的估计结果定了一个“优秀标准”。
它告诉你，在一定的条件下，你的估计能有多准。
咱们来举个例子啊。
假设你是个卖水果的老板，你想知道每天来你店里买苹果的顾客的平均年龄。
你不可能去问每一个顾客的年龄，那多麻烦呀！所以你就随机找了几天，每天记录下一些顾客的年龄。
这时候，克拉美罗界公式就可以告诉你，你用这种方法估计出来的平均年龄，理论上能达到的最小误差是多少。
如果你的估计结果比这个界还要好，那恭喜你，你可真是太厉害了！但如果比这个界差很多，那你可能就得想想，是不是你的方法有问题啦。
在实际应用中，克拉美罗界公式可帮了大忙。
比如说在通信领域，要准确地从收到的信号中估计出发送的信息，就可以用这个公式来衡量估计的精度。
还有在医学研究中，研究人员想通过一些实验数据来估计某种药物的疗效，克拉美罗界公式也能给出一个参考，让他们知道自己的估计是不是靠谱。
总之，克拉美罗界公式虽然看起来有点复杂，但它就像是一个隐藏在幕后的“裁判”，默默地为各种参数估计的方法打分，帮助我们找到更准确、更可靠的估计方法。
所以啊，下次当你再遇到需要通过一部分数据来估计某个整体参数的时候，不妨想想克拉美罗界公式，说不定能让你的估计更上一层楼呢！。
克拉玛公式
3x 3y z 18
(a) 由得 z =－20－2x+4y 先將將三分個別未代知可入數代代換與換任為一中兩未, 個知,數再.代換為一個.
例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3
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例題1
第二章 / 第三節
2
請看課本p.92
2x 4 y z 20
3x 2 y z 5
4x y 5z 2
解：
(a) 將×(–1) +, ×(–4) +消去, 中的x 項,
得
3 9
y y
3z 9z
6 18
例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3
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例題3
第二章 / 第三節
例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3
下一主題
第二章 / 第三節
7
請看課本p.93
解方程組的原理
方程組中的某一式乘以一常數加入另一等式, 所得 新方程組的解與原方程組的解相同.
例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3
下一主題
例題2
第二章 / 第三節
8
請看課本p.93
2x 4 y z 20 試利用加減消去法解方程組 x y z 2 .
解：
x 2 y 3z 3
2x y z 4
3x 2 y z 5
(－2) (－3)
例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3
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例題3
第二章 / 第三節
13
請看課本p.94
試利用加減消去法解下列方程組 :
行列式觧法
0 0 2 2 0
1 3 3 2 0
0 0 4 0 0
2⎤ 0⎥ ⎥ 5 ⎥. ⎥ 0⎥ 3⎥ ⎦
选择在第 4 行下之拉普拉斯展开式的行列式之值为:
det( A) = ∑ (−1) i + 4 ai 4 det( Ai 4 ) = ( −1) 3+ 4 a34 det( A34 )
i =1
5
0 1 2⎤ 0 3 0⎥ ⎥ 2 2 0⎥ ⎥ 0 0 3⎦ Use Sarrus’s rule Expand down column 2 ⎡ 1 1 2⎤ ⎥ = −4 ⋅ −2 ⋅ (9 + 27 − 30) = 48 = −4 ⋅ −2 ⋅ det ⎢ − 9 3 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 5 0 3⎥ ⎦
a12 a 22 M ai 2 M an2
L L L L
a1 j a2 j M a ij M a nj
L L L L
a1 n ⎤ a2n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. a in ⎥ M ⎥ ⎥ a nn ⎥ ⎦
因此利用子行列式，则矩阵 A 之行列式之值 det(A)，可写为
det(A) = a11 det(A11) − a12 det(A12 ) + a13 det(A13 )
定义: 沙乐氏规则( Sarrus’s rule) 求解 3x3 矩阵 A 之行列式值为，将矩阵 A 之第一及第二行元素复制至第 三行之右边，然后沿着六个对角化元素做相乘运算，其方式如下:
-
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎣ a31
a12 a22 a32
-
-
a13 ⎤ a11 a23 ⎥ ⎥ a21 a33 ⎥ ⎦ a31
例题 6: 使用拉普拉斯展开式，求解下列矩阵之行列式值?
三元一次方程组的公式解克拉玛法则-2022年学习资料
三元一次方程組的解法-三元一次方程組的解法，常利用消去-法，就是由三元消去一個未知數變成二元-方程組，再變 一元方程式，解之即可。
三元一次方程組的公式解-克拉瑪法則-克拉瑪法則：-ax+biy+ciz=di-三元一次方程組為-{a2x+ 2y+c2z=d2若令△-C2-a3x+b3y+c33=d3-ba-C3-△=-，△y=-，△=-d;-則 元一次方程組以三階行列式表示的解為-x-合y-÷2-会a+0
第二章行列式-2一2一次方程組的解法
2-1二階奥三階行列式-1.二階行列式的定義-2.三階行列式的定義
二階行列式的定義-形如-剑-叫做二階行列式’其值規定-為ad-bc-二階行列式的展開’規定如下：-C-ad -bc
二階行列式實例-求下列各行列式的值-1--2-sin a-cos 0-5-3-4-sin 0-解-=1×4 3X2=-2-7-=7×1--2×5=17-=sin 0x-sin0-cos 0xcos0-cos a-s n-=-sin次方程組的公式解-克拉瑪法則-若令△=-a,-则二元一坎方程組-ax+by=ci-以二階行列式表示的 azx+b2y=c2-解高Ⅻ管△*时→恰有一组解=头”县。-2當△=△在y=0無限多組解。-3當△=0’△ △有任一個不為0
二元一次方程組的公式解實例-克拉瑪法則-3x-4y=5-利用克拉瑪法則解方程組-l6x+7y=8-係数行列 △-67-=3×7--4×6=45-又△=-=5×7--4×8=67-△y一-=3X8-5X6=-6-即x -△x=67-2--45-15-所以，方程粗的解為x=45’y=一
三元一次方程組的公式解實例-克拉瑪法則-[x+3y+4z=14-利用克拉瑪法則解方程組x+2y+5z=11 -2x+y+2z=2-1143-△=-△x=-=-22-12-144-△y=-212-因為△丰0，故得-x -会==-2y=会==4=会==1-△--所以，方程粗的解為x=一2，y=4,z=1。
学习讲义范例_面积与二阶行列式
范例 5《面积与行列式》
3-3 面积与二阶行列式
設以 a、b 為兩鄰邊的平行四邊形面積為 5，求以 3a、2b 為兩
鄰邊的平行四邊形面積。
＜配合課本例 3＞
分析 如右圖，以 3a、2b 為兩鄰邊的平行四邊形 面積，是以 a、b 為兩鄰邊的平行四邊形的 6 倍，我們也可以用行列式的性質求之。
范例 6《克拉玛公式》
試利用克拉瑪公式解方程組 ＜配合課本例 4＞
3-3 面积与二阶行列式
。
分析
直接利用克拉瑪公式解之。先求出 、x、y，則
x＝
x
，y＝
y
。
3-3 面积与二阶行列式
范例 7《判别二元一次方程组的解》
設方程組 ( L )：Fra bibliotek，(1) 若方程組 ( L ) 恰有一組解時，求實數 k 的
值及其解。
＜配合課本例 5＞
范例 3《二阶行列式及其性质》
3-3 面积与二阶行列式
試求下列各行列式的值： ＜配合課本例 2＞
分析 利用行列式的性質求值：將某一列 ( 行 ) 乘上某數加到 另一列 ( 行 )，其值不變。
3-3 面积与二阶行列式
范例 4《利用行列式的性质求值》
＜配合課本例 2＞
分析 利用行列式的性質，將所求行列式中第一行的 b、d 項消 掉，再消去第二行的 a、c 項，即可藉由已知行列式求值。
設方程組 ( L )：
，
(3) 若方程組 ( L ) 無解時，求實數 k 的值。 ＜配合課本例 5＞
分析 (3) ＝0，而x、y 有一不為 0 方程組無解。
范例 8《克拉玛公式的应用》
設 x、y、z 都是不為 0 的實數，且方程組
其中
≠0，
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第三節 克拉瑪公式焦點一 克拉瑪公式及方程組之解的幾何意義（二元一次方程組）【例題1】求下列方程組之解：（1）⎩⎨⎧=+=+27432552y x y x （2）⎩⎨⎧-=+=+25861543y x y x （3）⎩⎨⎧=+=+30861543y x y xAns: (1)3,5==y x (2)無解(3)無限多組解【類題1】試判別下列各方程組之解：（恰有一組解，無限多組解，無解）（1）⎩⎨⎧=-=-y x y x 22015786 （2）⎩⎨⎧=-=-01560208y x y x （3）⎩⎨⎧==2263y x（4）⎩⎨⎧-==12372x x （5）⎩⎨⎧==y x y x 4653 （6）⎩⎨⎧=+=+y x y x 854432Ans: (1)一組解(2)無限多組解(3)一組解(4)無解(5)一組解(6)無解【例題2】試就a 之值討論方程組2 46(1)5ax y x a y a +=⎧⎨++=+⎩之解。
Ans: (1)當4,3-≠a 時，方程組恰有一組解，48,42++=+=a a y a x 。
(2)當a=3時，方程組無限多組解，R t t y t x ∈-==,32,2。
（3）當a=-4時，方程組無解。
【類題2】試就a 之值討論方程組⎩⎨⎧-=+-+=-+ay x a a y a x 92)5(3)5(2之解。
Ans: （1）當7,3≠a 時，方程組恰有一組解，71,713---=--=a a y a a x 。
（2）當a=3時，方程組無限多組解，R t t y t x ∈=-=,,3。
（3）當a=7時，方程組無解。
【例題3】試求⎩⎨⎧=-+=+-024032z y x z y x 之解。
Ans: R t t z t y t x ∈==-=,9,7,10【類題3】若0≠xyz 且⎩⎨⎧=+-=-+0302z y x z y x 試求，z y x ::Ans:)7(:)4(:1--【例題4】設c b a ,,三實數不全相等，試解方程組： ()()()0x y z a b c ax by cz bc ca ab b c x c a y a b z ++=++⎧⎪++=++⎨⎪-+-+-=⎩Ans: 2,2,2ba z a c y cb x +=+=+=焦點二 克拉瑪公式及方程組之解的幾何意義（三元一次方程組））三平面中有兩平面平行，而另一平面與此二平面都相交於一線，如圖）三平面兩兩相交於一直線，且此三交線兩兩平行不共點，如圖）無解）三平面中二平面重合而與第三平面平行，如圖7。
）三平面兩兩平行，如圖8。
【例題1】試以克拉瑪公式解方程組7327 25321 5518x y zx y zx y z+-=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩Ans: x=1,y=2.z=3【類題1】試以克拉瑪公式解方程組5262225 4 529 x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩Ans: 105411,10517,10538==-=z y x 【例題2】就k 之值討論方程組之解 12333 2 x y z x y kz x ky z +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩並說明其幾何意義。
Ans:(1)3,2-≠k ，一組解，31,41,1+=+==k z k y x ，三平面恰相交於一點。
(2)當k=2時，無限多組解，ℜ∈+=--=+=t t z t y t x ,1,43,55，三平面交於一直線。
(3)當k=-3時，方程組無解，三平面兩兩相交於一直線，但三條交線互相平行。
【類題2】就k 之值討論方程組之解32 2 kx y z k x ky z x y kz ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩並說明其幾何意義。
Ans:(1)2,1-≠k ，一組解，23,23,21+-=+-=+-=k z k y k k x ，三平面恰相交於一點。
(2)當k=1時，無限多組解，三平面重合。
(3)當k=-2時，方程組無解，三平面兩兩相交於一直線，但三條交線互相平行。
【例題3】若方程組(1)30320 7(1)0a x y z x y z x y a z --+=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩有異於0===z y x 之解，求a 之值及此方程組之一般解。
Ans:（1）2=a 時，ℜ∈===t t z t y t z ,2,,（2）3=a 時，R t t z t y t z ∈===,11,7,5【類題3】若方程組32 223252x y z ax x y z az x y z ay +-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有異於0===z y x 之解，求a 之值。
Ans:19--,1±2－課後練習—1.試解方程組：（1）⎩⎨⎧=+=+27905299934563019034562999y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-19951373y x y x2. 試就a 之值討論方程組⎩⎨⎧=-+=-+62)1()2(2y x a ay a x 之解。
3.設a,b,c 為實數，0≠abc ，若⎩⎨⎧=++=++00a cy bx c by ax 有無限多組解，試求x+y 之值。
4. 已知xyz ≠ 0且8x - 3y - 6z = 0，10x - 5y - 8z = 0，則zxz y x xyz y x 2654523222222+---+-之值為何。
5. 設k 為實數，若方程組⎪⎩⎪⎨⎧=-+=---=++k z y x z y x z y x 2313212有解，則k 之值為何。
6. 若方程組⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++az z y x ay z y x ax z y x 323232，除了(x ，y ，z ) = (0，0，0)之外，尚有其他解，則a 之值為何？7. 若方程組1212232-=++-=++-=++⎪⎩⎪⎨⎧kz y x z ky x k z y kx （k 為常數）(1)無解時，k = 。
(2)無限多解時，k= 。
8. 設a ∈ R ，E 1：ax + y + z = a - 3，E 2：x + ay + z = - 2，E 3：x + y + az = - 2，若E 1，E 2，E 3兩兩相交於一直線，而且三交線互相平行，則a = 。
9. 已知空間中四平面E 1：x - 2y + 3z = 5，E 2：2x + y - 3z = - 3，E 3：3x + y + 2z = 8，E 4：x + 3y + 4z = k 恰有一交點，則k = 。
10. 設x ，y ，z 為異於0的實數，若zyx y z x x z y 252274+=-=-成立，則x ，y ，z 之值為 。
參考答案:焦點一行列式的定義與其運算性質二階行列式12212211b a b a b a b a -= 三階行列式 231213132321333222111c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a -++=行列式的性質： 將行與列的元素互換，其值不變。
將兩行（列）對調，其值變號。
任一行（列）之各數可提出一數（公因數）某一行（列）的每一數都是0，則行列式之值為0。
兩行（列）之各數對應相同或成比例時，行列式之值為(6)加法性。
(7)將某行（列）的各數乘以一個非0的實數再加到另一行（列）的對應數，則行列式之值不變。
(8)三階行列式可就其某一行（列）展開【例題1】試求5364，5342，28212015之值。
Ans: 2，-2，0【類題1】試求2434225325++，ii ii +--+64152381Ans: -39+91i【例題2】若4=d c b a ，試求d d c bb a 235235--之值。
Ans: 40【例題3】設3=d c ba ，5=yx dc ，試求下列各行列式之值：（1）d c d c b a b a -+-+532532 （2）d c yb x a 554343++Ans: -51，-55【例題4】試求225172441----之值。
Ans: -72【類題4】試求423152125--，14139754321之值。
Ans: 101，14【例題5】試求273158314721-，6539262598352114----之值。
Ans: -2226，0【例題6】設5=zy x r qp cba，試求yx xz z y q p q r rq b a a c cb +++++++++之值。
Ans: 10【例題7】試證))()((111222b a a c c b c b a c ba---=【類題7】試證))()()((111333c b a a c c b b a c c b b a a ++---=焦點二行列式的應用【例題1】設ABC ∆之三頂點為)6,8(),10,4(),2,1(C B A ，試求ABC ∆之面積。
Ans: 22【類題1】設一平行四邊形有三個頂點為)3,2(),1,4(),6,4(---，試求此平行四邊形之面積。
Ans: 62【例題2】在空間中，設ABC ∆之三頂點為)11,15,32(),7,17,28(),3,1,16(---C B A ，試求ABC ∆ 之面積。
Ans: 336 【類題2】在空間中，設ABC∆之面積。
∆之三頂點為)2,1--C4,1,0(-A，試求ABCB(,3),0,2,1(),1Ans:3212【例題3】設一四面體之四頂點為)3,3-,3(---CA試求此四面體之體積。
B-D2,1),,6(),0,2,5(,4(,31),7Ans:3【類題3】設一四面體之四頂點為)1--(--DCA試求此四面體之體積。
3,1,1B,1(),,21,1,2(1,7,3(),),Ans:11焦點三共點、共線、共平面之判別【例題1】設0=-ny+x+nxx三線共點，試求n之值？y=y+,05,0213+2=8+Ans: 0或-2 【類題1】設0-y-=xayax三線共點，試求a之值？yx-55,6324,02=+-=Ans: 2或-19/4 【例題2】空間中四點)kCBD+共平面求k之值。
A-k1,1,1(),,3,2(),1,2,5(4),,3,0(kAns: 5【類題2】空間中四點)1,0,(),2,1,2(),1,1,3(),3,2,1(---a D C B A 共平面求a 之值。
Ans: -7－課後練習—1.試求8765，9876----，35212012--，25452之值。
2.若3=d c b a ，試求d c d c b a b a 25322532-+-+之值。
3.試求三頂點為)12,1(),4,11(),2,7(C B A ---的三角形之面積。
4.試求下列各行列式之值：（1）621534722-- （2）27135826413--- （3）31010531682-- （4）b a a c c b c b a +++1115.試求四頂點為)12,1,0(),17,4,1(),4,1,2(),3,3,1(------D C B A 的三角錐之體積。