高中同步测试卷·人教b数学必修2：高中同步测试卷(三) 含答案

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人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．设m ，n 是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个C ．m 与n 所成的角的范围是()0,πD ．过空间一点P 与m 、n 均平行的平面有且只有一个2．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ︒∠====,,，则该四面体的外接球的表面积为（）A ．23πB ．43πC ．4πD ．5π3．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（）A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π 4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（）A ．MN //AB B ．MN 与BC 所成的角为45°C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC 6．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法中正确的是（） A ．若m ⊂α，n ⊂α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若n αβ=，//m n ，则//m α且//m βD ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．[3,17]B ．[2,3]C ．[6,22]D ．[17,5] 8．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（）A ．10B ．105+C ．1625+D ．135+10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,EFGH 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD11．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于( )A ．43πB ．323πC ．12πD ．643π 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（） A ．1PC 与1AA 异面B ．1PC 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11ABD 相交 D ．1PC 与平面11AB D 平行13．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线； ②BM 与AN 平行； ③AF 与BM 成60角； ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 14．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是( )A ．1B ．2C ．1或7D ．2或6二、解答题15．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PA ⊥底面ABCD ，2AB AP ==，E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）求证CD AE ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离.17．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求三棱锥-D PAC 的体积.20．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.21．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是33，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED 面积的最小值是6时，求此时点E 到底面ABCD 的距离．23．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 24．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 25．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离． 26．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】在A 中，过m 上一点作n 的平行线，只能作一条l ，l 与m 是相交关系，故确定一平面与n 平行；在B 中，只有当m 与n 垂直时才能；在C 中，两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在．【详解】在A 中，过m 上一点P 作n 的平行直线l ，m l P ⋂=，由公理三的推论可得m 与l 确定唯一的平面α，l ⊂α，n ⊄α，故//n α．故A 正确．在B 中，设过m 的平面为β，若n ⊥β，则n ⊥m ，故若m 与n 不垂直，则不存在过m 的平面β与n 垂直，故B 不正确．在C 中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故C 不正确．在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．2．C解析：C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,，所以2SC =，3SB =，1BC =，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点，则外接球半径112R SC ==，故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.3．D解析：D【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.4．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.5．D解析：D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.【详解】M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直；由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.6．D解析：D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.【详解】对于A ，若m ⊂α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 相交，故A 错误；对于B ，若//m α，//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ，若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β错误，m 有可能在α或β内；对于D ，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故D 正确，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.7．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=，2212222C H =+=，22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，122sin606C O ==，故线段1C P 长度的取值范围是[6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．8．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．9．B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.10．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.11．B解析：B【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===．故选：B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 12．D解析：D【分析】取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.【详解】如下图所示：对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =， O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误；对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 13．A解析：A【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，如图所示可得：AF 与CN 是异面直线，故①正确；连接AN ，则BM 与AN 平行，故②正确；//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角，NAF 为等边三角形，60NAF ∴∠=，故③正确； BN 与DE 是异面直线，故④错误.故选：A .【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.14．C解析：C【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r ，则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==.∴球心到两个截面的距离分别为222212534,543d d =-==-=.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431d d -=-=；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437d d +=+=.故选：C .【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.二、解答题15．（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则11112213232C DBE E CBD V V h --==⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.16．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ【分析】（Ⅰ）根据PA ⊥底面ABCD ，PA ⊥CD ，再由底面ABCD 为正方形，利用线面垂直的判定定理证得CD PAD ⊥面即可.（Ⅱ）以点A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设2AB AP ==，求得向量AE 的坐标，和平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =，由cos ,AEn AE n AE n ⋅=⋅求解.（Ⅲ）利用空间向量法，由AE n d n ⋅=求解.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=所以CD PAD ⊥面.因为AE PAD ⊂面，所以CD AE ⊥.（Ⅱ）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P ，由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =，向量(2,2,0)BD =-，(2,0,2)PB =-.设平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令y=1，可得n =（1，1，1），所以 6cos ,3AE nAE n AE n ⋅==⋅. 所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. （Ⅲ）由（Ⅱ）知：(0,1,1)AE =，平面PBD 的一个法向量n =（1，1，1），所以点A 到平面PBD 的距离 33AE n d n ⋅===. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．17．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，2221111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可【详解】（1）证明：由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =，由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．（2）解如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ．由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由115B C =，1122AB =，1121AC =得1116cos 7C A B ∠=，111sin 7C A B ∠=，所以13CD =，故11139sin C D C AC AD ∠==．因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3913．【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题 18．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥，所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30. 【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）cos m n m nα=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33【分析】（1）通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .（2）取PC 的中点M ，连接DM ，根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ，由此证得DM PA ⊥，结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD . （3）利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积. 【详解】（1）连BD ，则H 为BD 中点，因为G 为BP 中点，故GH //PD ，由于GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .（2）取PC 中点M ，连DM ，则DM PC ⊥，因为PCD ⊥平面PAD ，则DM ⊥平面PAC ，所以DM PA ⊥，又PA CD ⊥，DMCD D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PD ⊥，所以224PA AD PD =-=，21343333D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.【点睛】要证明线面平行，则先证线线平行.要证明线面垂直，可通过面面、线线垂直相互转化来证明.20．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明.（2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin dA C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ， ∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C . （2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ， ∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=，∵11AA B 中，11122A B AB ==，12AA =，∴117AA B S =∴1112237323d ⨯⨯⨯=，解得217d =，设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为：1121sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）. （2）利用线面平行的判定定理. （3）利用面面平行的性质. 21．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明；（2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小. 【详解】（1）AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，1AB B E ∴⊥，BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，1BE B E ∴=22211BE B E BB +=，1BE B E ∴⊥，AB BE B ⋂=，∴B 1E ⊥平面ABE ；（2）11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离，由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，则111111332A BEA A ABE ABE V V S B E AB --==⋅=⨯⨯=，解得AB =则11A B AB == 在111Rt A B C △中，1111111tan 3B C C A B A B ∠===，11130A C B ∴∠=，即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 22．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得证．（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 32OE =，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 32OE =，∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，如图（2），由33OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离33．【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题. 23．（133a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意234BCD S a =△，231133·33D ABC A DBC DBCV V SAB a --===⨯=；（2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴24CF a=，又12CG a =， ∴CF CDCG CA =，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =，又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论． 24．（1）答案见解析；（2）3311. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =，设CO x =，23OM x =-，22224316OB OM MB x x =+=-+，222224316EB EO OB x x =+=-+，当3x =，min 10EB =，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM =，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 6QF =， ∴33sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.25．（1）证明见解析；（22．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d .【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ， ∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=; ∴d =即点C 到平面APD 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB . （2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， ∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=， ∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=， PB ∴⊥平面EFD . 【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．//m α，//n β且//αβ，则//m nB ．m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ C ．m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（）A ．10B ．1025+C ．1625+D ．1325+ 3．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面4．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A ．15B ．25C ．35D ．455．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A ．183B ．182C ．123D ．243 6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E7．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（）A ．3417B ．23417C ．51717D ．317178．如图为水平放置的ΔOAB 的直观图，则原三角形的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．129．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为62+. 其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（）A 25B 45C 5D ．2511．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A ．13cmB ．61cmC 61cmD ．234cm12．αβ、是两个不同的平面，mn 、是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④.m α⊥以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（）A ．14B ．154C ．65D ．1514．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥；②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β；③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ；④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥.其中所有正确的命题是（）A ．①④B ．②④C ．①D ．④二、解答题15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．AD平面EMN；（1）求证：1//AD与BE所成角的余弦值．（2）求异面直线1⊥，D是棱AB的中点，且16．如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC BC==.AC BC VC（1）证明：平面VAB⊥平面VCD；（2）若22AC=，且棱AB上有一点E，使得线VD与平面VCE所成角的正弦值为15，试确定点E的位置，并求三棱锥C-VDE的体积.15-中，底面ABCD是边长为2的正方形，17．在四棱锥P ABCD∠==∠=，E为PD的中点．ADP PD AD PDC90,,60（1）证明：CE⊥平面PAD．-外接球的体积．（2）求三棱锥E ABC18．如图甲，平面四边形ABCD中，已知45∠=，90︒A︒∠=，ADC︒∠=C，1052AB BD ==，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求三棱锥A BEF -的体积.19．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．20．如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，2AD AF CD ===，4AB =.（1）求证：AC ⊥平面BCE ；（2）求三棱锥E BCF -的体积.21．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，点E 是DC 的中点．将ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB（1）求证：AD ⊥平面BDE ；（2）求平面ADE 与平面BDC 所成锐二面角的余弦值.22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是33，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 23．如图，棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别为棱B 1C 1、BB 1中点，G 在A 1D 上且DG ＝3GA 1，过E 、F 、G 三点的平面α截正方体.（1）作出截面图形并求出截面图形面积（保留作图痕迹）；（2）求A 1C 1与平面α所成角的正弦值. （注意：本题用向量法求解不得分）24．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.25．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，2AD PD ==，60DAB ∠=，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC BD O =.（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ；（Ⅱ）求三棱锥A PFB -的体积；26．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求证：平面//EFG 平面PM A ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面或相交，故A 不正确；对于B ，若“m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l ，所以B 不成立．对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l ，也可能α⊥β，故C 不正确；对于D ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题D 正确．故答案为D【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间想象能力.2．B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯+⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.3．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.4．D解析：D【分析】本题先通过平移确定异面直线1A B 与1AD 所成角11A BC ∠，再在11A BC 中通过余弦定理求该角的余弦值即可.【详解】解：连接11A C 、1BC （如图），设12=2AA AB k =（0k >），则11=5A BC B k=，112AC k=，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，∵11//BC AD ，∴ 异面直线1A B 与1AD 所成角可以表示为11A BC ∠，在11A BC 中，222222*********cos 25255A B BC AC A BC A B BC k k+-∠===⋅⋅⨯⨯，故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，余弦定理，是中档题.5．B解析：B【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .可得πr 2+πrl ＝36π，2πr ＝l •23π，联立解得：r ，l ，h 22l r =-即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh . 【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .则πr 2+πrl ＝36π，化为：r 2+rl ＝36，2πr ＝l •23π，可得l ＝3r . 解得：r ＝3，l ＝9，h 22l r =-=2.该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh ＝2=2. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 6．C解析：C【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题7．D解析：D【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ，且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317172317==⨯⨯. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.8．C解析：C【分析】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，还原三角形的图象，求得面积.【详解】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，如图所示：故原三角形面积为：13462S =⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查了还原直观图为直角坐标系的图像问题，考查了学生概念理解，直观想象，数学运算的能力，属于基础题.9．C解析：C【分析】作出三棱锥P ABC -的图象，逐一判断各命题，即可求解．【详解】作出三棱锥P ABC -的图象，如图所示：．对于①，根据题意可知，PD ⊥平面ABC ，且1DP DC ==，所以2PA PB PC ===①正确；对于②，在PAB △中，2PA PB ==02AB <<，所以2cos 222AB PAB PA ⎛∠== ⎝⎭，即PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，②正确；对于③，因为DP DA DB DC ===，所以三棱锥P ABC -外接球的球心为D ，半径为1，其体积为43π，③不正确；对于④，当AB BC =时，BD AC ⊥，所以2BC =将平面PBC 沿翻折到平面PAC 上，则DE BE +的最小值为线段BD 的长，在展开后的DCB 中，6045105DCB ∠=+=，根据余弦定理可得6221221cos1052BD +=+-⨯⨯⨯=， ④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征，三棱锥外接球的体积求法，以及通过展开图求线段和的最小值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题． 10．C解析：C【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由OC OF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ，又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.11．A解析：A【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 12．B解析：B【分析】分别以①②③④作为结论，另外三个作条件，根据线面垂直和面面垂直的判定定理依次判断真假.【详解】若m n ⊥，αβ⊥，n β⊥，则m 与α可能平行可能相交，即①②③不能推出④；同理①②④不能推出③；若m n ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面垂直，则αβ⊥，即①③④能够推出②；若αβ⊥，n β⊥，m α⊥，两个平面互相垂直，则这两个平面的垂线互相垂直，即m n ⊥，所以②③④能够推出①.所以一共两个命题正确.故选：B【点睛】此题考查空间直线与平面位置关系的辨析，根据选择的条件推出结论，关键在于熟练掌握空间垂直关系的判定和证明.13．D解析：D【分析】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出cosEG BEG BE ∠==cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则BE DE ==BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，则EG ==cos EG BEG BE ∠== 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-，即：31cos 2155BED ∠=⨯-=，所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.14．A解析：A【分析】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论．【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确． ②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确．故选：A【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．二、解答题15．（1）证明见解析（2）8585【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果.【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅175********+-⨯⨯88585=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16．（1）证明见解析；（2）点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点；223.【分析】（1）易得CD AB ⊥，再根据VC ⊥底面ABC ，得到 VC AB ⊥，进而AB ⊥平面VCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，DF ⊥平面VCE ，则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角，在Rt VFD 中，由15sin DF DVF VD ∠==，求得DF ，然后在Rt DCE 中，求出1DE =，然后由三棱锥C-VDE 的体积为13CDE V S VC =⋅⋅求解. 【详解】（1）因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ，AB平面ABC ，所以VC AB ⊥，而VC CD C ⋂=，所以AB ⊥平面VCD .又AB 平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE .，连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.在Rt VFD 中，1515DF VD =. 又因为3VD =55DF =. 在Rt DCE 中，1DE =.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点，三棱锥C-VDE 的体积为1112221223323CDE S VC ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．17．（1）证明见解析；（2）82π. 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC =，在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)33V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.18．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）在图甲中先证AB BD ⊥，在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥，由条件可得DC BC ⊥，进而可判定DC ⊥平面AB C ；（2）利用等体积法进行转化计算即可.【详解】（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=，()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥，图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥，又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=，又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ；（2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点，所以//EF DC ，且12EF DC =，所以EF ⊥平面ABC ，由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=， 90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，cos3022BC BD ︒∴=⋅=⨯=1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=，所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==，所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 【点睛】方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面.19．（1）证明见解析；（2）14．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（0x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，∴CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =，由余弦定理得AE ===又2DE ===，∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（0x <≤PQ =，QE x =， 12)2QDE S x x =⨯⨯=△，21)33P QDE QDE V PQ S x -=⋅=--△2(3x =--+≤x =则当P QDE V -最大时，AQ =∴Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,QB QE ==PQ ⊥平面ABCD 得3,PE PB ==2BE =，则222cos 2PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅，∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为14．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 20．（1）证明见解析；（2）83. 【分析】（1）先证明AC ⊥BE ,再取AB 的中点M ，连接CM ，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC ⊥BC ,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）利用线面垂直的判定定理证得CM ⊥平面BEF ,即为所求三棱锥的高，进而计算得到其体积.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABEF 为矩形∴//AF BE∵AF ⊥平面ABCD ∴BE ⊥平面ABCD∵AC ⊂平面ABCD ∴AC BE ⊥.如图，取AB 的中点M ，连接CM ，∴122AM AB DC === ∵//AM DC ，90MAD ∠=︒，2AM DC AD ===∴四边形ADCM 是正方形.∴90ADC ∠=︒∴222448C AD DC =+=+=，222448BC CM BM =+=+= ∵4AB =∴222AC BC AB +=∴ABC 是直角三角形∴AC BC ⊥. ∵BCBE B =，BC 、BE ⊂平面BCE∴AC ⊥平面BCE（2）由（1）知：CM AB ⊥∵AF ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ∴AF CM ⊥∵AF AB A ⋂=，AF 、AB 平面ABEF∴CM ⊥平面ABEF ，∴CM ⊥平面BEF即：CM 是三棱锥C BEF -的高 ∴11182243323E BCF C BEF BEF V V CM S --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥的体积的计算，属基础题.在利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时一定要将条件表述全面，“两个垂直，一个相交”不可缺少.21．（1）证明见解析；（2）1111．【分析】（1）计算出AE BE =得证AE BE ⊥，从而由面面垂直性质定理得线面垂直中，又得线线垂直AD BE ⊥，再由已知线线垂直AD AE ⊥可证得结论线面垂直；（2）取AE 的中点O ，连结DO ，可证DO ⊥平面ABCE ，过E 作直线//EF DO ，以EA 、EB 、EF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】（1）证明：∵2AD DE ==，90ADE ∠=︒ ∴22AE BE ==，4AB =，∴222AE BE AB +=，∴AE BE ⊥ 又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =， ∴BE ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BE ⊥，又AD DE ⊥，DE BE E ⋂=，所以AD ⊥平面BDE.（2）取AE 的中点O ，连结DO ，∵DA DE =，∴DO AE ⊥，又平面ADE ⊥平面ABCE ，∴DO ⊥平面ABCE ，过E 作直线//EF DO ，以EA 、EB 、EF 分别为为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：则(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),(2,0,2)E A B D ，(2,2,0)C -平面ADE 的法向量1//n EB ，∴1(0,1,0)n =又(2,2,0)CB =，(2,22,2)DB =-，设平面BDC 的法向量为()2,,n x y z =，2200n CB n DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，0220x +=∴-+=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩ ∴平面BDC 的法向量2(1,1,3)n =--121212cos ,1111n n n n n n ⋅∴===⋅⨯ ∴平面ADE 与平面BDC 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求二面角．证明线面垂直的方法是：根据线面垂直的判定定理先证线线垂直，当然证明线线垂直又根据面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直．三个垂直相互转化可证结论；求二面角（空间角）常用方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，用计算代替证明．22．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明；（2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小.【详解】（1）AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，1AB B E ∴⊥，BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，1BE B E ∴=22211BE B E BB +=，1BE B E ∴⊥，AB BE B ⋂=， ∴B 1E ⊥平面ABE ；（2）11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离，由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，则1111113323A BEA A ABE ABE V V SB EAB --==⋅=⨯⨯=，解得AB = 则11A B AB == 在111Rt A B C △中，1111111tan 3B C C A B A B ∠===，11130A C B ∴∠=，即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．23．（1）截面见解析，面积为22；（2）12. 【分析】（1）先根据线面平行的性质定理确定出,EF MN 的位置关系，再根据,EF MN 的长度关系确定出,M N 的位置，从而截面的形状可确定以及截面面积可求；（2）记11ME AC H =，通过线面垂直证明1A HG ∠即为所求的线面角，从而计算出11A C 与平面α所成角的正弦值.【详解】（1）如图截面为矩形EFNM ：因为//EF 平面11ADD A ，且平面EFNM平面11ADD A MN =，所以//EF MN ，又因为111111////,==22EF BC AD EF BC AD ，且3DG GA =，所以可知111//,2MN AD MN AD =，所以//,MN EF MN EF =，所以可知,M N 为棱111,AA A D 的中点，所以四边形EFNM 为矩形，且112,2EF ME =+==，所以截面EFNM 的面积为2；（2）记11ME AC H =，连接GH ，如图所示：因为//NF AB ，AB ⊥平面11AA D D ，所以NF ⊥平面11AA D D ，又1AG ⊂平面11AA D D ，所以1NF A G ⊥，由（1）知1//MN AD 且11A D AD ⊥，所以1MN A D ⊥，所以1MN AG ⊥，且MN NF N =，1A G ⊥平面EFNM ，所以11A C 与平面α所成角为1A HG ∠，因为111222442AG A D ===，111122A H AC ==1111sin 2A G A HG A H ∠==，所以11A C 与平面α所成角的正弦值为12. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.24．(I)证明见解析；(II)33 . 【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EFAP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形，∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内，∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE .（Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， 6222EP PQ EQ a PQ a ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，3cos PQ EQP EQ ∠==． ∴二面角A CD E --的余弦值为33. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ3 【分析】（Ⅰ）通过证明平面//OFG 平面PAB ，进一步得出结论；（Ⅱ）利用等体积法即1124A PFB A PDB P ABCD V V V ---==，进一步求出答案. 【详解】（Ⅰ）如图，连接OF ，OG ∵O 是BD 中点，F 是PD 中点，∴//OF PB ，而OF ⊂/平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴//OF 平面PAB ，又∵O 是AC 中点，G 是BC 中点，∴//OG AB ，而OG ⊂/平面PAB ，AB平面PAB ，∴//OG 平面PAB ，又OG OF O =∴平面//OFG 平面PAB ，即//FG 平面PAB . （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD AO ⊥，又四边形ABCD 为菱形，∴BD AO ⊥，又ADDB D =，∴AO ⊥平面PDB ，而F 为PD 的中点， ∴1111322sin 60224433A PFB A PDB P ABCD V V V ︒---===⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查立体几何的知识点，属于中档题. 立体几何常用的三种解题方法为：（1）分割法;（2）补形法;（3）等体积法.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先证明BC ⊥平面PDC ，再利用线线平行证明GF ⊥平面PDC ，即证面面垂直；（2）先利用中位线证明//EG PM ，////GF BC AD ，再由此证明面面平行即可.【详解】（1）证明：由已知MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，∴PD ⊥平面ABCD ．又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，∴BC DC ⊥，又PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，在PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴//GF BC ，∴GF ⊥平面PDC ．又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC ．（2）∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，∴//EG PM ，//GF BC ，又∵四边形ABCD 是正方形，∴//BC AD ，∴//GF AD ，∵EG 、GF 在平面PM A 外，PM 、AD 在平面PM A 内， ∴//EG 平面PM A ，//GF 平面PM A ，又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交，∴平面//EFG 平面PM A ．【点睛】本题考查了线线、线面、面面之间平行与垂直关系的转化，属于中档题.。

高中同步测试卷·人教b数学必修2：高中同步测试卷(六) 含答案

高中同步测试卷(六)单元检测点、直线、平面之间的位置关系(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直2．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有( )A．1条B．2条C．3条D．1条或2条3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．平面α内的所有直线与直线l异面B．平面α内不存在与直线l平行的直线C．平面α内存在唯一的直线与直线l平行D．平面α内的所有直线与直线l都相交4．如图，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC5．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的关系是( )A ．PE>PG>PFB ．PG>PF>PEC ．PE>PF>PGD ．PF>PE>PG6．若异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝l ，则直线l( )A ．与直线a ，b 都相交B ．至少与a ，b 中的一条相交C ．至多与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 中的一条相交，另一条平行7.如图所示，已知E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角的正弦值是( )A.26B.36C.13D.668．设平面α∩平面β＝l ，点A ，B ∈α，点C ∈β，且A ，B ，C 均不在直线l 上，给出四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥AB l ⊥AC ⇒α⊥β； ② ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥AC l ⊥BC ⇒α⊥平面ABC ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βAB ⊥BC ⇒l ⊥平面ABC; ④AB ∥l ⇒l ∥平面ABC.其中正确的命题是( )A ．①与②B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 9．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( ) A.33 B ．1 C. 2D. 3 10.如图所示，四棱锥S -ABCD 中，底面是边长为2的正方形，AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD ，且SO ＝2，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P的轨迹的周长为( )A.2＋6 B ．3 2 C ．3 6 D.2＋2 6。

(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总

（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

高中同步测试卷·人教b数学必修2：高中同步测试卷(十二) 含答案

高中同步测试卷(十二)圆与方程微专题(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝02．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( ) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝03．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝04．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能5．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ) A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝( )A ．2 B.12 C ．1 D.37．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33B ．－33C ．±33D ．－38．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－22 D.179．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－34，0B.⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－34∪[)0，＋∞C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，0 10．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y(y －mx －m)＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．12．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．13．过点A(4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2，1)，则圆C 的方程为________．14．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.证明：l 1与l 2相交．。

必修二高中数学人教B版模块综合测试(附答案)

必修二高中数学人教B 版模块综合测试(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R ，则这个几何体的体积是( ) A.31πR 3 B.32πR 3 C.πR 3 D.334R π 解析：由题意,这个几何体是球,故体积为34πR 3. 答案：D2.在空间直角坐标系中，方程x 2-4(y-1)2=0表示的图形是( )A.两个点B.两条直线C.两个平面D.一条直线和一个平面解析：由原方程可得(x+2y-2)(x-2y+2)=0，∴x+2y-2=0或x-2y+2=0.答案：C3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是( )A.20B.14C.12D.6解析：相对两平行平面中有两组平行对角线,可以确定两个平面,这样有6个平面.又因为每个顶点对应一个符合条件的平面,这样又有8个平面,共有14个平面.答案：B4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解：设(x 0,y 0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),则2x 0+3y 0-6=0.(*) 又由对称性知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+.12,1200y y x x∴⎩⎨⎧--=-=.2,200y y x x 代入(*)式得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0. 答案：D5.与圆C:x 2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条解析：原点在圆C 外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为x+y=a,圆心为(0,-5),半径为3, ∴32|50|=--a .∴a=-5±6.∴在两轴上截距相等、斜率为-1的直线又有两条,共有4条.答案：C6.(2020高考天津卷,文7)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：本题考查线面和面面的垂直平行垂直关系.①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的.答案：C7.(2020高考全国卷Ⅰ,理7文9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A.16πB.20πC.24πD.32π 解析：本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的直径为62,根据球的表面积公式,可得球的表面积为24π. 答案：C 8.将若干毫升水倒入底面半径为4 cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )A.36B.6C.3184D.398 解：设水面高度为h.由42×8π=31×(33h)2πh ， ∴h=3184.故选C. 答案：C9.已知点P(2,-3)、Q(3,2),直线ax-y+2=0与线段PQ 相交,则a 的取值范围是( )A.a≥34 B.a≤34- C.25-≤a≤0 D.a≤34-或a≥21 解析：直线ax-y+2=0可化为y=ax+2,斜率k=a,恒过定点A(0,2).如图,直线与线段PQ 相交,0≥k≥k A P,即25-≤a≤0.答案：C10.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解：圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离为d=5|113433|-⨯+⨯=2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有3个.答案：C11.直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，与圆x 2+y 2-18x+45=0相切，则l 的方程是( )A.4x-3y-6=0B.4x-3y-66=0C.4x-3y-6=0或4x-3y-66=0D.4x-3y-15=0解：由直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，则可设l 的方程是4x-3y+b=0.由圆x 2+y 2-18x+45=0，知圆心O′(9，0)，半径r=6，∴5|0394|b +⨯-⨯=6,|36+b|=30. ∴b=-6或b=-66.故l 的方程为4x-3y-6=0或4x-3y-66=0.答案：C12.直线3x-2y+m=0和直线(m 2-1)x+3y-3m+2=0的位置关系是( )A.平行B.重合C.相交D.不能确定解析：因为3×3-2(m 2-1)=0，m 无解,可得3×3≠2(m 2-1)，即两直线斜率不相等,所以这两条直线不平行或重合,由两直线相交的条件,可得两直线相交.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知A(-1，-2，1)、B(2，2，2)，点P 在z 轴上，且d(P,A)=d(P,B),则点P 的坐标为___________. 解：∵P 在z 轴上，∴设P 点坐标为(0，0，z).又∵|PA|=|PB|，∴利用距离公式得z=3.答案：(0，0，3)14.若P 在坐标平面xOy 内,A 点坐标为(0,0,4),且d(P,A)=5,则点P 组成的曲线为___________. 解析：考查两点距离公式的应用和探究问题的能力.设P(x,y,0)，则d(P,A)=222)40()0()0(-+-+-y x ，因为|PA|=5,所以x 2+y 2+16=25,即x 2+y 2=9.所以P 点在xOy 坐标面上形成一个以(0,0)为圆心，以3为半径的圆.答案：以(0,0)为圆心，以3为半径的圆15.如图1，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图1解析：可以考虑用一个与原来全等的几何体，倒过来拼接到原几何体上，得到一个底面半径为r ，母线长为(a+b)的圆柱，其体积为πr 2(a+b)，故所求体积为21πr 2(a+b).答案：21πr 2(a+b) 16.过圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________. 解：圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心为(3,-2).设所求直线斜率为k,则k=21-. ∴方程为y+2=21-(x-3),即x+2y+1=0. 答案：x+2y+1=0三、解答题(共74分)17.(本小题12分)如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:图2(1)A 1D ∥平面CB 1D 1;(2)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：(1)∵A 1B 1∥CD 且A 1B 1=CD,∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形,故A 1D ∥B 1C.又B 1C ⊂平面CB 1D 1且A 1D ⊂平面CB 1D 1,∴A 1D ∥平面CB 1D 1.(2)由(1)A 1D ∥平面CB 1D 1,同理可得A 1B ∥平面CB 1D 1,又A 1D∩A 1B=A 1,且A 1D 和A 1B 都在平面A 1BD 内,所以平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.18.(本小题12分)如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1,AB=CC 1=1,BC=2.图3(1)求证：A 1C 1⊥AB ；(2)求点B 1到平面ABC 1的距离.(1)证明：连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1.∴AB 1⊥A 1C 1.又∵A 1C 1⊥BB 1,∴A 1C 1⊥平面ABB 1.∴A 1C 1⊥AB.(2)解：由(1)知AB ⊥AC ，∵AB ⊥AC 1,又∵AB=1,BC=2，∴AC=3,AC 1=2.∴1ABC S ∆=1.设所求距离为d ，∴1111ABB C ABC B V V --=. ∴31S △ABC 1·d=131ABB S ∆·A 1C 1. ∴31·1·d=31·21·3. ∴d=23. 19.(本小题12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.∵圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在x+2y=0上.∴a+2b=0. ① ∵圆被直线截得的弦长为22,∴(2|1|+-b a )2+(2)2=r 2. ② 由点A(2,3)在圆上,得(2-a)2+(3-b)2=r 2. ③联立①②③,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==.244,7,1452,3,622r b a r b a 或∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.20.(本小题12分)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；(3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解：(1)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9的圆心为C(1，0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y-2=21-(x-2),即x+2y-6=0. (3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l 的距离为21，圆的半径为3，弦AB 的长为34. 21.(本小题12分)如图4，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ；图4(1)画出直线l ；(2)设l∩A 1B 1=P,求PB 1的长；(3)求D 到l 的距离.解：(1)连结DM 并延长交D 1A 1的延长线于Q.连结NQ ，则NQ 即为所求的直线l.(2)设QN∩A 1B 1=P,△A 1MQ ≌△MAD,∴A 1Q=AD=A 1D 1,A 1是QD 1的中点.∴A 1P=21D 1N=4a .∴PB 1=43a. (3)作D 1H ⊥l 于H ，连结DH ，可证明l ⊥平面DD 1H ，则DH ⊥l,则DH 的长就是D 到l 的距离.在Rt △QD 1N 中，两直角边D 1N=2a ,D 1Q=2a,斜边QN=a 217,∴D 1H·QN=D 1N·D 1Q,即D 1H=a 17172,DH=a a a 17357)17172(22=+,∴D 1到l 的距离为a 17357. 22.(本小题14分)设有半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇，设A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇.解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3V 千米/小时、V 千米/小时，再设出发x 0小时，在点P 改变方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇，则P 、Q 两点坐标为(3Vx 0,0)、(0,Vx 0+y 0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3Vx 0)2+(Vx 0+y 0)2=(3Vy 0)2，即(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.∵x 0+y 0＞0，∴5x 0=4y 0. ① 将①代入k PQ =0003x y x +-,得k PQ =43-. 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置. 设直线y=43-x+b 与圆O ：x 2+y 2=9相切，则有2243|4|+b =3， ∴b=415.。

高中同步测试卷·人教b数学必修2：高中同步测试卷(五) 含答案

高中同步测试卷(五)单元检测线面、面面垂直的判定和性质(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于直线l，m及平面α，β，下列说法中正确的是( )A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α2．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．120°4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中正确的是( ) A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α∥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．设M表示平面，a，b表示直线，给出下列四个命题：①若a∥b，a⊥M，则b⊥M；②若a⊥M，b⊥M，则a∥b；③若a⊥M，a⊥b，则b∥M；④若a∥M，a⊥b，则b⊥M.其中正确的命题是( )A．①②B．①②③C．②③④D．①②④6．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有( )A．1对B．2对C．3对D．5对6题图7题图8题图7．三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC8．如图，S为△ABC平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，则下列结论成立的是( )A．AB⊥BC B．平面SAC⊥平面SBCC．SB＝SC D．以上都不对9.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C 的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°10．如图(1)所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠DCB＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD(如图(2)所示)，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC。

高中数学必修二期末考试试卷(三)(含答案解析)

高中数学必修二期末考试试卷（三）（含答案解析）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.直线l 经过原点和(1，－1)，则l 的倾斜角是( ) A.45° B.－45° C.135° D.45°和135° 答案 C解析 ∵直线l 经过坐标原点和点(1，－1)，∴直线l 的斜率k ＝－11＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°，故选C.2.已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |等于( )A.10B.180C.6 3D.6 5考点两点间的距离公式题点求两点间的距离答案 D 解析 k MN ＝a －4－2－a＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.－34≤k ≤4D.以上都不对考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角和斜率关系的其他应用答案 A解析建立如图所示的直角坐标系.由图可得k ≥k PB 或k ≤k P A .∵k PB ＝34，k P A ＝－4，∴k ≥34或k ≤－4.4.若光线从点P (－3,3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( ) A.10 B.5＋17 C.4 5D.217考点对称问题的求法题点光路可逆问题答案 C解析 Q (－1，－5)关于y 轴的对称点为Q 1(1，－5)，易知光线从点P 到点Q 走过的路程为|PQ 1|＝42＋(－8)2＝4 5.5.到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A.3x －4y －11＝0B.3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0C.3x －4y ＋9＝0D.3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0 答案 B解析直线3x －4y －11＝0与3x －4y ＋9＝0到直线3x －4y －1＝0的距离均为2，又因为直线3x －4y ＋11＝0到直线3x －4y －1＝0的距离为125，故不能选择A ，C ，D ，所以答案为B.6.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.－32 B.－23 C.25 D.2考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案 A解析由两点式y －19－1＝x ＋13＋1，得y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，即为在x 轴上的截距.7.若直线mx ＋ny ＋2＝0平行于直线x －2y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为1，则m ，n 的值分别为( ) A.1和2 B.－1和2 C.1和－2D.－1和－2 考点直线的一般式方程与直线的平行关系题点根据平行求参数的值答案 C解析由已知得直线mx ＋ny ＋2＝0过点(0,1)，则n ＝－2，又因为两直线平行，所以－m n ＝12，解得m ＝1.8.若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( ) A.(3,5) B.(－3,5) C.(－3，－5) D.(3，－5)答案 C解析方程(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0可整理得m (2x －y ＋1)－(3x －2y －1)＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，3x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.故P (－3，－5).9.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4)D.(4，－2)考点对称问题的求法题点直线关于点的对称问题答案 B解析 ∵l 1：y ＝k (x －4)过定点M (4,0)，而点M 关于点(2,1)的对称点为N (0,2)，故直线l 2过定点(0,2).10.直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )考点直线的斜截式方程题点直线斜截式方程的应用答案 B解析根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的纵截距同正负.11.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－12考点直线的一般式方程与直线的垂直关系题点根据垂直求参数的值答案 B解析由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 12.已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案 B解析由题意知，所给两条直线平行，∴n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.过点(－2，－3)且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为____________. 考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案 x ＋y ＋5＝0或3x －2y ＝0解析当直线过原点时，所求直线的方程为3x －2y ＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x ＋y ＋5＝0.14.过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.答案 x ＝12或x －3y ＋1＝0解析易求得两直线交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，当斜率不存在时，显然直线x ＝12满足条件.当斜率存在时，设过该点的直线方程为y －32＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式得2kx －2y ＋3－k ＝0，因为直线与原点的最短距离为12，所以|3－k |4＋4k 2＝12，解得k ＝33，所以所求直线的方程为x －3y ＋1＝0.15.已知直线x －2y －2k ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是________________. 答案 [－1,0)∪(0,1]解析令x ＝0，得y ＝－k ，令y ＝0，得x ＝2k ， ∴三角形的面积S ＝12|xy |＝k 2.又S ≤1，即k 2≤1.∴－1≤k ≤1.又当k ＝0时，直线过原点，与两坐标轴构不成三角形，故应舍去. ∴实数k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1].16.已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________. 考点中点坐标公式题点求过中点的直线方程答案－23解析设P (x,1)，则Q (2－x ，－3)，将点Q 的坐标代入x －y －7＝0，得2－x ＋3－7＝0. ∴x ＝－2，∴P (－2,1)，∴k l ＝－23.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得直线l ′的方程. 考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化解在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0).∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°. 若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18.(12分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积.解 (1)由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y ＋2＝tan 60°·x ，即3x －y －2＝0. (2)设直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，令y ＝0得x ＝233；令x ＝0得y ＝－2.所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×233×2＝233，故所求三角形的面积为233.19.(12分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程. 解 (1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.直线l 1与l 2的交点坐标为(2,1). (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1(a ≠0)，又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为x －2y ＝0或2x ＋y －5＝0.20.(12分)已知点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，关于原点的对称点为C (x 2，y 2). (1)求△ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程； (2)求△ABC 的面积. 考点中点坐标公式题点与中位线有关的问题解 (1)∵点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，∴B (5，－1)，又∵点A (5,1)关于原点的对称点为C (x 2，y 2)， ∴C (－5，－1)，∴AB 的中点坐标是(5,0)，BC 的中点坐标是(0，－1).过(5,0)，(0，－1)的直线方程是y －0－1－0＝x －50－5，整理得x －5y －5＝0.(2)易知|AB |＝|－1－1|＝2，|BC |＝|－5－5|＝10，AB ⊥BC ， ∴△ABC 的面积S ＝12|AB |·|BC |＝12×2×10＝10.21.(12分)已知直线l 1：y ＝－k (x －a )和直线l 2在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l 1过点P (－3,3).如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，求l 2的方程. 考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化解由题意，可设直线l 2的方程为y ＝k (x －a )，即kx －y －ak ＝0，∵点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，∴|2k －2－ak |k 2＋1＝1，①又∵直线l 1的方程为y ＝－k (x －a )，且直线l 1过点P (－3,3)，∴ak ＝3－3k .② 由①②得|5k －5|k 2＋1＝1，两边平方整理得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.∴当k ＝43时，代入②得a ＝－34，此时直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0；当k ＝34时，代入②得a ＝1，此时直线l 2的方程为3x －4y －3＝0.综上所述，直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.22.(12分)已知直线l ：y ＝4x 和点P (6,4)，点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线P A 交x 轴的正半轴于点B ，(1)当OP ⊥AB 时，求AB 所在直线的方程；(2)求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时点B 的坐标. 考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题解 (1)∵点P (6,4)，∴k OP ＝23.又∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－32.∵AB 过点P (6,4)，∴直线AB 的方程为y －4＝－32(x －6)，化为一般式可得3x ＋2y －26＝0.(2)设点A (a,4a )，a >0，点B 的坐标为(b,0)，b >0，当直线AB 的斜率不存在时，a ＝b ＝6，此时△OAB 的面积S ＝12×6×24＝72.当直线AB 的斜率存在时，有4a －4a －6＝0－4b －6，解得b ＝5aa －1，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫5a a －1，0，故△OAB 的面积S ＝12·5a a －1·4a ＝10a 2a －1，即10a 2－Sa ＋S ＝0.①由题意可得方程10a 2－Sa ＋S ＝0有解，故判别式Δ＝S 2－40S ≥0，∴S ≥40，故S 的最小值为40，此时①为a 2－4a ＋4＝0，解得a ＝2. 综上可得，△OAB 面积的最小值为40，当△OAB 面积取最小值时，点B 的坐标为(10,0).。

高中同步测试卷·人教化学必修2：高中同步测试卷(二) Word版含答案

高中同步测试卷(二)集训2元素周期律(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本题包括16小题，每小题只有一个选项符合题意，共48分)1．某元素原子的最外层电子数为次外层电子数的3倍，则该元素原子核内质子数为() A．3 B．7C．8 D．102．核电荷数为16的元素和核电荷数为4的元素的原子相比较，前者的下列数据是后者的4倍的是()①电子数②最外层电子数③电子层数④次外层电子数A．①④B．①③④C．①②④D．①②③④3．某元素原子的最外层电子数是次外层的a倍(a＞1)，则该原子的核内质子数是() A．2a＋2 B．2a＋10C．a＋2 D．2a4.如图是一块非常独特的手表，用H～Mg 12种元素分别表示1：00～12：00，关于此表的下列说法中不正确的是()A．2：00时的时针和12：00时的分针所指元素极难形成化合物B．7：00时，时针和分针所指元素可能形成相对分子质量为100的化合物C．8：00时，时针和分针所指元素形成的氧化物属于碱性氧化物D．3：00时，时针所指元素的金属性比11：00时时针所指元素的金属性强5．下列选项与Li<Na<K<Rb<Cs的变化规律不相符的是()A．与水或酸作用置换出氢气的反应程度越来越剧烈B．对应元素的金属性由弱到强C．对应金属阳离子的氧化性由弱到强D．原子半径由小到大6．某主族元素R的最高正化合价与最低负化合价的代数和为4，由此可以判断() A．R一定是第四周期元素B．R一定是第ⅣA族元素C．R的气态氢化物比同周期其他元素气态氢化物稳定D．R气态氢化物化学式为H2R7．如图是M、N两种主族元素的原子结构示意图，下列说法正确的是()A．M位于第五周期Ⅶ族B．N位于IA族，该主族中的元素又称为碱金属元素C．N在空气中燃烧，生成化学式为N2O的氧化物D．M所在的主族中各元素是同周期元素中非金属性最强的元素8．下列事实不能作为实验判断依据的是()A．钠和镁分别与冷水反应，判断金属活动性强弱B．铁投入CuSO4溶液中，能置换出铜，钠投入CuSO4溶液中不能置换出铜，判断钠与铁的金属活动性强弱C．酸性H2CO3<H2SO4，判断硫与碳的非金属性强弱D．F2、Cl2分别与H2反应，判断氟与氯的非金属性强弱9．W、X、Y、Z四种元素是原子序数依次增大的短周期元素，已知：(1)四种元素的电子层数之和等于10，且它们分属于连续的四个主族；(2)四种元素的原子中半径最大的是X原子。

高中同步测试卷·人教b数学必修2：高中同步测试卷(四) 含答案

高中同步测试卷(四)单元检测线面、面面平行的判定和性质(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．能保证直线与平面平行的条件是( )A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的某一条直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交2．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面给出五个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③a∥c，c∥α⇒a∥α；④a∥γ，α∥γ⇒a∥α；⑤a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是( )A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤3．若直线a与平面α平行，则必有( )A．在α内不存在与a垂直的直线B．在α内存在与a垂直的唯一直线C．在α内有且只有一条直线与a平行D．在α内有无数条直线与a平行4．已知长方体ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定5．直线a，b，c及平面α，β，使a∥b成立的条件是( )A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b6．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，则( )A．平面α∥平面ABC B．△ABC中至少有一边平行于平面αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与平面α相交7.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB 的中点，给出以下结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC，其中正确的个数有( )A．1 B．2C．3 D．48.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列说法中错误的是( )A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD成45°角9.如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )A．2＋ 3 B．3＋ 3C．3＋2 3 D．2＋2 310．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面。

优化方案高中同步测试卷人教B数学必修2高中同步测试卷(三) 含答案

优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修2：高中同步测试卷(三) Word版含答案百度文库高中同步测试卷(三)单元检测平面的性质及点、线、面的位置关系(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个条件中，能确定一个平面的是( )A．空间任意三点C．两条平行直线B．空间两条直线D．一条直线和一个点2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′＝( )A．130°B．50°D．不确定C．130°或50°3．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线C．不可能是平行直线4．下列推断中，错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α，β重合5．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A．α内的所有直线均与a异面C．α内直线均与a相交B．α内不存在与a平行的直线D．直线a 与平面α有公共点B．一定是相交直线D．不可能是相交直线6．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是( )A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内7．以下四个命题：百度文库百度文库①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a?平面α，直线b?平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a?平面α，直线b?平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是( )A．①②C．③④B．②③D．①③8．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ ＝2，QR＝5，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( ) A．90°C．45°B．60°D．30°9．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是( )A．平行C．重合B．相交D．平行或相交10．下列说法中正确的个数是( )①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④若a在平面α外，则a∥α.A．0C．2B．1 D．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．百度文库百度文库12．平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．13．若直线a?α，直线b?β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是________．14.正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．百度文库百度文库16．(本小题满分10分)求证：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．17．(本小题满分10分)已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；百度文库百度文库(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.18．(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，百度文库百度文库求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．附加题19．(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？百度文库百度文库20．(本小题满分10分)在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离．参考答案与解析1．[导学号90650040] 【解析】选C.由公理2及其推论可知，两条平行直线确定一个平面．2．[导学号90650041] 【解析】选C.由等角定理可知∠A′O′B′＝130°或50°.3．[导学号90650042] 【解析】选C.假设c与b平行，由公理4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，所以a和b不可能是平行直线．4．[导学号90650043] 【解析】选C.A即为直线l上有两点在平面内，则直线在平面内；B即为两平面的公共点在公共直线上；D为不共线的三点确定一个平面，故D也对．5．[导学号90650044] 【解析】选D.由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a?α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．6．[导学号90650045] 【解析】选B.若直线上有一点在已知平面外，则直线和平面的位置关系就有平行或相交两种情况，故直线上有无数多个点都在平面外．7．[导学号90650046] 【解析】选D.对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.8．[导学号90650047] 【解析】选A.百度文库百度文库如图因为P，Q，R分别为AB，BC，CD的中点，根据三角形的中位线的性质可得PQ∥AC，QR∥BD，所以∠PQR就是异面直线AC和BD所成的角或其补角．在△PQR中，PQ＝2，QR＝5，PR＝3，所以PQ2＋QR2＝4＋5＝PR2＝9，所以∠PQR＝90°.9．[导学号90650048] 【解析】选D.如图，夹在平面A1B1C1D1与平面ABCD之间的线段AA1綊BB1綊CC1，面AA1D1D与面AA1B1B之间取D1D的中点E，BB1中点F，D1B1綊DB綊EF.10．[导学号90650049] 【解析】选A.①错误，原因是a和b可能在同一平面内；②错误，a∥α，a与平面α内的直线平行或异面；③错误，a和b平行、相交、异面都有可能；④错误，a在平面α外，包含相交和平行．11．[导学号90650050] 【解析】若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在唯一的平面与已知平面平行．【答案】0或112．[导学号90650051] 【解析】因为a∥α，则a与α没有公共点，c?α内，所以a和c没有公共点，又因为a与β相交，则a和c只能异面．【答案】异面13．[导学号90650052] 【解析】可以利用图形说明，α与β平行和相交都有可能，如图．【答案】平行或相交14．[导学号90650053] 【解析】百度文库百度文库连接A′D，C′D，因为F是平面ADD′A′的中心，所以F是A′D的中点，同理E为A′C′的中点，故EF就是△A′DC′的中位线，所以EF∥DC′，所以∠C′DC＝45°就是EF与CD所成的角．【答案】45°15．[导学号90650054] 【解】在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.又∵FD1?平面BED1F，AD?平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．16．[导学号90650055] 【证明】已知：A∈α，A∈a，B?α，B∈a. 求证：直线a与平面α相交．证明：假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a?α.假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾；假设a?α，就与B?α，B∈a矛盾．∴假设不成立．∴直线a与平面α相交．17．[导学号90650056] 【证明】(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，百度文库百度文库∴MN是三角形的中位线，1∴MN∥AC，MN＝. 2由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.1∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，2∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.18．[导学号90650057] 【证明】(1)分别连接EF，A1B，D1C. ∵E，F 分别是AB和AA1的中点，1∴EF1B.又A1D1綊B1C1綊BC，2∴四边形A1D1CB为平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面．1(2)∵EF綊CD1，∴直线D1F和CE必相交．2设D1F∩CE＝P，如图．∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．19．[导学号90650058] 【解】∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C1，∴B1D1?平面A1C1.∵B1∈平面BC1，D1?平面BC1，百度文库百度文库∴直线B1D1∩平面BC1＝B1.同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交．在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，∴B1D1与平面AC无公共点，∴B1D1∥平面AC.20．[导学号90650059] 【解】(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点．又点N为平面DMN与平面A1B1C1D1的公共点，连接QN，则直线QN就是两平面的交线l.(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中点．又∵A1P∥D1N，1∴A1P＝1N. 2∵N是D1C1的中点，1a∴A1P＝1C1＝，443∴PB1＝A1B1－A1P＝a. 4(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．a∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝，2∴D1H＝D1Q·D1NQNa2a·2a4a＋42217a，17217a. 17即点D1到l的距离是百度文库。

最新人教版高中数学必修2全册同步检测：2-3-4

2-3-4平面与平面平行嘚性质一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则()A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则()A．a⊂αB．a∥αC．a⊥αD．a⊂α或a∥α3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB 于E，则()A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面ACC．ME∥平面AC D．以上都有可能4．在空间中，下列命题正确嘚是()A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内嘚一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直嘚直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b5．(09·广东文)给定下列四个命题：①若一个平面内嘚两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面嘚垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线嘚两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们嘚交线不垂直嘚直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题嘚是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确嘚是()A．平行直线嘚平行投影重合B．平行于同一直线嘚两个平面平行C．垂直于同一平面嘚两个平面平行D．垂直于同一平面嘚两条直线平行7．(09·浙江文)设α，β是两个不同嘚平面，l 是一条直线，以下命题正确嘚是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β8．如图所示，三棱锥P －ABC 嘚底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 嘚轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点 9．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成嘚角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线嘚垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:310．在正四面体(所有棱长都相等嘚三棱锥)P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB、BC、CA嘚中点，下面四个结论中不成立．．．嘚是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC二、填空题11．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m嘚位置关系是________．12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过平面A1B上任一点P作PE ⊥AB于E，则直线PE与平面AC所成嘚角等于________．13．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′嘚体积V＝________.14．如下图所示，P是菱形ABCD所在平面外嘚一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成嘚角为θ，则θ＝________.三、解答题15．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在嘚平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD. ⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACD AB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD.16．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASC ＝90°，∠ASB ＝∠BSC ＝60°.求证：平面ASC ⊥平面ABC.17．(2012·全国新课标)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1嘚中点．(1)证明：平面BDC ⊥平面BDC 1；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积嘚比．[命题意图] 本题主要考查空间线线、线面、面面垂直嘚判定与性质及几何体嘚体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，F 是PB 嘚中点．求证：(1)DF⊥AP.(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点嘚位置，并证明你嘚结论；若不存在，说明理由．详解答案1[答案] C2[答案] D3[答案] A[解析]由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME ⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.4[答案] D[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD 两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B 中，缺少条件m是平面α外嘚一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直嘚性质定理嘚条件，必须是α内垂直于l嘚直线，所以C不正确；由于两条平行直线中嘚一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．5[答案] D6[答案] D[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内嘚平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内嘚平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD 1C 1都平行，但平面BCC 1B 1与平面CDD 1C 1相交，故B 错；同样，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BCC 1B 1及平面CDD 1C 1都与平面ABCD 垂直，但此二平面相交，故C 错；由线面垂直嘚性质定理知D 正确．7[答案] C[解析] l ⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l ⊂β，A 错；l ∥α，α∥β⇒l ∥β或l ⊂β，B 错； l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，C 正确；若l ∥α，α⊥β，则l 与β位置关系不确定，D 错．8[答案] D[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC.又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC.∴∠ACB ＝90°.∴动点C 嘚轨迹是以AB 为直径嘚圆，除去A 和B 两点．9[答案] A [解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2asin π4＝2a ，A ′B ＝2acos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB:A ′B ′＝2:1.10[答案] C[解析] ∵D 、F 分别为AB 、CA 中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平面PDF ，故A 正确．又∵P －ABC 为正四面体，∴P在底面ABC内嘚射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．又∵PO⊂面PAE，PO⊥平面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立嘚是C.11[答案]相交、平行、异面12[答案]90°[解析]∵平面A1B⊥平面AC，平面A1B∩平面AC＝AB，PE⊂平面A1B，PE ⊥AB，∴PE⊥平面AC，∴PE与平面AC所成嘚角等于90°.13[答案] 4[解析]∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β，∴V＝13S△A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.14[答案]45°[解析]如图所示，取AD嘚中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成嘚角θ. 在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.15[证明]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫平面ABC⊥平面BCDCD⊥BC⇒CD⊥平面ABCAB⊂平面ABC⇒16[解析]如图，设SA＝SB＝SC＝a.∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，∴AC＝2a，AB＝BC＝a，则AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.取AC中点O，连接SO、BO.则SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB为二面角S－AC－B嘚平面角．∵SO＝OB＝22a，∴SO2＋OB2＝SB2，∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.17[解析](1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂面ACC1A1，∴DC1⊥BC，由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC⊥平面BDC1；(2)设棱锥B －DACC 1嘚体积为V 1，AC ＝1，由题意得，V 1＝13×1＋22×1×1＝12，由三棱柱ABC －A 1B 1C 1嘚体积V ＝1，∴(V －V 1)V 1＝11，∴平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为1 1. 18[证明] (1)取AB 嘚中点E ，则PA ∥EF.设PD ＝DC ＝a ，易求得DE ＝52a ，FE＝12PA ＝22a ，DF ＝12PB ＝32a.由于DE 2＝EF 2＋DF 2，故DF ⊥EF ，又EF ∥PA ，∴DF ⊥PA.(2)在线段AD 上存在点G ，使GF ⊥平面PBC ，且G 点是AD 嘚中点．取AD 嘚中点G ，连接PG 、BG ，则PG ＝BG.又F 为AB 嘚中点，故GF ⊥PB. ∵F 为PB 中点，∴F 点在底面ABCD 上嘚射影为正方形ABCD 嘚中心O ， ∴GO 为GF 在平面ABCD 上嘚射影，∵GO ⊥BC ，∴GF ⊥BC ，∵BC 、PB 是平面PBC 内嘚两条相交直线，∴GF ⊥平面PBC.。

高中同步测试卷·人教b数学必修2：高中同步测试卷(九) 含答案

高中同步测试卷(九)单元检测直线与圆、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图所示的坐标系中，棱长为1的正方体顶点A的坐标是( )A．(－1，－1，－1) B．(1，－1，1)C．(1，－1，－1) D．(－1，1，－1)2．直线3x－y＝0被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为( )A. 3 B．2C. 6 D．2 33．已知经过点M(1，2)的直线l被圆(x－2)2＋(y＋3)2＝3所截得的弦为直径，则直线l的方程为( )A．5x＋y－7＝0 B．5x－y－7＝0C．5x＋y＋7＝0 D．5x－y＋7＝04．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是( )A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－25．两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点坐标为( )A．(4，0)，(2，0) B．(－4，0)，(2，0)C．(－4，0)，(0，2) D．(4，0)，(0，－2)6．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与点Q(3，－4，－5)的位置关系是( )A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对7．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是( )A．a≤1 B．a≥5C．1≤a≤5 D．a≤58．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个交点，则a应满足( )A．－3<a<7 B．－6<a<4C．－7<a<3 D．－21<a<199．从原点向圆x2＋y2－12x＋27＝0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为( )A．30°B．60°C．90°D．120°10．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A．1 B．2 2C.7 D．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．在空间直角坐标系中，过点A(1，2，－3)作z轴的垂线，交z轴于点M，则垂足M的坐标为________．12．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是________．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．14.如图，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2，两个半径长相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3，0)．。

(人教版B版2017课标)高中数学必修第二册第六章综合测试03含答案解析

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第六章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（） A ．()10,0=e ，()21,2=eB ．()12,3=-e ，213,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭e C ．()13,5=e ，()26,10=eD ．()11,2=-e ，()25,7=e2．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为AD ，11A C 的中点，则EF =（）A ．112AA AD +B ．11122AA AB AD ++C ．112AA AB +D ．11122AA AB AD +-3．设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0|=|a a a ；②若a 与0a 平行，则0|=|a a a ；③若a 与0a 平行且||1=a ，则0=a a 上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知向量()2,1=a ，()3,4=b ，(),2k =c ．若()3-∥a b c ，则实数k 的值为（） A ．8-B ．6-C ．1-D ．65．如图6-4-1所示，已知2AB BC = ，OA = a ，OB = b ，OC =c ，则下列式子中成立的是（）A ．3122=-c b a B ．2=-c b a C ．2=-c a b D ．3122=-c a b 6．若向量()1,1=a ，()1,1=-b ，()4,2=c ，则=c （） A ．3+a bB ．3-a bC ．3-+a bD ．3+a b7．已知向量()2,1=a ，(),2x =-b ，若∥a b ，则+a b 等于（） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-8．已知向量()2,1=--a ，()3,2=b ，则2-=a b （）A ．()6,4--B ．()5,6--C ．()8,5--D ．()7,6--9．已知向量(),12OA k = ，()4,5OB = ，(),10OC k =-，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是（）A ．23-B ．43C ．12D ．1310．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是（） A ．a 与λ-a 的方向相反 B ．||||λ-≥a a C ．a 与2λa 的方向相同D ．||||λλ-≥a a11．设P 是ABC △所在平面内的一点，且2CP PA =，则PAB △与PBC △的面积之比是（）A ．1：3B ．1：2C ．2：3D ．3：412．如图6-4-2所示，在ABC △中，3BD DC = ，AE mAB = ，AF n AC = ，0m ＞，0n ＞，则13m n+=（）A ．3B ．4C ．43D ．34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．计算：（1）()14=2-⨯a ________；（2）()()()2323554-++--=a b a b b a ________．14．已知向量()2,1=-a ，()1,3=b ，()3,2=c ．若()λ+∥a b c ，则λ=________．15．已知向量(),5AB m = ，()4,AC n =，()7,6BC =，则m n +的值为________．16．如图6-4-3所示，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，点F 为边CD 上靠近点C 的四等分点，点G 为AE 上靠近点A 的三等分点，则向量FG 用AB与AD 表示为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）如图6-4-4所示，四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥，且2AB CD =，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．已知AB = a ，AD = b ，试用a ，b 分别表示DC ，BC ，MN ．18．（12分）已知向量1223=-a e e ，1223=+b e e ，其中1e ，2e 不共线，向量1229=-c e e ．问是否存在实数λ，μ，使向量λμ=+d a b 与c 共线？19．（12分）在风速为75 km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．20．（12分）设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且()1,3A ，()2,2B -，()4,1C ．（1）若AB CD =，求点D 的坐标及||AD ；（2）设向量AB = a ，BC =b ，若k -a b 与3+a b 平行，求实数k 的值．21．（12分）已知向量()3,2=-a ，()2,1=b ，()3,1=-c ，t ∈R ．（1）求||t +a b 的最小值及相应的t 值；（2）若t -a b 与c 共线，求实数t ．22．（12分）如图6-4-5所示，在ABO △中，14OC OA =，12OD OB = ，AO 与BC 相交于点M ．设OA = a ，OB =b ．（1）试用向量a ，b 表示OM；（2）在线段AC 上取点E ，在线段BD 上取点F ，使EF 过点M ．设OE OA λ= ，OF OB μ=，其中λ，μ∈R ．当EF 与AD 重合时，1λ=，12μ=，此时137λμ+=；当EF 与BC 重合时，14λ=，1μ=，此时137λμ+=．能否由此得出一般结论：不论E ，F 在线段AC ，BD 上如何变动，等式137λμ+=恒成立．请说明理由．第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由于选项A ，B ，C 中的向量1e ，2e 都共线，故不能作为基底。

高中数学必修2全册同步检测：3-2-1

3-2-1同步检测一、选择题1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是()A．－2,3B．3，－2C．－2，－2 D．3,32．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3C．y＝1 D．y＝33．方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于()A．2 B．1C．0 D．－15．直线l：y＝kx＋b的图像如图所示，则k、b满足()A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＞0C．k＜0，b＜0D．k＞0，b＜06．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是( )7．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －838．直线l ：y －1＝k (x ＋2)的倾斜角为135°，则直线l 在y 轴上的截距是( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－29．已知点P (3，m )在过M (－2,1)和N (－3,4)两点的直线上，则m 的值为( )A．15 B．14C．－14 D．－1610．等边△PQR中，P(0,0)、Q(4,0)，且R在第四象限内，则PR 和QR所在直线的方程分别为()A．y＝±3xB．y＝±3(x－4)C．y＝3x和y＝－3(x－4)D．y＝－3x和y＝3(x－4)二、填空题11．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为_______．12．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．13．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝________，b＝________.14．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，则直线BC的方程为________．三、解答题15．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．[分析]BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．16．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x 轴上截距为－2；(3)在y 轴上截距为3.17．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 无论怎样变化，所有直线恒过定点，求此定点坐标．18．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．详解答案1[答案] A2[答案] A3[答案] D[解析] 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x 轴垂直的直线．4[答案] B[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2.所以a ＝2－a ，解得a ＝1.5[答案] B6[答案] B[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．7[答案] C[解析] y ＝3x ＋4与x 轴交点为(－43，0)又与直线y ＝－2x ＋3平行，故所求直线方程为y ＝－2(x ＋43)即y ＝－2x －83 故选C.8[答案] B[解析] ∵倾斜角为135°，∴k ＝tan135°＝－tan45°＝－1，∴直线l ：y －1＝－(x ＋2)，令x ＝0得y ＝－1.9[答案] C[解析] 直线MN 的斜率k ＝－3，方程为y －1＝－3(x ＋2)，点P (3，m )在直线上，∴m －1＝－3×(3＋2)，∴m ＝－14.[点评] 点P 在过M 、N 两点的直线上，即P 、M 、N 共线，因此可由斜率k PM ＝k MN 求解，请自己写出解题过程．10[答案] D[解析] 直线PR ，PQ 的倾斜角分别为120°，60°，∴斜率分别为－3， 3.数形结合得出．11[答案] y ＝－2x ＋1[解析] 点斜式为y －3＝－2(x ＋1)，化为斜截式为y ＝－2x ＋1. 12[答案] y －1＝－(x －2)[解析] 设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1.又k 2＝1，∴k 1＝－1.∴l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．13[答案] －2 －2[解析] 由题意，得⎩⎨⎧ －4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2.14[答案] 8x ＋y －9＝0或2x －y －1＝0或y ＝x 或3x ＋y －4＝0[解析] 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；此时BC ：8x ＋y －9＝0.若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；此时直线BC 方程为2x －y －1＝0.若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 此时直线BC 方程为y ＝x 或3x ＋y －4＝0.15[解析] 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k BC k AD ＝－1.∴2＋30－3k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是y －0＝35(x ＋5)．即y ＝35x ＋3.16[解析] 直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33 ∴α＝150°故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33(1)过点P (3，－4)，由点斜式方程得：y ＋4＝33(x －3)∴y ＝33x －3－4(2)在x 轴截距为－2，即直线l 过点(－2,0)由点斜式方程得：y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233(3)在y 轴上截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3.17[解析] 方法1：将直线变形为y －1＝k (x －3)，由点斜式方程知，此直线过定点(3,1)．方法2：将直线变形为k (x －3)－y ＋1＝0，由于此直线过定点与k 无关，因此x －3＝0且－y ＋1＝0，∴x ＝3，y ＝1，过定点(3,1)．18[解析] 设直线方程为y ＝－32x ＋b ，令y ＝0得x ＝23b由题意知12·|b |·|23b |＝12，∴b 2＝36，∴b ＝±6，∴所求直线方程为y ＝－32x ±6.关于数学名言警句大全1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。

最新人教版高中数学必修2全册同步检测：3-1-1

3-1-1同步检测一、选择题1．斜率不存在嘚直线一定是( ) A ．过原点嘚直线 B ．垂直于x 轴嘚直线 C ．垂直于y 轴嘚直线 D ．垂直于过原点嘚直线2．如图所示，直线l 嘚倾斜角是( )A ．0°B ．90°C ．∠CABD ．∠OAB 3．已知点A(2,1)，B(3，－1)，则过A ，B 两点嘚直线嘚斜率为( ) A ．－2 B ．－12 C.12D ．24．直线l 嘚倾斜角α＝135°，则其斜率k 等于( ) A.22 B.32 C ．－1 D ．15．过点(－3,0)和点(－4，3)嘚直线嘚倾斜角是( ) A ．30° B ．150° C ．60°D ．120°6．过两点A(4，y)，B(2，－3)嘚直线嘚倾斜角是45°，则y等于()A．－1B．－5C．1D．57．①直线l嘚倾斜角是α，则l嘚斜率为tanα；②直线l嘚斜率为－1，则其倾斜角为45°；③与坐标轴平行嘚直线没有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率．上述命题中，正确嘚个数为() A．0个B．1个C．2个D．3个8．已知直线l1与l2垂直，l1嘚倾斜角α1＝60°，则l2嘚斜率为()A.3B.3 3C．－3D．－3 39．直线l嘚倾斜角是斜率为33嘚直线嘚倾斜角嘚2倍，则l嘚斜率为()A．1 B.3C.233D．－310．如下图，已知直线l1，l2，l3嘚斜率分别为k1，k2，k3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2二、填空题11．已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m －1)所在直线嘚倾斜角为45°，则m 嘚值等于________．12．三点A(0,2)，B(2,5)，C(3，b)能作为三角形嘚三个顶点，则实数b 满足嘚条件是________．13．设P 为x 轴上嘚一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA 嘚斜率是PB 嘚斜率嘚两倍，则点P 嘚坐标为________．14．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1b ＝________. 三、解答题15．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上． 16．求经过下列两点嘚直线嘚斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．(1)A(0，－1)，B(2,0)； (2)P(5，－4)，Q(2,3)； (3)M(3，－4)，N(3，－2)．17．设A(m ，－m ＋3)，B(2，m －1)，C(－1,4)，直线AC 嘚斜率等于直线BC 嘚斜率嘚3倍，求实数m 嘚值．18．(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)嘚直线嘚斜率为12?(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m －1)嘚直线嘚倾斜角是60°？[分析] 利用斜率公式列方程求解．详解答案 1[答案] B 2[答案] C 3[答案] A[解析] k AB ＝－1－13－2＝－2.4[答案] C[解析] k ＝tan α＝tan135°＝－1. 5[答案] D[解析] 斜率k ＝3－0－4＋3＝－3，则倾斜角为120°.6[答案] A[解析] 直线嘚倾斜角为45°，则其斜率为k ＝tan45°＝1.由斜率公式，得－3－y2－4＝1，解得y ＝－1. 7[答案] B[解析] 由倾斜角和斜率嘚定义知，当倾斜角α＝90°时，则l 嘚斜率不存在，故①是错误嘚；因为tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1，所以当k ＝－1时，α＝135°，故②是错误嘚；与y 轴平行嘚直线倾斜角为90°，故③也是错误嘚；因而只有④是正确嘚，即正确嘚个数为1个，故选B.8[答案] D[解析] ∵直线l 2嘚倾斜角α2＝90°＋60°＝150°， ∴直线l 2嘚斜率k 2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－33. 9[答案] B[解析] ∵tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°， ∴2α＝60°，∴k ＝tan2α＝3.故选B. 10[答案] D[解析] 可由直线嘚倾斜程度，结合倾斜角与斜率嘚关系求解．设直线l 1，l 2，l 3嘚倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知α1>90°>α2>α3>0°，所以k 1<0<k 3<k 2. 11[答案] 2[解析] 由题意知k ＝tan45°＝1.由斜率公式得2m －1－21＋m －m ＝1，解得m ＝2.12[答案] b ≠132[解析] 由题意得k AB ≠k AC ，则5－22－0≠b －23－0，整理得b ≠132.13[答案] (－5,0)[解析] 设P(x,0)为满足题意嘚点，则k PA ＝8－3－x ，k PB ＝142－x ，于是8－3－x ＝2×142－x，解得x ＝－5.14[答案] 13[解析] 由于点A ，B ，C 共线，则k AB ＝k AC ，所以0－3a －3＝b －30－3.所以ab ＝3a ＋3b.即1a ＋1b ＝13.15[证明] 由斜率公式，得 k AB ＝11－35－1＝2，k AC ＝－5－3－3－1＝2，∴k AB ＝k AC ，且AB 与AC 都过点A ， ∴直线AB ，AC 斜率相同，且过同一点A ， ∴A ，B ，C 这三点在同一条直线上． 16[解析] (1)k AB ＝－1－00－2＝12，∵k AB >0，∴直线AB 嘚倾斜角是锐角． (2)k PQ ＝－4－35－2＝－73，∵k PQ <0，∴直线PQ 嘚倾斜角是钝角． (3)∵x M ＝x N ＝3，∴直线MN 嘚斜率不存在，其倾斜角为直角．17[解析] 依题意知直线AC 嘚斜率存在，则m ≠－1，由k AC ＝3k BC 得－m ＋3－4m －－1＝3×m －1－42－－1，∴m ＝4.18[解析] (1)由题意得k AB ＝3m －61－－m＝12，解得m ＝－2.故当且仅当m ＝－2时，经过两点A(－m,6)，B(1,3m)嘚直线嘚斜率为12. (2)由题意得k AB ＝tan60°＝3＝2m －1－2－m －m，解得m ＝－31－34. 故当且仅当m ＝－31－34时，经过两点A(m,2)，B(－m,2m －1)嘚直线嘚倾斜角是60°.。