现代光学工程-衍射

光的衍射
衍射定义：光在传播过程中遇到障碍物时发生的偏离原传播方 向而进入障碍物形成的几何阴影内、光强度呈现有 规律的周期 性变化的现象。 衍射条件：障碍物上透光的孔或缝的线度与光波长可比时。 衍射基本元件：光源、障碍物、观察屏。 衍射类型：菲涅耳衍射、夫琅和费衍射。 衍射类型的区分原则：光源、障碍物、观察屏三者间的距离。 当三者间距离均为有限或其中任意两者间距离为有限时为菲涅 耳衍射；当三者的距离均为无限远时为夫琅和费衍射。
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2. 中央亮纹宽度 中央两侧第一暗条纹之间的区域，称做零极 （或中央）明条纹，它满足条件：
sin I I0

a sin
2
I

a
a sin



a 3 2a 5 sin 2a
5 3 2a 2a
0
20
21
2 f x 2 x 中央亮纹线宽度 a 当缝宽a 中央亮纹线宽度 x
3. 相邻两衍射条纹间距
条纹在接收 屏上的位置 暗纹中心 k 1,2 x ( 2k 1 ) f / 2a 明纹中心
I
a
3 2a 5 sin 2a
x k f / a
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
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( k 1 ) f x k 1 a a f 5 3 x xk 1 xk 1 2 a 2a a
引进一个比例常数，根据分析，惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式写成：
？？
~ U ( P ) K
()
e ikr ~ f ( 0 , )U 0 (Q ) dS r
？？
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基尔霍夫衍射积分公式： 基尔霍夫，(G.R. Kirchhoff, 1824—1887) 德国物理学家。
i (cos 0 cos ) ~ e ikr ~ U ( P) U 0 (Q ) dS ) ( 2 r
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补充说明：
D
夫琅禾费圆孔衍射是一个在一切使用透镜的光学系统中普遍存在的现象， 因为任何一个单透镜成像，都可以看成两个透镜加上一个光阑的组合。因 此几何像点实际上是有一定半径的艾里斑，这种情况就产生了一个问题， 即两个像斑可能发生重叠，重叠到一定程度，就无法分辨。这就是仪器的 分辨本领问题。
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*人眼睛的分辨本领
f ~22mm
决定眼睛分辨本领的是瞳孔的直径De, De白昼小，黑夜大，正常范围在2~8mm, 分析白昼时，人眼的分辨本领e.
~ 550 nm，De ~ 2mm，眼睛晶体折射率n 1.3 550 nm e 1.22 1.22 3.3 10 4 rad 1'
2
0 1.22(/D) sin
爱里斑

第一暗环所围成的中央光斑称为艾里斑 第一个暗环的方位角10为：
x 2R sin 0
D 艾里斑的半角宽度 0体现了圆孔衍射效应的强弱程度，由上式得： D 它和单缝和矩形孔的衍射反比律公式一致，只是系数有差别。 0 1.22

1.22 sin 0 1.22

，D 2 R为圆孔直径。

，或
D 0 1.22
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♫ 光学仪器的分辨本领
分辨本领是一个复杂的问题，它涉及到几何光学系统的种种像差和缺 欠，涉及到被分辨物点的亮度和其他一些性质。我们现在考虑理想的 分辨本领，即两个亮度相同、波长相等的独立光源经过光学系统所能 达到的最佳分辨本领，也就是光学仪器的分辨本领的衍射极限。
和菲涅耳的衍射积分公式的主体结构式相同的，基尔霍夫的新贡献是：
(1) ( 2) (3)
明确了倾斜因子， f ( 0 , ) i
cos 0 cos ， 2 闭合面上的各个次波源 均对场点扰动有贡献 给出了比例系数， K


1

e
i

De 2mm 正常人的明视距离为25cm，在明视距离处，人可分辨：
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B
1617源自论：分成偶数半波带为暗纹。分成奇数半波带为明纹。
k a sin ( 2k 1 ) 2 0
( k 1,2 , ) 暗纹 ( k 1,2 , ) 明纹 中央明纹
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
1
光的衍射：当光波遇到障碍物时，会偏离几何光学的直线传播而绕行的现
象称为光的衍射(diffraction of light).
在欧泊石 的内部，由 无数规则的二氧化硅 球粒一间隙形成了很 多的三维衍射光栅， 当光线射入到欧泊石 内部时，出现了光线 的衍射作用，衍射的 角度随波长的变化而 变化，从而在不同的 角度可见不同的颜色， 亦就是所谓的变彩。
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惠更斯原理 光扰动同时到达的空间曲面被称为波面或波前，波前上的每一点都可 以看成一个新的扰动中心，称为子波源或次波源，次波源向四周发出次 波；下一时刻的波前是这些大量次波面的公切面，或称为包络面；次波 中心与其次波面上的那个切点的连线方向给出了该处光传播方向。
惠更斯原理的不足： 没有回答光振幅的传播问题 没有回答光相位的传播问题
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惠更斯的次波概念
补充和发展 提出
次波相干叠加的概念
光波干涉概念
统一的衍射分析的理论框架 惠更斯—菲涅耳原理
惠更斯—菲涅耳原理
波前上的每个面元都可以看成次波源，它们向四周发射次波；波场中任 一场点的扰动都是所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加
惠更斯—菲涅耳原理的数学表示：
~ ~ U ( P) dU ( P)
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♫夫琅禾费方孔衍射的主要特点
(1)衍射峰，当 1， 2 0，，有 I I 0， 0 衍射强度最大，称此为 零级衍射峰。
(2)零点的位置；
a b
a sin 1 k1 a sin k 1 1 当 即 时 b sin 2 k 2 b sin 2 k 2 I 1 , 2 0为暗区。
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♫夫琅禾费单缝衍射实验装置和现象
实验装置如上图，在透镜的后焦面接受夫琅禾费衍射场，中心为 亮斑，并且亮度大于两侧的亮条纹，中心亮条纹宽度是两侧的二倍， 亮斑的宽度随狭缝的变窄而展宽。
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菲涅耳半波带法
A
A1 A2 A3
C
相邻平面间的距离是 入射单色光的半波长
任何两个相邻波带上对 应点所发出的光线到达 BC平面的光程差均为半 波长（即位相差为） ， 在P点会聚时将一一抵 消。
菲涅耳的科学成就主要有两个方面。一是衍射。他以惠更斯原理和 干涉原理为基础，用新的定量形式建立了惠更斯--菲涅耳原理，完善了光 的衍射理论。另一成就是偏振。他与D.F.J.阿拉果一起研究了偏振光的干 涉，确定了光是横波（1821）；他发现了光的圆偏振和椭圆偏振现象 （1823），用波动说解释了偏振面的旋转；他推出了反射定律和折射定 律的定量规律，即菲涅耳公式；解释了马吕斯的反射光偏振现象和双折 射现象，奠定了晶体光学的基础。
()
S
P
dU ( P) ???
~~
7
n dS R S
0
r P

~ 基于物理上的基本概念 考虑， dU ( P )决定于： ~ dU ( P) dS 波前上作为次波源的微 分面元 ~ ~ dU ( P) U 0 (Q) 次波源的自身复振幅 ~ 1 dU ( P) e ikr 次波源发出的球面波到 达场点 r ~ dU ( P) f ( 0 , ) 倾斜因子表示次波面源 的发射非各向同性
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826)
夫琅禾费是德国物理学家。1787年3月6日生 于斯特劳宾，父亲是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当 学徒，后来自学了数学和光学。1806年开始在光 学作坊当光学机工，1818年任经理，1823年担任 慕尼黑科学院物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授， 慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤 奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因肺结核在慕 尼黑逝世。 夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身，把理论与丰富的实践经验结 合起来，对光学和光谱学作出了重要贡献。1814年他用自己改进的分光系统， 发现并研究了太阳光谱中的暗线（现称为夫琅禾费谱线），利用衍射原理测 出了它们的波长。他设计和制造了消色差透镜，首创用牛顿环方法检查光学 表面加工精度及透镜形状，对应用光学的发展起了重要的影响。他所制造的 大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。他发表了平行光单缝及多缝衍射的研 究成果（后人称之为夫琅禾费衍射），做了光谱分辨率的实验，第一个定量 地研究了衍射光栅，用其测量了光的波长，以后又给出了光栅方程。
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明确指出，积分面 ()不限于等相面，可以是 隔离光源和场点的任意 闭合曲面。
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*衍射的分类—菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射
按光源、衍射屏和接受屏三者之间的距离的远近将衍射分为两大类：
菲涅耳衍射：光源—衍射屏—接受屏之间距 离为有限远。
夫琅禾费衍射：光源—衍射屏—接受屏之 间距离为无限远。
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夫琅禾费衍射
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( 经透镜 ) 几何光学 : 物点 像点 波动光学 : 物点 物(物点集合) 像(像点集合)
( 经透镜 ) 像斑 物(物点集合) 像(像斑集合)
0
0
0
瑞利判据: 两个物点反应在像面上有两个艾里斑，设两物点的夹角或两艾里斑 中心的夹角为，每个艾里斑自身的半角宽度为0，瑞利判据是： 当> 0时，可分辨； 当<0时，不可分辨； 29 当=0时，给出可分辨的最小角度-- m
(3)零级斑的半角宽度；
1 a , 沿x方向的扩展 2 , 沿y方向的扩展 b