广东省广州市2013届高三毕业班综合测试(二)数学理试题(WORD解析版)

2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2013•广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（）|•|=||||+|=||+丨•）=（••=||2

=||||cos，∴|||

|+||+||，只有当同向时取

）是向量，其方向与向量相同，（）与向量的方向相同，∴

=|||

22

的距离为

3．（5分）（2013•广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，

，解得

4．（5分）（2013•广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）B

5．（5分）（2013•广州二模）若函数的一个对称中心是，则ω×）+=k+

解：∵函数的一个对称中心是

ω×）+，

6．（5分）（2013•广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．

B

的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，，

，

=

7．（5分）（2013•广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即

，利用基本不等式即可求得这辆汽车报废的最佳年限．

=15+1.5n++

=0.15n++1.65=2

0.15n=取得最小值．

及年平均费用

8．（5分）（2013•广州二模）记实数x1，x2，…，x n中的最大数为max{x1，x2，…，x n}，最小数为min{x1，

2

B

，抛物线

解方程组（，

x+6}}=

故答案为

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

9．（5分）（2013•广州二模）某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为2：3：4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n=54．

=12

10．（5分）（2013•广州二模）已知α为锐角，且，则sinα=．

）的值，所求式子

∈，

），

）=

）﹣）cos﹣+sin=××=故答案为：

11．（5分）（2013•广州二模）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成216个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．

=120不排在个位，它又不能排在万位，故有三个位置可排，有

中选三个在在其他三个位置自由排列，有

所以共有=72

，在其他四个位置自由排列，有

12．（5分）（2013•广州二模）已知函数f（x）=x2﹣2x，点集M={（x，y）|f（x）+f（y）≤2}，N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则M∩N所构成平面区域的面积为2π．

其面积为圆面积的一半，即为

13．（5分）（2013•广州二模）数列{a n}的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间有2k﹣1 个2，即数列{a n} 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{a n}的前n项和为S n，则S20=36；S2013=3981．

14．（5分）（2013•广州二模）（几何证明选讲选做题）

在△BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交BC于点F，则的

值为．

利用平行线分线段成比例定理即可得出

，∴=．

故答案为

15．（2013•广州二模）（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距

离为d，则丨PA丨+d的最小值为．

，

故答案为：

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（12分）（2013•广州二模）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．

（1）求∠BAC的大小；

（2）求点O到直线BC的距离．

，求得cosA===

=，解得

的距离

17．（12分）（2013•广州二模）已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点．

（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|＜的概率；

（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

|PH|

这八个点中，随机选取两个点，共可得到

的所有可能取值分别为

|PH|

=

．

的概率为

这八个点中，随机选取两个点，共可得到

；长度等于

；长度等于；长度等于

，

=，）====

=

18．（14分）（2013•广州二模）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足

（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．

（1）求证：A1D丄平面BCED；

（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为600？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

中，根据，从而得到

x x PB=时，直线

，且==

=