2017-2018学年河北省保定市高二下学期期末考试数学理试题(Word版)

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河北省保定市高阳中学2017-2018学年高二下学期期末考试文数试题 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2} 【答案】A 【解析】试题分析：依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A. 考点：集合韦恩图 2.下列中，真是( )A ．∃x 0∈R ，0x e≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【答案】D 【解析】试题分析：∵a >1>0，b >1>0，∴由不等式的性质，得ab >1.D 正确；因为0xe >，所以A 错；因为2x =时22xx =，所以B 错；因为0a b ==时0a b +=推不出1ab=-，所以C 错. 考点：真假 3.已知1xi+＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．1＋2i B ．1－2iC ．2＋iD ．2－i【答案】D 【解析】试题分析：依题意得x＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y)＋(1－y)i；又x，y∈R，于是有110x yy=+⎧⎨-=⎩解得x＝2，y＝1.x＋y i＝2＋i，因此x＋y i的共轭复数是2－i.考点：复数概念4.已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假，则满足条件的x为( )A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z} B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2,3}【答案】C【解析】试题分析：由题意知q真，p假，∴|x－1|<2.∴－1<x<3且x∈Z.∴x＝0,1,2.选C.考点：否定5.已知f(x5)＝lg x，则f(2)等于( )A．lg2 B．lg32 C．lg 132D.1lg25【答案】D 【解析】试题分析：令x5＝t，则x＝15t (t>0)，∴f(t)＝lg15t＝1lg5t.∴f(2)＝1lg25，故选D.考点：函数值6.定义运算a @b＝,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩则函数f(x)＝1@2x的图像是( )【答案】A 【解析】试题分析：f (x )＝1@2x＝1,122,12x x x⎧≤⎨>⎩＝1,02,0x x x ≥⎧⎨<⎩结合图像，选A. 考点：分段函数图像 7.将极坐标(2，32π)化为直角坐标为( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(2,0) D ．(－2,0) 【答案】B 【解析】试题分析：332cos0,2sin 222x y ππ====-，所以选B. 考点：极坐标化为直角坐标8.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数【答案】A 【解析】试题分析：由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．选A. 考点：函数性质9.已知直线00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB |等于( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1－t 212|t t -【答案】C 【解析】试题分析：依题意，0000x x x x at t y y bt y y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒=⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩，由直线参数方程几何意义得1212|||||AB m m t t =-=-，选C. 考点：直线参数方程几何意义10.已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．B ．(22C ．D ．(1,3)【答案】B 【解析】试题分析：由题可知f (x )＝e x－1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2b <2考点：函数性质11.若0<a <1，在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( )A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0【答案】D 【解析】试题分析：∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数，又u ＝x ＋1增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D. 考点：复合函数单调性12.设f (x )＝3x－x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D考点：零点存在定理第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．【答案】y ＝3x ＋1 【解析】试题分析：y ′＝e x＋x e x＋2，斜率k ＝e 0＋0＋2＝3，所以，y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1. 考点：导数几何意义 14.在极坐标系中，点(2，6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【答案】1 【解析】试题分析：在极坐标系中，点(2，6)对应直角坐标系中坐标1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1. 考点：极坐标化直角坐标15.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的部分数值如下表：则函数y ＝lg f (x )的定义域为__________．【答案】(－1,1)∪(2，＋∞) 【解析】试题分析：结合三次函数的图像和已知表可知f (x )＞0的解集为(－1,1)∪(2，＋∞)，即为y ＝lg f (x )的定义域．考点：三次函数的图像16.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号) 【答案】③ 【解析】试题分析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.[来源:Z§ 考点：不等式性质三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分) 已知集合M ＝{x |x <－3，或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．【答案】(1) －3≤a≤5； (2) a＝0【解析】试题分析：(1)由数轴可知实数a的取值范围，注意数形结合在集合运算中应用 (2) 一个充分但不必要条件，从集合角度理解就是取充要条件的一个真子集，本题答案有无数个，例如a ＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．试题解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；……………………5分(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．…………10分考点：集合运算，充要关系18.(本题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程ˆy＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y bx-；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【答案】(1) ˆy＝－20x＋250. (2) 8.25【解析】试题分析：(1)先求x，y，代入a＝y bx-，可得回归直线方程， (2)先列出利润的函数关系式：L＝－20x2＋330x－1 000，这是二次函数，根据二次函数性质求其最值试题解析： (1)由于x＝16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，y＝16(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. …………2分所以a＝y－b x＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为ˆy＝－20x＋250. ……6分(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) …………8分＝－20x2＋330x－1 000 ……………9分＝－20(x－334)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．…………11分故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．…………12分考点：回归直线方程，二次函数最值19.(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性【答案】(1) 当a＝0时，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2) 单调递增函数考点：函数奇偶性，单调性20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点．（1）求|AB |的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为(22，34π)，求点P 到线段AB 中点M 的距离．【答案】307【解析】试题分析：(1) 由直线参数方程几何意义得|AB |＝|t 1－t 2|，因此将直线l 参数方程325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入(y －2)2－x 2＝1，得725t 2＋125t －5＝0.从而由韦达定理得t 1＋t 2＝－607， t 1t 2＝－1257. 代入可得|AB |(2) 由直线参数方程几何意义得点P 到线段AB 中点M 的距离为1230||27t t +=．试题解析：(1)将直线l 参数方程325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入(y －2)2－x 2＝1，得725t 2＋125t －5＝0. ……………2分 ∴t 1＋t 2＝－607，t 1t 2＝－1257.……………3分 ∴|AB |＝|t 1－t 2|…………6分 (2)P 点直角坐标为(－2,2)，……………7分线段AB 中点对应的参数值为122t t +，……………9分 ∴点P 到线段AB 中点M 距离为1230||27t t +=……………12分考点：直线参数方程几何意义21.(本题满分12分) 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：(1)计算x ，y 的值；(2)若规定考试成绩在内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；(3)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：临界值表【答案】(1) x ＝10，y ＝7. (2) 甲 25%，乙40%. (3) 在犯错误的概率不超过0.10的前提()()()()()22n ad -bc K =a +bc +d a +c b +d下认为两个学校的数学成绩有差异．【解析】试题分析：(1)由频数与总数关系可得x，y的值，先求出从甲、乙校各抽取的人数，再减去已知人数即得(2) 即求频率，按对应人数除以总数即可(3)按公式代入计算得k≈2.829>2.706，对照临界值表可知在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异．试题解析：(1)从甲校抽取110×12001200+1000＝60(人)，从乙校抽取110×12001200+1000＝50(人)，故x＝10，y＝7. …………4分(2)估计甲校数学成绩的优秀率为1560×100%＝25%，……………5分乙校数学成绩的优秀率为2050×100%＝40%. ………… 6分(3)表格填写如图，K2的观测值k＝211015302045)60503575⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（≈2.829>2.706，…………11分故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异．……12分考点：频数与频率，卡方估计差异性22.(本题满分12分) 设函数f(x)＝13x3－2ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.（1）求b，c的值；（2）已知a R∈，求函数f(x)的单调区间；【答案】(1)1cb=⎧⎨=⎩(2) 若a > 0，单调递增区间为(－∞，0)，（a，＋∞)，单调递减区间为（0，a）．若a = 0，单调递增区间为（－∞，＋∞）；若a < 0单调递增区间为(－∞，a)，（0，＋∞)，单调递减区间为（a，0）【解析】试题分析：(1) 根据导数几何意义得(0)1,'(0)0,ff=⎧⎨=⎩解方程组得1cb=⎧⎨=⎩(2)求复杂函数单调区间，一般利用导数进行研究，先求导数：f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)，再根据零点分布情况进行分类讨论：若a > 0，单调递增区间为(－∞，0)，（a，＋∞)，单调递减区间为（0，a）．若a = 0，单调递增区间为（－∞，＋∞）；若a < 0单调递增区间为(－∞，a)，（0，＋∞)，单调递减区间为（a，0）试题解析：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得(0)1,'(0)0,ff=⎧⎨=⎩即1cb=⎧⎨=⎩…………4分(2)由(1)，得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)，…………6分若a > 0 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，（a，＋∞)，单调递减区间为（0，a）．……………………8分若a = 0 则f′(x) ≥0，故函数f(x)的单调递增区间为（－∞，＋∞）………10分若a < 0 当x∈(－∞，a)时，f′(x)>0；当x∈(a，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，（0，＋∞)，单调递减区间为（a，0）．……………………………………12分考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调区间。

2017-2018学年河北省保定市高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：移项，化简整理即可.详解：，的虚部为4.故选：A.点睛：复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．2．设集合，则的元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：分别求出A和B，再利用交集计算即可.详解：，，则，交集中元素的个数是5.故选：C.点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.3．在平行四边形中，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用向量的平行四边形法则，向量共线定理即可得出.详解：，，故选：B.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．4．从区间上任意选取一个实数，则双曲线的离心率大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出m的取值范围，利用几何概型的计算公式即可得出.详解：由题意得，，解得，即.故选：D.点睛：几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5．设有下面四个命题若，则；若，则；若，则；若，则.其中真命题的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对若，则，故不正确；对若，则，故正确；对若，则，故正确；对若，对称轴为，则，故正确.故选：C.点睛：本题考查了命题真假的判断，是基础题.6．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图即可.详解：模拟执行程序框图，可得：，不满足，执行循环体，；不满足，执行循环体，；不满足，执行循环体，；满足，退出循环，输出i的值为5.故选：C.点睛：(1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；(2)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．7．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则与的值分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意得，结合即可求出，同理可得的值.详解：函数的图象与的图象都关于直线对称，和（）解得和，和时，；时，.故选：D.点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，该几何体是一个正四棱柱切了四个角（小三棱锥），从而利用体积公式计算即可.详解：由题意，该几何体是一个正四棱柱切了四个角（小三棱锥），则.故选：C.点睛：(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．9．设满足约束条件，若，且的最大值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解代入目标函数得答案.详解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最小，即z最大，联立，解得，，解得.故选：B.点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．10．中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，算出长方体体对角线即可.详解：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，则，，故.故选：B.点睛：本题主要考查了转化与化归思想的运用.11．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案.详解：当时，有；当时，有；当时，有；…...，.故答案为：A.点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题.12．设函数，若，则正数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求出最大值，再求出的最大值，从而化恒成立问题为最值问题.详解：令，，令，解得，在、单调递增，在单调递减，又，又，当时，令，解得，在上单调递增，在上单调递减.；当时，无最大值，即不符合；故有，解得，故.故选：C.点睛：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用.二、填空题13．的展开式中的系数为__________．【答案】-10【解析】分析：利用二项式展开式通项即可得出答案.详解：，当时，.故答案为：-10.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．14．在正项等比数列中，，则公比__________．【答案】【解析】分析：利用等比数列的通项公式把等式改写成含有和的式子，联立方程组求解即可.详解：由题意得：，两式相除消去并求解得：，，.故答案为：.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．15．若函数为奇函数，则的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：中，，由在定义域内是一个偶函数，，知为奇函数，由此能求出的取值范围.详解：中，，，在定义域内是一个偶函数，，要使函数为奇函数，则为奇函数，①当时，；②当时，；③当时，.只有定义域为的子区间，且定义域关于0对称，才是奇函数，，即，.故答案为：.点睛：本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活应用.16．已知点是抛物线上一点，是抛物线上异于的两点，在轴上的射影分别为，若直线与直线的斜率之差为，是圆上一动点，则的面积的最大值为__________．【答案】10【解析】分析：由题意知，设的斜率为k，则PA的斜率为k-1，分别表述出直线PA，PB，与抛物线联立即可求出A和B的横坐标，即求出，要使面积最大，则D到AB的距离要最大，即高要过圆心，从而即可求出答案.详解：由题意知，则，设的斜率为k，则PA的斜率为k-1，且设，则PB：，联立消去y得：，由韦达定理可得，即，同理可得故，要使面积最大，则D到AB的距离要最大，即高要过圆心，则高为5..故答案为：10.点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果.三、解答题17．的内角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）当取得最小值时，求的值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化简即可；（2），当且仅当，即时，取等号.从而即可得到答案.详解：（1）∵，∴即∵，∴.（2）当且仅当，即时，取等号.∵，∴点睛：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．如图，在三棱锥中，两两垂直，，且为线段的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】分析：（1）由题意得，又，从而即可证明；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，即可运用空间向量的方法求得答案.详解：（1）证明：因为，为线段的中点，所以.又两两垂直，且所以平面，则.因为，所以平面.（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.∵，∴可设，则，∴，则，设平面的法向量为，则，即令，得.平面的一个法向量为，则.故平面与平面所成二面角的正弦值为.点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．某机构为了调查某市同时符合条件与(条件：营养均衡，作息规律；条件：经常锻炼，劳逸结合)的高中男生的体重(单位:)与身高(单位: )是否存在较好的线性关系，该机构搜集了位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格://根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.(1)求关于的线性回归方程(精确到整数部分)；(2)已知，且当时，回归方程的拟合效果较好。

2017-2018学年河北省保定市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足1﹣z＝（2﹣i）2，则z的虚部为（）A．4B．4i C．﹣2D．﹣2i2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣12＞0}，B＝{x∈Z|﹣6≤x≤6}，则A∩B的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．（5分）从区间[1，8]上任意选取一个实数m，则双曲线x2﹣＝1的离心率大于2的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）设有下面四个命题p1：若x＞1，则0.3x＞0.3；p2：若X～B（4，0.3），则D（X）＝0.84；p3：若x+lnx＞1，则x＞1；p4：若X～N（3，σ2），则P（X＜2）＞P（X＞5）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（）A．3B．4C．5D．67．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx﹣）（0＜ω＜10）的图象与g（x）＝cos（x+φ）（0＜φ＜3）的图象都关于直线x＝﹣对称，则ω与φ的值分别为（）A．8，B．2，C．8，D．1，8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8B．9C．10D．119．（5分）设x，y满足约束条件，若k＞0，且z＝x﹣2y的最大值为6，则k＝（）A．B．C．D．10．（5分）中国古代数学的瑰宝﹣﹣《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体﹣﹣鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体．现有四面体ABCD为一个鳖擩，已知AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝，CD＝2，若该鳖擩的每个顶点都在球O的表面上，则球O 的表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．9π11．（5分）已知定义域为正整数集的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+1，f（1）＝1，则数列{（﹣1）n f（n）f（n+1）}（n∈N*）的前99项和为（）A．﹣19799B．﹣19797C．﹣19795D．﹣19793 12．（5分）设函数f（x）＝sin x sin（x﹣）sin（x+），g（x）＝，若∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），f（x1）＜g（x2），则正数a的取值范围为（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（﹣）5的展开式中的系数为．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，+＝1，+＝2，则公比q＝．15．（5分）若函数f（x）＝为奇函数，则a的取值范围为．16．（5分）已知点P（2，1）是抛物线C：x2＝my上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，若直线P A与直线PB的斜率之差为1，D是圆（x﹣1）2+（y+4）2＝1上一动点，则△A1B1D的面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2C＝sin2B﹣sin2A．（1）证明：cos C＝；（2）当cos C取得最小值时，求的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A，AB，AC两两垂直，P A＝AB＝AC＝3，且D 为线段BC的中点．（1）证明：BC⊥平面P AD；（2）若＝λ，•＝，求平面P AB与平面PDE所成角的正弦值．19．（12分）某机构为了调查某市同时符合条件A与B（条件A：营养均衡，作息规律；条件B：经常锻炼，劳逸结合）的高中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，该机构搜集了6位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为1.07．（1）求y关于x的线性回归方程程＝x（精确到整数部分）；（2）已知R2＝1﹣，且当R2＞0.9时，回归方程的拟合效果较好．试结合数据（y i﹣）2＝11，判断（1）中的回归方程的拟合效果是否良好？（3）该市某高中有10位男生同时符合条件A与B，将这10位男生的身高（单位：cm）的数据绘制成如下的茎叶图．若从这10位男生中任选2位，记这2位中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（提示：利用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重）．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）直线l过F且与椭圆C交于P，Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝25lnx﹣a2x+2a．（1）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（2）若f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立，求正整数a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数，r＞0），以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M的普通方程；（2）若圆C与曲线M的公共弦长为8，求r的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤7的解集；（3）若函数g（x）＝x2﹣2x+|a2﹣3|的最小值不小于f（x）的最小值，求a的取值范围．2017-2018学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足1﹣z＝（2﹣i）2，则z的虚部为（）A．4B．4i C．﹣2D．﹣2i【解答】解：∵1﹣z＝（2﹣i）2，∴z＝1﹣（3﹣4i）＝﹣2+4i，∴z的虚部为4．故选：A．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣12＞0}，B＝{x∈Z|﹣6≤x≤6}，则A∩B的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣12＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞4}，B＝{x∈Z|﹣6≤x≤6}＝{﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，∴A∩B＝{﹣6，﹣5，﹣4，5，6}，∴A∩B中的元素的个数为5．故选：C．3．（5分）在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：如图，+＝，+＝2，∴+＝2﹣，∴2＝2﹣，∴＝﹣，∴λ＝1，，∴，故选：B．4．（5分）从区间[1，8]上任意选取一个实数m，则双曲线x2﹣＝1的离心率大于2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线x2﹣＝1，得a2＝1，b2＝m．∴c2＝a2+b2＝1+m，由双曲线x2﹣＝1的离心率大于2，即e＝＞2，∴，解得m＞3．∵1≤m≤8，∴3＜m≤8．设“双曲线x2﹣＝1的离心率大于2”为事件A，由几何概型概率计算公式得P（A）＝．故选：D．5．（5分）设有下面四个命题p1：若x＞1，则0.3x＞0.3；p2：若X～B（4，0.3），则D（X）＝0.84；p3：若x+lnx＞1，则x＞1；p4：若X～N（3，σ2），则P（X＜2）＞P（X＞5）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于p1：根据指数函数y＝0.3x是定义域R上的减函数，∴命题若x＞1，则0.3x＞0.3是假命题；对于p2：若X～B（4，0.3），则D（X）＝4×0.3×（1﹣0.3）＝0.84，是真命题；对于p3：若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴f′（x）＝1+＝＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，是真命题；对于p4：若X～N（3，σ2），则P（X＜2）＝P（X＞4）＞P（X＞5），是真命题．综上，其中真命题有3个．故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，i＝1t＝2，i＝2不满足条件t＜1，执行循环体，x＝3，t＝2﹣lg3，i＝3不满足条件t＜1，执行循环体，x＝9，t＝2﹣lg9，i＝4不满足条件t＜1，执行循环体，x＝27，t＝2﹣lg27，i＝5满足条件t＜1，退出循环，输出i的值为5．故选：C．7．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx﹣）（0＜ω＜10）的图象与g（x）＝cos（x+φ）（0＜φ＜3）的图象都关于直线x＝﹣对称，则ω与φ的值分别为（）A．8，B．2，C．8，D．1，【解答】解：由题意，函数f（x）＝sin（ωx﹣）（0＜ω＜10）的图象与g（x）＝cos（x+φ）（0＜φ＜3）的图象都关于直线x＝﹣对称，可得，k∈Z．可得：ω＝﹣12k﹣2；∵0＜ω＜10，∴ω＝8．可得cos（﹣+φ）＝cos kπ．∴φ＝kπ，k∈Z．∵0＜φ＜3，∴φ＝．故选：C．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由题意，几何体的直观图如图：是一个正四棱柱挖去4个三棱锥而得的几何体，几何体的体积为：V＝3×22﹣4×＝10．故选：C．9．（5分）设x，y满足约束条件，若k＞0，且z＝x﹣2y的最大值为6，则k＝（）A．B．C．D．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣6，﹣6）．点A（﹣6，﹣6）在kx﹣y+2＝0上，由﹣6k+6+2＝0，得k＝．故选：B．10．（5分）中国古代数学的瑰宝﹣﹣《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体﹣﹣鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体．现有四面体ABCD为一个鳖擩，已知AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝，CD＝2，若该鳖擩的每个顶点都在球O的表面上，则球O 的表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．9π【解答】解：如图，∵四面体ABCD为一个鳖擩，且AB⊥平面BCD，BC＝，CD＝2，∴BC⊥DC，把该四面体补形为长方体，可得长方体过一个顶点的三条棱长为1，2，．则长方体的对角线长为．∴四面体外接球的半径r＝．∴球O的表面积为．故选：B．11．（5分）已知定义域为正整数集的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+1，f（1）＝1，则数列{（﹣1）n f（n）f（n+1）}（n∈N*）的前99项和为（）A．﹣19799B．﹣19797C．﹣19795D．﹣19793【解答】解：令x＝n，y＝1，可得f（n+1）＝f（n）+f（1）+1，则f（n+1）﹣f（n）＝f（1）+1＝2，则数列{f（n）}的首项为1，公差为2的等差数列，从而f（n）＝2n﹣1，则（﹣1）n f（n）f（n+1）＝（﹣1）n（4n2﹣1）＝4（﹣1）n n2﹣（﹣1）n，则{（﹣1）n f（n）f（n+1）}（n∈N*）的前99项和为4（﹣12+22﹣32+42+…﹣972+982﹣992）﹣（﹣1），＝4[（1+2）+（3+4）+…+（97+98）﹣992]+1，＝4[﹣992]+1，＝4×99×（49﹣99）+1，＝﹣19799，故选：A．12．（5分）设函数f（x）＝sin x sin（x﹣）sin（x+），g（x）＝，若∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），f（x1）＜g（x2），则正数a的取值范围为（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，e﹣3）D．（e﹣3，+∞）【解答】解：∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），f（x1）＜g（x2）⇔f（x）max＜g（x）max，x∈（0，+∞）．函数f（x）＝sin x sin（x﹣）sin（x+）＝sin x sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin x ＝﹣sin x cos2x＝﹣sin x（1﹣2sin2x）＝sin x+sin3x，令sin x＝t∈[﹣1，1]，则f（x）＝t+t3＝h（t），h′（t）＝3t2﹣＝3，可得：t＝﹣时，函数h（t）取得极大值，＝＝．又h（1）＝﹣+1＝＞．∴f（x）max＝．g（x）＝，∵a＞0，因此只考虑x＞1时g（x）的最大值即可．g′（x）＝＝．∴函数g（x）在x＝时取得极大值即最大值．∴g（x）max＝g（）＝．∴＜，解得a＜e﹣3．则正数a的取值范围为（0，e﹣3）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（﹣）5的展开式中的系数为﹣10．【解答】解：（﹣）5的展开式的通项公式为中的系数T r+1＝•（﹣1）r•，令r＝3，可得展开式中的系数为•（﹣1）＝﹣10，故答案为：﹣10．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，+＝1，+＝2，则公比q＝．【解答】解：∵在正项等比数列{a n}中，+＝1，+＝2，∴，解得q＝．故答案为：．15．（5分）若函数f（x）＝为奇函数，则a的取值范围为（0，1]．【解答】解：∵f（x）＝中，x≠0，a﹣x2≥0，∴a≥x2＞0，∵在定义域内是一个偶函数，x∈，∴要函数f（x）＝为奇函数，则g（x）＝|x+1|﹣1 为奇函数，（1）当﹣1≤x≤1时，g（x）＝x+1﹣1＝x；（2）当x＞1时，g（x）＝x+1﹣1＝x；（3）当x＜﹣1时，g（x）＝﹣x﹣1﹣1＝﹣x﹣2所以只有定义域为[﹣1，1]的子区间，且定义域关于0对称时，g（x）才是奇函数所以，即a≤1，所以0＜a≤1．故答案为：（0，1]．16．（5分）已知点P（2，1）是抛物线C：x2＝my上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，若直线P A与直线PB的斜率之差为1，D是圆（x﹣1）2+（y+4）2＝1上一动点，则△A1B1D的面积的最大值为10．【解答】解：点P（2，1）是抛物线C：x2＝my上一点，∴m＝4，∴x2＝4y；设抛物线上的点A（x1，），B（x2，），则A，B在x轴上的射影分别为A1（x1，0），B1（x2，0）；∴直线P A与直线PB的斜率之差为：k P A﹣k PB＝﹣＝＝1，∴x1﹣x2＝4，即|A1B1|＝4；又D是圆（x﹣1）2+（y+4）2＝1上一动点，且D到x轴的最大距离为d＝4+1＝5，∴△A1B1D面积的最大值为：×|AB|×d＝×4×5＝10．故答案为：10．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2C＝sin2B﹣sin2A．（1）证明：cos C＝；（2）当cos C取得最小值时，求的值．【解答】解：（1）证明：∵4sin2C＝sin2B﹣sin2A，∴4c2＝b2﹣a2，即c2＝，∵cos C＝，∴cos C＝＝．（2）cos C＝≥＝，当且仅当5a2＝3b2，即b＝a时，取等号．∵c2＝＝＝，∴．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A，AB，AC两两垂直，P A＝AB＝AC＝3，且D 为线段BC的中点．（1）证明：BC⊥平面P AD；（2）若＝λ，•＝，求平面P AB与平面PDE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，所以AD⊥BC．又P A，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，所以P A⊥平面ABC，则P A⊥BC．因为AD∩P A＝A，所以BC⊥平面P AD．（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．∵＝λ，∴可设E（0，t，0），则＝（0，t，﹣3），＝（，，0），∴＝＝，∴t＝1，则＝（，，0），＝（0，1．﹣3），设平面PDE的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1，得＝（﹣1，3，1）．平面P AB的一个法向量为＝（0，1，0），则cos＜＞＝＝．故平面P AB与平面PDE所成二面角的正弦值为．19．（12分）某机构为了调查某市同时符合条件A与B（条件A：营养均衡，作息规律；条件B：经常锻炼，劳逸结合）的高中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，该机构搜集了6位满足条件的高中男生的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为1.07．（1）求y关于x的线性回归方程程＝x（精确到整数部分）；（2）已知R2＝1﹣，且当R2＞0.9时，回归方程的拟合效果较好．试结合数据（y i﹣）2＝11，判断（1）中的回归方程的拟合效果是否良好？（3）该市某高中有10位男生同时符合条件A与B，将这10位男生的身高（单位：cm）的数据绘制成如下的茎叶图．若从这10位男生中任选2位，记这2位中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（提示：利用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重）．【解答】解：（1）依题意可知＝1.07，∵＝171，＝54，∴＝﹣＝﹣128.97≈﹣129，故y关于x的线性回归方程为＝1.07x﹣129．（2）∵＝（45﹣54）2+…+（65﹣54）2＝256，∴＝1﹣≈0.96＞0.9，故（1）中的回归方程的拟合效果良好．（3）令＝1.07x﹣129＝60，得x≈176.6，故这10位男生的体重有3位体重超过60kg，X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，则X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×＝．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）直线l过F且与椭圆C交于P，Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：（1）∵△MOF的面积为，∴bc＝，即bc＝．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4，∴＝4，即ab＝2．∴＝＝，∴＝，∴a＝2，b＝，∴C的方程为：＝1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则＝2S △POQ．设直线l的方程为：x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴|y1﹣y2|＝＝＝，∴S△POQ＝|OF|•|y1﹣y2|＝．设＝t≥1，＝．∵函数g（t）＝在[1，+∞）上单调递减，∴当t＝1时，△PP′Q面积取得最大值＝3．21．（12分）已知函数f（x）＝25lnx﹣a2x+2a．（1）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（2）若f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立，求正整数a的最小值．【解答】解：（1）f′（x）＝（x＞0），当a＝0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，当a≥5或a≤﹣5时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）单调递减，当﹣5＜a＜5且a≠0时，令f′（x）＞0，得1＜x＜；令f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）∵f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立．∴f（1）＝﹣a2+2a＜﹣8，解得a＞4或a＜﹣2，则正整数a的最小值为5．下面证明当a＝5时，f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立，过程如下：当a＝5时，f（x）＝25lnx﹣25x+10，f′（x）＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1．故f（x）max＝f（1）＝﹣15＜﹣8，从而f（x）＜﹣8对x∈（0，+∞）恒成立．故整数a的最小值为5．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数，r＞0），以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M的普通方程；（2）若圆C与曲线M的公共弦长为8，求r的值．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．∴ρ2＝8ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣8y＝0，即x2+（y﹣4）2＝16，∴曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝16．∵曲线M的参数方程为（α为参数，r＞0），∴曲线M的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2．（2）联立，得2x﹣6y＝2﹣r2，∵圆C的直径为8，且圆C与曲线M的公共弦长为8，∴直线2x﹣6y＝2﹣r2经过圆C的圆心（0，4），则2×0﹣6×4＝2﹣r2，r2＝26，又r＞0，∴r ＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤7的解集；（3）若函数g（x）＝x2﹣2x+|a2﹣3|的最小值不小于f（x）的最小值，求a的取值范围．【解答】解（1）由f（x）≤7，得|x﹣2|+|x﹣1|≤7，∴或或，解得：﹣2≤x≤5，故不等式f（x）≤7的解集为[﹣2，5]．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x﹣1|≥|x﹣2﹣（x﹣1）|＝1，∴f（x）的最小值为1．∵g（x）min＝g（1）＝|a2﹣3|﹣1，∴|a2﹣3|﹣1≥1，则a2﹣3≥2或a2﹣3≤﹣2，解得：a∈（﹣∞，﹣]∪[﹣1，1]∪[，+∞）．第21页（共21页）。

2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案

2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2

a
1f
x
a

0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得的横坐标分别是则有又
，又于是
，，
，
，即 l 与直线平行，一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分，

2017-2018学年(新课标)最新河北省高二下期末数学试卷(理)及解析-精品试题

2017-2018学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x||x﹣2|≤3，x∈R}，N={y|y=1﹣x2，x∈R}，则M∩（∁R N）=（）A．（1，5] B．（﹣1，5] C．[﹣1，1] D．[1，5]2．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|3．用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的4．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16 B．18 C．24 D．325．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种6．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞2，且n∈N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中的两项，但又减少了另一项D．增加了A中的一项，但又减少了另一项7．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球8．若正△ABC的边长为a，其内一点P到三边距离分别为x，y，z，则S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC，于是ax+ay+az=S△ABC，x+y+z=．类比推理，求解下面的问题．正四面体棱长为2，其内一点M到各个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为（）A．B．C．D．9．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）10．某校组织高一、高二年级书法比赛，高一、高二年级参赛人数分别占60%、40%；并且高一年级获奖人数占本年级参赛人数的，高二年级获奖人数占本年级参赛人数的．现从所有参赛学生中任意抽取一人，记事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，则P（B|）的值为（）A．B．C．D．11．log2（C+C+…+C）的值为（）A．1007 B．1008 C．2014 D．201512．函数f（x）=e x﹣，若实数m满足f（m2）+f（3m﹣4）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D．（﹣4，1）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=________．14．+++…+=________．15．某班要从5名男生与3名女生中选出4人参加学校组织的书法比赛，要求男生、女生都必须至少有一人参加，则共有不同的选择方案种数为________．（用数字作答）16．已知函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限．（1）求z；（2）若z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．求cos∠ABC．18．某社会研究机构为了了解高中学生在吃零食这方面的生活习惯，随机调查了120名男生和80名女生，这200名学生中共有140名爱吃零食，其中包括80名男生，60名女生．请完成如表的列联表，并判断是否有90%的把握认为高中生是否爱吃零食的生活习惯与性别有关？参考公式：K2=，n=a+b+c+d．优质品和合格品都能正常使用；而次品无法正常使用，厂家会无理由退货或更换．（Ⅰ）小李在市场上购买一件这种产品，求此件产品能正常使用的概率；（Ⅱ）若小李购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E（ξ）和方差D （ξ）．20．社会调查表明，家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了10个家庭，获得第i个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得x i=60，y i=15，x i y i=180，x=540．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+；（Ⅱ）若某家庭月收入为5千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：线性回归方程=x+中，=，=﹣，其中，为样本平均值．21．某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成A、B、C三组，如表所示：（Ⅰ）写出这10个数据的中位数和极差；（Ⅱ）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n 户用电量为B组的可能性较大，求n的值．说明：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x||x﹣2|≤3，x∈R}，N={y|y=1﹣x2，x∈R}，则M∩（∁R N）=（）A．（1，5] B．（﹣1，5] C．[﹣1，1] D．[1，5]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出关于集合M，N的范围，取交集即可．【解答】解：M={x||x﹣2|≤3，x∈R}={x|﹣3≤x﹣2≤3}={x|﹣1≤x≤5}=[﹣1，5]，N={y|y=1﹣x2，x∈R}={y|y≤1}=（﹣∞，1]，则M∩（∁R N）=[﹣1，5]∩（1，+∞）=（1，5]，故选：A．2．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据常见基本函数的性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数y=x3是定义域R上的奇函数，不合题意；对于B，函数y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递增函数，满足题意；对于C，函数y=﹣x2+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；对于D，函数y=2﹣|x|是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；故选：B．3．用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的【考点】演绎推理的基本方法．【分析】指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的．【解答】解：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选A．4．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16 B．18 C．24 D．32【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列A33，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选C．5．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D6．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞2，且n∈N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中的两项，但又减少了另一项D．增加了A中的一项，但又减少了另一项【考点】数学归纳法．【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端++…+，那么当n=k+1时左端=+…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，故选：C．7．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【考点】随机事件．【分析】根据独立事件的定义判断即可．【解答】解：一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C．8．若正△ABC的边长为a，其内一点P到三边距离分别为x，y，z，则S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC，于是ax+ay+az=S△ABC，x+y+z=．类比推理，求解下面的问题．正四面体棱长为2，其内一点M到各个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，可以结合由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．【解答】解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，可得：P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值，如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥P﹣ABC，P﹣ABD，P﹣ACD，P﹣BCD的体积分别为：V1，V2，V3，V4，由棱长为a可以得到BF=a，BE=BF=a，在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到AE2=AB2﹣BE2，即AE=a，即h=a，（其中h为正四面体A﹣BCD的高），故正四面体的体积V=，正四面体的四个面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面积均为则V=V1+V2+V3+V4=（h1+h2+h3+h4）解得：h1+h2+h3+h4=a，∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值a．又正四面体棱长为2，即a=2，∴定值为．故选：D．9．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选B．10．某校组织高一、高二年级书法比赛，高一、高二年级参赛人数分别占60%、40%；并且高一年级获奖人数占本年级参赛人数的，高二年级获奖人数占本年级参赛人数的．现从所有参赛学生中任意抽取一人，记事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，则P（B|）的值为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，P（B|）表示来自高二的条件下，获奖的概率，即可得出结论．【解答】解：事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，P（B|）表示来自高二的条件下，获奖的概率．由题意，设参赛人数为x，则高一、高二年级参赛人数分别为0.6x.0.4x，高一年级获奖人数0.1x，高二年级获奖人数0.05x．∴P（B|）==，故选：A．11．log 2（C +C +…+C ）的值为（） A ．1007B ．1008C ．2014D ．2015【考点】组合及组合数公式；对数的运算性质．【分析】根据二项式定理和对数的运算性质即可求出．【解答】解：C +C+…+C=（C+C+…+C+…+）=×22015=22014，∴log 2（C +C+…+C）=log 222014=2014，故选：C ．12．函数f （x ）=e x ﹣，若实数m 满足f （m 2）+f （3m ﹣4）＜0，则m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B ．（﹣1，4）C ．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）D ．（﹣4，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据解析式求出f （x ）的定义域和f （﹣x ），由函数奇偶性的定义判断出f （x ）是奇函数，由为y=e x 在R 上是增函数判断出f （x ）的单调性，利用奇偶性和单调性转化不等式，求出m 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=e x ﹣的定义域是R ，因为f （﹣x ）=﹣e x =﹣f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，因为y=e x 在R 上是增函数，所以f （x ）=e x ﹣在R 上是增函数，则f （m 2）+f （3m ﹣4）＜0为：f （m 2）＜﹣f （3m ﹣4）=f （﹣3m+4），即m 2＜﹣3m+4，则m 2+3m ﹣4＜0，解得﹣4＜m ＜1，所以m 的取值范围是（﹣4，1），故选D ．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）=0.84，则P （ξ≤﹣2）=0.16．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X 服从正态分布N （1，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P （ξ≤﹣2）=P （ξ≥4）=1﹣P （ξ≤4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X 服从正态分布N （1，σ2），μ=1， ∴正态曲线的对称轴x=1∴P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16．故答案为：0.16．14．+++…+=．【考点】数列的求和．【分析】根据：数列的通项公式为==﹣，利用裂项法进行求解即可．【解答】解：数列的通项公式为==﹣，则+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．某班要从5名男生与3名女生中选出4人参加学校组织的书法比赛，要求男生、女生都必须至少有一人参加，则共有不同的选择方案种数为65．（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从8人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从8人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C84=70种情况；②选出的4人都为男生时，有C54=5种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共70﹣5=65种；故答案为：65．16．已知函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是﹣2≤a＜0．【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断a＜0，再分析x＜0，函数在x=时取得极大值﹣4，x=0时取得极小值﹣4，利用f（x）=恰有2个零点，即可得出结论．【解答】解：由题意，a＜0，x＜0，f（x）=x3﹣ax2﹣4，f′（x）=x（3x﹣2a）=0，可得x=0或，∴函数在x=时取得极大值﹣4，x=0时取得极小值﹣4，∵f（x）=恰有2个零点，∴﹣2≤a＜0，故答案为：﹣2≤a＜0．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限．（1）求z；（2）若z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．求cos∠ABC．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可．【解答】解：（1）复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限，可得，解得：x=y=1．z=1+i．（2）z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），cos∠ABC===．18．某社会研究机构为了了解高中学生在吃零食这方面的生活习惯，随机调查了120名男生和80名女生，这200名学生中共有140名爱吃零食，其中包括80名男生，60名女生．请完成如表的列联表，并判断是否有90%的把握认为高中生是否爱吃零食的生活习惯与性别有关？参考公式：K2=，n=a+b+c+d．【分析】根据列联表运用公式K2=，n=a+b+c+d，求出k值，根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，即可得出结论．【解答】解：将2×2列联表补充完整：所以K2===1.587，因为1.587＜2.706，所以没有90%的把握认为高中生爱吃零食的生活习惯与性别有关．19．某种产品的质量分为优质、合格、次品三个等级，其数量比例依次为40%，55%，5%．其中优质品和合格品都能正常使用；而次品无法正常使用，厂家会无理由退货或更换．（Ⅰ）小李在市场上购买一件这种产品，求此件产品能正常使用的概率；（Ⅱ）若小李购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E（ξ）和方差D （ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意，计算购买一件这种产品能正常使用的概率值；（Ⅱ）根据题意，得出ξ的可能取值，求出对应的概率值，列出ξ的分布列，计算数学期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，购买一件这种产品，此件产品能正常使用的概率为P=40%+55%=0.95；（Ⅱ）购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，则ξ的可能取值为0、1、2、3，所以P（ξ=0）=•（1﹣0.4）3=0.216，P（ξ=1）=×0.4×（1﹣0.4）2=0.432，P（ξ=2）=×0.42×（1﹣0.4）=0.288，P（ξ=3）=×0.43=0.064；所以ξ的分布列如下表：×0.288+3×0.064=1.2，方差为D（ξ）=3×0.4×（1﹣0.4）=0.72．20．社会调查表明，家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了10个家庭，获得第i个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得x i=60，y i=15，x i y i=180，x=540．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+；（Ⅱ）若某家庭月收入为5千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：线性回归方程=x+中，=，=﹣，其中，为样本平均值．【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出和，然后求出线性回归方程=0.5x ﹣1.5；（2）通过x=5，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由=×x i=6，=×y i=1.5，===0.5，=﹣=1.5﹣0.5×6=﹣1.5，家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=0.5x﹣1.5；（2）当x=5时，=1，某家庭月收入为5千元，该家庭的月储蓄1千元．21．某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成A、B、C三组，如表所示：（Ⅰ）写出这10个数据的中位数和极差；（Ⅱ）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n 户用电量为B组的可能性较大，求n的值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由茎叶图得这10个数从小到大为46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，由此能求出这10个数据的中位数和这10个数据的极差．（Ⅱ）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，从这10个数据中任意取出3个，来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，分另求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，），由此能求出从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，能求出n．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图得这10个数从小到大为：46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，位于中间的两个数是133和150，∴这10个数据的中位数是=141.5，这10个数据的极差为：256﹣46=210．（Ⅱ）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，∴从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的可能取值为：Eξ==．（Ⅲ）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，），P（X=k）=，k=0，1，2， (20)设t===，若t＞1，则k＜16.4，P（X=k﹣1）＜P（X=k）；若k＜1，则k＞16.4，P（X=k﹣1）＞P（X=k），∴当k=16或k=17时，P（X=k）可能最大，==＞1，∴从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，则n=16．说明：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB 与⊙O 的相切于点B ，ADE 是⊙O 的割线， ∴AB 2=AD•AE， ∵AB=AC ，∴AC 2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE ，可得∠ADC=∠ACE ， ∵四边形DEGF 内接于⊙O ， ∴∠ADC=∠EGF ，因此∠EGF=∠ACE ，可得GF ∥AC ．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA|•|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由代入消元法，可得直线l 的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求得直线l 与y 轴的交点，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义，即可得到所求值．【解答】解：（ 1）直线l 的参数方程为（t 为参数），消去t ，由代入法可得直线l 的普通方程为x ﹣y+3=0；由ρ=2sinθ知，ρ2=2ρsinθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，代入上式，可得x 2+y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y=0；（2）直线l 与y 轴的交点为P （0，3），直线l的参数方程（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0，得：t2+2t+3=0，设A、B两点对应的参数为t1、t2，则t1t2=3，故|PA|•|PB|=|t1t2|=3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…2016年9月7日。

2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案20

2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题Word 版含答案一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 82．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（）A.3．“221a b >>> ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4．设12log 3a =， 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c =，则a b c 、、的大小顺序为（）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 5．用数学归纳法证明： ()*1111,22321nn n N n ++++<∈≥-时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B.C. D.7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞9．已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A. 1a ≤B. 1a ≥C. 0a ≤D. 0a ≥10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，()()()()410f x f x f x +=≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ<C. ()()sin cos f f αβ=D. 以上情况均有可能12．已知函数()21,2{ 3,21x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 二、填空题13．)11cos x x dx -=⎰__________．14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________．15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是．三、解答题17．坐标系xOy 中，曲线1:{x tcos C y tsin αα==（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求AB的最大值.118．已知函数()()f x tx tx a R=--+∈.21（Ⅰ）当1t=时，解不等式()1f x≤；（Ⅱ）若对任意实数t，()f x的最大值恒为m，求证：对任意正数,,a b c，当a b c m++=时，m≤.19．如图，四棱锥S ABCD-中，//,⊥，侧面SAB为等边AB CD BC CD三角形，2==.CD SDAB BC==，1（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小.20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3AB CD BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.22．已知函数()()14ln f x x ax a R x=-+∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设0m n <<，求证：()2ln ln4n m n m-<-.2018年河北省保定市高二下学期期末考试数学（理）试题Word 版含答案一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】{}25{|250,N}{|0,N}0,1,22Q x x x x x x x =-≤∈=≤≤∈= ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2．已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（）A.【答案】C 【解析】()()()()12222255i a bi a bi ai b a b a b i i ++=++-=-++=+，故25{ 25a b a b -=+=，解得3{1a b ==-，故3a bi i +=-=C .3．“221a b >>> ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由2210a b a b >>⇒>>>a b >>，不一定大于0， 21a b a ∴>>>C .4．设12log 3a =， 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c =，则a b c 、、的大小顺序为（）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【解析】试题分析：∵0.213121210log 33⎛⎫>>>> ⎪⎝⎭，∴a b c <<，故选A【考点】本题考查了指数、对数函数的单调性点评：掌握指数（对数）函数的单调性及图象是解决此类问题的关键，属基础题5．用数学归纳法证明： ()*1111,22321nn n N n ++++<∈≥-时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（） A. 12k - B. 2k C. 21k - D. 2+1k 【答案】B【解析】当n k =时，不等式左边为1111 (2321)k++++-，共有21k -项，当1n k =+时，不等式左边11111 (2)321k +++++-，共有121k +-项， ∴增加的项数为1222k k k +-=，故选B .6．函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：由()02g =排除B,D ，由()11f =排除A,故选C ．【考点】函数的图象．7．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A. 3a ≤- B. 3a ≥- C. 5a ≤ D. 5a ≥ 【答案】A【解析】试题分析：函数()f x 图象开口向上,对称轴为1x a =-,由已知有14a -≥,则3a ≤-,选A. 【考点】二次函数的单调性.8．函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（） A. (),1-∞- B. ()1,2- C. ()4,1-- D. ()1,-+∞ 【答案】B【解析】2280x x --+>，可得函数定义域为()4,2-，由于外函数lg y t =，为增函数，故只需求内函数228t x x =--+的单调减区间即可，由于228t x x =--+的单调减区间为()1,2-，函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是()1,2-，故选B .【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.9．已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A. 1a ≤B. 1a ≥C. 0a ≤D. 0a ≥ 【答案】C【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2x g x a =+为单调递增函数，所以()()m i n24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ．【考点】函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b << 【答案】D【解析】试题分析：设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()h x 是定义在R 的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时函数()h x 单调递增．因为()()11a f h ==， ()()222b f h =--=-， 111ln lnln 222c f h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1212>>，所以b a c >>．故选D ．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用．【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过构造函数()h x ()xf x =，并对()h x 进行求导，可以发现a ， b ， c 就是()h x 的三个函数值，再根据()h x 的单调性，就可以比较出a ， b ， c 的大小，进而得出结论．11．定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，()()()()410f x f x f x +=≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（） A. ()()sin cos f f αβ> B. ()()sin cos f f αβ< C. ()()sin cos f f αβ= D. 以上情况均有可能【答案】B【解析】()1f x -的对称轴为1x =，可得()y f x =的对称轴为0x =，即有()()f x f x -=，又()()14f x f x +=，可得()()124f x f x ++=，即为()()2f x f x +=，函数()f x 为最小正周期为2的偶函数， ()f x 在区间()1.0-上单调递减，可得()f x 在()0,1上递增，由,αβ是钝角三角形中两锐角，可得2παβ+<，即有022ππαβ<<-<，则0s i n s i n 12παβ⎛⎫<<-< ⎪⎝⎭，即为0sin cos 1αβ<<<，则()()sin cos f f αβ<，故选B .12．已知函数()21,2{ 3,21x x f x x x -<=≥-，若函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】函数()21,2{,3,21x x f x x x -<=≥-()[]()()[)(](]22210,2,,log 3212,3,log 3,235{ 2,3,212350,2,12x x x x f x x x x x -∈∈-∞-∈∈∴=∈≤<-∈≥-，()2,log 3x ∴∈-∞时，()()[]21210,3x f f x -=-∈，令()()2f f x =，解得()22log 1log 3x =+，同理可得()2log 3,2x ∈时，32211x =--，解得27l o g 2x =， 52,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， 32311x =--，解得115x =， 52x ≥时， 31212x --=，解得231log 3x =+，综上所述，函数()()2g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦的x 零点个数为4，故选B .二、填空题13．)11cos x x dx -=⎰__________．【答案】2π【解析】)()11111cos cos x x dx x x dx ---=+⎰⎰，由cos y x x =为奇函数，由定积分的性质可知：奇函数的对称区间上的定积分为0，即()11cos 0x x -=⎰，11-的几何意义可知，表示以()0,0为圆心，以1为半径的圆的一半，则12π-=，故)()11111cos cos 2x x dx x x dx π---=+=⎰⎰，故答案为2π.14．已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时， ()2x f x =-，则()2log 10f 等于__________．【答案】85【解析】()()()()()121f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ∴函数()f x 是以2为周期的奇函数， 2223log 104,14log 100,04log 101,<<∴-<-+<∴<-<()()22log 104log 10f f ∴=-+= ()2244log 102log 10284log 10225f ---===，故答案为85. 15．函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()()x x f x e x ae =-， ()()'12x x f x x a e e ∴=+-⋅，由于函数()f x 两个极值点为12,x x ，即12,x x 是方程()'0f x =的两个不等实数根，即方程120x x ae +-=，且0a ≠， ∴12x x e a +=；设()110,2x y a a+=≠ 2x y e =，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足12{ 112aa>>，解得102a <<，所以a 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选A .【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解16．如果函数()y f x =在其定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b <<），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“均值函数”， 0x 是它的一个均值点.例如函数y x =是[]2,2-上的“均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“均值函数”，则实数m 的取值范围是．【答案】()0,2 【解析】试题分析：由题意得()()()()2000001,1,11,1,10,211m mx mx x m x x m ----=∈-⇒=+∈-⇒∈-- 【考点】新定义三、解答题17．坐标系xOy 中，曲线1:{x tcos C y tsin αα==（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ， 1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 【答案】(1) ()0,0, 3,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭；（2）4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由曲线2:2,C sin ρθ=化为22,sin ρρθ=把222{ x y y sin ρρθ=+=代入可得直角坐标方程，同理由3:C ρθ=可得直角坐标方程，联立解出得23,C C 交点的直角坐标；（Ⅱ）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程： tan y x α=，其中0απ≤≤，其极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，利用2sin AB α=-即可得出. 试题解析：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=，联立222220,{ 0x y y x y +-=+-=解得0,{ 0,x y ==或{3.2x y == 所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤< 因此A 的极坐标为()2sin ,αα， B的极坐标为(),αα所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当56πα=时， AB 取得最大值，最大值为4. 18．已知函数()()21f x tx tx a R =--+∈.（Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）若对任意实数t ， ()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，m ≤. 【答案】(1) [)0+∞，；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()f x 的分段函数的形式，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果; （Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出m 的值，结合不等式的性质证明即可. 试题解析：（Ⅰ） 1t =时， ()21f x x x =--+()3,1{21,12 3x f x x x <-=-+≤<-所以()1f x ≤，解集为[)0+∞，（Ⅱ）由绝对值不等式得()()212+1=3tx tx tx tx --+≤-- 所以()f x 最大值为3，1113+32222a b c a b c+++++≤++== 当且仅当1a b c ===时等号成立.19．如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形， 2AB BC ==， 1CD SD ==.（Ⅰ）证明： SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小. 【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（Ⅰ）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，先证线线垂直，即,⊥⊥，SD SA SD SE从而问题可得解；（Ⅱ）要求直线与平面所成角，一般步骤是先根据图形特点作出所求的线面角，接着将该所在三角形的其他要素（包括角、边或是三角形的形状等）算出来，再三角形的性质或是正弦定理、余弦定理来进行运算，从问题得于解决（类似问题也可以考虑采用坐标法来解决）.试题解析：（Ⅰ）取AB的中点E，连接,DE SE，则四边形BCDE为矩形，所以2==，DE CB所以AD=，因为侧面SAB为等边三角形，2AB=，所以2===，且SE=SA SB AB又因为1SD=，所以222222+=+=，SA SD AD SE SD ED,所以,⊥⊥.SD SA SD SE又SA SE S⋂=，所以SD⊥平面SAB.（Ⅱ）过点S 作SG ⊥DE 于点G ，因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面SDE . 又AB ⊂平面ABCD ，由平面与平面垂直的性质，知SG ⊥平面ABCD ，在Rt DSE ∆中，由··SD SE DE SG =，得12SG =，所以SG =过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ，连接BH ，则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角，因为//,CD AB AB ⊥平面SDE ，所以CD ⊥平面SDE ，又SD ⊂平面SDE ，所以CD SD ⊥.在Rt CDS ∆中，由1CD SD ==，求得SC =在SBC ∆中， 2,SB BC SC ==所以12SBCS ∆=，由A SBC S ABC V V --=，得11··33SBC ABC S AH S SG ∆∆=，即1112232322AH ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得7AH =，所以AH sin ABH AB ∠==，故AB 与平面SBC . 20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.【答案】(1) 2 ， 2ln2-；（2）当[)0,a e ∈时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当(),a e ∈+∞时，方程()0f x =有两解.【解析】试题分析: （Ⅰ）求出导函数，利用()f x 在处的切线方程为y x b =+,列出方程组求解,a b ;（Ⅱ）通过0,0a a =< ,判断方程的解0a >出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a ∈ [)0,e 时，方程无解；当0a <或a e =时，方程有唯一解；当a e >时，方程有两解. 试题解析：（Ⅰ）因为()()0af x x x x=->'，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，所以()()22ln22,2212a f ab f =-=+=-='，解得2,2ln2a b ==-.（Ⅱ）当0a =时， ()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时， ()()0a f x x x x=->'在区间()0,+∞内恒成立，所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022a a f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解.当0a >时， ()2x af x x='-.当(x ∈时， ()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()11ln 2f a a =-. 当()0,a e ∈时， ()11ln 02f a a =->，无方程解；当a e =时， ()11ln =02f a a =-，方程有唯一解. 当(),a e ∈+∞时， ()11ln 02f a a =-<，因为()1102f =>，且1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解，当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-.因为21a >，所以()()22122202f a a a >-=.所以方程()0f x =在区间)+∞内有唯一解，所以方程()0f x =在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e ∈时，方程无解. 21．如图，在梯形ABCD 中， 2//,3AB CD BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ， AD CD BC CF ===.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为【解析】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为: x 轴， y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ= (0λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===，又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥.∵CF ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C ⋂=,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF .（Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,,0,1C A B M λ， ∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由0{ 0n AB n BM ⋅=⋅=得0{ 0y x y z λ+=-+=，取1x =，则()1,3,n λ=， ∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量， ∴cos ,13n mn m n m ⋅===+∵0λ≤≤，∴当0λ=时， cos θ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二22．已知函数()()14ln f x x ax a R x =-+∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设0m n <<，求证： ()2ln ln 4n m n m -<-. 【答案】(1) 1-；（2）4a ≥；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，根据()14134f a a =--=-='，可求得a 的值；（Ⅱ） ()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，等价于由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x≥-+在()0,+∞恒成立，利用导数研究函数的单调性求出()max g x ⎡⎤⎣⎦，从而可得结果；（Ⅲ）原不等式等价于ln n m <令t =1t >，则21ln 22t t t <-，即14ln 40t t t -+<，只需证明14ln 40t t t-+<的最大值小于零即可. 试题解析：（Ⅰ） ()()241,14134f x a f a a x x=--=--=-'='，所以1a =-，（Ⅱ）由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x≥-+在()0,+∞恒成立.设()()214,0,g x x x x=-+∈+∞，则()max a g x ⎡⎤≥⎣⎦ ()()21244,g x x ⎛⎫=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以4a ≥. （Ⅲ）因为0m n <<，不等式()2ln ln4n m n m -<- ln ln n m ⇔-<，即ln n m <令t =则1t >，则21l n 22t t t <-，即14l n 40t t t -+<. 令()()14ln 41h t t t t t =-+≥，由（Ⅱ）知， ()14ln 4f x x x x =-+在()0,+∞上单调递减，所以当1t >时， ()()130h t h <=-<.故当0m n <<时，不等式()2l n l n4n m n m -<-成立. 【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值、导数的几何意义以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()mina f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（Ⅱ）是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。

河北省保定市高二下期末考试数学理科试题

河北省保定市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}2250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（） A ．3 B ．4 C ．7 D ．82.已知复数12,i a bi ++（,,a b R i ∈是虚数单位）满足()()1255i a bi i ++=+，则a bi +=（） A ．32 B ．17 C ．10 D ．53.“221a b >>”是“33a b >”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设0.213121log 3,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小顺序为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 5.用数学归纳法证明：()*1111,22321nn n N n ++++<∈≥-时，第二步证明由“k 到1k +”时，左端增加的项数是（）A ．12k -B ．2kC ．21k -D ．2+1k6.函数()21log f x x =+与()12x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7.函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是单调递减的，则实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．5a ≥ 8.函数()2ln 28y x x =--+的单调递减区间是（）A ．(),1-∞-B ．()1,2- C.()4,1-- D ． ()1,-+∞9.已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()111,22,ln ln 22a f b f c f⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a c b << B ．b c a << C.a b c << D ．c a b << 11.定义在R 上的函数()f x 满足()1f x -的对称轴为1x =，()()()()410f x f x f x +=≠，且在区间()1,2上单调递减，已知,αβ是钝角三角形中两锐角，则()sin f α和()cos f β的大小关系是（）A ．()()sin cos f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ< C. ()()sin cos f f αβ= D ．以上情况均有可能12. 已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若函数()()2g x f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为（）A ．3B ．4 C.5 D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.)11cos x x dx -=⎰．14.已知奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()2x f x =-，则()2log 10f 等于．15.函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点()1212,x x x x <，则a 的取值范围是．16.定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．如y x =是[]2,2-上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数21f x x mx -=-（）是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:23cos C C ρθρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 18. 已知函数()()21f x tx tx a R =--+∈. （Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）若对任意实数t ，()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，a b c m ++≤.19.如图，四棱锥S ABCD -中，//,AB CD BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的正弦值. 20. 已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由. 21. 如图，在梯形ABCD 中，2//,3AB CD BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 22.已知函数()()14ln f x x ax a R x=-+∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处得切线方程与直线410x y +-=垂直，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,+∞上为单调递减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）设0m n <<，求证：()2ln ln 4n m n mmn-<-.试卷答案一、选择题1-5: DCCAB 6-10:DABCD 11、12：BB 二、填空题 13.2π 14.85 15.10,2⎛⎫⎪⎝⎭16.()0,2 三、解答题17.（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=，联立222220,0x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤< 因此A 的极坐标为()2sin ,αα，B的极坐标为(),αα所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4. 18. （Ⅰ）1t =时，()21f x x x =--+()21,123f x x x ⎪=-+≤<⎨⎪-⎩所以()1f x ≤，解集为[)0+∞，（Ⅱ）由绝对值不等式得()()212+1=3tx tx tx tx --+≤-- 所以()f x 最大值为3，111a b c a b c ++≤⋅+⋅+⋅1113+32222a b c a b c+++++≤++== 当且仅当1a b c ===时等号成立. 19.解法一：空间向量法（Ⅰ）以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0D A B . 设(),,S x y z ，则0,0,0x y z >>>.且()2,2,AS x y z =--，(),2,BS x y z =-，()1,,DS x y z =-，由AS BS =，得()()()222222222x y z x y z -+-++-+1x =由1DS =，得221y z +=，① 由=2BS ，得22410y z y +-+=.② 解①②，得13,2y z =∴0,0DS AS DS BS ⋅=⋅=, ∴,DS AS DS BS ⊥⊥, ∴SD ⊥平面SAB .（Ⅱ）设平面SBC 的法向量()111,,n x y z = 则,n BS n CB ⊥⊥,∴0,0n BS n CB ⋅=⋅=.又()1,,,0,2,02BS CB=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴111130,220.x y y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩取12z =，得()3,0,2n =-. ∵()2,0,0AB =-，∴2cos ,AB n AB nAB n-⨯⋅===. 故AB 与平面SBC . 20. （Ⅰ）因为()()0af x x x x'=->，又()f x 在2x =处得切线方程为y x b =+，所以()()22ln 22,2212af a b f '=-=+=-=，解得2,2ln2a b ==-. （Ⅱ）当0a =时，()f x 在定义域()0,+∞内恒大于0，此时方程无解. 当0a <时，()()0af x x x x'=->在区间()0,+∞内恒成立，所以()f x 为定义域为增函数，因为()111110,1022aa f f e e ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以方程有唯一解.当0a >时，()2x af x x-'=.当(x ∈时，()0f x '<， ()f x 在区间(内为减函数，当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x在区间)x ∈+∞内为增函数，所以当x =()11ln 2f a a =-. 当()0,a e ∈时，()11ln 02f a a =->，无方程解；当a e =时，()11ln =02fa a =-，方程有唯一解. 当(),a e ∈+∞时，()11ln02f a a =-<，因为()1102f =>1>，所以方程()0f x =在区间(内有唯一解，当1x >时，设()()1ln ,10g x x x g x x'=-=->，所以()g x 在区间()1,+∞内为增函数，又()11g =，所以ln 0x x ->，即ln 0x <，故()2211ln 22f x x a x x ax =->-.因为21a a>>，所以()()22122202f a a a>-=.所以方程()0f x=在区间(),a+∞内有唯一解，所以方程()0f x=在区间()0,+∞内有两解，综上所述，当[)0,a e∈时，方程无解，当0a<时，或a e=时，方程有唯一解，当a e>时，方程有两个解.21. （Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，∵//AB CD,设1AD CD BC===，又∵23BCDπ∠=,∴2AB=,∴2222cos603AC AB BC AB BC=+-⋅⋅︒=∴222AB AC BC=+.则BC AC⊥.∵CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，∴AC CF⊥,而CF BC C⋂=,∴AC⊥平面BCF.∵//EF AC,∴EF⊥平面BCF.（Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD====，令(03FMλλ=≤≤，则())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C A B Mλ，∴()()3,1,0,,1,1AB BMλ=-=-设(),,n x y z=为平面MAB的一个法向量，由n ABn BM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30x yx y zλ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x=，则()1,3,3nλ=，∵()1,0,0m=是平面FCB的一个法向量，∴()()22cos,133134n mn mn mλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cosθ7，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，7.22. 解：（Ⅰ）()()241,14134f x a f a a x x''=--=--=-=，所以1a =-，（Ⅱ）由题意()2410f x a x x '=--≤在()0,+∞恒成立，即214a x x≥-+在()0,+∞恒成立. 设()()214,0,g x x x x=-+∈+∞，则()max a g x ≥⎡⎤⎣⎦ ()()21244,g x x ⎛⎫=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以4a ≥.（Ⅲ）因为0m n <<，不等式()2ln ln4n m n m-<-ln ln n m ⇔-<即lnn m <令t =，则1t >，则21ln 22t t t <-，即14ln 40t t t-+<. 令()()14ln 41h t t t t t =-+≥，由（Ⅱ）知，()14ln 4f x x x x=-+在()0,+∞上单调递减，所以当1t >时，()()130h t h <=-<.故当0m n <<时，不等式()2ln ln4n m n m-<-成立.。

保定市高二数学下学期期末考试试题理(1)(2021学年)

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