2019版高考(数学复习)高分计划一轮：8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系

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高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_4直线与圆圆与圆的位置关系文新人教A版

考点二|直线与圆相交、弦长问题 (方法突破)
方法 1 几何法求弦长
【例 2】过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9 相交于 A，B 两点，则|AB|的最
小值为( )
A.2 3
B.4
C.2 5
D.5
[解析] 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时 |AB|＝2 r2－d2＝2 9－5＝4.
(2)如果圆C1与圆C2内含，则有 m＋12＋－2－m2<3－2，
(m＋1)2＋(－2－m)2<1，m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1，所以当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．名师点拨利用两圆心|C1C2|与r1和r2的关系时，要注意正确构建不等式，两圆相切分为内切与外切．相交时，不等关系是双向型|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2.
(2)圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝ 1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y＝－12. (3)圆C的圆心C(4,2)，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴P，A，B，C四点共圆，所求圆的
的问题．要求相对较低，但内容很重要，有时
3．初步了解用代数方法处理几何问题也会在解答题中出现.
的思想.
[基础梳理] 1．直线与圆的位置关系与判断方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系． ① d<r ⇔直线与圆相交； ② d＝r ⇔直线与圆相切； ③ d>r ⇔直线与圆相离．
(2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac. ①Δ>0⇔直线与圆相交； ②Δ＝0⇔直线与圆相切； ③Δ<0⇔直线与圆相离．

高考数学一轮复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件

对任意实数 m 方程成立，
∴
2 x
x y 7 0,,解得
y40
x y
3,
.
1
∴对任意实数 m，直线 l 恒过定点 P（3，1）.
又|PC|= 5 ＜5，∴P 点在圆 C 内.∴直线 l 与圆 C 必相交.
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（2）当 l⊥PC 时，所截得的弦长最短. 此时，|PC|= （3 1）2 （1 2）2 = 5 .
即 kx－y－k＋
3＝0，∴|2k－kk2＋＋1
3|＝2，解得
k＝
3 3.
∴切线方程为 y－ 3＝ 33(x－1)，
即 x－ 3y＋2＝0. 【答案】 D
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3.若圆 C: x2 y2 2x 4y 3 0 关于直线 2ax by 6 0
对称，则由点（a,b）向圆所作的切线长的最小值是（）
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4.过点 A（11,2）作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦，其中弦长为
整数的共有 ( )
A.16 条
B.17 条
C.32 条
D.34 条
【解析】由题意可知过点 A（11,2）的最短的弦长为 10，最长的弦长为 26,且分别只有一条.还有长度为 11,12，……，25 的各 2 条，所以弦长为整数的共有 2+2×15=32 条. 【答案】 C
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】直线 2ax by 6 0 过圆心 C （ -1,2 ）， a b 3 0，当点 M（a,b）到圆心距离最小时，切线长最短. MC （a 1）2 （b 2）2 2a2 8a 26 ,a=2 时最小，b=-1，此时切线长等于 4. 【答案】 C

全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案20180509

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点2 圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[必会结论]1．关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．2．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．3．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.4．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．5．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(5)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．[课本改编]直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析圆的方程化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l 的距离为|2－1＋1|2＝2<2，所以直线l 与圆相交．又圆心不在直线l 上，所以直线不过圆心．故选D.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1 答案 B解析圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|0＋0－5|32＋42＝1，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22－12＝3，所以|AB |＝2 3.4．[课本改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为 ( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0答案 D解析圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 5．[2018·重庆模拟]圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切答案 B解析圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．6．[2018·温州十校联考]对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能答案 C解析直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，点A 在圆内，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．故选C.板块二典例探究·考向突破考向直线与圆的位置关系例1 [2018·豫南九校联考]直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆C 相交．故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．选A.解法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 相交．故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d >r ⇔相离．【变式训练1】 [2018·深圳模拟]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定答案 B解析因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.故选B.考向直线与圆的综合问题命题角度1 圆的切线问题例2 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.因为|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则过A 、B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(4)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点P (x 0，y 0)引圆的切线，切点为T ，则切线长为|PT |＝x 20＋y 20＋Dy 0＋Ey 0＋F .(5)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)外一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(6)若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.【变式训练2】 [2015·广东高考]平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，因为直线2x ＋y＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，即点(0,0)到直线2x ＋y ＋m ＝0的距离为5，所以|m |5＝5，|m |＝5.故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.命题角度2 圆的弦长问题例3 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0 答案 B解析圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴k ＝－512.此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 命题角度3 圆中的最值问题斜率型最值例4 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________，最小值为________．答案3 － 3解析原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值(如图)，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 截距型最值例5 [2018·郑州模拟]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]答案 B解析由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆.3x ＋y －m ＝0是直线(如图)，且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2,0)时，m ＝－23，所以⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]，选B. 触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．【变式训练3】 [2015·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析解法一：设A (1,0)，由mx －y －2m －1＝0，得m (x －2)－(y ＋1)＝0，则直线过定点P (2，－1)，即该方程表示所有过定点P 的直线系方程．当直线与AP 垂直时，所求圆的半径最大．此时，半径为|AP |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.解法二：设圆的半径为r ，根据直线与圆相切的关系得r ＝|m ＋1|1＋m2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2mm 2＋1，当m <0时，1＋2m m 2＋1<1，故1＋2mm 2＋1无最大值；当m ＝0时，r ＝1；当m >0时，m 2＋1≥2m (当且仅当m ＝1时取等号)．所以r ≤1＋1＝2，即r max ＝2，故半径最大的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.考向两圆的位置关系例6 (1)[2016·山东高考]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案 B解析由题意知圆M 的圆心为(0，a )，半径R ＝a ，因为圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2＝a 2－2(a >0)，解得a ＝2，又知圆N 的圆心为(1,1)，半径r ＝1，所以|MN |＝2，则R －r <2<R ＋r ，所以两圆的位置关系为相交，故选B.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 答案 1解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝ 22－(3)2＝1⇒a ＝1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2、y 2项得到．【变式训练4】已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝( )A ．－5B ．－5或2C ．－6D ．8答案 B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．核心规律切线、弦长的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可．(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．满分策略1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况．2.在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.板块三启智培优·破译高考数学思想系列 8——数形结合思想在圆中的妙用[2018·江西模拟]过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )A.33B．－33C．±33D．－ 3解题视点如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征，就要考虑数形结合法求解，解答本题时首先要看到曲线y＝1－x2表示的是以原点为圆心，1为半径的半个圆，作出图形，结合三角形面积公式，确定面积最大时直线l的斜率．解析由y＝1－x2得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S△AOB取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案 B答题启示 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.跟踪训练[2018·湖北模拟]若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－2，3]C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]答案 D解析 ∵y ＝3－4x －x 2，∴1≤y ≤3， ∴(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即曲线y ＝3－4x －x 2表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与圆y ＝3－4x －x 2相切时，由点到直线的距离公式，得2＝|2－3＋b |2，∴|b －1|＝2 2.结合图形知b ＝1－2 2.∴1－22≤b ≤3，故选D.板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．[2018·福建漳州八校联考]已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b＝k m ，圆心O 到直线l的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C. 2．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析圆心为C (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，CP 与过点P 的切线垂直．∴k CP ＝2－02－1＝2.又过点P 的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝k CP ＝2，选C.3．[2018·湖北武汉调研]圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线的方程为x －y ＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为12×2×2＝2.故选B.4．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 答案 B解析由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.5．[2018·安徽模拟]若过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3答案 D解析设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1, 得0≤k ≤3，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.6．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 D解析圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 2(2,1)，半径r 2＝1.∴两圆心的距离d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，∴d >r 1＋r 2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．7．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A.7 B ．2 2 C ．3 D. 2 答案 A解析如图，在Rt △PAB 中，要使切线PB 最小，只需圆心与直线y ＝x ＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP |min ＝42＝22，故|BP |min＝ (22)2－12＝7.8．[2018·太原质检]过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于B (2,1)，则圆C 的方程为________．答案 (x －3)2＋y 2＝2解析设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意知：点(a ，b )既在直线y －1＝－(x －2)上，又在AB 的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －3＝0，得圆心坐标为(3,0)，r ＝|AC |＝(4－3)2＋12＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.9．[2016·全国卷Ⅰ]设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.10．[2018·沈阳质检]过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案 x ＋y －3＝0解析依题意得知，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.[B 级知能提升]1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3] 答案 D解析由题意可知，若使圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，即圆C 与以原点O 为圆心，半径为t 的圆有交点，即|OC |－1≤t ≤|OC |＋1，即1≤t ≤3，∴t 的取值范围为[1,3]，故选D.2．[2017·河南洛阳二模]已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|PA |的最小值为( )A.12 B ．1 C.2－1 D ．2－ 2 答案 D解析解法一：由题意可知，直线PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA 与y 轴平行或重合，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，∴|PA |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∴|PA |的最小值为2－ 2.故选D. 解法二：由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|PA |min ＝2(2－1)＝2－ 2.故选D.3．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 [－52，1]解析解法一：因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)．因为A (－12,0)，B (0,6)，所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2)，PB →＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)．因为PA →·PB →≤20，先取P (x, 50－x 2)进行计算，所以(－12－x )(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤ 50－x 2. 当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立；当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－5≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．解法二：设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )．∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，∴点P 在EDF ︵上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1.又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．4．[2017·全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.5．[2015·全国卷Ⅰ]已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。

高三数学一轮复习精讲精练：8.4直线与圆的位置关系

第4课直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是-6＜a ＜42.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于23.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x +2y +1=0相切的直线的方程为 x =2或3x -4y -2=0 .【范例导析】例1.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时，可以从垂径定理角度考虑，充分利用圆的几何性质.例2.已知圆O: 122=+y x ，圆C: 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|.求实数a 、b 间满足的等量关系.解：连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a .例3.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-. 求圆C 的方程.解：设圆C 半径为r，由已知得：a b r a ⎧⎪=⎪⎪=⎨ ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋.例4.如图，在平面直角坐标系x O y 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1， l 2都相切. (1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．解：（1）直线1:2,l y =设12l l D D 交于点，则（）.l 的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，2k ∴=∴反射光线2l 所在的直线方程为2y x -=-.40y --=.已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)，圆心C 在过点D 且与l垂直的直线上，8b ∴=+ ，又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，a ∴=81b ∴=+=-，圆C 的半径r=3，故所求圆C的方程为22((1)9x y -++=.例2（2）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，则00004224y x y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得(2)B '-，固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，故PB PQ +的最小值为33B C '-=-.此时由121y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩1)2P .【反馈练习】1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1，3)处的切线方程为20x -+=2.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k的取值范围是-（ 3.设m>0，则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=21m+，圆半径为m . ∵d-r=21m +-m =21(m-2m +1)=21(m -1)2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P 从(1，0)出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为)23,21(- 6.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为347.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 1 .8.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖． (1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥，求直线l 的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=.(2)设直线l 的方程是:y x b =+. 因为CA CB ⊥，所以圆心C 到直线l ，解得:1b =-±.所以直线l 的方程是:1y x =-±.。

高考数学一轮复习讲义8.4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d＜r Δ＞0相切d＝r Δ＝0相离d＞r Δ＜02.设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的系相离d＞r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|＜d＜r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)无解1．对直线与圆位置关系的理解(1)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1恒有公共点．(√)(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(3)(教材习题改编)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于2 5.(×)2．对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．关于圆的切线与公共弦(6)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)(8)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)[感悟·提升]1．两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含．2．两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b2＜1.故直线与圆O 相交．(2)如图，圆心坐标为C (1,0)，易知A (1,1)，又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0. 答案 (1)B (2)A规律方法判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2014·郑州模拟)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 取值范围是 ( )． A ．(3，2) B ．(3，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1，解得m ＝233，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 答案 (1)A (2)D考点二圆与圆的位置关系【例2】已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2(11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. 规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()．A．相离B．相交C．外切D．内切(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()．A．4 B．4 2 C．8 D．8 2解析(1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．(2)依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a＞0，因此圆的方程是(x －a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×(－10)2－4×17＝8.故选C.答案(1)B(2)C考点三有关圆的综合问题【例3】(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．审题路线(1)由两条直线解得圆心C的坐标⇒设过点A与圆C相切的切线方程⇒由点到直线的距离求斜率⇒写出切线方程；(2)设圆C的方程⇒设点M(x，y)⇒由|MA|＝2|MO|得M的轨迹方程⇒由两圆有公共点，列出关于a的不等式⇒解不等式可得．解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.规律方法 (1)圆与直线l 相切的情形——圆心到l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l .(2)圆与直线l 相交的情形——圆心到l 的距离小于半径，过圆心而垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．【训练3】 (2013·江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3解析由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S △AOB 取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin 45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图象可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案 B1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 3．圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].答题模板10——与圆有关的探索问题【典例】 (12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．[规范解答] 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A ，B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. (2分)于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.(6分)设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2. 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， (8分) ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0.∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0. (10分) 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ＞0， (11分) 即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0 . (12分) [反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB .转化为OA →·OB →＝0. 答题模板第一步：假设符合要求的结论存在．第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．【自主体验】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离不大于2即可．圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离d＝|4k－2|(－1)2＋k2＝|4k－2|1＋k2，由题意知|4k－2|1＋k2≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤4 3.故k max＝43.答案4 3基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·广州二测)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()．A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值解析由y＝kx＋1知直线过定点(0,1)，由x2＋y2－2y＝0得x2＋(y－1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．答案 A2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离解析两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．答案 B3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案 C4．(2014·宝鸡二检)若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0(m＜3)的一条弦AB的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线的方程为()．A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析由圆的方程得该圆圆心为C(－1,2)，则CP⊥AB，直线CP的斜率为－1，故垂直于AB的直径所在直线的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.答案 B5．(2014·威海期末考试)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x ＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()．A．k＝12，b＝－4 B．k＝－12，b＝4C．k＝12，b＝4 D．k＝－12，b＝－4解析因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝12，b＝－4.答案 A二、填空题6．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________．解析显然x＝2为所求切线之一；另设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案 x ＝2或3x －4y ＋10＝07．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝08．(2014·三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x－y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3.答案 3 三、解答题9．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·安徽宣城六校联考)已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O 相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4r2，若点P在圆O上，则x20＋y20＝解析根据点到直线的距离公式有d＝x20＋y20r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x20＋y20＞r2，d＜r，相交；若点P在圆O 内，则x20＋y20＜r2，d＞r，相离，故只有①正确．答案 A2．(2013·重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．A．52－4 B.17－1 C．6－2 2 D.17解析圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C′1C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为52－4.选A.答案 A二、填空题3．(2014·福建质检)已知直线l：y＝－3(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．解析依题意，直线l：y＝－3(x－1)与y轴的交点A的坐标为(0，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)，得点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案 34 三、解答题4．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3. (3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |， ∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9， ∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，且定点(0,1)在圆x 2＋y 2＝2内，故直线y ＝kx ＋1一定与圆相交，又圆心(0,0)不满足方程y ＝kx ＋1，直线与圆相交但不过圆心．2．[2016·合肥模拟]已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M 、N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为( )A ．9B ．3C ．2 3D ．2答案 B解析由题意知，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－m 2在直线2x ＋y ＝0上， ∴2－12m ＝0，解得m ＝4；∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆的半径为3.3．[2016·银川模拟]过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 C解析设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立． 4．[2015·重庆高考]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.5．[2013·山东高考]过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析由图知切点A (1,1)，圆心坐标C (1,0)，所以k CM ＝1－03－1＝12.易证CM ⊥AB ，所以k AB ＝－2.直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.6．[2015·唐山二模]已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点M (t,2)，若C 上存在两点A ，B 满足MA →＝AB →，则t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－3,3]C ．[－5，5]D ．[－5,5]答案 C解析如图，设A (x ，y )， ∵MA →＝AB →，∴A 为MB 的中点， ∴B (2x －t,2y －2)．又∵A ，B 均在圆C ：x 2＋y 2＝1上，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1(2x －t )2＋(2y －2)2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由题意得方程组有解，即等价于以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，1为圆心，12为半径的圆与圆C 有交点，∴1－12≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋12≤1＋12⇒－5≤t ≤5，则实数t 的取值范围是[－5，5]．7．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．答案 10 2解析圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3) .故EF ＝5， ∴BD ＝210－(5)2＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.8．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为________．答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，又因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.9．[2015·肇庆模拟]如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的最小值为________．答案 43解析用数形结合法，设k ＝y ＋3x －1，则y ＝kx －(k ＋3)表示经过点P (1，－3)，斜率为k 的直线，所以求y ＋3x －1的最小值就等价于求同时经过点P (1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最小值．结合图形可知，此时斜率存在．由圆心C (2,0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －(k ＋3)|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，即k 的最小值为43.10．[2016·唐山一模]已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23.则k OB ＝±22，k AB ＝∓2，则直线AB 的方程为y ＝±2(x －3)，即2x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0.[B 组·能力提升练]1．[2015·山东高考]一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45 D ．－43或－34答案 D解析圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k (－3)－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2．[2014·福建高考]已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49答案 C解析作出不等式组⎩⎨⎧x ＋y －7≤0x －y ＋3≥0y ≥0表示的平面区域Ω(如图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎨⎧x ＋y －7＝0y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝6y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6,1)，设此点为P.又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值，所以a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.3．[2015·唐山期末]过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.答案 5解析由x 2＋(y －2)2＝5可知圆心为(0,2)，r ＝5， ∴|AC |＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，∴|AB |＝10－5＝5，∴∠ACB＝45°，∴CA →·CB →＝10×5×cos45°＝5.4．[2015·云南名校联考]已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．答案 2解析过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA ，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.5．[2016·绵阳诊断]已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知⎩⎨⎧|3a ＋7|32＋42＝R a 2＋3＝R ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πR 2<13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C相交于不同的两点，联立得⎩⎨⎧y ＝kx ＋3(x －1)2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0，解得k <1－263或k >1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， ∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k2，解得k ＝34∉⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l .。

2019版高考数学一轮复习第九章解析几何第三节直线与圆、圆与圆的位置关系实用

数法
1＋k12·|yA－yB|(其中 k≠0)．特别地，当 k＝0 时，|AB|
＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
切线问题 [例 3] 已知点 P( 2＋1,2－ 2)，点 M(3,1)，圆 C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心 C(1,2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，∴点 P 在圆 C 上．又 kPC＝2－2＋21－－21＝－1，∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝1×[x－( 2＋1)]，即 x－y＋1－2 2＝0.
第三节直线与圆、圆与圆的位置关系本节主要包括 2 个知识点：
1.直线与圆的位置关系；
2.圆与圆的位置关系.
K12课件
1
01 突破点(一) 直线与圆的位置关系
02
突破点(二) 圆与圆的位置关系
03
课线与圆的位置关系
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的
一半就等于
1－ 222＝ 22，所以弦长为 2.
(2)因为已知的两条直线平行且截圆 C 所得的弦长均为 8，所以圆心到直线的距离 d 为两平行直线距离的一半，即 d＝12×|2＋3＋101|＝3. 又直线截圆 C 所得的弦长为 8，所以圆的半径 r＝ 32＋42＝5，所以圆 C 的面积是 25π. [答案] (1) 2 (2)25π
[例 2] (1)若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2 ＋y2＝1 所截得的弦长为________．

(浙江专版)2019高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书

（浙江专版）2019高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·嘉兴调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋－－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________. 【导学号：51062274】4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·宁波中学模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]M ：x 2＋y 2－12x－14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图841(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． [解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.2分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.6分 (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.10分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.15分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：51062275】[解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，则r ＝41＋3＝2.4分所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.6分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.10分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.12分所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.15分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十六)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0，得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：51062276】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)．又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·杭州二中三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·浙江金华十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.【导学号：51062277】－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.3分由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|52＋－2＝134.12分又|OA |＝32＋52＝34. 所以S ＝12|OA |d ＝12.15分10．(2017·宁波镇海中学模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1；当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.15分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2B ．2C ．4D ．2 2 B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1.∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.]2．(2017·杭州质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________. 【导学号：51062278】32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).6分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.9分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝2，故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k2＝8，k＝±7，经验证k＝±7满足不等式(*)，12分故l的方程为y＝±7x.因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.15分。

高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

6．若圆 x2＋y2＝1 与圆 x2＋y2－6x－8y－m＝0 相切，则 m 的值为_－__9__或__1_1．
【解析】 x2＋y2－6x－8y－m＝0 可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，因为两圆相切，所以 32＋42＝1＋ 25＋m或 32＋42＝|1－ 25＋m|，解得 m＝－9 或 m＝11.
易错易混 5．已知圆 C：x2＋y2＝9，过点 P(3,1)作圆 C 的切线，则切线方程为 _____x＝__3__或__4_x_＋__3_y_－__1_5_＝__0___．
【解析】由题意知 P 在圆外．当切线斜率不存在时，切线方程为 x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为 y － 1 ＝ k(x － 3) ，即 kx － y ＋ 1 － 3k ＝ 0 ，所以 |k×0k－2＋0＋－11－23k|＝3，得 k＝－43，切线方程为 4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为 x＝3 或 4x＋3y－15＝0.
(2)解法一：∵直线 kx－y＋1＝0 与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4 有公共点，∴直线与圆相切或相交，又圆心(－1,2)到直线 kx－y＋1＝0 的距离 d＝|－k－k2＋2＋1 1|＝ |kk＋2＋1|1，r＝2，∴d≤r，即 |kk＋2＋1|1≤2，∴3k2－2k＋3≥0，又∵Δ＝4－36＝－32<0，∴k∈R，∴实数 k 的取值范围为(－∞，＋∞)．故选 D.
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
图形
量的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2
d＝|r1－r2|Fra bibliotek内含 d<|r1－r2|

2019年高三一轮总复习理科数学：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系

答案：B
4．直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线
x＋2y－3＝0
的距离
d＝|2－25－3|＝
3 ，所以直 5
线 x＋2y－3＝0 被圆截得的弦长为 2
4－95＝2
55 5.
答案：2
55 5
3
考点疑难突破
直线与圆的位置关系
直线 y＝2x＋b 所得线段的长度相等，则 b＝( )
A．－ 6
B．± 6
C．－ 5
D．± 5
解析：记圆 C 与 y 轴的两个交点分别是 A，B，由圆心 C 到 y 轴的距离为 1，|CA| ＝|CB|＝ 2可知，圆心 C(1,2)到直线 2x－y＋b＝0 的距离也等于 1 才符合题意，于是 |2×1－52＋b|＝1，解得 b＝± 5，选 D.
[题组训练]
1．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系
是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
解析：因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，
所以 a2＋b2>1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0＋a2b＋·0b－2 1|＝
切线、弦长问题
[考向锁定] 与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点．常见的命题角度有 (1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数．
角度一求圆的切线方程
[多维视角]
平行于直线 2x＋y＋1＝0 且与圆 x2＋y2＝5 相切的直线的方程是 ()
[自主演练]

2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第8章平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系[知识梳理]1．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d <r Δ>0相切d ＝r Δ＝0相离d >rΔ<02．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r (r 1>0)，21圆O 2∶(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r (r 2>0)．2方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d >r 1＋r 2无解外切d ＝r 1＋r 2一组实数解相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解内切d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解3．必记结论当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．(3)弦长公式1＋k2|AB|＝|x A－x B|(1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB].[诊断自测]1．概念思辨(1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．( )(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P128T3)直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离答案　B解析　圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝＝，而12220<<1，故选B.22(2)(必修A2P 133A 组T 9)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．答案　22解析　由Error!得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为＝.222＝，4－22所以，所求弦长为2.23．小题热身(1)(2017·西安调研)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案　C解析　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，2≤ ，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.故选C.|a －0＋1|12＋(－1)22(2)(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.答案　2解析　如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝＝1，|3×0－4×0＋5|5∴r ＝2|OD |＝2.题型1　直线与圆的位置关系 (2017·豫南九校联考)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆典例C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定代数法，几何法．答案　A解析　由Error!消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆C 相交．故选A.方法技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法：利用d 与r 的关系．见典例1，典例2答案解法二．2．代数法：联立方程之后利用Δ判断．见典例2答案解法一．3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．冲关针对训练直线y ＝－x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的33交点，则m 的取值范围是( )A ．(，2)B ．(，3)33C. D.(33，233)(1，233)答案　D解析　当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝＝1，解得m ＝(切点在第一象限)，所以要使直线与|m |1＋(33)2233圆在第一象限内有两个不同的交点，则1<m <.故选D.233题型2　圆与圆的位置关系 (2017·合肥模拟)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆典例C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A. B. 6232C.D ．2943利用两圆外切圆心距d ＝r 1＋r 2得到a ，b 关系，再用基本不等式解决问题．答案　C解析　由圆C 1与圆C 2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，(a ＋b )2＋(－2＋2)2根据基本不等式可知ab ≤2＝，(a ＋b 2)94当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[条件探究1]　将典例中条件“外切”变为“内切”，求ab 的最大值．解　由圆C 1与圆C 2相内切，可得(a ＋b )2＝1，根据基本不等式可知ab ≤2＝，所以ab 的最大值为.(a ＋b 2)1414[条件探究2]　将典例中条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解　由两圆存在四条公切线，故两圆外离，>3，(a ＋b )2＋(－2＋2)2所以(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.又圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝>1，|a ＋b －1|2所以直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．方法技巧判断圆与圆的位置关系的步骤1.确定两圆的圆心坐标和半径长；2.利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|；3.比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．冲关针对训练已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝( )A ．－5B ．－5或2C ．－6D ．8答案　B解析　对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即＝5，则(m ＋1)2＋(m ＋2)2m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2，所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．故选B.题型3　直线与圆的综合问题角度1　直线与圆的相切问题 (2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x典例轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.B.4π53π4C ．(6－2)π D.55π4设AB 的中点为C ，C 为圆心，D 为切点，|OC |＝|CD |＝r ，要使r 最小，则需2r ＝|OC |＋|CD |最小．答案　A解析　由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式，得OE ＝ .∴圆C 面积的最小值为π2＝.故选A.45(25)4π5角度2　与圆有关的弦长问题 (2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －＝0与圆典例3x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝2，则|CD |＝________.3答案　4解析　由题意可知直线l 过定点(－3，)，该定点在圆3x 2＋y 2＝12上，不妨设点A (－3，)，由于|AB |＝2，r ＝2，所333以圆心到直线AB 的距离为d ＝＝3，又由点到直线(23)2－(3)2的距离公式可得d ＝，所以＝3，|3m －3|m 2＋1|3m －3|m 2＋1解得m ＝－，所以直线l 的斜率k ＝－m ＝，即直线l 的倾3333斜角为30°.如图，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，所以|CH |＝2，3在Rt △CHD 中，∠HCD ＝30°，所以|CD |＝＝4.23cos30°角度3　直线与圆位置关系的最值(或范围)问题 (2017·河北石家庄一模)若a ，b 是正数，直线典例2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为2，则t ＝a 3取得最大值时a 的值为( )1＋2b 2A. B. C. D.12323434答案　D解析　由已知可得圆心到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝，则直线被圆截得的弦长为2＝2，化简得24a 2＋b 24－44a 2＋b 234a 2＋b 2＝4.∴t ＝a ＝·(2a )·≤[(2a )2＋()2]1＋2b 212221＋2b 214221＋2b 2＝(8a 2＋2b 2＋1)＝，当且仅当Error!时等号成立，即t 取最大142942值，此时a ＝(舍负)．故选D.34方法技巧直线与圆综合问题的求法1．圆与直线l 相切的情形：圆心到l 的距离等于半径，圆心到切点的连线垂直于l .见角度1典例．2．圆与直线l 相交的情形(1)圆心到l 的距离小于半径，过圆心而垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦．见角度2典例．(2)连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．见角度3典例．(3)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．冲关针对训练(2018·甘肃兰州双基测试)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，)，则四边形ABCD 的面积的最大2值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20答案　A解析　由题意知圆心为O (0,0)，半径为2.设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE ⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连接OM ，则有d ＋d ＝OM 2＝3.212由平面几何知识知|AC |＝2，|BD |＝2，4－d 214－d 2∴S 四边形ABCD ＝|AC |·|BD |＝2·≤(4－d )＋(4－d )124－d 214－d 2212＝8－(d ＋d )＝5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.2121.(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一条渐x 2a 2y 2b 2近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B.3C. D.2233答案　A解析　设双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，ba 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2＝.22－123＝，|2b |a 2＋b 23解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝＝＝＝2.故选A.ca c 2a 21＋b 2a 22．(2018·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.B ．[0,1][0，125]C. D.[1，125](0，125)答案　A解析　因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以＝2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)x 2＋(y －3)2x 2＋y 22＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤≤3.a 2＋(2a －3)2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ；a 2＋(2a －3)2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤.a 2＋(2a －3)2125所以点C 的横坐标a 的取值范围为.故选A.[0，125]3．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案　(x －1)2＋y 2＝2解析　由mx －y －2m －1＝0可得m (x －2)＝y ＋1，易知该直线过定点(2，－1)，从而点(1,0)与直线mx －y －2m －1＝0的距离的最＝，故所求圆的标准方程为(x －1)(2－1)2＋(－1－0)222＋y 2＝2.4．(2017·广东五校协作体一模)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则＋的最小值为________．1a 21b 2答案　1解析　将x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0化为标准方程得(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，a 2＋4b 2所以＋＝1a 21b 2(a 29＋4b 29)(1a 2＋1b 2)＝＋＋＋≥＋2＝1，19a 29b 24b 29a 24959a 29b 2×4b 29a 2当且仅当＝，即a 2＝2b 2时等号成立，a 29b 24b 29a 2故＋的最小值为1.1a 21b 2 [重点保分两级优选练]一、选择题1．(2018·福建漳州八校联考)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案　C解析　∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝，∴k m ＝－，∵直ba ab 线l 的斜率为k l ＝－＝k m ，圆心O 到直线l 的距离a b d ＝>＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.r 2a 2＋b 2r 2r 2．(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为120°，则直线6x cos α－6y sin α＋1＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1的位置关系是( )A ．相交且不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离答案　A解析　由题意可得a ·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝|a |·|b |cos120°＝2×3×＝－3，(－12)所以圆心(cos β，－sin β)到直线6x cos α－6y sin α＋1＝0的距离d ＝＝＝<1，故直线与圆的位置关|6cos αcos β＋6sin αsin β＋1|6|－3＋1|613系是相交且不过圆心，故选A.3．(2015·重庆高考)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．42C ．6 D ．210答案　C解析　圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过圆心C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝＝＝6.故选C.|AC |2－2240－44．(2017·湖南三模)直线l ：x ＋4y ＝2与圆C ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α、β，则cos α＋cos β＝( )A.B ．－ 18171217C ．－ D.417417答案　D解析　设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由三角函数的定义得cos α＋cos β＝x 1＋x 2，由Error!消去y ，得17x 2－4x －12＝0，则x 1＋x 2＝，417即cos α＋cos β＝.故选D.4175．(2017·湖北模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.B.(49，89)(29，49)C ．(2,0)D ．(9,0)答案　A解析　因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的动点，所以设P (9－2m ，m )，因为圆x 2＋y 2＝4的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，设其圆心为C ，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，则圆心C 的坐标是，(9－2m 2，m2)且半径的平方是r 2＝，(9－2m )2＋m 24所以圆C 的方程是2＋2＝，①(x －9－2m 2)(y －m 2)(9－2m )2＋m 24又x 2＋y 2＝4，②②－①得，(2m －9)x －my ＋4＝0，即公共弦AB 所在的直线方程是(2m －9)x －my ＋4＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋4)＝0，由Error!得x ＝，y ＝，4989所以直线AB 恒过定点，故选A.(49，89)6．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0答案　B解析　圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.＝3，∴k ＝－.|3k －2|k 2＋1512此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.故选B.7．(2018·湖南四地联考)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案　C解析　圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为.因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆2心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，所以点(a ，b )到圆心的距离d ＝＝(a ＋1)2＋(b －2)2(a ＋1)2＋(a －3－2)2＝.所以当a ＝2时，d 取最小值2a 2－8a ＋262(a －2)2＋18＝3，此时切线长最小，为＝＝4，故选C.182(32)2－(2)2168．(2017·安宁模拟)已知a ，b 是实数，若圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[2－2，2＋]22B ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)22C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)22D ．(－∞，－2]∪[2＋2，＋∞)2答案　B解析　∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与直线(a ＋1)x ＋(b ＋1)y －2＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝＝1，|a ＋b |(a ＋1)2＋(b ＋1)2即ab ＝a ＋b ＋1，∴a ＋b ＋1≤，(a ＋b )24∴a ＋b ≤2－2或a ＋b ≥2＋2，故选B.229．(2017·定州市校级期末)曲线y ＝1＋与直线y ＝k (x －2)4－x 2＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A. B.(512，＋∞)(13，34]C. D.(0，512)(512，34]答案　D解析　根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，直线l 过A (2,4)，B (－2,1)，又曲线y ＝1＋图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，4－x 2当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即＝2，解得k ＝；|3－2k |k 2＋1512当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为＝，4－12－(－2)34则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的范围为.(512，34]故选D.10．(2017·晋中模拟)若圆C 1：(x －m )2＋(y －2n )2＝m 2＋4n 2＋10(mn >0)始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2的周长，则＋的最小值为( )1m 2n A. B ．9 92C ．6 D ．3答案　D解析　把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l 方程为(m ＋1)x ＋(2n ＋1)y ＋5＝0，由题意知直线l 经过圆C 2的圆心(－1，－1)，因而m ＋2n ＝3.∴＋＝(m ＋2n )＝≥(5＋4)＝3，m ＝n 1m 2n 13(1m ＋2n )13(5＋2nm ＋2mn )13时取等号．∴＋的最小值为3，故选D.1m 2n 二、填空题11．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为________．答案　－3或7解析　由题意可知，将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度后，所得直线l 的方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O (－1,2)，半径为.5解法一：直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于圆的半径，即＝，解得λ＝－3或λ＝7.|2×(－1＋1)－2＋λ|55解法二：设直线l 与圆相切的切点为C (x ，y )，由直线与圆相切，可知CO ⊥l ，所以×2＝－1.又C (x ，y )在圆上，满足方程y －2x ＋1x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C (x ，y )在直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.12．过点(，0)引直线l 与曲线y ＝相交于A ，B 两点，21－x 2O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．答案　－33解析　曲线y ＝的图象如图所示．1－x 2若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k <0，设l ：y ＝k (x －)，则点O 到l 的距离d ＝，2－2kk 2＋1又S △AOB ＝|AB |·d ＝×2·d ＝≤＝，当且仅12121－d 2(1－d 2)·d 21－d 2＋d 2212当1－d 2＝d 2，即d 2＝时，S △AOB 取得最大值．所以＝.122k 2k 2＋112∴k 2＝，∴k ＝－.133313．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若·≤20，则点P 的横坐PA → PB → 标的取值范围是________．答案　[－5，1]2解析　设P (x ，y )，则＝(－12－x ，－y )，＝(－x ，6－y )．PA → PB → ∵·≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，整理得：PA → PB → x 2＋y 2＋12x －6y －20≤0，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65.∴点P 在以(－6,3)为圆心，为半径的圆面上(包括边界)，65又∵点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，∴点P 的横坐标的取值范围为[－5，5]．22当x ＝－5时，y ＝0满足(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，2由Error!得：2x －y ＋5＝0.代入②得x 2＋4x －5＝0，x 1＝－5，x 2＝1，∴点P 的横坐标的取值范围为[－5，1]．214．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，给出下列说法：①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终相切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝时，圆C 1被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为；π633④若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4.其中正确说法的序号为________．(填上所有正确说法的序号)答案　①③④解析　对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和(此时两圆半径相等，排除内切的可能)，由题意知圆C 1的半径为1，圆心为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心为(0,0)，所以两个圆的圆心距为＝＝2，又两圆的半径之(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)24cos2θ＋4sin2θ和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C 1和圆C 2始终相切，所以①正确；对于②，由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，当θ＝时，圆C 1的方程为(x －)2＋(y －1)2＝1，π63则圆C 1的圆心为(，1)，设其被直线l 所截弦为CD ，易知圆心到3直线l 的距离为＝，又圆C 1的半径为1，所以弦|3×3－1－1|(3)2＋(－1)212CD 的长为2＝，所以③正确；对于④，由①知两圆相切12－(12)23(外切)，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和，又圆C 1的直径为2，圆C 2的直径也为2，所以|PQ |的最大值为2＋2＝4，所以④正确．三、解答题15．(2017·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)设圆心C (a,0)，则＝2⇒a ＝0或(a >－52)|4a ＋10|5a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.2k 2k 2＋1k 2－4k 2＋1若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)y 1x 1－t y 2x 2－t k (x 1－1)x 1－t k (x 2－1)x 2－t (x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒－＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为2(k 2－4)k 2＋12k 2(t ＋1)k 2＋1(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．16．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解　(1)因为圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ，M (x 0，y 0)．由Error!得(1＋m 2)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－20(1＋m 2)>0，解得－<m <，255255故x 0＝，且<x 0≤3.31＋m 253因为m ＝，所以x 0＝，y 0x 031＋(y 0x 0)2整理得2＋y ＝.(x 0－32)2094所以M 的轨迹C 的方程为2＋y 2＝.(x －32)94(53<x ≤3)(3)存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点．由(2)得M 的轨迹C 为一段圆弧，其两个端点为P ，Q ，(53，253)(53，－253)直线L ：y ＝k (x －4)过定点E (4,0)，①k PE ＝＝－，k QE ＝＝，25353－4257－25353－4257当－≤k ≤时，直线L 与曲线C 只有一个交点．257257②当直线L 与曲线C 相切时，L 的方程可化为kx －y －4k ＝0，则＝，解得k ＝±.|32k －4k |k 2＋13234综上所述，当－≤k ≤或k ＝±时，直线L 与曲线C 只有25725734一个交点．。