2016-2017学年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)

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2017-2018年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

18．（5 分）对于函数 f（x）＝（2x﹣x2）ex （1）（2）是 f（x）的单调递减区间；是 f（x）的极小值，是 f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19．（15 分）已知函数 f（x）＝ax3+x2（a∈R）在（1）确定 a 的值；（2）若 g（x）＝f（x）ex，讨论 g（x）的单调性． 20．（15 分）设 f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1， f（1））处的切线与 y 轴相交于点（0，6）．（1）确定 a 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 21．（15 分）已知函数 f（x）＝ex+ ．处取得极值．
11．（5 分）设函数 f′（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞0 时， xf′ （x） ﹣f （x）＜0，则使得 f （x）＞0 成立的 x 的取值范围是（ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞））
14．（5 分）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝﹣x+8，则 f （2018）+f'（2018）＝．
15．（5 分）已知函数 f（x）＝ex﹣2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 16．（5 分）已知函数（ f x）＝x3+ax2+bx+a2 在 x＝l 处有极值 10，则（a， b）＝

2017北京四中高二(下)期中数学(理)含答案

方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11.【答案】
【解析】
.
12.【答案】
【解析】因为由题意得：所求封闭图形的面积为
。
13.【答案】（1，0）或（-1，-4）
【解析】函数求导，
，令
A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1）
20. 观察（）'=- ，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数 f（x）在其定义域上满足 f（-x）=-f
（x），记 g（x）为 f（x）的导函数，则 g（-x）=
A. -f（x） B. f（x） C. g（x） D. -g（x）
3. 曲线 y=x·ex 在 x=1 处切线的斜率等于 A. 2e B. e C. 2 D. 1
Байду номын сангаас4.
等于
A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数 f（x）=3+x lnx 的单调递增区间为
A. （0，） B. （e，+∞） C. （，+∞）
D. （，e]
+∞）上恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围.
3 / 12
2017 北京四中高二（下）期中数学（文）
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1.
【答案】D
【解析】
，故选 D.
2. 【答案】B
3. 【答案】A
【解析】

2016-2017学年北京市师大附中高二下学期期中考试数学(理)试题解析版

北京师大附中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数所对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】复数所对应的点在复平面的第二象限.2. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆即为圆化成直角坐标方程为，所以圆心的直角坐标为，极坐标是.3. 定积分的值为（）A. 0B.C. 2D. 4【答案】C【解析】试题分析：由题意根据定积分的性质故选C.4. 设曲线在点（0，0）处的切线方程为，则a＝（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】由题意由切线方程为可得解得点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．5. 若函数在R上可导，，则＝（）A. 1B. －1C.D.【答案】C【解析】求导得：，把代入得解得6. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据导数的几何意义，若具有T性质，则存在使或且处切线与x轴垂直.A项，，，有具有T性质，故A项正确；B项，，，切线斜率存在，不满足，不具有T性质，故B项错误；C项，，不具有T性质，故C项错误；D项，，，不具有T性质，故D项错误.7. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中曲线是原函数，直线是导函数；B中递增的为原函数，递减的为导函数；C中上面的为导函数，下面的为原函数；D中无论原函数是哪一个，导函数值都要有正有负考点：1．函数图像；2．导数与函数单调性8. 设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，则，因为对任意的，有，所以当时，，当时，，即在上递减，在上递增，因此是极小值也是最小值，即，所以，所以当时，，在中令，则有，即，所以对任意，有．故选A．考点：导数的应用，分类讨论思想．二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分.9. 若，则＝_______________.【答案】【解析】由，则＝ .点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.10. 参数方程（为参数），化为普通方程为________________.【答案】【解析】由题可得，消去参数可得.11. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为____________.【答案】4【解析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为，曲线与直线在第一象限所围成饿图形的面积是，即围成的封闭图形的面积为．考点：利用定积分求解曲边形的面积.12. 函数的单调增区间为_______________.【答案】【解析】由题函数的定义域为，又，可解得13. 已知函数的图象在点处的切线与直线＝0垂直，且函数在区间上是单调递增，则b的最大值等于___________.【答案】【解析】函数的导数为在点处的切线斜率为,由切线与直线＝0垂直,可得,即,由函数在区间上是单调递增可得在区间上恒成立,即有的最小值,由可得的最小值为.即有,由,可得.则b的最大值为.14. 对于函数，若存在区间，使得，则称函数具有性质P，给出下列3个函数：①；②；③；其中具有性质P的函数是____________（填入所有满足条件函数的序号）.【答案】②【解析】①对于函数,若正弦函数存在等值区间, 则在区间上有, 由正弦函数的值域知道, 但在区间上仅有, 所以函数不具有性质P;②对于函数,当时, ,所以函数的增区间是,,减区间是取 ,此时, ,所以函数在上的值域也为, 则具有性质P;③对于,若存在“稳定区间”,由于函数是定义域内的增函数,故有,即方程有两个解,这与y=和y=x的图象相切相矛盾.故③不具有性质P.故答案为:②.三、解答题：本大题共6道题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （1）（2）设复数z满足（i是虚数单位），求z.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)根据复数的运算性质化简即可;(2)分离出z,根据复数的运算性质计算即可.试题解析：（1）;（2）由题意可得：.16. 在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数），直线和圆C交于A，B 两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.（1）求圆心的极坐标；（2）求△P AB面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）将圆C的极坐标方程化为普通方程，即得圆心的坐标.根据极坐标的转换方法即得圆心的极坐标.（2）由直线的参数方程化为普通方程，即得圆心到直线的距离，由此可得弦长，由点P 到直线AB距离的最大值即可求出△P AB面积的最大值.试题解析：（1）圆C的普通方程为，即.所以圆心坐标为，圆心极坐标为；（2）直线的普通方程：，圆心到直线的距离，所以，点P直线AB距离的最大值为，.17. 已知函数，（其中常数）（1）当时，求的极大值；（2）试讨论在区间上的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)求得，可以得到函数的单调性，从而得到函数的极值;(2)求导数,再分，，三类情况,利用导数的正负,确定函数的单调性.试题解析：（1）当时，当时，；当时，在和上单调递减，在单调递减故（2）①当时，则，故时，；时，，此时在上单调递减，在单调递增；②当时，则，故，有恒成立，此时在（0，1）上单调递减；③当时，则，故时，；时，此时在上单调递减，在单调递增.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．18. 若函数，当时，有极小值－9.（1）求的解析式；（2）若函数，，当时，对于任意和的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)（0，2）.【解析】试题分析：(1)先求出函数的导数,得到方程组,求出a,b,从而求出函数表达式;(2)求出的表达式,利用二次函数的图象和性质,分别对函数和的值进行讨论,建立条件关系即可得到结论;试题解析：（1）由，因为函数在时有极小值－9，所以，从而得，所以.（2）由，故，当时，若，则，满足条件；若，则，满足条件；若，，所以恒成立，恒成立，因为，当且仅当取等号，所以，即m的取值范围是（0，2）.19. 已知函数，其中e为自然对数的底数，函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数的值域为R，求实数m的取值范围.【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.(2).【解析】试题分析：(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)函数的导数,通过讨论m的范围得到函数的值域,从而确定m的具体范围即可.试题解析：（1）.由得，由得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）.当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增.1°当时，在上单调递减，值域为，在上单调递减，值域为，因为的值域为R，所以，即.（*）由（1）可知当时，，故（*）不成立.因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，恒成立，因此.2°当时，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的值域为，即.在（m，＋）上单调递减，值域为.因为的值域为R，所以，即.综合1°，2°可知，实数m的取值范围是.20. 已知函数，其图象与x轴交于两点，且.（1）证明：；（2）证明：；（其中为的导函数）（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等边三角形，记，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).(2)计算,根据函数单调性判断的符号即可;(3)用表示出P点坐标,根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系,再计算的值.试题解析：（1）∵，若，则，则函数在R上单调递增，这与题设矛盾.，易知在上单调递减，在上单调递增，.（2）∵，∴两式相减得.记，则，设则是单调减函数，则有，而.（3）由得，设，在等边三角形ABC中，易知，由等边三角形性质知，即，，∵，，，又∵，.点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。

《解析》北京市海淀区2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

北京市海淀区2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为（）A、iB、1C、D、﹣2、xdx=（）A、0B、C、1D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A、﹣2B、2C、﹣2iD、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A、可以不存在B、至少有1个C、至少有2个D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A、只有三个极大值点，无极小值点B、有两个极大值点，一个极小值点C、有一个极大值点，两个极小值点D、无极大值点，只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A、1B、﹣C、D、或﹣7、函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A、B、C、D、8、为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：①甲同学没有加入“楹联社”；②乙同学没有加入“汉服社”；③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；⑤乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A、楹联社B、书法社C、汉服社D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内，复数对应的点的坐标为________．g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：(1)________ ；(2)f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么• =x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么• =________．14、函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题：15、已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n= ﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．答案解析部分一、选择题：1、【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：xdx= x2| = ，故选：B【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B【考点】反证法与放缩法【解析】【解答】解：假设a+ ，b+ ，c+ 这三个数都小于2，∴a+ +b+ +c+ ＜6∵a+ +b+ +c+ =（a+ ）+（b+ ）+（c+ ）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意，f′（x）= ，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a= ，故选C．【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x 时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x= ，∴f（x）只有1个零点x= ，当x 时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x 时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与②矛盾，所以乙在高二，根据③，可得乙加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、填空题：9、【答案】（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数= =﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，11、【答案】π+2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：由图象可得S= （1+sinx）dx=（x﹣cosx）| =π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【分析】由图象可得S= （1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞（2）＜【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1.）由函数图象可知= ，= =2，∴．（2.）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意可知• =a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、解答题：15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2= ﹣1，a3= ﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n= ﹣，当n=1时，由a1=1= ﹣，猜想成立．假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k= ﹣则由a k+1+a k= ﹣，得a k+1= ﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n= ﹣【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（Ⅱ）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）= ≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+ = ，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．18、【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，因为f′（1）=0，且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；令，则，故g（x）单调递增．又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．。

2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题： ①，②，③，④其中假命题有：（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离（） A ．2+ B ．C ．1+D ．33．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A.8 B.173C. 273D.7第5题图第6题图第7题图 4．点A ，B ，C ，D在同一个球的球面上，C C AB =B =A =若四面体CD AB，则这个球的表面积为（） A ．16916π B ．8π C ．28916π D ．2516π5．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AD ＝AB ，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（） A ．平面ABD⊥平面ABCB ．平面ADC⊥平面BDC侧视图正视图C ．平面ABC⊥平面BDCD ．平面ADC⊥平面ABC6．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为（） A ．B ．C ．D ．7．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（） A ．B ．C ．D ．8．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为（）A ．2B C ．34 D ．1第9题图第10题图第11题图9．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）AB ．12C ．4D ．210．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( ) A ．65πB ．32πC ．πD ．67π 11．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影长分别是m 和n ，若a b >，则（）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，12．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（）二、填空题（每小题5分，共20分）13．在东经120︒圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬15︒与北纬75︒圈上，地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是 .14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是___________.15．如图，在三棱锥A BCD -中，BC DC AB AD ====2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．第14题图第15题图第16题图16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的动点，过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 ①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R满足1113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S三、解答题（共70分）17．（10分）平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2==AD PA ，G F E ,,分别是线段CD PD PA ,,的中点．（1）求证：PB //平面EFG ；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54，若存在，求出DQ 的值；若不存在，请说明理由．18．(12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（Ⅰ）证明：;1AB C B ⊥（Ⅱ）若1AB AC ⊥,0160=∠CBB ,2=BC , 求1B 到平面ABC 的距离.19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形，PC ⊥平面ABC ，PC AC =，E 为AC 中点，EF AP ⊥，垂足为F .(Ⅰ)求证：AP FB ⊥；（Ⅱ）求二面角A FC B --的平面角的余弦值.20．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB C --的余弦值．21．（12分）如图，椭圆1C ：2222=1x y a b+（0,0>>b a ）和圆2222:b y x C =+，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π.椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点B A 、，直线EB EA 、与椭圆1C 的另一个交点分别是点M P 、．（1）求椭圆1C 的方程；（2）（Ⅰ）设PM 的斜率为t ，直线l 斜率为1K ，求1K t的值；（Ⅱ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程．22．已知函数为常数）m mx x x x f (ln )(2-=．（Ⅰ）当0=m 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若1)(2>-x f xx 对任意[]2,e e x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,121e x x ，，121<+x x ，求证()42121x x x x +<．2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题 DADCDA ACDADA二、填空题 13．3R π 14．．4816．①②③⑤ 三、解答题17．（1）取AB 中点H ，连接HG EH ,，H G F E ,,,分别是AB CD PD PA ,,,中点//EF ⇒AD ，//AD GH //EF ⇒GH ,,,,H G F E ⇒四点共面又H E ,分别为AB PA ,的中点//EH ⇒PB ，而⊂EH 平面EFG ，所以//PB 平面EFG（2）在线段AB 上取AQ DQ a ==‘，则211121=⨯⨯=∆AEF S ，2121'aa S S EFQ EFQ =⨯⨯==∆∆ 由3454231121315431312=⇒⨯⨯=+⋅⨯⇒⋅=⋅⇒=∆∆--a a a S HE S V V EFQ AEF EFQ A AEF Q 即存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54，此时34=DQ .18．（1）连结1BC ，则1BC 与1B C 交于O ，∵侧面11BB C C 为菱形，∴1B C 1BC ⊥，∵AO ⊥平面11BB C C ，∴1B C AO ⊥ 又∵O AO BC = 1，∴1B C ⊥平面ABO ，由于AB ⊂平面ABO ∴1B C ⊥AB(2) 设点B 1 到平面ABC 的距离为h,∵侧面C C BB 11为菱形，1,601==∠BC CBB ∴△1CBB 为等边三角形,∴211===C B BB BC ,3=BO ∵1AB AC ⊥，,2,1211===∴AC C B OA ,222=+=∆∴BO AO AB AOB Rt 中，27214221=⨯⨯=∆∴∆ABC S ABC 中，等腰, ∵11CBB A ACB B V V --=13221312731⨯⨯⨯⨯=⨯⨯∴h , 7212=∴h ∴点B 1 到平面ABC 的距离为7212.19．（Ⅰ）连结BE ,由题意得BE AC ⊥,又∵PC ⊥平面ABC ， ∴PC BE ⊥,∴BE ⊥面PAC ,∴BE AP ⊥, 又∵EF AP ⊥，∴AP ⊥面BEF ,∴AP FB ⊥；（Ⅱ）如图，以E 为坐标原点，分别以EB ,EC 的方向为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -. 由题意得()0,1,0A -，110,,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)B，()0,1,0C ，则()BC =,113,,22FB ⎛⎫=- ⎪⎭，设平面FBC 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即011022y y z ⎧+=⎪+-=，令y =，则1x =，z =(=n ，易知，平面AFC 的法向量为()1,0,0EB ==p, ∴cos ,31⋅==n p n p n p ，即二面角A FC B --的平面角的余弦3120．（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A O BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1A CO ．因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1A CO ．（Ⅱ）解：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．因为12AB AA ==，60BAD ∠=，所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ，因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y，得(0,1,=n ．同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m．所以cos ,4<>==n m ．因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为4．21．（1）依题意1b =,则3a b =.∴椭圆方程为2219x y +=. （2）（Ⅰ）由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0, PE ME ⊥,不妨设直线PE 的斜率为k ()0k >,则PE :1y kx =-.由22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,2221891,9191k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ,得222189,99k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,则22222229191919181810919PMk k k k k t k k k k k k ----++===+++. 由2211y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,22221,11k k A k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 2112k K k -∴=,则15K t =. （Ⅱ）法一: PE ==；EM =, ()()()2221621919EPMk k S k k ∆+∴==++()34222116216299829982k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++++设1k u k +=,则()21621622764882929EPM u S u u u ∆==≤=+-+,当且仅当183k u k +==时取等号．22112814,93k k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+-=∴-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则直线AB :212k y x k-=,所以所求的直线l的方程为y x =. 法二:直线PM 的方程: 222291189109k k k y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭,即214105k y x k -=+. 可设直线PM :45y tx =+.由224519y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()227281190525t x tx ++-=.1229519PM x t ∴=-=+E 到直线PM的距离9d =21925EPMS ∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭1m =≥,则281812716125891925EPM m S m m m ∆==≤=-++. 22．（Ⅰ）当0m =时，x x x f ln )(=，0x >，得1ln )(+='x x f ．由ln 10x +>，解得x >e 1，即f （x ）在（e1，+∞）上单调递增；由ln 10x +<，解得0x <<e 1，即f （x ）在（0，e1）上单调递减．∴ 综上，()f x 的单调递增区间为（e 1，+∞），单调递减区间为（0，e1）．（Ⅱ）已知2]x e ∈，于是1)(2>-x f x x 变形为1ln 1>--mx x x ，从而11ln 1->-x mx x ，即0l n 1x m x x <-<-，整理得x x x 1ln +-m <<x x ln ．令()g x =x x x 1ln +-，则2ln )(xx x g -='0<，即()g x 在2]e 上是减函数， ∴g （x ）max =g （e ）=123-ee．令()h x =x x ln ，则2ln 1)(xxx h -='，当e x e <<时，)(x h '0>，即此时h （x ）单调递增；当2e x e <<时，)(x h '0<，即此时h （x ）单调递减，而h （e ）=e21h >（2e ）=22e ， ∴ h （x ）min =22e ． ∴ 123-e em <<22e ．（Ⅲ）由（Ⅰ）知当0m =时，x x x f ln )(=在1()e+∞，上是增函数．∵ 11211<+<<x x x e， ∴()()()()121212111ln ln f x x x x x x f x x x +=++>=，即1ln x <)ln(21121x x x x x ++，同理2ln x <)ln(21121x x x xx ++．所以12ln ln x x +<)ln()(21121221x x x x x x x x ++++121221(2)ln()x x x x x x =+++，又因为122124x x x x ++≥，当且仅当12x x =时，取等号．又1x ，2x ∈（e1，1），121x x +<，0)ln(21<+x x , ∴ 121221(2)ln()4x x x x x x +++≤，∴ )ln(4ln ln 2121x x x x +<+， ∴()41212x x x x <+．。

北京四中高二数学下学期期中测试试题文

（试卷满分150分，考试时间为120分钟）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1. 复数i-12等于 A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i2. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列推理所得结论正确的是A. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B. 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C. 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D. 由nn nb a ab =)(类比得到nnny x y x +=+)(4. 若xx x f sin 1)(2-=，则)(x f 的导数是A. x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B. x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C. xx x x sin )1(sin 22-+-D. xx x x sin )1(sin 22---5. 复数i z +=1，z 为z 的共轭复数，则=--1z z zA. －2iB. –iC. iD. 2i6. 已知函数)(x f y =，其导函数)('x f y =的图象如下图，则对于函数)(x f y =的描述正确的是A. 在)0,(-∞上为减函数B. 在0=x 处取得最大值C. 在),4(+∞上为减函数D. 在2=x 处取得最小值7. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递减区间为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,18. 函数216x xy +=的极大值为 A. 3B. 4C. 2D. 59. 函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是A. 0>aB. 0≥aC. 0<aD. 0≤a10. 当0<a 时，函数4331223---=x a ax x y 在()+∞,3上是增函数，则实数a 的取值范围是A. ()0,3-B. [)0,3-C. []1,3-D. ()1,3-11. 给出四个命题：（1）函数在闭区间],[b a 上的极大值一定比极小值大；（2）函数在闭区间],[b a 上的最大值一定是极大值；（3）对于12)(23+++=x px x x f ，若6<p ，则)(x f 无极值；（4）函数)(x f 在区间),(b a 上一定不存在最值。

【全国百强校】北京市第四中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题

………订__________考………订绝密★启用前2018-2019学年度???学校1月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．复数=A B C．1-i D．1+i2．下列求导正确的是A．（3x2-2）'=3x B．（log2x）'=1ln2x⋅C．（cosx）'=sinx D．（1ln x）'=x3．曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于A．2e B．e C．2D．14．421dxx⎰等于A．2ln2-B．2ln2C．ln2-D．ln25．函数f（x）=3+xlnx的单调递增区间为A．（0，1e）B．（e，+∞）C．（1e，+∞）D．（1e，e）6．在复平面内，复数21ii-+（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限7．函数f（x）=261xx+在区间[0，3]的最大值为8．已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n，则f'（0）= A ．n B ．n-1 C ．()12n n - D ．()112n n + 9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3，6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 10．方程x 2=xsinx+cosx 的实数解个数是 A ．3 B ．0 C ．2 D ．1 11．若f （x ）=-12x 2+bln （x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b 的取值范围是 A ．[-1，+∞） B ．（-1，+∞） C ．（-∞，-1] D ．（-∞,-1） 12．观察（1x ）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，由归纳推理可得：若函数f （x ）在其定义域上满足f （-x ）=-f （x ），记g （x ）为f （x ）的导函数，则g （-x ）= A ．-f （x ） B ．f （x ） C ．g （x ） D ．-g （x ）13．若i 为虚数单位，设复数z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A B ． C D ．○…………订…………○__班级：___________考号：__________○…………订…………○第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题14．复数（2+i ）·i 的模为___________.15．由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形的面积为__________.16．若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 17．如下图，由函数f （x ）=x 2-x 的图象与x 轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.18．已知S n =11n ++12n ++…+12n ，n∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >1324的过程中，从n=k 到n=k+l （k∈N*）时，不等式的左边S k+1=S k +__________.19．对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得M =，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M. 那么函数f （x ）=x 3-x 2+1，在x=∈ [1，2]上的几何平均数M=____________. 20．曲线y=x n 在x=2处的导数为12,则n=____.21．设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________. 22．对于函数①f（x ）=4x+1x -5，②f（x ）=|log 2 x|-（12）x，③f（x ）=cos （x+2）-cosx ，判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.23．设函数f（x）=lnx-x2+x. （I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[12，e]上的最大值.24．已知函数f（x）=22211ax ax+-+，其中a∈R.（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（II）求f（x）的极值.25．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2.（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=-1时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围26．已知函数f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数.（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（II）设函数F（x）=-x[g（x）+12x-2]，若F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（III）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围.参考答案1．D 【解析】()()()2122211112i i i i i i ++===+--+，故选D. 2．B【解析】()'2326x x -=，A 不正确；()21log 'ln2x x =，B 正确； ()cos 'sin x x =-，C 不正确；()211ln ln x x x =-，D 不正确. 故选B. 3．A【解析】',1x x y e xe x =+=时， '2k y e ==，故选A. 4．D 【解析】44221ln |ln4ln2ln2.x x dx x x ====-=⎰故选C视频 5．C【解析】()'ln 1f x x =+，令()'ln 10f x x =+>，解得1x e >，故增区间为（1e，+∞），故选C. 6．D【解析】试题分析：由题意得复数()()()()21213111122i i i i i i i ----===++-，所以共轭复数为122+，在负平面内对应的点为12⎛ ⎝⎭位于第一象限，故选D ．考点：复数的运算及表示． 7．A【解析】()()()()()()22222616261111x x xx x f x x x +-⨯--+'+==+,令()0f x '=,解得1x =或1x =-(舍),当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时, ()0f x '<;所以当1x =时,函数有极大值()13f =,即f （x ）在[0，3]的最大值为3,故选A.8．D【解析】()()()()21'121311n f x x x n x -=+++++++ ，()()1'01232n n f n +=++++=，故选D.9．B【解析】()2'326f x x ax a =+++根据题意可得： ()()()24126360a a a a ∆=-+=+->，解得6a >或3a <-，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”x 轴即可. 10．C 【解析】令()2sin cos f x x x x x=--，()()'2sin cos sin 2cos 2cos f x x x x x x x x x x x =--+=-=-，因为2cos 0x ->，所以有，当0x >时， ()'0f x >，函数单增；当0x <时， ()'0f x <函数单减，()()min 01f x f ==-，且()(),,,x f x x f x →+∞→+∞→-∞→+∞，故函数有两个零点，故选C.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法. 11．C【解析】由题意知, ()02bf x x x =-+≤+'在（-1，+∞）上恒成立,即()2b x x ≤+在（-1，+∞）上恒成立, ()min2b x x ⎡⎤∴≤+⎣⎦,令()()()2211g x x x x =+=+-,由1x >-可得()1g x >-,所以1b ≤-,故选C.12．C【解析】根据（1x ）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，发现原函数是一个奇函数,它们的导函数都是偶函数,由此可得规律:奇函数的导函数是偶函数.由f （-x ）=-f （x ）可知()f x 是奇函数,故()g x 为偶函数, ()()g x g x ∴-=,故选C. 13．C【解析】|z-1+i|的几何意义是单位圆上的点与(1,1)点的距离,因为圆心到(1,1)点的距离为所以|z-1+i|1,故选C.点睛:形如,,a bi a b R +∈的数叫复数,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部;当0b =时复数a bi +为实数, 当0b ≠时复数a bi +为虚数,当0,0a b =≠时复数a bi +为纯虚数.复数的几何意义为: z 表示复数z 对应的点与原点的距离, 12z z -表示两点的距离,即表示复数1z 与2z 对应的点的距离. 14【解析】()()212,2i i i i i +=-+∴+==15．112【解析】因为由题意得：所求封闭图形的面积为()1233410111|3412xx dx x x -=-=⎰。

2016-2017年北京四十四中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年北京四十四中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．（5分）某一射手所得环数的分布列如表：则此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是（）A．0.09B．0.79C．0.88D．以上都不对2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）的展开式中的常数项为（）A．160B．﹣160C．480D．﹣4804．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．（5分）从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A．34B．31C．28D．256．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线7．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：（）A．B．C．D．8．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）＝f（2﹣x），且（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数z＝（2﹣i）i的虚部是．10．（5分）若（2x+1）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则该展开式的二项式系数之和为；﹣a0+a1﹣a2+a3的值为．11．（5分）若，则实数m的值为．12．（5分）若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆C的圆心坐标为，圆C与直线x+y﹣3＝0的交点个数为．13．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为．14．（5分）已知函数f（x）＝e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣3在点（0，﹣3）处的切线与直线y＝﹣2x 平行．（Ⅰ）求实数m的值．（Ⅱ）求g（x）＝xf（x）+4x的单调区间和极值．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．17．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．18．已知x＝1是函数的极值点．（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性．19．已知椭圆，点A的坐标为（0，m）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点A）．（Ⅰ）若直线l的方程为y＝x+2，求线段MN的长．（Ⅱ）若直线l过点（1，0），点M、N均在经点A为圆心的圆上，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，恒有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年北京四十四中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．（5分）某一射手所得环数的分布列如表：则此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是（）A．0.09B．0.79C．0.88D．以上都不对【解答】解：由射手所得环数的分布列得：此射手“射击一次命中环数大于6环”的概率是：P＝1﹣P（X＝4）﹣P（X＝5）﹣P（X＝6）＝1﹣0.03﹣0.04﹣0.05＝0.88．故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数＝＝+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故选：A．3．（5分）的展开式中的常数项为（）A．160B．﹣160C．480D．﹣480【解答】解：展开式的通项公式为：T r+1＝•（2x）6﹣r•＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3，∴展开式的常数项为：﹣23×＝﹣160．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：x＜2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．则符合上述条件的只有选项A．故选：A．5．（5分）从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A．34B．31C．28D．25【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加环保知识竞赛，分析可得，这是组合问题，共C74＝35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1＝34种；故选：A．6．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）＝0⇒ρ＝1或θ＝π，ρ＝1是半径为1的圆，θ＝π是一条射线．故选：C．7．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：（）A．B．C．D．【解答】解：∵盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，∴从中取一只螺口的概率是，再次从中取一只螺口的概率是，∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡，∴从中取一只卡口灯泡的概率是，∴到第3次才取得卡口灯泡的概率为P＝＝，故选：D．8．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）＝f（2﹣x），且（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0，可得x＞1时，f′（x）≥0，此时函数f （x）单调递增；x＜1时，f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．∵满足f（x）＝f（2﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝1对称，∴f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2f（1），故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数z＝（2﹣i）i的虚部是2．【解答】解：∵复数z＝（2﹣i）i＝1+2i，∴它的虚部为2．故答案为2．10．（5分）若（2x+1）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则该展开式的二项式系数之和为8；﹣a0+a1﹣a2+a3的值为1．【解答】解：①该展开式的二项式系数之和为23＝8；②令x＝1，可得：33＝a0+a1+a2+a3，令x＝﹣1，可得：﹣1＝a0﹣a1+a2﹣a3，可得：a0+a2＝13，a1+a3＝14．∴﹣a0+a1﹣a2+a3＝14﹣13＝1．故答案为：8，1．11．（5分）若，则实数m的值为﹣．【解答】解：（x2+mx）dx＝（+mx2）|＝+m＝0，∴m＝﹣，故答案为：﹣12．（5分）若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆C的圆心坐标为（1，0），圆C与直线x+y﹣3＝0的交点个数为2．【解答】解：圆C的普通方程为：（x﹣1）2+y2＝9，所以圆心坐标为（1，0），圆心到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，半径为3，且＜3，所以圆与直线x+y﹣3＝0的交点个数为2．故答案为：2．13．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为{x|x＞1}．【解答】解：令F（x）＝，则F′（x）＝，∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，∴F（x）＝为定义域上的减函数，由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，得：＞，∴＜x，∴x＞1，故答案为：{x|x＞1}．14．（5分）已知函数f（x）＝e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）＝e x+．①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）＝e x+≥0，是增函数．∴①正确；②∵a∈（﹣∞，0），∴f′（x）＝e x+＝0有根x0，且f（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，∴函数有极小值也是最小值，②正确；③画出函数y＝e x，y＝alnx的图象，由图可知③不正确；④由②知，a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）存在最小值，且存在a使最小值小于0，且当x在定义域内无限趋于0和趋于+∞时f（x）＞0，可知存在a∈（﹣∞，0），f（x）＝e x+alnx＝0有两个根，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣3在点（0，﹣3）处的切线与直线y＝﹣2x 平行．（Ⅰ）求实数m的值．（Ⅱ）求g（x）＝xf（x）+4x的单调区间和极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2+mx﹣3，可得f′（x）＝2x+m，由题设可得，f′（0）＝m＝﹣2，解得：m＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x﹣3．（Ⅱ）由题意得g（x）＝xf（x）+4x＝x3﹣2x2+x，所以g′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）＝0，得x1＝，x2＝1．所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞），递减区间是（，1）；在x＝1有极小值为0，在x＝有极大值．16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）＝＝＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5（Ⅱ）＝＝0.5×0.4＝0.2∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），故ξ的分布列P（ξ＝0）＝0.23＝0.008P（ξ＝1）＝C31×0.8×0.22＝0.096P（ξ＝2）＝C32×0.82×0.2＝0.384P（ξ＝3）＝0.83＝0.512所以Eξ＝3×0.8＝2.417．甲、乙两人参加一次交通知识考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲、乙两人参加交通知识考试合格的事件分别为A、B P（A）＝＝，P（B）＝．∵事件A、B相互独立，∴甲、乙两人考试均合格的概率为．即甲、乙两人考试均合格的概率为．（Ⅱ）甲答对试题数ξ依题意知ξ＝0，1，2，3，，，，．∴ξ的分布列如下：∴甲答对试题数ξ的数学期望Eξ＝．18．已知x＝1是函数的极值点．（Ⅰ）求实数a的值．（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝，若x＝1是函数的极值点，则f′（1）＝0，解得：a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝+1，f′（x）＝，①b≥0时，令f′（x）≥0，解得：x≤1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，②b＜0时，令f′（x）≥0，解得：x≥1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增．19．已知椭圆，点A的坐标为（0，m）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N（均异于点A）．（Ⅰ）若直线l的方程为y＝x+2，求线段MN的长．（Ⅱ）若直线l过点（1，0），点M、N均在经点A为圆心的圆上，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：5x2+16x+12＝0，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝．∴|MN|＝＝＝．（II）直线l与x轴重合时，m∈R．直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为ty＝x﹣1．t＝0时，可得：m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．线段MN的中点Q（x0，y0）．联立，（t≠0）化为：（t2+4）y2+2ty﹣3＝0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．∴y0＝＝﹣，x0＝＝＝ty0+1＝﹣+1＝．∴k AQ•（﹣）＝﹣1，∴＝t，∴﹣﹣m＝t×．可得：m＝＝，t＞0时，0＜m≤＝．t＜0时，0＞m≥﹣．综上可得：m∈．20．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，a∈R（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，恒有f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，．…（2分）因为f'（1）＝0，f（1）＝﹣2．所以切线方程是y＝﹣2．…（4分）（Ⅱ）函数f（x）＝2ax﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．…（5分）当a＞0时，令f′（x）＝0，即，所以或．…（7分）当，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）＝﹣2；当时，f（x）在[1，e]上的最小值是，不合题意；当时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）＝﹣2，不合题意…（10分）（Ⅲ）设g（x）＝f（x）+2x，则g（x）＝ax2﹣ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．…（10分）而当a＝0时，，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；…（11分）当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a＞0，…（12分）对于函数y＝2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴，只需△＝a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．综上0≤a≤8．…（16分）。

2016-2017学年北京101中高二下学期期中数学理试题(解析版)

北京101中学2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】，对应的点位于第一象限.本题选择A选项.2. 设的导函数为，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.3. 用反证法．．．证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】因为方程至少有一实根等价于方程的实根个数大于或等于，因此要做的假设是方程没有实根，故选A.4. 若，则的解集为A. B.C. D.【答案】B又因为的定义域为，所以，即得则的解集为.本题选择B选项.5. 把10个相同的小球分成三堆，要求每一堆至少有1个，至多5个，则不同的方法共有A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种【答案】C【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法，即1和4，2和3个有两种方法. 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法.即2和4；3和3两种方法.三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的.所以不同的分法共有2+2=4.本题选择C选项.6. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为A. 80B. 72C. 60D. 40【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论：①甲和乙都排在丙的左侧，将甲乙安排在丙的左侧，考虑甲乙之间的顺序，有2种情况，排好后有4个空位，在4个空位中选一个安排丁，有4种情况，排好后有5个空位，在5个空位中选一个安排戊，有5种情况，则甲和乙都排在丙的左侧的情况有2×4×5=40种，②甲和乙都排在丙的右侧，同理有40种不同的排法；故甲和乙都排在丙的同一侧的排法种数为40+40=80种；本题选择A选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．7. 某校高一新生中的五名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团. 若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“相声社”，则不同的参加方法的种数为A. 216B. 180C. 108D. 72【答案】B【解析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“相声社”，则其有3种情况，再分析其他4人,若甲与另外1人参加同一个社团,则有种情况，若甲是1个人参加一个社团,则有种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种.本题选择B选项.8. 设函数，若函数的图象与函数的图象在区间内有交点，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】满足题意时，方程在区间内存在实数解，即：在区间内存在实数解，令，则函数与函数的图像在区间内有交点，由函数的解析式可得：，，由指数函数的性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，的最小值为，据此可得函数是定义在区间上的单调递增函数，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是.本题选择A选项.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. 已知⊙O上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为____________. 【答案】120【解析】圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，故一共可以画的三角形个数为.10. 如图，阴影区域是由函数的一段图象与轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是_____________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，阴影区域的面积是．考点：定积分．11. 若复数是纯虚数，则实数___________.【答案】【解析】∵复数是纯虚数，解得.12. 已知展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是____.【答案】-560【解析】展开式的二项式系数之和为128，，解得；∴展开式的通项公式为，令，解得；∴展开式中含项的系数是点睛：二项式定理揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式T r＋1＝a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r 项．13. 若函数在处取得极大值10，则的值为__________.【答案】【解析】∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意符合；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，与题意不符；∴=﹣2，故答案为：﹣2．14. 如图，在平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）处：点（1，0）处标b1，点（1，-1）处标b2，点（0，-1）处标b3，点（-1，-1）处标b4，点（-1，0）处标b5，点（-1，1）处标b6，点（0，1）处标b7，…，以此类推，则b2017处的格点的坐标为________.【答案】（15，22 ）【解析】逐圈考查所给数的性质，第一圈为：，共有个数，且坐标为，第二圈为：，共有个数，且坐标为，第三圈为：，共有个数，且坐标为，据此归纳可知，第圈共有个数，且最后一个数的坐标为，考查数列求和：，当时，，当时，，且坐标为，而，，据此可知b2017处的格点的坐标为.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 将甲、乙、丙、丁四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且甲不排在第一，乙不排在第二，丙不排在第三，丁不排在第四，比如：“乙甲丁丙”是满足要求的一种排法，试写出他们四个人所有不同的排法.【答案】答案见解析【解析】试题分析：由题意可知：第一只能排乙、丙、丁中的一个，据此可分为三类，然后写出所有可能的结果即可.试题解析：由于甲不排在第一，所以第一只能排乙、丙、丁中的一个，据此可分为三类：乙甲丁丙丙甲丁乙丁甲乙丙乙丙丁甲丙丁甲乙丁丙甲乙乙丁甲丙丙丁乙甲丁丙乙甲所以他们四个人共有9种不同的排法.16. 设，，令，，.（1）写出，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想a n＝（n∈N+）；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意结合函数的解析式计算可得a2＝f（a1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜想a n＝（n∈N+）；（2）首先证明n＝1时，猜想正确. 然后假设n＝k时猜想正确，即a k＝，证明n＝k＋1时猜想正确即可证得题中的结论.试题解析：（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜想a n＝（n∈N+）；（2）证明：①易知，n＝1时，猜想正确.②假设n＝k时猜想正确，即a k＝，则a k＋1＝f（a k）＝=.这说明n＝k＋1时猜想正确.由①②知，对于任何n∈N+，都有a n＝.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．17. 设.（1）求的单调区间；（2）求在[-5，]的最大值与最小值.【答案】(1)单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；(2)f （x）取最小值是0，f （x）取最大值是63.【解析】试题分析：（1）求导可得f ′（x）= -（x＋2）（3x-2），利用导函数研究函数的单调性可得单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；（2）由题意结合(1)的结论考查极值和端点处的函数值可得x= -2时，f （x）取最小值0，x= -5时，f （x）取最大值63.试题解析：（1）f ′（x）= -（x＋2）（3x-2），令f ′（x）＞0得-2＜x＜，令f ′（x）＜0得x＜-2或x＞，∴单调增区间为（-2，），单调减区间为（-∞，-2）和（，＋∞）；（2）由单调性可知，当x= -2时，f （x）有极小值f （-2）=0，当x=时，f （x）有极大值f （）=；又f （-5）=63，f （）=，∴x= -2时，f （x）取最小值0，x= -5时，f （x）取最大值63.18. 设函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；（3）证明：不等式对于一切的恒成立.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）当时，，利用导函数研究函数的切线方程可得在点处的切线方程为；（2）原问题等价于恒成立.构造函数，，则，结合函数的单调性可得，故的取值范围是；（3）原问题等价于.构造函数，则.结合(2)的结论可知.故，从而有对于一切的恒成立.试题解析：（1）当时，，则，故，切线方程为：；（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.设，，得，当时，，所以在上单调递减，所以时，.因为恒成立，所以；（3）当时，，等价于.设，.求导，得.由（2）可知，时，恒成立.所以时，，有，所以.所以在上单调递增，当时，.因此当时，.19. 已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)的极小值是，没有极大值；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值；（2），则，分类讨论可得：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，函数在上单调递增；（3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零”结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：.试题解析：（1）的定义域为，当时，，，所以的极小值是，没有极大值；（2），，①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增；（3）“对内任意一个，都有成立”等价于“函数在上的最小值大于零”由（2）可知①当时，在上单调递增，所以，解得；②当，即时，在上单调递减，所以的最小值为可得，因为，所以；③当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得，所以；④当，即时，可得最小值为，因为，，所以，故，恒成立.综上讨论可得所求的范围是：.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．11。

2016-2017学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)

2016-2017学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n 维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•=．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2016-2017学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣【分析】直接由虚部定义得答案．【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的定义题．2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：xdx=x2|=，故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题．3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．【解答】解：假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B．【点评】本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不大5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、极值点问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．【解答】解：由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选：C．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选：A．【点评】本题考查了函数的图象判断，函数单调性、零点、极值的计算，属于中档题．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选：A．【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，确定乙在高二，加入“书法社”是关键．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1；函数f（g（x））在x=2处的导数值是12．【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【点评】本题考查导数的计算，考查导数的几何意义，属于中档题．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是π+2．【分析】由图象可得S=（1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）＞；（2）f′（6）＜f′（10）．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．【解答】解：（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n 维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．【解答】解：由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【点评】本题考查了归纳推理，属于基础题．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是①②③．（写出所有正确的结论的序号）【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查导数的运用：求切线方程，以及函数的零点问题，注意运用转化思想和函数的性质，考查运算能力和判断能力，属于中档题．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9=3（x +1）（x ﹣3），令f′（x ）=0，得x=﹣1或x=3，当x 变化时，f′（x ），f （x ）在区间R 上的变化状态如下：所以f （x ）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f （﹣2）=0，f （2）=﹣20，再结合f （x ）的单调性可知，函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．16．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1+a n =﹣，n ∈N *．（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（Ⅰ）由数列{a n }的递推公式依次求出a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）根据a 2，a 3，a 4值的结构特点猜想{a n }的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立【解答】解：（Ⅰ）由题意a 1=1，a 2+a 1=，a 3+a 2=﹣1，a 4+a 3=2﹣ 解得：a 2=﹣1，a 3=﹣，a 4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n ∈N*，a n =﹣， ①当n=1时，由a 1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k ∈N *）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k +1+a k =﹣，得a k +1=﹣，即当n=k +1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n ∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．【点评】本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，属于中档题．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．。

北京第四中学2016-2017学年高二下学期期中考试理数试题含解析

北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理试卷分为两卷,卷（I）100分,卷（II）50分，共计150分，考试时间120分钟卷(I）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分。

1。

复数=A. +i B。

+i C. 1—i D. 1+i【答案】D【解析】，故选D.2. 下列求导正确的是A. （3x2-2）’=3xB. （log2x) ’=C。

（cosx）’=sinx D. （）’=x【答案】B，B正确;,C不正确；,D不正确。

故选B。

3. 曲线y=x·e x在x=1处切线的斜率等于A。

2e B. e C. 2 D. 1【答案】A【解析】时,，故选A。

4。

等于A. -21n 2 B。

21n 2 C。

—ln 2 D。

ln 2【答案】D【解析】故选C5. 函数f（x）=3+x lnx的单调递增区间为A. （0,）B。

（e，+∞） C. （，+∞）D。

(,e]【答案】C.。

【解析】，令，解得，故增区间为（，+∞）,故选C.6. 在复平面内，复数（i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A. 第四象限B。

第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限【答案】D考点：复数的运算及表示．7. 函数f（x）=在区间的最大值为A。

3 B。

4 C. 2 D。

5【答案】A【解析】,令，解得或（舍),当时, ;当时，;所以当时,函数有极大值，即f（x)在的最大值为3，故选A。

8. 已知f（x）=1+（1+x）+（1+x)2+（1+x)3+…+(1+x）n，则f ’0）=A. nB. n—1 C。

D. n（n+1）【答案】D【解析】,，故选D.9。

函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A. （—1,2)B. （—3，6）C。

(—∞,-3)∪（6，+∞） D. (—∞，—1）∪（2，+∞)【答案】C【解析】根据题意可得：，解得或，故选C。

点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号,我们称之为导函数的“变号零点”,则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过"轴即可.10。

x063-2016-2017北京西城44中高二下期中试卷北师大版数学(理科)word含解析

北京市第四十四中学2016-2017学年度第二学期期中测试高二数学试卷（理科）一、选择题：每题只有一个正确答案，每题5分，共40分．1．某一射手所得环数的分布列如下：．A ．0.09B ．0.79C ．0.88D ．以上都不对【答案】C【解析】(6)0.090.280.290.22P x >=+++，0.88=，选C ．2．在复平面内，复数12i -对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】12i 2i 21i 2i (2i)(2i)555++===+--+，第一象限，选A ．3．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）．A ．160B ．160-C ．480D ．480-【答案】B【解析】66216C 2(1)r r rr r T x --+=⋅⋅-⋅，令620r -=，3r =，∴常数为336C 2(6)160⋅⋅-=-，选B ．4．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能的是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】2x <-时，()0f x '<，()f x 单减，20x -<<时，()0f x '>，()f x 单增，0x ≥，()0f x '<，()f x 单减，选A ．5．从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同选法的种数为（）．A ．25B ．28C ．31D ．34【答案】D【解析】共有47C 35=种，不可能仅有女生，仅有男生有1种情况，∴47C 134-=，选D ．6．极坐标方程(1)(π)0(0)ρθρ--=≥表示的图形是（）．A ．两个圆B ．一个圆和一条射线C ．两条直线D ．一条直线和一条射线【答案】B【解析】(1)(π)0ρθ--=，∴1ρ=或πθ=，1ρ=为圆，πθ=为射线，选B ．7．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直线第3次才取得卡口灯泡的概率为（）．A ．2140B ．1740C ．310D ．7120【答案】D 【解析】从中取一只螺口概率为310，再取一只螺口概率为29， ∵有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡， ∴从中取一只卡口灯泡的概率是78．到第3次才取得卡口灯泡，32771098120P =⨯⨯=，选D ．8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（）．A ．(0)(2)2(1)f f f +C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +≤【答案】C【解析】1x ≥时，()0f x '≥，()f x 在(1,)+∞上单增，1x <时，()0f x '≤，()f x 在(,1)-∞上单减，1x =时，()f x 取得极小值，也为最小值， ∴(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，∴(0)(2)2(1)f f f +≥，选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数(2i)i z =-的虚部是__________．【答案】2【解析】2i 1z =+，虚部为2．10．若3230123(21)x a ax ax a x +=+++，则该展开式的二项式系数之和为__________；0123a a a a -+-+ 的值为__________．【答案】1【解析】328=，令1x =-，有01231()a a a a -=-++-，∴01231a a a a =-+-+．11．若120()d 0x mx x +=⎰，则m =__________．【答案】23- 【解析】120()d x mx x +⎰， 310132mx x 2=+，10032m =+-=， ∴132m =-， ∴23m =-．12．若圆C 的参数方程为3cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆C 的圆心坐标为__________，圆C 与直线30x y +-=的交点个数为__________．【答案】(1,0)C 2【解析】22(1)9x y -+=，3r =，(1,0)C ．3C AB d →=，有2交点．13．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>恒成立，则不等式21()0x f f x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为__________（结果写成集合或区间形式）．【答案】{}|1x x > 【解析】()()f x F x x =，2()()()xf x f x F x x '-'=， ∵()()f x f x x '>⋅，∴()0F x '<，∴()F x 为定义域上减函数，由21()0x f f x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，得1()1f f x x xx⎛⎫ ⎪⎝⎭>， ∴1x x<， ∴1x >， {}|1x x >．14．函数()e ln x f x a x =+的定义域设为D ，关于函数()f x 给出下列命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数．②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值．③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈,都有()0f x >成立．④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）【答案】②④【解析】()e x a f x x'=+， ①()e x a f x x'=+在(0,)a ∈+∞时，(0,)x ∈+∞恒大于零，()0f x '>， ∴①错误．②对(,0)a ∀∈-∞，00x ∃>使000()e 0x a f x x '=+=且函数()f x 在0(0,)x 上单减，在0(,)x +∞单增，则函数()f x 存在最小值0()f x ，②正确．③当(0,)a ∈+∞，画出e x y =，ln y a x =，可看出，0x →时，()f x →-∞，③错误．④当(,0)a ∈-∞时，由（2）知，()f x 存在，最小值0()f x ，存在a 使得000()e ln 0x f x a x =+<，当0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两零点，④对，综上：②④对．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．已知二次函数2()3f x x mx =+-在点(0,3)-处的切线与直线2y x =-平行．（Ⅰ）求实数m 的值．（Ⅱ）求()()4g x xf x x =+的单调区间和极值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()3f x x mx =+-，()2f x x m '=+，由(0)2f '=-，得2m =-，∴2()23f x x x =--．（Ⅱ）32()()4234g x xf x x x x x x =+=--+，322x x x =-+，∴2()341(31)(1)g x x x x x '=-+=--，令()0g x '=，得11x =，213x =．∴,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，(1,)+∞为单调增区间， 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递减区间，在1x =，有极小值0，13x =有极大值427． 16．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买的概率．（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率．（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【答案】见解析【解析】记A 为进入的1位买甲， B 为进入的1位买乙，C 为进入的1位买甲、乙中的一种，D 为进入的1位顾客至少购买甲、乙两种中的一种．（Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅，()()()()P C P A B B A P A B P A B =⋅+⋅=⋅+⋅，()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅，0.50.40.50.6=⨯+⨯，0.5=．（Ⅱ）D A B =-，()()()()0.50.4P D P A B P A P B =⋅=⋅=⨯，0.2=，()1()0.8P D P D =-=．（Ⅲ）~(3,0.8)B ξ，3(0)0.20.008P ξ===，123(1)C 0.80.20.096P ξ==⨯⨯=，223(2)C 0.80.20.384P ξ==⨯⨯=，3(3)0.80.512P ξ===，00.00810.09620.38430.512ξ=⨯+⨯+⨯+⨯，2.4=．17．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．（Ⅰ）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？（Ⅱ）求乙答对试题数ξ的概率分布及数学期望？【答案】见解析【解析】（Ⅰ）A ={甲合格}，B ={乙合格}，213646310C C C 60202()C 1203P A ⋅++===， 213828310C C C 565614()C 12015P B ⋅++===．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，1282310C C 8(1)C 120P ξ⋅===， 2182310C C 56(2)C 120P ξ⋅===， 38310C 56(3)C 120P ξ===，56123120120120ξ=⨯+⨯+⨯． 18．已知1x =是函数2()1e xax bx f x +=+的极值点．（Ⅰ）求实数a 的值．（Ⅱ）试讨论()f x 的单调性．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2()1ex ax bx f x +=+， 21()[(2)]ex f x ax a b x b '=-+-+，而1x =为极点，∴2(1)0e a a b b f -+-+'==， ∴0a =．（Ⅱ）∵()1e x bx f x =+， 1()(1)e xf x b x '=⋅-，当0b =时，()1f x =为常函数，当0b >时，0b >时，()f x 在(,1)-∞单增(1,)+∞单减，0b <时，()f x 在(,1)-∞单减，(1,)+∞单增．19．已知椭圆2214x C y +=:，点A 的坐标为(0,)m 直线l 与椭圆C交于不同的两点M 、N （均异于点A ）．（Ⅰ）若直线l 的方程为2y x =+，求线段MN 的长．（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)，点M 、N 均在经点A 为圆心的圆上，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）22442x y y x ⎧+=⎨=+⎩， 2516120x x ++=，||MN == （Ⅱ）设:(1)l y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，∵M ，N 在以A 为圆心圆上，∴||||MA NA =，∴1212121212()()()()2()0x x x x y y y y m y y +-+-+--=，∵12x x ≠，∴121212121212()20y y y y x x y y m x x x x --++⋅+-⋅=--，而1212y y k x x -=-，11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， ∴原式为21212(2)20x x k x x km +++--=，222222212244(14)84408(1)14x y k x k x k k y k x x x k ⎧+=+-+-=⎪⎨=-+=⎪+⎩， ∴22222882201414k k k mk k k ⎛⎫+⋅--= ⎪++⎝⎭， ∴化简有23331444k m k k k ===++，当且仅当12k =时等号成立，当k 不存在时显然34m ≤时满足题意，综上：34m ≤．20．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在[]1,e 上的最小值为2-，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，且1122()2()2f x x f x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+， (1)1f '=，(1)2f =-，∴2y =-．（Ⅱ）2()(2)ln f x ax a x x =-++定义域为(0,)+∞，当0a >时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x-++'=-++=，0x >，令()0f x '=，1()(21)(1)0f x x ax x'=--=， ∴12x =或1a，当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,e]单增， ∴min (1)2f f ==-，当11e a <<时，()f x 在[1,e]上最小为1(1)2f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，舍去，当1e a≥时，()f x 在[1,e]上单减， ∴()f x 在[1,e]上最小为(e)(1)2f f <=-舍去，综上：1a ≥．（Ⅲ）设2()()2ln g x f x x ax ax x =+=-+，原条件等价为()g x 在(0,)+∞单增，221()ax ax g x x-+'=，当0a =时，1()0g x x'=>，合题，当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，而(0,)x ∈+∞，只要2210ax ax -+≥，则要0a ≥，而221y ax ax =-+过(0,1)，104n x =>，只要280a a ∆=-≤，即08a <≤．综上，08a ≤≤．。

北京市西城区高二数学下学期期中试题理

2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 复数i-12= A. 2+2i B . 22+22i C. 1-iD. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x在x=1处切线的斜率等于 A. 2eB. eC. 2D. 14.⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为 A. （0，e 1） B. （e ，+∞） C. （e 1，+∞） D. （e1，e] 6. 在复平面内，复数ii+-12（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限7. 函数f （x ）=216x x+在区间[0，3]的最大值为 A. 3B. 4C. 2D. 58. 已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n，则f '0）= A. nB. n-1C.2)1(-n n D. 21n （n+1） 9. 函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A. （-1，2）B. （-3，6）C. （-∞，-3）∪（6，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）10. 方程x 2=xsinx+cosx 的实数解个数是A. 3B. 0C. 2D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 复数（2+i ）·i 的模为__________.12. 由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形的面积为__________.13. 若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 14. 如下图，由函数f （x ）=x 2-x 的图象与x 轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.15. 已知S n =11+n +21+n +…+n 21，n ∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >2413的过程中，从n=k 到n=k+l （k ∈N*）时，不等式的左边S k+1=S k +__________. 16. 对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得))((21x x f =M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M. 那么函数f （x ）=x 3-x 2+1，在x ∈[1，2]上的几何平均数M=____________. f(x)=x 2-x三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. 设函数f （x ）=lnx-x 2+x. （I ）求f （x ）的单调区间；（II ）求f （x ）在区间[21，e]上的最大值. 18. 已知函数f （x ）=11222+-+x a ax ，其中a ∈R . （I ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在原点处的切线方程；（II ）求f （x ）的极值.卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 1. 若f （x ）=-21x 2+bln （x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b 的取值范围是 A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1） 2. 观察（x 1）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，由归纳推理可得：若函数f （x ）在其定义域上满足f （-x ）=-f （x ），记g （x ）为f （x ）的导函数，则g （-x ）=A. -f （x ）B. f （x ）C. g （x ）D. -g （x ）3. 若i 为虚数单位，设复数z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A. 2-1 B. 2-2 C. 2+1 D. 2+2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.4. 曲线y=x n在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.5. 设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.6. 对于函数①f （x ）=4x+x 1-5，②f （x ）=|log 2 x|-（21）x，③f （x ）=cos （x+2）-cosx ，判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2.（I ）若f （x ）在x=1处有极值10，求a ，b 的值；（II ）若当a=-1时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，求b 的取值范围 8. 已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.参考答案卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DBADCDADCC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11 512 121 13 （1，0）或（-1，-4）14115221121+-+k k 165三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0 所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. （II ）由（I ）f （x ）在[21，1]单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f （x ）max =f （1）=0 f （x ）max =f （1）=a-1 18. （本小题满分12分）（I ）解：当a=1时，f （x ）=122+x x，f '（x ）=-222)1()1)(1(+-+x x x …………2分由f '（0）=2，得曲线y=f （x ）在原点处的切线方程是2x-y=0. …………4分（II ）解：f '（x ）=-21)1)((2+-+x ax a x . ……………6分 ①当a=0时，f '（x ）=122+x x. 所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减. ………………7分当a ≠0，f '（x ）=-2a 1)1)((2+-+x a x a x . ②当a>0时，令f '（x ）=0，得x 1=-a ，x 2=a1，f （x ）与f '（x ）的情况如下:x （-∞，x 1） x 1 （x 1,x 2） x 2 （x 2,+∞） f '（x ） - 0 + 0 - f （x ）↘f （x 1）↗f （x 2）↘故f （x ）的单调减区间是（-∞，-a ）,（a 1,+∞）；单调增区间是（-a ，a1）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………10分 ③当a<0时，f （x ）与f '（x ）的情况如下： x （-∞，x 2） x 2 （x 2,x 1） x 1 （x 1,+∞） f '（x ） + 0 - 0 + f （x ）↗f （x 2）↘f （x 1）↗所以f （x ）的单调增区间是（-∞，a 1）；单调减区间是（-a1，-a ），（-a,+ ∞）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………………12分综上，a>0时，f （x ）在（-∞，-a ），（a 1，+∞）单调递减；在（-a,a1）单调递增. a=0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a 1）=a 2；a<0时，f （x ）在（-∞,a 1），（-a,+∞）单调递增；在（a1，-a ）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2. 卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 1 2 3 答案 CCC二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 4 56 答案3934 ①②三、解答题：本大题共2小题，共20分. 7. （本小题满分8分）解：（I ）f '（x ）=3x 2+2ax+b ，由题设有f '（1）=0，f （1）=10即⎩⎨⎧=+++=++1010232a b a b a 解得⎩⎨⎧=-=33b a 或⎩⎨⎧-==114b a 经验证，若⎩⎨⎧=-=33b a 则f '（x ）=3x 2-6x+3=3（x-1）2当x>1或x<1时，均有f '（x ）>0，可知此时x=1不是f （x ）的极值点，故⎩⎨⎧=-=33b a 舍去⎩⎨⎧-==114b a 符合题意，故⎩⎨⎧-==114b a . （II ）当a=-1时，f （x ）=x 3-x 2+bx+l 若f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，即 x 3-x 2+bx+1<0在x ∈[1，2]恒成立即b<x x x 123-+-在x ∈[1，2]恒成立令g （x ）=xx x 123-+-，则g '（x ）=2232)1()23(x x x x x x -+--+-=22312x x x ++-（法一：由g '（x ）=0解得x=1…）（法二）由-2x 3+x 2+1=1-x 3+x 2（1-x ）可知x ∈[1，2]时g '（x ）<0即g （x ）=xx x 123-+-在x ∈[1，2]单调递减（g （x ））max =g （2）=-25∴b<-25时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立 8. （本小题满分12分）解：（I ）易得，f '（x ）=3x 2-3a ，所以f '（1）=3-3a ，依题意，（3-3a ）（-21）=-1，解得a=31; ………3分（II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]=-x[（1-lnx ）+21x-2]=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数. 所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0, 则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数. 所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g（x ）>0，不满足条件；（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点；②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点；（3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况.因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增. 又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点；（ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0，又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e2时，令f '（x）=0，得x=±a.由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。

北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)(必备优质)

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．1-2. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B．2D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

北师大版高二下期中考试数学试卷及答案(理科)-精选

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1B．3C1D．12. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞-B．(2,5)-C．[)(,2)5,-∞-+∞D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5B C D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（) （的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是． 16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分） 17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值 18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。