第六章 弹性力学 柱形体的扭转
弹塑性力学-11 柱体扭转
十
一
柱体自由扭转
章
Free Torsion of Column
弹性力学基本方程
1. 平衡方程 2. 几何方程 3. 本构方程
ij, j fi 0
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij ij 2Gij
4. 应力边界条件
n j ij pi
5. 位移边界条件
ui ui 应用弹性力学
无体力时
zx
G
x
y
zy
G
y
x
x yx zx 0
x y z
xy y zy 0
x y z
xz yz z 0
x y z
2
x 2
2
y 2
0
或 2 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
y n cos(n, z) 0
侧面边界 自由表面 M
l
Mz
l l
x xy
m yx m y
n n
zx zy
X Y
x
l
y z
xy
0
l xz m yz n z
Z
zx
G
x
y
zy
G
y
x
l xz m yz 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
弹性力学
3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立 弹性力学基本方程时的应用。
第一章教学参考资料
(二)本章内容提要
1、弹性力学的内容─弹性力学研究弹 性体由于受外力作用、边界约束或温度改 变等原因而发生的应力、形变和位移。
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
oz
x
P
yx α
B y
A
xy
C
α
第二节 弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 ─ 一点位置的移动，用 u, v表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。
变形前 px, y 变形后 pxu,yv.
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？
3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？
第一章 绪 论
外力
§1－2 弹性力学中的 几个基本概念
外力─其他物体对研究对象（弹性体）的
作用力。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
体力─（定义）作用于物体体积内的力。
（表示）以单位体积内所受的力来量
第一节 弹性力学的内容
研究对象
材料力学─研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。
启航教育2024材料力学讲义
序言
1. 介绍材料力学的重要性和应用
材料力学是研究物质的力学性质和应用的学科，广泛应用于工程领域，例如航空航天、汽车制造、建筑结构等，对理解材料的性能和设
计新材料具有重要意义。
2. 启航教育2024材料力学讲义的背景和目的
启航教育2024材料力学讲义旨在帮助学生深入理解材料力学的基
本理论和应用知识，为他们在工程实践中提供有力的支持。
3. 讲义的编写者和参与者
启航教育2024材料力学讲义由资深教授和工程师共同编写和参与，他们具有丰富的教学和实践经验，能够提供权威、全面的教学内容。
第一章：力学基础
1.1 力学的基本概念和原理
引力、浮力、摩擦力等力学基本概念的介绍，牛顿定律的来源和应用。
1.2 力的平衡和分解
力的平衡条件以及力的分解原理，为后续材料力学知识的理解打下
基础。
第二章：静力学
2.1 轴力分析
杆件的轴力分析方法及公式推导，包括应力、应变的计算和应用。
2.2 弯曲分析
材料的弯曲原理及相关公式推导，弯曲应力的计算和应用。
2.3 扭转分析
圆柱体的扭转原理及相关公式推导，扭转应力的计算和应用。
2.4 综合静力学案例分析
将轴力分析、弯曲分析、扭转分析综合运用到实际案例中，帮助学
生了解静力学的实际应用。
第三章：动力学
3.1 运动学基础
物体的直线运动和曲线运动的相关知识介绍，包括速度、加速度等。
3.2 动力学基础
牛顿第二定律的推导及应用，动量和能量守恒定律的介绍。
第四章：材料性能分析
4.1 弹性力学
弹性模量、泊松比等材料弹性性能参数的计算和应用。
4.2 塑性力学
材料的屈服和塑性变形原理及相关公式计算。
弹性力学第8章—柱体扭转问题
将应力表达式代入端部边界条件，3～5式自动成立，第1式
⎧ ⎞⎤ ⎫ ⎪ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ ⎪ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎞ ⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ τ θ θ dA G y dxdy G x y x x = − = − + + ⎨ ⎢ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎥ ⎬ dxdy ⎟ ∫∫ zx ∫∫A ⎝ ∫∫ A ∂x ⎠ ⎠ ⎦ ∂y ⎣ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ∂x ⎣ ⎝ ∂x ⎭
应力应变关系： 将上述应变表达式代入广义胡克定律，得到
τ zx = Gθ ⎛ ⎜
⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ⎞ − y ⎟ , τ zy = Gθ ⎜ + x ⎟ , σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
平衡方程：
⎫ ∂τ zx =0 ⎪ ∂z ⎪ ∂τ zy ⎪ =0 ⎬ ∂z ⎪ ⎪ ∂τ zx ∂τ zy + = 0⎪ ∂x ∂y ⎭
KT = MT
θ
= 2G ∫∫ ψ dxdy
A
ψ
ψ 表面
O
x
8.2 基本方程 如果横截面是多连通域，则有
M T = −Gθ v ∫
Γ1 , Γ2 ,",Γ n n
ψ ( xl + ym ) ds + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy
工程力学 第6章 弹性静力学基本概念
第6章 弹性静力学的基本概念
刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述
§6-2 弹性体及其理想化
６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体
６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性
§6-3 弹性体受力与变形特征
§6-4 应力及其与内力分量之间的关系
６－４－１ 分布内力集度－应力
６－４－２ 应力与内力分量之间的关系
§6-5 正应变与切应变
§6-6 线弹性材料的物性关系
§6-7工程结构与构件
§6-8 杆件变形的基本形式
§6-9 结论与讨论
６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型
６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点
６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性
习 题
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第6章 弹性静力学的基本概念
§６—１ 弹性静力学概述
弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。第二个学科是材料科学(materials science )中的材料的力学行为（behaviours of materials），即研究材料在外力和温度作用下所表现出的力学性能(mechanical properties)和失效（failure）行为。但是，弹性静力学所研究的仅限于材料的宏观力学行为，不涉及材料的微观机理。
弹性力学第6章习题
（1）正方形截面可由6.3例4中公式求解
max1
Mt
a3
Mt 0.208a3
Dt1
Mt
Ga4
0.141Ga4
（2）圆截面，可由材力公式求解
不要用6.4例1狭长杆公 式计算！！
max 2
Mt W
2Mt
R3
Mt 0.282a3
Dt 2
GR4
2
0.159Ga4
通过比较可知正方形截面的剪应力大
得到应力分量：
zx
( x,
y
y)
15 3 a4
Mt
y
3xy a
;
zy
( x,
x
y)
15 3 a4
Mt
x
3 2a
(x2
y
2
)
其他分量为零
求位移分量
1 y 3xy
x G y
a
y
1
G
x
x
3 2a
x2 y2
得到: 1 3x2 y y3 C 2a
,限制刚体位移则 C 0
且有公式得到
2
2G
4m,
2m G
15 3 Ga4
Mt
得到：
u
(
z
)
y
(
z
)
y
15 Ga
3
弹塑性力学总复习
弹塑性⼒学总复习
《弹塑性⼒学》课程
第⼀篇基础理论部分
第⼀章应⼒状态理论
1.1 基本概念
1．应⼒的概念
应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。从数学上看，应⼒s
P
F s ??=→?
0lim ν
由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒ν
σ和微分⾯上的剪应⼒ντ。
注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。
2．⼀点的应⼒状态
（1）⼀点的应⼒状态概念
凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。
（2）应⼒张量
物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为
=z zy zx yz y
yx xz xy x ij στττστττσσ
若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p
就可以由以下公式求出：
n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=
（1-1’b ）
n m l p z zy zx z σττν++=
（1-1’c ）
由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 2
22z y x p p p p ++=
（1-2a ）
nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=
22ννστ-=p
（1-2c ）
（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒
弹性力学空间问题
端面的边界条件（合力、合力矩形式）（续）
t x zx dxdy 0
t y zy dxdy 0
√ 自然满足
2 0
t x G y dxdy G y x 2 dxdy x x G x y x x dxdy x y y x G nx x y ny x x ds x y G x nx x y ny y x ds 0
y 2 ( xy z ) z x ( zx y ) y
x 1 ( zx y ) z 2 x
2 x x y y z zx xy x x y z y z y zx 2 x x x z
平衡方程
ij , j 0
横截面的翘曲函数是调和函数
i 3: zx nx zy ny 0 y nx x x ny 0 y
侧面边界条件 nz 0, Ti 0
Ti ij n j Ti 0
常体积力条件下：
建筑力学6-扭转
图6.2
∑mx(F)=0,T1-mA=0 T1=mA=1910N·m (3) 计算2-2截面的扭矩 假想将轴沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截 面上的扭矩T2按正方向假设，受力图如图6.2(c)所示。 由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2+mB-mA=0 T2=mA-mB=716N·m 若取2-2截面的右端为研究对象，受力图如图6.2(d) 所示。由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2-mC=0 T2=mC=716N·m
6.3 圆轴扭转时横截面上的应力
6.3.1 现象与假设
取一等直圆轴，在圆轴表面画两条圆周线和两条 与轴线平行的纵向线。然后在圆轴两端施加外力偶矩 m，圆轴即产生扭转变形（图6.4）。这时从圆轴表面 可以观察到如下情况： （1） 两条圆周线绕轴线旋转了一个小角度，但圆 周线的长度、形状和两条圆周线间的距离没有发生变 化。
【例6.2】图6.3(a)所示的传动轴，已知轴的转速 n=200r/min，主动轮A的输入功率NA=36.77kW，从动 轮B和C的输出功率分别为NB=22.08kW,NC=14.71kW。 试作： (1) 该轴的扭矩图； (2) 若将轮A和轮B的位置对调（图6.3（b)），画 出其扭矩图。 【解】（1） 计算外力偶矩 mA=9550NA/n=1756N·m mB=9550NB/n=1053.4N·m mC=9550NC/n=702.4N·m
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料
一、简答题
1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？
答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。
位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。
混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。
3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、、τzx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
弹性力学与有限元智慧树知到答案章节测试2023年武汉工程大学
第一章测试
1.下列不属于弹性力学研究对象的是（）。
A:板壳
B:刚体
C:杆件
D:实体结构
答案:B
2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是（）。
A:位移分量
B:应力分量
C:面力分量
D:应变分量
答案:C
3.在工程强度校核中起着重要作用的是（）。
A:应力分量
B:主应力
C:正应力
D:切应力
答案:B
4.已知物体内某点的应力张量(单位：Pa)，则沿方向的正应力大小为（）。
A:222.22 Pa
B:888.89 Pa
C:666.67 Pa
D:444.44 Pa
答案:D
5.下列关于应力分量的说法，正确的有（）。
A:坐标面上的应力
B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态
C:应力分量与面力分量的正负号规定相同
D:正截面上的应力
E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE
6.理想弹性体满足的假设有（）。
A:无初始应力假设
B:均匀性假设
C:连续性假设
D:完全弹性假设
E:各向同性假设
答案:BCDE
7.建立在基本假设上的弹性力学，也称为（）。
A:弹性理论
B:线性弹性力学
C:应用弹性力学
D:数学弹性力学
答案:ABD
8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题，这些问题包括（）。
A:稳定
B:刚度
C:强度
D:动力
答案:ABC
9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件，建立三套基
本方程，这三方面条件包括（）。
A:几何学
B:物理学
C:静力学
D:动力学
答案:ABC
10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。（）
弹性力学
1简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
研究对象方面：材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
研究方法方面：材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
5、简述圣维南原理。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。3、应力如何表示？正负如何规定？答：正应力用σ表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用τ表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
弹性力学简介
弹性力学简介( 选读）
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展简史
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17 世纪开始的。
弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680 年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687 年确立了力学三定律。
同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。
在17 世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19 世纪20 年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822 ～1828 年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动( 平衡) 方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
弹塑性力学第六章
2020/3/3
5
§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
固体的形状特点：
物体一个方向尺 寸 比 其 它 两 个 方 向 x2
尺寸小的多（等厚
度薄板）。
o
x1
x2
x3
t源自文库
2020/3/3
6
§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
▪ 受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
2 x 2
)
2
2
4
0
2020/3/3
34
§6-3 平面问题的基本解法 4 0
上式称为应力函数解法的基本方程（一个）
基本方程为由应力函数 满足的双调合方程
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所
不同，将平面应力物理方程中弹性系
数
E
1
E
2
，
1
，则平面应力问题的物理
方程变为平面应变问题的物理方程。所以按
弹性力学
1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁动力学，非连续体力学包括原子级、波动方程、量子力学。
2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。
3、弹性力学的基本假定为：假设物体是连续的、假设物体是匀质的和各项同性的、假设物体是完全弹性的、假设物体的变形是很少的、和假设物体内无初应力。
4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。
5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数弹性模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。
6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，压缩时为负，与正应力的正负号规定相适应。
10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1 MT-2 。
12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9 个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立3个方程。
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义弹性力学进度表2015
同济大学航空航天与力学学院
教学进度表
课程编号12501902 课程名称弹性力学课程性质考试■考查□教材名称弹性力学编著者吴家龙出版社高等教育出版社出版日期2011
教研室计算力学任课教师金波辅导教师
学生年级二学生专业工程力学学生人数
注：1、课程性质指A1、A2、A3…F1、F2、F3，请参阅培养计划
2、教学形式为讲课、现场教学、实验、设计等
业绩点分配：
填表人
填表日期年月日
教学负责人签章
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t zx
Fra Baidu bibliotek
y
,
-t
yz
x
2 C
s 0
2dxdy M
（6-2） （6-3） （6-4） （6-5）
（二）扭转位移
• 将式（6-1）（8-2）代入物理方程（3-a），得
x 0, y 0, z 0
xy
0,
yz
-
1 G
x
,
zx
1 G
y
代入几何方程（2），得
u 0, v 0, w 0, v u 0
• 由式（6-2），在应力函数 上加减一个常数，对应力 分量没有影响。故在单连通截面（即实心杆）的情况 下，可取
s 0
（6-4）
• 对多连通截面（即空心杆）的情况，应力函数 在
每一个边界上都是常数，但各常数一般不相同。只能
把其中的一个边界上的 s 取为零。
通常取外边界s0的 0 0 ，即
s 0 0 0
x y z
x y
w v - 1 , u w 1
y z G x z x G y
通过积分运算，如不计刚体位移，得位移分量为
u -Kyz
v Kxz
（6-7）
• K的几何意义：
在垂直于Oz轴的截面上取任 一点m(x,y)，变形后位移到m’ 点。令q为单位长度扭转角，a 为总扭转角。得
a qz , mm' rqz
sj j
s0
sn
x
s2
s1
j为其他边界的待定常数。
y
2. 在杆的任一端面，l=m=0，n=-1，由应力边界条件式，
有
-t xz X , -t zy Y
在两端面，面力 X ,Y 合成力偶矩M，所以有： A
Xdxdy 0,
O
x
Ydxdy 0
B
( yX - xY )dxdy M
y
Xdxdy
y z G x z x G y
• 将式（6-8）代入上式的后两式，得
w - 1 -qx , w 1 qy
y G x
x G y
• 将上式分别对x,y求导，然后相减，得
2 -2Gq
即式（6-3）中的常数C为：
t zx 0 , t zy 0 , t zx t zy 0
z
z
x y
由前两式可知 t zy和t zx 应只是 x 和 y 的函数，不
随 z 变化。
• 第三式可写成
t zx (-t zy )
x y
必存在某一函数 (x, y)，使得：
t zx
y
,
-t
yz
x
称(x, y)为扭转问题的应力函数，
第六章 柱形体的扭转
• 柱体的扭转是工程中广泛存在的一类实际问题。
• 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平 面假设。
• 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平 面，即截面产生翘曲。
• 对两端承受扭矩的等截面直杆，如截面的翘曲 不受限制，这类扭转称为自由扭转；如截面的 翘曲受到限制，则称为约束扭转。约束扭转条 件下，杆中会产生附加正应力。
代入应力边界条件（5-b）中，可见前两式自然满足，第三 式为
l(t zx )s m(t yz )s 0
由式（6-2）代入，且在边界上有
l
dy , ds
m - dx ，则
ds
y
s
dy ds
-
x
s
dx ds
d
ds
0
即在杆的侧面上（横截面的边界上），应力函数 所取的
变界值 s 应当是常数。
O
sin b y ， cosb x
r
r
u v
mm' mm'
rqz sin b rqz cosb
-qyz
qxz
（6-8）
y
比较式（6-7）和（6-8）得：
K q
（6-9）
B A
x
b
am m’
• 几何方程
u 0, v 0, w 0, v u 0
x y z
x y
w v - 1 , u w 1
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
x
-
yz
x
zx
y
xy
z
2
2 yz
u x
y
yz
x
-
zx
y
xy
z
2
2 zx
v y
z
yz
x
zx
y
-
xy
z
2 2
xy
w z
(4-a)
(1
v) 2s
x
2Q x 2
0
(1
v) 2s
y
2Q y 2
0
(1
v) 2s
z
2Q z 2
0
(1
v)2t xy
2Q xy
0
(1
v) 2t
yz
2Q yz
0
(1
v) 2t
zx
2Q zx
0
(4-b)
边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，
z方向给定位移为
，则
(5-a)
应力边界条件：给定表面上的面力为
(5-b)
§6-1 等截面直杆的扭转
• 设等截面直杆，体力不计，在两端平面内受到 转向相反的两个力偶矩M作用。
• 取杆上端面为xOy面， M
Oz 轴向下。
O
x
y
M
z
O
x
-dx
dy ds
y
• 分析：由材料力学结果，柱体在扭转时，纵向 纤维间无挤压，也不伸缩，则：
s x s y s z t xy 0
（6-1）
• 只有横截面上存在剪应力t zy ,t zx 。体力为零。
将（6-1）式代入平衡方程(1)，得
• 本章讨论任意截面柱形杆的自由扭转。
• 空间问题的基本方程：
平衡方程
(1)
几何方程
x
u x
xy
u y
v x
y
v y
yz
w y
v z
(2)
z
w z
zx
u z
w x
• 物理方程
(3-a) ✓ 各种弹性常数之间的关系
(3-b)
• 相容方程
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
2 2 2
z x zx x2 z2 zx
-
dy
x
x
dx
dxdy
dxdy
2dxdy M
（6-5）
对多连通截面，设内部各边界
边界上的 值为i
si
所围截面积为 Ai ，各
n
M 2dxdy 2i Ai i 1
（6-6）
小结：对于扭转问题，只需式（6-3）和式（6-4）求出应
力函数 ，并由扭矩公式（6-5）或（6-6）定出所含
的待定常数，再由式（6-2）求出应力分量。
（6-2）
• 将式（6-1），式（6-2）代入相容方程（4-b）， 前四式自然满足，其余两式为
2t zx 0, 2t yz 0
将式（6-2）代入，得
2 0, 2 0
x
y
由上式可知，2 应为常数，即
2 C
（6-3）
（一）边界条件分析
1.在杆的侧面上，有n=0及面力 X Y Z 0 ，将式（6-1）
-
t
xzdxdy
-
y
dy
dx
-
(B
-
A
)dx
A,B 为截面边界上A，B点的 值，等于零。故合力条件
式自然满足。
( yX - xY )dxdy - ( yt zx - xt zy )dxdy
-
y
y
x
x
dxdy
-
dx
y
y
dy
-
dy
x
x
dx
- dx
同理：
y
y
dy
- dx ( yBB - yAA ) - dy