第4章晶体定向与结晶符号
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晶体的定向和晶面符号
唯一的高次轴为Z轴 三个互成120°交角的L2(P之法线，适当晶棱） 为X、Y、U轴
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴
三斜
α≠β ≠ γ a≠b≠c
三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
各晶系的晶体几何常数特点
等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g =
120；
三方晶系菱面体格子：a = b = c，a = b = g
60 90 10928’16’’
2、定向方法（三轴定向） 在晶体上确定坐标系统，即选坐标轴和确
定各轴上的轴单位长度之比。 (1) 晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、
z。 (2) 轴角:α、β、γ (3) 轴长和轴率：晶轴 是晶体中格子构造中 的行列，轴单位是该 行列上的结点间距。 分别以 a、b、c表示， a:b:c为轴率。
晶系
晶体常数特点
选轴原则（按晶体几何常数特征）
等轴 四方 三、六 方
斜方 单斜
α=β=γ＝90° a=b=c
α=β=γ＝90° a=b≠c
α=β=90° γ=120° a=b≠c
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴
三斜
α≠β ≠ γ a≠b≠c
三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
各晶系的晶体几何常数特点
等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b ≠ c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b ≠ c，a = b = 90，g =
120；
三方晶系菱面体格子：a = b = c，a = b = g
60 90 10928’16’’
2、定向方法（三轴定向） 在晶体上确定坐标系统，即选坐标轴和确
定各轴上的轴单位长度之比。 (1) 晶轴：是交于晶体中心的三条直线。为x、y、
z。 (2) 轴角:α、β、γ (3) 轴长和轴率：晶轴 是晶体中格子构造中 的行列，轴单位是该 行列上的结点间距。 分别以 a、b、c表示， a:b:c为轴率。
晶系
晶体常数特点
选轴原则（按晶体几何常数特征）
等轴 四方 三、六 方
斜方 单斜
α=β=γ＝90° a=b=c
α=β=γ＝90° a=b≠c
α=β=90° γ=120° a=b≠c
结晶学课件 第4章 晶体的定向与结晶符号
不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆!!
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
对于斜方晶系，（100）垂直[100]，但（110）不垂直[110]， （111）不垂直[111] ，因为a =/ b =/ c。
具体的分析如图所示：
另外请注意：三、六方晶系的晶棱符号 有四个指数[1120][1011]等。它们也可以 转化成三指数符号，但转化关系要通过 计算，不是简单地将第三个指数去掉就 行了的。
2 . 晶带定律: 晶带: 交棱相互平行的一组晶面. 晶带轴:移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号.
举例:
晶体上的晶面是以晶带的形式发育的. 晶带定律: 任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,
例如：
通常用（hkl）表示. h,k,l 叫晶面指数.
u
但对于三方, 六方晶系来 说,可以用四轴定向, 要 用四个晶面指数h,k i,l, 晶面符号为（hkil）, 前面三个指数的代数 和等于0. 例如:（1120） （1011）等。
每个晶系的国际符号写法见表4－3(此表很重 要，要熟记！).
表4-3: 国际符号举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
三、 晶面符号与晶棱符号
1. 晶面符号:
晶体定向后, 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:
对于斜方晶系，（100）垂直[100]，但（110）不垂直[110]， （111）不垂直[111] ，因为a =/ b =/ c。
具体的分析如图所示：
另外请注意：三、六方晶系的晶棱符号 有四个指数[1120][1011]等。它们也可以 转化成三指数符号，但转化关系要通过 计算，不是简单地将第三个指数去掉就 行了的。
2 . 晶带定律: 晶带: 交棱相互平行的一组晶面. 晶带轴:移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号.
举例:
晶体上的晶面是以晶带的形式发育的. 晶带定律: 任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,
例如：
通常用（hkl）表示. h,k,l 叫晶面指数.
u
但对于三方, 六方晶系来 说,可以用四轴定向, 要 用四个晶面指数h,k i,l, 晶面符号为（hkil）, 前面三个指数的代数 和等于0. 例如:（1120） （1011）等。
结晶学4
三斜晶系的晶体常数特点，α≠β≠γ≠90， 5、三斜晶系 a≠b≠c，以不在同一平面内的三个主要晶棱方向 为X、Y、Z轴 。
常见单形及符号 三斜晶系只能出现单面和平行双面两种单形， 三斜晶系只能出现单面和平行双面两种单形 ， 以 平行双面常见，因方位不同，其形号可为： 001｝ 010｝ 100｝ 110｝ 011｝ ｛001｝、｛010｝、｛100｝、｛110｝、｛011｝、 101｝ 111｝ ｛101｝、｛111｝等
z
C
z
O A x y
B
x
y
对于三方、六方晶系，考虑其晶体定向特点增加一个晶 面指数i，i对应是晶轴U轴，相应的米氏符号一般为（hk（hkil） il），其中h、k、i、l分别为X、Y、U、Z轴上晶面指数， 并且有h+k+i=0 非常重要，在晶体符号定向，和晶面符号 h+k+i=0(非常重要，在晶体符号定向， h+k+i=0 非常重要 确定之后可以帮我们验证其正误)。 确定之后可以帮我们验证其正误
2、四方晶系的晶体常数特点，α=β=γ=90，a=b≠c， 四方晶系 以L4或Li4为Z轴，以垂直Z轴的两个L2或P的法线为X、 Y轴。
常见单形及符号 共有11种几何单形，最常见的有4 11种几何单形 四方柱a 100｝、 共有11种几何单形，最常见的有4种：四方柱a｛100｝、 四方柱b 110｝、四方柱c hk0｝、四方双锥d h01｝、 ｝、四方柱 ｝、四方双锥 四方柱b｛110｝、四方柱c｛hk0｝、四方双锥d｛h01｝、 101｝、四方双锥e hh1｝、｛111｝、四方双锥f hk1｝、 ｝、四方双锥 ｝、｛111｝、四方双锥 ｛101｝、四方双锥e｛hh1｝、｛111｝、四方双锥f｛hk1｝、 平行双面｛001｝、复四方双锥｛hk1｝ ｝、复四方双锥 平行双面｛001｝、复四方双锥｛hk1｝
第四章 晶体定向和晶面符号
高级晶轴 a:b:c=1 中级晶轴 a:c 低级晶轴 a/b:1:c/b
3
4
三轴定向和四轴定向的比较
5
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这些参数就构成了 三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以知道轴单位之 间的比值关系,即： a:b:c
第四章 晶体的定向和晶面符号
晶体定向的概念 晶体定向的原则 晶系的定向法则 晶面符号 晶棱符号 晶带定律和晶带符号
1
一、为何要进行晶体定向
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的
晶体的具体形态取决于晶体的晶面在空间的方位， 亦即晶面与对称要素之间的关系
选轴原则
晶体常数特点
等轴晶系 四方晶系
以互相垂直的3L4或3Li4或3L2为X、Y、 Z轴 L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂 直的L2或P的法线为X、Y轴
a=b=c
= = = 90
a=b≠c
= = = 90
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系
单斜晶系
以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并 彼此交角120°的L2或P法线为X、Y、
注意：三个晶轴上的Hale Waihona Puke Baidu单位 不一定相等，所以，截距 系数与截距不一定成正比。
第四章晶体定向和晶面符号
②已知两晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求包含两晶
面的晶带符号
解：建立方程组： h1r＋k1s＋l1t = 0
h2r＋k2s＋l2t = 0
r:s:t=
h1 k1 k1 l1 l1 h1 : : l 2 h2 k 2 l2 h2 k 2
上下两行互换位 置，结果如何？
举例：求包含两晶面（110）（201）的晶带符号
三、 整数定律
内容：晶面在各晶轴上的截距系数之比为简单整数比 实质：晶面指数为简单整数。
1、为整数比
因为晶面是面网，晶轴是行列，晶面与晶轴之交点 为结点。因此，若以晶轴之结点间距为度量单位， 则晶面在晶轴上的截距系数比值之比为整数比
2、为简单整数比
晶体面网密度越大，则晶面在晶轴上的截距系数之 比越简单。又依布拉维法则，晶体总是为面网密度 较大的面网所包围，所以为简单整数比。
§4.5
对称型的国际符号
对称面：m
一、国际符号中对称要素的表示法
对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号， 如 1 、 、 和 。 、 2 3 4 6 注意:由于1 L1i C ，习惯用 1 代表对称中心。
二、晶轴的选择（晶体定向基本原则）
晶轴的选择不是任意的，应遵循选轴原则：
A、应符合晶体本身所固有的对称规律。所以晶轴
四 晶体定向与晶面符号
晶轴的选择与各晶系晶体常数特点
晶轴的选择不是任意的，应遵守下列原则： 1)应符合晶体所固有的对称性。因此，晶 轴与对称轴或对称面的法线重合，若无对称 轴和对称面，则晶轴可平行晶棱选取。 2)在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直或 近于垂直，并使轴长趋于近于相等，即尽可 能趋于α＝β＝γ＝90 ° ,a=b=c。
二 、晶 面 符 号
1． 晶面符号的概念
晶体定向后，晶面在空间的相对位置即可根 据它与晶轴的关系予以确定。这种相对位置可 以用一定的符号来表征。表征晶面空间方位的 号称为晶面符号(参看图1一5一1)
米氏符号
米氏符号：用晶面在三个晶轴上的截距系数 的倒数比来表示。现举例说明如下。 如图I一5—3所示，设有一个晶面HKL在X、Y、 Z轴上的截距分别为2a、3b、6c 。 2、3、6称为 截距系数，其倒数比为1／2：1／3：1／6＝3：2： 1，去其比例符号，以小括号括之，写作(321)， 即为该晶面的米氏符号。小括号内的数字称为晶 面指数。晶面指数是按照X、Y、Z轴顺序排列的， 一般式写作(hkl)；对于三方、六方晶系晶面指数 按X、Y、U、Z轴顺序排列，一般式写作(hkil)。 若晶面平行于某晶轴，则晶面在晶轴上的截距系 数为∞，截距系数的倒数应为0。
第四章 晶体定向与晶面符号
1 晶体定向……………………… 2 晶面符号与晶带符号…...........
第四章 晶体定向和晶面符号
⑶ 常见单形及形号 三方、六方晶系可出现18种单形，常见者只有7种（图62）：平行
双面｛0001｝、六方柱｛101-0｝、六方柱｛112-0｝、三方柱｛1010｝、三方柱｛112-0｝、六方双锥｛h0h-1｝、六方双锥｛hh2h-1｝、 ｛112-1｝、三方单锥｛h0h-1｝、｛101-1｝、菱面体｛h0h-1｝、 ｛101-1｝、复三方偏三角面体｛hki-1｝、｛213-1｝
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
6.三斜晶系
（4） 常 见 聚 形
晶轴之间的夹角称为轴角。Y 和z轴正端的夹角称α；z和x 轴正端的夹角称β；x和y轴正 端的夹角称γ。晶轴x、y、z 的轴单位分别为a、b、c。轴 单位的比值a：b：c称为轴率。 轴角α、β、γ和轴率a：b： c称为晶体常数。任何晶体都 有一定的晶体常数。
几何结晶学基础
第四章
一、晶体定向
晶体定向和晶面符号
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
4.斜方晶系
（4）常见聚形
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
5.单斜晶系 ⑴ 对称特点
无高次对称轴，L2或P的数目不超过1个， 共有三个对称型，常见晶体多属L2PC。
第四章 晶体定向和晶面符号
2
二、何谓晶体定向
晶体定向：就是在晶体上建立坐标系统,即选定坐标轴 （晶轴）和确定各晶轴上单位长（轴长）之比（轴率）
组成要素：
晶轴 交于晶体中心的三条直线 分别表示为X Y Z
轴角 各晶轴正端之间的夹角
＝YZ；＝ZX；＝XY
轴率 各晶轴上的轴单位之比 a:b:c
why？ 三轴坐标系
27
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
b0
b1
b2
(010)
晶面指数为简单整数.
ao
为什么?
因为指数越简单的 晶面对应到内部结构是
a1
面网密度大的面网,而面
网密度大的面网容易形
成晶面,所以实际晶体上
的晶面就是晶面指数简
单的晶面。
b3
y
28
五、晶棱符号、晶带与晶带定律
1、晶棱符号：表征晶棱方向的 符号，所有平行的晶棱具有 同一个晶棱符号。
晶轴 行列，轴单位 结点间距
高级晶轴 a:b:c=1 中级晶轴 a:c 低级晶轴 a/b:1:c/b
3
4
三轴定向和四轴定向的比较
5
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这些参数就构成了 三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以知道轴单位之 间的比值关系,即： a:b:c
二、何谓晶体定向
晶体定向：就是在晶体上建立坐标系统,即选定坐标轴 （晶轴）和确定各晶轴上单位长（轴长）之比（轴率）
组成要素：
晶轴 交于晶体中心的三条直线 分别表示为X Y Z
轴角 各晶轴正端之间的夹角
＝YZ；＝ZX；＝XY
轴率 各晶轴上的轴单位之比 a:b:c
why？ 三轴坐标系
27
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
b0
b1
b2
(010)
晶面指数为简单整数.
ao
为什么?
因为指数越简单的 晶面对应到内部结构是
a1
面网密度大的面网,而面
网密度大的面网容易形
成晶面,所以实际晶体上
的晶面就是晶面指数简
单的晶面。
b3
y
28
五、晶棱符号、晶带与晶带定律
1、晶棱符号：表征晶棱方向的 符号，所有平行的晶棱具有 同一个晶棱符号。
晶轴 行列，轴单位 结点间距
高级晶轴 a:b:c=1 中级晶轴 a:c 低级晶轴 a/b:1:c/b
3
4
三轴定向和四轴定向的比较
5
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这些参数就构成了 三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角.
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以知道轴单位之 间的比值关系,即： a:b:c
结晶学4晶体的定向及晶面符号
_
111
111
__
_wenku.baidu.com
111
111
八面体，等轴晶系，对称型为3L44L36L29PC
锆石属于四方晶系，对称型是L44L25PC
第三节 单形符号
单形是有对称要素联系起来的一组晶面的组合，同一单行个晶 面和晶轴的相对位置是相同的，这就决定了每个晶面的晶面指 数的绝对值都相同，只是晶面指数的正负号有所不同。如八面 体 中 八 个 晶 面 的 晶 面 符 号 为 ： （ 111 ） （ -111 ） （ 1-11 ） （11-1）（-1-11）（-11-1）（1-1-1）（-1-1-1）。因此， 要知道单形中某一晶面符号，就很容易求得其他晶面的符号。 选单形中的某一晶面作为代表，把其相应的晶面指数用大括号{} 括起来，代表其单形的空间位置符号，称为单形符号。如八面 体的单形符号为{111}。
3、斜方晶系的晶体常数特点，α=β=γ=90，a≠b≠c，以相 互垂直的三个L2或者两个P的法线分别为X、Y、Z轴。（即 如果有三个L2就以三个分别为X、Y、Z轴；如果没有就以一 个L2为Z轴，其余的两个对称面法线方向为X、Y轴）
常见单形及符号 斜方晶系可出现7种单形，最常见的只有3种：平行双面 ｛001｝、平行双面｛010｝、平行双面｛100｝、斜方 柱｛hk0｝、｛110｝、斜方柱｛h01｝、｛101｝、斜 方柱｛0k1｝、｛011｝、斜方双锥｛hk1｝、｛111｝。
第四章：晶体定向与结晶符号
3.晶棱符号举例
设晶体上有一晶棱 OP，将其平移至晶轴 交点O，并在其上任取 一点M，M点在三个 晶轴上的坐标分别为 MR、MK、MF，三 个轴的轴长分别为a、 b、c，则 r∶s∶t= MR/a∶MK/b∶MF/ c = 1a/a∶2b/b∶3c/c =1∶2∶3, 即[123]。
小结
1
如：（110）、（1121）
设有1个晶面HKL 在X、Y、Z轴上的 截距分别是2a、3b、 6c，截距系数分别 为2、3、6，其倒 数比则为 1/2:1/3:1/6。通 分后即为3:2:1，去 掉比例符号，用小 括号括之即得到 （321）。
(321)即为 HKL晶面的米氏 符号。
3.米氏符号的晶面指数特点
2.晶体定向的方法
（1）选择晶轴 (结)晶轴：系交于晶体中心的三条或四条 直线（坐标轴）。一般是三条轴，称为x、y、 z轴。其次是四条轴，称为x、y、u、z轴。 轴角表示方法：
α（y∧z)
β (z∧x) γ (x∧y)
具有三个结晶轴（x、y、z轴）的晶系：等轴晶系、四
方晶系、斜方晶系、单斜晶系、三斜晶系。
具有四个结晶轴（x、y、u、z轴）的晶系：三方晶系 和六方晶系。
晶轴选择原则①
应符合晶体所固有的对称性。
选择晶轴时：首选对称轴，次 之对称面法线，最后选相对发育 的晶棱。 2 例:钾长石（2510）：L PC， 2 L →Y，相对发育的晶棱→X、Z。
结晶学 第四章 晶体定向、晶面符号和晶带定律
表4-2:
三、 晶面符号与晶棱符号 1. 晶面符号 晶面符号:
晶体定向后, 晶体定向后 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 据它与晶轴的关系来确定 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号:晶面 常用的是米氏符号 的符号就叫晶面符号 常用的是米氏符号 晶面 在三根晶轴上的截距系数的倒数比， 在三根晶轴上的截距系数的倒数比，用小括号 括起来。 括起来。
在三个行列上有晶胞参数 α,β,γ), 在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ 晶胞参数 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角. 晶轴之间的夹角
晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以 晶体外形不可能知道轴单位 但根据对称性可以 知道轴单位之间的比值关系,即 知道轴单位之间的比值关系 即： a:b:c 例如, 例如 等轴晶系的 a:b:c =? 我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角 称轴角, 我们将a:b:c 称为轴率, α,β,γ称轴角,轴率与 轴角统称晶体常数 见表4 1.表中列出的是 晶体常数. 表中列出的是晶体 轴角统称晶体常数.见表4－1.表中列出的是晶体 常数特点. 常数特点.因为根据晶体的宏观形态只能定出晶 体常数特点,不能定出晶体常数. 体常数特点,不能定出晶体常数.
第四章 晶体的定向与结晶符号
一、 晶体定向的方法
以晶体中心为原点建立一个坐标系, X,Y,Z三轴组成, 以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可 三轴组成 X,Y,U,Z四轴组成 对三方晶系与六方晶系). 四轴组成( 由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
晶体学基础5-晶体定向和晶体学符号
Z U Y
Z
X
三个晶轴不一定垂直
X
Y
120º
晶体学坐标系和宏观晶体定向
结晶轴
•与晶体的对称特点相符合，具体优先顺序依次为：对称轴 →倒转轴→对称面法线→晶棱 •尽量使得晶轴之间夹角等于或大于90。
•按照X,Y,Z的顺序，晶轴方位符合右手定则。
轴单位
•实际长度是晶体的格子构造中与三个晶轴相平行的三条行 列上的结点间距。
– Point group = 4/mmm •共有7个点群: 422, 4/mmm, -42m, 4mm, 4, 4/m, -4 •晶格常数为: α=β=γ= 90°, a=b<>c •唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互 垂直的L2, 或相互垂直的对称 面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 •z 轴直立， y 轴左右水平，x 轴前后水平
宏观晶体定向
空间格子的划分
平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客观存在 的，但平行六面体的选择是人为的。 所选取的平行六面体应能反映结 点分布整体所固有的对称性； 在上述前提下，所选取的平行六 面体中棱与棱之间的直角关系力 求最多； 在满足以上二条件的基础上，所 选取的平行六面体的体积力求最 小。
等轴晶系的定向:
– Point group = m3m
•共有5个点群: 432, m3m, -43m, 23, m3 •晶格常数为: α=β=γ= 90°, a = b = c •三个互相垂直的L4, Li4或L2为 x, y, z 轴 •z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
第四章晶体的定向和晶面符号
OA=pa0 OB=qb0 OC=rc0 （p、q、r为截距系数） 晶面ABC的截距系数 P=2 q=3 r=6
整数定律是由晶体内部质点的格子构 造所决定的。
（1）晶面是格子构造最外层的面网 （2）根据布拉维法则，晶体生长时，晶面 是由密度较大的面网所组成。
2、晶面符号
由于晶面在晶轴上的截距系数之比为简单的整 数比，因此，晶面上在晶体上的方向，便可用一些 简单的数字符号来表示。这种代表晶面在空间方向 的符号，称为晶面符号。 目前国际上通用的都是米氏符号。
单斜晶系的定向:
晶体几何常数: a = g = 90°, b > 90° a ≠b ≠c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右 水平， x 轴前后向前下倾斜。
三斜wenku.baidu.com系的定向:
晶体几何常数: a ≠ b ≠ g ≠ 90 ° a≠b≠c 适当的晶棱方向为 x, y, z 轴。 大致上 z 轴直立， y 轴 左右， x 轴前后。
四方晶系的定向:
晶体几何常数: a = b = g = 90°, a = b ≠c – 唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互 垂直的L2, 或相互垂直的对 称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 – z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平
斜方晶系的定向:
晶体几何常数: a = b = g = 90°, a ≠b ≠c 三个相互垂直的 L2为 z, x, y 轴; 或L2 为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左 右水平，x 轴前后 水平。
整数定律是由晶体内部质点的格子构 造所决定的。
（1）晶面是格子构造最外层的面网 （2）根据布拉维法则，晶体生长时，晶面 是由密度较大的面网所组成。
2、晶面符号
由于晶面在晶轴上的截距系数之比为简单的整 数比，因此，晶面上在晶体上的方向，便可用一些 简单的数字符号来表示。这种代表晶面在空间方向 的符号，称为晶面符号。 目前国际上通用的都是米氏符号。
单斜晶系的定向:
晶体几何常数: a = g = 90°, b > 90° a ≠b ≠c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右 水平， x 轴前后向前下倾斜。
三斜wenku.baidu.com系的定向:
晶体几何常数: a ≠ b ≠ g ≠ 90 ° a≠b≠c 适当的晶棱方向为 x, y, z 轴。 大致上 z 轴直立， y 轴 左右， x 轴前后。
四方晶系的定向:
晶体几何常数: a = b = g = 90°, a = b ≠c – 唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互 垂直的L2, 或相互垂直的对 称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 – z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平
斜方晶系的定向:
晶体几何常数: a = b = g = 90°, a ≠b ≠c 三个相互垂直的 L2为 z, x, y 轴; 或L2 为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左 右水平，x 轴前后 水平。
晶体的定向和晶面符号
型中，以3个L2 分别为X、Y、U轴。
以互相垂直的3个L2或P的法线为X、Y、 Z轴；在L22P中，以L2为Z轴，以两个P 的法线方向为Z轴和X轴。
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴
三斜晶系
以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴
晶体常数特点
a=b=c
= b = g = 90
• OA1/ OA2: OB1/ OB2: OC1/ OC2=e:f:g • 那么e:f:g必可化为简单的整数比。 • 因为： • OA1＝ ma，OB1＝ pb，OC1＝ sc • OA2 ＝ na，OB2 ＝ qb，OC2 ＝tc • m, n, p, q, s, t都为整数，故m/n:p/q:s/t可化为
• 由于X、Y和U轴相交120°，不难证明：
h+k+i=0
(1010) (1120)
五、整数定律〔有理指数定律或阿羽毛依 定律，R.J. Hauy,1784〕
• 如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐标轴，那 么晶体上任意二晶面在三个坐标轴上所截截距的比值 之比为一简单整数比。
• 设二晶面A1B1C1和A2B2C2在三根坐标轴上的截距 分别为OA1、OB1、OC1和OA2、OB2、OC2，令：
• 为什么?因为空间格子中三个不共面 的行列也是根据晶体的对称性,人为地画 出来的.而晶轴也是根据晶体的对称性,人 为地选出来的.晶体的内部对称与晶体的 宏观对称是一致的,所以 晶轴与三个行列 就是一致的.
以互相垂直的3个L2或P的法线为X、Y、 Z轴；在L22P中，以L2为Z轴，以两个P 的法线方向为Z轴和X轴。
以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴
三斜晶系
以不在同一平面的三个主要的晶棱方 向为X、Y、Z轴
晶体常数特点
a=b=c
= b = g = 90
• OA1/ OA2: OB1/ OB2: OC1/ OC2=e:f:g • 那么e:f:g必可化为简单的整数比。 • 因为： • OA1＝ ma，OB1＝ pb，OC1＝ sc • OA2 ＝ na，OB2 ＝ qb，OC2 ＝tc • m, n, p, q, s, t都为整数，故m/n:p/q:s/t可化为
• 由于X、Y和U轴相交120°，不难证明：
h+k+i=0
(1010) (1120)
五、整数定律〔有理指数定律或阿羽毛依 定律，R.J. Hauy,1784〕
• 如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐标轴，那 么晶体上任意二晶面在三个坐标轴上所截截距的比值 之比为一简单整数比。
• 设二晶面A1B1C1和A2B2C2在三根坐标轴上的截距 分别为OA1、OB1、OC1和OA2、OB2、OC2，令：
• 为什么?因为空间格子中三个不共面 的行列也是根据晶体的对称性,人为地画 出来的.而晶轴也是根据晶体的对称性,人 为地选出来的.晶体的内部对称与晶体的 宏观对称是一致的,所以 晶轴与三个行列 就是一致的.
结晶学 结晶符号
表4-2:
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国际符号举例: 示范模型 等轴、四方、六方、斜方) 示范模型: 国际符号举例 (示范模型 等轴、四方、六方、斜方
三、 晶面符号与晶棱符号 1. 晶面符号 晶面符号:
晶体定向后, 晶体定向后 晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定, 据它与晶轴的关系来确定 表示晶面空间方位 的符号就叫晶面符号,常用的是米氏符号: 常用的是米氏符号 的符号就叫晶面符号 常用的是米氏符号
具体的写法为:设置三个序号位( 具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三 ),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要 个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要 序号位与方向对应， 素(序号位与方向对应，这是国际符号的最主要 的特色) 对称意义完全相同的方向上的对称要素, 的特色),对称意义完全相同的方向上的对称要素, 不管有多少,只写一个就行了（简化， 不管有多少,只写一个就行了（简化，这是国际 符号的另一特色）. 符号的另一特色） 不同晶系中, 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全 不同,所以, 不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全 不同,一定不要弄混淆. 不同,一定不要弄混淆. 每个晶系的国际符号写法见表4－2(此表很重 每个晶系的国际符号写法见表4 要熟记！ 要，要熟记！).
请注意: 请注意 在晶体的宏观形态上根据对称特 点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空 点选出的三根晶轴 与晶体内部结构的空 间格子的三个不共面的行列方向是一致 的. 为什么?因为空间格子中三个不共面 为什么 因为空间格子中三个不共面 的行列也是根据晶体的对称性 对称性,人为地画 的行列也是根据晶体的对称性 人为地画 出来的.而晶轴也是根据晶体的对称性,人 而晶轴也是根据晶体的对称性 出来的 而晶轴也是根据晶体的对称性 人 为地选出来的.晶体的内部对称与晶体的 为地选出来的 晶体的内部对称与晶体的 宏观对称是一致的,所以 宏观对称是一致的 所以 晶轴与三个行列 就是一致的. 就是一致的
[工学]结晶学4
![[工学]结晶学4](https://img.taocdn.com/s3/m/e4a73c04aaea998fcc220ea4.png)
γ=120，a=b≠c，以L6、L3、Li6为Z轴，以垂直Z
轴并相交为120的三条L2或P的法线为X、Y、U轴
（四轴定向）。
常见单形及符号 三方、六方晶系可出现18种单形，常见者只有7种： 平行双面｛0001｝、六方柱｛101-0｝、六方柱｛112-0｝、三 方柱｛101-0｝、三方柱｛112-0｝、六方双锥｛h0h-1｝、六方 双锥｛hh2h-1｝、｛112-1｝、三方单锥｛h0h-1｝、｛101-1｝、 菱面体｛h0h-1｝、｛101-1｝、复三方偏三角面体｛hki-1｝、 ｛213-1｝
2、四方晶系的晶体常数特点，α=β=γ=90，a=b≠c，
以L4或Li4为Z轴，以垂直Z轴的两个L2或P的法线为X、
Y轴。
常见单形及符号 共有11种几何单形，最常见的有4种：四方柱a｛100｝、 四方柱b｛110｝、四方柱c｛hk0｝、四方双锥d｛h01｝、 ｛101｝、四方双锥e｛hh1｝、｛111｝、四方双锥f｛hk1｝、 平行双面｛001｝、复四方双锥｛hk1｝
根据布拉维法则（面网密度小的晶面，在生长过程中，生长速度 快，逐渐缩小，被淘汰；而面网密度大的晶面，则持续生长，最 终成为实际晶面。）实际的晶面都是一些面网密度较大的晶面， 因此晶面在晶轴上截距系数之比为简单的整数比。
因此要确定一个晶面符号，首先要选择一个单位面
即与三个晶轴都相截且截距系数相等（p=q=r）的晶
轴并相交为120的三条L2或P的法线为X、Y、U轴
（四轴定向）。
常见单形及符号 三方、六方晶系可出现18种单形，常见者只有7种： 平行双面｛0001｝、六方柱｛101-0｝、六方柱｛112-0｝、三 方柱｛101-0｝、三方柱｛112-0｝、六方双锥｛h0h-1｝、六方 双锥｛hh2h-1｝、｛112-1｝、三方单锥｛h0h-1｝、｛101-1｝、 菱面体｛h0h-1｝、｛101-1｝、复三方偏三角面体｛hki-1｝、 ｛213-1｝
2、四方晶系的晶体常数特点，α=β=γ=90，a=b≠c，
以L4或Li4为Z轴，以垂直Z轴的两个L2或P的法线为X、
Y轴。
常见单形及符号 共有11种几何单形，最常见的有4种：四方柱a｛100｝、 四方柱b｛110｝、四方柱c｛hk0｝、四方双锥d｛h01｝、 ｛101｝、四方双锥e｛hh1｝、｛111｝、四方双锥f｛hk1｝、 平行双面｛001｝、复四方双锥｛hk1｝
根据布拉维法则（面网密度小的晶面，在生长过程中，生长速度 快，逐渐缩小，被淘汰；而面网密度大的晶面，则持续生长，最 终成为实际晶面。）实际的晶面都是一些面网密度较大的晶面， 因此晶面在晶轴上截距系数之比为简单的整数比。
因此要确定一个晶面符号，首先要选择一个单位面
即与三个晶轴都相截且截距系数相等（p=q=r）的晶
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斜方晶系：
晶系 序号位 代表方向
斜方
1 2 3
X轴方向 Y轴方向 Z轴方向
3(Z) 1(X)
2(Y)
举斜方柱模型为例
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第4节：晶面符号、晶棱符号 晶面符号
晶体定向后，晶面在空间的相对位置就可以根据它与 晶轴的关系来确定，表示晶面空间方位的符号就叫晶 面符号
（2）在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直，并使 轴单位相等，即尽可能使===90, a=b=c
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具体地 ① 优先选Ln或Lin为晶轴； ② 若Ln的数量不足时，则由P的法线方向来补 充作晶轴； ③ 若无足够的Ln和P，则选平行于晶棱的方向 作晶轴； ④ 在以上前提下，选择晶轴尽量使得 α=β=γ=900, a=b=c。
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具体的写法： 设置三个序号位（最多只有三个），每个序号位规 定了写什么方向上的对称要素（序号位与方向对应， 这是国际符号的最主要的特色）， 对称意义完全相 同的方向上的对称要素，不管多少，只写一个就行 了（简化，这是国际符号的另一个特色）。
练习：
建立斜方柱模型的坐标系。
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根据晶体宏观对称的 形态得出的
晶 系
等 轴 四 方
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选 轴 原 则 4 2 4 以互垂的 3L 或 3L 或 3Li 为 X 、Y 、Z 轴。
以 L 或 Li 为 Z 轴，以 Z 轴且互垂 的 2 2 个 L 或 P 的法线或晶棱 的方向为 X 、Y 轴 。
四方
三、六
1 2 3
1 2 3 1
三、六次轴方向，即Z轴方向 与三或六次轴垂直，在X或Y轴方向 与三或六次轴垂直，与X或Y成45°角方向
X轴方向 Y轴方向 Z轴方向 Y方向
斜方
单斜
三斜
1
任意方向
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等轴晶系：
晶系 序号位 代表方向
等轴
1 2 3
L3
Z L2 U L6Z
Y L2 X
U Y
X
三方柱
六方柱
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斜方晶系（L2或P多于1个）( 3L2,3L23PC,L22P)
晶体几何常数为: = = = 90°, a ≠ b ≠ c ●三个相互垂直的L2为 z, x, y 轴; 或L2为z轴, 相互 垂直的对称面法线为 x, y 轴。
3 6 6 4 4
晶体常数特点
α =β =γ = 90°， a =b=c α =β =γ = 90°， a =b≠ c
以 L 或 L 或 Li 为 Z 轴，以 Z 轴且彼此 α =β =γ =120°， 三方、六方 交于 120 的 3 个 L2 或 P 的法线或晶棱的方向为 a =b≠ c X 、Y 、U 轴 。 2 2 斜 方 以互垂的 3L 为 X 、Y 、Z 轴； 在 L 2P 中， α =β =γ = 90°， 2 晶胞参数 a≠ b≠ c 以 L 为 Z 轴，以 2P 的法线方向为 X 、Y 轴 。 2 单 斜 以 L 或 P 的法线方向为 Y 轴 ，以 Y 轴且 α =γ = 90°，β > 90°， a≠ b≠ c 近于垂直的 2 个主要晶棱方向为 Z 、X 轴 。 三 斜 以不在同一平面 内、且近于互垂的 3 个主要 α ≠ β ≠ γ ≠ 90°， 晶体内部结构的空间
3L23PC
L2PC
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等轴晶系（有4个L3）
晶体几何常数为: = = = 90°, a = b = c ●以三个互相垂直的L4或Li4为晶轴，若无L4或Li4 时，以三个互相垂直的L2为 x, y, z 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
常用的是米氏符号：晶面在三根晶轴上的截距系数的 倒数比，用小括号括起来。
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举例： 某晶面在X、Y、Z轴上的 截距为2a、3b、6c，那么 截距系数为2，3，6，倒 数比为1/2：1/3：1/6,化简 以后的倒数比为3:2:1,写 作（321），这就是该晶 面的米氏符号。一般用 (hkl)表示. h, k, l称为晶面 指数。
不同晶系中，这三个序号位所代表的方向完全 不同，所以，不同晶系的国际符号写法也不同（每 个晶系的国际符号写法见表4-3）
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晶系
等轴
序号位
1 2 3 1 2 3
代表方向
X或Y或Z方向 三次轴方向 X、Y或X、Z或Y、Z轴之间 四次轴方向，即Z轴方向 与四次轴垂直，在X或Y轴方向 与四次轴垂直，与X或Y成45°角方向
Z Z
X
立方体 Y X Y 八面体
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四方晶系（唯一的L4或Li4）
晶体几何常数为: = = = 90°, a = b ≠ c ●唯一的L4或Li4为 z 轴; 相互垂直的L2, 或相互垂 直的对称面法线, 或适当的晶棱为x, y 轴 z 轴直立，y 轴左右水平，x 轴前后水平
举四方柱模型为例
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三、六方晶系：
晶系 序号位 代表方向
三、六 1 2 3
三、六次轴方向，即Z轴方向 与三或六次轴垂直，在X或Y轴方向 与三或六次轴垂直，与X或Y成30°角 方向 1(Z)
2(X)
3
举六方柱模型为例
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L
K H
注意：三个晶轴上的轴单位不一定相等。
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注意： 1. 晶面的米氏符号（hkl）中的晶面指数h, k, l要 按照x、y、z轴的顺序，不得颠倒。 2. (hkl)中的h:k:l取最简单的整数比，即，使得 h,k,l成为3个没有公约数的整数。
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第四章 晶体定向与结晶符号 第1节：晶体定向
晶体定向：以晶体中心为原点 建立一个坐标系
Z U
γ
Z
X Y
Y
120º
X
晶体常数包括：轴率a:b:c和轴角, ,
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第2节：晶体定向法则
（1）应当符合晶体所固有的对称性。实际选晶轴 的时候一般都以对称要素为晶轴。首先要选择对 称轴和对称面的法线为晶轴方向；若没有对称轴 和对称面，则平行晶棱选取。总之，选择适合的 晶棱方向或对称元素作为结晶轴。
三、六方晶系四轴定向的四指数晶面符号也 可以转化为三指数晶面符号。方法很简单， 因为u轴是辅助轴，不是独立晶轴，将u轴上 的指数去掉就可以了。例如（1123）转化为 113）。
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对于晶面（hkl），如果晶面平行某一晶轴，则 晶面在该晶轴上的晶面指数为0 。 截距分别为2a,3b, ∞c,其系数倒数比 为：1/2: 1/3: 1/ ∞, 相当于1/2: 1/3: 0, 所以，晶面符号为 (320)
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U
Z
0001 X 2110 1120
u
Y
1210
y
2a
1a 2a
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注意： 若某晶面与三晶轴均交截，但晶面指 数的具体数不能确定，则其面号可写 作（hkl） 。
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[rst]=[123]
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X
Y
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三斜晶系（无L2，无P）(L1, C)
晶体几何常数为: ≠ ≠ ≠ 90°, a ≠ b ≠ c
●以不在同一平面内 的三个主要晶棱方 向为x、y、z轴
X
Z
Y
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z
z
c
x
y x 宏观形态
β α b a γ
y
微观结构
在三个行列上有晶胞参数（a,b,c; α, β, γ),这些参数就 构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角。
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第3节：对称型的国际符号
X或Y或Z方向 三次轴方向 X、Y或X、Z或Y、Z轴之间 1
2
3
举立方体模型为例
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四方晶系：
晶系 序号位 代表方向
四方
1 2 3
四次轴方向，即Z轴方向 与四次轴垂直，在X或Y轴方向 与四次轴垂直，与X或Y成45°角方向 1(Z) 2(X) 3 2(Y)
对称型的国际符号很简明，1）不将所有的对称要素 都写出来，2）表示对称要素的方向性，3）不容易看 懂。 特点：凡是可以派生出来的对称要素都省略了。 对称轴：1, 2, 3, 4, 6 对称面：m
旋转反伸轴：1, 2, 3, 4, 6 若对称面与对称轴垂直，以“/”或“—”隔开,L2PC表 示为2/m, L4PC表示为4/m （偶次轴垂直对称面产生 一个C，因此C不用表示出来）
z
C
A
O
B x
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y
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考察晶体模型晶面的晶面符号：
在晶体模型上怎么写晶面符号（hkl）？因为我们并不 知道晶面截晶轴的截距系数，但我们可以知道截距大 小相对关系。 立方体 八面体
001 100
010
111
_
111
_
__
111
111
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L4 Z
L2 X
正方形
Y
y
横截面
x
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三方及六方晶系（唯一的L3、L6或LHale Waihona Puke Baidu6）
晶体几何常数为: = = 90°, =120°,a = b ≠ c ●以L3、L6、Li6为Z轴，以垂直Z轴并彼此以120°相 交（正端点）的L2或P的法线为X、Y、U轴，无L2及 P时X、Y、U轴平行晶棱
3. 晶轴有正负之分，指数的负号写在上面，如 （111），是指晶面截y轴于负端。 4. 晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交。
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练习： 分别写出晶面ABC 与晶面DEF的米氏 符号。 ABC的米氏符号： C
z
F
（311)
DEF的米氏符号： x （111)
晶棱符号 晶棱符号：表征晶棱（直线）方向的符号。所有
平行的晶棱具有同一个晶棱符号。 表示方法为：将晶棱（或 其它直线）移至经过晶体 中心（即坐标原点），然 后在直线上任取一点（x, y, z)，并以轴单位来度量 (x∕a)∶(y∕b)∶(z∕c)＝ r:s:t， 得坐标系数比，即得晶棱 符号[rst].
A
D
O
E
B y
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对于三方、六方晶系的 晶体来说，晶面指数是 按X 、Y 、U 、Z轴顺序 排列，其一般式写作（h k i l）。那么图中的米氏 符号是？（1123）
Z
U
C E
O
B D
Y
A
X
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晶棱方向为 X 、Y 、Z 轴 。 格子
a≠ b≠ c
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注意：在晶体的宏观形态上根据对称特点选出来 的三根晶轴，与晶体内部结构的空间格子的三个 不共面的行列方向是一致的。
为什么？因为空间格子中三个不共面的行列也是 根据晶体的对称型，人为地画出来的。而晶轴也 是根据晶体的对称性，人为地选出来的。晶体的 内部对称与晶体的宏观对称是一致的，所以，晶 轴与三个行列就是一致的。
L2
Z
斜方单锥 X
Y 横截面（菱形）
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单斜晶系（L2或P不多于1个）(L2PC，L2, P)
晶体几何常数为: = = 90°, >90°,a ≠ b ≠ c
Z
●以L2或P的法线为 Y轴，以垂直Y轴 的主要晶棱方向为 X、Z轴