推荐学习高中三年级学习数学12月联合调研测试试卷(含解析)
高三数学上学期12月份调研考试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校天一2021届高三数学上学期12月份调研考试试题〔含解析〕一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设全集{|5,*}Ux x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，那么()U C A B =_____.答案：{2}， 分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法那么即可求解． 解：{1A =，3}，{3B =，4}， {1AB ∴=，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，2.i 是虚数单位，假设复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，那么实数a 的值是． 答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值． 解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3.函数2()log (1)f x x -的定义域为_____.答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，那么甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为． 答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，一共有〔甲乙〕，〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕， 〔乙丁〕，〔丙丁〕六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，那么〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕， 〔乙丁〕，一共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=， 故答案为：235.对一批产品的质量〔单位：克〕进展抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下列图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．那么样本中次品件数为． 答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出．解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下列图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品， 其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：2006.如图是一个算法流程图，那么输出的b 的值是． 答案：8分析：根据程序框图进展模拟运算即可．解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =， 10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.假设抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，那么p =____． 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68.函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，那么()8f π-的值是．答案：分析：利用辅助角公式进展化简，结合三角函数奇偶性的性质进展求解即可．解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-， ()f x 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，那么()2sin()284f ππ-=-=-=故答案为：9.数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，那么10a =．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．那么1029220a =+⨯=． 故答案为：20．10.如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，假设134DE DF =，那么线段BD 的长为．分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =，再由余弦定理可得：BC =， 然后设(01)BD BC λλ=，结合平面向量的线性运算可得：213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒， 所以4AB AC =，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC =， 设(01)BD BC λλ=，那么()()DEDF BE BD DC CF =-+134=， 解得：14λ=， 即14BD BC =，即线段BD 的长为2，． 11.点(3,0)A -，(1,2)B --，假设圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，那么r 的取值范围是．答案：2，2分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的间隔相等，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的间隔求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的间隔为 由于AB 的方程为032013y x -+=---+， 即30x y ++=；假设圆上只有一个点到直线AB 的间隔为那么有圆心(2,0)到直线ABr =+r =；假设圆上只有3个点到直线AB 的间隔为那么有圆心(2,0)到直线ABr =-r =；综上，r 的取值范围是2，)2．故答案为：． 12.函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，假设存在实数0x 使0()3f x =成立，那么实数a 的值是． 答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--，令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，那么21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310xx --=，即1x =或者14x =-〔舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()g x g ∴〔1〕4=-，〔当且仅当4x aa x ee --=即2x a ln =+时取等号〕， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．32ln ,0(),0e x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，假设函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-解：当0x ≤时，由()0g x =得，320xax x -+=，∴0x =或者210x ax -+=①∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x>时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，那么22ln e xa x=②， 设22ln ()e x h x x =〔0x >〕，32(12ln )'()e x h x x-=∴当x ∈时,'()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时,'()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或者0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根， 综上：当01a <<或者2a=-时，()g x 有三个零点.14.在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，那么111tan tan tan A B C++的最小值为．分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用根本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =， 从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以11113132tan tan tan 2828h h A B C h h++=+⨯=， 〔当且仅当1328h h =，即2h =时，取等〕 二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤15.〔本小题总分值是14分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的． 〔1〕求3cos()4πα-的值；〔2〕假设以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为求αβ+的值．分析：〔1〕直接利用三角函数的定义的应用求出结果． 〔2〕利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin α=从而cosα==．〔1〕3cos()cos 4πα-=cosα3sin 4π+sin α34π，(==．〔2〕因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是，所以cosβ=sin β=．于是sin()sin αβ+=cos αcos β+sin α(2β==． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π， 从而34παβ+=．16.〔本小题总分值是14分〕如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．〔1〕求证：D 为BC 的中点； 〔2〕求证：//EF 平面1ADC ．分析：〔1〕推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ． 证明：〔1〕在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，1//OD A B ∴，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴， //EF OD ∴，EF ⊂/平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17.〔本小题总分值是14分〕某有一特色酒店由10座完全一样的帐篷构成〔如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r〔单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体〔如图2)．经测算，上层半球体局部每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个局部平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． 〔1〕求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；〔2〕当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值. 分析:〔1〕由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，那么22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r rπ=+；再由254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <，〔2〕254()f r r r=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可． 解：〔1〕由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r r πππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r，0h >，所以254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <， 〔2〕设254()f r r r =+，3133r <，那么254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=．答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．〔本小题总分值是16分〕如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，假设椭圆C经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设点N 为△12F AF 的内心〔三角形三条内角平分线的交点〕，求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； 〔3〕设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？假设是，恳求出定点T 的坐标；假设不是，请说明理由．分析：〔1〕由题意知b =．12c a =，可得b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程． 〔2〕由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S SAF AF F F r =++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ． 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x-=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论． 解：〔1〕由题意知b 12c a =，所以b a =2a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．〔2〕因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，那么12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c Sa c a c AF AF F F r ====++++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ． 设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=． 因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--． 令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上． 同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ． 19.〔本小题总分值是16分〕设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． 〔1〕11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ； 〔2〕22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，假设数列{}n b 唯一，求1b 的值.〔3〕数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式〔用含n ，d 的式子表达〕； 〔1〕解：设{}n b 的公比为q ，那么有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；〔2〕∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a =∴7321a =，77a =，那么公差1d =，那么n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠那么2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++=解得：11b =-或者10b =〔舍〕即11b =-〔3〕解：11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =；112a b =；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+； 解得1a d =或者13a d =-；假设13a d =-，那么40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2n n b d=；20.〔本小题总分值是16分〕 设a 为实数，函数()x f x axe =()a R ∈．〔1〕当0a <时，求函数()f x 的单调区间；〔2〕设b 为实数，假设不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；〔3〕假设函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．分析：〔1〕根据导数和函数单调性的关系即可求出，〔2〕别离参数，可得2xe x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，〔3〕先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：〔1〕当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．〔2〕由2()2f x x bx +，得22xaxe x bx +，由于0x >，所以2xae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立．由于0xe>，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立．设()2x x e x ϕ=-，0x >，那么()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2，所以22bln -2．〔3〕由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1xxx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①假设0a 时，那么()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②假设0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->． 由第〔2〕小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--20>，所以2xe x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数xxe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =-①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x >②． 设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，那么1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增． 由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a=-． 由第〔1〕小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<． 因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不连续， 所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >， 由于t e >时，ln t t <，2tet >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a -=>，且01()()0g g x a-<， 同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e∈-，0)．2021年天一十二月份调研考试高三数学〔Ⅱ〕试题21．此题一共2小题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦〔1〕求矩阵A ；〔2〕设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．分析：〔1〕由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ； 〔2〕设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：〔1〕1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 〔2〕1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''，那么2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x y -=，23y ∴'=， ∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案． 解：直线l 的直角坐标方程为y x =． 由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-，44x ∴-．∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或者8x =〔舍去〕． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 22．〔本小题总分值是10分〕如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E，F 分别是BC ，1A C 的中点．〔1〕求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； 〔2〕点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．假设//CM 平面AEF ，务实数λ的值． 分析：〔1〕建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； 〔2〕点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可务实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥． 在菱形ABCD 中3ABC π∠=，那么ABC ∆是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥． 因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．那么(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)． 〔1〕(0AD =，2，0)，(2EF =-，12，1)，所以异面直线EF ，AD=． 〔2〕设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A MA Dλ=，那么(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-． 那么(0M ，2λ，22)λ-，(CM=-21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ． 因为(3AE =0，0)，3(2AF =，12，1)，由0000012y z =++=，得00x =，00102y z +=． 取02y =，那么01z =-，那么平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，那么0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=． 23．〔本小题总分值是10分〕n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏完毕，假设四局过后仍未过关，游戏也完毕．〔1〕求在一局游戏中得3分的概率；〔2〕求游戏完毕时局数X 的分布列和数学期望()E X ． 分析：〔1〕根据互相HY 事件的概率公式求出对应的概率值；〔2〕由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望． 解：〔1〕设在一局游戏中得3分为事件A ，那么P 〔A 〕1112213525C C C C ==； 〔2〕由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4； 且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=； 那么2122351(1)5C C P X C ===， 436(2)51025P X ==⨯=，43228(3)(1)P X==⨯-⨯=，510512543342P X==⨯-⨯=，(4)(1)5105125∴的分布列为：X162842337E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．()1234525125125125。
推荐学习高中三年级学习数学12月统一考试试题 理
洛阳市2016届高三12月统一考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一 项是符合题目要求的．1、函数y =A ．（一2，1）B ．［一2，1］C ．（0，1）D ．（0，1]2．已知复数i 为虚数单位），则复数z 的共扼复数为A ．122i - B ．122i +C iD i3．执行如图的的程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ，i 的值分别为 A ．12，3B ．24，2C ．24，3D ．24，44．已知等比数列｛n a ｝中，257a a -+=⎰，则6468(2)a a a a ++的值为A ．162π B ．42π C ．22π D ．2π5．已知点A （1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转6π至OB ，设C （1，0），∠COB ＝a ，则tana ＝A 、12 B 、3C D6一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为 A ．8 B ．4 C ．83 D ．437．设F 1，F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的一个顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B ，C 两点，若△ABC 的面积为212c ，则该双曲线的离心率为A ．3B ．2 CD8．设x ，y 满足约束条件0204x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，当且仅当x ＝y ＝4时，z ＝ax 一y 取得最小值，则实数a 的取值范围是A ．〔一l ，1〕B ．（一∞，l ）C ．（0，1）D ．（一∞，一l ）U （1，＋∞） 9．已知函数f （x）＝cos (sin )(x x x ωωωω＞0），如果存在实数x 0，使得对任意 的实数x ，都有f （x 0）≤f （x ）≤f （x 0＋2016π）成立，则ω的最小值为 A ．12016π B ．14032π C 、12016 D 、1403210．若函数f （x ）＝3log (2)(0a x x a ->且1a ≠1）内恒有 f （x ）＞0，则f （x ）的单调递减区间为 A ．（一∞∞） B∞） C33∞） D．（一3，3） 11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上，OA OB ＝0（其中O 为 坐标原点），则△ABO 与△BFO 面积之差的最小值是 A ．4 B ．8 C ．D ．12·已知函数f （x ）＝||x e x ，关于x 的方程2()(1)()40f x m f x m ++++=（m ∈R ）有四个相异的实数根，则m 的取值范围是A 、（－4，41e e --+） B 、（－4，－3） C 、（41e e --+，－3） D 、（41e e --+，＋∞）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小压5分，共20分．13．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝2，2CD DB =，则AB AD ＝ 14．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3， AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E 一ABCD 的外接球的表面积为 · 15．已知函数f （x ）＝11()221x-+·x ，则方程f （x 一1）＝f （x 2一3x ＋2）的所有 实根构成的集合的非空子集个数为16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是 ． （填写所有正确命题的序号）①若2sin sin 2sin A B C =，则0＜C ＜4π；②若a ＋b ＞2c ，则0＜C ＜3π； ③若a 4＋b 4=c 4．则△ABC 为锐角三角形； ④若（a ＋b ）c ＜2ab ，则C ＞2π·三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ，Sn=2a n ＋n 一3，n *N ∈（1）证明数列｛a n 一l ｝为等比数列，并求｛a n ｝的通项公式；（2）求数列｛n a n ｝的前n 项和Tn ．18．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠B=300，D 是边AB 上一点．（1）求△ABC 的面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD 的面积为4，∠ACD 为锐角，求BC 的长．19．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB＝AD＝2．（1）求证：AC⊥BF；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出||||BPPE的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C1：22221(0)x ya ba b+=>>与椭圆C2：2214xy+=有相同的离心率，经过椭圆C2的左顶点作直线l，与椭圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点．（1）若直线y＝一x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程；（2）若存在直线l，使得13PQ AB=，求b的取值范围·21．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln1a xf x xx+=--，曲线y＝f（x）在点（11,()22f）处的切线平行于直线y＝10x＋l．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y＝lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，十∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y＝e x也相切？若存在，满足条件的x0有几个？考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，用2B铅笔在答魔卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P 作AB的垂线，交直线 AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC＝∠PDF；（2）求PE·PF的值．23．（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在直角坐标xoy系中，直线l经过点P（一1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos10ρρθ-+=．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲设关于x的不等式|x一2|＜a（a R∈）的解集为A，且31,22A A ∈-∉．（1）对于任意的x∈ R，｜x一1｜＋｜x一3｜2a a≥+恒成立，且a∈N，求a的值；（2）若a十b=1，求1||3||bb a+的最小值，并指出取得最小值时a的值．。
2019-2020学年度高三数学12月调研测试2套+参考答案
2019-2020学年度高三12月调研测试数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B = ▲ ．2.已知i 为虚数单位，若复数()()11ai i ++是纯虚数，则实数a= ▲ ．3.已知，:(1)(2)0q x x --≥，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ▲ ．4.运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．5.圆柱形容器内部盛有高度为4cm 的水，若放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，则球的半径是 ▲ cm .6.角α的终边经过点(3,4)P -，则cos()2πα-= ▲ ．7.设直线:340l x y a ++=，与圆()()22:2125C x y -+-=交于,A B ，且6AB =，则a 的值是 ▲ ．8.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为 ▲ ． 9.我们可以运用以下原理解决一些面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比恒为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用以上的原理，可知图③中椭圆的面积为 ▲ ．10.若曲线()(1)x f x ax e =-在点(0,(0))A f 处的切线与y 轴垂直，则a= ▲ ． 21▲ ．12.在△ABC 中, 2AB BC =,1,2DB AD CE EA ==,则BE 与CD 的夹角为 ▲ ． 13.在平面直角坐标系中，:C ，若直线上存在点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与C 有公共点，则的最大值是 ▲ ．14.若对任意的0,x ≥都有21x e ax x ≥++恒成立，则a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分） 已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,BC AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11A B ∥平面1DEC ；（2） 1BE C E ⊥．某公园为监控“旋转木马”游乐项目,要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头,使整个木马始终在摄像头的监控范围内.如图为木马和护栏的水平示意图,分别记作圆C 和直线l,入口为A ,AC 与l 垂直,,,A B C 高度一致.已知木马轮盘的半径为5米,AC 的距离为6米,B 处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l.(注:摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角)（1）若AB 的长为8米,求最小摄像视角的正切值;（2）若摄像视角最大为60︒,求B 距离A 至少有多远?18.（本小题满分16分）设椭圆 2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 上有两点,A B 且OA OB ⊥，证明2211OA OB +是定值，并求出AB 的最小值.已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有23331212().n n a a a a a a +++=++……（1）若数列{}n a 共三项，且为等比数列，求数列{}n a 的公比.（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20202019?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.20.（本小题满分16分）若函数()x f 满足()00f x x =成立,则称函数()x f 有不动点0x （1）判断函数 1()xf x x+=在区间(0,1)内是否有不动点,说明理由； （2）证明：函数2()(01)xxg x a ax a a x-=++->≠且在区间(0,1)内有不动点；（3）若函数()2ln h x ax x =-有两个不动点,求实数m 的取值范围.2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅱ（附加题）已知可逆矩阵273aA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1A -的特征值.21C.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数. 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程．（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ=，射线:(0)3OM πθρ=>与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．22.（本小题满分10分）如图，三棱柱中，平面，，为棱上的动点，．（1）当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角的大小是450．23.（本小题满分10分）某空间中存在2n 个基本粒子，每个基本粒子在每个时间均等可能的处于,A B 两种状态之一，若处于A 状态的粒子数和处于B 状态的粒子数相等，则称该空间处于基态.（1）=2n 时，求该空间处于A 状态的粒子数的数学期望.（2）记该空间处于处于基态的概率为()P n ，研究()P n 的单调性，并证明2n ≥时1()()2n P n >恒成立.2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅰ答案1.{}|0x x >2.13.2a ≥4.50505.66.457.10或8.1. 9.ab π 10.1 11.1(,1)312. 13.14.1(,]2-∞15.解：（１）,,即.……2分又∵, ∴,即,∴.……4分又 ,.……7分(2) ∵.……9分, ,即.……11分又, ∴.……14分16.证明：（1）连接DE 因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .……2分在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED . ……4分因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1…6分 （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .……8分 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .……10分因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1…12分17、解：(1)如图,过B 作圆C 的切线BE ,切点为E ,连接CE ,BC ,则CE ⊥BE ,3(2)以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系当∠ABE 的最大值为60°时,若直线BE 与圆∴直线BE 的方程为y =3x , ∴CE =5263=-a ，.……11分得a =316 (负值舍去)..……13分 18.解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过两点,所以2222611421a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩椭圆的方程为22184x y += ……4分（2）因为，若,OA OB 斜率不存在或为0，则2211113=+=848OA OB +， ……6分若斜率存在且不为，设OA 斜率为k ，222222222222811121288818412y kx x k k x y OA x y k k y k ⎧==⎧⎪+⎪⎪+⇒⇒==⎨⎨+++=⎪⎪=⎩⎪+⎩……8分 用1k -换,k 2221+288k OB k =+，所以222211333==8+88k OA OB k ++综上，总有22113=8OA OB +成立 .……12分 考虑到2222222811()()3AB OA OB OA OB OA OB =+=++所以222228832(2)(2333OB OA AB OA OB =++≥+=，当且仅当=OA OB 即1k =±时取等号.所以min AB = .……16分19.解：（1）当1n =时，2311a a =，由10,a ≠得1=1.a当2n =时，2322(1)1,a a +=+由20,a ≠得2=2 1.a 或-当3n =时，2332323(1)1,a a a a ++=++若2=2,a 得3=3 2.a 或-若2=1,a -得3=1.a 又数列{}n a 为等比数列，所以122=1,=1,=1,a a a -所以数列{}n a 的公比为1- ……4分（2）令12n n S a a a =++…，则233312n n S a a a =++…，所以23331121()n n n S a a a a +++=++…，相减并考虑到2+11102.n n n n a S a a ++≠=-，得 …8分当1n =时，由(1)得1=1.a 当2n ≥时，2211122()()().n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 整理得：111()(1)0.+1.n n n n n n n a a a a a a a ++++--==-所以，或 (12)分又12020=1,=2019,a a -则{}n a 的一个通项公式是1,12019;=2019(1),2020.n n n n a n +≤≤⎧⎨⨯-≥⎩ …16分20.解:（1）令1=x x x + ,解得x =均不在区间(0,1)内, 所以 1()xf x x+=在区间(0,1)内没有不动点 ……2分（2）要证()g x 在区间(0,1)内有不动点，即证方程02=-+-xa a xx 在(0,1)上有解即证方程02)(2=+-x a a x x x 在(0,1)上有解记x a a x x h x x +-=2)()(2，因为)(x h 图像在]1,0[上不间断，,02)0(<-=h 0)1(12)1(22>-=+-=a a a h ，所以)(x h 上有零点在)1,0(，所以方程02)(2=+-x a a x x x 在),0(+∞上有解，从而原命题得证 ……6分 （3）记2()ln ,H x ax x x =--则 ()H x 有两个零点.2121()21=,0,ax x H x ax x x x--'=-->所以当 a ≤ 0 时，()0H x '< ，函数()H x 减，最多一个零点，所以 a > 0 ．……8分 考虑2ln x xa x+=, 下面证明：ln 1x x ≤-,设()ln 1t x x x =--所以11()1(0)x t x x x x-'=-=> (0,1)x ∈时()0t x '<，()t x 减；1x >时()0t x '>，()t x 增.()(1)0t x t ≥=，ln 1x x ≤-2222ln 21211=(1)11x x x a x x x x x+-=≤-=--+≤，1a =时x 只能取1，(0,1)a ∈…12分 下面证明(0,1)a ∈时()H x 有两个零点(0,1)a ∈时，(1)=10,H a -<22211()=10,a e e a H e e e e-++-=> 1()=ln 0,H a a <()H x 图像不间断，所以()H x 在1(,1)e ，1(1,)a上各有一个零点符合题意.综上，(0,1)a ∈……16分2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅱ（附加题）答案1.解：∵可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ， ∴12210 73701a b A A a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴141 72101431ab b a -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得5a =，3b =， ∴13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， .……5分 ∴()2328175λf λλλλ-⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦， 由()0f λ=，得14λ=+，24λ=-． .……10分2.解：(1)圆的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==;所以圆的极坐标方程是2cos ρθ= ..……5分(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有2222(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2 ..……10分3.解：以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，依题意得：，（1）因为为中点，则，设是平面的一个法向量， 则，得 取，则， 设直线与平面的法向量的夹角为， 则，..……4分 所以直线与平面所成角的正弦值为； ..……5分（2）设， 设是平面的一个法向量， 则，取，则..……7分 是平面的一个法向量，，得，即， 所以当时，二面角的大小是． ..……10分 4.解：（1）记=2n 时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0,1,2,3,4}04411(0)()216P C ξ=== 144141(1)()2164P C ξ====， 244163(2)()2168P C ξ====， 344141(3)()2164P C ξ====， 44411(4)()216P C ξ=== 所以1311()1234248416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=..……4分 （2）221()()2n n n P n C =，1222222221111(1)()()()()()022222n n n n n n n n n P n P n C C C n +++-+-=-=<+ 所以()P n 单调递减...……7分=2n 时244131(2)()282P C ==> 假设n k =时1()()2k P k >成立 则1n k =+时1211111(1)()()()()()()222222k k k P k P k P k k +++=>>⋅=+成立 综上，2n ≥时1()()2n P n >恒成立. ...……10分。
2019—2020学年第一学期南京市12月高三联合调研数学(含附加题含解析)
2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}21{，=A ，{}321，，-=B ，则集合B A ＝ ▲ ． 2．若复数iiz +=12（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ． 3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为 ▲ ．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为2:3:3，为调查该 校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为 ▲ ． 5．函数24)1ln(x x y -++=的定义域为 ▲ ．6．甲、乙两人依次从标有数字321，，的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线12222=-b y a x )00(>>b a ，的离心率为23，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 8．已知函数()sin(2)3f x x π=+，若函数)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ ▲ ．9．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 和为n S ，首项为1，若2262a a a ，，成等比数列，则10S = ▲ ．10．某种圆柱形的饮料罐的容积为128π个单位，当它的底面半径和高的比值为 ▲ 时，可使得所用材料最省．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线03:=-+m y x l ，点)0,3(A ，若满足7222=-PA PO 的点P 到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围是 ▲ ．（第3题图）B 1C 1A 1EDCBA12．如图，在ABC ∆中，23==AC AB ，，=2，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点，则=⋅ ▲ ． 13．已知0,0a b >>，且31126a b a b++≤+， 则3aba b+的最大值为 ▲ ． 14．已知偶函数)(x f 满足)4()4(x f x f -=+，且当]4,0(∈x 时xe xx f )()(=，关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 在区间]400400[，-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面⊥C C AA 11平面ABC ，11AC E A ⊥． （1）求证：//DE 平面11C AB ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点到相应准线的距离为3，离心率为21，过右焦点F 作两条互相垂直的弦CD AB ，，设CD AB ，的中点分别为N M ，． （1）求椭圆的标准方程；（2）若弦CD AB ，的斜率均存在，且OMF ∆和∆最大时，直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：CD AB //，BC AB ⊥，075=∠DAB ，AD 长1千米，AB 长2千米．公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，D B ，点是公园的进出口．公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ －线段QP －弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点）．根据市场行情，BQ ，QP段的建造费用是每千米10万元，湖岸段PD 的建造费用是每千米3)12(20+万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度，观光步行道的建造费用为w 万元． （1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其定义域； （2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．①若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足203422=+=S S a ，，数列}{n b 是首项为2，公比为q )1(≠q 的等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设正整数r t k ，，成等差数列，且r t k <<，若k r r t t k b a b a b a +=+=+，求实数q的最大值；（3）若数列}{n c 满足⎩⎨⎧=-==，，，，k n b k n a c k k n 212*∈N k ，其前n 项和为n T ，当3=q 时，是否存在正整数m ，使得122-m mT T 恰好是数列}{n c 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间为30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知点(22)P ，在矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点(46)Q ，． （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程．B ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==22321t y t x （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是)4sin(24θπρ+=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点B A ，，求线段AB 的长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数|2||2|)(++-=x x x f ，若不等式)(||||||x f a b a b a ≤+--242对任意R b a ∈，，且0≠a 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线)(:022>=p px y C 的焦点F 在直线01=-+y x 上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于E D ，两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：EF AP //．23．（本小题满分10分）甲、乙两人用一颗质地均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字654321，，，，，）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷．已知甲先掷．（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布和数学期望； （2）求第n 次（2,n n N *≥∈）由乙抛掷的概率．2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学参考答案注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题1. {}3,2,1,1-2. 13. 104. 1205. ]2,1(-6. 137. x y 25±= 8. 512π 9. 145 10. 21 11. )3,9(- 12. 34-13. 19 14. 3122(3,]e e ----二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈ 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩·……………………3分 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=……………………6分 解得85c =……………………7分 （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈- 又()sin 010A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B -> 所以()cos A B -==……………………10分 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==- ……………………11分所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅………………14分 注：（2）中无角的范围扣1分。
推荐学习高中三年级学习数学上学期12月月测试卷(含解析)
2015-2016学年江苏省盐城市盐阜中学高三（上）12月月测数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，0，﹣e，﹣2i2}（i是虚数单位），B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B=．2．某篮球选手近五场比赛的上场时间分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1（单位：分钟），则这组数据的方差为．3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为．4．已知向量=（1，2），=（m，4），且（﹣）∥（2+），则实数m的值为．5．已知一个正方体的边长为2，则其外接球的体积是．6．如图是一个算法的流程图，它最后输出的k值为．7．“函数f（x）在R上单调递减”是“f′（x）＜0在R上恒成立”的条件．8．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为．9．已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）= ．10．设D是△ABC所在平面内一点，且，设，则x+y= ．11．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为．12．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0，S15=25，则nS n的最小值为．13．已知函数，则函数y=g（x）﹣x的零点个数是．14．函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）=0存在唯一正实数根x0，则a取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=bcosA．（1）求证：a=b（2）若sinA=，求sin（C）的值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为棱AB，PC 的中点（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：EF∥平面PAD．17．已知（1）若，求证：（2）设，若，求α，β的值．18．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x （x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．19．已知{a n}的前n项和S n，a n＞0且a n2+2a n=4S n+3（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=，求{b n}的前n项和T n．20．设函数f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年江苏省盐城市盐阜中学高三（上）12月月测数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，0，﹣e，﹣2i2}（i是虚数单位），B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B={e，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】利用复数性质确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∵A={1，0，﹣e，﹣2i2}={1，0，e，2}，∴A∩B={e，2}，故答案为：{e，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．某篮球选手近五场比赛的上场时间分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1（单位：分钟），则这组数据的方差为0.044 ．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．【解答】解：∵某篮球选手近五场比赛的上场时间分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1（单位：分钟），∴这组数据的平均数为=（9.7+9.9+10.1+10.2+10.1）=10，∴这组数据的方差为： [（9.7﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10.1﹣10）2]=0.044．故答案为：0.044．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是BC1、BC2共2种；所以所求的概率是P==．故答案为：．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．4．已知向量=（1，2），=（m，4），且（﹣）∥（2+），则实数m的值为 2 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求出﹣、2+的坐标，然后利用向量共线的坐标表示列式求得m值．【解答】解：∵ =（1，2），=（m，4），∴﹣=（1，2）﹣（m，4）=（1﹣m，﹣2），2+=2（1，2）+（m，4）=（2+m，8）．又（﹣）∥（2+），∴8（1﹣m）﹣（﹣2）（2+m）=0，解得：m=2．故答案为：2．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．5．已知一个正方体的边长为2，则其外接球的体积是4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积．【解答】解：∵正方体棱长为2，∴正方体的外接球的半径R=，∴正方体的外接球的体积V==4π．故答案为：4π．【点评】本题考查正方体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，解题的关键是明确正方体的外接球的直径是正方体的体对角线．6．如图是一个算法的流程图，它最后输出的k值为30 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=21+22+23+…+229的值，并输出，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜30，S=21，k=2满足条件S＜30，S=21+22，k=3…满足条件S＜30，S=21+22+…+229，k=30不满足条件S＜30，退出循环，输出k的值为30．故答案为：30．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．写出程序结果也是重要的考试题型，属于基础题．7．“函数f（x）在R上单调递减”是“f′（x）＜0在R上恒成立”的必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用导函数的性质与函数增减性间的关系判断即可．【解答】解：若f′（x）＜0在R上恒成立，则有函数f（x）在R上单调递减；反之，函数f（x）在R上单调递减，则有f′（x）≤0在R上恒成立，则“函数f（x）在R上单调递减”是“f′（x）＜0在R上恒成立”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握导函数的性质是解本题的关键．8．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据约束条件画出可行域，得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x﹣y有最大值，并且可以得到这个最大值．【解答】解：根据约束条件画出可行域如图，得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）平移直线l：z=2x﹣y，得当l经过点A（5，3）时，∴Z最大为2×5﹣3=7．故答案为：7．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．9．已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）= ．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵cosα=﹣，α∈（0，π），∴sinα=，∴tanα==﹣，则tan（α+）===．故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围．10．设D是△ABC所在平面内一点，且，设，则x+y= 1 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】数形结合；转化法；平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形用向量、表示出，即可求出x、y的值．【解答】解：画出图形，如图所示：∵=3，∴ =+=；∴=+=+=+（﹣）=﹣+，∴x=﹣，y=；∴x+y=1．故答案为：1．【点评】本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．11．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z ．【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象和五点法作图可得函数的解析式，由余弦函数的单调性和复合函数的单调性可得．【解答】解：由题意可得函数的周期为2（﹣）=2，∴=2，解得ω=π，∴f（x）=cos（πx+φ），再根据函数的图象以及五点法作图，可得+φ=，解得φ=，f（x）=cos（πx+），令2kπ≤πx+≤2kπ+π，可解得2k﹣≤x≤2k+，∴f（x）的单调递减区间为：[2k﹣，2k+]，k∈Z故答案为：[2k﹣，2k+]，k∈Z．【点评】本题考查余弦函数的单调性，求出函数的解析式是解决问题的关键，属基础题．12．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0，S15=25，则nS n的最小值为﹣49 ．【考点】利用导数研究函数的极值；等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】压轴题；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nS n的最小值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，∴a1=﹣3，d=，∴S n=na1+d=n2﹣n，∴nS n=n3﹣n2，令nS n=f（n），∴f′（n）=n2﹣n，∴当n=时，f（n）取得极值，当n＜时，f（n）递减；当n＞时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．f（6）=﹣48，f（7）=﹣49，故nS n的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．13．已知函数，则函数y=g（x）﹣x的零点个数是 3 ．【考点】函数零点的判定定理．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】在同一坐标系中画出函数的图象和y=x的图象，分析两图象交点的个数，可得答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：由图可得，函数y=g（x）与函数函数y=x的图象有三个交点，故函数y=g（x）﹣x的零点个数是3个，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是函数的零点及个数判断，将函数的零点转化为函数图象的交点，是解答的关键．14．函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）=0存在唯一正实数根x 0，则a 取值范围是 （﹣∞，﹣2） ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a ＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）＞0，解出即可得到a 的范围． 【解答】解：当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1=0，解得x=±，函数f （x ）有两个零点，不符合题意，应舍去； 当a ＞0时，令f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x﹣）=0， 解得x=0或x=＞0，列表如下： ） （，+∞）∵x→﹣∞，f （x ）→﹣∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去． 当a ＜0时，f′（x ）=3ax 2﹣6x=3ax （x ﹣）=0， 解得x=0或x=＜0，列表如下： （﹣∞，）而f （0）=1＞0，x→+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0， ∵f（x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值f （）=a ）3﹣3（）2+1＞0， 化为a 2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了函数的导数在判断函数的单调性的运用，函数的零点的判断及应用，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=bcosA．（1）求证：a=b（2）若sinA=，求sin（C）的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，即可证明．（2）由（1）可得：C=π﹣2A，利用sinA=，A为锐角，可得：cosA，sin2A，cos2A的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值．【解答】解：（1）证明：已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosA=sinAcosB，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∵A，B都为三角形内角，∴A﹣B=0，即A=B，则三角形形状为等腰三角形．∴a=b．得证．（2）∵由（1）可得：C=π﹣A﹣B=π﹣2A，∵sinA=，A为锐角，可得：cosA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（C）=sin（π﹣2A）=﹣sin（+2A）=﹣（cos2A+sin2A）=﹣（+）=﹣．【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为棱AB，PC 的中点（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：EF∥平面PAD．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明PA⊥BC，AB⊥BC，证得CB⊥平面PAB，从而有CB⊥PE．（2）取CD的中点G，由FG是三角形CPD的中位线，可得FG∥PD，再由举行的性质得EG∥AD，证明平面EFG∥平面PAD，从而证得EF∥平面PAD．【解答】解：（1）证明：∵侧棱PA垂直于底面，∴PA⊥BC．又底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC，这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PE．（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．【点评】本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．已知（1）若，求证：（2）设，若，求α，β的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）证明即可；（2）根据向量相等列出方程组，解出α，β．【解答】解：（1）∵，∴（）2=2，即2﹣2+2=2，∵2=cos2α+sin2α=1， 2=cos2β+sin2β=1，∴=0，∴（2）∵=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0.1）．∴，①2+②2得cos（β﹣α）=﹣．∵0＜α＜β＜π，∴0＜β﹣α＜π．∴β﹣α=，即，代入②得sinα+sin（）=1，整理得=1，即sin（α+）=1．∵0＜α＜π，∴，∴=，∴α=，β=α=，【点评】本题考查了平面向量的数量积运算、向量的模、同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．18．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x （x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=，tanβ=，则tanθ=tan（α﹣β）==（x＞0），令u=，则ux2﹣2x+1.25u=0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max=，∵正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x==，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ===，即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知{a n}的前n项和S n，a n＞0且a n2+2a n=4S n+3（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）运用递推关系式a n2+2a n=4S n+3，3+4S n+1=a n+12+2a n+1，相减得出a n+1﹣a n=2，可判断等差数列，求解通项公式（2）利用a n的通项公式得出b n== []裂项求解即可．【解答】（1）证明：∵3+4S n=a n2+2a n，3+4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减整理可得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，∵n≥1时，a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣2=0，∴a n+1﹣a n=2，n=1时，a1=﹣1（舍去），a1=3∴{a n}成等差数列，首项为3，公差为2，∴a n=2n+1（2）∵b n=，∴b n== []∴{b n}的前n项和T n= [+…+]= []=【点评】本题综合考查了等差数列的性质，通项公式，裂项法求解数列的和，考查了学生的运算化简能力，属于中档题．20．设函数f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1），易得函数在所求点的斜率．（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线的斜率为1．（2）f'（x ）=﹣x 2+2x+m 2﹣1，令f'（x ）=0，解得x=1﹣m 或x=1+m ． ∵m＞0，所以1+m ＞1﹣m ，当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：∴f（x ）在（﹣∞，1﹣m ），（1+m ，+∞）内是减函数，在（1﹣m ，1+m ）内是增函数． 函数f （x ）在x=1﹣m 处取得极小值f （1﹣m ），且f （1﹣m ）=，函数f （x ）在x=1+m 处取得极大值f （1+m ），且f （1+m ）=．（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x 1，x 2，故，∵m＞0解得m，∵x 1＜x 2，所以2x2＞x 1+x 2=3， 故x 2＞．①当x 1≤1＜x 2时，f （1）=﹣（1﹣x 1）（1﹣x 2）≥0，而f （x 1）=0，不符合题意， ②当1＜x 1＜x 2时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，都有x ＞0，x ﹣x 1≥0，x ﹣x 2≤0， 则，又f （x 1）=0，所以f （x ）在[x 1，x 2]上的最小值为0，于是对任意的x ∈[x 1，x 2]，f （x ）＞f （1）恒成立的充要条件是f （1）=m 2﹣＜0， 解得，小初高K12学习教材小初高K12学习教材 ∵由上m ，综上，m的取值范围是（，）． 【点评】本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．。
河北省高三年级上学期12月联考数学答案
河北省高三年级上学期12月联考数学答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}{}22|log (2),|540==-=-+<A x y x B x x x ，则A B = ().A∅B()2,4C()2,1-D()4,+∞2．复数(为虚数单位)，则=（）x.k.b.1ABC D 3．平面向量a ，b共线的充要条件是（）A a ，b方向相同Ba ，b两向量中至少有一个为零向量CR λ∃∈，使得b aλ=D 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=4．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为()A3B4C5D65.已知下列命题：①命题“＞3x”的否定是“＜3x”；②“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.④已知p、q为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题。
其中真命题的个数为（）A3个B2个C1个D0个6．已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是（）A 15-B 5-C5D157.—空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）(1)i z i += i z 1122i +1122i -+1122i -1122i --1,2+∈∃x R x 1,2+∈∀x R x q p ∨qp ⌝∧⌝8.设为公比为q＞1的等比数列，若和是方程的两根，则+=（）A 18B10C25D99．已知是实数，则函数的图像可能是()A B C D10.若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x 上，则的值等于（）ABCD11.已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为（）A -1B -2C 2D 112.如图，1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）.A3B 2C31-D 13+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13.已知抛物线的准线方程为，则实数a 的值为14.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为{}n a 2010a 2011a03842=+-x x 2012a 2013a ()cos f x a ax =a 2y ax =2y =-15.设向量a ＝(sin15°，cos15°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则向量a +b 与a -b的夹角为16.已知点M（a,b）由004x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内运动，则动点N（a+b,a-b）所在平面区域的面积为_____三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知函数．（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．18.（本题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，31=AA ，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．19．（本题满分12分）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x 之间的一组数据如下：x 3456789y66697381899091已知：∑∑∑======71717122.3487,45309,280i i i i i i i y x y x (1)求x ，y ；(2)纯利润y 与每天销售件数x 之间线性相关，求出线性回归方程．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：xb y a xn xy x n yx b ni ini ii∧∧==∧-=--=∑∑,122120．（本题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F（1,0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l 交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若l 存在，求出直线l 的方程；若l 不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）已知函数[x x x f ln )(=来源:学+科+网Z+X+X+K]（1）求函数)(x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线)(x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数),1()()(--=x a x f x g 其中R a ∈，求函数)(x g 在],1[e 上的最小值.（其中e为自然对数的底数）四、选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号，满分10分.）22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线)0(cos 2sin :2>=a a C θθρ，已知过点)4,2(P --的直线l 的参数方程为)(224222为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于.,N M （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；新*课标*第*一*网（2）若PN ，，MN PM 成等比数列,求a 的值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲:已知函数3212)(-++=x x x f （1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.参考答案一．B C D B CB A A CB A D二．1318142 15.90°16.16_三．17.15．（本小题共13分）17．（12分）考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．.专题：计算题．分析：（1）化简函数f（x）的解析式为sin（+）+1，故f（x）的周期为4π，由，故f（x）图象的对称中心为．（2）利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，化简可得，从而得到的范围，进而得到函数f（A）的取值范围．解答：解：（1）由，∴f（x）的周期为4π．由，故f（x）图象的对称中心为．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，∴．∴，故函数f（A）的取值范围是．点评：本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1B C ，与1BC 相交于O ，连接OD ．∵11BCC B 是矩形，∴O 是1B C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥1AB ．………2分∵1AB ⊄平面1BDC ，OD ⊂平面1BDC ，………3分∴1AB ∥平面1BDC ．………4分[来源:学|科|网Z|X|X|K]（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则1(000)C ，，，(032)B ，，，(030)C ，，，(230)A ，，，(130)D ，，，………5分设111()n x y z =，，是平面1BDC 的一个法向量，则1100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即111132030y z x y +=⎧⎨+=⎩，，令11x =，则11(1)32n =- ，，，………7分易知1(030)C C =，，是平面ABC 的一个法向量，………8分∴11112cos 7736n C C n C C n C C ⋅-<>===-⋅⨯，，………9分由题意知二面角1C BD C --为锐角，∴二面角1C BD C --的余弦值为27．………10分（Ⅲ）假设侧棱1AA 上存在一点(2,0)P y ，，(03y ≤≤)，使得CP ⊥平面1BDC ．则1100CP C B CP C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，，即3(3)023(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩，，∴373y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，．………12分∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱1AA 上不存在点P ，使CP ⊥平面1BDC ．19.【解析】(1)x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.L L 6分(2)根据已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45309，∑7i ＝1x i y i ＝3487，利用已知数据可求得线性回归方程为y ^＝4.75x ＋51.36.L L 12分20.（本小题满分12分）解：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =22=b 故椭圆方程为1222=+y x ……………………………………………………4分（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（1x ,1y ）,Q（2x ,2y ）因为M（0,1），F（1,0），故1-=MF k ，故直线l的斜率1=k 于是设直线l的方程为mx y +=由⎩⎨⎧=++=2222y x m x y 得0224322=-++m mx x --------------------6分由题意知△＞0，即2m ＜3，且322,3422121-=-=+m x x m x x ………8分由题意应有0=⋅FQ MP ，又),1(),1,(2211y x FQ y x MP -=-=故0)1)((222121=-+-++m m m x x x x 0)1(34322222=-+---⨯m m m m m解得34-=m 或1=m -------------------10分经检验，当1=m 时，△PQM不存在，故舍去1=m ；当34-=m 时，所求直线34-=x y 满足题意综上，存在直线L，且直线L的方程为0433=--y x ………………………12分21.解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0.……………………1分而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e 所以()xf 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e上单调递增.……………3分所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.………………4分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x 所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-……………………5分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………………………………7分（3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e上单调递减，在()+∞-,1a e上单调递增.…………9分①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增，所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ②当1＜1-a e ＜e，即1＜a＜2时，()x g 在[)1,1-a e 上单调递减，在(]e e a ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g③当,1-≤a ee 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减，所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a＜2时，()x g 的最小值为1--a e a ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+……………………………………12分22.解：（Ⅰ）22,2y ax y x ==-.……………..5分（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 224222（t 为参数）,代入22y ax =,得到222(4)8(4)0t a t a -+++=，………………7分则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+.因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅.解得1a =.………………10分23解：（Ⅰ）原不等式等价于313,,222(21)(23)6,(21)(23)6,x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或1,2(21)(23) 6.x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩解之得31312,12222x x x <≤-≤≤-≤<-或,或.即不等式的解集为}21|{≤≤-x x .………………5分（Ⅱ）()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f .41>-∴a ，解此不等式得53>-<a a 或.………………10分（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）河北省高三年级上学期12月联考数学答案一、选择题：（共12题，每题5分，只有一个正确选项）1.已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，集合2{|4}B x y x ==-，则A B⋂等于（）A.[2,2]- B.{1,0,1}- C.{2,1,0,1,2}-- D.{0,1,2,3}2.已知复数z 满足(13)1i z i +=+，则||z =（）A．22B．21C．2D.23.具有线性相关关系的变量x、y 的一组数据如下表所示.若y 与x 的回归直线方程为233-=∧x y ，则m 的值是（）A．4B．29C．5.5D．64.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y 之间关系最强的是（）5.已知，，且，则()A.（2，-4）B.(2,4)或（2，-4）C.（2，-4）或（-2，4）D.（4，-8）6.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 取值范围是（）A．(,2)-∞B．(2,)+∞ C.(,2)(2,)-∞-+∞ D．(2,2)-7.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入209m =，121n =，则输出的m 的值为（）A．0B．11C．22D．888.下列有关命题的说法正确的是（）x 0123y-11m 8A．命题“若错误！未找到引用源。
高三数 12月调研考试试题 文(含解析)新人教A版
高三12月调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（）直接向量计算解：因为，所以cosA=，3．（5分）i是虚数单位，复数的虚部是（）．4．（5分）（2012•邯郸一模）给出以下命题：①∃x∈R，sinx+cosx＞1②∀x∈R，x2﹣x+1∈﹣，]）＞解：①∵sinx+cosx=∈，﹣+5．（5分）（2013•延庆县一模）已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差，解得6．（5分）（2012•唐山二模）已知α是第三象限的角，且tanα=2，则sin（α+）=（）（α+ =sinαcos+cosαsintanα=sinα=﹣cosα=﹣∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=7．（5分）（2012•黄冈模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）==，=8．（5分）（2012•邯郸一模）在△ABC所在的平面内有一点P，如果，那可化为，可知向量、方模长是，即可知向量、方向相反，且模长是的的面积之比为=9．（5分）已知函数，则函数f（x）有两个相异零点的充要，由此求得结果．函数10．（5分）设实数x，y满足x2+y2≤1，则点（x，y）不在区域内的概率，S=4×=111．（5分）（2013•广东模拟）设函数的图象关于直线x=对称，，）的一个对称中心是（x=，2×+φ=kπ+，φ=kπ，．函数的解析式为：=，函数不是单调减函数，时．函数的一个对称中心是（，12．（5分）（2011•丰台区二模）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣212二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若函数y=2tanωx的最小正周期为2π，则函数y=sin的最小正周期为4π．ω==x+）的最小正周期=4π．14．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x= 4 ．=15．（5分）已知向量，且，则的值是．，得到，且|==故答案为：16．（5分）设f（x）=x﹣4tanx+2，x∈[﹣1，1]，则关于a的不等式f（a2﹣1）+f（1﹣a）＞4的解集为{a|0＜a＜1} ．解不等式组三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若的值．利用2θ﹣（Ⅰ）由题意可知））在区间时为减函数，（（）在区间）（2θ﹣），，2θ﹣（2θ﹣=18．（12分）已知数列{a n}的首项a1=1，且满足．（I）设，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求数列{c n}的前n项和S n．）为等差数列的证明，由取倒数，得到可知数列的每一项是由一个等差数列与一个等，∴，即为公差的等差数列．∴=4n （Ⅱ）由（Ⅰ）知…②②﹣①得，项和19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．=20．（12分）（2012•顺河区一模）某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．位同学被甲考官面试的概率为21．（12分）（2012•邯郸一模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．，[恒成，时，，∴，[恒成[＞，[，，∵＞[[在[，在，在，，四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分）22．（10分）（2012•江苏二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=，圆O的半径为3，求OA的长．=．∴△BCD∽△BEC，∴，23．（2012•河南模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（I）求圆心的极坐标．（II）若圆C上点到直线l的最大距离为3，求r的值．=1，ρ=在第三象限，θ=）∴r=2﹣24．（2012•海口模拟）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a﹣1（1）当a=1，解不等式f（x）≥g（x）；（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．x≥﹣，∪[﹣，+∞）…（=（﹣）﹣﹣1≥﹣a。
推荐学习高中三年级学习数学上学期12月联考试卷 理(含解析)
2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．2．计算： = ．3．方程9x=3x+2的解为．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ= ．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k 恰有两个零点，则k的取值范围为．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）2015-2016学年上海市十二校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B={x|x＜4} ．【考点】并集及其运算．【分析】由于集合A，B都已给出，容易计算集合A∪B【解答】解：∵A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，∴A∪B={x|x＜4}．故答案为{x|x＜4}．【点评】本题主要考查了集合的并运算，较为简单．2．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．【解答】解：故答案为：．【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．3．方程9x=3x+2的解为x=log32 ．【考点】指数式与对数式的互化．【专题】计算题．【分析】由9x=3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，由此能求出方程9x=3x+2的解．【解答】解：∵9x=3x+2，∴（3x）2﹣3x﹣2=0，解得3x=﹣1（舍），或3x=2，∴x=log32．故答案为：x=log32．【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．4．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，则ax2+bx+c＜0的解集为∅．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次方程与对应二次函数和一元二次不等式的关系，即可得出解集．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）无实数解，∴二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，且开口向上，与x轴无交点，∴一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为∅．故答案为：∅．【点评】本题考查了一元二次方程与二次函数和一元二次不等式的应用问题，是基础题目．5．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n= 2n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设出公差，写出第一、二、五三项的表示式，由三项成等比数列，得到关于公差的方程，解方程，得到公差，写出等差数列的通项．【解答】解：设公差为d，则a2=1+d，a5=1+4d，则1×（1+4d）=（1+d）2，∴d=2，∴a n=2n﹣1，故答案为：2n﹣1．【点评】考查的是等差数列和等比数列的定义，把形式很接近的两个数列放在一起考查，同学们一定要分清两者，加以区别．6．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）= ﹣3 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0可求m，从而可求x≥0时的函数的解析式，再由f（﹣1）=﹣f（1）可求【解答】解：由函数为奇函数可得f（0）=1+m=0∴m=﹣1∵x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题主要考查了奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）在函数求值中的应用，解题的关键是利用f（0）=0求出m．7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f﹣1（x），f （4）=0，则f﹣1（4）= ﹣2 ．【考点】反函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，故可得f（1+x）+f（1﹣x）=4，用引恒等式建立相关的方程即可解出f﹣1（4）的值．【解答】解：由函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，可得 f（x+1）+f（1﹣x）=4，对任何x 都成立在上式中，取x=3，得到 f（4）+f（﹣2）=4，又f （4）=0∴f（﹣2）=4∴f﹣1（4）=﹣2故应填﹣2【点评】本题考查函数的对称性与反函数的性质，知识性较强．8．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ= ．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），由此求得θ的值．【解答】解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x ﹣θ），即 cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）= ﹣+．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件求得∠α的终边经过点P（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得cosα、sinα、tanα的值，再利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵两曲线y=和y=的交点为P（﹣1，），故∠α的终边经过点P（﹣1，），故cosα==﹣，sinα==，tanα=﹣，∴cos2α+cot（+α）=2cos2α﹣1﹣tanα=2•﹣1+=﹣+，故答案为：﹣ +．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．10．函数y=1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题设条件可化为∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求出﹣在x∈（﹣∞，1]上的最大值即可．【解答】解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．又∵t=﹣=﹣（）2x﹣（）x=﹣[（）x+]2+，当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．【点评】本题考查了应用函数的性质将不等式恒成立转化为求函数值域的问题，是基础题．11．在△A n B n C n中，记角A n、B n、C n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n=n+1，则C n= ．【考点】极限及其运算；等差数列的通项公式．【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列；解三角形．【分析】不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，再根据余弦定理得出Cn的表达式，最后求极限．【解答】解：因为最小的边长为n+1，且三边成公差为1的等差数列，所以，三边分别为n+1，n+2，n+3，不妨设c n是边长最大的，即a n=n+1，b n=n+2，c n=n+3，由余弦定理，cosC n=，整理得，cosC n=，又==，所以， cosC n=，若b n是最大的边，解法同上，结果一致，故填：．【点评】本题主要考查了运用余弦定理解三角形和等差数列的性质，以及数列极限的求解，涉及分类讨论思想，属于中档题．12．定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（1，2）．【考点】函数零点的判定定理；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；作图题；方案型；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简f（x）=（1+）⊗log2x=，从而作函数f（x）与y=k的图象，利用数形结合求解．【解答】解：由题意得，f（x）=（1+）⊗log2x=，作函数f（x）与y=k的图象如下，，结合图象可知，1＜k＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用．13．64个正数排成8行8列，如图所示：在符号a ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示该数所在行数，j表示该数所在列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等）若a11=，a24=1，a32=，则a ij= ．【考点】归纳推理．【专题】规律型；等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】设第一行公差为d，第一列的公比为q，根据已知求出d，q利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；【解答】解：设第一行公差为d，第一列的公比为q，∵a11=，a24=1，a32=，∴，解出d=q=，则a ij==，故答案为：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．定义：min{a1，a2，a3，…，a n}表示a1，a2，a3，…，a n中的最小值．若定义f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，则常数k的取值范围是．【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意，对n=1，2，3，4，5，6，…的情况分别进行讨论，得到规律，即可求得常数k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=min{x，5﹣x，x2﹣2x﹣1}，∴当n=1时，f（1）=﹣2，f（2）=﹣1；∴f（1）+f（2）≤kf（1），即﹣3≤﹣2k，解得：k≤；当n=2时，f（3）=min{3，5﹣3，32﹣2×3﹣1}=2，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即﹣2﹣1+2+1≤k×（﹣1），解得：k≤0；当n=3时，f（5）=0，f（6）=﹣1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=﹣1≤kf（3）=2k，解得：k≥﹣；同理可得，当n=4时，f（7）=﹣2，f（8）=﹣3，依题意，可解得k≥﹣6；当n=5时，f（9）=﹣4，f（10）=﹣5，同理解得k∈R；当n=6时，f（11）=﹣6，f（12）=﹣7，依题意得k≤15；…∵对于任意的n∈N*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n﹣1）+f（2n）≤kf（n）成立，∴常数k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查数列的求和，着重考查对函数概念的理解与综合应用，突出考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．二、选择题15．已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可．【解答】解：若a，b，c成等比数列，则b2=ac成立，若a=b=c=0，满足b2=ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键．16．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；正弦函数的图象．【专题】作图题；压轴题；分类讨论．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A选项对应的图象符合．故选A．【点评】本题考查的是函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．17．设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=1，B=2A，∴由正弦定理可得： =b==2cosA，∴＜2cosA＜，则b的取值范围为（，）．故选A【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】新定义．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选D．【点评】本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．三、解答题19．集合A={x|≥1}，函数f（x）=log的定义域为集合B；（1）求集合A和B；（2）若A⊂B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合．【分析】（1）分别解不等式，即可求集合A和B；（2）若A⊂B，结合（1）求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由≥1，可得A=[﹣，2）；由＞0，可得B=（﹣∞，a）∪（a2+1，+∞）；（2）∵A⊂B，∴a＞2．【点评】本题考查函数的定义域，考查集合的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=sin cos+cos2．（1）求方程f（x）=0的解集；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求角x的取值范围及此时函数f （x）的值域．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用两种方法解：法1：令f（x）=0得到一个方程，将方程左边提取cos化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，利用余弦函数的图象与性质及正切函数的图象与性质分别求出x的范围，即可得到方程的解集；法2：将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，令f（x）=0，整理后利用正弦函数的图象与性质求出x的范围，即为方程的解集．（2）利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式b2=ac代入，利用基本不等式变形得到cosB的范围，由B为三角形的内角，利用余弦函数的图象与性质得出此时B的范围，即为x的范围，将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出f（x）的值域．【解答】解：（1）法1：由f（x）=0，得sin cos+cos2=cos（sin+cos）=0，由cos=0，得=kπ+，∴x=2kπ+π（k∈Z）；由sin+cos=0，得tan=﹣，∴=kπ﹣，即x=2kπ﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|2kπ+π或2kπ﹣（k∈Z）}；法2：f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，由f（x）=0，得sin（x+）=﹣，可得x+=kπ﹣（﹣1）k（k∈Z），即x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z），则方程f（x）=0的解集为{x|x=kπ﹣（﹣1）k﹣（k∈Z）}；（2）∵b2=ac，且a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），∴由余弦定理得cosB==≥，又B为三角形的内角，∴0＜B≤，由题意得x=B，即x∈（0，]，f（x）=sinx+（cosx+1）=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵x+∈（，]，则此时函数f（x）的值域为[， +1]．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，余弦、正切函数的图象与性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．21．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．【解答】解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，由300=30k解得，k=10；故P=10v，当30≤v≤36时，设P=mv2，由300=302m解得，m=；故P=；（2）当0＜v≤30时，Y=（10v+480）=1000+，当30≤v≤36时，Y=（v2+480）•=v+；故Y=；（3）当0＜v≤30时，Y=1000+是减函数，当30≤v≤36时，Y=v+在[30，36]上是减函数；故Y在（0，36]上是减函数，故当x=36时，Y有最小值为×36+=（元）．【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和g（x）=；（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2，f（x）=0的两根为x3，x4，求使x1＜x2＜x3＜x4成立的a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为偶函数容易得到b=0，从而得到g（x）=，从而可判断出g（x）为奇函数；（2）由方程g（x）=x可以得到a2x2+bx+1=0，而根据该方程有两个不等实根便可得到b2＞4a2，由a＞0，便可得出b＞2a，或b＜﹣2a，进一步可以求出的范围，从而可判断出f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先得到，可设α为x1，x2中的一个数，从而可以得到，而根据便可得到．这时可讨论a，从而可以化简：a＞0时会得到a﹣a2＞0，可解出0＜a＜1；a＜0时会得到a﹣a2＜0，可以解出a＜0，这样便可求出a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1；∴b=0；∴；g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）=g（x）；∴g（x）为奇函数；（2）由g（x）=x得，；整理得，a2x2+bx+1=0，该方程有两个不等实根；∴△=b2﹣4a2＞0，a＞0；∴b＞2a，或b＜﹣2a；∴；f（x）的对称轴为；∴b＞2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，b＜﹣2a时，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；（3）由得，；设α为x1，x2中的一个数，则：；∵；∴；①若a＞0，则；两式联立可得（a﹣a2）α2＞0；∴a﹣a2＞0；∴0＜a＜1；②若a＜0，则；联立两式得（a﹣a2）α2＜0；∴a﹣a2＜0；∴a＞1，或a＜0；∴a＜0；∴综上得，a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，1）．【点评】考查偶函数、奇函数的定义及判断过程，一元二次方程实根的个数和判别式△的关系，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，解一元二次不等式．23．已知等差数列{a n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a n与x轴和指数函数的图象分别交于点A n与B n（如图所示），记B n的坐标为（a n，b n），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为s n．（1）求证数列{s n}是公比绝对值小于1的等比数列；（2）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b n，b n+1，b n+2为边长的三角形？并请说明理由；（3）（理科做，文科不做）设{a n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．（参考数据：210=1024）【考点】数列与函数的综合；归纳推理．【分析】（1）a n=p+（n﹣1）d，直角梯形A n A n+1B n+1B n的两底长度AnBn=f（a n），A n+1B n+1=f（a n+1）．高为A n A n+1 =d，利用梯形面积公式表示出s n．利用等比数列定义进行证明即可．（2）a n=﹣1+（n﹣1）=n﹣2，bn=（）n﹣2，以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n考查次不等式解的情况作解答．（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 S=＞2010，探讨p的存在性．【解答】解：（1）由等差数列通项公式可得a n=p+（n﹣1）d，…，对于任意自然数n， =，所以数列{s n}是等比数列且公比，因为d＞0，所以|q|＜1．…（写成，得公比也可）（2）a n=p+（n﹣1）=n+p﹣1，，对每个正整数n，b n＞b n+1＞b n+2若以b n，b n+1，b n+2为边长能构成一个三角形，则b n+2+b n+1＞b n，即，令n=﹣1，得1+2＞4，这是不可能的．所以对每一个正整数n，以b n，b n+1，b n+2为边长不能构成三角形．…（3）（理科做，文科不做），所以=如果存在p使得，即两边取对数得：p＜﹣log21340，因此符合条件的p值存在，log21340≈10.4，可取p=﹣11等．…说明：通过具体的p值，验证也可．【点评】本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力。
推荐学习高中三年级学习数学12月月考试题 理
公安一中2016届高三年级12月月考数学试题（理科）考试时间：12月28日7:50—9:50 试卷分值：150分 考试时长：120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ 2．已知集合22{230},{log (1)2}A x x x B x x =--≥=-<，则()R A B =ðA ．()1,3B ．()1,3-C ．()3,5D ． ()1,5-3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A ．5-B ．1-C ． 12- D ．125．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．2015 D ．20166．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．518 B ．-518 C ．79 D ．-797．若ln 2,5a b == 01,sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<8．已知函数()()()21sin ,02f x x ωω=->的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位()0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为A ．4π B ．2π C ．34π D ． π 9．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则-12m+n 的取值范围是A ]31,31[+-B ),31[]31,(+∞+⋃--∞ C. ]222,222[+- D. ),222[]222,(+∞+⋃--∞10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE 内(包括边界)的一个动点，设(),AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]3,4 C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知直线x=2与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于E 1、E 2两点，记2211,OE OE ==，任取双曲线C 上的点P ，若),(21R b a b a ∈+=，则A ．1022<+<b aB ．21022<+<b aC ．122≥+b aD ．2122≥+b a12．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误．．的是 A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，b ()3,4=，a b ⋅3=-，则向量a 在向量b 的方向上的投影是________． 14．若函数()1,021,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a =_________．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为________． 16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠=，6,8AC BC ==，D 为边AC上的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC =________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中，3339,S 22a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=,且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314n c c c c ++++<．18．(本小题满分12分)如图，ABC ∆中，三个内角B 、A 、C 成等差数列，且20,30AC BC ==． （1）求ABC ∆的面积；（2）已知平面直角坐标系xOy ,点()20,0D ,若函数()s i n ()(0,0,)2f x M x M π=ω+ϕ>ω>ϕ< 的图象经过A 、C 、D 三点，且A 、D 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．19． (本小题满分12分) 设点A （3-，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为32-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 过点F （1，0）且绕F 旋转，l 与圆5:22=+y x O 相交于P 、Q 两点，l 与轨迹C 相交于R 、S 两点，若|PQ|],19,4[∈求△F ′RS 的面积的最大值和最小值（F ' 为轨迹C 的左焦点）20． (本小题满分12分)小华同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标． （1）求发射器的最大射程；（2）请计算k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．21． (本小题满分12分)已知函数()e ,xf x x R =∈．(Ⅰ)若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值； (Ⅱ)设,a b R ∈，且()()()(),,,,22f a f b f a f b a b a b A f B C a b +-+⎛⎫≠===⎪-⎝⎭试比较,,A B C 三者的大小，并说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．（1）证明：AE BE =； （2）若9,7AG GC ==，求圆O 的半径．23．(本小题满分10分)选修4-4极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=,将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．（1）求曲线2C 的普通方程；（2）若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．(本小题满分10分)选修4-5不等式证明选讲已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+（a R ∈）的解集不是空集． （1）求实数a 的取值集合A ；（2）若,,b A a b ∈≠求证：a b b aa b a b >．第20题图图1图2公安一中2016届高三年级12月月考数学试题（理科）参考答案一、选择题 BABCB CDADB DC 二、填空题 35- 12- 10 73 三、解答题17. （1）1q =时，32n a =； …2分 ; 1q ≠时，116()2n n a -=⋅- …4分 （2）由题意知：116()2n n a -=⋅- ……6分 ∴2116()4n n a +=⋅∴2n b n = ……8分∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++ ………………10分∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+ ………………12分 18. （1）在△ABC 中，60A = …1分由余弦定理可知：2222cos60a b c bc =+- ……2分∴2205000c c --= 10c AB ∴==+ ……4分又∵20cos6010AO =⋅= BO ∴=1(102ABCS∴=+⨯=. ………………6分 (2)T=2×（20+10）=60,∴30πω= ………………8分 ∵(10)Msin((10))030f π-=⋅-+ϕ=sin()03π∴-+ϕ=，,3k k Z π∴-+ϕ=π∈2πϕ<，3π∴ϕ=。
推荐学习高中三年级学习数学12月阶段检测试题 文
2015-2016学年度高三一轮复习12月份阶段检测数学试卷(文)2015.12 一．选择题：(每小题5分，共50分) 1. 已知集合2|0x A x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，1|54,0⎧⎫==-->⎨⎬⎩⎭B y y t t t ，则R BC A =I ( ) A. (0,1] B. [1,2) C. [0,1] D. [1,2]2.设10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则f ( f (－2))＝( )A.－1B.14 C. 12 D. 323. 在ABC ∆中，已知︒=30A ，︒=45C ，2=a ，则ABC ∆的面积等于（ ）A ．2B ．13+C ．22D ．)13(21+ 4. “3=-m ”是“直线1:(1)30l mx m y +--=与直线2:(1)(23)20l m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5. 函数()x xx f ln 1+=的图象大致为( )6.设首项为1,公比为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则（ ） A.21n n S a =- B.32n n S a =- C.43n n S a =-D.32n n S a =-7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何 体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．６B ．９C ．12D ．188. 已知函数()3sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π， 则)(x f 的图象（ ）A ．关于直线4x π=对称 B ．关于点(,0)4π对称 C ．关于直线12x π=对称 D ．关于点(,0)12π对称9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点F 的弦⊥AB x 轴，E 为双曲线的右顶点，若ABE∆为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B．3 D10. ()f x 是定义域R 上的减函数，且()0>f x ，则2()()g x x f x =的单调情况一定是（ ） A. 在(,0)-∞上递增 B. 在(,0)-∞上递减 C. 在Ｒ上递增 D. 在上Ｒ递减 二、填空题（每题5分,共25分）11.过点(1,3)M 作圆221+=x y 的两条切线，切点为A ，B ，则=MA MB .12.正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线2y x =上，则它的边长为 .13.已知点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则=-z x y 的取值范围是 .14.设4,0,0,+=<>a b a b 则=a 时，1+aa b取得最大值. 15. 给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()(())f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数。
高三数学12月调研考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校一中2021级高三12月调研考试数学〔理〕试题一、单项选择题〔每一小题5分，一共60分〕1.集合，那么满足的集合的个数是〔〕A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】由题意可得结合，其中集合是集合的子集，利用子集个数公式可得：集合的个数是个.此题选择C选项.2.“〞是“〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“〞能推出“〞，反过来，“〞不能推出“〞，因为，所以是充分不必要条件，应选A.3.点在角的终边上，且，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，可得，解得或者〔舍去〕，可得，可得，应选.4.函数，那么的值是〔〕A.6B.12C.24D.36【答案】C【解析】∵，∴，，，∴．选C。
5.曲线，那么曲线在点P(2,4)的切线方程为()A.4x－y－4＝0B.x－y＋2＝0C.2x－y＝0D.4x＋y－8＝0【答案】A【解析】由题意可得：，那么：，据此可得切线方程为：，整理成一般式为：.此题选择A选项.6.上的偶函数满足，当时，，那么的零点个数为〔〕A.4B.8C.5D.10【答案】C【解析】∵，∴，故函数的周期T=2。
∵0≤x≤1时，且是R上的偶函数，∴﹣1≤x≤1时，，令，画出函数的图象，如以下图所示：由图象得函数和的交点有5个，∴函数的零点个数为5个。
选C．点睛：对于判断函数零点个数的问题，常转化为两函数图象的公一共点的个数的问题处理，解题时要合理构造出两个函数，然后在同一坐标系中画出两个函数的图象，通过观察两图象公一共点的个数确定函数零点的个数。
此类问题往往要用到函数的奇偶性、周期性等性质。
7.为了得到，只需将作如下变换〔〕A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】C【解析】试题分析：因为，所以只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，应选C.考点：图象平移变换.8.数列的前项和为，假设，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，得，即，由可知：，两式相减可得，即，故数列是从第二项起以2为公比的等比数列，那么，应选C.9.某几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如以下图所示的组合体，其体积，应选A.考点：1.三视图；2.多面体的体积.10.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点P在△COD的内部〔不含边界〕．假设,那么实数对〔x，y〕可以是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】如以下图，在平行四边形ABCD中，点P在△COD的内部〔不含边界〕，且。
2023-2024学年河南省新未来12月联考高三年级数学试卷+答案解析
2023-2024学年河南省新未来12月联考高三年级数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C.D.2.已知，则()A. B.C.iD.3.已知，为单位向量，若，则()A. B.C.D.4.若函数为偶函数，则实数()A.1B.0C.D.25.刍甍是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即其中h 是刍甍的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离，已知，和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍甍的体积为()A. B.C.D.6.若，，则()A.B. C. D.7.设等比数列的公比为q ，，设甲：乙：，则()A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知双曲线，点，，若C上存在三个不同的点M满足，则C的离心率的取值范围为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知圆，圆，则下列结论正确的是()A.若和外离，则或B.若和外切，则C.当时，有且仅有一条直线与和均相切D.当时，和内含10.已知正实数x，y满足，则()A. B.C.的最大值为0D.的最小值为11.已知，，若，则()A. B.C. D.12.在三棱锥中，平面ABC，，，P为内的一个动点包括边界，AP与平面所成的角为，则()A.的最小值为B.的最大值为C.有且仅有一个点P，使得D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则__________.14.已知函数，且为曲线的一条切线，则__________.15.设，是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，M为C上一个动点，且的取值范围为，则椭圆C的长轴长为__________.16.已知函数，若，且，则__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
高三数学12月调研考试试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校一中2021级高三12月调研考试数学〔文〕试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.设集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合补集的定义可得：.此题选择A选项.2.设是虚数单位〕，那么复数在平面内对应〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，那么复数在复平面内对应的点位于第一象限，此题选择A选项.3.设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，很明显，很明显函数在区间上单调递增，故，即：，那么：，据此有：，结合对数函数的单调性有：，即，综上可得：.此题选择B选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或者指数不一样，不能直接利用函数的单调性进展比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进展指数幂的大小比较时，假设底数不同，那么首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进展判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.如下列图的程序框图的算法思路源于数学名著几何本来中的“辗转相除法〞，执行程序框图〔图中“〞表示除以的余数〕，假设输入的分别为，那么输出的〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,应选C.考点：1、程序框图；2、辗转相除法.5.的外接圆的圆心为，半径为，且，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，即：,即外接圆的圆心为边的中点，那么是以为斜边的直角三角形，结合有：，那么向量在向量方向上的投影为.此题选择D选项.6.且满足约束条件，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域，如下列图，目的函数表示阴影局部中横纵坐标均为整数的点，结合目的函数的几何意义可得，由于不包括边界点，目的函数在点处获得最小值.此题选择C选项.7.定义运算，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由新定义的运算有：，函数图象向左平移个单位长度所得函数的解析式为：，该函数为偶函数，那么当时，应满足：，令可得的最小值为.此题选择B选项.8.在锐角中，角所对的边分别为，假设，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】结合三角形面积公式可得：，那么：，①锐角三角形中，由同角三角函数根本关系有：，结合余弦定理：可得：，那么：，②①②联立可得：.此题选择A选项.9.设曲线上任一点处的切线斜率为，那么函数的局部图象可以为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】由函数的解析式可得那么.该函数为奇函数,选项BC错误；且当时，，选项A错误；此题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项．10.某工件的三视图如下列图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为〔材料利用率=新工件的体积/原工件的体积〕〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】结合三视图可得该几何体为圆锥，其底面半径为1，高为2，圆锥的体积：，如下列图，将其加工成一个体积尽可能打的长方体新工件，此长方体底面边长为的正方形，高为，根据轴截面可得：，解得：，那么长方体的体积函数：，由可得：，结合导函数与原函数的单调性之间的关系可知：.那么利用率为：.此题选择A选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)假设所给几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用等积法、分割法、补形法等方法进展求解．11.函数在区间上的最小值为，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】分类讨论：当时，，此时有：，当时，，此时有：，综上可得：的取值范围是：.此题选择D选项.12.设函数，假设关于的方程有四个不同的实数解，且，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】作出函数f(x)的图象，由图可知,x1+x2=−4,x3x4=1；当时,x=4或者，那么;故，其在上是增函数，故；即；即的取值范围是.此题选择D选项.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.设，向量，且，那么__________.【答案】【解析】由题意可得：，，故：，据此可得：.14.是等差数列的前项和，假设，那么数列的公差为__________.【答案】【解析】由等差数列的前n项和公式可得：，结合题意有：，即：.15.三点都在体积为的球的外表上，假设，那么球心到平面的间隔为__________.【答案】【解析】设球的半径为R,那么,解得R=5.设△ABC的外接圆的半径为r,，解得r=4.∴球心O到平面ABC的间隔.故答案为：3.点睛：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最正确角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及表达这些元素之间的关系)，到达空间问题平面化的目的．16.曲线在点处的切线为，假设与曲线相切，那么_______.【答案】【解析】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线〔切线〕得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线〔曲线〕方程便可求得参数．视频三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.函数.〔1〕当时，解不等式；〔2〕当时，有解，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意零点分段可得不等式的解集为.(2)由题意结合绝对值不等式的性质可得的取值范围是.试题解析：〔1〕当时，，当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，无解，综上所述，不等式的解集为.〔2〕当时，有解，有解有解有解，因为，所以，所以，即实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．18.在中，角所对的边分别为，且满足.〔1〕求角的大小；〔2〕假设的面积为，求的周长.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理边化角，整理可得：，那么.(2)由题意结合面积公式可得，，那么的周长为.试题解析：〔1〕因为，所以，由正弦定理可得,即，又角为的内角，所以，所以，又，所以.〔2〕由，得，又，所以，所以的周长为.19.四棱锥中，底面，底面为菱形，为的中点.〔1〕证明：平面平面；〔2〕假设，求点到平面的间隔.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得平面，利用面面垂直的判断定理有平面平面......................试题解析：〔1〕因为底面，所以，连接，在菱形中，，所以为等边三角形，又为的中点，所以，又，所以平面，因为，所以平面，所以平面，平面平面.〔2〕因为，所以，在中，，同理，易知，设点到平面的间隔为，连接，由得，所以.20.设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意求得数列的公差为2，那么数列的通项公式为;(2)结合(1)的结论可得：，裂项求和可得：.试题解析：〔1〕设等差数列的首项为，公差为，那么，解得，或者〔舍去〕，故数列的通项公式为.〔2〕由，得，所以.21.如图，在四棱锥中，平面.〔1〕求证：平面；〔2〕假设为线段的中点，且过三点平面与线段交于点，确定的位置，说明理由；并求三棱锥的高.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可证得，，那么平面.(2)为的中点，由几何关系可知：点为过三点的平面与线段的交点，结合棱锥的体积公式可得三棱锥的高为.试题解析：〔1〕在直角梯形中，，，所以，即，又平面，所以，又，故平面.〔2〕为的中点，因为为的中点，为的中点，所以，且，又，所以，所以四点一共面，所以点为过三点的平面与线段的交点，因为平面，为的中点，所以到平面的间隔，又，所以，有题意可知，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以.设三棱锥的高为，解得，故三棱锥的高为.22.函数.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕当时，证明：对任意的，有.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合导函数的解析式分类讨论有：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；(2)原问题等价于在上恒成立，构造函数，据此可得，那么恒成立.试题解析：〔1〕由题意得，当时，由得且，那么①当时，在上单调递增，在上单调递减；②当时，在上单调递增，在上单调递减；③当时，在上单调递增；④当时，在和上单调递增，在上单调递减；〔2〕当时，要证在上恒成立，只需证在上恒成立，令，因为，易得在上单调递增，在上单调递减，故，由得，得，当时，；当时，，所以，又，所以，即，所以在上恒成立，故当时，对任意的，恒成立.。
高三数学12月学生学业能力调研考试试题 理
卜人入州八九几市潮王学校静海一中二零二零—二零二壹第一学期高三数学(理)12月学生学业才能调研卷考生注意：1.本套试卷分第一卷根底题〔130分〕和第二卷进步题〔20分〕两局部，一共150分。
2.试卷书写标准工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
知识技能学习才能 习惯养成总分 内容 数列 解析 函数 三角 规律总结 卷面整洁 15034354734203-5分第I 卷根底题〔一共130分〕一、选择题〔每一小题5分，一共20分〕1.1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，假设1290F PF ∠=，且12F PF ∆的三边长成等差数列，那么双曲线的离心率是〔〕A ．5B ．4C ．3D ．22.如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO =，那么FD FE ⋅的值是〔〕A ．34-B ．14-C ．89-D ．49- 3.函数21,0()2,0xog x x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充要条件是〔〕A ．01a a ≤>或B ．102a <<C ．0a >D ．0a ≤ 4．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,准线为l ,,A B 是抛物线上的两个动点,且,3AFB π∠=设线段AB 的中点M在l 上的射影为N ,那么MN AB的最大值是〔〕A ．12B.1C.32D.2 二、填空题：〔每一小题5分，一共35分〕5.在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，那么tan()2απ-的值是____________. 6.要得到函数sin cos y x x =+的图像，可以由函数sin cos y x x =-的图像向左平移得到，那么平移的最短长度为______________. 7设二次函数()24f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，且()14f ≤，那么2244a cu c a =+++的取值范围是____________.8.在直角坐标系中，圆1C 的方程为04422=--+y x y x，圆2C 的参数方程1cos ,1sin .x a y a αα=-+⎧⎨=-+⎩〔α是参数〕，假设圆1C 与圆2C 相切，那么实数a 的值是．a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，假设()1f x a ≥+对一切0x≥成立，那么a 的取值范围为______.10.c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，那么ABC ∆面积的最大值为____________.11. 〔1〕假设)1()1(x f x f -=-，那么函数)(x f 的图像关于直线1=x 对称;〔2〕)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图像关于直线0=x 对称;〔3〕2015sin 212+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x无最大值也无最小值;〔4〕xxy 2tan 1tan 2-=的最小正周期为π; 〔5〕)20(sin π≤≤=x x y 有对称轴两条，对称中心三个;_____．三、解答题：(一共75分)12.(12分) 〔Ⅰ〕求和：)0(11≠++++--ab b ab b a a n n n n；〔Ⅱ〕n n nb n a 3,2==，将数列{}n a 的各项依次作为数列{}nc 的奇数项，将数列{}n b 的各项依次作为数列{}n c 的偶数项，求数列{}n c 的通项公式；〔Ⅲ〕数列{}n a 满足),2(224,2111≥+-==∑=-n n ia a ni n i求数列{}n a 的通项公式. 13.(10分)(3sin cos ,1)a x x =-，(cos ,)b x m =，函数()f x a b =•()R m ∈的图象过点π(,0)12M .〔Ⅰ〕求m 的值以及函数()f x 的最小正周期和单调增区间；〔Ⅱ〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .假设cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．14.(12分)数列{}n a 前n 项和2n S n =.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设2n nna b =，求数列{}n b 的前n 项和n T；〔Ⅲ〕求使不等式12111(1)(1)(1)na a a +++≥n N*∈均成立的最大实数p 的值． 15.〔17分〕中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆，离心率e=)2． (Ⅰ)求该椭圆的方程； (Ⅱ)过点D (1，12)的直线(斜率存在)与该椭圆M 交于P 、Q 两点，且|DP |＝|DQ |，求此直线的方程； 〔Ⅲ〕过点E(1，0)的直线(斜率存在)与该椭圆M 交于P 、Q 两点，且|EP |＝2|EQ |，求此直线的方程； 〔Ⅳ〕设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．16.〔12分〕函数)1ln()(),(,12)(2+=∈+-=x x g R a x ax x f .〔Ⅰ〕x x g y -=)(在]1,0[上的最小值;〔Ⅱ〕存在(0,)x ∈+∞使不等式2(1)()2xa x f x e -->,务实数a 的取值范围;17.〔12分〕〔1〕记函数)1ln(12)(2+++-=x x ax x ϕ的图像为C ，l 为曲线C 在点)1,0(p 的切线，假设存在21≥a ,使直线l 与曲线C 有且仅有一个公一共点，求满足条件的所有a 的值； 〔2〕判断1sin =x x 〔(0,5)x ∈〕实根的个数；〔3〕完成填空第二卷进步题〔一共20分〕18.2)1x ()x (f -=，)1x (10)x (g -=，数列{}n a 满足2a 1=，0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+，1)a )(2n (109b n n -+=． 〔Ⅰ〕求证：数列{}1a n -是等比数列；〔Ⅱ〕当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；〔III 〕假设1m 1m m m b t b t ++<对任意*N m ∈恒成立，务实数t 的取值范围．静海一中二零二零—二零二壹第一学期高三数学(理)12月学生学业才能调研卷答题纸第一卷根底题〔一共130分〕一、选择题〔每一小题5分，一共20分〕二、填空题〔每一小题5分，一共35分〕.7..10.11.三、解答题〔本大题一一共5题，一共75分〕12.〔12分〕13〔10分〕14〔12分〕15〔17分〕16〔12分〕17〔12分〕第二卷进步题〔一共20分〕18〔20分〕。
2023届河南省部分重点高中高三年级上册学期12月联合考试数学(理)试题【含答案】
2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{|21,}A x x n n ==-∈N {}2|340B x x x =--≤A B = A ．B ．C ．D ．{1,3,5}{}113-,,{1,1}-{1,3}【答案】B【分析】先化简集合，然后利用交集运算即可得到答案B 【详解】由题意知，，即集合，234014x x x --≤⇒-≤≤{}|14B x x =-≤≤因为，{|21,}A x x n n ==-∈N 所以，{1,1,3}A B =- 故选：B.2．若，，则实数a 的取值范围为（ ）[2,0]x ∃∈-1202xx a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ A ．B ．C ．D ．(,8]-∞[8,)+∞(,1]-∞[1,)+∞【答案】D【分析】根据函数单调性的性质，结合存在性质的定义进行求解即可.【详解】因为，，[2,0]x ∃∈-1202xx a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭所以，，min 122x a x ⎛⎫⎛⎫≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[2,0]x ∈-显然在上单调递减，122xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[2,0]x ∈-所以，即实数a 的取值范围为.012012a ⎛⎫≥-⨯= ⎪⎝⎭[1,)+∞故选：D3．在△ABC 中，，若，则（ ）3DC BD =()R,R AB mAC nAD m n =+∈∈ 2m n -=A ．B ．C ．D ．733-1454-【答案】B【分析】根据平面向量基本定理求解可得，，进而可得答案.13m =-43n =【详解】由可得，则，即，，所以3DC BD = 3144AD AB AC=+ 4133AB AD AC =- 13m =-43n =.182333m n -=--=-故选：B ．4．已知点是角的终边上一点，则（ ）()4,3P αtan2α=A ．B ．C ．或D ．或133-3-13313-【答案】A【分析】利用三角函数的定义可求得、的值，再利用二倍角公式可求得的值.sin αcos αtan2α【详解】由三角函数的定义可得，，3sin 5α==4cos 5α==所以，.23sin 2sincossin 15222tan421cos 3cos2cos 1225αααααααα=====++故选：A.5．已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该π4π圆台外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D 1163π654π6516π【答案】B【分析】由题意，分情况讨论，利用其轴截面，根据勾股定理，可得答案.【详解】解：由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，轴截面如图所示，设球的半径为R ，，即，即2=(2212R -=214R -=+，即24R +-1-=，即，2=(2242R -=所以，即，则，22441R R -=--7=26516R =R =∴这个球的表面积是.2656544164S R πππ==⨯=故选：B.6．已知数列满足，且，则（ ）{}n a 12a =()112n n n n a na -=＋＋4a =A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】根据累加法求解即可.【详解】由，且，根据累加法可得：()112n n n n a na ++-=12a =()()()1122111122n n n n n na na n a n a n a a a a ---=--+---+⋅⋅⋅+-+，()123222222,2n n n n n ---=+++⋅⋅⋅++=≥所以，则.()2,2n n a n n =≥44244a ==故选：B7．已知为等差数列的前项和，，且，，则满足n S {}n a n 20202021S S <20212022S S >20212022a a >的最大的正整数（ ）n S >n =A ．2021B ．2022C ．4042D ．4043【答案】C【分析】根据等差数列的单调性，结合第项与前项的关系进行求解即可.n n 【详解】为等差数列，∵，且，{}n a 20202021S S <20212022S S >∴，，，2021202020210S S a -=>2022202120220S S a -=<20212022a a >即该等差数列的公差，0d <∴数列是递减的等差数列，当时，，当时，，{}n a 2021n ≤0n a >2022n ≥0n a <∵，∴，20212022a a >202120220a a +>，14041404120214041()404102a a S a +==>，，∴满足题意的最()()140424042202120224042202102a a S a a ⨯+==+>14043404320224043()404302a a S a +==<大的正整数，4042n =故选：C 8．已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设()f x ()0,∞+()()20f x xf x '+>()f x '()f x ，，，则（ ）()1a f =()2e e bf =()24c f =A ．B ．a b c >>a c b >>C ．D ．b a c >>b c a>>【答案】D 【分析】构造函数，再求导分析函数的单调性，进而结合判断大小关系即()()g x x =214e <<可.【详解】由，令，则()()20f x xf x '+>()()0f x x '>()()g xx =，所以函数在上单调递增，，所以.()()()0g x f x x ''=>()g x ()0,∞+214e <<b c a >>故选：D 9．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，()()320ax bx d a f x cx =+++≠()f x '()y f x =是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”()f x ''()f x '()0f x ''=0x ()()00,x f x ()y f x =．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则()323336f x x ax ax a -=++()f x ()g a 的值域为（ ）()g a A ．B ．[)1,14,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ()14,+∞C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦()1,14,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】计算函数的对称中心为，确定，求导得到单调区间，计算最()3243a a a +，()3286g a a a =+值得到答案.【详解】，，得，，()2363f x x ax a'=-+()660f x x a ''=-=x a =()3243f a a a =+即函数的对称中心为，()f x ()3243a a a +，函数存在极大值与极小值，设极值点为，，()f x 1x 2x ，即或．，2Δ36360a a =->0a <1a >()()()()3212286g a f x f x f a a a =+==+，()212412242g a a a a a ⎛⎫ ⎪⎝'=+=⎭+当和时，，函数单调递增；1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭()1,x ∈+∞()0g a '>当时，，函数单调递减.1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g a '<，，故的值域为．1122g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()114g =()g a ()1,14,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦ 故选：D10．已知，，且，则的最小值为（ ）1a >1b >ln 4ln 2a b +=4log lo e e g a b +A ．B ．C ．D ．129lg 2212252【答案】C【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.()4114log log ln 4ln 2ln e ln e a b a b a b ⎛⎫+=⨯++ ⎪⎝⎭【详解】，，因为，，故，，n e 1log l a a =44l l e og n b b =1a >1b >ln 0a >ln 0b >()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭，14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当时，即时等号成立．所以的最小值为．ln ln a b =25e a b ==4log lo e e g a b +252故选：C 11．已知函数定义域为，，是偶函数，设，则()f x R ()()22f x f x +=--+()14f x -()()g x f x '=下列选项中一定成立的有（ ）A ．B ．()00f =()40g =C ．D ．()()51f f =-()()02g g =【答案】A 【分析】确定为奇函数，是偶函数，函数周期为4，再依次判断每个选项得到答()2f x +()14f x -案.【详解】，所以为奇函数，故函数图象关于点对称，()()22f x f x +=--+()2f x +()f x ()2,0是偶函数，故，即，()14f x -()()1414f x f x -=+()()11f x f x +=-+函数图象关于直线对称，所以()f x 1x =()()()22f x f x f x +=--+=-所以，所以函数周期为4，()()4f x f x +=对选项A ：，故A 正确；()()020f f ==对选项B ：无法确定，错误；()4g 对选项C ：，错误；()()()()3115f f f f =-=-=-对选项D ：，故，即，，错误.()()2f x f x +=-()()2f x f x ''+=-()()2g x g x +=-()()02g g =-故选：A12．设函数，若关于x 的方程（）有四个实数解()()22241,1log 1,1x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩()f x a =a ∈R ，且，则的取值范围为（ ）1234,,,x x x x 1234x x x x <<<()()1234x x x x +-A ．B ．630,4⎛⎫⎪⎝⎭630,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．D ．63,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭63,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】作出函数图像，由图像得出函数单调性，再作直线由直线与函数图像交点得y a =满足的性质，再求得其范围．1234,,,x x x x 【详解】如图所示：因为关于x 的方程（）有四个实数解，且，，所()f x a =a R ∈1234,,,x x x x 1234x x x x <<<(1)3f -=以.的对称轴为，所以.0<<3a 2241y x x =--+=1x -122x x +=-因为，所以，即，()()2324log 1log 1x x -=-()()2324log 1log 10x x -+-=()()34111x x --=41x -=.因为，所以.311x -()23log 13x -<3928x <<所以，令，，()()()()1234123433111211x x x x x x x x x x ⎛⎫+-=+---=---⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭31t x =-1,18t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，为减函数，所以.12y t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭118t <<()()123416320,4x x x x t t ⎛⎫⎛⎫+-=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查方程解的问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图像交点问题，作出函数图像与直线，利用数形结合思想得出解具有的性质，然后再求解.二、填空题13．命题“，”的否定是__________．0R x ∃∈200510x x -+<【答案】，R x ∀∈2510x x -+≥【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】命题“，”的否定是，．0R x ∃∈200510x x -+<R x ∀∈2510x x -+≥故答案为：，R x ∀∈2510x x -+≥14．已知，，，则__________.(1,2)a =(2,)b m = ()a ab ⊥- ||a b -=【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，由，则，则，(1,2)a b m -=--()a a b ⊥- ()12(2)320a a b m m ⋅-=-+⨯-=-= 32m =所以，则.11,2a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ||a b -=15．写出一个同时满足下列性质的函数：__________.()fx =①定义域为R ；②；(0)0f ≠③设是函数的导函数，且.()f x '()f x ()22()(())2f x f x '+=(答案不唯一)x 【分析】根据三角函数的性质结合基本函数的导数公式即得.【详解】因为函数的定义域为R ，()f x x所以，，()00f =≠()f x x'=所以，()2222()(())2sin 2cos 2f x f x x x '+=+=所以满足题意.()f x x =.（答案不唯一）x 16．设函数（），若在上有且仅有5个极值点，则的π()cos sin 6fx x x ωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0ω>()f x [0,2π]ω取值范围是__________.【答案】138,63⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据极值的定义，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】π11π()cos sin cos cos cos sin 6226f x x x x x x x x x ωωωωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，[0,2π]x ∈πππ,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦令，则，6t x πω=+ππ,2π66t ω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦由函数（，）性质可知，若函数在上有且仅有5个极值点，sin y t =ππ2π66t ω≤≤+0ω>()f x [0,2π]只需，解得.9π11π2ππ262ω<+≤13863ω<≤故答案为：138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】关键点睛：利用函数极值与单调性的关系进行求解是解题的关键.三、解答题17．已知数列的前项和为，，，．{}n a n n S 11a =()()1211n n n n S n S n -=＋＋＋n *∈N (1)求；n S (2)设是数列的前项和，求．n T 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)；()12n n n S +=(2).21n n T n =+【分析】（1）由已知可推出，数列是首项为1，公差为的等差数列，即可解出，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1212n S n n +=进而解得；n S （2）由（1）可得，然后求和即可得到.11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭n T 【详解】（1）由题，可得，()()1112n n n n nS n S ++-+=1112n n S S n n +-=+又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，11111S a ==n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，即．()111122n S n n n +=+-=()12n n n S +=（2）由（1）可得，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴．11111122121223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭18．如图，在四棱锥中，为正方形，平面平面，是直角三角P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PAD 形，且，，，分别是线段，，的中点．4PA AD ==E F G PA PD CD(1)证明：平面；PB EFG (2)求三棱锥的体积．B EFG -【答案】(1)证明见解析(2)43【分析】（1）证明平面平面，根据平面，得到证明.PBC EFG PB ⊂PBC （2）确定B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，，计算得到答案.B EFG D EFG G EFD V V V ---==【详解】（1），，分别是线段，，的中点，故，，E F G PA PD CD EF AD BC ∥∥FG PC ∥平面，平面，平面，平面，EF ⊄PBC BC ⊂PBC FG ⊄PBC PC ⊂PBC 故平面，平面，EF PBC FG PBC ，平面，平面，平面平面，EF FG F ⋂=EF ⊂EFG FG ⊂EFG PBC EFG 平面，故平面．PB ⊂PBC PB EFG （2）连接，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面平面ABCD ＝AD ，PA ⊥AD ，DE PAD ⋂故PA ⊥平面ABCD ，平面，PA ⊥CD ，CD ⊂ABCD 四边形ABCD 为正方形，AD ⊥CD ，，平面，PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 故CD ⊥平面PAD ．GD ＝2，．12222EFD S =⨯⨯=△平面EFG ，故B ，C 两点到平面EFG 的距离相等，BC G 是线段CD 的中点，C ，D 两点到平面EFG 的距离相等，即B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，，11422333B EFG D EFG G EFD EFD V V V S DG ---===⨯⨯=⨯⨯=△三棱锥B －EFG 的体积为．4319．已知数列{}满足＝，＝，＝．n a 1a 42a 101n a ＋4n a 13n a -－(1)证明：{－}为等差数列，并求；1n a ＋3n a n a (2)设＝＋·，求数列{}的前项和．n b ()32log 1n a －()1n－nn b n n T 【答案】(1)证明见解析，31nn a =+(2)223,21,2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数【分析】(1)定义法证明等差数列, 应用等差数列通项公式可得通项,再构造等比数列, 应用等比数列通项公式计算即可.(2)分奇偶讨论,并应用等差数列求和公式计算即可得解.【详解】（1）根据题意得an ＋1＝4an －3an －1，可得an ＋1－3an ＝an －3an －1，又知a 2－3a 1＝－2，所以数列是首项为－2，公差为0的等差数列，{}13n n a a +-所以an －3an －1＝－2，即an －1＝3（an －1－1），又知a 1－1＝4－1＝3，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，{}1n a -所以．31n n a =+（2），()()32log 3121n nn n b n n n=+-⋅=+-⋅当n 为偶数时，前n 项和；()()()213212322n n n nT n n +=⋅+-++-+⋅⋅⋅+=+⋅当n 为奇数时，前n 项和，()21112222n n n n n T n n +-+-=+⋅-=⋅则223,21,2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数20．如图，在四棱锥中，，垂足为，平面，，P ABCD -AC BD ⊥O PO ⊥ABCD 4OB OD ==，．2OP =8OC =(1)证明：平面平面；PBD ⊥PAC (2)求直线与平面所成角的正弦值．PD PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据，证明平面即可AC BD ⊥PO AC ⊥AC ⊥PBD （2）计算到平面的距离为PBC S =△D PBC h =夹角得到答案【详解】（1）∵平面，平面，故，PO ⊥ABCD AC ⊂ABCD PO AC ⊥又，，平面，平面，AC BD ⊥PO BD O = PO ⊂PBD BD ⊂PBD 故平面，又平面．AC ⊥PBD AC ⊂PAC 平面平面PBD ⊥PAC（2）在中，由得Rt POB △222PB PO OB =+PB =在中，由得Rt POC △222PC PO OC =+PC =在中，由得Rt POD 222PD PO OD =+PD =在中，由得Rt BOC 222BC BO OC =+BC =在中，由，PBC 22222cos5PB BC PCPBC PB BC+∠===⨯-由可得π,PBC <∠<sin PBC ∠==11sin 22PBC S PB BC PBC =⋅⋅⋅∠=⨯=△设点到平面的距离为，D PBC h 由，得，P BCD DPBC V V --=111323PBC BD OC OP S h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯△即2PBC BD OC OPh S ⨯⨯===△设直线与平面所成的角为，则PD PBC θsin h PD θ===21．如图所示，在平面四边形中，，，．ABCD 2π5cos cos 24B B ⎛⎫++=⎪⎝⎭AB AC =24AD CD ==(1)求角的大小；B (2)当角为何值时，四边形的面积最大．D ABCD 【答案】(1)π3B =(2)5,86max D S π==【分析】（1）化简得到，计算得到答案.1cos 2B =（2）计算，，得到，根据三角函数的有4sin ACD S D =△ABCS D =△π8sin 3S D ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-界性得到最值.【详解】（1）因为，所以，2π5cos cos 24B B ⎛⎫++= ⎪⎝⎭25sin cos 4B B +=即，解得，，．251cos cos 4B B -+=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =（2），，为等边三角形，π3B =AB AC =ABC 在中，由余弦定理知：ACD，2222cos 164242cos 2016cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯=-而，11sin 42sin 4sin 22ACD S AD CD D D D =⋅=⨯⨯=△，211sin sin 2π23ABC S AB BC B AC D =⋅==⋅△四边形ABCD 的面积，π4sin 8sin 3ACD ABC S S SD D D ⎛⎫ ⎪=+=++-⎝⎭=△△，，当即时，取得最大值为，()0,πD∈π2π3π,33D ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ32D -=5π6D =S 8故四边形ABCD 面积的最大值为．822．已知函数.()ln f x x x x =+(1)求曲线在点处的切线方程；()y f x =(1,(1))f (2)若（）有两个零点，，且.2()()g x f x ax =-a ∈R 1x 2x 212x x >4e >【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；（2）由题可得，令，则，构造函数，2111122222ln 0ln 0x x ax x x x ax x ⎧-+=⎨-+=⎩21x t x =12(1)ln ln 21t t x x t ++=-(1)ln ()1t t g t t +=-求导判断单调性，即可求出，再利用基本不等式即可证明.()g t 1228e x x >【详解】（1），()ln 2f x x '=+则，即切线斜率为2，(1)2f '=又，(1)1f =则切线l 的方程为，即切线方程为.12(1)y x -=⨯-210x y --=（2）∵是的零点，，且，，12,x x ()f x 212x x >1>0x 20x >则，即，2111122222ln 0ln 0x x ax x x x ax x ⎧-+=⎨-+=⎩1122ln 1ln 1x ax x ax +=⎧⎨+=⎩∴，即，12211221ln ln 2ln ln x x x x a x x x x ++-==+-()21211221lnln 2x x x x x x x x ++=-令，则，则，21x t x =2t >12(1)ln ln 21t tx x t ++=-令，则.(1)ln ()1t t g t t +=-212ln ()(1)t tt g t t -=-'-令，则，则单调递增，1()2ln h t t t t =--22(1)()0t h t t -'=>()h t ∴，即，则单调递增，3()(2)2ln 202h t h >=->()0g t '>()g t ∴，()(2)3ln 2g t g >=∴，即，即，12ln 23ln 2x x +>1228ln 3ln22lne xx >-=1228e x x >（由于，故不取等号），得证.4e >>12x x ≠【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于得到后，令，则()21211221lnln 2x x x x x x x x ++=-21x t x =，进而构造函数，求导判断单调性，即可求出，12(1)ln ln 21t t x x t ++=-(1)ln ()1t t g t t +=-()g t 1228e x x >从而可证得结论.。
江苏省常州市联盟学校2024届高三上学期12月学情调研数学试题含答案解析
常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷2023.12出卷老师审卷老师考试时间120分钟本试卷共22大题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}|20A x x =-<，集合{}|21x B x =>，则A B = （）A.(2,)+∞ B.(0,2)C.(,2)-∞ D.R2.已知复数(12i)z ⋅-在复平面内对应点的坐标为3,1（），则z =（）A.17i 55+ B.1i 5+ C.1i 5- D.17i 55-3.已知(),2a m =- ，()3,4b = ，若a b，则32a b - =（）A .20B.15C.10D.54.如图所示，α为射线OA ，OB 的夹角，π4AOx ∠=，点(1,3)P -在射线OB 上，则πsin(3cos αα+=（）A.223+ B.232- C.2312+ D.2312-5.下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（）A.2xy = B.3y x =-C.cos2x y = D.2ln2x y x-=+6.设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（）A.13-B.0C.13D.2237.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP 棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L ，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L ，则PP 棉滤芯的层数最少为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）A.9B.8C.7D.68.设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A.(]1-∞-，B.(]168ln 2-∞--，C.2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， D.(]13-∞-，二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --- 的方差为7B .若()0.6,()0.8,(|)0.5P A P B P A B ===，则2(|)3P B A =．C.在一组样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，（2n ≥，12,,,n x x x ，不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-D.以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为ˆ40.3zx =+，则,c k 的值分别是0.3e 和410.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．则（）A.()f x 的图象关于π,012⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称B.()f x 在区间5π,23π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数()2sin 2g x x =的图象D.将函数()f x 的图象所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数π()2sin(46h x x =+的图象11.已知圆O ：224x y +=与圆22:2440C x y x y +-++=相交于A ，B 两点，直线:250l x y -+=，点P 为直线l 上一动点，过P 作圆O 的切线PM ，PN ，（M ，N 为切点），则说法正确的是（）A.直线AB 的方程为240x y -+= B.线段AB 的长为455C.直线MN 过定点48,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D.PM 的最小值是1．12.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（）A.从1移动到9，一共有34条不同的移动路线B.从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．C.若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为38D.若每次移动都是随机的，记()P i 为经过i 的概率，则()()()P P P >>789三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.34(1)(2)x x +-展开式中3x 项的系数为________．14.()()()7,8,10,4,2,4,ABC A B C - 中，则ABC S 为_________．15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙.若2S S =甲乙，则VV =甲乙__________.16.在数列求和中，裂项相消法是很常用的方法．例如在计算123n S n =+++⋯⋯+的过程中，可以选择将通项作如下处理：()()1112n a n n n n n ⎡⎤==---+⎣⎦，从而求出()()()11011212231122n n n S n n n n +⎡⎤=-⨯-⨯+⨯-⨯+⋯+--+=⎣⎦，类比上述方法，计算()12231n S n n =⨯+⨯+⋯++=______________，并由此结果推导出自然数的平方和公式2222123n +++⋯+=___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 满足12,63,7n n n a n a a n +-≤⎧=⎨≥⎩，*N n ∈且290a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式n S .18.在ABC中，a =，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+-=+（1）求角A ；（2）若点D 为BC 边上一点，34BD DC =且AD AC ⊥，求ABC 的面积.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，CA CB =，E ，F 分别是棱11,AA CC 上的点，平面BEF⊥平面11ABB A ，M 是AB的中点．（1）证明：//CM 平面BEF ；（2）若2AC AE ==，求平面BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．20.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且经过点2C （1）求椭圆方程（2）点A 为椭圆的上顶点，过点(1,0)B -的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别交x 轴于点M ，N ，若MN =l 的方程21.设函数2()ln ,()f x x g x x a==+（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象存在公切线，求a 的取值范围（2）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点1212,()x x x x <，求证：12x x +>22.甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．（1）若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．（2）若规定两人起始分都为2分，记()P i （0,1,2,3,4i =）为甲累计总分为i 时，甲最终获胜的概率，则(0)0,(4)1P P ==①求证{}(1)()P i P i +-（0,1,2,3i =）为等比数列②求(2)P 的值．常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研高三年级数学试卷2023.12出卷老师审卷老师考试时间120分钟本试卷共22大题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}|20A x x =-<，集合{}|21x B x =>，则A B = （）A.(2,)+∞B.(0,2)C.(,2)-∞ D.R【答案】B 【解析】【分析】求得集合{}|2A x x =<，{}|0B x x =>，根据集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}|20|2A x x x x =-<=<，{}{}|21|0xB x x x =>=>，根据集合交集的运算，可得{}|02A B x x ⋂=<<.故选：B.2.已知复数(12i)z ⋅-在复平面内对应点的坐标为3,1（），则z =（）A.17i 55+ B.1i 5+ C.1i 5- D.17i 55-【答案】A 【解析】【分析】由已知得到(12i)3i z ⋅-=+，利用复数的除法求出z 即可.【详解】由已知复数(12i)z ⋅-在复平面内对应点的坐标为3,1（），则(12i)3i z ⋅-=+，所以()()()()3i 12i 3i17i 17i 12i 12i 12i 555z ++++====+--+.故选：A.3.已知(),2a m =- ，()3,4b = ，若a b，则32a b - =（）A .20B.15C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行，求出m 的值，再结合向量的坐标运算求模.【详解】因为a b，所以：()4230m --⨯=⇒32m =-.所以：()()333,23,46,8222a b ⎛⎫-=---=-- ⎪⎝⎭ 所以：()36,8102a b -=--= .故选：C4.如图所示，α为射线OA ，OB 的夹角，π4AOx ∠=，点(1,3)P -在射线OB 上，则πsin(3cos αα+=（）A.22+B.22- C.2312+ D.2312-【答案】A 【解析】【分析】射线OB 所对的角为β，由三角函数的定义可得310sin 10β=，10cos 10β=-且π4βα=+，于是有π4αβ=-，再根据两角差的正、余弦公式可求得25sin 5α=，5cos 5α=，进而可得πsin(310α+=，代入求解即可.【详解】解：设射线OB 所对的角为β，则有310sin 10β==，10cos 10β==-，又因为π4βα=+，所以π4αβ=-，πsin sin((sin cos )425αβββ=-=-=，πcos cos()45αβ=-=，所以π1sin()sin cos 32210ααα+=+=，所以2π2515sin(310co 2s 535αα+=++=.故选：A.5.下列函数中，既是偶函数又在()0,2上单调递减的是（）A.2xy = B.3y x =-C.cos 2x y = D.2ln2x y x-=+【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.【详解】对于A ，函数()2x f x =的定义域为R ，关于原点对称，且()22()x x f x f x --===，所以函数()f x 为偶函数，当(0,2)x ∈时()2x f x =，函数()f x 单调递增，故A 不符合题意；对于B ，函数3()f x x =-的定义域为R ，关于原点对称，且33()()()f x x x f x -=--==-，所以函数()f x 为奇函数，由幂函数的性质知函数3y x =在R 上单调递增，所以函数3()f x x =-在R 上单调递减，故B 不符合题意；对于C ，函数()cos2xf x =的定义域为R ，关于原点对称，且()cos()cos()22x xf x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，当(0,2)x ∈时(0,1)2x ∈，又()0,10,2π⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，所以函数()cos2xf x =在(0,1)上单调递减，故C 符合题意；对于D ，函数2()ln 2xf x x-=+的定义域为(2,2)-，关于原点对称，且()()1222lnln()ln 222x x xf f x x x xx -+--==--+==--+，所以()f x 是奇函数，又112()22(2)(2)xf x x x x x '=-=-+-+，令()020f x x '<⇒-<<，令()002f x x '>⇒<<，所以函数()f x 在(2,0)-上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D 不符合题意.故选：C.6.设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（）A.13-B.0C.13D.223【答案】C 【解析】【分析】设12,PF m PF n ==，利用余弦定理可得22128cos 2m n F PF mn ∠+-=，再由向量表示可知122PF PF PO += ，即可得221222cos 1m n mn F PF ∠+=+；联立即可求得121cos 3F PF ∠=.【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得24m n a +==，122F F c ==；由余弦定理可知22128cos 2m n F PF mn ∠+-=；又因为122PF PF PO += ，所以()()22122PF PF PO += ，又OP =，即可得221222cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；又()222216210m n m n mn mn +=+-=-=，即3mn =；所以可得221281081cos 263m n F PF mn ∠+--===；故选：C7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的PP 棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L ，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L ，则PP 棉滤芯的层数最少为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）A.9B.8C.7D.6【答案】A 【解析】【分析】首先由条件抽象出经过n 层PP 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量y 的函数，再结合指对运算，解不等式.【详解】设经过n 层PP 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y ，则128018033n ny ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令28023n ⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，解得21340n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，两边取常用对数得21lg lg 340n ≤，即3lg lg 402n ≥即()lg3lg212lg2n-≥+，因为lg 20.30≈，lg 30.48≈，所以()0.480.30 1.60n -≥，解得809n ≥，因为*N n ∈，所以n 的最小值为9．故选：A 8.设函数21()4ln 2f x x x a x =-+，若函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，且不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，则t 的取值范围为（）A.(]1-∞-，B.(]168ln 2-∞--，C.2e 4e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， D.(]13-∞-，【答案】D 【解析】【分析】先求导，然后根据导函数和极值点的关系求出1212,x x x x +及a 的范围，然后代入()1212()()f x f x x x +-+，构造函数求最值即可.【详解】函数()f x 定义域为()0,∞+，24()4,0a x x af x x x x x-+'=-+=>，又函数()y f x =存在两个极值点12,x x ，所以方程240x x a -+=在()0,∞+上有两个不相等的正实数根，则1212Δ1640400a x x x x a =->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得04a <<，又()2212121112221211()()4ln 4ln 22f x f x x x x x a x x x a x x x +-+=-++-+--()()()212121212125ln 2x x x x x x a x x ⎡⎤=+--++⎣⎦[]116220ln ln 122a a a a a a =--+=--设()ln 12,04h a a a a a =--<<，则()ln h a a '=，当01a <<时，()0h a '<，()h a 单调递减，当14a <<时，()0h a '>，()h a 单调递增加，()()min 113h a h ==-因为不等式1212()()f x f x x x t +≥++恒成立，即()1212()()f x f x x x t +-+≥恒成立，所以13t ≤-.故选：D.二、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9.下列命题正确的是（）A.若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --- 的方差为7B.若()0.6,()0.8,(|)0.5P A P B P A B ===，则2(|)3P B A =．C.在一组样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，（2n ≥，12,,,n x x x ，不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-D.以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为ˆ40.3zx =+，则,c k 的值分别是0.3e 和4【答案】BD 【解析】【分析】利用方差的概念，条件概率公式，线性回归分析等知识分别对每个选项逐一判断即可.【详解】对于选项A ：若样本数据126,,,x x x 的方差为2，则数据12621,21,,21x x x --- 的方差为22287⨯=≠，故A 不正确；对于选项B ：若()0.6,()0.8,(|)0.5P A P B P A B ===，则()()(|)0.80.52(|)()()0.63P AB P B P A B P B A P A P A ⨯====，故B 正确；对于选项C ：在一组样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，（2n ≥，12,,,n x x x ，不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n = 都在直线112y x =-+上，其中12-是线性回归方程的一次项系数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈正相关关系，为负时呈负相关关系，故C 不正确；对于选项D ：以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设ln z y =，则ln ln ln e ln kx z y c c kx ==+=+，由题线性回归方程为ˆ40.3zx =+，则ln 0.3,4c k ==，故,c k 的值分别是0.3e 和4，故D 正确.故选：BD .10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．则（）A.()f x 的图象关于π,012⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称B.()f x 在区间5π,23π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数()2sin 2g x x =的图象D.将函数()f x 的图象所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数π()2sin(46h x x =+的图象【答案】ABD 【解析】【分析】由题意首先求出函数()f x 的表达式，对于A ，直接代入检验即可；对于B ，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD ，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.【详解】由图象可知2A =，5ππ12π41264T ω=-=⨯，解得π,2T ω==，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，结合π2ϕ<，可知π0,6k ϕ==，所以函数()f x 的表达式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，对于A ，由于πππ2sin 01266f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象关于π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故A 正确；对于B ，当5π,2π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π7π25π7π9π2,,62622t x ⎡⎤⎡⎤=+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由复合函数单调性可知()f x 在区间5π,23π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 正确；对于C ，函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可以得到函数()πππ2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，将函数()f x 的图象所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数π()2sin(4)6h x x =+的图象，故D 正确.故选：ABD.11.已知圆O ：224x y +=与圆22:2440C x y x y +-++=相交于A ，B 两点，直线:250l x y -+=，点P 为直线l 上一动点，过P 作圆O 的切线PM ，PN ，（M ，N 为切点），则说法正确的是（）A.直线AB 的方程为240x y -+= B.线段AB的长为5C.直线MN 过定点48,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.PM 的最小值是1．【答案】BCD 【解析】【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A ；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段AB 的长，判断选项B ；设()()1122,,,M x y N x y ，可得直线PM 方程和直线PN 的方程，用点P 坐标表示出直线MN 的方程，即可求出定点坐标判断选项C ；当PO 最小时，PM 最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D.【详解】由题知，联立222242440x y x y x y ⎧+=⎨+-++=⎩，两式相减得240x y --=，即直线AB 的方程为240x y --=，A 错；联立222242440x y x y x y ⎧+=⎨+-++=⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩或8565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以455AB ==，B 正确；对于C ，设()()1122,,,M x y N x y ，因为M ，N 为圆O 的切点，所以直线PM 方程为114xx yy +=，直线PN 的方程为224xx yy +=，又设()00,P x y ，所以0101020244x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，故直线MN 的方程为004x x y y +=，又因为00250x y -+=，所以()02540x y y x +--=，由20540x y x +=⎧⎨--=⎩得4585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线MN 过定点48,55⎛⎫-⎪⎝⎭，C 正确；因为222PM OM PO +=，所以当PM 最小时，PO 最小，且PO 最小为=所以此时1PM==，D 正确.故选：BCD12.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一条移动路线，（）A.从1移动到9，一共有34条不同的移动路线B.从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有15条．C.若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的概率为38D.若每次移动都是随机的，记()P i 为经过i 的概率，则()()()P P P >>789【答案】AB 【解析】【分析】画出树状图，结合图形及古典概型即可求解.【详解】画出树状图，结合图形则从1移动到9，一共有34条不同的移动路线，A 正确；从1移动到9过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线，即上图倒数第三行有9的路线，有15条，B 正确；若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条，则其概率为517，C 错误；若每次移动都是随机的，记()P i 为经过i 的概率，则()P =91为最大值，()P <71，D 错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.34(1)(2)x x +-展开式中3x 项的系数为________．【答案】8【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得34(1)(2)x x +-展开式中3x 项的系数．【详解】由题意可知：4(2)x -展开式的通项公式为()414C 2,0,1,2,3,4rr rr T xr -+=⋅⋅-=,所以34(1)(2)x x +-展开式中3x 项的系数为()()44144C 2C 21688⨯-+⨯-=-=.故答案为：8．14.()()()7,8,10,4,2,4,ABC A B C - 中，则ABC S 为_________．【答案】28【解析】【分析】用向量的方法，借助平面向量数量积的有关计算求角A ，然后用三角形的面积公式求解.【详解】因为：()3,4AB =- ，()5,12AC =--,所以：5AB = ，13AC = ，()()()·3541233AB AC =⨯-+-⨯-= ，所以：3333cos ,51365AB AC ==⨯ ，所以,AB AC 为锐角，且56sin ,65AB AC = .所以：1156··sin ,513282265ABC S AB AC AB AC ==⨯⨯⨯=.故答案为：2815.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3π2，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙.若2S S =甲乙，则VV =甲乙__________.【答案】5【解析】【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，根据圆锥的侧面积公式可得122r r =，再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，则11222S rl rS r l r ππ===甲乙，所以122r r =，又122π2π3π2r r l l +=，则1234r r l +=，所以12,24l lr r ==，所以甲圆锥的高132h l ==，乙圆锥的高2154h ==，所以2211222113π34215115π3164r h l lV V r h ⨯===甲乙.故答案为：5.16.在数列求和中，裂项相消法是很常用的方法．例如在计算123n S n =+++⋯⋯+的过程中，可以选择将通项作如下处理：()()1112n a n n n n n ⎡⎤==---+⎣⎦，从而求出()()()11011212231122n n n S n n n n +⎡⎤=-⨯-⨯+⨯-⨯+⋯+--+=⎣⎦，类比上述方法，计算()12231n S n n =⨯+⨯+⋯++=______________，并由此结果推导出自然数的平方和公式2222123n +++⋯+=___________．【答案】①.()()1123n n n ++②.()()11216n n n ++【解析】【分析】根据题设的方法，()()()()()1111123n n n n n n n n ⎡⎤+=--+-++⎣⎦，可求空①，进而然后利用()21n n n n =+-求空②.【详解】对于()12231n S n n =⨯+⨯+⋯++，其中求和项()()()()()1111123n a n n n n n n n n ⎡⎤=+=--+-++⎣⎦，∴()()()()()()121012123123234111233n n n n S n n n n n n ++⎡⎤=-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++-+-++=⎣⎦ 又∵()21n n n n =+-，∴()22221231212321n n n n+++⋯+=⨯-+⨯-+++- ()()1223112n n n =⨯+⨯+⋯++-++⋯+()()()12132n n n n n +++=-()()1216n n n ++=.故答案为：()()1123n n n ++；()()11216n n n ++.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列{}n a 满足12,63,7n n n a n a a n +-≤⎧=⎨≥⎩，*N n ∈且290a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式n S .【答案】（1）7132,73,7n n n n a n --≤⎧=⎨->⎩（2）2612,7733,72n n n n n S n -⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩【解析】【分析】（1）根据递推公式判断数列是否等差、等比，再根据等差、等比求通项；（2）分段求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意：数列{}n a 的前7项成等差数列，公差2d =-，从第7项起成等比数列，公比3q =.290a a +=⇒27750a d a q -+=⇒71a =-.当7n ≤时，()77213n a a n d n =+-=-+当7n >时，7773n n n a a q--==-所以：7213,73,7n n n n a n --+≤⎧=⎨->⎩.【小问2详解】当7n ≤时，()12122n n n a a S n n +==-+，当7n >时，789···n n S S a a a =++++()7631373335132n n -----=+=-，所以：2612,7733,72n n n n n S n -⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩.18.在ABC 中，a =，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+-=+（1）求角A ；（2）若点D 为BC 边上一点，34BD DC =且AD AC ⊥，求ABC 的面积.【答案】（1）2π3（2）332【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系和正弦定理化简原式，结合余弦定理求解2221cos 22b c a A bc +-==-进而得到答案；（2）根据已知条件转化为向量关系，通过向量数量积运算得到23c b =，结合余弦定理得到2219b c bc =++，两式联立得到32,32b c b ===，结合三角形面积公式即可得到答案.【小问1详解】因为sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+-=+，所以222sin sin sin cos cos B C C B A +=-，即()()22222sin sin sin 1sin 1sin sin sin B C C B A A B +=---=-，在ABC 中，由正弦定理得，222bc c a b +=-，即222b c a bc +-=-，在ABC 中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==-，又因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】如图所示，因为34BD DC =，所以()33437777AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+因为AD AC ⊥，所以0AD AC ⋅=，所以43077AB AC AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，所以43077AB AC AC AC ⋅+⋅= ，即24130727bc b ⎛⎫⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，即223cb b =，又因为0b ≠，所以23c b =，在ABC 中，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即2219b c bc =++，代入32c b =，解得2b =±（负值舍去），所以32,32b c b ===，所以11333sin 232222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，CA CB =，E ，F 分别是棱11,AA CC 上的点，平面BEF ⊥平面11ABB A ，M 是AB的中点．（1）证明：//CM 平面BEF ；（2）若2AC AE ==，求平面BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）过F 作FD EB ⊥交BE 于D ，应用垂直于同一个平面的两直线平行可证//CM FD 即可；（2）以1,,CA CB CC 为x ，y ，z 轴建系，应用空间向量求二面角的余弦值.【小问1详解】过F 作FD EB ⊥交BE 于D ，因为平面BEF⊥平面11ABB A ，平面BEF I 平面11ABB A BE =，FD ⊂平面BEF ，则FD BE ⊥，FD ∴⊥平面11ABB A ，M 为中点，且CA CB =，CM AB ∴⊥，又1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1AA CM ∴⊥，又1,AB AA ⊂平面11ABB A ，1AB AA A ⋂=，CM ∴⊥平面11ABB A ，//CM FD ∴，CM ⊄平面BEF ，FD ⊂平面BEF ，//CM ∴平面BEF ．【小问2详解】//CM DF ，∴可确定一平面CMDF ，1//CF AA ，CF ⊄平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A //CF ∴平面11ABB A ，CF ⊂平面CMDF ，平面CMDF ⋂平面11ABB A MD =，//CF MD ∴，∴四边形CMDF 为平行四边形，12AE CF MD ∴===以1,,CA CB CC 为x ，y ，z 轴建系，则(0,2,0),(2,0,2),(0,0,1)B E F ，设(),,m x y z=为平面BEF 的法向量，(,,),(,,)EF BF =--=-201021 ，则00m EF m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020x z y z +=⎧⎨-=⎩，令1x =，则1,2y z =-=-，(),,m ∴=--112 是平面BEF 的一个法向量，()0,0,1n = 为平面ABC的一个法向量，cos ,m n ==23平面BEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为3.20.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点2C （1）求椭圆方程（2）点A 为椭圆的上顶点，过点(1,0)B -的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别交x 轴于点M ，N，若MN =l 的方程【答案】（1）2214x y +=（2）210x y -+=或330x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意列式求22,a b ，即可得结果；（2）分类讨论直线l 是否为x 轴，设l 方程为1x my =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，根据题意整理得121212(1)()1()--=-++m y y MN y y y y ，联立方程结合韦达定理分析求解.【小问1详解】因为22222314==+=c b e a a ，可得224a b =，又因为点31,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，则221314a b +=，联立解得224,1a b ==，所以椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】若直线l 为x 轴时，4MN =不符合条件；若直线不与x 轴平行时，设l 方程为1x my =-，1122(,),(,)P x y Q x y，由A ，P ，M 三点共线可得1110100--=--M y x x ，则111M x x y =-，同理可得221N x x y =-，所以()()()1212121212121211111111m y y x x my my MN y y y y y y y y ----=-=-=-----++，联立方程22114x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(4)230m y my -+-=，则22244(4)(3)48160∆=-+-=+>m m m ，可得12122223,44m y y y y m m -+==++，则122434-=+y y m ，可得22423144+=--+++m m m m ，整理得23720m m -+=，解得2m =或13m =，所以所求直线方程为210330x y x y -+=-+=或．【点睛】方法点睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21.设函数2()ln ,()f x x g x x a==+（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象存在公切线，求a 的取值范围（2）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点1212,()x x x x <，求证：12x x +>【答案】（1）1ln 2,2a +⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设公切线与(),()y f x y g x ==分别相切于21122(,ln ),(,)x x x x a +，写出对应切线方程，根据公切线列方程得到1211ln 14a x x =+-在(0,)+∞上有解，构造中间函数研究参数范围；（2）分析法，将问题化为证1211221ln(21x x x x x x +>-，应用换元法及导数证明不等式即可.【小问1详解】设公切线与(),()y f x y g x ==分别相切于21122(,ln ),(,)x x x x a +，则直线1111ln ()-=-y x x x x 与直线22222()y x a x x x --=-为同一条直线，2121212ln 1x x x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，消去2x 得1211ln 14a x x =+-，要有公切线存在，即上述关于1x 的方程在(0,)+∞上有解，设21()ln 14h x x x =+-且,()0x ∈+∞，则2331121()22x h x x x x-'=-=，所以min 1ln 2()(22h x h +==-，即1ln 2,2a +⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】由12,x x 是()F x 的两个零点，则221122ln ,ln x x a x x a =+=+，两式相减得112122ln()()()x x x x x x =-+，则1212121121122221()ln()ln()1x x x x x x x x x x x x x x +++==--，要证12x x +>12,x x 均为正数，只需212()2x x +>，即证1211221ln(21x x x x x x +>-，令12(0,1)x t x =∈，也就是证明122ln 2ln ,(0,1)11t t t t t t t +->⇔<∈-+下面证明22ln ,(0,1)1t t t t -<∈+：构造函数22()ln ,(0,1)1t G t t t t -=-∈+，则22214(1)()0(1)(1)t G t tt t t -'=-=≥++，所以()G t 在(0,1)t ∈上递增，则()(1)0G t G <=，即有22ln 1t t t -<-恒成立，所以12x x +>.【点睛】关键点点睛：第二问，应用分析法将问题转化为证1211221ln()21x x x x x x +>-为关键.22.甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．（1）若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．（2）若规定两人起始分都为2分，记()P i （0,1,2,3,4i =）为甲累计总分为i 时，甲最终获胜的概率，则(0)0,(4)1P P ==①求证{}(1)()P i P i +-（0,1,2,3i =）为等比数列②求(2)P 的值．【答案】（1）0.0348（2）①证明见解析；②413【解析】【分析】（1）根据题意设出事件，分类求解恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率.（2）由题分析得出(1),()P i P i +之间的递推公式，进而证明{}(1)()P i P i +-（0,1,2,3i =）为等比数列，并求出数列{}(1)()P i P i +-的通项，由累加法求出(2)P 的值.【小问1详解】记在每一轮比赛中甲得为事件A ，()0.510.60.2P A =⨯-=（），乙得为事件B ，()10.50.60.3P B =-⨯=（），得0分为事件C ，()()()10.5P C P A P B =-=-．记“恰好经过4轮比赛，甲获胜”为事件D则121232()C 0.20.50.2C 0.20.30.20.0348P D =⋅⋅+⋅⋅=，所以恰好经过4轮，甲赢得比赛的概率为0.0348.【小问2详解】记甲累计总分为i 时，甲最终获胜为事件M ，则()()(|)()(|)()(|)P M P A P M A P B P M B P C P M C =⋅+⋅+⋅即()0.2(1)0.3(1)0.5()P i P i P i P i =⋅++-+整理可得3(1)()(()(1))2P i P i P i P i +-=--且显然(1)(0)(1)0P P P -=≠，{}(1)()(0,1,2,3)P i P i i ∴+-=为等比数列，且首项为(1)P ，公比为32，②(1)(0)(1)P P P -=，3(2)(1)(1)2P P P -=，9(3)(2)(1)4P P P -=，27(4)(3)(1)8P P P -=，叠加可得65(4)(0)(1)8P P P -=，而8(1)65P =，54(2)(1)213P P ∴==【点睛】方法点睛：根据题意得到(1),()P i P i +之间的递推关系，再利用数列递推公式进行求解，概率与数列综合题目.。
2023届上海市比乐中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2023届上海市比乐中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．设全集，，，则___________.=R U {1,2,3,4}A ={|23}B x x =≤≤A B = 【答案】##{1,4}{4,1}【分析】根据补集贺交集的定义即可得解.【详解】解：因为，{|23}B x x =≤≤所以或，{2B x x =<}3x >所以.{}1,4A B = 故答案为：.{1,4}2．已知角的终边过点，则__________.α()2,1P -sin α=【分析】根据三角函数的定义，结合已知条件，直接求解即可.【详解】因为角的终边过点，故可得.α()2,1P -sin y rα===3．若复数满足，其中为虚数单位，则_________．z 31z z i +=+i z =【答案】1142i +【详解】设，则(,)z a bi a b R =+∈113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【解析】复数相等，共轭复数4．设向量，若，则______________.(1,1),(1,24)a b m m =-=+- a b ⊥ m =【答案】5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由可得，a b ⊥0a b ⋅= 又因为，(1,1),(1,24)a b m m =-=+-所以，1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=即，5m =故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.5．已知集合，，则____________．{}13M x x =-≤133x N x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭M N ⋂=【答案】[]1,4-【分析】分别求出集合,再求交集即可.,M N 【详解】由题意得，，所以．[]2,4M =-[)1,N =-+∞[]1,4M N ⋂=-故答案为：[]1,4-6．如果，为第三象限角，则________．sin α=α3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】13【分析】由条件为第三象限角，可求出，再由诱导公式可得sin α=α1cos 3α=-，从而可得答案.3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【详解】由为第三象限角,有.sin α=α1cos 3α==-由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭故答案为：13【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.7．已知向量，若，则________．(2,2),(1,)a b m == |2|||a b a b -=+ a b ⋅= 【答案】4【分析】根据已知条件，由，可得，即，从而即可求|2|||a b a b -=+()()222a ba b-=+ 212a b a⋅= 解.【详解】解：因为，所以，即，|2|||a b a b -=+()()222a ba b-=+ 2222442aa b b a a b b -⋅+=+⋅+所以，221122a b a a⋅== 又，所以，(2,2)a =222228a =+= 所以，4a b ⋅= 故答案为：4.8．设正数满足，则的最小值是_____________.x y 、222log (3)log log x y x y ++=+x y +【答案】6【分析】由题设知，再由，得到，所以，设3x y xy ++=2220x xy y -+ 2224x xy y xy ++ 2()4x y xy + ，由此可求出的取值范围得答案．x y a +=x y +【详解】解：正数，满足，，x y 222log (3)log log x y x y ++=+22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=又，所以左右加上得到，所以，2220x xy y -+ 4xy 2224x xy y xy ++ 2()4x y xy + 由得到，3x y xy ++=2()34x y x y +++设，即，x y a +=2412a a + 解得或，即或．6a ≥2a ≤-(],2a ∈-∞-[)6,+∞根据定义域，均大于零，所以取值范围是．所以的最小值是6，x y x y +[)6,+∞x y +故答案为：．69．等比数列的首项，前项和为，若，则______．{}n a 11a =-n n S 1053132S S =lim n n S →∞=【答案】23-【分析】设等比数列的公比为，由可求出，从而可求出，进而可求出q 1053132S S =q n S lim nn S →∞【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，q1q ≠因为，1053132S S =所以，化简得，10151(1)311(1)321a q qa q q --=--531132q +=，得，5132q =-12q =-所以，1112(1)211113212n n n n a q S q ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===---⎢⎥⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭所以，2lim li 12323m 1n n n nS →∞→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=---=-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭故答案为：23-10．如图，函数图像与轴交于点，与轴交于点()()0,02πy x ωϕωϕ=+>≤<y 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭x ，则______.2π,03⎛⎫⎪⎝⎭ωϕ+=【答案】2π23+【分析】由题意得或，且，，结合图象有求范围，2π3ϕ=π3ϕ=2ππ3k ωϕ+=Z k ∈32π1432T T >>ω即可确定参数值.【详解】由题设且，322πsin()03ϕωϕ=⎨⎪+=⎪⎩0,02πωϕ>≤<所以或，且，，2π3ϕ=π3ϕ=2ππ3k ωϕ+=Z k ∈当时，，，故，，2π3ϕ=2π2ππ33k ω=-Z k ∈312k ω=-Z k ∈当时，，，故，，π3ϕ=2πππ33k ω=-Z k ∈312k ω-=Z k ∈由图知：，可得，33π2π1π4232T T ωω=>>=3924ω<<综上，时，此时，故.2k =32122ω⨯=-=2π3ϕ=ωϕ+=2π23+故答案为：2π23+11．设函数若不等式的解集为则实数的取值范2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩()3f x ≤(],3,-∞a 围为___________.【答案】(]1,3【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】，且，设函数，若不等式的解集是，，0a >1a ≠21()21xa x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩()3f x (-∞3]当时，，可得，解得；1x 2|2|3x x - 2323x x -- 13x 当，即时，，不等式恒成立可得．1x <(,1)x ∈-∞3xa 13a < 综上可得．13a < 实数的取值范围为：，．∴a (13]故答案为：，．(13]【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12．如图，已知的一段圆弧上的一点，若，则的P2π3AB 2AC CB = PC PA ⋅取值范围是__________．【答案】3⎡⎤-⎣⎦【分析】建立如图平面直角坐标系，运用坐标法可得，即可讨论值域PCPA ⋅3α=-【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，，)2π,0,3Pααα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)B，，32A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭32BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由，则，即有，23AC CB AB CB =⇒=1132OC OB BA ⎫=+=⎪⎪⎭12C ⎫⎪⎪⎭13,,22PC PA αααα⎫⎛⎫⋅=⋅⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭3α=-∵，∴.[]sin 0,1α∈3PC PA ⎡⎤⋅∈-⎣⎦故答案为：3⎡⎤-⎣⎦二、单选题13．给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”l αl αl α的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，若“直线与平面垂直”则“直线垂直于平面内无数条直线”成立的，所以充分l αl α性是成立的；若“直线垂直于平面内无数条直线”则直线“直线不一定平面垂直”，所以必要性不成立，l αl α所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”成立的充分不必要条件．l αl α故选A ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．14．已知为非零向量，则在方向上的投影为（ ）,a b a bA ．B ．C ．D ．||a b b ⋅ ||a b a ⋅2a b b b ⋅2a b b a ⋅【答案】A【分析】根据向量数量积的定义及几何意义即可求得在方向上的投影.a b【详解】解：设向量的夹角为，则在方向上的投影为,a b θa b cos a θ 又由向量数量积的定义知，所以，即则在方向上的投影为.cos a b a b θ⋅=⋅⋅cos a b a bθ⋅=a b||a b b ⋅ 故选：A.15．已知均为复数，则下列命题不正确的是（ ）z A ．若则为实数B ．若，则为纯虚数z z =z 20z <z C ．若，则为纯虚数D ．若，则|1||1|z z +=-z 31z =2z z=【答案】C【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到(,)z a bi a b R =+∈答案.【详解】由题意，设复数，(,)z a bi a b R =+∈对于A 中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A 正确；z z =a bi a bi +=-0b =z 对于B 中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是2222z a b abi =-+20z <00a b =≠，z 正确的；对于C 中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确；0z =|1||1|z z +=-z对于D 中，由，可得，即，解得或，31z =310z -=2(1)(1)0z z z -++=1z =12z =-所以，所以是正确的.2z z =故选C.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是（ ）,,αβγl A ．若，则内一定存在直线平行于αβ⊥αβB ．若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于αβαβC ．若，，，则αγ⊥βγ⊥l αβ= l γ⊥D ．若，则内所有直线垂直于αβ⊥αβ【答案】D【分析】对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项.【详解】画出一个正方体如下图所示.平面平面，而，即ABCD EFHG -ABCD ⊥ADHE //EH AD 平行于这两个垂直平面的交线，有平面，故选项命题是真命题，且选项命题是假//EH ABCD A D 命题.根据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面和平面ADHE 同时垂直于平面，它们的交线也垂直平面，故选项C 命题是真命题.综上所ABFE ABCD AE ABCD 述，本题选D.【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题.三、解答题17．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为P ABCD -PA ABCD ABCD 24PA =E 侧棱的中点.PC(1)求四棱锥的体积；E ABCD -V (2)求直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【答案】(1)；83(2)【分析】（1）利用锥体的体积公式即得；（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为P ABCD -PA ABCD ABCD 4PA =E 侧棱的中，PC 所以，点到平面为高，E ABCD 122h PA ==又因为，4ABCD S =正方形所以，四棱锥的体积；E ABCD -11842333ABCD V S h =⋅=⨯⨯=正方形（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，A则，，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,0,4P ()1,1,2E ()0,2,0D 所以，，，()1,1,2BE =-()0,2,4DP =-()2,0,0DC =设平面的法向量，则，PCD (),,n x y z = 24020n DP y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 取，得，2y =()0,2,1n =因为直线与平面所成角为，BE PCD θ，sin BE n BE nθ⋅∴===⋅θ∴=因此，直线与平面所成角为.BEPCD 18．已知,,为△ABC 的三个内角，向量，，且．A B C (),p cosB sinB =- (),q cosC sinC =()2q p q -⊥ （1）求的大小；A ∠（2）若，求△ABC的面积．4BC AC AB =+=【答案】(1)；2π3【分析】(1)由题意结合向量垂直的充分必要条件得到三角方程，结合三角形的特征和三角方程可得∠A 的大小；(2)由题意结合余弦定理得到的值，然后结合面积公式即可求得△ABC 的面积.AB AC ⋅【详解】（1）由，可得·=0，()2q p q -⊥ ()2q p -q 即·，又，，2||2q p - 0q = (),p cosB sinB =- (),q cosC sinC = 所以，()2220cos C sin C cosBcosC sinBsinC +--=即，又， ()12cos B C +=0B C π<+<∴，故．3B C π+=()2π3A B C π=-+=（2）在△ABC 中，由，2222BC AB AC AB ACcosA =+-⋅可得，()()2221BC AB AC AB AC cosA =+-⋅+即，(2214212AB AC ⎛⎫=-⋅⋅- ⎪⎝⎭故，4AB AC ⋅=∴11422S AB ACsinA =⋅=⨯=【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企业纳税额为（单位：万元），补助款为（单位：万元），其中为常数.x ()21142f x x bx b =-++b (1)分别判断，时，是否符合发放方案规定，并说明理由；0b =1b =()f x (2)若函数符合发放方案规定，求的取值范围.()f x b 【答案】(1)b =0时，符合发放方案规定，b =1时，不符合发放方案规定；(2).58b ≤【分析】（1）根据题意，需要判断函数在上是否单调递增，在上是否恒()f x []4,8()12f x x -[]4,8大于等于零，进而得到答案；（2）根据题意，在上单调递增，且在上恒大于等于零，进而求出b 的取()f x []4,8()12f x x -[]4,8值范围.【详解】（1）若，则，函数在上单调递增，令0b =()21142f x x =+[]4,8，显然在上恒大于0，满足题意.()()()221111111242244g x f x x x x x =-=-+=-+[]4,8若，则，函数在上单调递增，令1b =()()22131124242f x x x x =-+=-+[]4,8，易知，不合题()()()221133133242244g x f x x x x x =-=-+=--()()2min 131410442g x g ==⨯-=-<意.所以时，符合发放方案规定，时，不符合发放方案规定.0b =()f x 1b =()f x （2）①由题意，在上单调递增，则()()222111124242f x x bx b x b b b =-++=--++[]4,8.242b b ≤⇒≤②令，由题意，在上恒成立，()()211112422g x f x x x b x b ⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭()0g x ≥[]4,8若，在上单调递增，则，于132214122b b b +=+≤⇒≤()g x []4,8()()min 5543026g x g b b ==-+≥⇒≤是；56b ≤若，在上单调递减，则，舍去；72182b b +≥⇒≥()g x []4,8()()min 2525870214g x g b b ==-+≥⇒≤若，则，舍去.3722b <<()2min 111102222g x b b b ⎛⎫=+-+≥⇒-≤≤ ⎪⎝⎭所以.56b ≤综合①②得：.56b ≤20．已知函数，其中.()3222f x x ax =-+0a >(1)求的单调区间；()f x (2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.0<<3a ()f x []0,1M m M m -【答案】(1)单调递增区间为、，减区间为(),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)8,227⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；()f x （2）分、两种情况讨论，结合（1）中的结论求出、的表达式，结合导数法02a <≤23a <<M m 与函数的单调性可求得的取值范围.M m -【详解】（1）解：函数的定义域为，，()3222f x x ax =-+R ()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭当时，由可得，由可得或，0a >()0f x '<03a x <<()0f x ¢>0x <3a x >所以，函数的单调递增区间为、，减区间为.()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）解：因为，则，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，0<<3a 013a <<()f x 0,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,13a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，当时，，[]0,1x ∈32327a a m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为，，则，()02f =()14f a =-()()012f f a -=-所以，，令.()(){}4,02max 0,12,23a a M f f a -<≤⎧==⎨<<⎩()g a M m =-①若，则，02a <≤()334222727a a g a a a ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，故函数在上单调递减，此时；()2109a g a '=-<()g a (]0,2382,22727a M m a ⎡⎫-=-+∈⎪⎢⎣⎭②若，则.23a <<()33822,1272727a a g a ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，的取值范围是.M m -8,227⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：()f x [],a b （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；()f x [],a b ()f a ()f b （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与()f x [],a b ()f x [],a b 、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；()f a ()f b （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结()f x [],a b 论在导数的实际应用中经常用到.21．已知数列和有，，而数列的前项和．{}n a {}n b 11a =-()1122n n n a a n a --=≥-{}n b n 2322n n n B =+(1)求数列的通项公式；{}n b (2)证明数列为等比数列，其中；{}n c 1nn n a c a =-(3)如果，试证明数列的单调性．n n n d b c =⋅{}n d 【答案】(1)()11n b n n =+≥(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据数列的前项和与通项的关系求解即可.n (2)根据给定的递推关系，结合等比数列定义计算判断作答.(3)由(1)求出数列的通项，再求出，并利用作差法比较大小作答.{}n c n d 1,n n d d +【详解】（1）因为，所以，2322n n n B =+()112,N n n n b B B n n n *-=-=+≥∈又当时，，所以；1n =1211b ==+()1N n b n n *=+∈（2）111111*********n n n n n n n n n n n n a a a a a c c a a a a a ---------⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪÷=÷=÷ ⎪--- ⎪⎝⎭- ⎪-⎝⎭，而，111111222n n n n a a a a ----⎛⎫-=⨯= ⎪-⎝⎭111112a c a ==-所以数列为以为首项，以为公比的等比数列；{}n c 1212（3），，1111222n n n c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n n n d +=，111210222n n n n n n n n d d +++++--=-=<所以当时，，数列为递减数列．1n ≥1n n d d +<{}n d。
2023届河北省沧州市海兴县高三年级上册学期12月调研数学试题【含答案】
2023届河北省沧州市海兴县高三上学期12月调研数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}220M x x x =-->{}2,0,1,2,5N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}0,1{}2,5-{}2,2,5-{}0,1,2【答案】B【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.M M N ⋂【详解】因为或，因此，.{}{2201M x x x x x =-->=<-}2x >{}2,5M N =- 故选：B.2．已知复数z 满足：，则（ ）()1i iz +=z z ⋅=A ．BC ．1D ．12i2【答案】A【分析】首先根据复数的除法运算求出，然后根据复数的乘法运算即可求出结果.z 【详解】因为，(1)z i i +=所以，()()i 1i i 1i 11i 1i (1i)1i 222z -+====+++-因此.11111i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⋅=故选：A.3．某高校甲､乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（ ）A ．3，5B ．3，3C ．3.5，5D ．3.5，4【分析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.343.52+=故选：C.4．若x ，y ，z 为非零实数，则“”是“”的（ ）x y z <<2x y z +<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】解：因为，，所以,故充分;x z <y z <2x y z +<当，，时，满足，3x =1y = 2.5x =2x y z +<但不满足.故不必要，x y z <<故选：A.5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列四个结()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>2πϕ<论中正确的是（ ）A ．若，则函数f (x )的值域为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点是函数f （x ）图象的一个对称中心,03π⎛-⎫⎪⎝⎭C ．函数f （x ）在区间上是增函数,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．函数f （x ）的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到cos 2y x =12π【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得．【详解】由题图及五点作图法得，，，1A =512πωϕπ⋅+=2332πωϕπ⋅+=则，，故.2ω=6πϕ=()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭由，得，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦故，函数f (x )在区间上不是增函数，故A 正确，C 错误；()1sin 21,62f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∵当时，，3x π=-262x ππ+=-所以点不是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 错误；,03π⎛-⎫⎪⎝⎭由，将函数的图象向右平移个单位长度得到cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭cos 2y x =12π的图象，故D 错误.sin 2122y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A ．6．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）()1,2A -()10B ,()1,2C -()4,2D AB CDA B ．C ．D 【答案】B【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.【详解】设与的夹角为，因为，，所以AB CD θ()2,2AB =- ()3,4CD = cos θ==故选：B7．满足，则实数a 的取值范围为（ ）0x ∀>e 1xax ->A ．B ．C ．D ．1a <01a <<01a <≤1a ≤【答案】D【分析】满足等价于在恒成立，构造函数，0x ∀>e 1x ax ->e 10x ax -->,)(0x ∈+∞()e 1x f x ax =--利用导数判断其单调性，进而即可判断结果.【详解】满足，即，0x ∀>e 1x ax ->e 10xax -->令，，，，()e 1x f x ax=--()e x f x a'=-0x >e 1x∴>当时，在恒成立，1a ≤()0f x ¢>,)(0x ∈+∞在为增函数，则，即，∴()e 1xf x ax =--,)(0x ∈+∞()()e 101100x f x ax f =-->=--=e 10x ax -->符合题意，当时，令，，当时，，1a >()0f x '=ln x a =()0,ln x a ∈()0f x '<当时，，()ln ,x a ∈+∞()0f x ¢>所以在为增函数，在为减函数，()f x ()0,ln a ()ln ,a +∞，命题成立只需即可.()()ln ln e 1ln 1ln a f x f a a a a a a≥=--=--1ln 0a a a -->令，，当，，()1ln g a a a a=--()()1ln 1ln g a a a+'=-=-()1,a ∈+∞()0g a '<即，即，命题不成立.()()10g a g <=()ln 0f a <综上.1a ≤故选：D.8．已知函数，若时，则实数a 的取值范围为（ ）()22x x f x a=-01x ≤≤()1f x ≤A ．B ．7,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可.2222x x x xa ---≤≤+【详解】不等式可化为，有，有，当()1f x ≤2|2x xa --≤222xx x a ---≤-≤2222x x x x a ---≤≤+时，（当且仅当时取等号），，故有01x ≤≤222x x -+≥=0x =1322222x x --≤-=．322a ≤≤故选：C二、多选题9．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前n 项1a 2a 3a 9a {}n a 和为，且，，则（ ）n S 218a =4690a a +=A ．B ．的公差为916a ={}n a C ．D ．633a a =9405S =【答案】BD 【分析】设的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可判断A 、B ，再根据等差数列{}n a d 1a d 的通项公式及前项和公式计算可得；n 【详解】解：设的公差为.由，得，又，联立方程组解{}n a d 4690a a +=545a =218a =1118445a d a d +=⎧⎨+=⎩得，所以A 错误，B 正确；因为，，所以，故C199a d =⎧⎨=⎩695954a =+⨯=392927a =+⨯=632a a =错误；因为，所以D 正确.()1959599402S a a a===+⨯故选：BD10．已知函数的零点为，则（ ）()22ln 2x f x x e x -=+-0x A ．的值为5B ．的值为4020ln 3x e x -++020ln 3x e x -++C ．D ．031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭03,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】由函数的零点为，得到，变形为()22ln 2x f x x e x -=+-0x 02200ln 20x x ex -+-=，由为增函数，得到判断AB ，002ln 20000(2ln 2)ln x x e x x x x +-+-=++()x F x e x =+0002ln 2ln x x x +-=再结合零点存在定理判断CD 。
高三数学12月联合调研测试试题含解析 试题
2021届高三12月结合调研测试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
数学试题一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分.请把答案填写上在答题卡相应位置上.，集合，，那么_______.【答案】【解析】【分析】根据集合的根本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3,4}，B＝{3，5}，∴A∩B＝{3}，那么∁U〔A∩B〕＝{1，2，4，5}，故答案为：{1，2，4，5}．【点睛】此题主要考察了集合的交集和补集的根本运算，属于根底题．〔为虚数单位〕的模为_______.【答案】【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可．【详解】∵∴复数的模为．故答案为：．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数模的求法，属于根底题．中，是双曲线的一条渐近线方程，那么此双曲线的离心率为．【答案】2【解析】试题分析：由题意，∴.考点：双曲线的HY方程及其几何性质.4.4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，那么所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_______.【答案】【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为＝6〔种〕，取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为＝1〔种〕．所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点睛】此题考察了古典概型及其概率计算公式，考察了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于根底题.．【答案】【解析】试题分析：初始条件，；运行第一次，，；运行第二次，，；运行第三次，，．满足条件，停顿运行，所以输出的，所以答案应填：．考点：程序框图．6.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为．【答案】64【解析】试题分析：样本数据落在内的频率为，所以样本数据落在内的频数为.考点：频率分布直方图.的前项积为，假设，那么的值是_______.【答案】2【解析】【分析】由P12=32P7，得a8•a9•…•a12=32，再利用等比数列的性质，可求a10．【详解】∵等比数列{a n}的前n项积为P n，且P12=32P7，∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7，即a8•a9•…•a12=32，由等比数列的性质，得〔a10〕5=32，解得a10=2．故答案为：2．【点睛】此题考察等比数列{a n}的前n项积，考察等比数列的性质，属于根底题．、与平面、，，，那么以下命题中正确的选项是_______〔填写上正确命题对应的序号〕.①假设，那么②假设，那么③假设，那么④假设，那么【答案】③【解析】【分析】①②列举反例，③利用面面垂直的断定定理，④利用面面垂直的性质定理，即可判断．【详解】①如下图，设α∩β＝c，l∥c，m∥c满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设α∥β，l′⊂β，l′∥l，l′⊥m，那么满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确；③由面面垂直的断定定理，假设l⊥β，那么α⊥β，故③正确；④假设α⊥β，α∩β＝n，由面面垂直的性质定理知，m⊥n时，m⊥α，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为：③．【点睛】纯熟掌握线面、面面垂直与平行的断定与性质定理是解题的关键．否认一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题．9.，，那么_______.【答案】【解析】【分析】由二倍角公式和同角三角函数根本关系可得cos2θ和sin2θ，代入sin〔2θ﹣〕＝sin2θ﹣cos2θ，计算可得．【详解】∵cos〔θ+〕＝﹣，且θ∈〔0，〕，∴θ+∈〔，〕，sin〔θ+〕＝，∴sin2θ＝﹣cos〔2θ+〕＝1﹣2＝，cos2θ＝sin2〔θ+〕＝2sin〔θ+〕cos〔θ+〕＝﹣，sin〔2θ﹣〕＝sin2θcos﹣cos2θsin＝，故答案为：．【点睛】此题考察两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数根本关系，属于中档题．中，底边，，，假设，那么_______.【答案】【解析】【分析】由，得D是AC的中点，利用条件求出BA的长度，求出cosB，即可的值．【详解】因为⇒D是AC的中点⇒，且⇒所以，因为在等腰三角形中，底边，得AB=所以cosB＝ =．且所以＝ =＝2••﹣×5＝2﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点睛】此题考察了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考察计算才能，属于根底题.11.，假设过轴上的一点可以作一直线与相交于，两点，且满足，那么的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】由圆的方程，可得M〔1，4〕且半径为2，由PA＝BA，利用圆的几何性质得动点P到圆M的最近的点的间隔小于或者等于4，由此建立关于a的不等式，解得即可．【详解】∵圆M：〔x﹣1〕2+〔y﹣4〕2＝4，∴圆心为M〔1，4〕，半径r＝2，直径为4，故弦长BA的范围是〔0，4]．又∵PA＝BA，∴动点P到圆M的最近的点的间隔小于或者等于4，∵圆与x轴相离，可得P到圆上的点的间隔恒大于0．∴P到M的间隔小于或者等于6，根据两点间的间隔公式有：，解之得1﹣2≤a≤1+2，即a的取值范围为[1﹣2，1+2]故答案为：[1﹣2，1+2]【点睛】此题主要考察直线和圆相交的性质，两点间的间隔公式和直线与圆的位置关系等知识，转化为数形结合的数学思想，属于中档题．12.如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥,且恒成立,那么正实数的最小值为________.【答案】1【解析】∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴=+x+y即x+y=那么2x+2y=1，又，解得a≥1∴正实数a的最小值为113.的三边长，，成等差数列，且，那么实数的取值范围是_______.【答案】 .【解析】【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，那么有a＝b﹣d，c＝b+d，代入等式求出b的最大值,由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．【详解】设公差为d，那么有a＝b﹣d，c＝b+d，代入a2+b2+c2＝63，化简可得3b2+2d2＝63，当d＝0时，b有最大值为，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，可得：3b2+2〔〕2＞63，解得：b＞3，那么实数b的取值范围是〔3，]．故答案为：〔3，]．【点睛】此题考察了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，纯熟掌握余弦定理是解此题的关键，属于中档题.，假设给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，那么称函数是上的级类周期函数，假设函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.假设，，使成立，那么实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由函数f〔x〕在[0，2〕上的解析式，可得函数f〔x〕在[0，2〕上的最值，结合a级类周期函数的含义，可得f〔x〕在[6，8]上的最大值，对于函数g〔x〕，对其求导分析可得g〔x〕在区间〔0，+∞〕上的最小值，将原问题转化为g〔x〕min≤f〔x〕max的问题求解．【详解】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，那么此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；那么在上，，那么有，那么，那么函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，那么函数在上，由最小值.假设，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】此题考察了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题．二、解答题：本大题一一共6小题，一共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.15.在如下图的平面直角坐标系中，点A(1,0)和点B(－1，0)，＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．〔Ⅰ〕假设x＝π，设点D为线段OA上的动点，求的最小值和最大值；〔Ⅱ〕假设，向量＝，＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求的最小值及对应的x值.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕，此时.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕设〔〕，又所以所以所以当时，最小值为〔Ⅱ〕由题意得,那么因为,所以所以当，即时，获得最大值所以时，获得最小值所以的最小值为，此时.考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题．点评：此题主要考察三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16.如图，在正三棱柱中，点在棱上，,点分别是的中点.〔1〕求证：为的中点；〔2〕求证:平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：〔1〕要证为的中点，又AB=AC，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；〔２〕连接，连接交于点，连接，由〔１〕易证，从而问题得证．试题解析：〔1〕正三棱柱，平面，又平面，，又，平面，又正三棱柱，平面平面，，为的中点．〔2〕连接，连接交于点，连接矩形，为的中点，又由(1)得为的中点，△中，又点，分别是，的中点，△中，，，又平面，平面平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进展野外生存训练.如下图，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短途径到点集合，记所有学生进展的总路程为.〔1〕设，写出关于的函数表达式；〔2〕当最小时，集合地点离点多远？【答案】〔1〕，〔2〕集合地点离出发点的间隔为时，总路程最短，其最短总路程为.【解析】【分析】〔1〕△AOD中，由正弦定理求得AD、OD，再计算S＝300AD+100BD的值；〔2〕令函数y＝，求导判断函数单调性与最值，从而求出y的最小值以及对应AD的值和S的最小值．【详解】〔1〕因为在中，，，所以由正弦定理可知，解得，，且，故，〔2〕令，那么有，令得记，，列表得↘极小值↗可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为，当时，此时总路程有最小值.答：当集合点离出发点的间隔为时，总路程最短，其最短总路程为.【点睛】此题考察理解三角形的应用问题，也考察了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18.如图，、分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线与轴交于点，假设，且.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕过、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于、、、四点，求四边形面积的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔I〕先确定A点坐标为〔a2，0〕，利用，可得F2是AF1的中点，由此可求椭圆方程；〔II〕当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．【详解】〔Ⅰ〕由得，∴点坐标为；∵∴是的中点∴，∴椭圆方程为〔Ⅱ〕当直线与之一与轴垂直时，四边形面积；当直线，均与轴不垂直时，不妨设，联立代入消去得设，那么，∴，同理∴四边形面积令，那么，，易知是以为变量的增函数所以当，时，，∴综上可知，，∴四边形面积的取值范围为【点睛】此题考察求椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系和四边形面积的计算，正确表示四边形的面积是关键，属于中档题.，，设.〔Ⅰ〕假设在处获得极值，且，求函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设时函数有两个不同的零点、.①求的取值范围；②求证：.【答案】〔1〕在区间〔0,1〕上单调增；在区间〔1,+〕上单调减.〔2〕①〔，0〕②详见解析【解析】试题分析：〔1〕先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间〔2〕①当时，，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是〔，0〕.②，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明试题解析：〔1〕因为，所以,由可得a=b-3.又因为在处获得极值，所以，所以a=" -2,b=1" .所以，其定义域为〔0，+〕令得，当〔0,1〕时，，当〔1,+〕，所以函数h〔x〕在区间〔0,1〕上单调增；在区间〔1,+〕上单调减. 〔2〕当时，，其定义域为〔0，+〕.①由得，记，那么,所以在单调减，在单调增，所以当时获得最小值.又，所以时，而时,所以b的取值范围是〔，0〕.②由题意得,所以,所以，不妨设x1<x2,要证, 只需要证.即证，设,那么,所以,所以函数在〔1，+〕上单调增，而，所以即,所以.考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.〔1〕假设数列通项为，求证：；〔2〕假设数列是等差数列，且，求的取值范围；〔3〕假设数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，假设存在，给出一个数列的通项；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕；〔3〕数列中不存在无穷多项依次成等差数列.【解析】【分析】(1)由，得和，再证明，即可满足题意；〔2〕设的公差为，由，得，又，即，所以d=1，的取值范围；〔3〕假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为〔为常数〕，由，得到当时，关于的不等式有无穷多个解，推出矛盾，所以不存在.【详解】〔1〕因为，所以，所以，所以，即.〔2〕设的公差为，因为，所以特别的当时，，即，由得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是.〔3〕由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，，所以有，所以，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为〔为常数〕，那么存在，，使得，即，设，，，那么即，于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列.【点睛】此题考察的是数列定义的应用和等差数列的性质应用，运用反证法解决存在问题是此题的关键，属于中档题.数学Ⅱ〔附加题〕【选做题】此题包括21，22，23三小题，请选定其中两题答题，每一小题10分，一共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.21.选修4-2：矩阵与变换---求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.【答案】【解析】试题分析：先由矩阵变换得到曲线方程：，再根据曲线形状：菱形，计算其面积：．试题解析：设点为曲线上的任一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，那么由， 3分得：即5分所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为， 8分所围成的图形为菱形，其面积为． 10分考点：矩阵变换中，曲线的参数方程为〔为参数〕，以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线的交点的极坐标.【答案】【解析】【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标,进而即可得解.【详解】将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为将曲线的参数方程化为普通方程可得：由得，解得或者，又，所以，所以直线与曲线的交点的直角坐标为.所以直线与曲线的交点的极坐标为.【点睛】此题考察了参数方程，极坐标方程，普通方程的互化，注意自变量的范围，属于根底题.，，满足，求的最小值.【答案】.【解析】【分析】由a+2b+4c＝3，可得〔a+1〕+2〔b+1〕+4〔c+1〕＝10，由柯西不等式可得的最小值. 【详解】因为正数，，满足，所以，所以，即.当且仅当，，时，取最小值.【点睛】此题考察三元柯西不等式及其应用，考察根本的运算才能，属于根底题．【必做题】第24题、第25题，每一小题10分，一共计20分.解答时应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品〔骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点〕，抛掷点数小于3的获得奖品，抛掷点数不小于3的获得奖品.〔1〕求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；〔2〕设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】〔1〕；〔2〕，的分布列见解析.【解析】【分析】首先求出5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率和B奖品的概率．〔1〕获得A奖品的人数大于获得B 奖品的人数，得到获得A奖品的人数可能为3，4，5，利用HY重复试验求得概率；〔2〕由ξ＝|X﹣Y|，可得ξ的可能取值为1，3，5，同样利用HY重复试验求得概率，然后列出频率分布表，代入期望公式求期望．【详解】这5名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，奖品的概率为.〔1〕要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，那么奖品的人数可能为3，4，5，那么所求概率为.〔2〕的可能取值为1，3，5，且，，，所以的分布列是：1 3 5故随机变量的数学期望.【点睛】此题考察了离散型随机变量的期望的应用，也考察了HY重复试验，属于中档题．25.在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.〔1〕假设，，，…，成等差数列，且，求证：；〔2〕假设，，记，且不等式恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔1〕详见解析〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明；〔Ⅱ〕在二项式展开式中分别取x=-1，x=1，求出bn，再借助于二项式系数的性质化简可得，代入不等式，分n为奇数和偶数求得t的取值范围试题解析：〔1〕设等差数列的通项公式为，其中为公差那么因为，所以所以=.注：第〔1〕问也可以用倒序相加法证明.〔酌情给分〕〔2〕令，那么令，那么，所以根据条件可知，，所以将、代入不等式得，当为偶数时，，所以；当为奇数，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是.考点：数列的求和，二项式系数的性质本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
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小初高K12学习教材2016届高三12月联合调研测试数 学参考公式：样本数据123,,,,n x x x x 的方差2211()n i i S x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1、 已知集合{13,}A x x x Z =≤≤∈，{}m B ,4,2=，若{}3,2=⋂B A ，则实数m =▲_. 【考点】集合的运算 【试题解析】，因为，所以【答案】32、 已知复数,43,221i z i x z +=+=21z z 若为纯虚数，则实数x 的值为▲ . 【考点】复数综合运算 【试题解析】，因为为纯虚数，所以解得 【答案】3、 三张卡片上分别写有数字1、2、3，将它们排成一行，恰好排成顺序为“321”的概率为▲ ． 【考点】古典概型 【试题解析】数学1，2，3任意排列共有种，所以概率为【答案】4、 某产品在连续7天检验中，不合格品的个数分别为3，2，1，0，0，0，1，则这组数据的方差为▲．小初高K12学习教材【考点】样本的数据特征 【试题解析】 平均数为，所以方差为【答案】5、“直线012=++y ax 和直线01)1(3=+-+y a x 平行”的充要条件是“=a ▲ ”. 【考点】两条直线的位置关系 【试题解析】 由得【答案】6、 右面的程序框图输出的结果为▲.【考点】算法和程序框图 【试题解析】程序框图的算法功能为求等比数列的前8项和，所以输出结果为【答案】7、 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3a ，5a ，8a 依次成等比数列，则45a S = ▲ 【考点】等比数列等差数列 【试题解析】 依题意，即所以【答案】8、已知函数2,0()4,0x f x x x x ≥=--<⎪⎩，若()3f x ≤，则x 的取值范围是 ▲ .【考点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】 当时，由得，解得； 当时，由得，解得或，所以的取值范围是【答案】9、 一个无盖的圆锥形容器侧面展开是一个半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形，则该圆锥形容器盛满水时的体积是 ▲ cm 3．【考点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】设扇形的弧长为，则有，所以，所以圆锥的底面周长为，母线长为， 设圆锥的底面半径为，则有，所以所以底面积为，高为故体积为 。
【答案】10、已知O 为ABC ∆外心，AB=2，AC=1，3π=∠BAC ，则=⋅▲．【考点】数量积及其应用 【试题解析】 由余弦定理， 所以，所以外心为中点，所以，夹角为所以【答案】11、已知直线)0,0(,01>>=-+b a by ax 平分圆()()11122=-+-y x 的周长，则ba a +1的 最小值为▲．【考点】直线与圆的位置关系 【试题解析】 由已知直线过圆心，所以所以因为，所以当时取得最小值【答案】 12、若函数(0)y ax a =+>的最小值为4，则a 的值为▲． 【考点】均值定理 【试题解析】 设（），则，依题意，解得【答案】13、如图，线段16=AB ，点C 在线段AB 上，且4=AC ，点P 为线段BC 上一动点．．，点 A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点,D 记CPD ∆面积为S ，则S 的最大值为▲． 【考点】解斜三角形第（13）题【试题解析】 设，则，因为，所以，解得设，则，所以，所以因为时取得最大值，此时【答案】14、若函数())1(,log >-=a x a x f a x 有两个零点，则实数a 的取值范围是▲．【考点】零点与方程 【试题解析】 由得，设，，因为函数与函数的图象关于直线对称，当两函数图象均与直线相切时， 设切点横坐标为，因为，，所以，所以，又因为，即，所以即当时，两图象有一个交点，当时两图象有两个交点，即函数有两个零点，所以的取值范围是【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本小题满分14分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,。
向量()()2,,1,b n a m ==，角3π=C .(1) 若//，求角A ；(2) 若,8,71cos ==a A 求.b 【考点】正弦定理平面向量坐标运算 【试题解析】 （1）由正弦定理得整理可得（2）【答案】（1）；（2）16、（本小题满分14分）平行四边形ABCD 中，且BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ， BE 的中点。
(1) 求证：BD ⊥平面CDE ； (2) 求证：GH //平面CDE.【考点】立体几何综合 【试题解析】（1）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，DCBAFE HG平面ADEF 平面ABCD AD ，。
∵ED ⊥AD ， ∴ED ⊥平面ABCD 又∴ED ⊥BD 。
又∵BD ⊥CD ，∴BD ⊥平面CDE 。
（2）证明：连结EA ，则G 是AE 的中点。
∴⊿EAB 中，GH AB 又∵ABCD ，∴GHCD ，∴GH平面CDE【答案】（1）见解析；（2）见解析17、（本小题满分14分）如图，欲在矩形ABCD 空地中规划出一个草坪（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），点上在线段AD Q E ,，点上在线段CE R ，点在P 曲线AF 上，已知,4,6,2====BF AE BC AB 其中AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一段．现以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系.设抛物线的一段所在抛物线的方程为2(0)y ax a =>(1) 求抛物线方程；(2) 设点P 的横坐标为x ，当x 为何值时草坪面积最大，并求出该草坪的最大面积． 【考点】导数的实际应用抛物线 【试题解析】（1）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则，由题意可，由得，，∴AF所在抛物线的方程为，（2），∴EC所在直线的方程为，设，则，∴草坪的面积，∴令得或（舍去负值），当变化时，和的变化情况如下表：由表格可知，当时，取得最大值答：当时，取得最大.该草坪的最大面积【答案】（1）AF所在抛物线的方程为；（2）当时，取得最大.该草坪的最大面积18、（本小题满分16分）椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为21，长轴长 为4．椭圆C 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与 椭圆C 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为1A ． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 求证：点1,,A F B 三点共线； (3) 求1MBA 面积的取值范围S ．【考点】圆锥曲线综合 【试题解析】 ⑴由题可得a=2，c=1 椭圆的方程为⑵设，，=0F为公共点，三点共线（3）由（2）中方程有解，，得令，因为，所以，所以【答案】（1）；（2）见解析；（3）19、（本小题满分16分）已知23n n n a =+，1n n n b a ka +=+，(1) 若{}n b 是等比数列，求k 的值；(2) 若)2(log 3nn n a C -=，且数列{}n C 的前和为n S ，证明：211<∑=ni iS ； (3) 若2-=k ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∈=*9112n b n Nn A ，求集合A 中所有元素之和. 【考点】数列综合应用 【试题解析】 ⑴，，，是等比数列解得或，经检验均符合⑵由题可得……………6分⑶由题可得令当n=1时，，当n 时，，，所以A 中所有元素之和为6【答案】（1）或；（2）见解析；（3）620、（本小题满分16分）已知函数()x x ax x f ln 22212++-=，a ∈R . (1) 当3-=a 时，求()f x 的单调增区间；(2) 当1≥a ，对于任意12,(0,1]x x ∈，都有1212|||()()|x x f x f x -≤-，求实数a 的取值范围；(3) 若函数()x f 的图像始终在直线23+-=x y 的下方，求a 的范围. 【考点】导数的综合运用 【试题解析】 （1）当时，，令，解出：，所以的单调增区间为…(2) 当，显然满足，以下讨论的情况。
当时，，，得到，即在上单调递增。
对于任意，不放设，则有，且代入不等式，引入新函数：，所以问题转化为上恒成立令，通过求导或配方都可以：，当；，所以当，所以.(3)由题可得在上恒成立即在上恒成立整理可得在上恒成立令即【答案】（1）；（2）；（3）。