2.1二次函数所描述的关系导学案
北师大版九年级数学下册2.1二次函数所描述的关系导学案
，c
m
时，是正比例函数. .
3.若 y (m2 1) xm
是二次函数，则 m=
4.下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2＋bx＋c (a≠0)模型的是( ).
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系； B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数 随年份的变化关系； C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号 弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)； D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
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，它的二次项系数为 一次项系数为 ，常数项为 .
,自我评价：小Fra bibliotek长评价：第 2 页 /共 5 页
合作探究一：
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验 估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，且增 加的橙子树最多不得超过 20 棵. (1)问题中的变量是 其中 是自变量， 和 . 是因变量.
2
．
m4
(m 2) x 3 . 当 m
为何值时，y 为二次函数？当 m 为何值时，y 为一次函 数？
课后作业：
课本第 39 页，习题 2.1，知识技能，1；问题解决，3.
教师评价： 补案：
第 5 页 /共 5 页
3、 (15 分)下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(
A. xy=x2-1；B.x2+y-2=0；C. y2-ax=-2；D. x2-y2+1=0. 4、 (15 分)某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出
达标 检测：
时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装 每提高 1 元售价，销量就减少 5 套.则每天销售利润 y 与售价 x 的函数表达式为 5、 (40 分)已知函数 y (m 3) xm
数学初三下北师大版2.1二次函数所描述的关系导学案+练习
数学初三下北师大版2.1二次函数所描述的关系导学案+练习主备人：黄成美审核人：钟付强【学习目标】探究并归纳二次函数的定义、能够表示简单变量之间的二次函数关系、能够表示简单变量之间的二次函数关系、能够利用尝试求值的方法解决实际问题、【重点】二次函数的概念【难点】探究建立两个变量之间的二次函数关系的过程【课前预习】1、在某一变化过程中，有两个变量x 和y ，关于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，如今称y 是x 的__________。
2、函数的三种表示方法：_______________、________________、_________________。
3、观看以下函数：①x y 6=②tv 100=③12=xy ④12--=x x y ⑤12-=x y ⑥25t m =，一次函数有__________，正比例函数有_________，反比例函数有________________。
4、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现预备多种一些橙子树以提高产量，然而假如多种树，那么树之间的距离和每一棵树所同意的阳光就会减少。
依照经验可能，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有_______________棵橙子树，这时平均每棵树结___________________个橙子。
假假如园橙子的总产量为y 个，那么y=_____________________________、化简得y=_____________________________。
5、设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
假如存款是100元，那么两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)是y=______________________。
化简得y=_____________________________【新课学习与探究】由【课前预习】中的4、5得y=-5x ²+100x+60000，y=100x ²+200x+100，y_______〔是或不是〕x 的函数，共同特点是__________________________________________________。
二次函数导学案全章(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次函数导学案26.1 二次函数及其图像 26.1.1 二次函数【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】 一、知识链接：1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数； 二、自主学习：1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
(精)人教版教材数学九年级上册《二次函数》全章导学案
课题22.1 二次函数（ 1）导学目标知识点：1、从本质情况中让学生经历研究解析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验怎样用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的见解，掌握二次函数的一般形式；3、经过解决实责问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
课时：1课时导学方法：实验、整理、解析、概括法导学过程：二、合作研究研究：函数①②③ 有什么共同特色？你能举例说明吗？一般地，形如的函数，叫做二次函数其中，是自变量， a 为，b为，c为做一做：学习知识最好的途径就是自我发现，一、课前导学1、填表一次函数正比率函数表达式图形形状2、研究（ 1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于 x 的关系式为是什么？①1、以下函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)(2)(3)(4)y x(1 x) (5)y( x 1) 2( x1)( x 1)(6) y－3x27x122 、函数yax2bx c ，当 a 、 b 、 c 满足什么条件时，(1) 它是二次函数 ?(2) 它是一次函数？(3) 它是正比率函数？（ 2）．多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？②n 边形有个极点，从一个极点出发，连接与这点不相邻的各极点，可作条对角线。
因此， n 边形的对角线总数 d =。
三、显现谈论（ 3）．某工厂一种产品现在年产量是20 件，计划今后两年增加产量，若是每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这类产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应怎样表示？这类产品的原产量是20 件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。
③四、课堂检测1.以下函数中 ,哪些是二次函数 ?(1)y=3x-1 ;(2)y=3x 2+2;(3)y=3x 3+2x 2;(4)y=2x 2 -2x+1;(5)y=x 2-x(1+x);(6)y=x -2 +x.2.写出以下各函数关系，并判断它们是什么种类的函数(1)、长方形的长是宽的 2 倍，写出长方形的周长 C 与宽 a 之间的函数关系，是的函数。
二次函数导学案(党寨中学王锋)
第1课时 课题：二次函数所描述的关系课时：第1课时 主备人：王锋【学习目标】1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【教学过程】： （一）、创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）．自主探究、合作交流：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,写出y 与x 的关系。
问题2: n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系?问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。
问题5：什么是二次函数？形如 。
问题6：函数y=ax²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ （三）．尝试应用：【例1】 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（四）．巩固提高：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
3、n 支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。
写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。
4、若函数mm x m y --=2)1(2为二次函数，求m 的值。
示范教案(2.1二次函数所描述的关系第1课时)
第二章二次函数§2.1 二次函数所描述的关系课时安排1课时从容说课本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想．第一课时课题§2．1 二次函数所描述的关系教学目标(一)教学知识点1．探索并归纳二次函数的定义．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．(二)能力训练要求1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．(三)情感与价值观要求1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．教学重点1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学难点经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．教学方法讨论探索法．教具准备投影片二张第一张：(记作§2．1 A)第二张：(记作§2．1 B)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗? [生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数． [师]那函数的定义是什么，大家还记得吗?[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定 了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量． [师]能把学过的函数回忆一下吗? [生]可以，一次函数y=kx+b ．(其中k 、b 是常数，且k ≠0) 正比例函数y ＝kx(k 是不为0的常数)． 反比例函数y=xk(A 是不为0的常数)． [师]很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱． Ⅱ．新课讲解一、由实际问题探索二次函数关系 投影片：(§2．1 A)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． [师]请大家互相交流后回答．[生](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中 树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量． (2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．(3)如果果园橙子的总产量为y 个，则 y=(x+100)(600-5x)＝-5x 2+100x+60000． [师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y 是否是x 的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗?[生]因为x 是自变量，y 是因变量，给x 一个值，相应地就确定了一个y 的值，因此根据函数的定义，y 是x 的函数．但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数． 二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多? [师]请大家发表自己的看法．[生甲]在函数y=-5x 2+100+60000中，因为一次项系数100大于二次项系数-5，因此当x 越大时，y 的值越大．[生乙]我不同意他的观点．因为x 2的增长速度比x 的增长速度要快，因此-5x 2的绝对值要大于100x 的绝对值，因此x 应取比较小的数才能使y 的值大．[师]大家说的都有道理，究竟是如何呢?我们不妨取一些特殊的数字验证一下．我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．三、做一做投影片：(§2. 1 B)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)， [师]首先我们要回顾一下有关名词，本金．利息，本息时，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗?[生]记得.本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和，利息＝本金×利率×期数(时间)．[师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．[生]一年后的本息和为(100+100x·1)=100(1+x)．[师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．[生]y＝100(1+x)+100(1+x)x×l=100(1+x)+100(1+x)x＝100(1+x)(1+x)=100(1+x)2=100x2+200x+100．[师]在这个关系式中，y是x的函数吗?是x的什么函数?请猜想．[生]因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x 是自变量，y是x的函数．再从函数的形式来看,y是x的二次函数．四、二次函数的定义[师]从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢?[生]一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．[师]很好，上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系S＝πr2也都是二次函数的例子．Ⅲ．课堂练习随堂练习(P 36) Ⅳ．课时小结本节课我们学习了如下内容：1. 经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式． 2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多． Ⅴ．课后作业 习题2．1Ⅵ．活动与探究若y ＝(m 2+m)x m2-m是二次函数，求m 的值．分析：根据：二次函数的定义，只要满足m 2+m ≠0，且m 2-m=2，y=(m 2+m)x m2-m就是二次函数．解：由题意得m 2+m ≠0，m 2-m=2．m ≠0或m ≠-1, 解，得．m=2或m ≠-1,故若y ＝(m 2+m)x m2-m是二次函数，则m 的值等于2． 板书设计§2．1 二次函数所描述的关系一、1．由实际问题探索二次函数关系(投影片§2．1 A) 2．想一想3．做一做(投影片§2．1 B) 4．二次函数的定义 二、课堂练习 随堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考例题1．用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m 2)与矩形一边长l(m)之间 的关系是什么?是函数关系吗?是哪一种函数? 解：S=l(260-l)=l(30-l)=30l-l 2=-l 2+30l 是二次函数关系式． 2．下列函数中，哪些是一次函数?哪些是二次函数?(1)y=3(x-1)2+1； (2)y ＝x+x1； (3)y ＝(x+3)2-x 2；(4)y=21x -x 解：(1)y=3(x-1)2+1=3x 2-6x+4；(3)y=(x+3)2-x＝x2+6x+9-x2＝6x+9；∴(3)是一次函数，(1)是二次函数．。
二次函数所描述的关系导学案
§2-1 二次函数所描述的关系导学案学习目标：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验2、能够表示简单变量之间的二次函数关系3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题学习重点和难点重点：表示简单变量之间的二次函数关系难点：利用尝试求值的方法解决实际问题知识储备:与银行储蓄有关的关系式（不考虑利息税时）利息＝本金×利率×期数本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数＝本金×（1+利率×期数）学习过程一、复习引入这一章，我们将学习另外一种重要的函数——二次函数。
二、自主学习1、橙树的产量（利润模型）y＝=2、银行储蓄（利率模型）设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y （元）的表达式（不考虑利息税）。
依题意，一年后的本息和是 ，此即为第二年的本金，则可得=y 二次函数定义及一般形式一般地，形如c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，0≠a ）的函数叫做x 的二次函数。
其中，x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
※注意：1）x 的最高次数为2；2）0≠a ，但b 、c 可以为零。
二、巩固练习（先自主完成，再小组交流） 1、下列函数中，y 是x 的二次函数的是( )A.012=-+y xB.2)1)(1(x x x y -+-=C.212x y -+=D.0232=-+y x 2、设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y= .3、多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系是 . 三、全班交流，例题学习 例1：已知3)2()3(42++++=-+x m x m y m m（1）当m 为何值时，y 是x 的二次函数？（2）当m 为何值时，y 是x 的一次函数？例2：某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m,(1)长方体的长和宽用x 表示，长方体需要涂漆的表面积s （2m ）如何表示？ (2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所用用y （元）表示，那么y 的表达式是什么？四、课堂小结二次函数定义及一般形式。
二次函数所描述的关系(学生学案 导学案)
2.1二次函数所描述的关系（导学案）一、导思-【问题导学】1、设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应。
那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2、我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中 的图像是直线。
. 的图像是双曲线。
我们得到他们图像的方法和步骤是：（1） .（2） .（3） . 3、形如y= （ ）的函数是一次函数。
当 =0时，它是 函数，图像是经过 的直线；形如y=xk（ ）的函数是 函数，它的表达式还可以写成 、 。
4、9)1(22=-x 是方程，化为一元二次方程一般形式为 ，它的二次项系数为 一次项系数 为常数项为 。
二、【明标自学】1．使学生了解二次函数的意义;2．掌握二次函数概念，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项; 3．能够表示简单变量之间的二次函数关系及自变量取值范围;三、探究-【示疑议疑】利用已经学过的知识解决下列问题；探究1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树,这时平均每棵树结 个橙子.(2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．.探究2、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB 的长为xm ，先取x 的一些值，算出矩形的另一边BC 的长，进而得出矩形的面积ym 2．试将计算结果填写在下表的空格中，是x 的函数，试写出这个函数的关系式. .探究3、某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。
将这件商品降价多少时，能使销售利润最大？在这个问题，思考并回答：（1）商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?（2）如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?（3）若每件商品降价x 元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?（4）x 的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，（5）若设该商品每天的利润为y 元，求y 与x 的函数关系式。
数学：2.1《二次函数所描述的关系》学案(北师大版九年级下)
数学：2.1《二次函数所描述的关系》学案（北师大版九年级下） 学习目标:
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点:
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习难点:
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
学习方法:
讨论探索法.
学习过程:
【例1】 函数y=（m ＋2）x 22 m ＋2x －1是二次函数，则m= ．
【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x
＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．
1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．
2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．
3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．[
【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y （元）与年利率x 的函数表达式．
【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．
课后练习: 作业： 小结：
教后记：。
九下21二次函数所描述的关系导学案
(1) 从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征?教学目标：1.理解二次函数的概念；2 .能够表示简单变量之间的二次函数的关系。
知识回顾：1、正比例函数的表达式为一次函数反比例函数表达式为。
2、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子。
请问种多少棵树才能达到30000个的总产量？你能解决这个问题吗？(请列出方程，不用计算)新知探究：3. (独学+对学)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2) 假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子?(2) 仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？(3) 你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。
【归纳总结】一般地，形如(其中均为常数工0)的函数叫做你能举出类似的例子吗？巩固练习6、下列函数中(x、t是自变量)，哪些是二次函数？1 2 1 2 3 2 2y 3x , y x - x 25, y = 2 2x, s = 1 t 5t2 27、物体从某一高度落下，已知下落的高度h ( m和下落的时间t (s)的关系是：h=4.9t2，填表(3) 如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
&圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时，圆的面积增加y cm2。
(1) 写出y与x之间的关系表达式；(2) 当圆的半径分别增加1cm, i 2 cm, 2cm时，圆的面积增加多少? 知识运用:4. 做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。
2020年北师大版九年级数学下册《二次函数所描述的关系》导学案
新北师大版九年级数学下册《二次函数所描述的关系》导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2.会表示简单变量之间的二次函数关系。
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。
（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。
【重点难点】1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。
2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。
知识概览图⎧⎨⎩利用尝试求值的方法解决实际问题二次函数所描述的关系二次函数的定义新课导引【生活链接】一个果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．【问题探究】(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式； (3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少个? 【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识． 教材精华知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题．(1)如果设果园增种x 棵树，那么果园共有(x ＋100)棵橙子树．因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x 棵树，平均每棵树结(600－5x )个橙子．(2)由(1)可得果园橙子的总产量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．(3)我们得到一个函数关系式y＝－5x2＋l00x＋60000，它与我们过去学过的y＝kx，y＝kx＋b，y＝kx(k≠0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为－5，这就是我们要研究的二次函数的关系式．果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多?我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想．试着列出下表：我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个．下面我们再看一个生活中的问题．银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．一年到期的本息和是100＋100x＝100(1＋x)，第二年转存后到期的本息和为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考虑利息税(利息税为20％)，每100元的利息税为20x，则y＝100(1＋0.8x)2=64x2＋160x＋100．拓展由以上两个情境我们知道，它们都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．知识点2 二次函数的定义一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．拓展 (1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0时，y=ax2＋bx＋c才是二次函数；当a=0时，y＝bx＋c，若b≠0，则它是一次函数，若b＝0，则y=c是一个常函数．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程．┃规律方法小结┃判断一个函数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断．课堂检测基本概念题1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( )A．x＋y2－1=0B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2C．y=221xD．x2＋3y－2＝02、在下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的模型的是 ( )A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系B．某地区人口自然增长率为l％，这个地区的人口总数随年份变化的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D．圆的周长与圆的半径的关系基础知识应用题3、在半径为4 cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x 之间的函数关系式为（）A．y=πx2－4 B．y=π(2－x)2C．y＝－(x2＋4) D．y=－πx2＋16π综合应用题4、如图2－1所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2)．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B与∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x，S△AMN ＝y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．探索与创新题6、设直线y=kx＋b(k≠0)与二次函数y＝ax2的图象的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证123111.x x x+=体验中考小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、┃分析┃先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义．把A变形为y2＝－x＋1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是．把B变形为y＝2x －2，自变量x的最高次数不是2，故B不是．因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是．把D变形为y=－13x2＋23，符合二次函数的定义．故选D．【解题策略】要判断一个函数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再来判断．判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．要同时具备这三点才是二次函数．2、┃分析┃A中的速度=路程时间，所以速度与时间是反比例关系．B中人口总数与年份的关系很难确定．D中圆的周长C＝2πr，周长与半径成正比例关系．故选C.【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断．3、┃分析┃剩下的圆环面积应为π(R2－r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径．由题意得y ＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故选D．【解题策略】准确运用圆的面积公式．4、┃分析┃根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的代数式表示y，使y的系数为1．解：(1)根据题意，得y ＝(4＋x )(3＋x )－3×4＝12＋7x ＋x 2－12＝x 2＋7x ． (2)上述函数是二次函数． (3)x ≥0．【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想．5、┃分析┃本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x 的取值范围应根据MN 所处的位置判定． 解：∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴2()AMN ABC S MN S BC=V V ． 而BC ＝10，S △ABC ＝25，∴y =14x 2(0<x <10)． 【解题策略】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的正确运用．6、┃分析┃ 因为两个函数图象的交点是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y 所得的关于x 的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x 1x 2，x 1＋x 2的值．证明：由题意得2y kx b y ax =+⎧⎨=⎩①,②,将①代入②，得ax 2－kx －b ＝0． ∵x 1，x 2是两个函数图象的交点的横坐标， ∴x 1，x 2是方程ax 2－kx －b ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝b a-， ∴12121211.x x k x x x x b++==- 又∵直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴交点的横坐标为x 3，∴0=kx 3＋b ，∴x 3=123111,.b k x x x -∴+=【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便． 体验中考┃分析┃根据矩形的面积公式来确定解析式． 解：根据题意，得S ＝6022x-·x =-x 2＋30x ．即S ＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围是0＜x ＜30．22．1．3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、掌握抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 【重点难点】1、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质； 知识概览图图象：与二次函数y =ax 2的图象形状相同，只是位置不同，可由y =ax 2的 图象沿x 轴经过左、右平移得到①当a ＞0时，开口向上，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y随x 的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x =h 时，y min ＝0 ②当a ＜0时，开口向下，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当x ＝h 时，y m a x ＝0新课导引还记得上节我们提到的永和桥吗?如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗?【问题探究】该抛物线可以看成是由抛物线y ＝ax 2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为y ＝a (x －175)2，由A(0，－85)可得－85＝1752a ，解得a ≈－0.0028．【解析】 解析式为y ＝－0.0028(x －175)2． 教材精华知识点1二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x －1)2，y ＝(x ＋1)2的图象．二次函数 y =a (x －h )2性质(1)列表：x …－3－2－10 1 2 3 …y=x2… 4 1 0 1 4 …y=(x－1)2… 4 1 0 1 4 …y=(x＋1)2… 4 1 0 1 4 …(2)描点．(3)连线，如图所示．拓展函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，位置不同．函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象经过左、右平移得到．当h＞0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h＜0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向左平移|h|个单位得到的．抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的关系可见下表：y=ax2(a≠0)向左平移|h|个单位向右平移|h|个单位y=ax2(a＞0)y=a(x－h)2(a＞0，h＜0)y＝a(x－h)2(a＞0，h＞0)y=ax2(a＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＞0)知识点2抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，在直线x＝h的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线x＝h 的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点．拓展抛物线y＝a(x－h)2的性质与抛物线y＝ax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：函数对称轴顶点坐标抛物线的趋势最低(高)点y=ax2y轴(0，)当a＞0时，在对称轴左侧，抛物线呈下降趋势，在对称轴右侧，抛物线呈上升趋势；当a<0时，在对称轴左侧，抛物线呈上升趋势，在对称轴右侧，抛物线呈下降趋势当a＞0时，y＝ax2的图象有最低点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最低点(h，0)；当a＜0时，y=ax2的图象有最高点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最高点(h，0)知识点3 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)有如下性质：(1)二次函数y＝a(x－h)2(a＞0)，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，函数有最小值是0．(2)二次函数y＝a(x－h)2(a＜0)，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时,y随x的增大而减小，当x＝h时，函数有最大值是0．拓展对于二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a＞0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＜y2；当a＜0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＞y2；而对于任何a≠0，若|x1－h|＝|x2－h|，则y1＝y2．课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2与y＝－12(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2作怎样的平移得到的?(2)求函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴；(3)求函数y＝－12(x－1)2的最值．综合应用题2、二次函数y＝(x－k)2与直线y＝kx(k＞0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( )3、已知二次函数y1＝a(x－h)2与直线y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，其中A(0，－1)，B(1，0)．(1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象；(2)当y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时，分别求出自变量x的取值范围．探索创新题4、如图所示，下列说法正确的是( )A．当y1＜y2时，自变量x的取值范围不能确定B．当y1＜y2时，－1＜x＜3C．当y1＜y2时，－1≤x≤3D．当y1＜y2时，x＜－1或x＞3体验中考1、抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位2、二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )A．2 B．1 C．－1 D．－2 学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析用描点法画出图象后，可根据图象回答问题．解：函数y=－12x2与y=－12(x－1)2的图象如图所示．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2向右平移1个单位长度得到的．(2)函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1．(3)对于函数y＝－12(x－1)2，当x＝1时，y有最大值，最大值是0．【解题策略】本题主要考查二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质，要注意与y＝ax2(a≠0)对比学习，从而得出抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)形状相同，只是位置不同的结论．2、分析∵k＞0，∴直线y＝kx经过第一、三象限，而抛物线y＝(x－k)2可以看成是将抛物线y＝x2向右平移k个单位长度得到的．故选B.【解题策略】解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案．3、分析可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围．解：(1)∵函数y1＝a(x－h)2与y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，∴221(0),0,1,0(1),a h k bba h⎧-=-+=⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩解得1,1,1,1,a kh b=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2，直线的解析式为y＝x－1．图象如图所示．(2)由图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.【解题策略】两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式．4、分析由图象可知，当y1＝y2时，x1＝－1，x2＝3，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1<x<3。
2019-2020学年九年级数学下册《2.1-二次函数所描述的关系》导学案-北师大版
2019-2020学年九年级数学下册《2.1 二次函数所描述的关系》导学案北师大版【学习目标】1．理解并掌握二次函数的概念及应用；2．能够根据实际情况表示变量之间的二次函数关系。
【媒体使用】【学习过程】一、自主探究及巩固：【探究1】二次函数的定义一般地，形如_________________________的函数叫做x的二次函数。
定义解读：左边是因变量_______，右边是含自变量x的__________________，由于是二次函数，所以a一定______________，b、c可以__________。
【自我巩固】下列函数中是否为二次函数，不是的说明原因：(1)18-=xy（）原因：_______________________________________；(2)122+=xy（）原因：_______________________________________；(3))2(2+-=xxxy（）原因：_______________________________________；(4)1212-+=xxy（）原因：_______________________________________；【探究2】用二次函数表示变量之间的关系某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x米，所花费用为y元，试写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围。
【分析】根据题意可知，设计费用y是按面积计算的，所以应从矩形面积建立数量关系，设一边长为x米，则另一边为_________米，矩形面积为___________________。
【自我巩固】某超市经销一种成本为40元/㎏的小产品，据市场调查，若按50元/㎏销售，一个月能售出500㎏，销售单价每上涨1元，月销售量下降10㎏，设销售单价定为x元/㎏，月销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为：_______________________。
九年级上册22.1 二次函数关概念导学案
4.半径是1cm,假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm2.
m， ,2cm时，圆的面积增加多少？
5.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，已知长方体的长和宽相等，高比长多0.5m
（1）如果长方形的长和宽用x(m)表示，那么长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示？
二次备课：
教后反思：
四．归纳小结，拓展延伸
1.把一个长4cm宽3cm的矩形的长和宽都增加xcm所得的新矩形的面积y(cm2)用x表示为。
2.一台机器现价60万元，如果每年的降价率为x，两年后这台机器的价格为y元，则y与x的函数关系式为。
3.已知正方形边长是6，若边长增加x，则面积增加y,则y与x的函数关系式为
22.2.1二次函数导学案
22.2.1二 次 函 数设计教师： 审核：九年级 备课组一、学习目标：1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数.3. 确定实际问题中二次函数的关系式.二、学习重点、难点：1、重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；2、难点：理解二次函数的概念三、学习过程：（一）知识链接：1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数。
（二）自主学习：1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ .5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．（三）合作交流：合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答：（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答：例1下列函数中哪些是二次函数？（1）y=3x 2-11x+2; (2)y=9x 2-5x+x 3; (3)y=2x 2-x+23x. (4)y=x 2-5 例2、已知函数y=(m 2-4)x 2+（m+2）x+3.(1)当m 为何值时，此函数是二次函数？（2）当m 为何值时，此函数是一次函数？四、达标检测 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
221二次函数导学案
221二次函数导学案二次函数是高中数学中常见的一类函数，它的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数且 $a \neq 0$。
这节课我们将深入学习二次函数的概念、性质、图像和应用。
一、二次函数的定义和性质1. 定义：二次函数是定义在实数集上的一个函数，它的公式为 $y = ax^2 + bx + c$。
其中 $a$、$b$、$c$ 是实数且 $a \neq 0$。
2. 顶点：二次函数的图像是一个抛物线，该抛物线的对称轴与$x$ 轴的交点被称为顶点。
顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$-\frac{b^2}{4a} + c$。
3. 对称轴：二次函数的图像的对称轴与 $x$ 轴平行，对称轴的方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。
4.开口方向：当$a>0$时，二次函数的开口方向向上；当$a<0$时，二次函数的开口方向向下。
5. 零点：二次函数的图像与 $x$ 轴的交点被称为零点或根。
二次函数的零点可以通过解方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 求得。
二、二次函数图像的绘制1. 求顶点：根据 $x = -\frac{b}{2a}$ 和 $y = -\frac{b^2}{4a} + c$ 求得顶点坐标。
2. 求对称轴：根据对称轴的方程 $x = -\frac{b}{2a}$ 求得对称轴的方程。
3.确定开口方向：根据系数$a$的正负确定二次函数的开口方向。
4.求零点：根据二次函数的零点与$x$轴的交点求得零点。
5.绘制图像：根据以上得到的信息，绘制二次函数的图像。
三、应用1.最值问题：二次函数的图像是一个抛物线，当二次函数的开口方向向上时，最小值为顶点的纵坐标；当二次函数的开口方向向下时，最大值为顶点的纵坐标。
2. 零点问题：二次函数的零点就是方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解，可以通过解方程求得。
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§2.1 二次函数所描述的关系
一、学习目标:
通过活动在具体情境中归纳出二次函数的定义.并根据定义识别二次函数并会列出二次函数解析式，独立完成同步练习。
二、学习过程
回顾思考：
1. 我们学过那些函数，它们一般形式是什么？
新知探究：
活动：（自主学习后，小组交流）
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有变量是 ，自变量是 ，因变量是
(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有棵橙子树 棵，这时平均每棵
树结 个橙子。
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．
想一想：在上述问题中，使果园橙子的总产量最多，增种 棵橙子树。
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。
根据表中的数据作出猜测：
二次函数定义： 一般地,形如 (a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数。
写出二次函数的例子：
同步练习（1）：
下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－x 2；④y=21x
＋x ． （6）v=10πr ² A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 同步练习（2）：
函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，求m 的值。
Y/个
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵 x x y -=21)5(
同步练习（3）：
设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．
三、课堂检测：
1．下列不是二次函数的是（ ）
A ．y=3x 2
＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 2．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）
A ．m 、n 为常数，且m ≠0
B ．m 、n 为常数，且m ≠n
C ．m 、n 为常数，且n ≠0
D ．m 、n 可以为任何常数
3．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ）
A ．S=2π（x ＋3）2
B ．S=9π＋x
C ．S=4πx 2＋12x ＋9
D ．S=4πx 2＋12x ＋9π
4．当m 时，y=（m －2）x 22-m 是二次函数．
5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y 与x 之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm 时,圆的面积增加多少？
6．已知：一等腰直角三角形的面积为S ，请写出S 与其斜边长a 的关系表达式，并分别
求出a=1，a=2，a=2时三角形的面积．。