第三章不等式章末质量评估

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人教版高中数学必修3第三章章末评估验收(三)

人教版高中数学必修3第三章章末评估验收(三)章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为()①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签．A．0B．1C．2D．3解析：①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军；②李凯不一定被抽到；③任取一张不一定为1号签；故①②③均是随机事件．答案：D2．下列说法中正确的是()A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1B．若事件A与事件B满足条件：P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B 是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件答案：D3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是()8．手表实际上是个转盘，一天24小时，分针指到哪个数字的概率最大( )A ．12B ．6C ．1D ．12个数字概率相等解析：手表设计的转盘是等分的，即分针指到1，2，3，…，12中每个数字的机会都一样．答案：D9．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49解析：任意找两人玩这个游戏，其有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a －b |≤1的有如下情形：①若a ＝1，则b ＝1，2；②若a ＝2，则b ＝1，2，3；③若a ＝3，则b ＝2，3，4；④若a ＝4，则b ＝3，4，5；⑤若a ＝5，则b ＝4，5，6；⑥若a ＝6，则b ＝5，6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49. 答案：D10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.5611．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 2解析：随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p 1＝1036＝518.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p 2＝1318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p 3＝12.故p 1＜p 3＜p 2. 答案：C12．在一个不透明的袋中，装有若干个颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为14，那么袋中球的总个数为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．13.如图所示的矩形，长为5 m ，宽为2 m ，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m 2.解析：由题意得：138300＝S 阴5×2，S 阴＝235. 答案：23514．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．答案：1315．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是______．解析：由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P ＝19. 答案：1916．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________．答案：－2≤a ≤ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：分数段[40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 概率 0.02 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15(2)求该班成绩在[60，100]内的概率．解：记该班的测试成绩在[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[80，100]内的概率是P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝0.25＋0.15＝0.4.(2)该班成绩在[60，100]内的概率是P (A ∪B ∪C ∪D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1 ，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1 ，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解：(1)所有可能的摸出结果是：{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．19．(本小题满分12分)先后掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．解：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)．故P (A )＝636＝16. (2)记“出现两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件只有1个，即(4，4)．故P (B )＝136. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)．故P (C )＝1236＝13. 20．(本小题满分12分)(2019·安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.21．(本小题满分12分)甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的．设在下午1：00～2：00之间该车站有四班公共汽车开出，开车时间分别是1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率：(1)约定见车就乘；(2)约定最多等一班车．解：设甲、乙到站的时间分别是x，y，则1≤x≤2，1≤y≤2.试验区域D为点(x，y)所形成的正方形，以16个小方格表示，示意图如图(a)所示．(1)如图(b)所示，约定见车就乘的事件所表示的区域如图(b)中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为416＝14. (2)如图(c)所示，约定最多等一班车的事件所示的区域如图(c)中的10个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为1016＝58. 22．(本小题满分12分)(2019·陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下；赔付金额/元0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数/辆 500 130 100 150 120(1)概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为：P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.100第 11 页。

高中数学课件：第三章章末复习方案与全优评估

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1 问题转化为求 a 小于或等于 f(x)＝sin x＋sin2x的最小值问题．
2
1 1 2 因 sin x＋sin2x≥2，当且仅当 sin x＝sin2x，
2
即 sin2x＝1 时等号成立．即 f(x)的最小值为 2，于是 a≤2.
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[例 3]
a 设函数 f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)． x＋1
讨论a与b的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的
一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别
式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．
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(2)应注意讨论ax2＋bx＋c>0的二次项系数a是否为零的情况． (3)要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想，分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则．
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1 即5a －4a－1＝1 将a＝－5代入①得f(x)的解析式 1 2 6 3 f(x)＝－5x －5x－5.
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(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a
2 1＋2a2 a ＋4a＋1 ＝ax－－ . a a
loga1≥1－12，方(如图)．因此应有 loga2≥2－12，
解得 1＜a≤2.
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4．对于任意实数x，若不等式sin4x－asin2x＋1≥0恒成立，
求实数a的取值范围．
解：由原不等式可得 asin2x≤sin4x＋1. (1)当 sin x＝0 时，化为 0<1，恒成立，故 a∈R. sin4x＋1 1 2 (2)当 sin x≠0 时，a≤ sin2x ＝sin x＋sin2x.
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[借题发挥]
对于不等式恒成立求参数范围问题常见

2024_2025学年高中数学第三章不等式单元质量评估测评1含解析新人教A版必修5

第三章单元质量评估(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合P ＝{x|x 2－2x≥0}，Q ＝{x|1<x≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( C ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2]解析：∵P ＝{x |x (x －2)≥0}＝{x |x ≥2或x ≤0}，∴∁R P ＝(0,2)．又∵Q ＝(1,2]，∴(∁RP )∩Q ＝(1,2)，故选C.2．若M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( A ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N解析：∵M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，∴M >N .3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( A ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3,4)的坐标满意3x ＋2y ＋5>0，故选A.4．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( C )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值64D ．最小值12解析：∵x >0，y >0，2x ＋8y＝1，∴1＝2x ＋8y≥22x ·8y.∴xy ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝16时取等号．∴xy ≥64.5．若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集是{x |－7<x <－1}，则实数m 的值是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题意，－7，－1是方程mx 2＋8mx ＋28＝0的两个根，且m >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－7－1＝－8m m ，－7×－1＝28m，即m ＝4.6．函数f (x )＝x ＋4x＋3在(－∞，－2]上( D ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值－1，无最小值解析：∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－(－x )＋－4x＋3≤－2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x，即x ＝－2时，等号成立．∴f (x )有最大值－1，无最小值．7．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，2] B ．(－2,2] C ．(－2,2) D ．(－∞，－2)解析：当a －2＝0时，a ＝2，不等式明显恒成立．当a －2≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4a －22＋16a －2<0，解得－2<a <2.综上可知，－2<a ≤2.故应选B.8．若a >0，b >0，则不等式a >1x>－b 等价于( C )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <0或0<x <1bC ．x <－1b 或x >1aD ．－1a <x <1b解析：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋b >0，1x －a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1b 或x >0，x <0或x >1a，所以x <－1b 或x >1a.9．已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( B )A ．(－14,16)B ．(－14,20)C ．(－12,18)D ．(－12,20)解析：如右图，当直线y ＝2x 5－z 5过(3,4)时，z 最小，z min ＝－14，当直线y ＝2x 5－z5过(0，－4)时，z 最大，z max ＝20，因此z 的取值范围是(－14,20)．10．已知点O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满意不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则cos ∠POQ 取最小值时的∠POQ 的大小为( D )A.π2 B ．π C．2π D.π4解析：作出不等式组的线性规划区域，如右图，可求得A (1,7)，B (1，32)，C (4,3)，由图知∠POQ 为锐角，由余弦函数的单调性知，当∠POQ 最大时，cos ∠POQ 取最小值，即∠POQ ＝∠AOC 时满意条件．由距离公式计算，可得OA 2＝50，OC 2＝25，AC 2＝25，由余弦定理得cos ∠AOC ＝OA 2＋OC 2－AC 22·OA ·OC ＝50＋25－252×52×5＝22，∠AOC ＝π4.11．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满意x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为( A )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由题意知y ＝x ＋3z2.所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz ＋32＝32＋32＝3(当且仅当x 2＝9z 2时等号成立)，所以y 2xz的最小值为3.12．设O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)．若点N (x ，y )满意不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使得OM →·ON →取得最大值时点N 有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．多数个解析：作出可行域为如图所示的△ABC ，令z ＝OM →·ON →＝2x ＋y .∵其斜率k ＝－2＝k BC ，∴z ＝OM →·ON →＝2x ＋y 与线段BC 所在的直线重合时取得最大值．∴满意条件的点N 有多数个．二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a ＝2x 2＋x ，b ＝x 2－1，则a ，b 中较大的是a .解析：因为a －b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以a ，b 中较大的是a .14．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为18.解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2，且a >0，b >0.3a ＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a＋9b的最小值为18.15．已知实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是－9.解析：x ，y 满意的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝12x －12z ，可知当直线过点A (3,6)时，目标函数z ＝x －2y 取得最小值－9.16．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．解析：由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(本小题10分)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解：∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12，且z ＝1时取等号．18．(本小题12分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2x >2，x 2－x －2>0.解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x －2x>2，x 2－x －2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2x x >0，x 2－x －2>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2<0，x －2x ＋1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <0，x >2或x <－1.∴－2<x <－1.∴不等式组的解集为{x |－2<x <－1}．19．(本小题12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)．由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数，∴0<x 2－4x ＋3≤3，∴0≤x <1或3<x ≤4， ∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3<x ≤4}．20．(本小题12分)若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，得(2＋x )y ＝30－x ，又2＋x ≠0，所以y ＝30－x 2＋x >0,0<x <30.(1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时，等号成立，因此xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当x ＝42－2时，等号成立．由y ＝30－x2＋x >0，得x <30.∵x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3(0<x <30)，令x ＋2＝t (2<t <32)，则由函数f (t )＝t ＋32t的性质可知，当2<t <32时，f (t )<f (32)＝33，∴x ＋2＋32x ＋2－3<30，即x ＋y <30. ∴x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．21．(本小题12分)有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a 的2根，长度为b 的3根；按其次种方式切割，可截成长度为a 的3根，长度为b 的1根．(1)现需长度为a 的2根与长度为b 的1根配成一套，问这两种切割方式应满意的比例是多少？(2)假如长度为a 的至少须要50根，长度为b 的至少须要45根，问应如何切割可使钢条用量最省？解：(1)设按第一种切割方式需x 根，按其次种切割方式需y 根，依题意，得2x ＋3y 3x ＋y ＝21，即x y ＝14. 故按第一、其次种切割方式的钢条数目之比为1∶4. (2)依题意，可知线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥50，3x ＋y ≥45，x ，y ∈N .作出其可行域为如图阴影部分中的整点．现欲求目标函数z ＝x ＋y 的最小值，由于直线3x ＋y ＝45与直线2x ＋3y ＝50的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1217，847，使z ＝x ＋y ＝2057，不合题意．于是将过点A 的直线z ＝x ＋y 再向远离原点的方向平移，最先可能经过的整点是可行域内下列最低整点：(10,15)，(11,12)，(12,9)，(13,8)，(14,8)，…，验证可知这些整点中使z ＝x ＋y 的值取得的最小值为21.故按第一、其次种切割方式的钢条数分别为12和9，或13和8时，可使运用的钢条总量最省．22．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a . (1)当a ＝12时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若对于随意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，不等式f (x )>1为x 2＋2x －12>0，即2x 2＋4x －1>0，解得x <－1－62或x >－1＋62. 所以不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1－62或x >－1＋62. (2)若对于随意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，即a >－x 2－2x 恒成立，只需a >(－x 2－2x )max .因为－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，所以当x ＝1时，－x 2－2x 取得最大值为－3，所以a >－3.所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

2020_2021学年高中数学第三章不等式质量评估2含解析北师大版必修5

第三章单元质量评估(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若a <0，－1ab 2>a B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．a >ab >ab 2解析：因为－1ab 2>a ，故选A.2．若不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a －b 的值是( D ) A ．－10 B ．－14 C ．10 D ．14解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，－2a ＝－12＋13，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.因此a －b ＝14.3．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1<a <15B ．a <－1C ．a <－1或a >15D ．a >15解析：若存在x 0∈(－1,1)，使f (x 0)＝0，即f (－1)·f (1)<0，即(－5a ＋1)(a ＋1)<0. 解得a <－1或a >15.4．函数f (x )＝1x3－x＋ln x1－x 的定义域为( A )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x >0，x1－x>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，0<x <1，即0<x <1.5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C．[－2,2] D ．[0，＋∞)解析：对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，等价于对任意实数t ≥0，f (t )＝t 2＋at ＋1≥0恒成立，又f (0)＝1>0，因此有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0，－a2≤0或Δ＝a 2－4≤0，解得a ≥－2，故选B.6．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b >0，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( B )A.92 B ．－92 C.14D ．－4 解析：－12a －2b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －2b ＝－12－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≤－52－22ab ·b 2a ＝－92. 7．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( A ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∉M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∈M 8．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( D ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4ba ＋7≥43＋7，当且仅当3ab ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号．故选D.9．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( C )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：画出约束条件所表示的可行域，如图所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取得最大值，∴x ＝a ＋b ＝13.10．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( B )A ．1B ．6C ．9D ．16解析：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，得a >1，同理得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1×9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴1a －1＋9b －1的最小值为6. 11．设数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( B )A ．3B ．4C ．－7D ．－5解析：设数列{a n }的公差为d .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 1≤13，4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1≤132a 1＋3d ≥5a 1＋2d ≤3，a 4＝a 1＋3d ，因此可转化为已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤132x ＋3y ≥5x ＋2y ≤3，求z ＝x ＋3y 的最大值问题．画出可行域(如图中阴影部分所示)．当直线y ＝－13x ＋z3经过点A (1,1)时，z 取得最大值4.故a 4的最大值为4.12．在平面直角坐标系xOy 中，OA →＝(a ，b )，OB →＝(c ，d )，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，根据平面向量的加法运算及几何意义，可知点C 的坐标为(a ＋c ，b ＋d )．据此，形如(－3λ＋8μ，4λ＋6μ)(0≤λ≤μ≤1)的点构成的平面区域的面积等于( C )A ．50B ．48C ．25D ．24解析： (－3λ＋8μ，4λ＋6μ)＝λ(－3,4)＋μ(8,6)，形如(－3λ＋8μ，4λ＋6μ)的点构成的平面区域如图中的阴影部分所示，其中A (－3，4)，B (8,6)，可知OA ⊥OB ，故四边形OACB 为矩形，又OA ＝5，OB ＝10，故S △OBC ＝12×10×5＝25，即所求面积为25.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．不等式2x －3x ＋1≤12的解集为(－∞，－3]∪(0,1]．解析：原式⇔x －3x ＋1≤－1⇔x －3x ＋2≤0⇔x 2＋2x －3x≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x x －1x ＋3≤0，x ≠0⇒x ≤－3或0<x ≤1.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是(－1，2－1)．解析：作出函数f (x )的图像，如图所示．由函数f (x )的图像，可知满足f (1－x 2)>f (2x )的情况分两种：①⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x ≥0，1－x 2>2x⇒0≤x <2－1；②⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0⇒－1<x <0.综上可知，－1<x <2－1.15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值为255.解析：画出可行域，如图所示，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点(0,0)的距离，由图得，距离的最小值为原点(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝25＝255.16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝ 6.05，则最大车流量为1_900辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．解析：(1)l ＝6.05，则F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋18＋121v，由基本不等式v ＋121v≥2121＝22，得F ≤76 00022＋18＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900.(2)l ＝5，F ＝76 000vv 2＋18v ＋100＝76 000v ＋18＋100v，由基本不等式v ＋100v≥2100＝20，得F ≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝(x －y )(－2xy )＝－2xy (x －y )．因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0. 所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．18．(本小题12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)由f (1)>0得－3＋a (6－a )＋b >0⇒a 2－6a ＋3－b <0，∴(a －3)2<6＋b . 当b ≤－6时，不等式的解集为∅；当b >－6时，不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )>0得3x 2－a (6－a )x －b <0，因f (x )>0的解集为(－1,3)，即不等式3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，故x ＝－1，x ＝3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两实根，由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3－1×3＝－b3⇒⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝9.19．(本小题12分)已知不等式ax 2＋(1－a )x ＋a －1<0. (1)若不等式对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若不等式对a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，不等式为x －1<0，解得x <1，显然不符合题意；当a ≠0时，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1－a 2－4a a －1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3a 2－2a －1>0，解得a <－13. 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. (2)原不等式可化为(x 2－x ＋1)a ＋x －1<0，设g (a )＝(x 2－x ＋1)a ＋x －1，由题意，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )<0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，12x 2－x ＋1＋x －1<0，解得－1－52<x <－1＋52.所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1－52，－1＋52.20．(本小题12分)已知函数f (x )＝(3x －1)a －2x ＋b .(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，且a >0，b >0，求ab 的最大值；(2)当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，求z ＝a ＋b ＋2a ＋1的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(3a －2)x ＋b －a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝203，∴a ＋b －43＝203，即a ＋b ＝8.∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，ab ≤4，ab ≤16，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立．故ab 的最大值为16.(2)∵当x ∈[0,1]时，f (x )≤1恒成立，且2a ＋3b ≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0≤1，f 1≤1，2a ＋3b ≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a ≤1，b ＋2a ≤3，2a ＋3b ≥3，满足此不等式组的点(a ，b )构成图中的阴影部分，由图可得，经过(a ，b )与(－1，－1)两点的直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，2，∴z ＝a ＋b ＋2a ＋1＝b ＋1a ＋1＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，3. 21．(本小题12分)某畜牧场饲养家畜，每天需要A ，B ，C 三种营养成分，且最低需要量分别为8,12和10个单位，这些成分含在甲、乙两种饲料中，甲、乙两种饲料所含营养成分如下表所示：饲料营养成分(单位/kg)甲乙 A 1 2 B 2 2 C51家畜的最低营养需要，又能使费用最少？解：设需要甲、乙两种饲料分别为x kg 和y kg ，u 表示总费用．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥8，2x ＋2y ≥12，5x ＋y ≥10，x ≥0，y ≥0，目标函数为u ＝3x ＋y ，作出可行域，如图中阴影部分所示．其中A (1,5)，B (4,2)，C (8,0)，D (0,10)．平移直线3x ＋y ＝0，经过点A (1,5)时，u ＝3x ＋y 取得最小值，且u min ＝3×1＋5＝8. 所以甲饲料1 kg 、乙饲料5 kg 时，既能满足家畜的最低营养需要，又能使费用最少． 22.(本小题12分)随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2018年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量x (万件)与年促销费用t (万元)之间满足3－x ＝kt ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年销量只有1万件．已知2018年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150%与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销售完．(1)将2018年的利润y (万元)表示为促销费用t 的函数；(2)该企业2018年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解：(1)将t ＝0，x ＝1代入3－x ＝kt ＋1，求得k ＝2，所以3－x ＝2t ＋1，解得x ＝3－2t ＋1. 设年生产保健品x 万件时，年生产成本为y 1万元，由题意，得y 1＝32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＝99－64t ＋1，设销售保健品x 万件时，年销售收入为y 2万元，由题意，得y 2＝150%×⎝⎛⎭⎪⎫99－64t ＋1＋12t ，由题意，生产x 万件保健品正好销售完，故年利润y ＝150%×⎝⎛⎭⎪⎫99－64t ＋1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫99－64t ＋1－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ＋1＋t 2＋992(t ≥0)．(2)∵y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ＋1＋t 2＋992＝－⎝⎛⎭⎪⎫32t ＋1＋t ＋12＋50，而32t ＋1＋t ＋12≥232t ＋1·t ＋12＝8(当且仅当32t ＋1＝t ＋12，即t ＝7时等号成立)．所以y ≤－8＋50＝42，所以当促销费用为7万元时，企业的年利润最大．。

优化方案高中数学第三章不等式章末综合检测新人教A版必修5

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝2a (a －1)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：选A.M －N ＝2a 2－2a －(a 2－3a ＋a －3)＝a 2＋3>0，所以M >N .2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x －y ＋2≥0表示的平面区域是图中的( )解析：选C.不等式y ≤2表示直线y ＝2下方区域(包含边界)，不等式x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方区域，取两区域的重叠部分，故选C.3．不等式mx 2＋11x ＋n <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，13，则m ＋n ＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选 D.由题意，知m >0，且－4和13是方程mx 2＋11x ＋n ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－11m ＝－4＋13，nm ＝－4×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－4，所以m ＋n ＝－1，故选D.4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．t >23B ．t <23C ．t >－23D ．t <－23解析：选A.通过画图可知点(－2，t )与原点在已知直线的异侧，故有[2×(－2)－3t ＋6]×6<0，即2－3t <0，所以t >23.5.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1解析：选B. 因为x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，所以(1－xy )(1＋xy )＝1－x 2y 2≥34.因为x 2y 2≥0，所以34≤1－x 2y 2≤1.6．如果a 0，ab >0，所以1a －1b >0，故1a >1b，故A 错，D 正确．对于B ，ab －b 2＝b (a －b )，因为b <0，a －b <0，所以ab －b 2>0，故ab >b 2，故B 错．对于C ，a 2－ab ＝a (a －b )，因为a <0，a －b <0，所以a 2－ab >0，故－ab >－a 2，故C 错．7.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a 2，x －4<2a 的解集非空，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选A. 原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >1＋a 2，x <2a ＋4，由题意可得1＋a 2<2a ＋4⇒a 2－2a －3<0⇒－1<a <3.故选A.8．设A ＝b a ＋ab，其中a 、b 是正实数，且a ≠b ，B ＝－x 2＋4x －2，则A 与B 的大小关系是( )A ．A ≥B B ．A >BC ．A <BD ．A ≤B解析：选B. 因为a ，b 都是正实数，且a ≠b ，所以A ＝b a ＋a b >2b a ·ab＝2，即A >2， B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2＝－(x －2)2＋2≤2，即B ≤2，所以A >B .9．已知实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≤4，m －n ≤2，m ＋n ≤3，m ≥0，则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( )A ．7，－4B ．8，－8C ．4，－7D ．6，－6解析：选A. 两根之和z ＝3m ＋2n ，画出可行域，当m ＝1，n ＝2时，z max ＝7；当m ＝0，n ＝－2时，z min ＝－4.故选A .10．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：选C. 因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，ax ≥－x 2－1，即a ≥－x 2＋1x恒成立．令g (x )＝－x 2＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .易知g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12内为增函数．所以当x ＝12时，g(x)max ＝－52，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞，即a 的最小值是－52.故选C.11．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94 C ．1D ．4解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x >0，y >0，x －y ＋2≥0表示的可行域如图阴影部分所示．直线2x －y －6＝0和x －y ＋2＝0的交点为A (8，10)．由z ＝ax ＋by 得y ＝－ab x ＋z b ，又a >0，b >0，所以－a b<0.所以当x ＝8，y ＝10时，z ＝ax ＋by 取得最大值40，即8a ＋10b ＝40.所以5a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋1b 4a ＋5b 20＝54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋1＝94，当5b ＝2a 时等号成立．故选B.12．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．[3，6] C ．[6，7]D ．[4，5]解析：选A. 设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )，则(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ＝2x －3y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．因为－1≤x ＋y ≤4，所以－2≤－12(x ＋y )≤12.①因为2≤x －y ≤3，所以5≤52(x －y )≤152.②①＋②得，3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，所以z 的取值范围是[3，8]．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若a ＜b ＜0，则1a －b 与1a的大小关系为________．解析：因为1a －b －1a ＝a －（a －b ）a （a －b ）＝b a （a －b ）＜0，所以1a －b ＜1a . 答案：1a －b ＜1a114．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析：记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中所示的△ABC 的内部(包括边界)．结合图形可知，当直线经过点B (1，1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0，3)时，x －y 取得最小值－3.答案：[－3，0]15．若不等式x 2－4x ＋m <0的解集为空集，则不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集是________．解析：由题意，知方程x 2－4x ＋m ＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m ≤0，解得m ≥4，又x 2－(m ＋3)x ＋3m <0等价于(x －3)(x －m )<0，所以3<x <m .答案：(3，m )16．要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m ，4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________．解析：设矩形鱼池的相邻两边长分别为x m ，y m ，所以xy ＝432，所以(x ＋8)(y ＋6)＝xy ＋8y ＋6x ＋48＝480＋8y ＋6x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当8y ＝6x ，即x ＝24，y ＝18时，等号成立．答案：24 m 18 m三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2x －6≤1，6x 2－x －1>0. 解：3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2，6)，6x 2－x －1>0⇒(3x ＋1)(2x －1)>0 ⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，所以原不等式组的解集为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6.18．(本小题满分12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .解：(1)由题意，知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.所以不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，所以－6≤b ≤6.19．(本小题满分12分)正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.20．(本小题满分12分)已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．解：原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5，所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ；若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)． (1)若不等式f (x )>0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值； (2)若f (1)＝4，a >0，b >0，求1a ＋4b的最小值．解：(1)因为不等式f (x )>0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f (x )＝0的两个实根，从而有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ＋3＝0，f （3）＝9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.(2)由f (1)＝4，得a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23时等号成立，所以1a ＋4b的最小值为9.22．(本小题满分12分)某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：)试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z ，则目标函数为z ＝80x ＋60y ，根据题意可知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分中的整点所示，作出直线l ：80x ＋60y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线过点M 时，z 取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，得M (9，4)，所以z max ＝80×9＋60×4＝960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。

高中数学第三章章末质量评估新人教B版必修1

高中数学第三章章末质量评估新人教B版必修1本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数的值域是A．0，＋∞B．[0，＋∞C．1，＋∞ D．R【解析】对数函数的值域均为R.【答案】 DA．6a B．－aC．－9a D．9a【答案】 C3．设a＞1，则log0.2a,0.2a，a0.2的大小关系是A．0.2a＜log0.2a＜a0.2 B．log0.2a＜0.2a＜a0.2C．log0.2a＜a0.2＜0.2a D．0.2a＜a0.2＜log0.2a【解析】∵a＞1，∴log0.2a＜00＜0.2a＜1 a0.2＞1∴log0.2a＜0.2a＜a0.2【答案】 B4．已知log83＝p，log35＝q，则lg 5用p，q表示等于故选C.【答案】 C5．函数y＝a|x|a＞1的图象是【答案】 B6．若f x＝10x－1－2，则f－18等于A．2 B．4C．8 D．12【解析】令10x－1－2＝8得x＝2.【答案】 A【答案】 DA．1,2∪2,3B．－∞，1∪3，＋∞C．1,3D．[1,3]【解析】由－x2＋4x－3＞0且－x2＋4x－3≠1可得．【答案】 AA．y轴对称 B．x轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称【答案】 C10．方程log2x2－x＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么集合M与N的关系是A．M＝N B．N⊆MC．N⊇M D．M∩N＝∅【解析】解方程得M＝{－1,2}，N＝{－1,2}∴M＝N【答案】 A二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上11．函数f x＝－a2x－1＋2恒过定点的坐标是________．.【答案】12．使log2－x＜x＋1成立的x的取值范围是________．【解析】令y＝log2－x与y＝x＋1，在同一坐标系中作出它们的图象，由图象直接观察答案为－1＜x＜0.【答案】－1,013．已知幂函数f x的部分对应值如下表：x 1f x 1则不等式f|x|≤2的解集是________．【答案】[－4,4]14．（2008年山东卷）已知f（3x）＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f（28)的值等于________．【解析】∵f(3x)＝4xlog23＋233＝4log23x＋233，∴f(x)＝4log2x＋233，三、解答题本大题共4个小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程演算步骤16．本小题满分12分已知x∈[－3,2]，求的最小值与最大值．18．本小题满分14分假设A型进口车关税率在2002年是100%，在2007年是25%,2002年A型进口车每辆价格为64万元其中含32万元关税税款．（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受减税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%5年内不变，且每年按复利计算（上一年的利息计入下一年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？。

章末质量评估 (2)

第三章一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析： z 1－z 2＝5－7i. 答案： D2．复数1－7i1＋i 的虚部为( )A ．0B ． 2C ．4D ．－4 解析： ∵1－7i 1＋i ＝(1－7i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案： D3．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3； ③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的；假设z 1＝i ，z 2＝0，z 3＝1，若(i －0)2＋(0－1)2＝0，则i ＝1，显然是错误的，故②是不正确的；假设x ＝－1，则x 2＋3x ＋2＝0，故③是不正确的；假设a ＝b ＝0，则(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故④是不正确的．综上可知：①②③④均不正确，故选A. 答案： A4．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z ＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案： B5．在复平面内，复数z ＝i 2(1＋2i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：复数z ＝i 2＋2i 3＝－1－2i ，复数对应的点为(－1，－2)，则复数z 对应的点在第三象限，选C.答案： C6．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3，选B.答案： B7．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －i 等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析： z 2－2z z －i ＝(1＋i )2－2(1＋i )1＋i －i ＝2i －2－2i1＝－2，选D.答案： D8．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i(a ∈R )对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析：由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，故a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.故选D.答案： D9．已知a ，b ∈R ，命题甲：a ＋b i 是纯虚数；命题乙：a ＝0，则甲是乙成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，于是甲是乙的充分但不必要条件，选A. 答案： A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1. 答案： A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x ＋4y |的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x ＋4y ≥22x ＋2y ＝2·23＝4 2.答案： C12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．无数个解析： f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i ＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i. ∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}．答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案： 414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案： 115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析： ∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案： 2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________．解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10 ＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.18．(本小题满分12分)实数m 分别取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方？解析： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1.(3)由题意知，m 2－2m －15>0，解得m >5，或m <－3.19．(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为1＋2i,3－5i.求另外两个顶点C ，D 对应的复数．解析：设D (x ，y )，A ，B ，C ，D 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，则z 4－z 1＝x －1＋(y －2)i ，z 2－z 1＝2－7i.在正方形ABCD 中，AD ⊥AB ，且|AD |＝|AB |，z 4－z 1表示AD →，z 2－z 1表示AB →， ∴|z 4－z 1|＝|z 2－z 1|，即 x 2＋y 2－2x －4y －48＝0.①(x －1)·2－7(y －2)＝0，即2x －7y ＋12＝0.②①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4.又BC →＝AD →，则z 3－z 2＝z 4－z 1，z 3＝z 4＋z 2－z 1＝(x ＋2)＋(y －7)i.综上可得⎩⎪⎨⎪⎧ z 3＝－4－7i ，z 4＝－6，或⎩⎪⎨⎪⎧z 3＝10－3i ，z 4＝8＋4i.20．(本小题满分12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，对于复数w＝(z ＋a i)2，当a 为何值时，w 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2，z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i.由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵w ＝(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，(1)w 为实数，则a －2＝0，∴a ＝2，即w ＝12＋4×2－22＝16.(2)w 为虚数，只要a －2≠0，∴a ≠2.(3)w 为纯虚数，只要12＋4a －a 2＝0且a －2≠0， ∴a ＝－2或a ＝6.21．(本小题满分13分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|.解析： (1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0，且9＋b ≠0， ∴b ＝1，∴z ＝3＋i. (2)ω＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )·(2－i )(2＋i )·(2－i )＝7－i 5＝75－15i∴|ω|＝⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－152＝ 2.22．(本小题满分13分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2，z 所对应的点A 在第一象限．(1)求z ；(2)若 z ，z 2，z －z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC . 解析： (1)令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z |＝2， ∴x 2＋y 2＝2.①又∵z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ， ∴2xy ＝2， ∴xy ＝1.②由①②可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.∴z ＝1＋i ，或z ＝－1－i. 又∵x ＞0，y ＞0，∴z ＝1＋i. (2)z 2＝(1＋i)2＝2i ， z －z 2＝1＋i －2i ＝1－i. 如图所示，∴A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， ∴BA →＝(1，－1)，BC →＝(1，－3)， ∴cos ∠ABC ＝BA →·BC→|BA →||BC →|＝1＋32·10＝425＝255.。

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章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列关于算法的叙述不正确的是()．A．在任何数值计算或非数值计算的过程中所采取的方法和步骤，都可称之为算法B．解决一类问题的方法和步骤C．算法并不给出问题的精确的解，只是说明怎样才能得到解D．算法中执行的步骤可以是无限次的，能无休止地执行下去解析本题主要考查算法的基本概念和特点：算法就是解决问题的方法，可以是数值或者非数值操作，它必须是有限的步骤，不能无休止地执行下去，必须“有始有终”．答案 D2．计算机的出现使我们可以处理计算量很大的问题，这主要归功于算法语句的()．A．输出(出)语句B．赋值语句C．条件语句D．循环语句答案 D3．下列说法正确的是()．A．任何一个算法都是由顺序结构、选择结构、循环结构构成的B．任何一个算法不一定含有顺序结构C．选择结构中一定包含循环结构D．循环结构中一定包含选择结构解析循环结构为从某点开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的结构，显然循环结构中有关于条件的判断，因此循环结构中必包含选择结构．答案 D4．计算下列各式中的S的值，能设计算法求解的是()．①S＝1＋2＋3＋…＋100；②S＝1＋2＋3…；③S＝1＋2＋3…＋n(n≥2且n∈Z)A．①②B．①③C．②③D．①②③解析因为算法步骤具有“有限性”特点，故②不可用算法求解．答案 B5．将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的一组是()．A.a＝bb＝aB.b＝aa＝bC.c＝bb＝aa＝cD.a＝cc＝bb＝a解析实现a，b的交换，由变量的特点知不能直接用a＝b，b＝a来交换，A、B都不对，而D中变量没有赋值，故C正确．答案 C6．下列算法的功能是()．S＝1For i＝2 To 68S＝S*ii＝i＋2Next输出SA．求2×6×…×68的值B．求1×2×3×4×…×68的值C．求2×4×6×…×68的值D．求2×4×…×66的值答案 C7．语句Y＝X表示的意义是()．A．把X的值赋给Y B．把Y的值赋给XC．把X、Y的赋值互换D．变量X、Y的值相等答案 A8．下面的框图表示的算法是()．A．求1＋2＋3＋…＋100B．求12＋22＋32＋…＋1002C．求1＋3＋5＋…＋99D．求12＋32＋52＋…＋992答案 D9．找出乘积为840的两个相邻偶数，程序框图见右图，其中填充①、②、③处语句正确的选项是()．A．S＝i*(i＋2)输出i输出i－2B．S＝i*i＋2i＝i＋2输出i－2C．S＝i*(i＋2)输出i输出i＋2D．S＝i*i＋2输出i输出i＋2答案 C10．如果执行下面的算法框图，那么输出的S为()．A．2 550 B．－2 550 C．－2 552 D．2 548解析这个算法是计算－2＋0＋2＋4＋…＋100的算法，结果为－2＋（2＋100）×502＝2 548.答案 D二、填空题(本题6个小题，每小题5分，共30分)11．已知数列：2，5，7，8，15，32，18，12，52，8，写出从该数列中搜索18的一个算法：第一步，输入实数a；第二步，____________；第三步，输出a＝18.答案如果a＝18，那么a就是所搜索的数，否则重复第一步12．i＝1S＝0DOS＝S＋ii＝i＋2LOOP UNTIL i>5PRINT SEND执行的结果是________．答案 913．已知A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，是平面上任意两点，以下给出的语句描述的是求线段AB 中点坐标的算法．请在横线上填上适当的语句，完成算法的功能．(1)输入x 1，x 2，y 1，y 2；(2) ① ；(3) ② ；(4)输出x 0，y 0.解析运用赋值语句，实际上为线段的中点坐标公式．答案 ①x 0＝x 1＋x 22 ②y 0＝y 1＋y 2214．某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．解析当x >1时，有y ＝x －2，当x ≤1时，有y ＝2x ，所以，有分段函数y ＝⎩⎨⎧2x （x ≤1），x －2 （x >1）.答案 y ＝⎩⎨⎧2x （x ≤1），x －2 （x >1）.15．为了在运行下面的算法之后能够输出y ＝9，键盘输入的x 应该是________．输入 xIf x <0 Theny ＝(x ＋1)*(x ＋1)Elsey ＝(x －1)*(x －1)End If输出y解析本题中的算法是求分段函数y ＝⎩⎨⎧（x ＋1）2 （x <0）（x －1）2 （x ≥0）的函数值．当y ＝9时，x ＝4或x ＝－4.答案 4或－416．有如图所示的程序框图．则该框图输出的结果是________．解析 i ＝3时，i ≤10 000成立，i ＝i ＋2，i ＝5，5≤10 000成立，i ＝7，…，当i ＝10 001时，10 001≤10 000不成立，输出10 001－2＝9 999.答案：9 999三、解答题(每小题10分，共40分)17．如图所示的算法框图，根据该图和下列各小题的条件回答问题．(1)该算法框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x 值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的前提下，要想使输出的值最大，输入的x 的值应为多大？(4)在(2)的前提下，按照这个算法框图，当x 值都大于2时，x 值大的输出的y 值反而小，为什么？(5)在(2)的前提下，要想使输出的值等于3，输入的x 应是多少？(6)在(2)的前提下，要想使输入的值与输出的值相等，输入的值应是多大？解 (1)该算法框图解决的是求函数f (x )＝－x 2＋mx 的函数值的问题，其中输入的是自变量x 的值，输出的是x 对应的函数值．(2)x ＝0时，y ＝0，又x ＝4时，y ＝－16＋4m ，∴4m －16＝0，∴m ＝4.∴当x ＝3时，输出的值为y ＝－32＋4×3＝3.(3)y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当输入的x 值为2时，输出的值最大．(4)当x ＞2时，y ＝－(x －2)2＋4为减函数，所以x 增大时，输出的y 值反而小．(5)令－x 2＋4x ＝3，即x 2－4x ＋3＝0，∴x ＝1或x ＝3，∴输入的值应为1或3.(6)令－x 2＋4x ＝x ，得x ＝3或x ＝0.∴输入的值应为3或0.18．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x <0，5x ，0≤x <1x ＋7，x ≥1，，画出求函数值的算法框图，并写出相应的算法语句．19．给出以下10个数：4，10，70，33，95，74，29，17，60，30.要求将大于40的数找出来，画出求解该问题的算法框图，并写出算法．解算法框图如下：算法如下：i ＝1Do输入 xIf x>40 Then输出xEnd Ifi＝i＋1Loop While i<＝1020．读下面的程序，并回答问题．输入xIf x<＝2Theny＝x^3ElseIf x<＝5 Theny＝3*x－2Elsey＝1/xEnd IfEnd If输出y该算法的作用是输入x的值，输出y的值．(1)画出该算法对应的算法框图；(2)若要使输入的x值与输出的y值相等，问这样的x值有几个？解(1)算法对应的算法框图如图所示：(2)若x＝x3，则x＝0或x＝1或x＝－1.此时均满足x≤2.若3x－2＝x，则x＝1，不满足2<x≤5.若＝x，则x＝±1，不满足x>5综上可知满足题设条件的x值有3个，即x＝0或x＝1或x＝－1.。

人教新课标版数学高二B版必修5规范训练第三章不等式质量评估

章末质量评估(三)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小顺序是 ( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a解析 b ＝7－3＝47＋3，c ＝6－2＝46＋2∵7＋3>6＋2， ∴b <c ，又a ＝42＋2，∴c <a . 答案 B2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}答案 C3．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a <0或a >2B ．0<a <2C ．a ＝0或a ＝2D ．0≤a ≤2答案 B4．函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x 在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 f (x )＝1＋(2－x )22－x ＝12－x ＋(2－x )∵x ∈(－∞，2)，∴2－x >0，∴f (x )≥2. 答案 C5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式正确的是 ( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0 解析由a －|b |>0，得a >|b |，∴－a 0且a －b >0，∴b －a <0，A 错． a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )>0，∴B 错，而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，D 错．答案 C6．已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝4，则lg x ·lg y 的最大值是 ( )A ．4B ．2C ．1D.14解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， ∴4＝lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ， ∴lg x ·lg y ≤4.当且仅当lg x ＝lg y ＝2取等号．答案 A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( )A ．x 0>8B ．x 0<0或x 0>8C ．0<x 0<8D ．x 0<0或0<x 0<8解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤0，3x 0＋1>3或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，log 2x 0>3，解得x 0>8，故选A. 答案 A8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 ∵(x －a )⊗(x ＋a )<1， ∴(x －a )(1－x －a )<1.即x 2－x ＋(a －a 2＋1)>0，对任意x 恒成立 ∴Δ＝1－4(a －a 2＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，∴－12<a <32.答案 C9．已知向量m ＝(a －2b ，a )，n ＝(a ＋2b,3b )，且m ，n 的夹角为钝角，则在aOb 平面上，点(a ，b )所在的区域是( )解析 ∵m ，n 的夹角为钝角，∴m ·n <0⇒(a －2b ，a )·(a ＋2b,3b )＝a 2－4b 2＋3ab ＝(a ＋4b )·(a －b )<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b >0，a －b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b <0，a －b >0.故选A.答案 A10．下列不等式：①a 2＋1>2a ；②|x ＋1x |≥2；③a ＋b ab ≤2(a ，b 为正实数)；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 a 2＋1>2a ⇔(a －1)2≥0，①不正确． |x ＋1x |＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，②正确． a ＋b ≥2ab ⇒a ＋bab≥2，③不正确． x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1 ≥2(x 2＋1)·1x 2＋1－1≥1，④正确．答案 C11．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2 B.83 C.223D ．2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1表示的平面区域如图易求出A (－23，13)，B (2,3)，∴所求区域面积S ＝12×2×2＋12×2×23＝83.故选B.答案 B12．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e解析 ∵x >1，y >1， ∴ln x >0，ln y >0.由题意知，14ln x ·ln y ＝(14)2，即ln x ln y ＝14，∴ln x ＋ln y ≥2ln x ln y ＝1，即ln(xy )≥1，∴xy ≥e(当x ＝y 时取“＝”)．答案 C二、填空题(每小题5分，共20分)13．不等式x －1x 2－x －30>0的解集是________．解析x －1x 2－x －30>0⇔(x －1)(x ＋5)(x －6)>0，解集为{x |－5<x <1或x >6} 答案 {x |－5<x <1或x >6} 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1xx(x ≥2)，(x <2)，求使不等式f (x )<83成立时x 的取值范围为________．解析 ①当x <2时，f (x )＝x ，此时f (x )<83恒成立，∴x <2符合题意．②当x ≥2时，f (x )＝x －1x ，此时f (x )<83，即x －1x <83，(3x ＋1)(x －3)3x <0，3x (3x ＋1)(x －3)<0，由穿根法求得x <－13或0<x <3，又∵x ≥2，∴2≤x <3. ∴x 的取值范围是(－∞，3)．答案 (－∞，3)15．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax (a ∈R )取最大值时的唯一最优解是(1,3)a 的取值范围是________．解析如图所示，依题意直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于 A (1,3)，此时取最大值，∴a >1.答案 (1，＋∞)16．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析设f (x )＝x 2＋mx ＋4，即x ∈(1,2)时f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5≤02m ＋8≤0∴m ≤－5.答案 (－∞，－524，＋∞)． 18．若f (x )＝log a 1＋x 1－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )>0，求x 的取值范围．解 (1)由题意得1＋x1－x>0⇔(x ＋1)(x －1)<0⇔－1<x <1，∴定义域为(－1,1)．(2)当a>1时，f(x)为增函数．∴当⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<1，1＋x1－x>1时，f(x)>0，解得0<x<1.当0<a<1时，f(x)为减函数．∴当⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<1，0<1＋x1－x<1，解得－1<x<0.综上，当a>1时，x∈(0,1)；当0<a<1时，x∈(－1,0)．19．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤300，500x＋200y≤90 000，x≥0，y≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.目标函数为z＝3 000x＋2 000y，作出可行域，如图：作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0，平移直线l，由图可知，当l过点M时，z取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝3005x＋2y＝900，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝100，y＝200，∴点M的坐标为(100,200)，∴z max＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．20．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}．当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。

高中数学第三章不等式质量评估1(含解析)北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题

第三章单元质量评估(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( D ) A.1a >1b B.b a>1 C ．a 21，得a －1<0，b －1>0，所以(a －1)(b －1)<0，即ab <a ＋b －1，故选D.2．下列不等式中，解集为R 的是( D )A ．x 2＋4x ＋4>0B ．|x |>0C ．x 2>－xD ．x 2－x ＋14≥0解析：A 项x ＝－2时，x 2＋4x ＋4＝0，B 项x ＝0时，不成立．C 项x ＝0时不成立．D 项，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0.3．下列四个点中到直线x －y ＋1＝0的距离为22，且位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( D )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解析：(1,1)，(－1,1)，(－1，－1)三个点到直线x －y ＋1＝0的距离都为22，又⎩⎪⎨⎪⎧－1＋－1－1<0，－1－－1＋1>0，所以满足题意的点是(－1，－1)．4．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，则ab 等于( A ) A ．24 B ．6 C ．14 D ．－14解析：由题意知－12，13是方程ax 2＋bx －2＝0的根，故有⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－ba，－12×13＝－2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，∴ab ＝24.5．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 解析：1a ＋1b ＋2ab ≥21a ·1b＋2ab ＝2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4，当且仅当1a＝1b且2ab＝2ab ，即a ＝b ＝1时取等号．故选C.6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1所表示的平面区域如图中阴影部分，直线y ＝3x －z的斜率为3.由图像知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6；当直线y ＝3x －z 经过B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，z 取最小值－32，∴z ＝3x －y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6，故选A. 7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围是( D )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：当a ≥0时，f (x )在(－∞，0]上是减函数，最小值为f (0)＝a 2；当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时等号成立．因为f (0)是f (x )的最小值，所以a 2≤a ＋2，所以0≤a ≤2；当a <0时，f (x )在(－∞，0]上的最小值f (x )min ＝f (a )≠f (0)，故不满足题意．综上可知，a 的取值范围是[0,2]．8．已知向量m ＝(x －2y ，x )，n ＝(x ＋2y,3y )，且m ，n 的夹角为钝角，则在xOy 平面上，点(x ，y )所在的区域是( A )解析：m ，n 的夹角为钝角，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |<0，m ·n ＝x 2－4y 2＋3xy <0，则(x＋4y )(x －y )<0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y <0，x －y >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y >0，x －y <0.故选A.9．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．(0,1] B ．[2，＋∞) C．(0,4] D ．[4，＋∞)解析：由题设，得log 2(x ＋y )＝log 2(xy )，∴x ＋y ＝xy ，且x >0，y >0， ∴y ＝xx －1>0，∴x >1.∴x ＋y ＝x ＋x x －1＝x －1＋1x －1＋2≥4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立，即x ＋y ∈[4，＋∞)．10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20.当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．故选B. 11．关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( C )A.63 B.23 3 C.43 3 D.236 解析：∵x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是x 2－4ax ＋3a 2＝0的两个根， ∴x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433.故选C.12．若a >0，b >0，且点(a ，b )在过点(0,1)，(－2,5)的直线上，则S ＝ab －4a 2－b 2的最大值是( A )A.2－24 B.2－22 C.2＋24 D.2＋22解析：过点(0,1)，(－2,5)的直线方程为2x ＋y －1＝0，因为点(a ，b )在直线2x ＋y －1＝0上，所以2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1.故S ＝ab －4a 2－b 2＝ab －[(2a ＋b )2－4ab ]＝ab －(1－4ab )＝4ab ＋ab －1.又因为2ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝14当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立，所以ab ≤18，ab ≤24.故S ＝4ab ＋ab －1≤4×18＋24－1＝2－24.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N )时，规定[x ]＝n ，则不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集是{x |2≤x <8}．解析：解一元二次不等式得32<[x ]<152，由于[x ]＝n ，则2≤x <8.14．设x ，y ∈R 且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为9.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y2＝1x 2y2，即|xy |＝22时，等号成立，故最小值为9. 15．已知向量a ＝(x ，－2)，b ＝(y,1)，其中x ，y 都是正实数，若a ⊥b ，则t ＝x ＋2y 的最小值是4.解析：由已知得xy ＝2，且x >0，y >0，∴t ＝x ＋2y ≥2x ·2y ＝4，当且仅当x ＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时，等号成立．16．若关于x 的不等式x 2＋(1－a )x ＋1≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒成立，则实数a 的取值范围为(－∞，3]．解析：根据题意，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，x 2＋(1－a )x ＋1≥0⇒a ≤x 2＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1，则不等式x 2＋(1－a )x ＋1≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒成立等价于a ≤x ＋1x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒成立，令f (x )＝x ＋1x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则f (x )＝x ＋1x＋1≥2x ·1x ＋1＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，故函数f (x )的最小值为3，若a ≤x ＋1x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒成立，则必有a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)若实数x ，y ，z 满足y ＋z ＝3x 2－4x ＋6，y －z ＝x 2－4x ＋4.试确定x ，y ，z 的大小关系．解：因为y －z ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2≥0，所以y ≥z .又y ＋z ＝3x 2－4x ＋6，y －z ＝x 2－4x ＋4，所以z －x ＝y ＋z －y －z2－x ＝1＋x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以z >x ，即y ≥z >x .18．(本小题12分)已知a 、b 、c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a 、b 、c 为何值时，等号成立．证明：因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac . 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．19．(本小题12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，已知不等式f (x )<0的解集为{x |1<x <3}． (1)若不等式f (x )≥m 的解集为R ，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )≥nx 对任意的实数x ≥2都成立，求实数n 的取值范围．解：由f (x )<0的解集为{x |1<x <3}可知⎩⎪⎨⎪⎧f1＝0，f 3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，9＋3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3.(1)因为f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以要使f (x )≥m 的解集为R ，则m ≤－1.(2)f (x )≥nx 对任意的实数x ≥2都成立，即f xx≥n 对任意的实数x ≥2都成立．令g (x )＝f x x ＝x 2－4x ＋3x ＝x ＋3x －4，则g (x )在[2，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (2)＝－12，所以n ≤－12.20．(本小题12分)某家公司每月生产两种布料A 和B ，原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.羊毛颜色每匹需要(kg) 供应量(kg) 布料A 布料B 红 4 4 1 400 绿 6 3 1 800 黄261 800大的利润？最大的利润是多少？解：设每月生产布料A 、B 分别为x 匹、y 匹，利润为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ≤1 400，6x ＋3y ≤1 800，2x ＋6y ≤1 800，x ≥0，y ≥0.①目标函数为z ＝120x ＋80y ，作出二元一次不等式组①所表示的平面区域(阴影部分)即可行域．把z ＝120x ＋80y 变形为y ＝－32x ＋180z ，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为180z ，随z变化的一组平行直线．如图可以看出，当直线y ＝－32x ＋180z 经过可行域上M 点时，截距180z 最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝1 400，6x ＋3y ＝1 800.得M (250,100)，所以z max ＝120x ＋80y ＝38 000.答：该公司每月生产布料A 、B 分别为250匹、100匹时，能够获得最大的利润，最大的利润是38 000元．21．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a(x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值．解：(1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a<x ，整理为(ax ＋3)(x －a )<0.当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )<0，∴解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3a<x <a；当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )>0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－3a 或x <a. (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)．∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t ＝t ＋a 2＋3t ＋2a ≥2t ·a 2＋3t＋2a ＝2a 2＋3＋2a .当且仅当t ＝a 2＋3t，即t ＝a 2＋3时，等号成立，即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a ，依题意有：2a 2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1.22．(本小题12分)已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)>0，其中k ∈R . (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．解：(1)当k ＝0时，A ＝(－∞，4)；当k >0时，A ＝(－∞，4)∪⎝⎛⎭⎪⎫k ＋4k，＋∞；当k <0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋4k，4.(2)由(1)知，当k ≥0时，集合B 中的元素有无限个；当k <0时，集合B 中的元素有有限个，此时集合B 为有限集．因为k ＋4k＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k ＋4－k ≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 的元素个数最少，此时A ＝(－4,4)．故集合B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．。

高中数学第三章不等式单元评估验收新人教A版必修5

(三) 不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式x 2≥2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析：由x 2≥2x 解得：x (x －2)≥0，所以x ≤0或x ≥2. 答案：D2．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}解析：原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2. 答案：C3．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 解析：画出可行域：z ＝x －y ⇒y ＝x －z ，由图形知最优解为(0，1)，所以z min ＝－1. 答案：C 4．下列函数：①y ＝x ＋1x (x ≥2)；②y ＝tan x ＋1tan x ；③y ＝x －3＋1x －3.其中最小值为2的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①y ＝x ＋1x≥2x ·1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，由于x ≥2，因此①的最小值不是2；②中tan x 可能小于零，最小值不是2；③中x －3可能小于零，最小值不是2.答案：A 5．二次不等式ax2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－5 D ．5解析：由题意知a ＜0，－1与13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，所以－1＋13＝－b a ，(－1)×13＝1a，解得a ＝－3，b ＝－2，所以ab ＝6.答案：B6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2，2] C ．(－2，2]D ．(－∞，－2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立，因此a ＝2满足题意．当a ≠2时，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4（a －2）2－4（a －2）（－4）<0，解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C. 答案：C7．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2D ．|a |－|b |＝|a －b |解析：由1a ＜1b＜0，所以a ＜0，b ＜0，所以0＞a ＞b ，由不等式基本性质知A ，B ，C 对．答案：D8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋5）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．12B ．24C ．36D ．48 解析：平面区域图形如图所示：S ＝（5＋11）×32＝24.答案：B9．函数y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最大值为( ) A ．4 B ．3 C ．－4 D ．－3解析：由x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2＋6＝8(x >1)，所以y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≤log 128＝－3，故选D. 答案：D10．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b .则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝1＋1＋1＋b a ＋a b≥5.答案：C11．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则正数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析：画出前三个不等式表示的平面区域，为图中△OAB ，当直线l ：x ＋y ＝a 在l 0与l 1之间(包括l 1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l 在l 2的位置或从l 2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形；又l 在l 1，l 2的位置时，a 的值分别为1，43.所以0<a≤1或a ≥43.答案：D12．定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜－3＋334 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－3＋334 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－3＋334 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3解析：当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3；当x ＝0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1，即2x 2＋3x －3＜0，解得－3＋334＜x ＜－3＋334，即－3＋334＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3＋334＜x ＜3.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．|x |2－2|x |－15＞0的解集是________．解析：因为|x |2－2|x |－15＞0，所以|x |＞5或|x |＜－3(舍去)．所以x ＜－5或x ＞5.答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4，3]15．设a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值是________．解析：因为12a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b (a ＋b )＝12＋1＋a b ＋b 2a ≥32＋ 2.答案：32＋ 216．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/年，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x ，即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求证：a 2＋b 2≥12；(2)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )．证明：(1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1－12＝12.(2)因为a ，b ，c 是△ABC 的三边，不妨设a ≥b ≥c >0，则a >b －c ≥0，b >a －c ≥0，c >a －b ≥0.平方得：a 2>b 2＋c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab . 所以2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2，即a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )．18．(本小题满分12分)已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. 所以3xy －2xy －1≥0. 即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1，所以xy ≥1. 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1. (2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0. 所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号．所以x ＋y 的最小值为2.19．(本小题满分12分)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a ＞0)．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，则全程运输成本为y ＝a ·500v ＋0.01v 2·500v ＝500a v＋5v ，则y ＝500av＋5v, v ∈(0，100]． (2)依题意知a ，v 都为正数，则500av ＋5v ≥2500av·5v ＝100a ，当且仅当500av＝5a ，即v ＝10a 时取等号．若10a ≤100，即0＜a ≤100，当v ＝10a 时，全程运输成本y 最小．若10a ＞100，即a ＞100时，则当v ∈(0，100]时，可以证明函数y ＝500a v＋5v 是减函数，即此时当v ＝100时，全程运输成本y 最小．综上所得，当0＜a ≤100时，行驶速度应为v ＝10a 千米/时，全程运输成本最小；当a ＞100时，行驶速度应为v ＝100千米/时，全程运输成本最小．20．(本小题满分12分)某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A 现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？解：设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝7x ＋12y . 作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M 时z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝24.因此，点M 的坐标为(20，24)．所以该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润． 21．(本小题满分12分)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2014年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2015年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2014年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由．(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2015年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用的天数？解：(1)设从2014年1月到2015年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13.由题意{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，所以a 7＝12(a 1＋a 13)，b 7＝b 1·b 13，因为a 1＝b 1，a 13＝b 13，从而a 7＝12(a 1＋a 13)＞a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大． (2)设一共使用了n 天，n 天的平均耗资P (n )＝32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4910＋2＋4910＋3＋4910＋…＋n ＋4910n＝32 000＋49n 10＋n （n ＋1）20n＝32 000n ＋n 20＋9920≥2 32 000n ·n 20＋9920＝1 69920(元)，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800，即日平均耗资最小时使用了800天．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞，)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1. 法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0.解得－3≤a ≤1.。

第三章 不等式 章末质量评估

人教版高中数学必修3第三章章末评估验收(三)

高中数学课件：第三章 章末复习方案与全优评估

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