与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
奥林匹克数学题型一元二次方程
奥林匹克数学题型一元二次方程二次方程是数学中最常见且重要的方程之一，它的形式通常为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x是未知数。
在奥林匹克数学竞赛中，一元二次方程常常作为题目的出发点，要求解题者根据方程的性质和特点，运用巧妙的数学方法来解决问题。
本篇文章将探讨奥林匹克数学竞赛中涉及一元二次方程的几种常见题目类型。
一、求根公式的应用在解一元二次方程时，求根公式是最经典的方法之一。
对于任意一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)在使用求根公式时，需要注意方程的系数以及判别式的正负。
当判别式大于零时，方程有两个实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程无实根。
例如，考虑一道典型的奥林匹克数学竞赛题目：已知方程x^2 - 3x + 2 + √(x^2 - 3x + 2) = 4的解集为A，求A的并集与交集之和。
解题思路：首先，将方程整理为一般形式x^2 - 3x + (2 + √(x^2 - 3x + 2) - 4) = 0。
然后，观察方程可知，它等价于(x - 1)(x - 2) = 0。
因此，方程的解为x = 1或者x = 2。
根据解的性质，我们可以得出解集A = {1, 2}。
所以A的并集与交集之和即为{1, 2}。
二、二次方程的图像性质了解二次方程的图像性质对于解题非常有帮助。
一元二次方程的图像是一个抛物线，它的开口方向和性质与二次方程的系数有关。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，并且最低点（顶点）处在x轴的上方；2. 当a < 0时，抛物线开口向下，并且最高点（顶点）处在x轴的下方。
利用这些性质，我们可以在奥林匹克数学竞赛中运用几何推理来解决问题。
例如，考虑以下题目：已知实数x满足x^2 - 2x - 15 < 0，求x的取值范围。
一元二次方程竞赛题解题七新招
一元二次方程竞赛题解题七新招一元二次方程是高中数学中最重要的概念之一，并且也是许多数学竞赛的主要解答方法。
解答一元二次方程，需要理解并熟悉一元二次方程的特性，以及解答方法。
本文旨在总结在一元二次方程竞赛中，新提出的解答几种策略，以便高中数学考试或竞赛中能更好地解答一元二次方程。
首先，要解答这类方程，必须理解一元二次方程的定义及特性。
一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a,b,c分别是常数，a不能为0。
一元二次方程的解可以用一元二次方程的根式及其组合进行求解。
其次，可以采用图像化解答一元二次方程。
无论是求竞赛题中一元二次方程的根，还是求其展开式的系数，都可以采用图像化办法，把一元二次方程描绘成一个函数图像，通过把函数图像的轴与参数的关系进行比较推算，从而解出方程的解。
再者，可以运用解析法解答一元二次方程。
若一元二次方程的解给定，可以用解析法的方法，逐步把方程转化成一个可以求解的形式，从而获得方程的解。
此外，还可以利用“快速检查”方法解答一元二次方程。
即，先把一元二次方程化为一元一次方程组，用“快速检查”方法求解，再将一元一次方程组的解代入原方程，判断是否满足。
再者，可以采用斜率法解答一元二次方程。
斜率法将一元二次函数中的给定直线看做斜率。
把斜率与x轴截距求出，再把这些系数放入一元二次方程中，即可得出方程的解。
此外，还可以运用求和法解答一元二次方程。
求和法是指求一元二次方程中a,b,c的和，然后将求得的结果作为约束，再把约束条件代入一元二次方程中求解。
最后，可以用乘积法解答一元二次方程。
乘积法指求一元二次方程中a,b,c的乘积，以此作为约束条件，再把约束条件代入一元二次方程中求解。
以上就是我在一元二次方程竞赛中新提出的七种解答策略，它们可以帮助大家在高中数学考试或竞赛中更好地解答一元二次方程。
它们也可以作为一个有效的学习工具，帮助大家更好地理解及掌握一元二次方程的解法。
今后，解答一元二次方程将会更容易，能够更有效地提高数学考试成绩。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。
求一元二次方程整数根的若干方法
经检验, m = 12, 24 均符合题意.
三、 利用求根公式
例 4 ( 第四届 “祖冲之杯” 数学竞赛题) 已知方程
(a 2 - 1) x 2 + 2 ( 5a + 1) x + 24 = 0 有两个不等的负整
一、 利用整数的性质
例 1 ( 希望杯数学竞赛题) 已知 p 为质数, 且方程
= 10 (m 2 - 2n ± 1) ± 2
又 ∵ ∃ ≥ 0, 即 b - 20c ≥ 0,
2
故 b2 ≥ 20c 由 ①、 ③、 ④ 得 100 > b2 ≥ 20c, c < 5.
2
④
若 c = 1, 则由 ②、 ④ 得 0 < b < 6 且 b ≥ 20, 得 b
= 5;
若 c = 2, 则 0 < b < 7 且 b2 ≥ 40, 无整数解; 若 c = 3, 则 0 < b < 8 且 b2 ≥ 60, 无整数解. 故所求 b, c 的值为 b = 5, c = 1.
当 a - 6 = 0 时, m = ± 1 时, 方程 x 2 - 8x + 15 =
0, x 1 = 3, x 2 = 5, ∴ a = 6;
∴ a = 6 或 7, 方程整数根分别为 x 1 = 3, x 2 = 5 或
x 1 = x 2 = 4.
七、 利用韦达定理
例 8 ( 北京初二数学竞赛题) 方程 x 2 + p x + q =
解: 原方程可化为 (x - 8) 2 + ( 8 - a ) (x - 8) - 1
= 0
(x 1 + x 2 ) = 1992
求解一元二次方程的方法及答案
求解一元二次方程的方法及答案
一元二次方程是一种常见的数学问题，解决它可以采用以下几种方法：
1. 因式分解法：
当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过因式分解法求解。
具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 找出使方程成立的两个数m和n，使得m * n = a * c，并且m + n = b
- 将方程因式分解为(x + m)(x + n) = 0
- 解得x = -m 或 x = -n，即为方程的解
2. 完全平方公式法：
当一元二次方程可以写成某个二次项的完全平方形式时，可以通过完全平方公式法求解。
具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 求出平方项的一半：p = b / 2a
- 将方程重新写成完全平方形式：(x + p)^2 = p^2 - c / a
- 再求开方，得到：x + p = ±√(p^2 - c / a)
- 最后解得x = -p ±√(p^2 - c / a)
3. 公式法：
一元二次方程的解可以通过求解一元二次方程的求根公式得到。
具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 利用求根公式，解得x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
这些方法可以帮助我们求解一元二次方程，但需要注意的是，
方程的解可能有一组或两组，取决于方程中的系数和根的性质。
希望以上内容对您有所帮助。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；这个方法确实要简单些，不过却不容易想到将x替换为np，一般来说，谁能想到这个？老师提供的第二种方法也包含了部分这个方法中的一些设想，只不过路线不同罢了，所以同一道题方法有很多，有些只是我们还未发现而已，并不代表不存在。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第08章-二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab ba b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
《一元二次方程》培优竞赛
《一元二次方程》培优【知识要点】：1、一元二次方程的解法 （1） 法；（2） 法；（3） 法；（4） 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ； 当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0没有实数解．3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=，x 2那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0∆≥．3．特别地， 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．【精选题型】：1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52221=+x x 时求m 的值（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【拓展练习】:1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2 B ．2-C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ． m ＜14 B 。
一元二次方程竞赛题
一元二次方程的基本知识形如ax2+bx+c=0(a ≠0)的方程判别式：△=b2-4ac 求根公式： 韦达定理：整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.策略一：利用判别式例1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 与 的根都是整数。
策略二：利用求根公式例3．设关于x 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
策略三：利用方程根的定义例4. b 为何值时，方程有相同的整数根？并且求出它们的整数根？策略四：利用因式分解例5. 已知关于x 的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a 有__个.2440mxx -+=2244450x mx m m -+--=2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=220x bx --=22(1)0x x b b ---=2(1)210a x x a -+--=策略五：利用根与系数的关系例6：求所有正实数a,使得方程 仅有整数根.例7：当m 是何整数时,关于x 的方程 的两根都是整数?例8：试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程 有根且只有整数根例9：已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的一元二次方程 至少有正整数根，求所有满足条件的质数对（p,q ）例10:已知关于x 的一元二次方程5x 2－5px+12p-15=0的两个根均为整数，求实数p 的所有可能的值.240x ax a -+=2(1)10x m x m --++=01)2(2=-+++r x r rx 05)108(2=+--pq x q p x例11：已知p 、q 是正整数，试问关于x 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．策略六：构造新方程例12：方程 有两个整数根,求a 的值.例13：已知均不为零的实数x 、y 、z 满足x+y+z=xyz ，x2=yz ，求证x2≥3策略七：构造等式例14.求所有的正整数a,b,c,使得关于x 的方程的所有的根都是正整数.策略八：.分析等式例15. n 为正整数，方程有一个整数根，则n=__________.22=++-q p pqx x ()(8)10x a x ---=222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=21)60x x -++-=策略九：反客为主例16:求出所有正整数a,使方程 至少有一个整数根.例17：求方程 的所有整数解例18：已知函数 的最大值为1，最小值为-2，求实数a,b 的值策略十：利用配方法例19： 已知方程 有两个不等的负整数根,则整数a 的值是____.策略十一：利用奇偶分析例20：已知方程 有两个质数根,则常数a=___________.例21：设a 是大于零的实数。
九年级数学竞赛题：一元二次方程
九年级数学竞赛题：一元二次方程配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.因式分解法体现了“降次求解”的基本思想，公式法具有一般性.善于根据方程的特征，灵活选用恰当的解法，是解一元二次方程的关键，选择方法的一般顺序是：先特殊后一般.即先考虑因式分解法、配方后直接开平方，再考虑公式法.有些与一元二次方程相关的问题。
常常不是去解这个方程，而是通过变形降次、整体代入等技巧方法，促使问题的解决.例1阅读下面的例题：解方程：麻一1x1-2 = 0.解：（1）当xNO时，原方程化为x2—x—2 = 0,解得为=2/2 =T （不合题意，舍去），（2）当x<0时，原方程化为V+x —2 = 0.解得N=L （不合题意，舍去），X2=-2.・•・原方程的根是N=2,X?=—2请参照丁一卜一3|-3 = 0,则方程的根是_____________例2根据关于x的一元二次方程/+/> +夕=0,可列表如下:则方程V + px + g = O的正数解满足（）.A.解的整数部分是0,十分位是5B.解的整数部分是0,十分位是8C.解的整数部分是1,十分位是1D.解的整数部分是1,十分位是2例3设沏、也是方程/+X-4 = 0的两个实数根，求代数式疗-5/2+10的值.例4先请阅读材料：为解方程旷-5，-1） + 4 = 0,我们可以将V-1视为一个整体，然后设x-l = y,则（x2-l）2=y2,原方程化为V一5.\，+ 4 = 0,解得％=1,%=4.当y = 1 时，A 2— 1 = 1 » 得X = ±5/2 :当y = 4 时，X2 -1 = 4 » 得X = ±y/5 : 故原方程的解为A = V?，x2 = —>/2 ♦x3=-A/2,x4 = -75 .在解方程的过程中，我们将X?-1用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：⑴ x4 - %2 - 6 = 0 ：(2) (-x-l)2-(-x-l)-l = O. 2 2例5已知02, b>2,试判断关于x的方程一一(“ +5口 + 4〃 = 0与/ 一4次+ (〃 + 〃)= 0有没有公共根，请说明理由.1.在实数范围内定义一种运算“※二其规则为“※根据这个规则，方程(X+2)X5=0的解为.2.请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且其两根互为倒数.23.用换元法解方程：x2+x+l = -一，如果设y = 那么原方程化为关于y的X~ +X一元二次方程的一般形式为.4.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( )A.若』=4,则x = 28方程x(2x — 1) = 2x — 1 的解为x = lC.若方程- 2)?"1 + 3〃氏—1 = 0是关于x的一元二次方程，则m=-2.D.若分式.'二一3'十2的值为零,则mi, 2.x-15.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程6x + 8 = 0的一个根，则这个三角形的周长为( ).A. 9B. 11C. 13D. 11 或136.严老师出示了小黑板上的题目(如下而方框中所示)，小敏回答：“方程有一根为“1”，小聪回答：“方程有一根为2"，则你认为( ).已知方程3x + ) + l=0,试添加一个条件，使它的两根之积为2.A.只有小敏回答正确B.只有小聪回答正确C小敏、小聪回答都不正确D.小敏、小聪回答都正确7.解下列方程：（l）x2-Lvl-l = O;（2）（/ - 24 +（/ - 2 v） - 2 = o；x厂一2r 4- 18.已知关于x的方程/ +kx_ 2 = 0的一个解与方程^一= 3的解相同.x-1（1）求k的值：（2）求方程/+攵x—2 = 0的另一个解.9.若。
初中数学竞赛讲义一元二次 方程公共根问题
●变式：若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则
（ ）
A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-1.
解：设公共根为x0，则 x02+ax0+b=0 ①
x02+bx0+a=0
②．
①-②，得（a-b）（x0-1）=0，
当a=b时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x0=1时，所以
∵x2= ，
∴ 是第一个方程的根，
∵x1与 是方程x12+ax1+1=0的两根， ∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根， 因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0， 当a=1时，这两个方程无实根， 故x2=1，从而x1=1， 于是a=-2，b+c=-1， 所以a+b+c=-3．
9.已知方程①：，（其中）有整数根，是否存在整数，使得方程②： 与方程①有相同的整数根？如果存在，请求出的值及相应的公共根， 若不存在，请说明理由。 解答：
10.是否存在某个实数，使得方程和方程有且只有一个公共根？如果存 在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由。
解：假设存在实数m，使这两个方程有且只有一个公共实数根a，由方 程根的定义，得
（1）-（2）得：（m-2）a+(2-m)=0， 解得：m=2，或a=1， 当m=2时，两个已知方程为同一方程，且没有实数根， 所以，m=2舍去， 当a=1时，代入（1）得m=-3,当m=-3时，求得第一个方程的根为
根，所以a≠1，所以α=1 把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2
一元二次方程竞赛题
一元二次方程的基本知识形如ax2+bx+c=0(a ≠0)的方程判别式：△=b2-4ac 求根公式： 韦达定理：整系数一元二次方程有整数根的必要条件：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.策略一：利用判别式例1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 与 的根都是整数。
策略二：利用求根公式例3．设关于x 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
策略三：利用方程根的定义例4. b 为何值时，方程有相同的整数根？并且求出它们的整数根？策略四：利用因式分解例5. 已知关于x 的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a 有__个.2440mxx -+=2244450x mx m m -+--=2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=220x bx --=22(1)0x x b b ---=2(1)210a x x a -+--=策略五：利用根与系数的关系例6：求所有正实数a,使得方程 仅有整数根.例7：当m 是何整数时,关于x 的方程 的两根都是整数?例8：试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程 有根且只有整数根例9：已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的一元二次方程 至少有正整数根，求所有满足条件的质数对（p,q ）例10:已知关于x 的一元二次方程5x 2－5px+12p-15=0的两个根均为整数，求实数p 的所有可能的值.240x ax a -+=2(1)10x m x m --++=01)2(2=-+++r x r rx 05)108(2=+--pq x q p x例11：已知p 、q 是正整数，试问关于x 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．策略六：构造新方程例12：方程 有两个整数根,求a 的值.例13：已知均不为零的实数x 、y 、z 满足x+y+z=xyz ，x2=yz ，求证x2≥3策略七：构造等式例14.求所有的正整数a,b,c,使得关于x 的方程的所有的根都是正整数.策略八：.分析等式例15. n 为正整数，方程有一个整数根，则n=__________.22=++-q p pqx x ()(8)10x a x ---=222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=21)60x x -++-=策略九：反客为主例16:求出所有正整数a,使方程 至少有一个整数根.例17：求方程 的所有整数解例18：已知函数 的最大值为1，最小值为-2，求实数a,b 的值策略十：利用配方法例19： 已知方程 有两个不等的负整数根,则整数a 的值是____.策略十一：利用奇偶分析例20：已知方程 有两个质数根,则常数a=___________.例21：设a 是大于零的实数。
一元二次方程竞赛题
一元二次方程竞赛题例1、解方程：x2-3｜x｜-4=0．解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．所以原方程的根为x1=4，x2=-4．解法2 由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以 x1=4，x2=-4．例2 解关于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．解分类讨论．(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以x=2．(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例3 求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根．解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，①a2+a+(k-2)=0．②①-②有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1．(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．例4设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x，则两式相加得若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x=-(a＋c)．把x=-(a＋c)代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以△ABC为直角三角形．例5 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．例6、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例7设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例8已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例9 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x 1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x 1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．解：由已知，得x2＝3x-1．∴ x4+3x3-16x2+3x-17＝x2(x2+3x-16)+3x-17＝(3x-1)(6x-17)+3x-17＝18(3x-1)-54x＝-18．例10已知a，b都不为1，且有5a2+1995a+8＝0及8b2+1995b+5=0，例11 设实数a 、b 、c 满足a ＞0，b ＞0，2c ＞a+b ，且c 2 ＞ab ， 证明：ab c c a ab c c -+<<--22, 。
与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法1
与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。
一、换元例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4(93年“希望杯”竞赛题) 解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0∴A1=2，A2=3由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。
x1+x2+x3+x4=4故选D。
二、降次例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。
(96年江苏省竞赛题) 解：∵α是方程x2-x-1=0的根，∴α2-α-1=0，α2=α+1(二次转化为1次)α4=(α+1)2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2(四次转化为一次)∴α4+3β=3α+2+3β=3(α+β)+2=3×1+2=5三、整体代入例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x+1993x，…，Sn=x+1993x，则aS1993+bS1992+cS1991= 。
(93年希望杯竞赛试题)解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax+bx1+c=0，ax+bx2+c=0。
aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x+1993x)=(ax+bx+cx)+(a·1993x+b·1993x+c·1993x)= x(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。
四、配偶例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。
(第八届“祖冲之”杯竞赛试题) 解：由韦达定理，得α+β=7，αβ=8∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=49-16=33，(α-β)2=(α+β)2-4αβ=49-32=17∵α＞β，∴α-β=设A=+3β2，B=+3α2(A的配偶)则A+B=+3(α2+β2)=+3×33=A-B=-+3β2-3α2=-3(α+β)(α-β)=∴2A=A=五、反客为主例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。
一元二次方程竞赛解题方法
与一元二次方程有关的竞赛题求解方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。
一、换元例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4( “希望杯”竞赛题)二、降次例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。
(江苏省竞赛题) 三、整体代入例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x 12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991= 。
(希望杯竞赛试题)例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。
(第八届“祖冲之”杯竞赛试题)五、反客为主例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。
(香港初中数学竞赛试题)六、构造新方程例6 已知两数a、b，ab≠1，且2a2+1234567890a+3=0(1)3b2+1234567890b+2=0(2)则= 。
( “希望杯”竞赛试题)例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0bx2+2cx+a=0cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。
(山东省数学竞赛试题)八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。
(江苏省竞赛试题)九、整体变形例9 设a、b、c、d＞0，证明在方程x2+x2+x2+x2+中，至少有两个方程有不相等的实数根。
( “希望杯”竞赛试题)十、分类讨论例10 已知三个关于x的方程：x2-x+m=0(1)(m-1)x2+2x+1=0(2)(m-2)x2+2x-1=0(3)其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是( )A、m≤2B、m≤或1≤m≤2C、m≥1D、≤m≤1(山东省竞赛试题)例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0 即|x-1|2-5|x-1|+6=0 令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0 ∴A1=2，A2=3 由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。
一元二次方程的解法综合题
一元二次方程的解法综合题解一元二次方程的方法有多种，下面我将从多个角度全面回答这个问题。
1. 公式法：一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
根据求根公式，一元二次方程的解可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。
这个公式被称为二次方程的根的公式。
其中，±表示两个解，即正负两个方向。
2. 因式分解法：对于一元二次方程，如果可以将其因式分解为两个一次因式的乘积形式，那么可以通过令每个因式等于零，求得方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3)= 0，然后令x + 2 = 0和x + 3 = 0，解得x = -2和x = -3。
3. 完全平方公式：对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，可以使用完全平方公式进行求解。
该公式为(x + a)^2 = b，解得x = ±√b a。
4. 图像法：一元二次方程的解也可以通过观察其图像来得到。
二次函数的图像为抛物线，可以根据抛物线与x轴的交点来确定方程的解。
如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实数解；如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程有一个实数解；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实数解。
5. 配方法：对于一些特殊的一元二次方程，可以使用配方法进行求解。
配方法的主要思想是通过添加适当的常数使得方程可以被因式分解。
具体的配方法步骤较为复杂，需要根据具体的方程形式进行变换和求解。
以上是解一元二次方程的几种常见方法。
根据具体的方程形式和求解要求，可以选择其中的一种或多种方法进行求解。
希望以上回答能够满足你的需求。
一元二次方程的应用解决比赛排名问题
一元二次方程的应用解决比赛排名问题在各种比赛中，排名是评判参赛者优劣的重要指标之一。
而一元二次方程是数学中的重要概念，其应用在解决比赛排名问题中具有广泛的实用性。
本文将介绍一元二次方程的基本概念和求解方法，并探讨其在比赛排名问题中的应用。
一、一元二次方程的基本概念和求解方法一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
一元二次方程的解为x的值，使得该方程左边等于右边。
一元二次方程的求解可以通过以下步骤进行：1. 判断一元二次方程是否能够被因式分解。
当方程能够被因式分解时，可以直接将方程写成(x - m)(x - n) = 0的形式来求解。
其中m、n为待求的解。
2. 若一元二次方程不能被因式分解，则可以使用求根公式。
通过根据方程中的系数a、b、c，使用求根公式x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解方程的解。
二、应用一元二次方程解决比赛排名问题在一些比赛中，参赛者的排名往往依据其得分情况确定。
假设某次比赛的得分规则是根据参赛者的能力值和表现评分得到的，其中能力值用一元二次方程来表示。
现假设某次比赛的能力值方程为f(x) = ax²+ bx + c，其中x代表参赛者的某项指标，a、b、c为已知常数。
为了确定比赛的排名，我们需要找出使得f(x)达到最大值的参赛者。
根据函数的性质可知，一元二次函数的最大值要么在顶点处，要么在开口朝下的情况下最大值为无穷。
因此，我们的目标是找出一元二次方程的顶点。
一元二次方程的顶点可以通过求取其对称轴的x坐标来得到。
对称轴的公式为x = -b / (2a)。
通过计算可得到对称轴的x坐标，进而求得一元二次方程的顶点。
根据顶点的x坐标，我们可以确定参赛者的排名。
对于方程的系数a，我们可以通过a的正负性来判断一元二次函数的开口方向。
若a > 0，则函数的开口朝上，最大值为顶点的纵坐标；若a < 0，则函数的开口朝下，最大值为无穷。
一无二次方程应用题的类型及解题技巧
一无二次方程应用题的类型及解题技巧
一元二次方程应用题的类型：
1. 运动问题：如两车相向而行，一人走了一段路程后追上另一人。
2. 数学建模问题：如求解最大面积、最小周长等。
3. 金融问题：如计算贷款利率、投资收益等。
4. 几何问题：如求解三角形的边长、面积等。
解题技巧：
1. 理解题目要求：仔细阅读题目，理解题目所描述的情境和要求。
2. 设定变量：建立起问题中的变量与方程的关系，并设定方程中的未知数。
3. 建立方程：将问题翻译成方程，利用已知条件和未知数之间的关系建立方程。
4. 解方程：对二次方程进行因式分解、配方法、根据求根公式等方法，求解方程。
5. 检验解答：将求得的解代入原方程中，验证是否满足条件。
6. 给出答案：将解析解或数值解以恰当的方式给出，并回答问题所要求的内容。
需要注意的是，一些复杂的问题可能需要综合运用不同的数学知识和解题方法，所以要灵活运用不同的技巧。
与一元二次方程有关的竞赛题
与一元二次方程有关的竞赛题一、降次（一）直接用方程降次1．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为 。
分析与解：2．若,132=-x x 则200572129234+--+x x x x 的值等于 。
分析与解：3．设0772=+-x x ，则42749x x ++= 。
分析与解：（二）用根的关系式降次4．已知βα,是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。
分析与解：5．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值。
分析与解：二、用根的判别式解题6．已知c b a ,,是整数，且,01,422=-+=-c ab b a 求c b a ++的值。
分析与解：7．已知c b a ,,均为实数，且4=+b a ，,103422-=-c ab c 求ab 的值。
分析与解：8．已知b a ,为整数，且032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根；07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根；0)5()4(2=-+-+b x a x 没有实数根，则b a += 。
分析与解：9．m 为整数时，关于x 的方程0)223()1(422=+-+--k m m x m x 的根是有理数，求k 的值。
分析与解：10．证明：已知关于x 的一元二次方程022=++c Bx Ax ① 022=++A Cx Bx ② 022=++B Ax cx ③中，至少有一个方程有实数根。
分析与解：11．设p 1、p 2、q 1、q 2为实数，且),(22121q q p p +=⋅证明方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中至少有一个实数根。
分析与解：12．求方程012222=++-++y x y xy x 的整数解。
分析与解：三、用韦达定理解题13．若1≠ab ，且有09200352=++a a 及,05200392=++b b 则ba 的值是 。
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与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法
一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。
一、换元
例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是()
A、-2
B、0
C、2
D、4
(93年“希望杯”竞赛题)
二、降次
例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。
(96年江苏省竞赛题)
三、整体代入
例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x+1993x，…，Sn=x+1993x，则aS1993+bS1992+cS1991=。
(93年希望杯竞赛试题)
四、配偶
例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。
(第八届“祖冲之”杯竞赛试题)
五、反客为主
例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。
(98年香港初中数学竞赛试题)
六、构造新方程
例6 已知两数a、b，ab≠1，且
2a2+1234567890a+3=0(1)
3b2+1234567890b+2=0(2)
则=。
(91年“希望杯”竞赛试题)
七、反证法
例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程
ax2+2bx+c=0
bx2+2cx+a=0
cx2+2ax+b=0
不可能都有两个相等的实数根。
(97年山东省数学竞赛试题)
八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解
例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。
(98年江苏省竞赛试题)
九、整体变形
例9 设a、b、c、d＞0，证明在方程
x2+
x2+
x2+
x2+
中，至少有两个方程有不相等的实数根。
(92年“希望杯”竞赛试题)
例10 已知三个关于x的方程：
x2-x+m=0(1)
(m-1)x2+2x+1=0(2)
(m-2)x2+2x-1=0(3)
其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是()
A、m≤2
B、m≤或1≤m≤2
C、m≥1
D、≤m≤1
(98年山东省竞赛试题)
十一、数形结合
一元二次方程问题常与对应的二次函数的图象联系起来考虑，由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。
例11 是否存在这样的实数k，使得二次方程x2+(2k+1)x-(3k+2)=0有两个实数根，且两根都在2与4之间？若有，试确定k的取值范围；若没有，简述理由。
(2000年数学奥林匹克训练题)。