立体几何中的角度问题
立体几何角度求解全攻略
立体几何中的角度问题攻略新东方孟祥飞异面直线角：采用平移法，或者向量线面角：（1）当射影线好找时采用定义法，（2）当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。
（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。
S 中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度例题：1.正四面体ABCSEA CFB异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。
SEPA CPF和SF所成平面角即所求FBSE这样的构建也是不错的选择EQ 和EB 所成角为所求A CQF B求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则EB=3，EQ=23，QB=27 所以32323247343cos =⨯⨯-+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解，2.三棱锥A BCD -，且,,,)(,>=<+===AC EF f DFCFBE AE λλλαβαλλ>=<BD EF ,λβ，求)(λf 的单调性 A EQB DFC此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF 的单调性，而角EQF 为棱AC 和BD 之间角，是为定值的3.正方体1111D C B A ABCD -，E 是1BC 中点，求DE 与ABCD 所成角。
D 1 C 1 A 1 B 1 ED C Q A B线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE 直线的射影，不难发现DE 的射影即为DQ ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ，只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。
立体几何中的角度与距离问题
立体几何中的角度与距离问题【基础知识】一．空间角度问题（一）理解空间中各种角的定义及其取值范围1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。
2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形）2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。
当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°.3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。
4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。
2.计算题必须有推理过程。
二．空间距离问题1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算α βAOP A BOP αβ (1)(2)(3)3． 求异面直线距离（1）定义：关键确定公垂线段（2）转化为直线和平面间距离（过a 而与b 平行的平面）（3）转化为平面间距离（4）极值法4． 求点面距离其法有二：（1）直接法，确定垂足的位置（2）等体积法，同一个三棱锥，从不同的角度选择底和高计算体积并加以比较即可。
角度在立体几何中的应用
角度在立体几何中的应用引言立体几何是研究三维空间中的图形和物体的学科。
角度是立体几何中一个重要的概念，它在描述和解决立体几何问题中起着关键的作用。
本文将探讨角度在立体几何中的应用，包括角的定义、角的性质以及角的测量方法。
角的定义在立体几何中，角是由两条射线共享一个起点而形成的图形。
角可以用字母来表示，通常以大写字母表示角的顶点。
例如，角ABC表示以点B为顶点的角。
角的性质角在立体几何中具有多种重要的性质，这些性质对于解决立体几何问题非常有帮助。
以下是一些常见的角性质：1. 角的度量：角的度量表示角的大小。
在立体几何中，角的度量通常用度来表示。
一个完整的角是360度，一个直角是90度。
角的度量：角的度量表示角的大小。
在立体几何中，角的度量通常用度来表示。
一个完整的角是360度，一个直角是90度。
2. 角的分类：根据度量的大小，角可以被分类为锐角、直角、钝角和平角。
锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度，平角等于180度。
角的分类：根据度量的大小，角可以被分类为锐角、直角、钝角和平角。
锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度，平角等于180度。
3. 角的互补性：如果两个角的度量之和等于90度，则它们被称为互补角。
角的互补性：如果两个角的度量之和等于90度，则它们被称为互补角。
4. 角的补足性：如果两个角的度量之和等于180度，则它们被称为补角。
角的补足性：如果两个角的度量之和等于180度，则它们被称为补角。
角的测量方法在解决立体几何问题时，测量角的大小是非常重要的。
以下是一些常用的角测量方法：1. 量角器：量角器是一种测量角度的工具。
它通常由半圆形或圆形的尺子和可旋转的标尺组成。
通过将量角器放置在角上，并与角的边对齐，可以准确地测量角的度量。
量角器：量角器是一种测量角度的工具。
它通常由半圆形或圆形的尺子和可旋转的标尺组成。
通过将量角器放置在角上，并与角的边对齐，可以准确地测量角的度量。
立体几何的最值问题
立体几何最值问题立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间图形的性质和数量关系。
在立体几何中，我们经常遇到最值问题，即寻找某个量的最大值或最小值。
本文将介绍立体几何中最值问题的几个方面：1.立体几何位置关系立体几何中的位置关系是指空间中点、线、面之间的相对位置。
解决位置关系问题需要运用空间想象和逻辑推理。
在立体几何中最值问题中，位置关系往往与距离、角度等问题交织在一起，需要综合考虑多种因素。
2.立体几何中的距离立体几何中的距离是指空间中两点之间的直线距离，或者是点与线、线与面之间的距离。
在解决最值问题时，我们需要考虑如何利用距离公式来计算最短路径、最大距离等。
3.立体几何中的体积立体几何中的体积是指空间中封闭图形的体积，或者是两个平面图形之间的距离。
计算体积需要运用体积公式，而解决最大或最小面积问题则需要考虑如何调整图形的形状和大小。
4.立体几何中的最短路径立体几何中的最短路径问题是指寻找空间中两点之间的最短距离。
解决这类问题需要运用距离公式和几何定理，有时还需要借助对称、旋转等技巧。
5.立体几何中的最大/最小面积立体几何中的最大/最小面积问题通常涉及到平面图形在空间中的展开和折叠。
解决这类问题需要运用面积公式和平面几何定理，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。
6.立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题是指空间中两条直线或两个平面之间的夹角。
解决这类问题需要运用角度公式和空间向量，同时要注意图形的对称性和边长之间的关系。
7.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题是指一个点或一条线在空间中按照一定规律移动所形成的轨迹。
解决这类问题需要运用轨迹方程和运动学原理，同时要注意轨迹的形状和大小随时间的变化情况。
立体几何角度的求法
3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
此 图
×正
O
确 ？
B
10
二面角的平面角的作法：
1、定义法
A
根据定义作出来
O
l
B
2、垂面法 作与棱垂直的平面与
l
O
两半平面的交线得到
γ
A
B
3、三垂线定理法 借助三垂线定理或
其逆定理作出来
A
D
l
O
12
二面角的计算步骤：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 （指出）1中的角就是所求的 角 3、计算出此角的大小
斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） • 直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角 • 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的
角是0°
思考
• 直线与平面所成的角θ的取值范围
是： 0≤θ≤π/2
。
• 斜线与平面所成的角θ的取值范围
是： 0＜θ＜π/2
。
斜线和平面所成的角的求法
（1）射影法：在线上取一点作面的垂线，斜 足与垂足的连线与斜线所成的角即为所求。 问题2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1 、
这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的范围
[00，1800]
3
角
二面角
图形
顶点
A 边
O
边B
从一点出发的两
定义 条射线所组成的
图形叫做角。
构成
边—点—边
（顶点）
表示法
∠AOB
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的 两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
立体几何求线线角的方法
立体几何求线线角的方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形、体积和角度等概念。
其中，线线角是立体几何中的一个重要概念，它描述了两条直线之间的夹角。
本文将介绍几种求解线线角的方法。
方法一：使用向量法求解线线角向量是立体几何中常用的工具之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。
在求解线线角时，我们可以利用向量的夹角来求解。
我们需要确定两条直线的方向向量。
假设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b。
那么，直线L1和L2之间的夹角θ可以通过以下公式求解：θ = arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，|a·b|表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。
通过计算向量的点积和模，我们可以得到直线L1和L2之间的夹角θ。
方法二：使用三角函数法求解线线角三角函数是数学中常用的函数之一，它可以用来描述角度之间的关系。
在求解线线角时，我们可以利用三角函数的性质来求解。
假设直线L1和L2之间的夹角为θ。
我们可以利用正弦定理来求解θ，该定理表示：sin(θ) = |AB| / |AC|其中，|AB|表示直线L1和L2之间的距离，|AC|表示直线L1上一个点到直线L2的垂直距离。
通过计算这两个距离，我们可以得到夹角θ的值。
方法三：使用平行四边形法求解线线角平行四边形是立体几何中的一个重要概念，它可以用来描述两条直线之间的关系。
在求解线线角时，我们可以利用平行四边形的性质来求解。
假设直线L1和L2之间的夹角为θ。
我们可以构造一个平行四边形，其中两边分别为直线L1和L2，另外两边分别为直线L1上的一条边和直线L2上的一条边。
根据平行四边形的性质，我们知道平行四边形的对角线相交于一点，且对角线相互平分。
因此，我们可以通过构造平行四边形，找到对角线的交点，从而求解出夹角θ的值。
方法四：使用投影法求解线线角投影是立体几何中常用的工具之一，它可以用来描述空间中的投影关系。
高中数学必修二立体几何角的问题-学生版(含几何法和向量法)
立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010例2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） A.3 B.22 C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。
立体几何三角函数计算公式
立体几何三角函数计算公式在立体几何中，三角函数是非常重要的工具，它们可以帮助我们计算各种三维空间中的角度、距离和其他属性。
本文将介绍一些常见的立体几何三角函数计算公式，并讨论它们的应用。
1. 余弦定理。
在立体几何中，余弦定理是一个非常有用的公式，它可以帮助我们计算三角形的边长。
余弦定理的公式如下：c^2 = a^2 + b^2 2ab cos(C)。
其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，C 表示夹在边 a 和 b 之间的角度。
利用余弦定理，我们可以计算出任意三角形的边长，从而更好地理解三维空间中的形状和结构。
2. 正弦定理。
正弦定理是另一个常见的三角函数计算公式，它可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示对应的角度。
利用正弦定理，我们可以计算出任意三角形的边长和角度，从而更好地理解三维空间中的形状和结构。
3. 三角函数的性质。
除了上述的定理之外，三角函数还有一些重要的性质，这些性质在立体几何的计算中也非常有用。
其中，最重要的性质包括：三角函数的周期性，正弦函数和余弦函数的周期都是 2π，而正切函数的周期是π。
三角函数的奇偶性，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数则是奇函数。
三角函数的单调性，在特定的定义域内，三角函数都有自己的单调性，这可以帮助我们更好地理解它们的变化规律。
利用这些性质，我们可以更好地理解和运用三角函数，从而更好地解决立体几何中的各种问题。
4. 三角函数的应用。
在立体几何中，三角函数有着广泛的应用。
例如，在计算三维空间中的角度和距离时，我们经常会用到正弦、余弦和正切函数。
另外，在计算三角形的面积和体积时，三角函数也可以发挥重要的作用。
此外，三角函数还可以帮助我们计算各种立体图形的表面积和体积，从而更好地理解它们的性质和结构。
总之，立体几何三角函数计算公式是非常重要的工具，它们可以帮助我们更好地理解和运用三维空间中的角度、距离和其他属性。
高中数学立体几何角度和与体积计算方法
高中数学立体几何角度和与体积计算方法在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，它涉及到角度和体积的计算方法。
本文将以具体的题目为例，分析和说明这些题目的考点，并给出解题技巧和指导性语言，帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、角度计算方法角度是立体几何中一个重要的概念，它可以用来描述物体之间的相对位置关系。
在计算角度时，我们可以利用几何知识和三角函数来求解。
例如，有一道题目如下：已知一个正方体的一个顶点A，以及与这个顶点相邻的两个顶点B和C，求∠BAC的度数。
解题思路：1. 首先，我们可以利用正方体的性质，知道正方体的六个面都是相等的正方形，所以∠BAC的度数应该是90度。
2. 其次，我们可以利用三角函数来计算∠BAC的度数。
根据正方体的性质，我们可以知道AB与AC是两个边长相等的直角三角形，所以可以利用三角函数中的正弦函数来计算∠BAC的度数。
由于∠BAC是直角，所以sin(∠BAC) = 1，所以∠BAC的度数是90度。
通过这个例子，我们可以看到，角度的计算方法可以根据题目的要求来选择合适的方法。
在解题时，我们可以根据题目给出的条件和已知的几何知识来选择合适的计算方法。
二、体积计算方法体积是立体几何中另一个重要的概念，它可以用来描述物体的大小和容积。
在计算体积时，我们可以利用几何知识和公式来求解。
例如，有一道题目如下：已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的体积。
解题思路：1. 首先，我们可以利用长方体的性质，知道长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算。
所以这个长方体的体积为3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。
2. 其次，我们可以利用公式来计算长方体的体积。
长方体的体积公式为V = lwh，其中V表示体积，l表示长，w表示宽，h表示高。
所以这个长方体的体积为V = 3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。
立体几何等角定理-定义说明解析
立体几何等角定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对立体几何等角定理进行简要介绍，突出其重要性和在几何学中的应用。
可以参考以下内容：立体几何是数学中的一个分支，研究空间中的三维图形和体积计算等问题。
在立体几何中，等角定理是一条重要的定理，它探讨了几何体之间的角度关系。
等角定理是指在立体几何中，如果两个几何体具有完全相等的角度，则它们是等角的。
简而言之，等角定理告诉我们，当一个几何体沿着空间中的某个轴旋转时，它的角度保持不变。
这个定理对于解决许多几何题目非常重要。
它可以应用于计算物体的旋转，推导出旋转图形的性质，并且在计算机图形学中有广泛的应用。
在建筑学、工程学和设计领域中，等角定理也被广泛应用于设计和计算三维结构的角度。
本文将介绍立体几何的基本概念，包括空间中的图形和体积计算等内容，然后详细探讨等角定理的定义与原理，以及它在实际问题中的应用举例。
同时，还会介绍等角定理的证明方法，以帮助读者更好地理解和应用这条定理。
总之，通过对立体几何等角定理的研究，我们可以更深入地了解几何体之间角度的关系，进一步提高我们的几何学知识，并且在实际问题中应用这个定理进行计算和设计。
在接下来的正文部分，我们将一步一步地探究等角定理的各个方面，希望读者在阅读完本文之后能够对立体几何等角定理有更全面的了解和应用能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以写成以下这样：2. 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
2.1 引言部分将对立体几何等角定理的背景和概述进行介绍，让读者对本文的主题有一个整体的了解。
同时还会说明文章的结构和目的，以及对整篇文章进行总结，引导读者进入正文部分。
2.2 正文部分是本文的主体，将对立体几何的基本概念进行阐述，包括对几何的定义和基本性质的介绍。
随后，将详细探讨等角定理的定义与原理，以及它在立体几何中的应用举例。
最后，将介绍一些证明等角定理的方法，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
高中数学立体几何线面角公式
高中数学立体几何线面角公式
一、高中立体几何线面角的概念
在高中立体几何中，线面角是指一条直线与一个平面所成的最小角。
这个概念帮助我们更好地理解空间中线与面的关系，以及如何计算它们之间的角度。
二、线面角公式及其推导
1.线面角公式
线面角公式如下：
α= β + γ
其中，α表示线面角，β 表示直线与平面内的直线所成的角度，γ 表示平面内的直线与平面所成的角度。
2.推导
根据空间几何中的知识，我们知道：
β+ γ = 180°
因此，
α= 180° - γ
这样，我们就得到了线面角的计算公式。
三、线面角公式的应用
线面角公式在解决立体几何问题时非常有用，例如：
1.判断直线与平面是否垂直：若线面角为90°，则直线与平面垂直。
2.计算线面角的大小：根据线面角公式，求得线面角α的值。
3.求解空间几何中的角度和：利用线面角公式，可以计算出空间中多个角度之和。
四、总结与练习
线面角公式是高中立体几何中的重要知识点，理解和掌握这个公式，能够帮助我们更好地解决实际问题。
通过下面的练习，巩固所学知识：
1.已知直线l与平面α所成角为30°，直线l与平面β所成角为45°，求直线l与平面α、β的夹角。
2.一平面与直线l垂直，直线l与另一平面β成60°，求平面α与β之间的夹角。
立体几何中的角度问题
θ
射影
立体几何中的角度问题
*
1．庄子用“郊祭之牺牛”作比，说明自 己只要 到了楚 国，就 会被楚 国治罪 。 2．从庄周拒绝楚王聘任，可以看出庄 子拒绝 功名利 禄，追 求自由 的精神 。 3.我记得有一句著名的格言是这样的:“ 真理诞 生于一 百个问 号之后 ”。其 实,应该 说,这句 格言本 身也是 真理。 4.这次假期作业能全部完成的同学,充 其量只 能说占 全班的 十分之 二、三,至于完 成的质 量就更 不好说 了。 5．庐冢，也叫“庐墓”，古时为了表示 孝顺父 母或尊 敬师长 ，在他 们死后 服丧期 间，为 守护坟 墓而盖 的屋舍 。 6．古代以山南水北为阴，山北水南为 阳。故 “以其 乃华山 之阳名 之也”中 的“华 山之阳” 是指华 山的北 面。
a B
一个面作垂线PA，再由垂足A(或点 A
P)向棱作垂线AB(或PB)，连PB(或
AB)，则PBA就是二面角-a-的平
面角。
（3）垂面法： 作二面角棱的垂面，
则垂面和二面角的两个面的交线所 成的角即是该二面角的平面角。
立体几何中的角度问题
*
立体几何中的角度问题
二、 斜线和平面所成的角：
垂线
斜线
立体几何中的角度问题
*
立体几何中的角度问题
2. 直线和平面所成的角： ①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地 写出来. ②向量法，先求直线的方向向量与平面的法 向量所成的角 ，令所要求的角为Ө，则
Sin Ө=|Cos|
立体几何中的角度问题
*
立体几何中的角度问题
3. 平面与平面所成的角:
①“一找二证三求”. 一找：找出这个二面角 的平面角；二证：证明所找角即为二面角的 平面角；三求：解三角形求角.
立体几何——三面角专题
立体几何——三面角专题
介绍：
三面角是立体几何中的一个重要概念，指的是由三个平面所夹
成的角。
本文将深入探讨三面角的性质、分类以及应用。
一、性质
1. 定义：三面角是由三个平面所夹成的角，其中每个平面都与
其他两个平面有公共边。
2. 基准角：三面角中，如果其中一个平面与其他两个平面垂直，该角被称为垂角。
垂角是三面角的基准角，可用于计算其他边角关系。
3. 几何关系：三面角的边角关系包括内切、外切、共面和共棱等，这些关系对于探索三面角的性质和变形具有重要意义。
二、分类
1. 锐角三面角：三个平面所夹角度小于90度的三面角。
2. 钝角三面角：三个平面所夹角度大于90度的三面角。
3. 直角三面角：三个平面所夹角度等于90度的三面角。
4. 平面角：三个平面构成共面的三面角，其中两个平面呈锐角
或钝角，另一个平面为直角。
5. 空间角：三个平面构成共面的三面角，其中两个平面呈直角，另一个平面为锐角或钝角。
三、应用
1. 几何推理：三面角的性质可以用于解决几何推理题，例如证
明平行线、垂直关系和角度等。
2. 工程建模：三面角的概念在工程建模中有广泛应用，特别是
在三维计算机辅助设计(CAD)中。
3. 计算几何：三面角的计算方法和公式可用于求解其边长、面
积和体积等几何问题。
结论：
三面角在立体几何中占据重要地位，通过深入了解其性质、分
类和应用，我们可以更好地理解三维空间的几何关系，丰富我们的
几何学知识，并应用于实际问题的解决。
立体几何角度问题
设正方体的棱长为1, 作(找)---证(指出)---算---结论
在RtA1 AO中, AA1 1, AO
2 2
, tanAOA1
AA1 AO
2
在正方体AC1中，E为BC中点, (1)求证:D1B//平面C1DE; (2)求二面角C1-ED-C的正切值.
D1
A1
C1 B1
O
在正方体AC1中，E为BC中点, (1)求证:D1B//平面C1DE; (2)求二面角C1-ED-C的正切值.
D1
A1
C1 B1
D
C HE
A
B
二、数学思想、方法、步骤：
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1.数学思想：
解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化
归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而
转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。
AB AD, BC CD
AO BD,CO BD AOC是二面角A BD
(证) C的平面角（. 指出）
在AOC中,OA OC 1, AC AOC 90 0
2 (算)A
二面角A BD C的大小为900.
（结论）B
O
D
作(找)---证(指出)---算---结论
角 度 问 题
1、异面直线所成的角 范围:0°<θ≤90°.
O是空间中的任意一点
点o常取在两条异面直线中的一条上
bˊ
b
o
θ
.
aˊ
o
α
a
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’， 并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角） 叫做异面直线a和b所成的角。
第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题(五大题型)(学生版)-2024高中数学新高二暑期衔接
(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点 4、作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB 为二面角α-l-β的平面角．
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的 角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB 为二面角α-l-β的平面角．
求点 C 到平面 AAB 的距离．
例 12．(2023·全国·高一专题练习)在四棱锥 P ABCD 中，AB / /CD ，AD 2 ，AB 2 ，CD 2 2 ，PAD 为等边三角形， PDC ADC 45 ．
(1)证明：平面 PDC 平面 PBC；
(2)求点 C 到平面 PAB 的距离．
中点，则异面直线 BM 与 A1C1 所成角的余弦值为( )
A． 10 5
B． 15 5
C． 10 10
D． 3 10 10
8．(2023·海南·高一海南华侨中学校考期末)如图所示，四棱锥 S ABCD 的底面为正方形，SD 平面 ABCD，
则下列结论中不正确的是( )
A． AC SB B． AB / / 平面 SCD C．直线 SA 与平面 SBD 所成的角等于 30 D．直线 SA 与平面 SBD 所成的角等于直线 SC 与平面 SBD 所成的角. 三、填空题 9．(2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
【过关测试】 一、多选题 1．(2023·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习)如图 AD 与 BC 分别为圆台上下底面直径，AD//BC ， 若 AB 3 ， AD 2 ， BC 4 ，则( )
高中数学立体几何角度计算技巧
高中数学立体几何角度计算技巧在高中数学中，立体几何是一个重要的考点，其中涉及到角度的计算。
正确计算角度是解决立体几何问题的关键，因此我们需要掌握一些角度计算的技巧。
本文将通过具体的题目来说明这些技巧，并给出一些解题思路和方法。
一、角度计算的基本概念在立体几何中，角度是指由两条射线或线段构成的图形，常用度（°）作为单位来表示。
我们首先需要了解一些基本概念：1. 直角：两条相互垂直的线段所形成的角度称为直角，常用符号“∠”表示。
例如，直角的度数为90°。
2. 锐角：两条相互交叉且夹角小于90°的线段所形成的角度称为锐角。
例如，30°、60°都是锐角。
3. 钝角：两条相互交叉且夹角大于90°的线段所形成的角度称为钝角。
例如，120°、150°都是钝角。
二、角度计算的常见题型1. 直角三角形的角度计算直角三角形是立体几何中常见的一种形式。
在计算直角三角形的角度时，我们可以运用三角函数的知识。
例如，已知直角三角形的两条边的长度，我们可以通过正弦、余弦、正切等函数来计算角度。
举个例子，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们需要计算另一条直角边与斜边的夹角。
首先，我们可以利用正弦函数来计算这个夹角的正弦值：sinθ = 对边/斜边 = 3/5。
然后，通过反正弦函数，我们可以求得这个夹角的度数：θ = arcsin(3/5) ≈ 36.87°。
2. 平行线与横截线的角度计算在立体几何中，平行线与横截线的角度计算也是一个常见的考点。
当两条平行线被一条横截线所截断时，我们需要计算出相应的角度。
例如，已知两条平行线AB和CD，横截线EF与这两条平行线相交于点G，我们需要计算出∠GEF的度数。
根据平行线的性质，我们知道∠ABG和∠DCE是对应角，它们的度数相等。
因此，我们可以通过计算∠DCE的度数来得到∠GEF的度数。
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立体几何题中的角度问题
一．异面直线所成的角
例1.（2011年宁波）正方体1111D C B A ABCD -中， （1）.求D A AC 1与所成角的大小.
（2）.若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11C A 与EF 所成角大小.
练习：1.A 是ΔBCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，AC ⊥BD.AC=BD.求EF 与BD 所成的角.
2.如图，在三棱锥S�ABC 中，，SA=AC=BC.求异
面直线SC 与AB 所成角的大小。
3.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。
二．直线与平面所成角
例 2.（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面
ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求
PG
GC
的值.
练习：1（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各
棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1
的中点.
(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;
(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;
(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.
错误!未指定书签。
2（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱柱
1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于
（ ）
A ．
23
B
C
D ．
13
三、二面角
例3.（2011年全国大纲卷）已知E 、F 分别在正方形棱1111D C B A ABCD -的棱
11,CC BB 上，且1EB =2BE ，CF=2F 1C ，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值
_______。
练习:1.过正方体ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP=AB,则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角度数.
练习：在四棱锥ABCD P -中，AD AB ⊥,,,ABCD PA AD CD 面⊥⊥CD AD PA ==
22==AB ,M 为PC 的中点，
E 为PD 的中点，N 为AE 的中点，求证：PBD MN 平面⊥. P C
E N M
D
A
B。