1.中点弦问题(点差法)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又
两式相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得
2 2 2
(人X2)4(%
V22)
0
于是(X1
X2)(X1X2)4( y1
『2)(0
y2)0
y1y2
X1X2
4
1
X-Ix2
4( y1y2)
4 2
2
1 1
即kAB㊁，故所求直线的方程为y1-(x2)，即x 2y4 0。
2
例2、已知双曲线x2冷1,经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B,
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结
①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问
题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题
圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次
75(X1
X2)(X1X2)o
即2yo(y1
y2)3(X1X2)0
y1
y23
X1
X22yo
ky1
y23
33
，即yo
1
X1
X2
2 yo
2
1
点M的坐标为(一，
-)。
2
2
2 2
4、已知椭圆
yX
1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
7525
设弦端点P(x1,y1)、
Q(X2, y2)，
弦PQ的中点M(x,y)，贝
.求弦的中点坐标、弦中点轨迹
3、已知椭圆
yx
7525
1的一条弦的斜率为
1
3，它与直线x—
2
M，求点
M的坐标
。
设弦端点P(x1,y1)、
Qg y2)，
弦PQ的中点M (xo,yo)，
X-ix2
2xo1，
y1y22 yo
2
2
2 2
又y1
X11，
y2X2
1
75
25
7525
两式相减得
25( y1
y2)(y1y2)
方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策略：
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交
点(弦的端点)坐标为A(xi，yj、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程
相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。
X1X2
2x，
y1y2
2y
2
2
2 2
又y1
X11，
y2X2
1
75
25
7525
两式相减得
25( y1
y2)(y1y2)
75(X1
X2)(X1X2)o
即y(y1
y2)3x(x1X2)0，
即y1
y23x
X1
X2y
ky1
y23
歿3，即
xy
o
2
2
Xi
例
的交点恰为这条弦的中点
解
则
例
解
X2
1
Xo
2
X
由
75
P(穿5＞臂
2 2
两式相减，得
1y.y2
(治X2XX1X2) -(y1y2)(y1y?) okAB—-2
2X1X2
故直线AB:y 12(x 1)
y 12(x 1)
由2y2消去y，得2x24x 30
x1
2
(4)24 2 380
这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到 中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的 弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。
且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理 由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线
的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)
则x1x22y1y22
2 2
X12L 1，X22亘1
(3)y2=2px( p>0)与直线I相交于A、B设弦AB中点为M(xo,yo),则有2yok=2p,即yok=p.经典例题讲解
一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
2 2
例1、过椭圆x匚1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线
16
的方程。
解：设直线与椭圆的交点为
M (2,1)
2 2 2 2
两式相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得
2 2 2
(人X2)4(%
V22)
0
于是(X1
X2)(X1X2)4( y1
『2)(0
y2)0
y1y2
X1X2
4
1
X-Ix2
4( y1y2)
4 2
2
1 1
即kAB㊁，故所求直线的方程为y1-(x2)，即x 2y4 0。
2
例2、已知双曲线x2冷1,经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B,
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结
①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问
题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题
圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次
75(X1
X2)(X1X2)o
即2yo(y1
y2)3(X1X2)0
y1
y23
X1
X22yo
ky1
y23
33
，即yo
1
X1
X2
2 yo
2
1
点M的坐标为(一，
-)。
2
2
2 2
4、已知椭圆
yX
1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
7525
设弦端点P(x1,y1)、
Q(X2, y2)，
弦PQ的中点M(x,y)，贝
.求弦的中点坐标、弦中点轨迹
3、已知椭圆
yx
7525
1的一条弦的斜率为
1
3，它与直线x—
2
M，求点
M的坐标
。
设弦端点P(x1,y1)、
Qg y2)，
弦PQ的中点M (xo,yo)，
X-ix2
2xo1，
y1y22 yo
2
2
2 2
又y1
X11，
y2X2
1
75
25
7525
两式相减得
25( y1
y2)(y1y2)
方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策略：
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交
点(弦的端点)坐标为A(xi，yj、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程
相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。
X1X2
2x，
y1y2
2y
2
2
2 2
又y1
X11，
y2X2
1
75
25
7525
两式相减得
25( y1
y2)(y1y2)
75(X1
X2)(X1X2)o
即y(y1
y2)3x(x1X2)0，
即y1
y23x
X1
X2y
ky1
y23
歿3，即
xy
o
2
2
Xi
例
的交点恰为这条弦的中点
解
则
例
解
X2
1
Xo
2
X
由
75
P(穿5＞臂
2 2
两式相减，得
1y.y2
(治X2XX1X2) -(y1y2)(y1y?) okAB—-2
2X1X2
故直线AB:y 12(x 1)
y 12(x 1)
由2y2消去y，得2x24x 30
x1
2
(4)24 2 380
这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到 中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的 弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。
且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理 由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线
的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)
则x1x22y1y22
2 2
X12L 1，X22亘1
(3)y2=2px( p>0)与直线I相交于A、B设弦AB中点为M(xo,yo),则有2yok=2p,即yok=p.经典例题讲解
一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
2 2
例1、过椭圆x匚1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线
16
的方程。
解：设直线与椭圆的交点为
M (2,1)
2 2 2 2