数学人教a版必修4 2.2.1 向量加法运算及其几何意义作业含解析

2.2.1 向量加法运算及其几何意义作业含解析高中数学人教A版必修4

[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 为矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D. 2．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.3. 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反解析：选A.a ∥b 且|a |＞|b |＞0，所以当a ，b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a ，b 反向时，因为|a |＞|b |，所以a ＋b 的方向仍与a 相同．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.解析：因为|OA →|＝|OB →|且∠AOB ＝90°，所以|a ＋b |为以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线的长，所以|a ＋b |＝3 2.答案：328．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________．解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形．答案：矩形9．2014年12月28日在搜救亚航失联客机中，我国海上救援中心派出一架救援直升飞机对婆罗洲和勿里岛之间的气象条件进行实地侦察，该飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解：如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机的两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km.在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD ―→|2＋|DC ―→|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．10．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →.∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．[B.能力提升]1．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →|＝2|AB →|＝2.故选B.2．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →解析：选C.因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.3．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.答案：82 北偏东45°4．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③5．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30° ＝150 3 N ， |OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6．(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d ，(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →.因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)．由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。

2.2.1向量加法运算及其几何意义(高中数学人教A版必修四)

ab
b
C
交换律: a b b a
B
结合律: (a b) c a (b c)
向量加法
学以致用
例１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC _____ 0
方向相同
AC a b
方向相反
向量加法
课堂练习
教材P84页练习1. 1、（1）
ab
a
（3）
ab
b
（2）
a
b b
ab
a
b
b
（4） a b
a
b b
向量加法
课堂练习
教材P84页练习2. 2、（1）
b
ab b a
（2）
b a
ab
a
向量加法
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
o
向量加法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C
5
A
2
B
向量加法
向量加法
只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！
向量加法
向量加法
(1)向量的相反向量的意义; (2)向量减法运算几何意义;
(3)向量的减法运算遵循什么法则.
向量加法运算及其几何意义
a b
向量加法
C B
C
B
A O
A
AB BC AC

高中数学人教A版必修4--2.2.1向量的加法运算及其几何意义精品课件

C
则
尾相
B C
接
）O
O
OC CB OB
OA OB OC
（
共
起
A
点）
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之间有联系吗?
向量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法的
a
b
法则
三角形法则:
平行四边形法则:
B
C
bC
B
bA
O 实规际上定 a：三对：角于a形两法个则不0作共出线的向0b图量形，O是这a平两行个四法a边则a形是法统则一作的
课堂小结
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律向量加法的运算
作业布置
作业：课本91页习题 2.2A组第4题学案完成132页至133页
本节课到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！
知识探究根据图示填空
Ee D
(1)a b c
gf
d (2)(a b) d f
A
c bC (3)(a b d ) e g
例3:如图，一只船从 A点出发以2 3km /h的速度
向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速
度向
设用向量 AC表示船的速度,
C
D
用向量AB表示水流的速度.
船实际行驶的速度 AD是向量 AC
与向量AB的和向量
23
A2 B
解：在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3
深入探究
a
b
与
a
b的
大小关系如何？
深入探究
a b与
a
b

人教版高中数学必修四课后提升作业十六 2.2.1向量加法运算及其几何意义 Word版含解析

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课后提升作业十六
向量加法运算及其几何意义
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
等于( )
.
【解析】选.根据平面向量的加法运算, 得()
.
.在平行四边形中( )
.
【解析】选.画出图形,如图所示:
().
.如图所示,在平行四边形中( )
.
【解析】选().
.如图所示的方格中有定点,则( )
.
【解题指南】利用平行四边形法则,作出向量,再进行平移,根据向量相等的条件可得.
【解析】选.设,以为邻边作平行四边形,则夹在之间的对角线
对应的向量即为向量,则与长度相等,方向相同,所以.
.在平行四边形中,若,则四边形是( )
.菱形 .正方形.矩形 .梯形。

人教版A版高中数学必修4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义(10)

O
A
B
讲授新课
例1. 已知向量a,b，求作向量a b .
O
A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则问题：
O
A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则问题：
O
A
B
讲授新课
3. 加法的交换律和平行四边形法则
(1)向量加法的平行四边形法则
（对于两个向量共线不适应）
(2)向量加法的交换律：
讲授新课
例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过
轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸A
点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向
行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航
行的速度(保留两个有效数字) ；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水
速度间的夹角表示, 精确到度).
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C
A B
规定：a

0

0

a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
即 a b AB BC AC，
C
A B
规定：a

0

0

a
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
的起点为起点，最后
D 一个向量的终点为终
A
C B
点的向量，即为这n 个向量的和向量.
讲授新课
探究：
(1)两向量的和与两个数的和有什么关系？

高中数学人教A版必修4 第2章 2.2.1向量的加法运算及其几何意义

2.2.1
问题 2
想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
|a|＋|b| a, b 同向，当 a 与 b 同向共线时， a＋b 与____ 且|a＋b|＝_______.
本课时栏目开关
a 的方向相同，当 a 与 b 反向共线时，若|a|>|b|，则 a＋b 与__
|a|－|b| ；若|a|<|b|，则 a＋b 与__ b 的方向相同，且且|a＋b|＝_______ |b|－|a| |a＋b|＝_______.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1
1．向量的加法法则
本课时栏目开关
(1)三角形法则如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取
→ → → AC 一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量____叫做 a 与 b 的和(或
→ → → a ＋ b 和向量)，记作_____，即 a＋b＝AB＋BC＝_____. AC 上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
本课时栏目开关
2.2.1
2.2.1
【学习要求】
向量加法运算及其几何意义
本 1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何课时意义．栏目开 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运关
用这两个法则作两个向量的加法运算．
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．
a a ＝__. 0 ＋__ 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1
(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作 → → OA＝a，OB＝b，则 O、A、B 三点不共线，

高中数学(人教A版必修4)作业2.2.1向量加法运算及其几何意义

技能提升作业(十四)1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形 D ．ABCD 一定是平行四边形解析由向量的平行四边形法则知，ABCD 一定是平行四边形．答案 D2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.CB → B.AB → C.AC → D.AM →解析 (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →，故选C.答案 C3．向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则a ＋b 应与b 方向相同，因此B 错．答案 B4．对任意向量a ，b ，在下式中：①a ＋b ＝b ＋a ；②(a ＋b )＋c ＝b ＋(a ＋c )；③|a ＋b |＝|a |＋|b |；④|a ＋b |≤|a |＋|b |，恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析因为向量加法满足交换律，结合律，所以①，②恒成立．|a ＋b |＝|a |＋|b |仅当a 与b 同向或有零向量时成立，所以③不恒成立．由向量模的几何定义知④恒成立．故选C.答案 C5．正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |为( )A ．0 B. 2 C ．3 D ．2 2解析 |a ＋b ＋c |＝|2c |＝2|c |＝2 2.应选D. 答案 D6．若a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，则|a ＋b |的最大值为__________，最小值为__________．解析当a 与b 同向时，|a ＋b |有最大值|a |＋|b |＝5. 当a 与b 反向时，|a ＋b |有最小值|b |－|a |＝1. 答案 5 1 7．下列结论：①a －a ＝0；②a －b ＝a ＋(－b )；③设a ，b 为任意向量，则|a ＋b |>0；④若AB →∥BC →，且|AB →|＝2012，|BC →|＝1，则|AB →＋BC →|＝2013.其中正确的有________．解析 a －a ＝0，故①错；②正确；③中当a ＋b ＝0时，不成立，故③错；④中当AB →与BC →方向相反时，不正确，故④错．答案 ②8．设a 表示“向东走了2 km ”，b 表示“向南走了2 km ”，c 表示“向西走了2 km ”，d 表示“向北走了2 km ”，则(1)a ＋b ＋c 表示向________走了________km ； (2)b ＋c ＋d 表示向________走了________km ； (3)|a ＋b |＝________，a ＋b 的方向是________．解析 (1)如图所示，a ＋b ＋c表示向南走了2 km.(2)如图②所示，b ＋c ＋d 表示向西走了2 km.(3)如图①所示，|a ＋b |＝22＋22＝22，a ＋b 的方向是东南．答案 (1)南 2 km (2)西 2 km (3)22 东南9．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →；(3)OA →＋FE →.解(1)如图，由正六边形的性质知，OABC 为平行四边形， ∴OA →＋OC →＝OB →.(2)由图知，BC →＝FE →＝AO →＝OD →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →. (3)∵OD →＝FE →，OA →＝DO →， ∴OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝DO →＋OD →＝0. 10.如右图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明由图可知AB →＝AP →＋PB →， AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋PB →＋QC →. ∵BP →＝QC →，又PB →与BP →模相等，方向相反，故PB →＋QC →＝PB →＋BP →＝0. ∴AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.教师备课资源1.在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( )A.13 B ．2 2 C ．3 D ．5解析由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13，应选A.答案 A2．已知下列各式： ①AB →＋BC →＋CA →； ②(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； ③OA →＋OC →＋BO →＋CO →； ④AB →＋CA →＋BD →＋DC →. 其中结果为0的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ①AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0.②(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋MB →＋BM →＝AM →＋MB →＝AB →≠0. ③OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝OA →＋BO →≠0.④AB →＋CA →＋BD →＋DC →＝AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0. 其中结果为0的有两个．答案 B3．①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 ①不正确，当a ＋b ＝0时，不成立．②正确．③不正确．当A ，B ，C 共线时，不成立．④不正确．因为|a ＋b |≤|a |＋|b |.应选B.答案 B4．已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________．解析 |AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2. 答案 2 25．如图，在正六边形ABCDEF 中，AB →＝a ，AF →＝b ，求AC →，AD →，AE →.解如下图，连接FC 交AD 于点O ，连接OB ，由平面几何知识得四边形ABOF 和四边形ABCO 均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有 AO →＝AB →＋AF →＝a ＋b . ∴AD →＝2AO →＝2a ＋2b .在平行四边形ABCO 中，AC →＝AB →＋AO →＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b . 而BC →＝AO →＝FE →＝a ＋b ，由三角形法则得AE →＝AF →＋FE →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b .。

人教A版必修4第二章《向量》课件 2.2.1向量加法运算及其几何意义

方法与技巧：
5化简下列各式：
1.PB OP OB
2.( AB MB) BO OM
6.对于任一四边形ABCD，下列式子中不等于BC的是（D）
A. BA AD DC
B. BD DA AC
C. AB BD DC
D. DC BA AD
例1、如图,已知向量a, b, 求作向量a b.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
学习目标:
1、向量的加法运算，及其几何意义
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量
C
1、位移
AB + BC = AC
A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。
r r r r a+ b = b+ a r r r r r r (a + b) + c = a + (b + c )
uuu r r r AC = a + b
当向量a , b不是共线向量时,a + b又如何作出来?
a b
r r
r
r
u r a o· r r a+ b
A
r b
B
r r r r | a+ b|< | a| + | b|
r r r r 一般地，有 | a + b | < | a | + | b |
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a

高一数学人教A版必修四教案：2.2.1 向量加法运算及其几何意义 Word版含答案

§2.2 平面向量的线性运算教材分析本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。

类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。

教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。

平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。

其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。

由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。

类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。

因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。

向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算. 向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目标：1、知识与技能：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。

2016-2017数学人教a版高一必修4_2.2.1_向量加法运算及其几何意义_作业

[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 为矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D.2．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.3. 如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( )A.CD →B.OC →C.DA →D.CO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反解析：选A.a ∥b 且|a |＞|b |＞0，所以当a ，b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a ，b 反向时，因为|a |＞|b |，所以a ＋b 的方向仍与a 相同．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.解析：因为|OA →|＝|OB →|且∠AOB ＝90°，所以|a ＋b |为以OA →，OB →为两邻边的正方形的对角线的长，所以|a ＋b |＝3 2.答案：3 28．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________．解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.|BC →＋AB →|＝|AD →＋AB →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形．答案：矩形9．2014年12月28日在搜救亚航失联客机中，我国海上救援中心派出一架救援直升飞机对婆罗洲和勿里岛之间的气象条件进行实地侦察，该飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到达B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．解：如图所示，设AB →，BC →分别是直升飞机的两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km.在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD ―→|2＋|DC ―→|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°方向，且距离A 地40 3 km 处．10．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →， ∴AB →＝DC →.∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形．[B.能力提升] 1．在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.如图，∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2|AO →|＝2|AB →|＝2.故选B.2．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →解析：选C.因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.3．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.答案：82 北偏东45°4．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 答案：①②③5．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，且|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30° ＝150 3 N ， |OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N. 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 6．(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d ，(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →.因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)．由图可知当B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。

人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.1 向量加法运算及其几何意义

变式训练 1
如图所示，已知向量 a，b，c，试作出向量 a＋b＋c.
→ → 解：如图所示．首先在平面内任取一点 O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b， → → → 则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c 即为所求．
题型二向量加法运算
例2
化简或计算：
→ → → → → → → → (1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.
→ → → → AC ．则向量_____ 记作_____ 即 a＋b＝AB＋BC＝_____ AC 叫做 a 与 b 的和(或和向量)， a＋b ，
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
0 ＋___ a ＝a. 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝___
2．平行四边形法则如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a， b 为邻边作▱OACB， → 对角线OC 就是 a 与 b 的和，我们把这种则以 O 为起点的_____________ 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
【解析】如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．【答案】A
2．下列等式错误的是( A．a＋0＝0＋a＝a → → → B.AB＋BC＋AC＝0 → → C.AB＋BA＝0 → → → → → D.CA＋AC＝救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35° 的方向飞行 800 km
到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
→ → 解：如图所示，设AB，BC分别表示飞机从 A 地按北偏东 35° 的方向飞行 800 km，

人教版A版高中数学必修4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义(13)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
O
F1+F2=F
F为F1与F2为邻边所形成平行四边形的对角线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
向量
任意给出两个向量a与b.
如何求a+ b.
加
法
的法
a
b
则
三角形法则:
平行四边形法则:
B
C
B
C
A
O
O
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之间有联系吗?
向量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的法
a
b
则
三角形法则:
平行四边形法则:
B
C
b
C
B
b
b
A
O
a
O
a
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
课堂练习:
1:已知向量a,b求作向量a+b
b a
三角形法则: a
b
平行四边形法则: a
b
方法巩固:
向量和三角形作法:
1.将向量平移使得它们首尾顺次相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
a b ≤ a b ≤ a b 何时取得等号?
实数满足加法交换律: 3+4=4+3 实数满足加法结合律: (3+4)+5=3+(4+5)
交换律： a + b = b + a 结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )
学以致用
例１.化简

数学人教A版必修4课前引导 2.2.1向量加法运算及其几何意义含解析精品

2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课前导引
问题导入
一人从A点出发向东走了400 m到达B点；接着向东偏北45°走2
200m到达C点；然后再向北走400 m到达D点,选择适当比列尺,用向量表示这个人的位移.
思路分析：如下图,一个单位表示100 m,则这个人的位移是
.
由物理知识我们知道这个人的位移是由几个分位移AB、BC、CD的合位移，在物理上记作=++.将这个问题抽象成数学知识即：向量等于向量、向量、向量的和，记作=++，这就是我们这节课要研究的向量的加法.
知识预览
1．求两个向量和的运算叫做向量的加法
2．向量加法的运算法则有三角形法则和平行四边形法则.
3．对任一向量a和零向量规定0+a=a+0=a.
4．向量加法的交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).。

2019版数学人教A版必修4训练：2.2.1 向量加法运算及其几何意义 Word版含解析

姓名，年级：时间：2.2 平面向量的线性运算2。

2。

1 向量加法运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1。

在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则四边形ABCD 是（ ) A.任意四边形 B 。

矩形 C.正方形 D.平行四边形答案:D2.如图,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A 。

CD⃗⃗⃗⃗⃗ B.OC⃗⃗⃗⃗⃗ C.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ D 。

CO⃗⃗⃗⃗⃗ 解析：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 。

答案：B3。

如图,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A 。

AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗B 。

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ C 。

AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗D 。

AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 。

人教A版数学必修四2.2.1向量加法运算及其几何意义

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.2.1向量加法运算及其几何意义一、课前预习1．已知非零向量AB 、BC 、CA ，条件甲：AB +BC +CA = 0，条件乙：AB 、BC 、CA 组成三角形ABC ，则甲是乙的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．在以下关于向量的命题中，正确的是（） A. 若a ＋b 的方向与b 一致，则|a |<|b |B. 若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b | 与|a|＋|b| 一定相等.C. △ABC 中，必有AB BC CA ++= 0.D. a ＋b 的方向与a 的方向一致3．设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a + b 表示向东北走_______km 4．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为23，AB =a ，BC =b ，AC =c ，试作出向量a +b +c ，并求出其模的大小.二、经典回顾1．若O 是△ABC 内一点，OA OB OC ++=0，则O 是△ABC 的（） A ．垂心 B ．重心 C ．内心 D ．外心解：延长AO 到M ，使||||OM AO =，且交BC 于D ，则OM AO =OA OB OC ++=0 OB OC OA OM ∴+=-=∴四边形OBMC 为平行四边形，于是BC 和OM 互相平分于D ， ∴D 为BC 中点且11||||||22OD OM AO ==，因此O 是△ABC 的重心. 举一反三1．已知ABCD 是四边形，O 为任意一点，若 OA OC OB OD +=+ ，那么四边形ABCD是（）A ．正方形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形2．设A 1A 2A 3A 4A 5A 6是正六边形，p 12,A A =q 1623,A A A A ==那么 ___(用p 、q 表示). 3. 如图2-2-1-1，梯形ABCD 中，E ，F 分别是腰AB 、DC 的三等分点，且||AD 2=，||5BC =，求||EF ．三、自主研练1．一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为 _____；两次位移的和的方向为________，大小为____________千米． 2．（1）化简FA BC CD DF AB ++++（2）△ABC 中，点D 、E 、F 分别边BC 、CA 、AB 的中点，则AB AD BC BE CF ++++=__________3．向量a ，b 满足|a|=8，|b |=12，则|a +b |的最大值是__________.4．已知在矩形ABCD 中，43AD = ，设AB = a ，BC = b ，BD = c ，试求|a +b +c |.5．试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.6．如图2-2-1-2在正六边形中，若OA = a , OE = b ，试用向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来.7．一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).四、活题与竞赛1．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),||||A B A CO P O A A B A C =++证明P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.A BO P CE F 图2-2-1-2AE BDFC图2-2-1-1五、探究性学习1．证明：对于任意两个向量a ,b 都有||a |-|b || ≤|a ＋b |≤|a ｜＋｜b | ．附：参考答案2.2.1向量加法运算及其几何意义一、课前预习1.B2.C3. 234. 解：作CE AC =，则如图a +b +c AE =a +b +c 22AB BC AC AC c =++==， ∴|a +b +c |22|2|22(23)8AC ==+=答：向量a +b +c 就是向量AE ，其模为8. 二、举一反三 1．B 2.p +q3. 解：分别取BE ，CF 的中点分别记为M ，N ，由梯形的中位线定理知：1||(||)2MN EF BC =+ 1111||()(||||)2222EF AD MN AD EF BC =+=++∴3159||(2)4224EF =+= ∴||3EF =．三、自主研练1． 400千米；北偏东45，2002千米．2．解：(1)FA BC CD DF AB ++++= FADF CD BC AB ++++=FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=FA AF += 0(2)3． 204．解：如图2.5.延长BC 至E ，使CE BC = ，连DE .由于CE BC AD == ， ∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC DE = ， ∴，∴.5．证明：如图2.6，由向量加法法则：图2.5AB = AO +OB , DC = DO +OC 由已知：AO =OC , DO =OB∴AB =DC 即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形6．解：设正六边形中心为P则=++=+=OA OE OA PB OP OB )( a + b + a=+=PC OP OC a + b + a + b由对称性：OD = b + b + a7．解：设AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行的速度. 在AB C Rt ∆中，2||=AB ，32|BC |= 所以4|BC ||AB ||AC |22=+= 因为23tan CAB 3CAB 602∠==⇒∠=︒ 所以船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为 60 四、活题与竞赛 1．证明：由题意得||AB AB 为上的单位向量，||AC AC 为上的单位向量，所以点A 与||ABAB 、||AC AC 、||||AB AC AB AC +的终点构成菱形，则||||AB ACAB AC +的方向为BAC ∠的角平分线AD 的方向.而(),||||AB ACOP OA AB AC =++ ∴点P 在AD 上移动，P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.五、探究性学习1．证明：对于任意两个向量a ,b 都有||a |－|b || ≤|a ＋b |≤|a ｜＋｜b | ．分析：可根据向量a ,b 共线与不共线两种情况进行讨论．A BO P CE F图2.6证明：若a,b中有一个为零向量，则不等式显然成立．若a,b都不是0时，记OA=a，AB=b,则OB=a+b．(1)当a,b不共线时，则有||OA|－|AB|| ≤|OB|≤|OA｜＋｜AB|．即||a|－|b|| ≤|a＋b|≤|a｜＋｜b| ．(2)当a,b共线时，若a,b同向，，|OB|＝|OA｜＋｜AB|，即|a＋b|=|a｜＋｜b| ；若a,b反向，||OA|－|OB|| =|AB| ，即||a|－|b||＝|a＋b| ．综上可知||a|－|b|| ≤|a＋b|≤|a｜＋｜b|．。

(完整word版)必修四向量加法运算及其几何意义(附答案)

向量加法运算及其几何意义[学习目标] 1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义。

2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。

3。

了解向量加法的交换律和结合律,并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．知识点一向量的加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a。

2．向量求和的法则三角形法则如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a,错误!＝b,则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b,即a＋b ＝错误!＋错误!＝错误!平行四边形法则如图，已知两个不共线向量a,b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!，错误!为邻边作▱ABCD,则对角线上的向量错误!＝a＋b思考如图,已知向量a， b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.答案作法1：在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b。

作法2：在平面内任取一点O,作OA→＝a,错误!＝b,以OA,OB为邻边作▱OACB，连接OC，则错误!＝错误!＋错误!＝a＋b.知识点二向量的加法和向量的模(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b｜<|a｜＋｜b｜；（2)当a与b同向时,a＋b，a，b的方向相同,且|a＋b｜＝|a|＋｜b|；（3）当a与b反向时，若｜a｜≥｜b|,则a＋b与a的方向相同,且｜a＋b|＝|a|－｜b｜。

若｜a|<|b｜,则a＋b与b的方向相同，且｜a＋b｜＝｜b｜－|a｜.知识点三向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律（a＋b)＋c＝a＋（b＋c）思考1 根据下图中的平行四边形ABCD，验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a。

(注：错误!＝a，错误!＝b）答案∵错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝a＋b.∵错误!＝错误!＋错误!,∴错误!＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.思考2 根据下图中的四边形ABCD，验证向量加法的结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．答案∵错误!＝错误!＋错误!＝（错误!＋错误!）＋错误!，∴错误!＝(a＋b）＋c，又∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋(错误!＋错误!），∴错误!＝a＋（b＋c），∴（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．题型一向量加法及其运算律例1 化简:（1)错误!＋错误!；(2)错误!＋错误!＋错误!；(3)错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!。

221向量加法运算及其几何意义作业含解析高中数学人教a版必修4.doc

[A.基础达标]1. 在四边形 ABCD 中，^AC=AB-\~AD,贝lj( )A. 四边形ABCD 为矩形B. 四边形ABCD 是菱形C. 四边形ABCD 是正方形D. 四边形4BCD 是平行四边形解析：选D •由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形.故选D.2. 已知 a, bt c 是非零向量，则(a+c)+方，〃+(a+c), 〃+(c+a), c+(a+〃)，c+@+a)中，与向量a+〃+c 相等的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a+b^c 相等，故选A.3.如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD//BC,则OA + BC+AB=(解析：选 B.OA-\-BC-\-AB=dA-\-AB-\-BC=OC.4.如图所示的方格中有定点0, P, Q, E, F, G, H,则0P-^0Q=()A.0HD.E0解析：选C.设a=0P+0Q,以OP, 00为邻边作平行四边形，则夹在OP, 0Q 乙间的对角线对应的向量即为向量a=OP +00,则a 与而长度相等，方向相同，所以a=FO.5. 已知向量a 〃肌且|a|>|*|>0,则向量a+b 的方向( )A. 与向量a 方向相同B. 与向量a 方向相反C. 与向量〃方向相同D. 与向量〃方向相反解析：选A.a//b 且|a|>|b|>0,所以当a, 〃同向时，a+b 的方向与a 相同，当a,方反向时，因为\a\>\b\,所以a+b 的方向仍与a 相同.6. 化简(AB+MB)+(BO+BC)+dM= ___________ .活学巧练跟踪验证A.CQ C.DAB.OC D.COB.0GC.F0 ■■ H解析：原式=(AB+Bb)+(dM+A7B)+BC=Ab+dB+BC=AB+BC=AC.答案：AC7.已知|页| =測=3, |丽| = |切=3, ZAOB=90°f贝％+切= ____________ .解析：因为|刃| = |5kaZ4OB=90。

人教A版高中数学必修四课时作业向量加法运算及其几何意义

2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义选题明细表知识点、方法题号向量的加法运算1,2,3,4 向量加法与平面几何的综合应用5,6,7,10,11,12,13 向量加法的实际应用8,9基础巩固1.如图所示,在▱ABCD中,++等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:++=++=+0=.故选A.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:在原图上取点M,使+=,如图所示,而=.故选C.3.下列说法正确的是( B )(A)0+0=0(B)对任意向量a,b都有a+b=b+a(C)对任意a,b都有|a+b|>0(D)等式|a+b|=|a|+|b|不可能成立解析:选项A不正确;选项B正确;选项C不正确,对任意a,b都有|a+b|≥0;选项D不正确,当a与b同向或其中一个(或两个)向量为0时,|a+b|=|a|+|b|,故选B.4.下列向量的运算结果为零向量的是( D )(A)+(B)++(C)+++(D)+++解析:A项,+=+=;B项,++=++=;C项,+ ++=(++)+=0+=;D项,+++=(+)+ (+)=+=0.5.已知P为△ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于( D )(A)△ABC的AB边上(B)△ABC的BC边上(C)△ABC的内部(D)△ABC的外部解析:如图,+=,则P在△ABC的外部.6.如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|= .解析:因为++=++=,所以|++|=||=2.答案:27.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为的是.(1)++;(2)++;(3)++;(4)++.解析:在(1)中++=+=;在(2)中++=+=;在(3)中++=+=;在(4)中++=+=+=.答案:(3)8.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h.(1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少?(2)如果小船在河南岸M处,对岸北偏东30°处有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头N?(河水自西向东流)解:(1)小船顺流行驶时实际速度最大,最大值为20 km/h,小船逆流行驶时实际速度最小,最小值为 0 km/h,此时小船是静止的.(2)如图所示,设表示水流的速度,表示小船实际过河的速度.设MC⊥MA,||=||=10,∠CMN=30°,因为+=,所以四边形MANB为菱形,在△MNB中,||=||=10,所以∠BMN=60°,而∠CMN=30°,所以∠CMB=30°,所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°.能力提升9.(2018·宝塔区高一期中)已知向量a表示“向东航行3 km”,向量b 表示“向南航行3 km”,则a+b表示( B )(A)向东南航行6 km (B)向东南航行3 km(C)向东北航行3 km (D)向东北航行6 km解析:设=a,=b,则OA=OB=3,OA⊥OB,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,由平行四边形法则可知=a+b. 因为OA⊥OB,OA=OB,所以平行四边形OACB是正方形,所以OC方向为东南方向.因为OA=OB=3,所以OC=3.故选B.10.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是( B )(A)菱形(B)矩形(C)正方形(D)不确定解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以+=,+=.又|+|=|+|,所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.11.设P为▱ABCD所在平面内一点,则①+=+;②+=+;③+=+中成立的序号为.解析:以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O′,则O与O′重合,所以+=+.答案:②12.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.证明:=+,=+,因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.因为FD=BE,且与的方向相同,所以=.所以+=+,即=,所以AE与FC平行且相等.所以四边形AECF是平行四边形.探究创新13.已知:O是正三角形ABC的重心,求证:++=0.证明:如图所示,根据平行四边形法则,作出=+,易知四边形OBEC 为菱形.所以OE平分∠BOC.由正三角形性质得∠AOC=∠BOC=120°,所以∠EOC=60°,所以∠AOE=180°,所以A,O,E三点共线.||=||=||=||,所以+=0,所以++=+=0.故++=0成立.。

课时作业4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义

必修四第二章平面向量2．2．1 向量的加法1. 向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM →2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 3.【题目】已知向量a ，b 满足1a =，2b =， a 与b 的夹角为60°，则a b -=4.【题目】对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（）A ．若=0a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c 5.【题目】对于向量a b c 、、和实数λ，下列命题中真命题是A.若·000a b a b ==＝，则或 B.若则λ＝0或0a = C.若22,a b a b a b ===-则或 D.若·a b a c b c -==，则 6.【题目】已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向7.【题目】在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23- 8.已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b （）（A ）垂直（B ）不垂直也不平行（C ）平行且同向（D ）平行且反向9.【题目】若向量a 、b 满足|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60︒，则a a +a b =（）A ．12B ．32C. 1+ D ．2 10.【题目】已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）A ．1B C ．2 D ．4参考答案：1. (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →【答案】C 2.1322-=a b (12).-，【答案】D3.考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-=，由余弦定理得：3a b -= 【答案】3a b -=4.【答案】B5.a ⊥b 时也有a·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a·b=a·c 得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时【答案】B6.已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=则a 与b 垂直【答案】A7.【答案】A8.【答案】A9.a ﹒a+ a ﹒b=12+1×1×21=23 【答案】B 10.(1)(1)a n b n ==-，，， 2(3,)a b n ⇒-=2a b -与b 垂直22(2)0303a b b n n ⇒-⋅=⇒-+=⇒=212a n ∴=+==【答案】C。