20090711高三理科数学(回归分析的基本思想及初步应用)

思考4：上述 ei yi i yi bxi a y 称为相应于点(xi，yi)的残差，类比样 本方差估计总体方差的思想，可以用
2 1 1 Q(a,作为σ 2的估计值， (a, b)称为残差平方和. Q 当样本容量为1或2时残差平方和为多少？
探究（一）：回归直线方程
思考1：对于一组具有线性相关关系的数 据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， b 其回归直线方程中参数 a ， 的计算公式 分别是什么？
b
( x x )( y y ) x y nx y
i 1 i i
n
n
(x x )
3.在回归模型中，残差变量是一个不 能被观测的量，但可以估计预报变量观 测值中所包含的残差变量，这种估计对 于查找样本数据中的错误和模型的评价 极为有效.
之间的误差. e是真实值y与预报变量 y
思考4：一般地，对具有线性相关关系的 两个变量x，y，可以用线性回归模型： y＝bx＋a＋e 来表示，其中a，b为模型 的未知参数，e是y与 bx a 之间的 y 误差，并称为随机误差.它的均值E(e)＝ 0，方差D(e)＝σ 2＞0，那么线性回归模 型的完整表达式是什么？
4
－4.618
5
1.137
6
6.627
7
－2.883
8
0.382
残差 e
10 5 0 0 -5 -10
e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
小结作业
1.随机误差是引起预报值与真实值之 间的误差原因之一，其大小取决于随机 误差的方差.
2.产生随机误差的原因是多方面的， 如一个人的体重除了受身高的影响外， 还受饮食习惯，运动量，家族遗传等因 素的影响.
70
60 50
40 30 20 10 0 150 155 160 165 170 175 180
60.316(kg ) . 当x＝172时，y
＝0.8485x－85.712 y
小结作业
1.若两个变量具有线性相关关系，在 其回归直线方程中，当b＞0时，回归直 线的斜率为正数，两个变量呈正相关； 当b＜0时，回归直线的斜率为负数，两 个变量呈负相关.
2.相关系数r是判断两个变量是否具 有线性相关关系，以及相关性强弱的一 个统计指标，记住0.75是线性相关性强 弱的分界点. 相关性强弱与|r|的大小成 正比.即|r|越大则相关性越强，|r|越小 则相关性越弱. 3.对于一组样本数据，一般先作散点 图，并计算相关系数，判断两个变量是 否具有线性相关关系，若是，则进一步 求回归直线方程，否则，采取其它方式 进行研究.
第三章
3.1
统计案例
回归分析的基本思想及其初步应用
第一课时
问题提出
1 5730 p 2
t
1.两个随机变量之间具有线性相关关 系是如何直观理解的？ 两个变量的样本数据的散点图大致分布 在一条直线附近.
2.什么叫回归直线？回归直线方程的 一般形式是什么？ 散点图的分布从整体上最接近的一条直 Ù 线，其方程是：y = $ + a bx $
|r|∈[0.75，1]
理论迁移
例 从某大学中随机选取8名女大学生， 其身高和体重数据如表所示:
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重kg 48 57 50 54 64 61 43 59
试判断女大学生的身高与体重是否具有 线性相关关系，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. r＝0.798
i 1 i 1 i 1
n
n
b
2
(x x)
i 1 i
n
2
2b (xi x)( yi y ) ( yi y )
i 1 i 1
n
n
2
若将此式看成是关于b的二次函数，则当 b为何值时，它的值为最小？
思考6：综上分析，Q取最小值的充要条 件是什么？
b
( x x )( y y )
作业：看书 P80～82
第三章
3.1
统计案例
回归分析的基本思想及其初步应用
第二课时
问题提出
1 5730 p 2
t
1.回归直线方程 y = $ + a 中，参 bx $ b 数 a ， 的计算公式分别是什么？
b
Ù
( x x )( y y )
i 1 i i
e y y
思考3：对于样本点(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xn，yn)，相应的随机误差为 ei（i＝1，2，…，n）等于什么？其估 计值 ei 等于什么？ i yi yi bxi a e yi
ei yi i yi bxi a y
思考4：对于一组样本数据：(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)，称 n
r
(x
i 1 i
i
x )( yi y )
n 2
(x
i 1
n
x ) ( yi y )
i 1
2
为变量x，y的相关系数，统计中用r来衡 量两个变量之间线性关系的强弱，且 |r|≤1.你能感觉出当r＞0，r＜0， |r|→1，|r|→0时，变量x，y分别具有 怎样的相关性吗？
n
(x x )
i 1 i
n
2
y bx a
2.相关系数r的计算公式是什么？r的 不同取值对两个变量之间线性相关性强 弱有什么影响？
r
(x
i 1
n
i
x )( yi y )
n 2 2
(x
i 1
n
i
x ) ( yi y )
i 1
若r＞0，则两个变量正相关； 若r＜0，则两个变量负相关； 若|r|∈[0.75，1]，则两个变量的线性 相关性很强； 若|r|∈[0.3，0.75），则两个变量的线 性相关性一般.
i 1 i
n

i 1 n
i
i
2
x
i 1
2
i
nx
2
y bx a
思考2：点 ( x, y )称为样本点中心，那 么样本点中心与回归直线的位置关系是 如何？ 回归直线经过样本点中心
思考3：设回归直线方程为 y = bx + a ，
Ù
ˆ 记 Q ( yi yi ) ( yi bxi a )
不一定
思考2：两个变量之间的线性相关关系是 一种非确定性关系，在回归分析中，通 常把x称为解释变量，y称为预报变量， 对不同的解释变量x所对应的预报变量y 与真实的y值之间的误差是常数还是随机 变量？ 随机变量
思考2：由于所有的样本点不共线，只是 散布在某一条直线附近，所以身高与体 重的关系可以用线性回归模型： y＝0.849x－85.712＋e 来表示，如何理 解字母e的含意？
n
2
{[ yi bxi ( y bx)]
i 1
i 1 n
2
2[ yi bxi ( y bx)] [( y bx) a]
[( y bx) a] } .其中
2
[y bx ( y bx)] [( y bx) a]
i 1
n
y bx a e, 2 E (e) 0, D(e) .
思考5：在上述线性回归模型中，随机误 差e的方差σ2的大小变化，对通过回归直 线 bx 预报真实值y的精度产生什 y a 么影响？ 方差σ 2越小，预报真实值的精度越高.
思考6：回归模型中的参数a，b与回归方 b 程中的参数 a ， 有什么差异？ a 和 b 是回归直线的截距和斜率的估计 值，a和b是回归直线的截距和斜率的真 实值.
理论迁移
例 从某大学中随机选取8名女大学生， 其身高和体重数据如表所示:
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重kg 48
57
50
54
64
61
43
59
试计算各组数据的残差，并画出残差图.
编号
1
－6.373
2
2.627
3
2.410
3.函数关系是一种确定性关系，相 关关系是一种非确定性关系，回归分析 是对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的一种常用方法.在必修3中，我们 采用的方法是：画散点图→求回归直线 方程→用回归直线方程进行预报.在理论 上，这种研究方法是不全面、不深刻的， 因此，对回归分析的理论和方法，我们 还得作进一步的研究.
i 1 i i
n
(x x )
i 1 i
n
2
y bx a
探究（二）：相关性检验
思考1：如果具有相关关系的两个随机变 量呈正相关或负相关，其散点图各有什 么特点？
正相关：散点图分布在从左下角到右上 角的区域； 负相关：散点图分布在从左上角到右下 角的区域.
思考2：对任意一组样本数据都存在回归 b 直线吗？都能求得参数 a ， 的值吗？ 不一定存在回归直线，但可求得参数 , b 的值. a 思考3：对于一组样本数据：(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)，有什么办法判 断变量x，y具有线性相关关系？ 根据散点图的分布情况进行判断.
y bx a 求残差估计值. ei i i
思考6：利用图形可以直观分析残差特性， 作图时纵坐标为残差，横坐标可以是样 本编号，或样本中其它数据，所得的图 形称为残差图.那么回归模型拟合精度越 高，残差图有什么特性？ 残差点较均匀地散布在水平带状 区域中，且带状区域宽度较窄.