第四章 电路定理
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电路原理 第4章 常用的电路定理
根据齐次定理，激励Us与响应I5成正比，即
U ad ' U s = I5' I5
Us 6 因此 I 5 = I5 '= × 1 = 0.05 A U ad ' 120
需要注意 注意的是，应用叠加 叠加定理和齐次 齐次定 注意 叠加 齐次 理时，当激励的参考方向反向 反向时，相当于激 反向 励变为原来的－1倍。 － 倍 4.2 替代定理 已知电路中第k条支路的电压uk和电流ik， 那么无论该条支路是由何种元件构成的，它 都可以用电压等于uk的理想电压源或电流等 于ik的理想电流源去替代，替代之后，电路 中其他支路的电压和电流均不变。
得原电路的戴维南等效电路 得原电路的戴维南等效电路 由全电路欧姆定律可得： 由全电路欧姆定律可得：
24Ω
A
I5 16Ω
+ _ 2V
B
电路如图示， 例题 电路如图示，求UR 。 将待求支路断开
(1) 求开路电压 OC 求开路电压U UOC=6I1+3I1 I1=9÷ (6+3)=1A UOC=9V +
解：这个电路是由电阻的串、并联组成，可 以用等效电路的分析方法进行计算，但是 用齐次定理计算会更方便。 先设I5支路电流为I5’=1A， 则:
U cd ' = (15 + 15) I 5' = 30V
4
所以， I
U cd ' 30 '= = = 1A 30 30
I3 ' = I 4 '+I5 ' = 1+1 = 2A
例4.1-1 图4.1-2（a）所示电路，试用叠加 定理求3Ω电阻上的电压U及功率。
8Ω 2Ω （a） 8Ω 2Ω （c） 图4.1-2 例4.1-1图 3A 6Ω ＋ 3Ω U’’ － 3A 6Ω （d） 3A 6Ω ＋ 3Ω U － 8Ω 2Ω （b） 8Ω 2Ω － 3Ω U’’ ＋ 6Ω ＋ 3Ω U’ －
U ad ' U s = I5' I5
Us 6 因此 I 5 = I5 '= × 1 = 0.05 A U ad ' 120
需要注意 注意的是，应用叠加 叠加定理和齐次 齐次定 注意 叠加 齐次 理时，当激励的参考方向反向 反向时，相当于激 反向 励变为原来的－1倍。 － 倍 4.2 替代定理 已知电路中第k条支路的电压uk和电流ik， 那么无论该条支路是由何种元件构成的，它 都可以用电压等于uk的理想电压源或电流等 于ik的理想电流源去替代，替代之后，电路 中其他支路的电压和电流均不变。
得原电路的戴维南等效电路 得原电路的戴维南等效电路 由全电路欧姆定律可得： 由全电路欧姆定律可得：
24Ω
A
I5 16Ω
+ _ 2V
B
电路如图示， 例题 电路如图示，求UR 。 将待求支路断开
(1) 求开路电压 OC 求开路电压U UOC=6I1+3I1 I1=9÷ (6+3)=1A UOC=9V +
解：这个电路是由电阻的串、并联组成，可 以用等效电路的分析方法进行计算，但是 用齐次定理计算会更方便。 先设I5支路电流为I5’=1A， 则:
U cd ' = (15 + 15) I 5' = 30V
4
所以， I
U cd ' 30 '= = = 1A 30 30
I3 ' = I 4 '+I5 ' = 1+1 = 2A
例4.1-1 图4.1-2（a）所示电路，试用叠加 定理求3Ω电阻上的电压U及功率。
8Ω 2Ω （a） 8Ω 2Ω （c） 图4.1-2 例4.1-1图 3A 6Ω ＋ 3Ω U’’ － 3A 6Ω （d） 3A 6Ω ＋ 3Ω U － 8Ω 2Ω （b） 8Ω 2Ω － 3Ω U’’ ＋ 6Ω ＋ 3Ω U’ －
电路定理
任何线性有源二端网络N，就其外特性而言， 可以用一个电压源与电阻的串联支路等效置换， 如图所示。
i
i a u b uoc
Req
a
u b
38
N
4-3 戴维南定理和诺顿定理
1. U oc的求法 1) 测量: 将ab端开路，测量开路处的电压U oc 2) 计算: 去掉外电路，ab端开路，计算开路电压U oc 2. Ro的求法
U ' I 'U ' ' I ' 'U ' I ' 'U ' ' I '
P' U ' I ' P'' U '' I ''
P P ' P ' '
功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数。
16
4-1 线性电路补充性质-齐性原理
性质2: 齐次性
——齐性原理（homogeneity property)
u3 u3 u3
8
4-1 叠加定理
u3 u3 u3
10V
i1 6
R1
us
10i1
i2
R2 4
u3
4A is
=
i1
i1
R1
us
i2
10i1
u3
R1
i2
10i1
R2
+
R2
(b) 电流源单独作用
iS
u3
9
(a) 电压源单独作用
若已知其端电流，可用一个电流源来代替，此电流 源的电流的大小和参考方向均与已知的端电流相同。
i
i a u b uoc
Req
a
u b
38
N
4-3 戴维南定理和诺顿定理
1. U oc的求法 1) 测量: 将ab端开路，测量开路处的电压U oc 2) 计算: 去掉外电路，ab端开路，计算开路电压U oc 2. Ro的求法
U ' I 'U ' ' I ' 'U ' I ' 'U ' ' I '
P' U ' I ' P'' U '' I ''
P P ' P ' '
功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数。
16
4-1 线性电路补充性质-齐性原理
性质2: 齐次性
——齐性原理（homogeneity property)
u3 u3 u3
8
4-1 叠加定理
u3 u3 u3
10V
i1 6
R1
us
10i1
i2
R2 4
u3
4A is
=
i1
i1
R1
us
i2
10i1
u3
R1
i2
10i1
R2
+
R2
(b) 电流源单独作用
iS
u3
9
(a) 电压源单独作用
若已知其端电流，可用一个电流源来代替，此电流 源的电流的大小和参考方向均与已知的端电流相同。
电路理论_(4)
1
例：电路如图(a), 电路响应
i2 i2 iS 0 i2 uS 0 i2(1) i2(2)
u1 u1 iS 0 u1 uS 0 u1(1) u1(2)
电路等效为下图
i (1)
2
uS R1 R2
i(2)
2
R1iS R1 R2
u (1) 1
R1uS R1 R2
u(2) 1
R1R2iS R1 R2
18
二、 诺顿定理
诺顿定理：任何一个线性含源二端网络，对外电路来讲，可 以用一个电流源和电导的并联组合等效变换。其电流源的电 流 iS = isc 为网络端口的短路电流；电导Geq=（1/ Req ）为网络 内部电源均为0时的端口的输入电导。
含源一端 口网络
戴维宁等效电路 诺顿等效电路
两种等效电路共有3个参数： uoc , isc ,Req 其关系为： uoc = isc Req 戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电机。
33
4-6 对偶原理
注意以下关系式：u Ri, i Gu 对于CCVS： u2 ri1， 对于VCCS： i2 gu1
对偶元素：电压与电流；电阻与电导；CCVS与VCCS；r与g
n
R Rk k 1
i u R
uk
Rk R
u
两个电路互为对偶
n
G Gk k 1
u i G
ik
Gk G
i
显然，在上式中将对偶元素互 换，则对应关系式彼此转换
+
6
例：4-2 求图示电路中的电压 u3 。
+
7
例：4-3 求图示电路中的电压 u3 。
+
8
线性电路的齐性定理：当所有激励（独立电压源和独立电流源） 都同时增大或减小K倍时，响应（电压或电流）也将同样增大或 减小。 例：4-4 求图示电路中的各支路电流。
例：电路如图(a), 电路响应
i2 i2 iS 0 i2 uS 0 i2(1) i2(2)
u1 u1 iS 0 u1 uS 0 u1(1) u1(2)
电路等效为下图
i (1)
2
uS R1 R2
i(2)
2
R1iS R1 R2
u (1) 1
R1uS R1 R2
u(2) 1
R1R2iS R1 R2
18
二、 诺顿定理
诺顿定理：任何一个线性含源二端网络，对外电路来讲，可 以用一个电流源和电导的并联组合等效变换。其电流源的电 流 iS = isc 为网络端口的短路电流；电导Geq=（1/ Req ）为网络 内部电源均为0时的端口的输入电导。
含源一端 口网络
戴维宁等效电路 诺顿等效电路
两种等效电路共有3个参数： uoc , isc ,Req 其关系为： uoc = isc Req 戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电机。
33
4-6 对偶原理
注意以下关系式：u Ri, i Gu 对于CCVS： u2 ri1， 对于VCCS： i2 gu1
对偶元素：电压与电流；电阻与电导；CCVS与VCCS；r与g
n
R Rk k 1
i u R
uk
Rk R
u
两个电路互为对偶
n
G Gk k 1
u i G
ik
Gk G
i
显然，在上式中将对偶元素互 换，则对应关系式彼此转换
+
6
例：4-2 求图示电路中的电压 u3 。
+
7
例：4-3 求图示电路中的电压 u3 。
+
8
线性电路的齐性定理：当所有激励（独立电压源和独立电流源） 都同时增大或减小K倍时，响应（电压或电流）也将同样增大或 减小。 例：4-4 求图示电路中的各支路电流。
第四章 电路定理 互易定理
–
d
2A
(c)
a Req
b
线性 电阻 网络 NR
c
a I 5 5 + 5V – 戴维宁等 效电路
(d)
d
b
Req u1 2 10 2 5
(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：
I 5 55 0.5A
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i1 u2 i2 u1 i1 u 2 i2
求(a)图电流I ，(b)图电压U。 2 4 + I 12V – (a) 1 ＋ I 6
12V
+ 6A
U
4 2 (b)
－
－
6A 1 + 6 U –
解
I
利用互易定理
12 1 6 // 6 1 2 1.5A
U 3 2 6V
例2 解
I'
求电流I 。
利用互易定理
ˆ ˆ 10i1 5 ( 2) 5i1 ( 2) u 2 0
ˆ i1 I 0.5 A
如要电路具有互易性，则： U ab U cd
( 1) 3 ( 3 )
2
一般有受控源的电 路不具有互易性。
例3
测得a图中U1＝10V，U2＝5V，求b图中的电流I 。
a 2A
b 解1
+ 线性 电阻 u1 网络 –
NR
c
+ – d u2
a
5
I
(a)
b
线性 电阻 网络 NR
c + – 2A
(b)
d
a – b
(1) 利用互易定理知c 图的
电路分析基础第04章电路定理
Pmax
uo2c 4 Req
•最大功率匹配条件
RL Req
最大功率 匹配条件
Pmax
uo2c 4 Req
匹配:RL=Req时,P达到最大值， 称负载电阻与一端口的输入电阻匹配
扩音机为例
Ri
变
压
R=8Ω
ui
器
信号源的内阻Ri为 1kΩ， 扬声器上不可能得到最大功率。 为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上一个变 压器。
第四章 电路定理
§4.1 叠加定理** §4.2 替代定理 §4.3 戴维宁定理** §4.4 特勒根定理 §4.5 互易定理 §4.6 对偶原理
§4.1 叠加定理
一、内容
在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电 压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该 支路产生的电流（或电压）之叠加。
i i(1) i(2)＋ uu(1)u(2)＋
pmax
uo2c 4Req
0.2mW
注
(1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
(2)
负载电阻可调的情况;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于
(3) 大
端口内部消耗的功率,因此当负载获取最
(4)
功率时,电路的传输效率并不一定是50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理
(4) 或诺顿定理最方便.
4、恢复原电路
a
R0
+ Uabo
-
I b
I = U abo 9 R 0 10
例. 求U0 。
解
6
+ 9V 3
–
– 6I + a
+
I
第4章电路定理th
电流源单独作用时：电压源短路，电路等效如图， 由分流公式（注意方向）得：
南 京 工 业 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 通 信 系
I2 4Ω 3Ω
4Ω 4Ω 6A I2 6Ω 3Ω
6A 4Ω 6Ω
I 2 4 A
根据叠加定理，电流为：
I I1 I 2 3 A
第 4-15 页
设I1=1A，则利用OL，KCL， KVL逐次求得
306V 2Ω c 2Ω b 2Ω a 2Ω I7 I6 I5 I4 I3 I2 1Ω US 1Ω 1Ω d I1 1Ω
Ua =(2+1)I1 = 3V I2 = Ua /1 = 3A I3 = I1+ I2 = 1+3 = 4A Ub =2I3+ Ua = 2×4+3 =11V I4 = Ub /1 = 11A I5 = I3+ I4 = 4+11 = 15A
南 京 工 业 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 通 信 系
4.1 齐次定理和叠加定理 一、齐次定理 二、叠加定理 4.2 替代定理 一、替代定理 二、替代定理应用举例
4.3 等效电源定理 一、戴维宁定理 二、诺顿定理 三、等效内阻的计算 四、定理的应用举例 4.4 最大功率传输定理 4.5 特勒根定理和互易定理 一、特勒根定理 二、互易定理
4.1 齐次定理和叠加定理
对于一些未知结构(黑盒子)电路，利用性质进行分析,用叠 加定理求解更为方便。
南 京 工 业 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 通 信 系
例2 如图电路，N是含有独立源的线性电路，已知 当us = 6V，iS= 0时，开路电压uo= 4V； 当us = 0V，iS= 4A时，uo= 0V； 当us = -3V，iS= -2A时，uo= 2V； 求当us = 3V，iS= 3A时的电压uo
电路分析第四章 电路定理
Uoc = U1 + U2
= -104/(4+6)+10 6/(4+6)
= -4+6=2V I a
Ri
+
(2) 求等效电阻Ri
Rx
a
Ri b
Uoc – b (3) Rx =1.2时，I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A I= Rx =5.2时， Uoc /(Ri + Rx) =0.2A Rx = Ri =4.8时，其上获最大功率。
计算； 2 加压求流法或加流求压法。
3 开路电压，短路电流法。
2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏安特性等效)。 (4) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包 含在被化简的同一部分电路中。
21
第4章 电路定理
例1.
4 a Rx 6 + I b 10V
2.5A
10V 2 5V
?1A
?
这里替代后，两并联理想电压源 5V 5 1.5A 电流不确定，该支路不能被替代
14
第4章 电路定理
例.
3 + 1 Rx – U Ix + 0.5 0.5 若要使 I x 试求Rx。
1 8
I,
10V
–
I
0.5
解： 用替代：
1
1
I 0.5
8
I
1
0.5
又证:
ik
A
+ uk –
支 路 k
A
ik
+
–
uk
A
+ uk – uk
支 路 k
uk
电路理论4电路定理
13
4.3 戴维宁定理与诺顿定理
a
N0
Req
b
a
Req
b
a N
b
a
Req
+ U_ oc
?
编辑ppt
b
14
戴维宁定理：一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控 源的一端口网络，对外电路来说，可用一个电压源和电阻串联 等效。
I1
+NLeabharlann ULoad_
1’
I
1
U oc +
U
Load
Req _
1’
原始电路和戴维宁等效电路
可加性
i2' k1is i2''k2Us 齐次性（单电源作用）
i2 k1is k2Us
线性性（对功率不适用）
编辑ppt
4
应用叠加定理时注意以下几点:
➢ 叠加定理只适用于线性电路
➢ 某个独立电源单独作用时，其它独立电源置零。将电源置 零的方法是：若置电压源为零，则用短路代替；若置电流 源为零，则用开路代替
➢ 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)
➢ 含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控电源可视为独立电 源，让其单独作用于电路；也可视为非电源原件，在每一
独立源单独作用时，受控源应始终保留于电路之中
➢ u,i叠加时要注意各分量的方向
编辑ppt
5
运用叠加定理求解电路的步骤:
➢ 在电路中标明待求支路电流和电压的参考方向
编辑ppt
U 3U S12IS23
8V
8
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
定理内容：
在任意一个电路中，若某支路k电压为uk、电流为ik，且该 支路与其它支路不存在耦合，那么这条支路 • 可以用一个电压等于uk的独立电压源替代； • 或者用一个电流等于ik的 独立电流源来替代；
第4章 电路的基本定理
(2 1)(i 2) 2i 0
i 1.2A
u 2(2 i) 1.6V
i i i 1.4 1.2 0.2A u u u 7.2 1.6 5.6V
【例4-4】图示N为线性含源网络。已知：当iS1=8A， iS2=12A 时，响应ux＝80V；当iS1=－8A， iS2=4A时，响应ux＝0V；当 iS1 =iS2 =0A时，响应ux＝－40V。当iS1 =iS2 =20A时，ux为多少？ 解 设网络N内所有独立源作为一组， 所产生的响应分量为ux(3)， iS1和 iS2产 生的响应分量为AiS1与B iS2 。则
uk 为原值
(b)
ik 可以是任意值（电压源特点）
原电路[图（a）]的所有支路电压和电流将满足图(b)的全 部约束关系。若电路只有惟一解，则所有电压和电流保持原 值。
替代定理不适用：
⑴ 电路在替代前后，具有多解；
⑵ 被替代支路中，含有网络N中受控源的控制量， 且替代将使控制量消失。
【例4-6】图a电路中，i1＝4A， i2＝6A， i3＝10A，u1＝80V，
uS u Rin i iS
iS
u
i
uS
N
输入电阻
【例4-5】已知U=68V,求各支路电流。
A
U
I1
1
I3
1
I5
1
I7
1
U2
1
U4
1
U6
1
1
B
I2
I4
I6
I8
解 设 I8＝1A，则
I 7 I 8 1A
i 1.2A
u 2(2 i) 1.6V
i i i 1.4 1.2 0.2A u u u 7.2 1.6 5.6V
【例4-4】图示N为线性含源网络。已知：当iS1=8A， iS2=12A 时，响应ux＝80V；当iS1=－8A， iS2=4A时，响应ux＝0V；当 iS1 =iS2 =0A时，响应ux＝－40V。当iS1 =iS2 =20A时，ux为多少？ 解 设网络N内所有独立源作为一组， 所产生的响应分量为ux(3)， iS1和 iS2产 生的响应分量为AiS1与B iS2 。则
uk 为原值
(b)
ik 可以是任意值（电压源特点）
原电路[图（a）]的所有支路电压和电流将满足图(b)的全 部约束关系。若电路只有惟一解，则所有电压和电流保持原 值。
替代定理不适用：
⑴ 电路在替代前后，具有多解；
⑵ 被替代支路中，含有网络N中受控源的控制量， 且替代将使控制量消失。
【例4-6】图a电路中，i1＝4A， i2＝6A， i3＝10A，u1＝80V，
uS u Rin i iS
iS
u
i
uS
N
输入电阻
【例4-5】已知U=68V,求各支路电流。
A
U
I1
1
I3
1
I5
1
I7
1
U2
1
U4
1
U6
1
1
B
I2
I4
I6
I8
解 设 I8＝1A，则
I 7 I 8 1A
Chapter4电路定理
a
c
a
R1 Rab R2 i3i3 R3
R5
+ ++
uS1 uab uS2
R4RRcd6
– ––
b
b
d
例2 求图示电路的等效发电机。
解：
iSc
40 20
40 40
60 20
3
1A
Req 20 // 40 // 20
1
1 1
1
8
20 40 20
20Ω
40Ω
20Ω 3A
＋
25V
20
U
－
－
用结点电压法
o
1'
uao
1 5
1 20
1 4
25 5
3
U 4
uao
16
U 2
由 I uao U
4
U 32 8I
＋ 8 I ＋1
4A
32V
－
U
－
1'
I ＋1
8 U
－
1'
i
ia
a +
Req
+
uoc=Reqisc
Nu
+
-b
uoc
-
u isc -
3.定理的应用
（1）开路电压uoc和短路电流iSc的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。诺顿等效 电路中电流源电流等于将外电路短路时的短路电流iSc，电流源 方向与所求短路电流的方向有关。计算uoc、 iSc的方法视电路 形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。
电路理论第4章-电路定理
第四章、电路定理
本章主要内容
一、叠加定理
四、戴维南定理和诺顿定理 五、最大功率传输定理
第四章、电路定理
一、叠加定理
几个概念 （1）线性电阻：电阻的伏安特性曲线为线性。
R为常数，符合u=iR 。
（2）激励：独立电源又称为激励，由于它的存在， 电路中能够产生电流或电压。
（3）响应：由激励在电路中产生电流或电压称 为响应。
（3）、有源二端网络：二端网络中含有电源。
有源二端网络：
第四章、电路定理 四、戴维南定理和诺顿定理 说明有源一端口网络，其对外的最简等效电路是一
个电压源与电阻的串联.
等效
第四章、电路定理
四、戴维南定理和诺顿定理
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
+-+-UUoocc
66
66
bb 10V
44
+–
+ Req Uoc
–
Ia Rx b
①求开路电压
Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = 6-4=2V
②求等效电阻Req
Req=4//6+6//4=4.8
③ Rx =1.2时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
u(2) (6i(2) 6) (21) 8V u u(1) u(2) 9 8 17V
3A
＋ － 6 i (2)
＋ u(1)
6 3
1
－ 6V
＋
3＋u(2) － ＋
12V －
1 2A
本章主要内容
一、叠加定理
四、戴维南定理和诺顿定理 五、最大功率传输定理
第四章、电路定理
一、叠加定理
几个概念 （1）线性电阻：电阻的伏安特性曲线为线性。
R为常数，符合u=iR 。
（2）激励：独立电源又称为激励，由于它的存在， 电路中能够产生电流或电压。
（3）响应：由激励在电路中产生电流或电压称 为响应。
（3）、有源二端网络：二端网络中含有电源。
有源二端网络：
第四章、电路定理 四、戴维南定理和诺顿定理 说明有源一端口网络，其对外的最简等效电路是一
个电压源与电阻的串联.
等效
第四章、电路定理
四、戴维南定理和诺顿定理
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
+-+-UUoocc
66
66
bb 10V
44
+–
+ Req Uoc
–
Ia Rx b
①求开路电压
Uoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = 6-4=2V
②求等效电阻Req
Req=4//6+6//4=4.8
③ Rx =1.2时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
u(2) (6i(2) 6) (21) 8V u u(1) u(2) 9 8 17V
3A
＋ － 6 i (2)
＋ u(1)
6 3
1
－ 6V
＋
3＋u(2) － ＋
12V －
1 2A
电路理论4电路定理
2V 3
R1 图(a) R2 b
I3
a
Us1
rI3
+
Eo
求 等效内阻（求短路电流），图(c)：
I0 I3 I1 I2,
I1
US1 R1
1A ,
I2
rI3 R2
1 I3 2
0.5I3 2
I3 1 0.5I3 , I3 3 A
I0
2 3
A
,
R0
E0 I0
1
R1图(b +
R1
Is
R2
Uoc
I1
图(b)
_ b
2）求等效内阻，方法1：外加电压源，图(c)：
I2
US R2
US 3
I1
2I2 US R1
2I2 US
1 3
U
S
2 I0 I2 I1 3 US
R0
US I0
3 2
2I2
a
I2 Io
R1
R2
I1 图(c)
Us
b
2）求等效内阻方法2：直接求等效电阻
4.1.2 叠加定理 (Superposition Theorem) 定理内容：
在任一线性电路中，任一支路电流(或电压)都等于电路中各个独立电源单 独作用于网络时，在该支路产生的电流(或电压)的叠加（代数和）。
定理特点：
将多电源电路转化为单电源电路进行计算。
例1：
R1
i2
+
Us
R2
-
两个独立源分别单独作用
若替代后电路仍具有唯一解，则整个电路的各支路电压和电流保持不变。
例子：
i
u=3V
i=1A +
电路学 第四章
第4章电路定理(Circuit Theorems)¨重点:1、熟练掌握叠加定理；2、熟练掌握戴维南和诺顿定理；3、掌握替代定理，特勒根定理和互易定理；Un Re gi st er ed§4-1 叠加定理(Superposition Theorem)定义：对于线性电路，任何一条支路中的电流(或电压)，都可以看成是由电路中各个独立电源(电压源或电流源)分别单独作用时，在此支路中所产生的电流(或电压)的代数和。
所谓电源的单独作用，即是在电路中只保留一个电源，而将其它电源置零。
电源置零：电流源置零，则是电流源断路电压源置零，则是电压源短路一、定义Un Re gi st er ed二、叠加定理的应用B原电路U 1单独作用B''''''BU 2单独作用+I 1=I 1′+I1〞I 2=I 2′+I 2〞I 3=I 3′+I 3〞Un Re gi sU S1R 1S1US1R 1R 1S1+例：2121R R R U U S +´=¢22111R R R R I U S ´+´=¢¢221112121R R R R I R R R U U U U S S ´+´++´=¢¢+¢=Un e gi st er e应用叠加定理要注意的问题:1、叠加定理只适用于线性电路（电路参数不随电压、电流的变化而改变），不适用于非线性电路。
2、叠加时电源分别考虑，电路的结构和参数不变。
置零的恒压源短路，置零的恒流源开路3、叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；不能用叠加定理求功率。
4、叠加时注意参考方向下求代数和。
Un Re gi st er ed5、含受控源电路亦可用叠加，参加叠加的是独立源，受控源应始终保留。
要注意每个分图中受控源控制量的区别6、运用迭加定理时也可以把电源分组求解，每个分电路的电源个数可以不止一个。
第四章：电路定理
ik
+
A uk
–
支 路 k
A
+
– uk
A
ik
例： 图a电路，可求得：
U = 8V
6
+
I3 = 1A , I2 = 1A , I1 = 2A
20V -
用 U=S 8V代替支路３ 得图b电路，可求得：
6
I3 = 1A , I2 = 1A , I1 = 2A
43;
8
U
-
4
+
4V -
解(1) 电压源单独作用时,
+ 10V
电流源开路,如图b)所示， –
+
4 u 4A (a)
–
u 10 4 4V
6
46
(2) 电流源单独作用时，电压源
+ 10V
+ 4 U '
(b)
短路，如图c)所示,
–
–
u 4 6 4 9.6V 10
6 +
(3) 共同作用时：
4 U ''
4A
u u u 4 9.6 5.6V
–
(C)
例4.2 求图中电压U。
'
解 (1)10V电压源作用时，4A电流源开路，
受控源保留。
I1
10 64
1A
U' = -10I1' + 4I'1 = (-10 + 4) 1 = -6V
(2) 4A电流源作用时,10V电压源短路,受控源保留
U
10
I
'' 1
6
I
'' 1
I 1
电路定理
I
I
3
4V 10A
2 3
5A
5
20V 5
4V
2
20V
(a)
(b)
【解】 (1) 电压源单独作用时，电路如图（b）所示
(2) 10A电流源单独作用，电路如图(c)所示
I
3 10A
2
5
(c)
(3) 5A电流源单独作用，电路如图(d)所示
I 3
2 5A 5
(d)
由叠加定理得
4.1.2 齐性定理
定理内容：在线性电阻电路中，当所有激励都 增大或缩小k倍时，响应也同样增大或缩小k倍。
11 / /1
1 0.5
由KCL和VAR得
(2) 求
,电路如图（c）所示。
1
1
I0
1
U 1
U0
0.5U
(c)
(3) 求电流 ,电路如图（d）所示。
I
15
2
3
2 3
(d)
由分流公式
4.2.3 最大功率传递定理
一个线性含源单口电路，当所接负载不同时， 一端口电路传输给负载的功率就不同。
讨论：负载为何值时，能从电路获取最大功率， 及最大功率的值是多少。
u1iˆ1 u2iˆ2 uˆ1i1 uˆ2i2
u2is uˆ1is
iˆ1 0
+
uˆ1 NR
-
iˆ2
+
is
uˆ 2
-
iˆ1 0 iˆ2 is
可得： uˆ1 u2
形式3
i1
+
i2
iˆ1 0
iˆ2
+
+
+
is
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P
©
©
实验9
对回路
3I-5U(1)+I +2-U(1) =0
§4-1 齐性定理
齐性定理 ::在线性电路中 , 增 齐性定理 在线性电路中 , 当所有激励都同时 当所有激励都同时 增 大 ( 或 缩小 ) k 倍 ( k 为实常数 ), 响 应 也 将同时 大 ( 或 缩小 ) k 倍 ( k 为实常数 ), 则 则 响 应 也 将同时 增大 ( 或 缩小 ) k 倍 。 增大 ( 或 缩小 ) k 倍 。 i1 ª i1 ª + i + i 2 R1 2 R1 u3 u 3 U US R2 IS S R2 IS ′ª i1 2i1ª ki ′ i R 2 + 2i2 + US 1 R1 ki ′ u R 2 u ku I I 3 2 2US R2 kI kU 3 S S 2IS US 又 :: 当电路中 只 有一个激励时 ,, 响 应 与 激励成 正比 。 又 当电路中 只 有一个激励时 响 应 与 激励成 正比 。 ª
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§4-1 叠加定理
对有 l 个独立回路的电路用回路法求得 ilk ilk =∆1k/ uS11+∆2k / uS22 + ∆3k / uS33+…+∆lk / uSll ∆ ∆ ∆ ∆ =G'k1 uS1+G'k2 uS2+G'k3 uS3+ …+G'kb uSb ( k=1,2,…,l ) 支路电流 ik 为有关回路电流的代数和,所以上 述结论对支路电流、支路电压也成立。 叠加定理：在线性电阻电路中，任一支路电流 叠加定理：在线性电阻电路中，任一支路电流 ( 或支路电压 ) 都是电路中各个独立源单独作用 ( 或支路电压 ) 都是电路中各个独立源单独作用 时在该支路产生的电流（或电压）的叠加。 时在该支路产生的电流（或电压）的叠加。
ª
§4-2
替代定理
Replace Theorem
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§4-2替代定理
替代定理： 给 定任意一个电路， 其 中 已知第 k 条 替代定理： 给 定任意一个电路， 其 中 已知第 k 条 支路的电压 u 和 电流 ii ， 那么这条 支路 就 可用一 支路的电压 u 和 电流 ， 那么这条 支路 就 可用一 kk kk 个 具 有 个 具 有 (1) 电压 等 于 u 的独立电压源 (1) 电压 等 于 u 的独立电压源 kk (2) 电流 等 于 ii 的独立电流源 (2) 电流 等 于 的独立电流源 kk (3) 电阻 值等 于 u / ii 的线性电阻 元件来 替代。 (3) 电阻 值等 于 u / 的线性电阻 元件来 替代。 kk kk 而 替代 后 的电路中 全部 电压、电流 均 将 保持原值 。 而 替代 后 的电路中 全部 电压、电流 均 将 保持原值 。 注：被替代的支路可以是无源的,也可以是含源的, 但一般不应含受控源或控制量。
Ê
©
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3Ω -5U+ + 5A (a) U 2Ω 1Ω 2V - +
(1) 5 U 3Ω - +
§4-1 叠加定理
U = U (1) + U ( 2 ) = 0.25 − 2.5 = −2.25V
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§4-2替代定理
+ 20V
©
例4-4 替代定理。 求得：u3=8V, i1=2A, i2=1A, i3=1A i1ª i3 ª i1ª i3 ª + + 6Ω i2 4Ω 6Ω i2 + u u 8Ω + 3 + 8Ω 3 + 8 V 4 V 20V 20V - i1ª i3 ª i1ª i3 ª + + 6 Ω i 2 6Ω i2 u 8 Ω 8 Ω 3 1 A + u3 8Ω
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§4-1 叠加定理
il2 =∆12/ uS11+∆22/ uS22 ∆ ∆ =∆12/ (uS1-uS2)+∆22/ (uS2 -uS3) ∆ ∆ =∆12/ uS1+(-∆12/ +∆22/ )uS2 -∆22/ uS3 ∆ ∆ ∆ ∆ = G'21uS1+G'22uS2+G'23uS3 令 il2(1) =G'21uS1 ，il2(2) =G'22uS2，il2(3) =G'23uS3 il2 为各电压源的一次函数，即为由各电压源引 起的回路电流分量的叠加。 il2 = il2(1) + il2(2) +il2(3)
§4-1 叠加定理
R11il1 +R12il2 = uS11
R11 = R1+R2 , R22 =R2+R3 , uS11 = uS1 -uS2 , uS22 = uS2 -uS3
R21il1 +R22il2 = uS22 R12 = R21 = -R2 用行列式解出 il1 , il2 il1 =∆11/ uS11+∆21/ uS22 ∆ ∆ =∆11/ (uS1-uS2)+∆21/ (uS2 -uS3) ∆ ∆ =∆11/ uS1+(-∆11/ +∆21/ )uS2 -∆21/ uS3 ∆ ∆ ∆ ∆ R11 R12 ∆= = R11 R22 − R12 R21 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R21 R22 ∆11 =(-1)1+1 R22 =R2+R3 ∆21 =(-1)2+1R12 =R2
用回路法 R11il1 +R12il2 = uS11 R21il1 +R22il2 = uS22 式中 R11 = R1+R2 R22 = R2+R3 R12 = R21 = -R2 uS11 = uS1 -uS2 uS22 = uS2 -uS3
ª
uS2 -
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ilk = ilk(1) + ilk(2) +ilk(3) +…+ilk(b)
§4-1 叠加定理
例4-1 已知：R1=6Ω, R2=4Ω,US=10V,IS=4A, 用叠加 定理求i1 , i2 , u3 。 ( 2) (1) i i1 ª i1ª 1 ( 2) ( 1 )+ i + + i2 2 R1 R1 i2 R1 ( 2) (1) u US R2 IS u3 US R2 u3 Ê 3 R2 IS (c) (b) (a) 解：(b) i (1) = i (1) = U S = 10 = 1 A, 1 2 (1) ( 2) R1 + R2 6 + 4 i1 = i1 − i1 = −0.6 A, (1) (1) u = R i (1) ( 2) 3 2 2 = 4V i2 = i2 + i2 = 3.4 A, R2 4× 4 ( 2) (c) i1 = = 1.6 A, IS = (1) (2) u3 = u3 + u3 = 13.6V R1 + R2 6+4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) u = R i 实验8 i2 = 4 − i1 = 2.4 A, 3 2 2 = 9.6V
+ 6U(1) = 4I+2 • I (1) (b) U 2Ω 1Ω (1) = -2I 2V U ‚ - + ‚入• 6U(1) = -2U(1) +2 ⇒ 8U(1) = 2 ⇒ U(1) =0.25V (2) ( 2) (2) ( 2) 5 U 3 Ω U U + 5U - + •• +5+ =0 结点 • + 2 4 5A ( 2) ( 2) (2) 2 U + 20 + 6 U =0 (c) U 2Ω 1Ω ( 2) (2) ⇒ ⇒ U = −2.5V 8U = −20 • 哈尔滨理工大学 王竹萍 0
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§4-1 叠加定理
R11 R12 ∆= = R11 R22 − R12 R21 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R21 R22 ∆11 =(-1)1+1 R22 =R2+R3 ∆21 =(-1)2+1R12 =R2 il1=∆11 / uS1+(-∆11/ +∆21/ )uS2 -∆21/ uS3 ∆ ∆ ∆ ∆ = G'11uS1+G'12uS2+G'13uS3 令 il1(1) =G'11uS1 ，il1(2) =G'12uS2，il1(3) =G'13uS3 il1 为各电压源的一次函数，即为由各电压源引 起的回路电流分量的叠加。 il1 = il1(1) + il1(2) +il1(3)
P
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实验9
对回路
3I-5U(1)+I +2-U(1) =0
§4-1 齐性定理
齐性定理 ::在线性电路中 , 增 齐性定理 在线性电路中 , 当所有激励都同时 当所有激励都同时 增 大 ( 或 缩小 ) k 倍 ( k 为实常数 ), 响 应 也 将同时 大 ( 或 缩小 ) k 倍 ( k 为实常数 ), 则 则 响 应 也 将同时 增大 ( 或 缩小 ) k 倍 。 增大 ( 或 缩小 ) k 倍 。 i1 ª i1 ª + i + i 2 R1 2 R1 u3 u 3 U US R2 IS S R2 IS ′ª i1 2i1ª ki ′ i R 2 + 2i2 + US 1 R1 ki ′ u R 2 u ku I I 3 2 2US R2 kI kU 3 S S 2IS US 又 :: 当电路中 只 有一个激励时 ,, 响 应 与 激励成 正比 。 又 当电路中 只 有一个激励时 响 应 与 激励成 正比 。 ª
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§4-1 叠加定理
对有 l 个独立回路的电路用回路法求得 ilk ilk =∆1k/ uS11+∆2k / uS22 + ∆3k / uS33+…+∆lk / uSll ∆ ∆ ∆ ∆ =G'k1 uS1+G'k2 uS2+G'k3 uS3+ …+G'kb uSb ( k=1,2,…,l ) 支路电流 ik 为有关回路电流的代数和,所以上 述结论对支路电流、支路电压也成立。 叠加定理：在线性电阻电路中，任一支路电流 叠加定理：在线性电阻电路中，任一支路电流 ( 或支路电压 ) 都是电路中各个独立源单独作用 ( 或支路电压 ) 都是电路中各个独立源单独作用 时在该支路产生的电流（或电压）的叠加。 时在该支路产生的电流（或电压）的叠加。
ª
§4-2
替代定理
Replace Theorem
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§4-2替代定理
替代定理： 给 定任意一个电路， 其 中 已知第 k 条 替代定理： 给 定任意一个电路， 其 中 已知第 k 条 支路的电压 u 和 电流 ii ， 那么这条 支路 就 可用一 支路的电压 u 和 电流 ， 那么这条 支路 就 可用一 kk kk 个 具 有 个 具 有 (1) 电压 等 于 u 的独立电压源 (1) 电压 等 于 u 的独立电压源 kk (2) 电流 等 于 ii 的独立电流源 (2) 电流 等 于 的独立电流源 kk (3) 电阻 值等 于 u / ii 的线性电阻 元件来 替代。 (3) 电阻 值等 于 u / 的线性电阻 元件来 替代。 kk kk 而 替代 后 的电路中 全部 电压、电流 均 将 保持原值 。 而 替代 后 的电路中 全部 电压、电流 均 将 保持原值 。 注：被替代的支路可以是无源的,也可以是含源的, 但一般不应含受控源或控制量。
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3Ω -5U+ + 5A (a) U 2Ω 1Ω 2V - +
(1) 5 U 3Ω - +
§4-1 叠加定理
U = U (1) + U ( 2 ) = 0.25 − 2.5 = −2.25V
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§4-2替代定理
+ 20V
©
例4-4 替代定理。 求得：u3=8V, i1=2A, i2=1A, i3=1A i1ª i3 ª i1ª i3 ª + + 6Ω i2 4Ω 6Ω i2 + u u 8Ω + 3 + 8Ω 3 + 8 V 4 V 20V 20V - i1ª i3 ª i1ª i3 ª + + 6 Ω i 2 6Ω i2 u 8 Ω 8 Ω 3 1 A + u3 8Ω
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§4-1 叠加定理
il2 =∆12/ uS11+∆22/ uS22 ∆ ∆ =∆12/ (uS1-uS2)+∆22/ (uS2 -uS3) ∆ ∆ =∆12/ uS1+(-∆12/ +∆22/ )uS2 -∆22/ uS3 ∆ ∆ ∆ ∆ = G'21uS1+G'22uS2+G'23uS3 令 il2(1) =G'21uS1 ，il2(2) =G'22uS2，il2(3) =G'23uS3 il2 为各电压源的一次函数，即为由各电压源引 起的回路电流分量的叠加。 il2 = il2(1) + il2(2) +il2(3)
§4-1 叠加定理
R11il1 +R12il2 = uS11
R11 = R1+R2 , R22 =R2+R3 , uS11 = uS1 -uS2 , uS22 = uS2 -uS3
R21il1 +R22il2 = uS22 R12 = R21 = -R2 用行列式解出 il1 , il2 il1 =∆11/ uS11+∆21/ uS22 ∆ ∆ =∆11/ (uS1-uS2)+∆21/ (uS2 -uS3) ∆ ∆ =∆11/ uS1+(-∆11/ +∆21/ )uS2 -∆21/ uS3 ∆ ∆ ∆ ∆ R11 R12 ∆= = R11 R22 − R12 R21 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R21 R22 ∆11 =(-1)1+1 R22 =R2+R3 ∆21 =(-1)2+1R12 =R2
用回路法 R11il1 +R12il2 = uS11 R21il1 +R22il2 = uS22 式中 R11 = R1+R2 R22 = R2+R3 R12 = R21 = -R2 uS11 = uS1 -uS2 uS22 = uS2 -uS3
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uS2 -
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ilk = ilk(1) + ilk(2) +ilk(3) +…+ilk(b)
§4-1 叠加定理
例4-1 已知：R1=6Ω, R2=4Ω,US=10V,IS=4A, 用叠加 定理求i1 , i2 , u3 。 ( 2) (1) i i1 ª i1ª 1 ( 2) ( 1 )+ i + + i2 2 R1 R1 i2 R1 ( 2) (1) u US R2 IS u3 US R2 u3 Ê 3 R2 IS (c) (b) (a) 解：(b) i (1) = i (1) = U S = 10 = 1 A, 1 2 (1) ( 2) R1 + R2 6 + 4 i1 = i1 − i1 = −0.6 A, (1) (1) u = R i (1) ( 2) 3 2 2 = 4V i2 = i2 + i2 = 3.4 A, R2 4× 4 ( 2) (c) i1 = = 1.6 A, IS = (1) (2) u3 = u3 + u3 = 13.6V R1 + R2 6+4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) u = R i 实验8 i2 = 4 − i1 = 2.4 A, 3 2 2 = 9.6V
+ 6U(1) = 4I+2 • I (1) (b) U 2Ω 1Ω (1) = -2I 2V U ‚ - + ‚入• 6U(1) = -2U(1) +2 ⇒ 8U(1) = 2 ⇒ U(1) =0.25V (2) ( 2) (2) ( 2) 5 U 3 Ω U U + 5U - + •• +5+ =0 结点 • + 2 4 5A ( 2) ( 2) (2) 2 U + 20 + 6 U =0 (c) U 2Ω 1Ω ( 2) (2) ⇒ ⇒ U = −2.5V 8U = −20 • 哈尔滨理工大学 王竹萍 0
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§4-1 叠加定理
R11 R12 ∆= = R11 R22 − R12 R21 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R21 R22 ∆11 =(-1)1+1 R22 =R2+R3 ∆21 =(-1)2+1R12 =R2 il1=∆11 / uS1+(-∆11/ +∆21/ )uS2 -∆21/ uS3 ∆ ∆ ∆ ∆ = G'11uS1+G'12uS2+G'13uS3 令 il1(1) =G'11uS1 ，il1(2) =G'12uS2，il1(3) =G'13uS3 il1 为各电压源的一次函数，即为由各电压源引 起的回路电流分量的叠加。 il1 = il1(1) + il1(2) +il1(3)