钢结构基础第4章 (2)

σ
fy fy=fp
cr fy
1.0
欧拉临界曲线
0
ε
0
y E fy
λ
但试验结果却常位于蓝色虚线位臵，即试验值小 于理论值。这主要由于压杆初始缺陷的存在。
初 始 缺 陷
力学缺陷：残余应力、材料不均匀等。 几何缺陷：初弯曲、初偏心等；
1、残余应力的影响 （1）残余应力产生的原因及其分布 A、产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却，如前所述； ②型钢热扎后的不均匀冷却； ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩； ④构件冷校正后产生的塑性变形。
解式4-14，其有效根，即为以截面边缘屈服为准则 的临界应力：
cr
f y 1 0 E 2 f y 1 0 E f y E 2
2
(4 15)
上式称为柏利(Perry)公式。
如果取v0=l/1000（验收规范规定），则： A l A l 1 i 0 v0 W 1000 W 1000 1000 式中： 截面核心距， W A； E 1 0 f y l i。 (4 14) i 截面回转半径； 杆件长细比，
y 2k 2 y 0
d y1 dx 2
M EI
2 对于常系数线形二阶齐次方程： y k y 0
其通解为： y A sin kx B cos kx
引入边界条件： x 0，y 0，得B 0，从而： Ncr y A sin kx 再引入边界条件： x l，y 0，得： y A sin kl 0
一、轴心受力构件的应用 3.塔架 2.网架 1.桁架
4.实腹式轴压柱与格构式轴压柱
二、轴心受压构件的截面形式 截面形式可分为：实腹式和格构式两大类。 1、实腹式截面
实腹式柱
2、格构式截面
截面由两个或多个型钢肢件通过缀材连接而成。
格构式柱
§4.2 轴心受力构件的强度和刚度
轴 心 受 力 构 件 轴心受拉构件 轴心受压构件 强度 （承载能力极限状态） 刚度 （正常使用极限状态） 强度 （承载能力极限状态） 稳定 刚度 （正常使用极限状态） 轴心受压 构件，当 截面无削 弱时，强 度不必计 算。
实测的残余应力分布较复杂而离散，分析时常采用
其简化分布图（计算简图）：
(2)、残余应力影响下短柱的σ-ε曲线 以热扎H型钢短柱为例：
0.3fy （A） 0.3fy 0.3fy （B）
fy σ=0.7fy fy 0.7fy<σ<fy
fy fp
σ=N/A fy-σrc σrc ε
C B A
σrc=0.3fy
3、初偏心的影响 微弯状态下建立微分方程：
（1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主
轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见 的失稳形式；
（2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面
均绕纵轴扭转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形 式；
（3）弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆
件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。
即：
2
N cr d2y 2 EI dx N cr y 1 GA
y
N cr d 2 y
GA dx 2
N cr EI y 0
N cr 令k ，则： dy 2 N cr dM EI 1 V dx GA GA GA dx
0.3fy （C）
fy σ=fy
0
显然,由于残余应力的存在导致比例极限fp降为: f p f y rc
rc 截面中绝对值最大的残 余应力。
(3)、仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力 根据前述压杆屈曲理论，当 N A f p f y rc 或 p E f p 时，可采用欧拉公式计算临界应 力； 当 N A f p f y rc 或 p E f p 时，截 面出现塑性区，由切线模量理论知，柱屈曲时 ,截面 不出现卸载区，塑性区应力不变而变形增加,微弯时 截面的只有弹性区抵抗弯矩，因此,用截面弹性区的 惯性矩Ie代替全截面惯性矩I，即得柱的临界应力：
Nv0 v0 NE N (4 13)
x
y
v v1 v0
N
N
1 v0 1 N NE
杆长中点总挠度为：
v v1 v0 Nv0 v0 NE N (4 13)
N NE 1.0
v0=0
v0=3mm
0.5
1 v0 1 N NE
0
v
根据上式，可得理想无限弹性体的压力—挠度曲 线，具有以下特点：①v随N非线形增加,当N趋于NE时， v趋于无穷;②相同N作用下,v随v0的增大而增加;③初 弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力NE。
仅考虑残余应力 的柱子曲线
2、初弯曲的影响 假定：两端铰支压杆的初弯曲曲线为： x y 0 v 0 sin (4 12) l N 式中：v 0 长度中点最大初始挠度 。
规范规定：v 0 l 1000
l /2
v v0 v1 y x y
y0
y
N
M=N·(y 0+ y)
l /2
y0
令: N作用下的挠度 的增加值为y。 杆长中点总挠度为：
y y1 y2 Ncr
M=Ncr·y
dy 2 dM V dx GA GA dx
A、I 杆件截面积和惯性矩； E、G 材料弹性模量和剪变模 量；
x
与截面形状有关的系数 。
Ncr
l
Ncr
因为：
d 2 y2 dx 2
d 2M GA dx 2

d 2 y d 2 y1 d 2 y 2 d 2M M 所以： 2 2 2 EI GA dx 2 dx dx dx 由于M N cr y，得：
N cr
2 EI 2 EI 2 2 l l 0
式中：l 0 杆件计算长度， l 0 l；
计算长度系数，取值如 下表。
对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值，详 见有关章节。
（三）初始缺陷对压杆稳定的影响
如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料， 则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为：
I 截面的回转半径； A
[ ] 构件的容许长细比，其 取值详见规范或教材。
§4.3 轴心受压构件的稳定
一、轴心受压构件的整体稳定
（一）轴压构件整体稳定的基本理论
1、轴心受压构件的失稳形式 理想的轴心受压构件(杆件挺直、荷载无偏心、
无初始应力、无初弯曲、无初偏心、截面均匀等）
的失稳形式分为：
NE N N v N N v0 fy A W A W NE N
0
v0=3mm
v
N A E 1 v0 fy A W E
E 1 0 E
fy
(4 14)
式中： 0 初弯曲率， 0 v 0 A W ； W 毛截面抵抗矩。
实际压杆并非无限弹性体，当N达到某值时，在N 和N∙v的共同作用下，截面边缘开始屈服(A或A’点)， 进入弹塑性阶段，其压力--挠度曲线如虚线所示。 最后在N未达到NE时失去承载 能力，B或B’点为其极限承载力。
N NE 1.0
v0=0
B
A A’ B’
对于仅考虑初弯曲的轴心压杆， 0.5 截面边缘开始屈服的条件为：
kb b
a a’ c
crx
E I ex 2 E 2t ( kb)h 2 4 2 E 2 2 2 k 2 x I x x 2tbh 4 x
2
b’
( 4 9)
对y y轴屈曲时：
cry
2 E I ey 2 E 2t ( kb) 3 12 2 E 3 2 2 2 k 3 y I y y 2tb 12 y
2 EI e 2 EI I e N cr 2 2 I l l
2 E Ie cr 2 I
仍以忽略腹板的热扎H型钢柱 为例，推求临界应力： 当σ>fp=fy-σrc时，截面出现塑 性区，应力分布如图。 柱屈曲可能的弯曲形式有两种： 沿强轴（x轴）和沿弱轴（y轴） 因此，临界应力为： 对x x轴屈曲时：

E

由于不同的截面及不同的对称轴，i/ρ 不同，因此 初弯曲对其临界力的影响也不相同。
l 对于焊接工字型截面轴心压杆，当 v 0 时： 1000
对x轴（强轴）i/ρ ≈1.16；
y
x x
对y轴（弱轴） i/ρ ≈2.10。
cr
fy
1.0
对 x轴
对 y轴 欧拉临界曲线
y
0
λ
仅考虑初弯曲的柱子曲线
2.轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲
N A 稳 定 F 平 衡 状 态 Ncr cr N
B 临 界 F 状 态
l
N
Ncr Ncr
下面推导临界力Ncr 设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形 为y2，总变形y=y1+y2。 由材料力学知： Ncr
d 2 y1 dx
2
M EI
剪力V产生的轴线转角为：
一、强度计算（承载能力极限状态）
N f (4 1) An N—轴心拉力或压力设计值；
An—构件的净截面面积； f—钢材的抗拉强度设计值。
二、刚度计算（正常使用极限状态） 保证构件在运输、安装、使用时不会产生过
大变形。
l0 [ ] i
l 0 构件的计算长度；