ch5指派问题

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第5章整数-指派问题

(if i ≠ k ); cij , bij = ckj + a, (if i = k ).
则以b 则以 ij为系数的新指派问题的目标函数为 n n z = ∑i =1 ∑ j =1 bij xij
= ∑i ≠ k ∑ j =1 cij xij + ∑ j =1 (ckj + a ) xkj
n n
= ∑i =1 ∑ j =1 cij xij + a ∑ j =1 xkj = z + a
n n n
利用性质1, 利用性质 ,可使原系数矩阵变换为含有很多0元素的新系数矩阵元素的新系数矩阵, 有很多元素的新系数矩阵,而最优解保持不变,在系数矩阵(b 中持不变,在系数矩阵 ij)中,我们关心位于不同行不同列的0元素元素, 于不同行不同列的元素,以下简称为独立的0元素. 立的元素. 元素利用性质2,若能在系数矩阵(b 中找利用性质 , 若能在系数矩阵 ij)中找个独立的0元素出n个独立的元素;则令解矩阵 ij)中对个独立的元素;则令解矩阵(x 中对应这n个独立的元素的元素取值为1, 个独立的0元素的元素取值为应这个独立的元素的元素取值为 ,其他元素取值为0. 他元素取值为 .将其代入目标函数中得到zb=0,它一定是最小. ,它一定是最小. 这就是以 ij)为系数矩阵的指派问题的这就是以(b 为系数矩阵的指派问题的最优解.也就得到了原问题的最优解. 最优解.也就得到了原问题的最优解.
解按上述第一步,将这系数矩阵进行变换.
min 12 7 9 7 9 7 5 0 2 0 8 9 6 6 6 6 2 3 0 0 7 17 12 14 9 7 → 0 10 5 7 15 14 6 6 10 6 9 8 0 0 4 10 7 10 9 4 0 6 3 6 2 0 2 4 5

运筹学课件ch5指派问题[全文]

运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。

指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。

其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。

指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。

指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。

88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。

指派问题

√ 运筹学
STEP 4: 调整
GO TO STEP 1
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
√ √
0 20 40 √ 60 √ 95 √
运筹学
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
M ≥ m cij ), bij = M − cij ax(
则有
∑∑b x = ∑∑(M −c )x
i=1 j =1 ij ij n i=1 j =1 n ij n n i=1 j =1 i=1 j =1
n
n
n
n
ij n n
= M∑∑xij − ∑∑cij xij = nM − ∑∑cij xij
i=1 j =1
运筹学
32a 12a 0 0 0 0 640a 0 48a 176a 96a 0 8a 56a 26a 0
运筹学
32a 12a 0 0 0 0 640a 0 48a 176a 96a 0 8a 56a 26a 0
√ √
0 20 40 √ 60 √ 95 √
运筹学
50 0 45 65 50 55 60 0 0 0 0 40 0 50 60 50 45 40 0 40
0 20 35 55 90
运筹学
0 0 (xij ) = 0 1 0
指派问题
Assignment Problems
指派问题（分配问题）
1. 指派问题及其数学模型 2. 求解指派问题的匈牙利法 3. 非标准指派问题的求解 4. 指派问题的应用举例

指派问题(含非标准指派问题)

第五章整数规划§1 整数规划的数学模型及特点要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。

其模型为：Max(或min)z=∑=nj j jx c1s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=nj nj i ij ij xx x nj x m i b x a ,,,2,10,2,1),(211若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。

§5 指派问题一．指派问题的标准形式及数学模型在现实生活中，有各种性质的指派问题。

例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。

诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。

由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。

指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人作第j 件事的费用为),2,1,(n j i c ij =，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n 件事的总费用最少。

为了建立标准指派问题的数学模型，引入2n 个0-1变量：⎩⎨⎧=10ij x这样，问题的数学模型可写成 ∑∑===ni nj ij ijx cz 11min （5.1）s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======∑∑==n j i x n i x n j x ij n j ij n i ij ,2,1,1,0,2,11,2,1111 （5.3）其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。

注：○1 指派问题是产量（i a ）、销量（j b ）相等，且i a =j b =1，i ，j=1,2,…n 的运输中部分或全部取整数若指派第i 人作第j 件事若不指派第i 人作第j 事i ，j=1,2,…n（5.2）（5.4）问题。

○2 有时也称ijc 为第i 个人完成第j 件工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。

指派问题详解

第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配，所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)，对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖，定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。

CH5应用题参考答案

CH5 应用题参考答案1旋转型设备上信息的优化分布能减少为若干个I/O服务的总时间。

设磁鼓上分为20个区，每区存放一个记录，磁鼓旋转一周需20毫秒，读出每个记录平均需用1毫秒，读出后经2毫秒处理，再继续处理下一个记录。

在不知当前磁鼓位置的情况下：（1）顺序存放记录1、……，记录20时，试计算读出并处理20个记录的总时间；（2）给出优先分布20个记录的一种方案，使得所花的总处理时间减少，且计算出这个方案所花的总时间。

答：定位第1个记录需10ms。

读出第1个记录，处理花2ms，这时已到了第4个记录，再转过18个记录(花18ms)才能找到记录2，所以，读出并处理20个记录的总时间：10+3+(1+2+18)×19=13+21×19=412ms如果给出优先分布20个记录的方案为：1，8，15，2，9，16，3，10，17，4，11，18，5，12，19，6，13，20，7，14。

当读出第1个记录，花2ms处理后，恰好就可以处理记录2，省去了寻找下一个记录的时间，读出并处理20个记录的总时间：10+3+3×19=13+247=260ms2现有如下请求队列：8，18，27，129，110，186，78，147，41，10，64，12；试用查找时间最短优先算法计算处理所有请求移动的总柱面数。

假设磁头当前位置下在磁道100。

答：处理次序为：100-110-129-147-186-78-64-41-27-18-12-10-8。

移动的总柱面数：264。

3上题中，分别按升序和降序移动，讨论电梯调度算法计算处理所有存取请求移动的总柱面数。

答：升序移动次序为：100-110-129-147-186-78-64-41-27-18-12-10-8。

移动的总柱面数：264。

降序移动次序为：100-78-64-41-27-18-12-10-8-110-129-147-186。

移动的总柱面数：270。

指派问题和匈牙利法

2015-6-16
汇报提纲
一、指派问题的数学模型二、匈牙利法三、实例分析
三、实例分析
实例分析
有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作E、 J、G、R。现有甲、乙、丙、丁四人，将中文说明书译成不同语种的说明书，所需的时间如表所示。问应指派何人去完成何种工作，使所需时
间最少？
第四步进一步变换，得到最优解
（1）在未划线的元素中找最小者，设为 δ ；（2）在未被直线覆盖的各元素减去 δ ；（3）对两条直线交叉点覆盖的元素加上 δ ；（4）只有一条直线覆盖的元素保持不变；
(0)
11 2 0
8
(0)
2
5
5
4
0 6 13 0
0
5
3
4
3 (0) 0 11 4 5
11 0
或竖直线)数恰好为m条。
（3）如果在价值系数矩阵中，位于不同行或不同列的零元素的个数与价值系数矩阵(Cij)n×n的阶数相同，则显然只要令对应于这些零元素位置的Xij=1，其余的Xij=0，则此解就是问题的最优解。
8
二、匈牙利法
匈牙利法的求解步骤
第一步第二步第三步第四步变换价值系数矩阵，使各行各列中都出现0元素；选取0元素；以最少数目的直线覆盖矩阵中所有0元素；进一步变换，得到最优解。
(0) 11 2 0
8 (0)
2 5
5 4
3 (0) 0 11 4 5
此例中括起的0元素只有三个，小于矩阵阶数4，故需转第三步。
2015-6-16
三、实例分析
第三步以最少数目的直线覆盖矩阵中所有0元素
；；；行上所有的0元素对应的列打（1）对没有括起的行打（2）对打（3）对打

指派问题的遗传算法研究与实现

指派问题的遗传算法研究与实现一、问题建模指派问题是一种组合优化问题，通常被表述为n个任务分配给n个人或机器的问题。

每个任务都有自己的特性，而每个人或机器也有他们各自的优点和限制。

目标是最小化总成本或最大化总效益。

在遗传算法中，我们通常将问题表示为一个适应度函数，这个函数能够根据问题的特性来衡量解的优劣。

对于指派问题，适应度函数可以定义为总成本或总效益。

二、编码设计在遗传算法中，我们通常将问题的解编码为一种叫做染色体的数据结构。

对于指派问题，我们可以将任务分配给每个人的方案表示为一个染色体。

例如，如果有4个任务和4个人，我们可以将任务1分配给人1，任务2分配给人2，任务3分配给人3，任务4分配给人4，这样的一个分配方案就可以被编码为一个染色体：[1, 2, 3, 4]。

三、适应度函数对于指派问题，适应度函数通常定义为总成本或总效益。

总成本可以定义为每个人完成任务的总开销，而总效益可以定义为每个人完成任务的总收益。

具体定义取决于问题的特性。

四、遗传操作遗传操作是遗传算法的核心，包括选择、交叉和变异三个基本操作。

选择操作是根据适应度函数评估每个染色体的优劣，选择适应度高的染色体进行繁殖。

常用的选择算法有轮盘赌选择、锦标赛选择等。

交叉操作是将两个染色体的部分进行交换，以产生新的染色体。

在指派问题中，我们可以设计特殊的交叉操作来保持任务的分配合理性。

变异操作是在染色体中随机改变某些基因的值，以增加染色体的多样性。

在指派问题中，我们可以通过随机交换两个任务或随机调整某个人的任务来增加解的多样性。

五、算法优化通过调整遗传算法的参数和控制结构，可以提高算法的性能和效率。

例如，可以增加种群大小来提高算法的搜索能力，调整交叉和变异的概率来控制解的多样性和质量，使用早停策略来避免在局部最优解上过度搜索。

六、实现细节具体的实现细节取决于问题的特性和所使用的编程语言。

例如，可以使用Python或其他编程语言来实现遗传算法，并使用相关的数据结构和算法库来提高性能和效率。

指派问题的算法

指派问题的算法分析与实现摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。

然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。

指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。

这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。

在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。

在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。

通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。

与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。

最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。

关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型1. 问题陈述指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作效率（如熟练程度等），怎样安排会使总销量达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值。

假设有n 件工作分派给n 个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。

若给出各人对各项工作所具有的工作效率。

问应该如何安排人选，及发挥个人特长又能使总的效率最大。

为此用0-1整数规划来实现指派问题即如何安排人选。

05指派问题

• 总运输费用：
t
i 1 j 1 p 1 q 1
n
n
n
n
ip
d jq xij x pq
18
车间选址问题
min tip d jq xij x pq
i 1 j 1 p 1 q 1 n n n n n
组合优化
s.t.
x
i 1 n j 1
ij
1, j 1, , n 1, i 1, , n
23
算法
• “男士选择，女士决定”
组合优化
• 每位男士都选择他最钟爱的女士。 • 如果有女士被两位或者以上的男士选择，则这几位男士中除了她最喜欢的之外，对其他男士都表示拒绝。 • 被拒绝的那些男士转而考虑他（们）的除被拒绝之外的最满意女士。如果存在冲突（包括和之前选择某女士的男士发生冲突），则再由相应的女士决定拒绝哪些男士。 • 以上过程持续进行，直至不再出现冲突为止。
m3 : w1
组合优化 • 不论每人的偏好顺序为何，稳定婚姻总是存在，且用上述算法可在 O(n 2 ) 内找到一组稳定婚姻。 • “女士选择，男士决定”算法也可找到一组稳定婚姻。
25
最优性
组合优化
• 称一组稳定婚姻是男方最优的，如果在该组婚姻中，每位男士都认为其配偶不比任何一组稳定婚姻中他的配偶来的差。 • 男方最优的稳定婚姻是唯一的，同时必是女方最劣的。 • “男士选择，女士决定”算法给出的总是一组“男方最优” 的稳定婚姻。
xij 0
4
匈牙利算法
• 两位匈牙利数学家D. König和E. Egervary于先后证明了若干关于二部图匹配问题的重要性质 • 1953年，H. W. Kuhn在以上工作基础上给出了求解指派问题的匈牙利算法，这是组合优化问题最早的有效算法之一

北邮运筹学ch5-5 指派问题

则
min w
cij xij
ij
与
max z c x 运筹学北ij京i邮j 电大学的最优解相同。
ij
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020/1/27
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【例】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
2020/1/27
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不平衡的指派问题
当人数m大于工作数n时，加上m－n项工作，例如
5 9 10
11 6
3

8 14 17

6
4
5

3 2 1
5 9 10 0 0
11 6 3 0 0
8 14 17 0 0

6
4
5 0 0
进入练习
The End of Chapter 5
运筹学北京邮电大下学一章：图与网络 Exit
Ch5 Integer Programming
2020/1/27
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求最大值的指派问题匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0
设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值 max z

cij xij
ij
将其变换为求最小值
令
M

max i, j
cij
C (M cij )
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020/1/27

指派问题回溯法

指派问题回溯法
指派问题回溯法是一种解决任务分配问题的数学算法。

该方法在实际生活中被广泛应用，如人力资源管理、航空调度、医院排班等领域。

指派问题是一个典型的优化问题，通常可以用线性规划、贪心算法、遗传算法等多种方法求解。

而指派问题回溯法则是其中一种比较简单但有效的算法。

其基本思想是从一个初始解开始，逐步调整已分配的任务或者重新分配未完成的任务，直到找到最优解。

在此过程中，需要注意一些约束条件，如每个任务只能被一个人完成，每个人只能完成一个任务等。

具体来说，指派问题回溯法可以通过以下步骤进行：
1. 初始化：确定初始任务分配方案，并计算当前方案的成本。

2. 变换：对当前方案进行变换，包括交换任务的分配、增加或减少任务等。

3. 评估：计算新方案的成本，并与当前方案进行比较。

4. 更新：如果新方案优于当前方案，则更新任务分配方案，否则保留原方案并返回上一步。

5. 终止：当满足一定条件时，停止迭代并输出最优解。

虽然指派问题回溯法可能不是最优解决方案，但它的优点在于简单易懂，可以快速得到可行解。

因此，在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的算法来解决任务分配问题。

指派问题及实现代码示例

a
i 1 j 1
n
n
ij
xij （工时）
xij 1(每人做一件事) jn 1 s.t. xij 1(每事由一人做) i 1 （ xij 只取0或者1 i , j 1 n）
二. 定理
1.从效率矩阵（aij）n 每一行（或列）加一个常数ui (v j )， n 所得的新的矩阵（bij）n的最优指派与原矩阵的最优指 n 派相同。
2 ）在没有红圈的右下角如果有 0 11 8 0 3 5 0 4 0 0 零，一定是新的独立零元素 3 4 0 0 2 7 7 3 0 1 3 2 1 0 2 3 ）用直线覆盖红圈所在行
0 11 8 0 3 5 0 4 0 0 3 4 0 0 2 7 7 3 0 1 3 2 1 0 2
• •
(4) 重复 (2), (3), 直到无勾可打为止. (5) 对没有打勾的行画一横线, 对打勾的列画一竖线. • 这样剩下没有画线的元素中没有零元素. •
第三步：加0元
• 求出其中的最小元素. 各行都减去这个最小元素（同一个数）, 这时在已被划横线的元素中的零元素变成负元素, 在它们所在的列中加上这个最小元素. 还不够所需0元，转步骤2.

两个简便的方法
• 1.先列后行 • 2.max-min（不是很严谨） • 只是对匈牙利方法不能直接给出解答的带来方便。 • （1）行最小 • （2）最小元中的最大先指派，划去行列 • （3）重复
• 关于指派问题还有很多内容，限于水平、时间等就不多掰了
Matlab 线性规划的解法
• 在用矩阵求解方程组时，不一定要确切的数值代入， Matlab中可以用字母来表示。 • 比如：计算行列式：

指派问题实例研究报告

指派问题实例研究报告指派问题是一种在组织或团队中分配资源或任务的决策问题。

指派问题的目标是在给定的约束条件下，找到最佳的分配策略，以最大化整体效益或满足特定的目标。

以下是一个指派问题实例的研究报告：标题：某医院护士调班指派问题研究报告一、背景介绍某医院的护士人员经常需要调整工作班次，以适应不同的工作需要和员工的个人需求。

然而，手动调整班次非常耗时且容易出错。

为解决这个问题，研究团队决定使用指派问题的方法来自动化调班过程，提高整体效率和员工满意度。

二、问题描述该医院有10个护士，每天有3个班次，分别为早班、中班和晚班。

每个班次需要不同数量的护士进行工作，早班需要4个护士，中班需要3个护士，晚班需要3个护士。

护士们的个人需求不同，包括对班次的偏好和工作时长的限制。

研究团队的目标是找到一种最佳的调班指派策略，使得整体的工作需求得到满足，同时最大限度地满足护士的个人需求。

三、问题建模研究团队将这个指派问题建模为一个二部图匹配问题，其中：- 每个护士是一个节点，表示第一部分。

- 每个班次是一个节点，表示第二部分。

- 然后建立起两部分节点之间的边。

根据班次的需求量和护士的个人需求进行边的权重赋值。

四、算法实现研究团队选择使用匈牙利算法来解决这个指派问题。

该算法能够在多项式时间内找到最大匹配，以满足所有的需求。

该算法的具体实现过程如下：1. 初始化所有边的权重。

2. 选取一条边进行匹配。

3. 如果找到了一条可行路径，将匹配进行调整。

4. 如果找不到可行路径，将权重进行调整并回到第二步。

5. 重复前面几步，直到找到最优解或无法找到新的匹配。

五、结果分析通过实际测试和模拟实验，研究团队发现，使用匈牙利算法可以高效地解决护士调班指派问题。

该算法能够在合理的时间内找到最佳的调班方案，满足医院的工作需求，并且最大程度地满足护士的个人需求，提高员工满意度和工作效率。

六、结论本研究报告基于指派问题实例，研究了某医院护士调班指派问题。

第5章运输问题与指派问题

2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
A B C D
c
ij
OR课件
装卸组待卸车
TP & AP
P 4 2 4 3
1
P 3 3 3 2
2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
§5 指派问题
A B C D
bj
ai 1 1
1
1
1
1
1
1
解：引入0－1变量xij，并令:
Z
min
cij xij
3
产量 9 5 7 4
A 虚销量
OR课件
TP & AP
问题的提出
§5 指派问题
设有n个人，需要分派他们去做n件工作。要求一个人做一件事，一件事只
能由一个人完成；由于每人的专长不同，
各人做任一种工作的效率可能不同，因
而创造的价值也不同。问如何安排，才
能使创造的总价值最大？
OR课件
TP & AP
Z
min
TP & AP
cij xij
i 1 j 1 n ij
n
n

x
j 1 n
1 , i 1, 2, , n 1, j 1, 2, , n
x
i 1
ij
x
ij
0 或1
特殊的运输问题
OR课件
TP & AP
算法原理
OR课件
TP & AP
§2 表上作业法
算法的提出：观测模型的特征【简例】已知有关资料如下表

配对与指派问题

Chapter 5
配對與指派問題
Matching and Assignment Problem
配對 Matching
每個節點最多只有一條弧線與之相連的弧線集合
1
3
5
1
3
5
2
4
2
4
2
指派 Assingment
A bipartite graph:
所有節點可分成兩個子集合S、T所組成弧線均為連接S與T兩子集合內的節點(同一子集合之節點間沒有弧線相連)
6
Maximum-cardinality Matching
擴張路徑(augmenting path) :
起點與迄點均為暴露節點(exposed vertex)，且路徑中配對弧線與未配對弧線交互出現
暴露節點(exposed vertex):
未與任何配對弧線相連的節點
1
2
3
4
5
6
7
Maximum-cardinality Matching
1
12
43
6
3
5
4
65
7
36
4 7
2
8
59
1 10
3
4
8
5
11
3 12
6 13
14
指派(assignment)即是在一個bipartite graph中的配對 (matching)，每個節點恰有一條弧線相連
1
4
1
4
2
5
2
5
3
6
3
6
3
配對與指派的應用
司機員排班球賽賽程工作指派
4
Maximum-cardinality Matching