灰色理论数学建模
灰色理论关联度与预测,数学建模必备知识,很实用哦
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0 ,
Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k),
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
n 1
c. 计算方差比：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0} X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1} X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
灰色模型原理
灰色模型原理
灰色模型是一种用于描述和预测非随机数据序列的数学模型，它主要用于处理缺乏足够数据或无法进行精确建模的问题。
灰色模型的原理基于灰色系统理论，该理论认为系统的行为由两部分组成：系统的确定性部分和系统的随机性部分。
在灰色模型中，我们将非随机序列分为两类：原始数据和累加数据。
原始数据是指所研究对象的历史观测数据，累加数据是指原始数据按照某种规则进行累积得到的数据。
通过累加数据，我们可以得到一个累加生成序列，它反映了系统的演化趋势。
然后，我们将累加生成序列分解为两个序列：发展序列和累减序列。
发展序列是指系统的确定性发展趋势，它是通过累加生成序列的一阶累加得到的，累减序列是指系统的随机变动，它是通过原始数据减去对应的发展序列得到的。
接下来，我们需要对发展序列进行建模。
常用的方法是灰色模型建模，其中最常用的是灰色一次指数平滑模型（GM(1,1)模型）。
该模型假设发展序列满足一个一阶指数增长或衰减的规律，通过最小二乘法求解得到模型参数。
最后，我们使用建立的模型来预测系统未来的行为。
通过预测模型，我们可以对未来的数据进行估计，从而提供决策支持或制定相应的措施。
总体来说，灰色模型利用原始数据和累加数据，通过分解和建模的方式，可以描述非随机序列的演化趋势并进行预测。
它在
数据缺乏或难以建模的情况下，为我们提供一种简单有效的分析方法。
数学建模案例分析--灰色系统方法建模3灰色模型GM1,N及其应用
§3 灰色模型GM(1,N)及其应用客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。
建模的实质是建立微分方程的系数。
设有个数列N i n X X X X i i i i ,,2,1))(,),2(),1(()0()0()0()0( == 对)0(i X 做累加生成，得到生成数列Ni n X n X X X X m X m XXXi i i i i nm i m iii,,2,1))()1(,),2()1(),1(())(,,)(),1(()0()1()0()1()1(1)0(21)0()0()1( =+-+==∑∑==我们将数列)1(i X 的时刻n k ,,2,1 =看作连续的变量，而将数列)1(i X 转而看成时间的函数)()1()1(t X X i i =。
如果数列)1()1(3)1(2,,,NX X X 对)1(1X 的变化率产生影响，则可建立白化式微分方程)1(1)1(32)1(21)1(1)1(1N N X b X b X b aX dtdX -+++=+ （1） 这个微分方程模型记为GM （1,N ）。
方程（1）的参数列记为T N b b b a ),,,(121-= α，再设T N n X X X Y ))(,),3(),2(()0(1)0(1)0(1 =，将方程（1）按差分法离散，可得到线性方程组，形如αˆB Y N = （2）按照最小二乘法，有N T T Y B B B 1)(ˆ-=α （3）其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-+-=)()())()1((21)3()3())3()2((21)2()2())2()1((21)1()1(2)1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1n X n X n X n X X X X X X X X X B N N N 求出后，微分方程（1）便确定了。
数学建模中的灰色
1.灰色参数（灰数）
灰数是那些只知道大概范围而不知其确切值的数 （只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。 例如：“某人的身高约为170cm、体重大致为60kg”， 这里的“（约为）170（cm）”、“60”都是灰数， 分别记为 、 。又如，“那女孩身高在157－ 60 170 (h) [157,160] 160cm之间”，则关于身高的灰数 。 ~ 记为灰数的白化默认数，简称白化数。在灰色系 统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内 变化的所有白色数的全体。如代购一件价格为100元 左右的衣服，100可作为预购衣服价格的白化值。 ~ 灰数有离散灰数（ 属于离散集）和连续灰数 ~ （ 属于某一区间）。
解为
于是得到预测值
(1)
dx(1) (t ) ax(1) (t ) b, dt b a (t 1) b (1) (0) x (t ) ( x (1) )e . a a
(0)
（4）
b ak b ˆ (k 1) ( x (1) )e , k 1,2,, n 1, x a a
数学建模中的灰色方法
在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人 口模型、全国的物资调运、运输、生产销售等问 题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的 模型很困难。 现有的系统分析方法—量化分析方法，大都是 数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性 的情形。对于多因素的、非线性的则难以处理。 针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找 数的方法，即灰色系统生成法。创立灰色系统的 学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出 灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创 立灰预测理论及方法体系。
从而相应地得到预测值：
( 0) (1) (1) ˆ ˆ ˆ x (k 1) x (k 1) x (k ), k 1,2,, n 1,
数学建模灰色预测法
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 0 i , ˆ 1 i 累减生成 X ˆ 1 i , 并将 X 按预测模型计算 X
ˆ 0 i 的绝对误差序列及相 然后计算原始序列X 0 i 与 X
对误差序列。
原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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1灰色预测理论
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下： 工业
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
灰色系统理论建模全教程
二、灰色系统的基本概念
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
二、灰色系统的基本概念
概率统计研究的是“随机不确定”现象着重于考察“随
机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结 果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计、模糊数学所难以解决
的“小样本”、“贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖， 通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少 数据建模”。与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。比如说到2050 年，中国 要将总 人口控制在15 亿到16 亿之间，这“15 亿到16 亿之”是一个 灰概念，其外延是很清楚的，但如果要进一步问到底是15 亿 到16 亿之间的哪个具体数值， 则不清楚。
3
1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636
4
0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538
5
0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778
6
0.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778
1(7)＝1.000，
同理得出其它各值，见下表
编号 i (1) i (2) i (3) i (4) i (5) i (6) i (7)
灰色理论模型
y (k)
y(0) (k 1) X
y(0) (k)
(k 2,3,, n)
18
2. 建立模型GM(1,1)
按前面的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值：
xˆ (1) (k 1) x(0) (1) b eak b (k 1,2,, n 1)
a
a
而且：
xˆ (0) (k 1) xˆ (1) (k 1) xˆ (1) (k) (k 1,2,, n 1)
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
x(1) x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n) 称为数列 x (0) 的１- 次累加生成数列
k
类似地有 x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2,, n, r 1) 称之为 x (0) 的 i 1
22
表1：商品的零售额（单位：亿元）
年代
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 163.2 159.7 158.4 145.2 124 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5
灰色预测建模原理及应用
灰色预测建模原理及应用灰色预测建模是一种基于灰色系统理论的预测方法，它通过对已知数据进行灰色处理，利用数学模型进行预测分析，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，并被广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域。
灰色预测的基本原理是通过对原始数据序列进行灰色处理，从而实现数据序列的规律性显现和可预测性增强。
灰色预测建模的基本步骤如下：1.序列建模：对原始数据序列进行建模，确定其特征方程。
主要有一阶、二阶、灰度关联度模型和灰色GM(1,1)模型等。
2.模型参数估计：根据确定的特征方程，通过最小二乘法等方法对模型参数进行估计，得到模型的数值解。
3.模型检验：对已建立的模型进行检验，判断模型的适用性及精度。
一般通过残差检验、相关系数检验等方法来评估模型。
4.预测和累加生成：通过模型预测得到待预测期的结果，并将预测结果与原始数据进行累加生成，得到预测序列。
灰色预测建模的特点是：省数据量、灰度信息充分、模型简单、适用性广泛。
应用方面，灰色预测建模主要有以下几个方面：1.经济方面：灰色预测可以用于经济指标预测，如GDP、消费指数、物价指数等。
通过对这些指标进行预测分析，可以指导政府采取相应的宏观调控政策。
2.环境方面：灰色预测可以应用于环境数据的预测，如空气质量指数、水质指标等。
通过对环境数据的预测，可以做到提前预警，并采取相应的控制措施，保护环境质量。
3.管理方面：灰色预测可以用于企业管理，如销售预测、库存预测、供应链管理等。
通过对企业数据进行预测，可以合理安排生产、销售和供应，提高企业的经济效益和竞争力。
4.工程方面：灰色预测可以应用于工程项目的进度和成本预测，如道路建设、房地产开发等。
通过对工程数据进行预测分析，可以及时发现问题，并采取相应的措施，保证项目的顺利进行。
总的来说，灰色预测建模是一种有效的预测方法，能够在数据不完全、信息不充分的情况下进行较为准确的预测，广泛应用于经济、环境、管理、工程等领域，对各行各业的发展和决策都具有重要作用。
数学建模——灰色系统理论及其应用
x
r
k x k , k 1,2,, n
r x r k r 1 x r k r 1 x r k 1
四、灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理
首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。 设参考数据为 x(0) ( x(0) (1), x(0) (2),...,x(0) (n))，计算数列的级比
2 n 1 2 n2
(0)
y (0) (k ) x(0) (k ) c, k 1,2,...,n
五、灰色预测计算实例
例4 北方某城市1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见表6 表6 市近年来交通噪声数据[dB(A)]
第一步: 级比检验 建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：
（三）、主要内容
灰色系统理论经过 10 多年的发展，已基本 建立起了一门新兴学科的结构体系，其主 要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体 系、以晦涩序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（ G，M）为核心的模型体系。 以系统分析、评估、建模、预测、决策、 控制、优化为主体的技术体系。
x i
1
0 与 x i 之间满足下述关系，即
x 1 k x 0 m
为数列 i x x i 则称数列
1
0
m 1
k
的一次累加生成数列。
显然，
r
次累加生成数列有下述关系：
x r k x r k 1 x r 1 k
（四）、应用范畴
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测； 灾变预测….等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。
数学建模讲义之灰色模型GM(1,1)
13
（5）系数b的置信区间 当回归效果显著时， b的置信度 为1-α的置信区间是
bˆ t 2 (n 2)ˆ / Sxx
(7)
（6）预测 设y0是在 x=x0处对随机变量y的观测结果，我们可以取x0
处的回归值：
yˆ0 aˆ bˆx0
(8)
作为y0的预测值，且y0的置信度为1-α的预测区间为：
A~ (a1, a2 ,, an ) U
是实际问题中各因素的权数分配(归一化), 则
A~ R~ B~ (b1,b2 ,,bm )
称为各因素的模糊综合决策,并且
7
max{ b1, b2 ,, bm} bk
表示综合决策的最大可能是 bk 例 脑出血与蛛网下腔出血的鉴别，设要求鉴别的疾病
集（论域）U={u1, u2}={脑出血, 蛛网下腔出血}。症状集为 V={v1, v2，v3, v4, v5}={头痛, 呕吐,偏瘫, 脑膜刺激症, 瞳孔不 等大} 。根据医学知识得出V→U的模糊矩阵
29
对埃尔切事件的思考
30
则认为回归效果是显著的。
例 某种产品每件单价y(元)与批量x(件)之间的关系的一 组数据如下表
x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90 y 1.81 1.70 1.65 1.55 1.48 1.40 1.30 1.26 1.24 1.21 1.20 1.18
19
求y对x 的回归方程。
称为残差平方和。由（3）、（4）得 Qe S yy bˆSxy
于是得到 2 的估计（残差分析）为
ˆ 2 Qe
(5)
n2
（4）回归效果显著性检验 检验假设H0：b=0。若
| t | | bˆ |
数学建模-灰色预测模型(讲解
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生 在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
一、灰色系统的定义和特点
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统； 称信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是 否具有确定的关系。
1灰色系统的定义和特点
1 灰色系统的定义和特点 2 灰色系统的模型 3 Sars 疫情 4 销售额预测 5 城市道路交通事故次数的灰色预测 6 城市火灾发生次数的灰色预测 7灾变与异常值预测
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统的定义和特点
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不 少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前， 在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领 域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与 建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统 计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独 特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简 要地介绍灰色建模与预测的方法.
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统 所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分 析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较 大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模 信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领 域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的 有效工具.
数学建模之灰色预测基础篇
常用到的灰色预测模型
• GM（1，1）模型——我们最常用 • GM（1，N）模型——是1 阶方程，包含有N 个
变量的灰色模型。
• GM（0，1）模型——是0 阶方程，包含有N 个变 量的灰色模型。表达式上相当于统计回归
• GM（2，1）模型——是2阶方程，包含有1 个变 量的灰色模型。
一、做生成数列 原始数列： x0 (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
1、累加生成 AGO ：
（1）一次累加生成 1 AGO ：
k
x(1) (k ) x(0) (i), k a,, n ia
x(1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
(0)
预测数列： x (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
0i
1 | s0 | | si |
1 | s0 | | si | | si s0
|
n 1
| s0 ||
x00 (k ) 0.5x00 (n) |
k 2
n 1
| si ||
xi0 (k ) 0.5xi0 (n) |
三、检验准指数规律
(k ) x(1) (k ) [1,1.5)
x(1) (k 1)
• 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落 在可容覆盖中，从而对于不合格的序列，可保证 经过选择数据变换处理后能够进行建模，通常的 数据变换有：平移变换、对数变换、方根变换。 如：
y(0) (k) x(0) (k) c, k 1,2,, n
GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX 1 aX 1
数学建模_灰色理论
灰色系统理论及其应用
第一章灰色系统的概念与基本原理
1.1
1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其代表的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值。
第二章序列算子与灰色序列生成
灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济，生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程。
定义２.７.１设 ，Ｄ为序列算子
，其中
。
则称Ｄ为 的一次累加生成算子，记为１-ＡＧＯ（Accumulating Generation Operator）,称r阶算子 为 的r次累加生成算子，记为r-A2设 ，D为序列算 ，其中
2.8
定义2.8.1设序列 ，若对于
1. 则称X为齐次指数序列。
1.2几种不确定方法的比较
概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。
数学模型第九章灰色系统方法建模--92灰色预测模型GM1,1及其应用共13页
一、灰色预测模型 GM（1,1）
建模步骤如下：
（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：
dX (1) aX (1) u dt
（1）
式中，a,u 是需要通过建模来求得的参数；X (1) 是
原始数据 X (0) 的累加生成（AGO）值。
30.10.2019
Xˆ (1) (t 1) 4.4e0.5t 2.2
取 t 为应力序数 k 时，由
Xˆ (1) (k 1) 4.4e0.5k 2.2
即可得到生成累加数列 Xˆ (1) (k 1) (k 1,2,) 。
（6）
30.10.2019
数学建模
2、检验 当 k 1,2,3,4 时，由（6）式得出
了。30.10.2019
数学建模
下面，我们根据（6）式来预测载荷 32 kg/mm2 的 断裂时间。它对应的序数为 6，也就是要求出 X (1) (6) 和 X (0) (6) 。 由 （ 6 ） 式 得 X (1) (6) 51.4 ， 从 表 中 查 得 X (1) (5) 27.58 再由 X (0) (6) = X (1) (6) X (1) (5) 23.82，这说 明，在载荷 32 kg/mm2 下，此种材料大约经过 2382 小 时断裂。
由公式（2）得到的。按（3）构造矩阵
3.78 1
B
7.30
12.8 21.9
1
11 ，YN [2.80,4.25,6.85,11.3]T ，
代入（4），可得
ˆ
0.5 0.97
30.10.2019
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min ii(k) Nhomakorabea,
i (k) max{b(k) xi (k), xi (k) b (k)}
1.2.4 关联度
定义2：设为x0, x1,L , xm灰关联因子集，x0
为参考序列，xi 为比较序列，x0(k), xi (k) 分别
为 x0 与 xi 的第 k 个点的数，
x0 (x0 (1), x0 (2),L , x0 (n)) x1 (x1(1), x1(2),L , x1(n))
k
k
1.2.2 变换的性质
上述变换满足
1）当 x(k) 0, k 1, 2,L , n, y(k) 0；
2）保序性：
x(i) x( j), y(i) y( j); x(i) x( j), y(i) y( j)
3）保差异性：对任意的i,t,l, j ，有
x(i) x(t) y(i) y(t) x(l) x( j) y(l) y( j)
1.2.3 多指标序列的数据变换
关联分析中常用的数据变换有 1）效益型：
yi
(k)
xi
(k
)
min i
xi
(k
)
max i
xi
(k
)
min i
xi
(k
)
2）成本型：
yi (k )
max i
xi
(k
)
xi
(k
)
max i
xi
(k
)
min i
xi
(k
)
1.2.3 多指标序列的数据变换
3）固定型：a(k)为固定值
2）均值化变换：
x(1)
f (x(k)) x(k) y(k), x 1 n x(k)
x
n k 1
1.2.1 数据变换技术
3）百分比变换：f (x(k)) x(k) y(k)
max x(k)
4）倍数变换：
k
f (x(k)) x(k) y(k), min x(k) 0
min x(k)
k
k
5）归一化变换：
f
( x(k ))
x(k) x0
y(k), x0
0
1.2.1 数据变换技术
6）极差最大化变换：
x(k) min x(k)
f (x(k))
k
y(k)
max x(k)
k
7）区间值化变换：
x(k) min x(k)
f (x(k))
k
y(k)
max x(k) min x(k)
min i
min k
0i (k)为两极最小差，
max
max i
max k
0i (k)
为两极最大差，
(0,1)
为分
辨系数
1.2.4 关联度
定义3：设为 k 指标 k 的权重，满
足
0
k
1
，n
k
1，定义
k 1
n
r(x0 , xi ) k r(x0 (k), xi (k)) k 1
为 x0对 xi的灰关联度，r(x0, xi )是序列几何距
1.2、灰关联分析的步骤
应用灰关联分析，一般包括下列的计算 和分析步骤：
1）确定参考序列和比较序列； 2）作原始数据变换； 3）求绝对差序列； 4）计算关联系数；
1.2、灰关联分析的步骤
5）计算关联度； 6）排关联序； 7）列关联矩阵进行优势分析。
1.2.1 数据变换技术
为了保证建模的质量与系统分析的正确 结果，对收集来的原始数据必须进行数 据变换处理，使其消除量纲和具有可比 性。
1.2.3 多指标序列的数据变换
设有多指标序列
x1 (x1(1), x1(2),L , x1(n))
x2 (x2 (1), x2 (2),L , x2 (n))
LL
xm (xm (1), xm (2),L , xm (n))
称映射
f : xi yi
f (xi (k)) yi (k), k 1, 2,L , n
1.1、灰关联分析方法概述
关联度愈高，说明该样本序列隶属的关系愈贴近， 这是综合评价的信息和依据。在数学理论上， 它反映了离散数列空间的接近度，所以是一种 几何分析法。灰关联度分析的基本思想是根据 离散数据之间几何相似程度来判断关联性大小， 并进行排序。
在此，我们通过两个实例给出灰关联分析方法 的过程
1.2.3 多指标序列的数据变换
为序列 xi 到序列 yi的数据变换。
多因素指标的数据变换主要依赖于指标的属性 类型，常用的属性类型有效益型（指标值越大 越好型）、成本型（指标值越小越好型）、固 定型（指标值越接近某固定值越好型）、区间 型（指标值越接近某固定区间越好）、偏离型 （指标值越偏离某固定值越好）、偏离区间型 （指标值越偏离某固定区间越好）等。
灰色理论
1、灰关联理论 2、灰色预测模型
1.1、灰关联分析方法概述
灰色系统是既含有已知信息，又含有未 知信息或非确知信息的系统。灰关联分 析是依据灰数列间几何相似的序化分析 与关联测度，来量化不同层次中多个序 列相对某一级别的关联性，其实质为灰 色系统中多个序列之间接近度的序列分 析，这种接近度称为数据间的关联度。
离的一种度量。
1.3 实例
1.3.1 实例一：用灰关联分析的方法分析 影响呼和浩特市大气污染的各主要因素 的污染水平。
xi
(k )}
1.2.3 多指标序列的数据变换
5）偏离c(k)型：
yi
(k)
xi (k) c(k)
max i
xi
max i
xi (k) c(k)
min i
(k) c(k) xi (k) c(k)
6）偏离区间[b(k),b (k)]型：
yi
(k)
i
(k
)
max i
i
(k
)
max i
i
(k
)
x2 (x2 (1), x2 (2),L , x2 (n))
LL
xm (xm (1), xm (2),L , xm (n))
1.2.4 关联度
定义
r(x0 (k),
xi (k))
min max 0i (k ) max
为灰关联系数。其中 0i (k) x0(k) xi (k)
为绝对差，min
yi
(k)
max i
max i
xi
xi (k) a(k) (k) a(k)
xi min
i
(k) a(k) xi (k) a(k)
4）区间[b(k),b (k)] 型：
yi
(k)
max i
i
(k
)
i
(k
)
max i
i
(k
)
min i
i
(k
)
,
i
(k)
max{xi
(k)
b(k ), b
(k)
定义1 设有序列
x (x(1), x(2),L , x(n))
称映射为序列到序列的数据变换。
1.2.1 数据变换技术
称映射
f : x y f (x(k)) y(k), k 1, 2,L , n
为序列 x 到序列 y 的数据变换
1）初值化变换：f (x(k)) x(k) y(k), x(1) 0