ch5.7 离散时间系统的频响

H( jΩ) H( jΩ) H(e jω ) H(e jω )
0
ΩC
Ω
0
ΩC
Ω
0
ωC
π
2π
ω
0
ωC π
2π
ω
H( jΩ)
H( jΩ)
H(e jω )
H(e jω )
0
ΩL
ΩH
Ω
0
ΩL
ΩH
Ω
0
ωL ωH π
2π
ω
0
ωL ω H π
2π
ω
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§5.7 离散时间系统的频率响应
M
N ( z) H ( z) = = D( z )
∏ (z − z )
r r =1 N
∏ (z − p )
k k =1
式中，zr与pk分别是系 统函数的零点与极点。于 统函数的零点 极点。于 零点与 是
M
H ( e jω ) = H ( z ) z = e j ω =
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2π
ω
例如：计算机对输入的数据x(n)进行处理，当收到一个数据后，计 算机将与前三次的输入数据进行平均。试求此运算的频率响应。 解：此运算可用差分方程表示：
1 y(n) = [ x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) + x(n − 3)] 4
于是系统函数
1 1 − z −4 1 z 4 − 1 1 = H ( z ) = (1 + z −1 + z − 2 + z −3 ) = −1 4 1− z 4 z 3 ( z − 1) 4
1
Re{z}
式中的每一个因式，分别表示由零点或极点指向单位园的矢量。 每个矢量有模与相角，于是系统的频率响应可表示为
M jω M
Ar e jβr ∏
r =1 N
∏ Ar
=
r =1 N
M
N k =1
j(
H (e ) =
e
k
∑ βr − ∑ α k ) = =
r =1
Bk e jα k ∏
k =1
∏B
k =1
H (e
jω
)
(1) H ( z ) =
z
1 z− 2
1 z> 2
−1
2
Re{z}
2 3
1
0
π
2π
ω
ϕ (ω )
0 2π
π
ω
( 2) H ( z ) =
z z+
1 2
j Im{z}
H (e
jω
)
z>
1 2
−1 1
2
Re{z}
2 3
0
π
2π
ω
ϕ (ω )
0 2π
π
ω
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= H ( e jω ) e jϕ ( ω )
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§5.7 离散时间系统的频率响应
M
H (e jω ) =
∏A
r =1 N
r
ϕ (ω ) = ∑ β r − ∑ α k
r =1 k =1
M
N
∏B
k =1
k
例如：已知系统函数，试粗略地画出它们的零极图与频响曲线。
y (n) = h(n) ∗ cos ωn
= H (e jω ) cos[ωn + ϕ(ω)]
这里，H(ejω)是系统的频率响应，它的模|H(ejω)|是系统的幅频 是系统的幅频 响应，相位φ(ω)是系统的相频响应。 响应，相位 是系统的相频响应 相频响应。 由前式可见，频率响应与系统函数的关系
∞ ∞
与连续时间系统中一样，这里频率响应也是表示当正弦序列作 与连续时间系统中一样，这里频率响应也是表示当正弦序列作 用于系统时，输出稳态响应的幅度和相位，随输入序列角频率变化 而变化的特性。 而变化的特性。 cos ωn
e
jωn
h( n)
y ( n ) = cos ωn ∗ h ( n )
h ( n ) ∗ e jω n
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1
系统函数的零极图：
j Im{z}
Re{z}
−1
1
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§5.7 离散时间系统的频率响应
∴ H (e jω ) =
1 sin 2ω 4 sin ω 2
⎛ ⎞ ⎜ sin 2ω ⎟ 3 ⎟ ϕ (ω ) = − ω + arg⎜ 2 ⎜ sin ω ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
zk = e
π j k 2
k = 1,2,3
系统的频率响应：
1 1 − e − j 4ω 1 e j 2ω − e − j 2ω − j ( 2 − 2 ) ω jω H (e ) = = e ω ω −ω −j 4 1− e 4 j2 e −e 2 1 sin 2ω − j 3 ω = e 2 4 sin ω 2
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§5.7 离散时间系统的频率响应
系统函数的零点： z 4 − 1 = 0
= e
π j k 2
k = 0,1,2,3
系统函数的极点： z − 1 = 0 ∴ z = 1 与 z = 0 处的三重极点。 系统函数的零极点在z=1处抵消一个，还有三个零点分别是： 系统函数的零极点在z=1 z=1处抵消一个，还有三个零点分别是：
三、离散时间系统的频率响应曲线 前面所示滤波器的幅频特性均是理想情况。与连续时间系统一 样，理想滤波器是不能实现的，且是非因果的。 样，理想滤波器是不能实现的，且是非因果的 理想滤波器是不能实现的，且是非因果的。 与连续时间系统类似，离散时间情况下，当系统函数是有理分 式时，滤波器的频率响应曲线，也可以由其零极点在z平面上的分 布，通过几何的方法粗略地估计出来。
§5.7 离散时间系统的频率响应
§5-7
离散时间系统的频率响应
一、离散时间系统的频率响应 一、离散时间系统的频率响应 在连续时间系统的分析中我们知道，所谓频率响应是表示当正 弦信号作用于系统时，输出稳态响应的幅度和相位，随输入信号频 率变化而变化的特性。 cos Ωt
h(t )
y (t ) = cos Ωt ∗ h(t )
§5.7 离散时间系统的频率响应
j Im{z}
H (e
2 3
jω
)
z ( z − 1) (3) H ( z ) = 1 z2 − z + 2 H (e ) =
j π 4
2 z> 2 1
×1.85
4 5
Re{z}
−1
1
0 π
4
π
2π
ω
2 ⋅ 3
2 1− 2
≈
2 ×1.85 3
π ϕ (ω ) 2
0
π
系统的频响曲线如下：
H (e
jω
)
j Im{z}
1
0 2π
π
ω
Re{z}
−1
1
ϕ (ω )
0
− 3π 4
π
2π
ω
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§5.7 离散时间系统的频率响应
根据系统函数的零极图，粗略地画频响曲线，有如下规律： 对于因果系统，当系统函数有一对靠近单位园的极点 p1, 2 = p e 对于因果系统，当系统函数有一对靠近单位园的极点 系统幅频响应在ω=ωi附近会有一个峰值点，相频响应负向变化； 系统幅频响应 幅频响应在 附近会有一个峰值 点，相频响应负向变化 峰值点， 相频响应负向变化；
H ( e j ω ) = H ( z ) z = e jω =
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n = −∞
h ( n) z − n ∑
=
n = −∞ z = e jω 大连海事大学信息科学技术学院
h(n)e − jωn ∑
§5.7 离散时间系统的频率响应
二、传统数字滤波器的幅频响应 与连续时间系统的情况一样，传统滤波器又叫选择性滤波器。 根据系统的幅频特性将其划分为：低通、高通、带通与带阻滤波器 根据系统的幅频特性将其划分为：低通 高通、 带通与 低通、 等。
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§5.7 离散时间系统的频率响应
练习1：系统将某时刻输入的数据与前一时刻的输入数据之和作为 输出，求此系统的系统方程，作出系统函数及其零极图， 并画出系统的频响曲线。 练习2：系统将某时刻输入的数据与前一时刻的输入数据之差作为 输出，求此系统的系统方程，作出系统函数及其零极图， 并画出系统的频响曲线。 练习3：已知系统函数 H ( z ) = 练习3
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§5.7 离散时间系统的频率响应
∞
H (e ) =
jω
n = −∞
∑ h ( n )e
− jωn
= H ( e jω ) e jϕ ( ω )
同样可以证明，当系统的单位样值响应h(n)为实序列，正弦序 为实序列，正弦序 列作用于系统的响应为
(e jω − z r ) ∏
r =1 N
( e jω − p k ) ∏
k =1
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§5.7 离散时间系统的频率响应
M
H ( e jω ) = H ( z ) z = e j ω =