现代信号处理ch3-7

第三章 自适应信号处理
2013年7月12日
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主要内容




随机信号的最优预测和滤波 最优滤波理论与维纳滤波器 横向LMS自适应数字滤波器 横向RLS 自适应数字滤波器 自适应格型滤波器 快速横向滤波（FTF）自适应算法 无限脉冲响应自适应滤波器 盲自适应信号处理 同态滤波及倒谱 自适应滤波器应用
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IIR自适应滤波器

改进方法
• 根据前面关于IIR自适应滤波器的讨论和前几节对FIR自适 应滤波器的讨论,可对长脉冲响应的要求作如下评述： －使用IIR结构为构造高效长脉冲响应自适应滤波器提供 了基础，但使稳定问题变得更复杂。 －使用FIR结构(即横向滤波器)容易解决稳定问题，但以 增加计算复杂度为代价。 由此看见，结合FIR和IIR结构优点的混合方法可为解决长 脉冲响应自适应滤波器问题提供一个折衷的方案。
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IIR自适应滤波器

输出误差法 • 基本结构和基本关系式
IIR滤波器的基本结构与ARMA模型的结构相同,其输入M N 输出关系为
y(n) ai (n)u (n i) bi (n) y(n i)
i 0 i 1
(1) BACK
式中ai(n),bi(n)是模型的可调系数。当M=N且a0(n)＝1时, (1)可 用图1实现。当滤波器系数固定不变时,可用如下转移函数
u(n)
未知线性 动态系统 y’(n) ∑ -
d(n)
+ 1/(1-B(z))
y(n)
A(z)
IIR 自适应滤波器
∑
B(z)
e’(n)
图3 方程误差法
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IIR自适应滤波器

方程误差法 算法原理
• 方程误差e’(n)与输出误差e(n)有关，即
(18)
亦即
e(n) e(n) bi (n)e(n i)
(8)
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IIR自适应滤波器

输出误差法 • 算法推导
从式(1)可见, 滤波器的输出y(n)与其自身的过去值有关。
ˆ 故求偏导数 y(n) wj (n)时要小心进行。特别地, 我们有
(9a) (9b)
为了简化表示，引入如下两个定义：
(10a) (10b)
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IIR自适应滤波器

输出误差法 • 算法推导
i 1
N
(19)
式中右边第二项为bk与e(k)两个序列的卷积, 两边求z变换,得
E( z) (1 B( z))E( z) (20)
式中E’(z)和E(z)分别是e’(n)和e(n)的z 变换, B(z)由式(4)定义 (当bk固定不变时)。上式表明, 输出误差e(n)通过转移函数 为1－B(z)的滤波器, 即得方程误差e’(n)。
H ( z) A( z ) 1 B( z )
M
(2)
等效地表征ARMA模型，式中多项式A(z)和B(z)分别为
A( z ) ai z i
B( z ) bi z i
i 1
(3)
(4) BACK
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i 0 N
u(n)
未知线性 动态系统 d(n) A(z)
∑
y(n) -
+
∑
e(n) d (n) y(n) (17)
上式用于调整两组模型参数ai(n)和bi(n)。 • 基于这组方程的方法称为“方程误差法”。它有两个特 点： － 在该方法中,误差信号由一个方程来定义, 而不是象输出 误差法那样由实际滤波器的输出来定义。故得此名。 － 在该方法中,代价函数由二次误差特征曲面来表征, 故不 会象输出误差法那样受到局部最小的限制。 16
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七、无限脉冲响应自适应滤波器

引言
IIR自适应滤波器
• 输出误差法 • 方程误差法 • 改进方法
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引言

FIR自适应滤波器具有结构简单和实现容易的 优点，但也存在计算量大的缺点。在实际应用 中常需采用阶数很高的FIR滤波器，这时若能 改用IIR递推结构，阶数可以显著降低。
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IIR自适应滤波器
γ(n) [ 0 (n),1 (n),..., M (n), 1 (n), 2 (n)..., N (n)]T
ˆ ˆ w(n 1) w(n) e(n)γ(n)
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IIR自适应滤波器

输出误差法 • 算法步骤
值得注意的是,上述运算过程还可进一步简化；即式(14) 中滤波回归器向量γ (n)的元素αi(n) 、βi(n)可进一步简化为
e(n) d (n) y(n) (6)
2
这就是“输出误差法”名称的由来。设用LMS算法进行 权向量的调整，则可将第n 次迭代权向量的调整量定义 ˆ ˆ w(n) J (n) / w(n) (7) 为 式中是μ步长参数。求代价函数J(n)关于 的导数, 即得 梯度向量的第k 个分量:
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(11b)
因此,可将式(9)改写为如下一对递归差分方程:
N j (n) u (n j ) bi (n) j (n i) , j 0,1,...,M i 1 N j (n) y (n j ) bi (n) j (n i) , j 1,2,..., N i 1
其中αi(n) 、βi(n)由(12) 计算。
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IIR自适应滤波器

输出误差法 • 算法步骤
下面，给出输出误差法IIR自适应滤波器算法小结 ˆ 初始化： w (0) 0 计算：对n=1,2,…计算
y(n) ai (n)u (n i) bi (n) y(n i)
M N
e(n) d (n) y(n)
i 0
i 1
N j (n) u (n j ) bi (n) j (n i) , for j 0,1,...,M i 1 N j (n) y (n j ) bi (n) j (n i) , for j 1,2,..., N i 1
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IIR自适应滤波器

输出误差法 • 输出误差法的局限性
局限性： 用输出误差法设计IIR自适应滤波器受到以下两个限制： －误差特性曲面除了一全局极小点外,还有许多局部极小点, 这意味着我们无法确定用这种方法设计的IIR自适应滤波 器是否是全局最优的。 －不能保证ARMA模型的极点始终在z-平面的单位圆内， 这意味着IIR自适应滤波器有可能不稳定。 克服办法： －在实际使用过程中,可在自适应方程中引入某种简短的稳 定性测试来克服不稳定。但这样会放慢自适应的速率。 －至于局部最小问题,可用下一节讨论的方程误差法来克服。
ˆ w(n) [a0 (n), a1 (n),...,aM (n),b1 (n),...,bN (n)]T (5)
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IIR自适应滤波器输出误差法 • 算法推导ˆ 假设处理的是实值信号, 权向量 w (n) 的调整可通过最小化 瞬时代价函数来取得。 J (n) 1 e 2 (n)
式中误差信号是期望响应与滤波器输出之差：
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IIR自适应滤波器

方程误差法 讨论 • 在在神经网络文献中, 方程误差法称为教师强制法
(teacherforcing method)。在任何情况下，方程误差法可加快自适 应滤波器训练速度，因为用式(19)和(20)计算误差信号相 当于假设滤波器准确地完成教师强制的学习任务。 • IIR自适应滤波器的方程误差法和输出误差法一般将得到 不同的解。因为基于梯度的方程误差法自适应滤波算法实 际上是优化一个不同于输出误差的代价函数。 • 方程误差法理解起来有一定难度，尽管该法设计准则具有 二次特性。
同时还假设，滤波器对较小的M和N，以足够慢的速率进行 自适应。此时，可对i=1,2,…,N 做如下两个近似：
y(n i) y(n i) j (n i ) a j (n) a j (n i) (11a)
y(n i) y(n i) j (n i ) b j (n) b j (n i)
IIR自适应 滤波器 B(z) e(n)
图1 输出完成法
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IIR自适应滤波器

x
自适应滤波器
系统 输入
未知IIR 系统
y ∑ d
输出误差法
e
+
系统 输出
• 算法推导
图2
- 使用IIR滤波器的目的就是要用为数不多的可调系数实现 长脉冲响应。为了设计这类滤波器, 我们可以用两种方法 之一，即输出误差法或方程误差法。本节讨论输出误差 法, 现推导该算法。 - 图2是输出误差法的框图表示，图中用一个IIR自适应滤 波器来辨识某一未知线性动态系统。在这个应用中，输 入信号x(n)同时加到未知系统和自适应滤波器上，由此分 别产生期望响应d(n)和滤波器实际输出y(n)。定义自适应 滤波器的权向量为
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IIR自适应滤波器

方程误差法 算法原理
• 在滤波器自适应(训练)阶段, 用期望响应d(n)代替式(1)右边 第二个求和号中的滤波器实际输出y(n), 结果的方程为
y(n) ai (n)u (n i) bi (n)d (n i)
i 0 i 1 M N
(16)
相应地，定义误差信号为
(12a) (12b)
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IIR自适应滤波器

输出误差法 • 算法推导
综上所述，可得计算IIR自适应滤波器权向量更新方程为
ˆ ˆ ˆ w(n 1) w(n) w(n) ˆ w(n) e(n) γ (n) (13)
式中
γ(n) [0 (n),1 (n),...,M (n), 1 (n), 2 (n)..., N (n)]T (14)

对长脉冲响应滤波器的需求