河南省睢县回族高级中学高中数学 21不等式与不等关系(第1课时)学案新人教A版必修5

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高中数学3.1不等关系与不等式教案新人教A版必修5

3.1 不等关系与不等式（第一课时）【教课目的】1. 经过详细情境让学生感觉和体验现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，鼓舞学生用数学看法进行察看、概括、抽象，使学生感觉数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。

2．成立不等看法，并能用不等式或不等式组表示不等关系。

3．认识不等式或不等式组的实质背景。

4.能用不等式或不等式组解决简单的实质问题。

【要点难点】要点 :１. 经过详细的问题情形，让学生领会不等量关系存在的广泛性及研究的必需性。

２.用不等式或不等式组表示实质问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

3.理解不等式或不等式组关于刻画不等关系的意义和价值。

难点 :1.用不等式或不等式组正确地表示不等关系。

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实质问题。

【方法手段】1.采纳研究法，依据阅读、思虑、沟通、剖析，抽象概括出数学模型，从详细到抽象再从抽象到详细的方法进行启迪式教课。

2.教师供给问题、素材，并实时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和踊跃性。

【教课过程】教学教师活动学生活动设计企图环节导平时生活中，同学们发现了哪些实例 1. 某天的天气预告报导，最指引学生想生入数目关系。

你能举出一些例子高气温 35℃，最低气温 29℃。

活中的例子和新吗？实例 2. 若一个数是非负数，则这学过的数学中课个数大于或等于零。

的例子。

在老师实例 3. 两点之间线段最短。

的指引下，学生实例 4. 三角形两边之和大于第一定会迫不及三边，两边之差小于第三边。

待的能说出很多个例子来。

即活跃了讲堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

推同学们所举的这些例子联系了同学们仔细观看显示屏幕上老让学生们边看进现实生活，又考虑到数学上常有师所举的例子。

边思虑：生活中新的数目关系，特别好。

并且大家有很多的事情课已经考虑到本节课的标题《不等的描绘能够采关系与不等式》，所举的实例都用不等的数目是反应不等量的关系。

高中数学 (3.1.1 不等关系与不等式(一)示范教案新人教A版必修5

3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生截得两种钢管的数量都不能为负.师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生它们要同时满足条件，应该是且的关系.生由实际问题的意义，还应有x,y∈N. 师这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,661518,104y x y x y x2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜. 3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 4.某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h ，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤+.,0,,2886.14.2,2406.18.0Z y x y x y x y x 二、课外探究开放性问题已知：不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥=+≥+,,,1,1,100,50N y x y x y x y x 你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2 不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）［过程引导］师不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）.性质2：a ＜b 且c ＞0⇒ac ＜bc (或c b c a ＜)；a ＞b 且c ＞0ac ＞bc (或c b c a ＞).性质3：a ＜b 且c ＜0⇒ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜0ac ＜bc (或c b c a ＜). （用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？生对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数.师很好，c 可以为零吗？生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.师这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞b⇒a-b＞0.它的逆命题是否正确？生显然正确.师类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a＞b⇒a-b＞0;a=b⇒a-b=0;a＜b⇒a-b＜0.师这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了.师很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)［合作探究］【问题1】已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）师下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与b a 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.师比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1）)(2)()(24)(22112222b a b a b a ab b a b a ab b a ba b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0.∴b a b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞. （2）a 4-b 4-4a 3(a -b )=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b )=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a 3)=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］=-(a -b )2(3a 2+2ab +b 2)=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］,∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号),又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞0.∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)［合作探究］【问题2】求证：（1）a＞b且c＞0 ac＞bc；（2）a＞b a+c＞b+c.师请同学们思考第一小问该如何证明？生可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.师这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.师这位同学证明得是否正确？生正确.师这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师请同学继续思考第二小问该如何证明？生可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c .师这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2) ［例题剖析］已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞.师前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c＞.师这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）a ＞b ,b ＞c a ＞c ;a＞b,b＞c ⇒a-b＞0,b-c＞0⇒ (a-b)+(b-c)＞0⇒a-c＞0a＞c.（2）a＞b a+c＞b+c;a＞b⇒a-b＞0⇒ (a-b)+(c-c)＞0⇒ (a+c)-(b+c)＞0⇒a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0⇒ac＞bc;a＞b,c＞0⇒a-b＞0,c＞0⇒ (a-b)c＞0⇒ac-bc＞0⇒ac＞bc.（4）a＞b,c＜0⇒ac＜bc.a＞b,c＜0⇒a-b＞0,c＜0⇒ (a-b)c＜0⇒ac-bc＜0⇒ac＜bc.布置作业课本第84页习题3.1A组3,Ｂ组1.（3）（4）、2.板书设计不等关系与不等式（二）引入方法引导方法归纳不等式和实数的基本性质实例剖析（知识方法应用）小结示范解题。

不等关系与不等式经典教案

不等关系与不等式【学习目标】１.了解不等式(组)的实际背景.2.掌握比较两个实数大小的方法.3．掌握不等式的八条性质.【学法指导】１.不等关系广泛存在于现实生活中,应用不等式（组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步.只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可.2.作差法是比较两个数（或式)大小的重要方法之一,可简单概括为“三步一结论”,其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论.3.不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据,应用时每步都要做到等价变形．一、知识温故a－b＞0⇔；a－b=0⇔；a－b＜0⇔.3．常用的不等式的基本性质(1）a>b⇔ｂa(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a c(传递性)；(3)ａ>b⇒ａ+c b+ｃ（可加性）；(4)a＞b,c>0⇒ac bc;ａ>b,ｃ＜０⇒ac bc;(５)a>ｂ，c＞d⇒a＋ｃb＋d；(6）a>b＞０，c>ｄ>０⇒ａc bｄ；（7)a>b>0，ｎ∈N，n≥2⇒a nｂn；(8）a>b>0,ｎ∈N，n≥2⇒错误!错误!.二、经典范例问题探究一实数比较大小问题1 (实数比较大小的依据)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质:如果a－b是正数，那么；如果a-ｂ是负数，那么;如果a-ｂ等于零,那么．以上结论反过来也成立,即a-b＞0⇔a＞b;a-ｂ<0⇔a＜b；a-b=0⇔a＝b．问题２(作差法比较实数的大小)向一杯ａ克糖水中加入m克糖,糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论．问题探究二不等式的基本性质问题3在实数大小比较的基础上,可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时,可以利用前面的性质推证后续的性质．请同学们借助前面的性质证明性质６：如果ａ＞ｂ>０,c>d>0，那么ac>bd.问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够,其实不等式的基本性质是不等式变形（证明不等式和求解不等式)的重要依据.请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用.解不等式:-＼f(1,6)x ＋＼ｆ(3,4）<23x －112．小结（1）当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可.（2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来. (3)若有表格、图象等,读懂表格，图象对解决这类问题很关键.变式练习1：某用户计划购买单价分别为60元、７０元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片，磁盘至少买２盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件?变式练习2：已知x ＜１,试比较x 3-１与２x ２－2x 的大小．小结作差后变形是比较大小的关键一环,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.变式练习3：(1)比较(ａ+3)(a－5）与(a＋2)(a-４)的大小；（2）设ｘ，y,ｚ∈Ｒ,比较5ｘ２＋y2＋z2与２ｘy+4x+２z-2的大小.变式练习4:已知a、b、c为实数，判断以下各命题的真假．(1)若ａ＞b，则aｃ＜bc；（2)若ac2＞ｂｃ2,则a>b;(３)若ａ<b＜0,则a２>ａｂ>b2；(４)若c>a>ｂ>０，则错误!>错误!;(5）若a>b，＼f（1,a)>＼f(1,b），则a>0,b＜0.小结在不等式的各性质中,乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时,必须要确定该数是正数、负数或零,否则结论就不确定．变式练习5:判断下列各命题是否正确，并说明理由.(1）若错误!<错误!且c>０，则a>b;（2)若a＞ｂ>0且c＞d>0，则ad> ＼r(bc)；(3）若a>b,ab≠0,则＼ｆ(1,a）＜错误!；(4)若a>b,c>d，则aｃ>bd.三、过关测试一、选择题１.若a ,b ，ｃ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a<错误! B.a 2>b ２ C.错误!>错误! D ．ａ|c ｜＞b |ｃ|２.已知a ＜0，ｂ<－1，则下列不等式成立的是( ) Ａ.a >错误!>错误! B.错误!>错误!>a C.ab>a >＼f(a,ｂ2) D.＼f(ａ，b )>＼f(ａ,b 2)＞a ３．已知a 、b 为非零实数,且ａ<b ,则下列命题成立的是（ )A.a 2<ｂ２Ｂ．a 2ｂ<a ｂ２Ｃ．错误!<错误! D.错误!<错误!4.若x ∈(e －１,1),a =l ｎ x ，b =2ln x ,ｃ＝ln 3x ,则( ) A.a ＜b <c Ｂ．c <a <ｂ C.b <ａ<c D.b <c ＜a5．设a ,b ∈R ,若a －|ｂ|＞0,则下列不等式中正确的是( ) A ．b -a ＞０ B ．ａ3+b 3＜0 C.a 2－b 2<0 D.b +ａ>０6.若a ＞b >ｃ且ａ＋b +c =０，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．a ｃ>b ｃ C ．a ｜b ｜>c |b | D.a 2>ｂ2>ｃ2 二、填空题7.若1≤ａ≤５，－１≤ｂ≤2,则a －b 的取值范围为＿____＿＿_．8．若f (x )＝3x 2－ｘ+１，g （x )=2x ２＋x -１，则f （x )与g （ｘ)的大小关系是_＿＿＿____.9．若ｘ∈R ，则x1+x２与错误!的大小关系为_＿＿＿＿__＿．10.设n >1，n ∈N ,A ＝＼r(ｎ)-＼r(ｎ-1),Ｂ＝错误!-错误!，则A 与B 的大小关系为＿_______．三、解答题１1．设a ＞b >0，试比较错误!与错误!的大小．1２.设f （x )＝1+ｌo ｇx 3，g (ｘ）=2lo ｇｘ２,其中x ＞0且x ≠１,试比较f (x )与g (ｘ)的大小．能力提升13.若0<a 1<a 2,０<b １<b 2，且a 1＋ａ２=b １+b 2＝1,则下列代数式中值最大的是（ ) A.a 1b 1＋ａ2ｂ2 B.ａ1a 2＋b 1b 2 Ｃ.a 1b 2+ａ2b １ D.错误!14.设x ,ｙ,ｚ∈R ,试比较5ｘ2+ｙ２+z 2与2x ｙ＋4x ＋２z -2的大小．四、课后练习一、选择题1．若a ，ｂ，ｃ∈R ,a ＞b ,则下列不等式成立的是 ﻩﻩﻩﻩﻩ ( )A.１a <１b ﻩ ﻩ ﻩ ﻩＢ．a ２＞b 2 C.ａｃ2+１>b c 2+1 ﻩﻩﻩ ﻩ D.a |c ｜＞b |ｃ| 2.已知ａ、b 为非零实数,且a ０且a ≠1,M =log a (a 3+1)，N =ｌｏg a (ａ２＋１)，则M ,Ｎ的大小关系为 ﻩ( )A ．M <N ﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩB.M ≤N C ．M >Ｎ ﻩﻩﻩﻩＤ.Ｍ≥N5．若a >b ＞c 且a +b +ｃ＝0,则下列不等式中正确的是 ﻩﻩﻩﻩ( )A ．ab >a ｃ ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩＢ.ac >b ｃ C.a ｜b |>c |ｂ| ﻩﻩﻩﻩD.ａ2>b 2>c 2二、填空题６.若1≤a ≤5,－1≤b ≤２，则ａ－b 的取值范围是________. ７．若x ∈R ，则＼ｆ(x ，1＋x 2）与＼f(1,2)的大小关系为______＿_.8．设n >１，n ∈N ，A =＼r(n )-错误!，B ＝错误!-错误!，则Ａ与B 的大小关系为_______＿. 三、解答题9.比较x 6＋1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ．１0．设a ＞b ＞0,试比较错误!与错误!的大小．11.已知１2＜a <６0,15<ｂ<3６，求a -b 及错误!的取值范围. 四、探究与拓展12．设f (x )＝1+log x 3，g (ｘ)＝2ｌog x ２，其中x ＞0且ｘ≠１，试比较f (x ）与ｇ(ｘ）的大小．部分参考答案:问题２：设原来a 克糖水中含糖b 克,加入ｍ克糖后,糖水浓度变大了,用不等式表示为＼f(b,a )<错误!（其中a ，b ,m 均为正数，且a >b ).证明如下：b +ma ＋m-错误!=错误!=错误!,又ａ，b ，ｍ均为正数且ａ＞ｂ，∴ａ－b >0,ｍ(a -b )>0，a （a ＋m )＞0，∴错误!>0.因此,错误!>错误!，也就是糖水浓度更大了,糖水变得更甜了．问题3：证明错误!⇒ａｃ＞bd.问题４：解-＼f(１,6)ｘ+＼f(３,4)<错误!x-错误!⇔－２x+9<8x－１（不等式两边都乘以１2,不等式方向不改变)⇔-2ｘ<８x－１0 (不等式两边都加上－9)⇔-１0x＜－1０ (不等式两边都加上-8x)⇔x>１(不等式两边都乘以－＼ｆ(1,1０）,不等式方向改变)变式练习1:设软件数为ｘ,磁盘数为ｙ，根据题意可得错误!变式练习２:∵(x3-１)－（2ｘ2－２x):＝ｘ３-2x2+2x－１=(ｘ３－ｘ2)－(ｘ２－２x+1)＝x２(x－1)-（x－1)２＝(x-1）（ｘ２-x+1)=(x－1)[(ｘ-＼f(1,2))２＋错误!],∵(x-错误!)2+错误!＞0，ｘ-1<0，∴(ｘ-１)［(x-错误!)2+错误!]＜0，∴x3-1＜２x2-2x．变式练习3：解(1)∵(a＋3)（a-5）－(a＋2)(a-4）＝(a2－2a－１5)-(a2－2a-8)=－7<0.∴(ａ+3）(a－５)＜(ａ+２)(a－4).(2）∵5x２+ｙ2+z2-(2ｘy+4x＋2z-2)=4x2-４x＋１+x2-2xy+ｙ2＋z２-2z＋1＝(2ｘ－1)２+(x-y）2+（z－１）2≥0,∴5x2＋y２+z2≥２ｘｙ+4x+2z－2,当且仅当x＝y＝＼f(１,２)且z=1时取等号．变式练习4:解 (1)c 是正、负或为零未知,因而缺少判断a ｃ与bc 的大小依据，故该命题为假命题．（2)由ａc ２>bc 2知ｃ≠0,∴c 2＞0，∴ａ>ｂ,故该命题为真命题.（3）错误!⇒a 2>ａb ；又错误!⇒ａb >b 2,∴ａ2＞ａb ＞ｂ2,故该命题为真命题． (4）∵ａ>b >０,∴－ａ<-b ,∴c －a <c -ｂ,又∵c >ａ>b >０，∴错误!>0,在c －a <c -ｂ两边同乘错误!，得错误!>错误!>0,又a >b >0,∴错误!＞错误!.故该命题为真命题. （5)由已知条件知ａ＞b ⇒ａ-b ＞０,又错误!>错误!⇒错误!－错误!>０⇒错误!>0,∵a -b >0，∴b －a <０,∴ab <0.又a >b ，∴a >0，b ＜0,故该命题为真命题．变式练习5:解 (１)错误!⇒错误!＜错误!,但推不出a >b ,故（１)错.（２)错误!⇒错误!＞错误!>0⇒ 错误!> 错误!成立,故（２)对． (3)错．例如，当a =1，ｂ＝－1时，不成立． (４)错．例如，当ａ=c =１,b =d =－2时,不成立．过关测试:1、答案 C解析对A,若a ＞０＞ｂ,则１a >０,1b<0，此时错误!>错误!，∴Ａ不成立；对B,若a ＝1,ｂ=-2，则a 2<ｂ2，∴Ｂ不成立；对C,∵c 2+１≥1，且ａ>b ,∴错误!＞错误!恒成立,∴C 正确；对D,当ｃ＝0时，a |c ｜＝ｂ|ｃ|,∴D 不成立.2、答案 D解析取a ＝－2,b =－2,则＼f(a,b )=1,＼f(a ，b 2)＝－错误!，∴错误!>错误!>ａ. 3、答案 C解析对于Ａ，当a <０，b <0时，ａ20时,a 2b >０,ａｂ2<0,a ２b <ab 2不成立；对于C ，∵a <ｂ，错误!＞０,∴错误!＜错误!;对于D,当ａ=-１,ｂ=1时，b a =ab=－1.4、答案 C解析 ∵错误!<x <１,∴-１<l ｎ x <０．令t =ln x ，则－1<t ＜0. ∴a －ｂ=t －2t ＝-t >0，∴ａ>b .ｃ-a =t 3－t ＝ｔ(t ２-1)＝t (t ＋1)(t －1), 又∵－1<ｔ<0,∴0＜t ＋１<１,-２<t －1<-１，∴ｃ-a >０，∴c ＞a .∴c >a >b . 5、答案 D解析由a >|b |得－ａ0，且a -b >0．∴b -ａ<0,A 错，D 对.可取特值,如a ＝2,b ＝－1，a 3＋b ３=７>０,故B 错．而a 2－b ２=(ａ-b ）(a +ｂ)＞０,∴C 错． 6、答案Ａ解析由a ＞b >c 及a +b ＋c =０知a >０,c <0,又∵a >０，b >c ,∴ab >ac .故选Ａ.7、答案［-1,６]解析 ∵-１≤b ≤2,∴-２≤-ｂ≤1，又1≤a ≤5，∴-1≤a －b ≤6. 8、答案 f (x )>ｇ(x ）解析 ∵ｆ（x )－ｇ（x )=x 2-２x +2＝(x －1)2+1>０,∴f (x )>g （x ）. 9、答案ｘ1＋x２≤错误!解析 ∵错误!－错误!=错误!＝错误!≤0,∴错误!≤错误!．10、答案 A ＞B 解析 A =错误!,B ＝错误!. ∵n +错误!<错误!+错误!,并且都为正数，∴A >B . 11、解方法一作差法＼f(a 2－b 2,a ２＋ｂ2）－a －bａ+b =错误!=错误!=错误! ∵a ＞ｂ>0,∴a +b >０，ａ-b ＞0,2ab >0. ∴错误!＞０,∴错误!＞错误!. 方法二作商法∵a >b ＞０,∴＼f(ａ2-ｂ2,a 2＋ｂ２)>0,错误!＞0.∴错误!=错误!=错误!＝1＋错误!>1．∴错误!>错误!. 12、解ｆ(ｘ)－g （x )＝1＋ｌog x 3-２ｌｏg x 2=l ｏｇx 3ｘ4，①当错误!或错误!即１<ｘ＜错误!时,ｌog x 错误!<0，∴f (x )＜g （ｘ)； ②当错误!＝１,即ｘ=错误!时,l ｏg x 错误!＝0，即f (x )＝ｇ(x ）;③当错误!或错误!即0<ｘ＜1,或x ＞错误!时，log x 错误!＞０，即ｆ(x )>g (ｘ)．综上所述,当1＜ｘ<４３时,f (ｘ）＜ｇ（x );当ｘ＝＼f(4，3)时,f (x )＝g （x )；当０<x <1，或x ＞错误!时,ｆ(ｘ)>g (x ).１３、答案 A解析方法一特殊值法.令a 1＝＼f （1，４)，ａ2=错误!，ｂ1＝错误!，b 2=错误!,则a １b １+a 2b 2＝错误!=错误!，a 1a 2＋b 1b 2＝6１6=38，ａ1b ２＋ａ2ｂ1＝错误!=错误!,∵错误!>错误!>错误!，∴最大的数应是a １b 1+a 2b ２.方法二作差法．∵a 1+a 2＝１＝ｂ1＋b 2且０<a １＜a ２,０b 1,∴0＜a 1<12,0<b 1＜错误!.又a 1b 1＋a 2b ２=ａ１b 1＋(1－a 1)(1－b 1）＝2a 1b 1＋１-a 1－b 1，a 1a 2＋b １ｂ2=a １(1-ａ1)+ｂ1(1－b 1）＝a 1+b 1-a 错误!－b 错误!,a １b 2＋a 2ｂ1＝a 1(１-ｂ1）+ｂ１（１-a 1)=a 1+b 1-2ａ１ｂ1，∴(a 1b ２＋a 2b 1)-(a 1a 2＋b １b 2)＝a 错误!+b 错误!-2a 1b 1=（a 1-b 1)2≥0，∴a １ｂ2+ａ2ｂ１≥a 1ａ2＋b １b 2.∵(ａ1b １+a 2ｂ2)-(ａ1b 2+a 2ｂ1）＝4a １ｂ1+1－２a 1-２b 1 =1－2a １+2b １(2a 1－１)＝（2a 1－1）(2b 1-1）＝4错误!错误!>0，∴a 1b 1+a 2ｂ2>a １b ２＋a 2ｂ1． ∵(a １b １＋a 2b 2)－错误!＝2a １b １＋错误!－a １-ｂ１=b 1(２ａ1-1）-12（2a 1－1)=(２a 1-1)错误!=2错误!错误!>０,∴a １ｂ1＋a 2b ２>错误!．综上可知,最大的数应为a 1ｂ１+a ２b 2.14、解 ∵5x 2+y 2+z ２-(２xy ＋４x ＋２z －2）＝4x ２－4x ＋1＋x 2－２x ｙ+y ２+z 2－２ｚ+1＝（2ｘ－1)2＋(x -y )2+(z -1）2≥0，∴５ｘ２＋y 2＋ｚ2≥２x ｙ＋4x +2ｚ－２，当且仅当x =y =错误!且ｚ＝1时取到等号．课后练习答案：１．C 2.Ｃ 3.C 4.C 5.A６．[－1，6］ 7.错误!≤错误! ８.Ａ>Ｂ 9．解 x 6+1-(x 4＋x 2)＝ｘ6-x 4-x 2+1 ＝x 4（ｘ2－1)-(ｘ２－1)=(ｘ2-1)(ｘ4-1) ＝（ｘ2－1)２（ｘ２＋1)≥0. ∴当x =±１时,x 6＋１=x ４＋x 2；当ｘ≠±1时，x 6+1>x 4+x 2. 综上所述,x 6+1≥x 4＋ｘ2，当且仅当ｘ=±1时取等号．１0．解方法一作差法∵＼f(ａ2－b 2,ａ2＋b 2)－错误! =错误! =错误! ＝错误!．∵a >b >0,∴ａ+b ＞0，a －ｂ>0,2ab >0.ﻩ ∴错误!>0，∴错误!＞错误!. 方法二作商法∵ａ>b ＞０,∴错误!＞0，错误!>0.∴＼f （a 2－b ２a 2＋b 2，＼f(a -b ，ａ＋b ))＝错误!＝错误!=１＋＼ｆ（2ａｂ,a ２＋ｂ2)>1.∴错误!>错误!. １1．解 ∵15<b <36,∴-3６<-ｂ<－15.∴12－36<a -b ＜60-15，∴-2４＜ａ－b ＜４５.ﻩ 又13６<错误!<错误!，∴错误!<错误!<错误!， ∴＼ｆ（1，３）<aｂ<４.∴-２4<a －b ＜45,错误!<错误!<４.12．解ｆ(x )-g (x ）＝1+ｌog x 3-2ｌog ｘ２＝log x 3ｘ4，①当错误!或错误!即１<x ＜错误!时,l ｏg x 错误!<０， ∴f (ｘ）＜g （x );---- ②当＼ｆ(３x,4)=1,即x ＝错误!时，ｌo ｇx 错误!=0, 即ｆ(x )＝g (ｘ)；③当错误!或错误!即0<ｘ＜１,或x >4３时,log ｘ＼f(3x ，4）>0，即ｆ(x )>ｇ（x ）．综上所述，当1＜ｘ＜＼ｆ(4,３)时，f (ｘ）＜ｇ（x ）; 当x =错误!时,f (x )=g (ｘ)；当0＜x ＜1，或x ＞错误!时，f (x )>g (x )．。

高中数学不等关系的教案

高中数学不等关系的教案
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够掌握不等关系的基本概念和性质。

2. 能力目标：培养学生分析和解决不等关系问题的能力。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习动力。

二、教学重点和难点：
1. 重点：不等关系的定义、性质和应用。

2. 难点：不等式的解法及不等式组的解法。

三、教学设计：
1. 导入新知识（5分钟）：
通过举例引导学生思考何为不等关系，引导学生认识到不等关系的重要性，并提出学习不
等关系的意义。

2. 理论讲解（15分钟）：
教师介绍不等关系的基本概念和性质，包括不等式的定义、解法，不等式组的概念等，并
让学生掌握相关概念。

3. 练习与训练（20分钟）：
设计一些练习题，并让学生进行解答。

通过课堂练习让学生巩固掌握不等关系的基本解法。

4. 拓展应用（10分钟）：
通过实际问题引导学生将所学的知识应用到实际生活中，让学生感受数学在日常生活中的
重要性。

5. 总结提升（5分钟）：
教师总结本节课的重点内容，并对学生进行知识点的强化巩固。

四、课后作业：
1. 完成相关练习题，巩固不等关系的基本概念和解法。

2. 自主学习相关知识，扩展应用不等关系的场景。

五、教学反思：
通过设置导入、理论讲解、练习与训练、拓展应用、总结提升的教学环节，帮助学生建立系统的不等关系知识结构。

同时，通过设置课后作业，巩固学生的学习成果，提高学生的数学应用能力。

(新人教版)最新高中数学第一章不等关系与基本不等式学案北师大版选修4-5【经典练习】

第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质 1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质学习目标1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.预习自测1.对于任何两个实数a ，b ，a >b ⇔a －b >0； a b ⇔b <a ；性质2：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；推论：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质4：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；推论1：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；推论2：a >b >0⇒a 2>b 2推论3：a >b >0⇒a n >b n，n ∈N ＋；推论4：a >b >0⇒a 1n >b 1n ，n ∈N ＋.自主探究1.利用不等式的性质，证明下列不等式： (1)a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； (2)a >b >0，d >c >0⇒a c >b d； (3)a >b ，ab >0⇒1a <1b.提示 (1)⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <d ⇒a －c >b －d 的推导过程是：c <d ⇒－c >－d ，对a >b 和－c >－d 应用不等式的同向不等式的可加性质得：a －c >b －d . (2) ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0d >c >0⇒a c >bd 的推导过程是：d >c >0两边同乘 1cd(cd >0)，则1c >1d>0，应用不等式可乘性质得a c >bd.(3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a <1b 的推导过程是，因ab >0⇒1ab >0，不等式a >b 两边同乘1ab ，根据不等式的乘法性质得：1b >1a，即1a <1b.2.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？提示比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.典例剖析知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错 (1)c a <c b，且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b ，且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0，且c >d >0⇒ a d >bc( ) (4)a c 2>b c2⇒a >b ( )解析 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立. ∴(2)错. (3)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc>0⇒ ad > bc成立. ∴(3)对.(4)显然c 2>0，∴两边同乘以c 2，得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√【反思感悟】解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c >0.又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <bc，故选B. 答案 B知识点2 实数大小的比较【例2】实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z ≥y ；x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋34>0⇒y >x ，故z ≥y >x .【反思感悟】两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.2.比较x 2＋3与3x 的大小，其中x ∈R .解 ∵(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0，∴x 2＋3>3x .知识点3 不等式的证明【例3】如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：fa －c >fb －d.证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0，又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1a －c >0，又∵f <0，∴fb －d <fa －c，即fa －c >fb －d.【反思感悟】利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知a 0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz . 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋cz ，ax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az .故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的不等关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，b ≥c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .随堂演练1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C2.设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由不等式性质知当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝32时满足x ＋y ≥3，但不满足x ≥1，且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分而不必要条件. 答案 A3.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d c ，a ＋d <b ＋c ， ∴a <b ，∵a ＋d <b ＋c ，∴a －c <b －d ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，即d <b ，a <c ， ∴a <c <d <b . 答案 a <c <d <b一、选择题1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1aB.1a ＞1bC.|a |＞|b |D.a 2＞b 2解析取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立，选A. 答案 A2.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.a 2－b 2≥0 B.ac ＞bc C.|a |＞|b |D.2a＞2b解析 A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 不成立；当0＞a ＞b 时，C 不成立；由a ＞b 知2a ＞2b成立，故选D. 答案 D3.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2＞0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3＜0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0＜a 1＜a 2，可知a 1＞0，d ＞0，a 2＞0，a 3＞0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2＞0，∴a 2＞a 1a 3，故选项C 正确；若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错. 答案 C4.已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C.sin x >sin yD.x 3>y 3解析先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x<a y，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y 3＝x 3在R 上是增函数，故选D. 答案 D5.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3<0 C.a 2－b 2<0D.b ＋a >0解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D二、填空题6.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y的范围. ∵28<y <33，∴－33<－y <－28，133<1y <128.又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <8428，即2011<x y<3. 答案 (27，56) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2011，3 7.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63三、解答题8.已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝（a 2－b 2）（a －b ）ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab，∵a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，∴（a －b ）2（a ＋b ）ab >0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .9.已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1. 证明 (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1) ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.10.已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1， ①1≤α＋2β≤3 ②试求α＋3β的取值范围.解设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3，从而解出λ＝－1，v ＝2.分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.§2 含有绝对值的不等式 2.1 绝对值不等式学习目标1.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义.2.会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题.预习自测1.a ，b ∈R ，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.2.|a －b |表示点a －b 与原点间的距离，也表示a 与b 之间的距离.3.a ，b ，c ∈R ，|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间时等号成立.自主探究1.你能证明：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |吗？提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2⇔ab≤|ab|.∴|ab|≥ab显然成立，∴原不等式成立.2.你能证明：||a|－|b||≤|a＋b|吗？提示因为|a|＝|(a＋b)－b|≤|a＋b|＋|－b|＝|a＋b|＋|b|.所以|a|－|b|≤|a＋b|，同理可证|b|－|a|≤|a＋b|.所以||a|－|b||≤|a＋b|.典例剖析知识点1 利用绝对值不等式证明变量不等式【例1】已知|x|<1，|y|<1，求证：（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.分析本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.证明|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，|y|<1⇔1－y2>0，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔（1－x2）（1－y2）≤|1－xy|所以（1－x2）（1－y2）|1－xy|≤1.由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即1－xy≠0.【反思感悟】通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键.1.证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.知识点2 利用绝对值不等式证明函数不等式【例2】函数f (x )的定义域为[0，1]，f (0)＝f (1)，且对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|，求证：|f (x 2)－f (x 1)|<12.证明设0≤x 1<x 2≤1，①若x 2－x 1≤12，则|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|≤12.即|f (x 2)－f (x 1)|<12.②若12<x 2－x 1≤1，则|f (x 2)－f (x 1)|＝|f (x 2)＋f (0)－f (1)－f (x 1)| ＝|f (x 2)－f (1)＋f (0)－f (x 1)| ≤|f (x 2)－f (1)|＋|f (0)－f (x 1)| <|x 2－1|＋|x 1－0|.而|x 2－1|＋|x 1|＝1－x 2＋x 1＝1－(x 2－x 1)<1－12＝12.综上所述，对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有 |f (x 2)－f (x 1)|<12.【反思感悟】对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1，求证：|f (2)|≤7.证明 ∵|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，|f (0)|≤1， ∴|f (2)|＝|4a ＋2b ＋c |＝|3f (1)＋f (－1)－3f (0)| ≤3|f (1)|＋|f (－1)|＋3|f (0)|≤7.知识点3 绝对值不等式的应用【例3】若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求实数a 的取值范围. 解法一 ∵|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴当a ≤3时，原不等式解集为∅.法二式子|x ＋2|＋|x －1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a 的范围是a ≤3.3.若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析根据去绝对值符号后函数的图像求解.由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |，当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1 （x <－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x ≤a ），3x －2a ＋1（x >a ）.作出f (x )的大致图像如图所示，由函数f (x )的图像可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6.答案－6或4课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值不等式即 |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； |a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|； |a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.随堂演练1.若a ，b 都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( ) A.|a ＋b |≥a －b B.a 2＋b 2≥2|a ·b |C.|a ＋b |≤|a |＋|b |D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋ba ≥2解析当a >0，b <0时，|a ＋b |<a －b . 故A 不恒成立. 答案 A2.已知|x 1－a |<ε，|x 2－a |<ε，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a <ε. 证明 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a ＝12|x 1＋x 2－2a |＝12|(x 1－a )＋(x 2－a )|≤12(|x 1－a |＋|x 2－a |) <12(ε＋ε)＝ε.3.设|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|<ε.证明 |(x ＋y )－(a ＋b )| ＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |<ε2＋ε2＝ε.一、选择题1.对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析利用三角不等式直接求解.∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. 答案 C2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8 解析利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a . (1)当－1≤－a2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1<x <－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a2. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1>－a2，即a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a2，x ＋a －1，－a 2<x <－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D3.如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋12x成立，那么实数x 的集合是( )A.{－1，1}B.{x |x <0，或x ＝1}C.{x |x >0，或x ＝－1}D.{x |x ≤－1，或x ≥1}解析由|cos α|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ≤1. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ＝|x |2＋12|x |≥1. ∴|x |2＋12|x |＝1，当且仅当|x |＝1时成立，即x ＝±1. 答案 A4.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |＜|b －c |，则( ) A.ad ＝bc B.ad <bcC.ad >bcD.ad 与bc 大小不定解析 ∴a ＋d ＝b ＋c ， ∴a 2＋2ad ＋d 2＝b 2＋2bc ＋c 2，a 2＋d 2－b 2－c 2＝2bc －2ad ，∵|a －d |<|b －c |，∴a 2－2ad ＋d 2bc . 答案 C5.已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.18解析先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x ).∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.答案 B 二、填空题6.已知－2≤a ≤3，－3<b <4，则a －|b |的取值范围为_____________________. 解析 ∵－3<b <4，∴0≤|b |<4，－4<－|b |≤0，又－2≤a ≤3，∴－6<a －|b |≤3. 答案 (－6，3]7.x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x |＋|x －1|是数轴上的点x 到原点和点1的距离之和，所以|x |＋|x －1|≥1，当且仅当x ∈[0，1]时取“＝”.同理|y |＋|y －1|≥1，当且仅当y ∈[0，1]时取“＝”. ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2. 而|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2， ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，∴(x ＋y )∈[0，2]. 答案 [0，2] 三、解答题8.已知|x ＋1|<ε4，|y －2|<ε4，|z ＋3|<ε4，求证：|x ＋2y ＋z |<ε.证明 |x ＋2y ＋z |＝|x ＋1＋2(y －2)＋z ＋3| ≤|x ＋1|＋|2(y －2)|＋|z ＋3|＝|x ＋1|＋2|y －2|＋|z ＋3|<ε4＋ε2＋ε4＝ε.∴|x ＋2y ＋z |<ε.9.若a ，b ∈R ，且|a |＋|b |<1，证明方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1. 证明法一设方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，有a ＝－(x 1＋x 2)，b ＝x 1x 2，代入|a |＋|b |<1得|x 1＋x 2|＋|x 1x 2|<1，① 若用|x 1|－|x 2|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 1|－|x 2|＋|x 1|·|x 2|<1，即(|x 1|－1)(|x 2|＋1)<0.∵|x 2|＋1>0，得|x 1|－1<0，∴|x 1|<1.若用|x 2|－|x 1|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 2|－|x 1|＋|x 1|·|x 2|<1.同理，由(|x 2|－1)(|x 1|＋1)<0，得|x 2|<1.因此，方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1.法二假设方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x 1|≥1，则根据一元二次方程根与系数的关系，有|a |＝|－(x 1＋x 2)|＝|x 1＋x 2|≥|x 1|－|x 2|≥1－|x 2|， |b |＝|x 1x 2|＝|x 1|·|x 2|≥|x 2|.将以上两个不等式相加，得|a |＋|b |≥1.这与已知|a |＋|b |<1矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值均小于1. 10.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且当|x |≤1时，|f (x )|≤1，求证： (1)|c |≤1； (2)|b |≤1.证明 (1)由|f (0)|≤1，得|c |≤1. (2)由|f (1)|≤1，得|a ＋b ＋c |≤1，由|f (－1)|≤1，得|a －b ＋c |≤1， ∴|b |＝|（a ＋b ＋c ）＋（－a ＋b －c ）|2≤12(|a ＋b ＋c |＋|a －b ＋c |)≤1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.预习自测1.设x，a为实数，|x－a|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x≥0时，|x|＝x；当x<0时，|x|＝－x.2.|x|>a (a>0)⇔x>a或x<－a.3.|x|<a (a>0)⇔－a<x<a.4.a<0时，|x|≤a的解集为∅；|x|≥a的解集为R.5.|f(x)|<a (a>0)⇔－a<f(x)<a.6.|f(x)|>a (a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.7.|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).8.|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).9.|f(x)|<|g(x)|⇔f2(x)<g2(x).10.|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x).自主探究1.如何解形如|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c的不等式？提示(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.(2)当c<0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.如何解|ax＋b|>|cx＋d|，|ax＋b|<|cx＋d|型的不等式？提示两边平方后转化成不含绝对值的不等式，解不含绝对值的不等式即可.3.你能归纳出解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的一般步骤吗？提示(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间.(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集.(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.典例剖析知识点1 解|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式【例1】解不等式：(1)|x －a |≤b (b >0)；(2)|x －a |≥b (b >0). 解 (1)|x －a |≤b (b >0)⇔－b ≤x －a ≤b ⇔a －b ≤x ≤b ＋a .所以原不等式的解集为{x |a －b ≤x ≤a ＋b }. (2)|x －a |≥b ⇔x －a ≥b 或x －a ≤－b ⇔x ≥a ＋b 或x ≤a －b .所以原不等式的解集为{x |x ≥a ＋b 或x ≤a －b }.1.解不等式：(1)2|x |＋1>7；(2)|1－2x |<5. 解 (1)2|x |＋1>7⇔2|x |>6 ⇔|x |>3⇔x >3或x <－3.∴不等式的解集为{x |x >3或x <－3}. (2)|1－2x |<5⇔|2x －1|<5⇔－5<2x －1<5 ⇔－4<2x <6⇔－2<x <3. ∴不等式的解集为{x |－2<x <3}.知识点2 解|f (x )|<|g (x )|型不等式【例2】解不等式|x －a |<|x －b | (a ≠b ).解由|x －a |<|x －b |两边平方得：(x －a )2<(x －b )2. 整理得：2(a －b )x >a 2－b 2. 因a ≠b ，当a >b 时，x >a ＋b2；当a b 时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12（a ＋b ）；当a 0，|x 2－2x ＋3|<|3x －1|⇔x 2－2x ＋3<|3x －1| ⇔3x －1>x 2－2x ＋3或3x －1<－x 2＋2x －3⇔x 2－5x ＋4<0或x 2＋x ＋2<0.由x 2－5x ＋4<0，得：1<x <4，由x 2＋x ＋2<0，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74<0，该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1，4).知识点3 解|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式【例3】解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解 ①x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知：原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25，或x >2.【反思感悟】对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点).令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集.3.解不等式|x ＋1|－|2x －3|＋2>0.解令x ＋1＝0，∴x ＝－1，令2x －3＝0，∴x ＝32，(1)当x ≤－1时，原不等式化为－(x ＋1)>－(2x －3)－2， ∴x >2与条件x ≤－1矛盾，无解； (2)当－1<x ≤32时，原不等式化为x ＋1>－(2x －3)－2，∴x >0，故0<x ≤32；(3)当x >32时，原不等式化为x ＋1>2x －3－2，∴x <6，故32<x <6.综上，原不等式的解集为{x |0<x <6}.课堂小结解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有3种：(1)根据实数的绝对值的意义：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）.(2)根据不等式的性质： |x |<a ⇔－a <x <a (a >0).(3)根据|a |2＝a 2(a ∈R )，不等式两边同时平方，当然应注意不等式两边平方的前提.随堂演练1.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4)D.(1，5)解析利用零点分区间法解绝对值不等式. ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4.③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再判断充分条件、必要条件. |x －2|＜1⇔1＜x ＜3.由于{x |1＜x ＜2}是{x |1＜x ＜3}的真子集，所以“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件. 答案 A3.若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解. ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，故a ＝－3.答案－3一、选择题1.如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，或x >13解析解不等式1x <2得x <0或x >12.解不等式|x |>13得x >13或x <－13.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12，或x <－13.答案 B2.不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |x <0且x ≠－1} C.{x |－1<x <1}D.{x |x <1且x ≠－1}解析不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，（1＋x ）（1－x ）>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，（1＋x ）（1＋x ）>0， ∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1. 答案 D3.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件. 答案 A4.若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a 等于( ) A.8 B.2 C.－4D.－8解析由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4. 当a >0时，－8a <x <4a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－8a ＝－14a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，a ＝2矛盾，故a 不可能大于0.当a ＝0，则x ∈R 不符合题意. 当a <0时，4a <x <－8a.∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，a ＝－4.故a ＝－4. 答案 C5.不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4) C.(－4，0)D.(－4，－2)∪(0，2)解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1<x ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2. 答案 D6.若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，5)B.[0，5)C.(－∞，1)D.[0，1]解析由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5， ∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5. 答案 A 二、填空题7.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.解析思路一：利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.方法一：要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.方法二：|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}8.已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________.解析 ∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0；当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14；当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14，无解. 综上可知0≤a ≤14.答案 0≤a ≤149.不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.解析|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0 ⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 三、解答题10.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解去绝对值号，化成不等式组求解. 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.(1)证明由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－（x －a ）＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.§3 平均值不等式(一)学习目标1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用(两个正数的)平均值不等式解决某些实际问题.预习自测1.定理1(重要不等式)：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b a ，b 的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x ≥0，y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值(2)若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.自主探究1.你会证明不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)吗？提示 (1)∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . (2)∵a ＋b2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝（a －b ）22≥0(a >0，b >0)，∴a ＋b2≥ab .2.探究函数y ＝x ＋1x的单调性及函数图像的大体形状.提示定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x ∈(0，＋∞)时，设x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2，∴当x 1，x 2∈(0，1)时，y 1－y 2>0，即y 1>y 2；当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，y 1－y 2<0，即y 1<y 2， ∴y 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.又y 是奇函数，∴y 在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数.图像如图：典例剖析知识点1 不等式证明【例1】求证：4a －3＋a ≥7 (其中a >3). 证明4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3，由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3 ≥24a －3（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号. 【反思感悟】在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 又a ，b ，c ∈R *，∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b ). 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(a ＋c ). 三式相加，得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ). 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.知识点2 最值问题【例2】设x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值.解法一 2x ＋y ＝13·3(2x ＋y )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为83.法二设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3nm ＋n则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥83当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值83.【反思感悟】利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值. 解由x ＋2y ＋xy ＝30，得y ＝30－x2＋x (0<x <30)，xy ＝30x －x 22＋x ＝－（2＋x ）2＋34（2＋x ）－642＋x＝34－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋2）＋64x ＋2，注意到(x ＋2)＋64x ＋2≥2 （x ＋2）·64x ＋2＝16，可得xy ≤18，当且仅当x ＋2＝64x ＋2，即x ＝6时等号成立.代入x ＋2y ＋xy ＝30中可得y ＝3.故xy 的最大值为18.知识点3 基本不等式的实际应用【例3】甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b2(元/片)；乙公司两次购芯片的平均价格为 20 00010 000a ＋10 000b ＝21a ＋1b(元/片).∵a >0，b >0且a ≠b ，∴a ＋b2>ab ，1a ＋1b >21ab＝2ab ，∴21a ＋1b<ab ，∴a ＋b2>21a ＋1b，∴乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ，又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）2≥2（－3）×（－2）是不成立的. 2.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .综合上述两条，a ＝b 是a ＋b2＝ab 的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b≥2 (a 、b 同号)； (2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0).随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2＞ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C3.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为________.解析因为3a ＋b＝9，所以a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，所以f (ab )＝3ab≤3.答案 3一、选择题1.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号，故选D.答案 D2.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号.答案 C3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3B.3C.4D.－4解析 x >1，x －1>0，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B4.若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A. 3－1 B. 3＋1 C.2 3＋2D.2 3－2解析 a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－2 3. 而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2 （a ＋b ）（a ＋c ）＝2 4－2 3＝2 3－2.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立. 答案 D5.若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a ≥1 C.a ≥2D.a ≥3解析 x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y ，对任意实数x 、y 都成立，则a ≥－y 2－2y －x 2－2x ＝2－(x ＋1)2－(y ＋1)2恒成立，而2－(x ＋1)2－(y ＋1)2≤2，∴a ≥2. 答案 C6.在下列函数中，最小值是2的是( )A.y ＝x 5＋5x(x ∈R 且x ≠0)B.y ＝lg x ＋1lg x (1<x <10)C.y ＝3x＋3－x(x ∈R ) D.y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 解析 A 中的函数式，x 5与5x 都不一定是正数，故可排除A ；B 中的函数式，lg x 与1lg x都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x ＝1lg x，即x ＝10与1<x <10矛盾，。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版第一册学案：2.1第1课时不等关系与不等式含解析

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式[目标］1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2。

理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点］会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系［填一填］1．不等式的定义所含的两个要点:（1）不等符号<，≤,>，≥或≠.（2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换［答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示:通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中，我们经常看到下列标志：（1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？（2）你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里;②限制质量：装载总质量G不得超过10 t;③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间范围：t∈｛t|7。

5≤t≤10}．(2）①v≥50；②G≤10；③h≤3.5;④a≤3；⑤7。

5≤t≤10。

知识点二比较两实数a，b大小的依据[填一填］[答一答］3．用作差法比较两个实数的大小时，对差式应如何变形？提示：一般地，对差式分解因式或配方．4．比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．提示：因为（x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝[x2－3x＋错误!2]＋3－错误!2＝错误!2＋错误!≥错误!>0，所以x2＋3>3x.类型一用不等式(组）表示不等关系[例1］已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用甲、x y并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B。

2021-2022学年新教材人教A版必修第一册 2.1.1 不等关系与不等式学案

2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式教材要点要点一不等式与不等关系1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号________________或________．(2)所表示的关系是________________．(1)不等式a≥b含义是指“a＞b, 或者a＝b\〞，等价于“a不小于b\〞，即假设a＞b 或a＝b中有一个正确，那么a≥b正确．(2)不等式a≤b含义是指“a＜b，或者a＝b\〞，等价于“a不大于b\〞，即假设a＜b 或a＝b中有一个正确，那么a≤b正确．要点二比拟两个实数a，b大小的依据1．文字表达如果a－b是________，那么a＞b；如果a－b________，那么a＝b；如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．2．符号表示a－b＞0⇔a________b；a－b＝0⇔a________b；a－b＜0⇔a________b.状元随笔比拟两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比拟两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．要点三重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2________2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．根底自测1．思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．()(2)假设ab ＞1，那么a ＞b .()(3)a 与b 的差是非负实数，可表示为a －b ＞0.() (4)因为∀a ，b ∈R ，(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥2ab .()2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h 应满足的关系式为()A ．v ＜60B ．v ＞60C ．v ≤60D ．v ≥363．设M ＝x 2，N ＝－x －1，那么M 与N 的大小关系是() A ．M ＞N B ．M ＝N C ．M ＜N D ．与x 有关4．x ＜1，那么x 2＋2与3x 的大小关系是________．题型1 用不等式(组)表示不等关系例1(1)某车工方案在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，那么以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 的两种钢管．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？方法归纳用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．跟踪训练1(1) 中国“神舟七号\〞宇宙飞船的飞行速度v 不小于第一宇宙速度7.9 km/s ，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．(2)56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式表示x ，y 所满足的不等关系．题型2 实数(式)的比拟大小例2a ＞0，试比拟a 与1a 的大小．方法归纳用作差法比拟两个实数大小的四步曲跟踪训练2(1)a ∈R ，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，那么p 与q 的大小关系为() A ．p ＞q B ．p ≥q C ．p ＜q D ．p ≤q (2)b ＞a ＞0，m ＞0，比拟b+ma+m 与ba 的大小．题型3 比拟大小在实际问题中的应用例32021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受折优惠\〞，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．〞这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比拟两车队的收费哪家更优惠．方法归纳现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比拟大小，进而解决实际问题．跟踪训练3甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购置两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购置的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购置方式更合算？课堂十分钟1．(多项选择)以下说法正确的选项是()A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000\〞B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，那么小明比小华矮表示为“x＞y\〞C．某变量x至少为a可表示为“x≥a〞D．某变量y不超过a可表示为“y≤a〞2．假设m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，那么m与n的大小关系是()A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是()A. 3或4B. 4或5C. 3或5D. 4或64．假设x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，那么x与y的大小关系是____________．5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大局部人都喝过糖水．以下关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式要点一1．(1)＜、≤、＞、≥≠(2)不等关系要点二1．正数等于0负数2．>＝<要点三≥[根底自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．答案：C3．答案：A4．答案：x2＋2＞3x题型探究·课堂解透例1解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，那么3×24＋12x ＞408.故不等关系表示为72＋12x ＞408.(2)设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000mm.②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：{500x +600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0，x ∈N +，y ∈N +.答案：(1)72＋12x ＞408(2)见解析跟踪训练1解析：(1)“不小于〞即大于或等于，故用不等式表示为：≤v ＜11.2.(2)x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，那么x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位，含有维生素B(800x ＋400y )单位，那么有{600x +700y ≥56 000，800x +400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即{6x +7y ≥560，4x +2y ≥315，x ≥0，y ≥0. 答案：≤v ＜(2)见解析例2解析：因为a －1a ＝a 2−1a＝(a−1)(a+1)a ，a ＞0所以当a ＞1时，(a−1)(a+1)a＞0，有a ＞1a；当a ＝1时，(a−1)(a+1)a＝0，有a ＝1a ；当a ＜a ＜1时，(a−1)(a+1)a＜0，有a ＜1a .综上，当a ＞1时，a ＞1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0＜a ＜1时，a ＜1a.跟踪训练2解析：(1)由题意，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，那么p －q ＝(a －1)(a －3)－(a －2)2＝a 2－4a ＋3－(a 2－4a ＋4)＝－1<0，所以p －q <0，即p <q .应选C.(2)作差：b+ma+m −ba ＝ab+am−ab−bm a (a+m )＝m (a−b )a (a+m ).∵b >a >0，m >0，∴a －b <0，a ＋m >0，∴m (a−b )a (a+m )＜0，∴b+m a+m ＜ba.答案：(1)C(2)见解析例3解析：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x (1−n5)，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2，所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．跟踪训练3解析：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ＞0，b ＞0，a ≠b ，)那么甲两次购置大米的平均价格(元/千克)是：100(a+b )200＝a+b2.乙两次购置大米的平均价格(元/千克)是：200100a+100b＝21a +1b＝2aba+b，因为a+b 2−2aba+b ＝(a+b )2−4ab 2(a+b )＝(a−b )22(a+b )＞0，所以a+b 2＞2ab a+b . 所以乙饭馆的老板购置大米的方式更合算．[课堂十分钟]1．答案：CD 2．答案：D 3．答案：B 4．答案：x <y5．解析：(1)设糖水b 克，含糖a 克，易知糖水浓度为a b，参加m 克糖后的糖水浓度为a+mb+m，那么提炼出的不等式为：假设b ＞a ＞0，m ＞0，那么ab ＜a+mb+m .(2)设淡糖水b 1，含糖a 1克，浓糖水b 2克，含糖a 2克，易知淡糖水浓度为a 1b 1，浓糖水浓度为a2b 2，那么混合后的糖水浓度为a 1+a 2b 1+b 2，那么提炼出的不等式为：假设b 1＞a 1＞0，b 2＞a 2＞0，且a1b 1＜a2b 2，那么a1b 1＜a 1+a 2b 1+b 2＜a2b 2.。

2020-2021学年新教材人教B版必修第一册不等关系与不等式学案

2．2 不等式2．2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式[课程目标] 1.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；2.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差法比较两个实数的大小；3.能够运用实数的符号法则及作差比较法解决一些生活中的问题，通过具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题．知识点一不等关系与不等式[填一填](1)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．(2)含有不等号的式子，叫做不等式．(3)a≥b即为a>b或a＝b；a≤b即为a<b或a＝b.[答一答]1．说明a≤b或a≥b的含义．并判断“3≥3”成立吗？为什么？提示：不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a<b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a<b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a>b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．从集合的观点看，若a，b是两个实数，则有{(a，b)|a≥b}＝{(a，b)|a>b}∪{(a，b)|a＝b}，同理，{(a，b)|a≤b}＝{(a，b)|a<b}∪{(a，b)|a＝b}．“3≥3”成立，因为a≥b即为a>b或a＝b，也可以说成a不小于b，只要a>b或a＝b 之中有一个正确，则a≥b就正确．知识点二实数的大小比较[填一填](1)数轴上的两点A、B的位置关系与其对应实数a、b的大小比较：①数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)(2)推出关系：①“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p⇒q，读作p推出q.②如果p⇒q，且q⇒p都是正确的命题，则记为p⇔q.(3)用推出符号表示实数的差与它们大小之间的关系：①a－b>0⇔a>b；②a－b<0⇔a<b；③a－b＝0⇔a＝b.[答一答]2．实数比较大小的依据是什么？提示：在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示(如图所示)，可以看出a与b之间具有以下性质：如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a ＝b.反之也成立，就是a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，是证明不等式和解不等式的主要依据．类型一用不等式表示不等关系[例1]用不等号表示下列关系：(1)a与b的和是非负数；(2)实数x不小于3；(3)实数m小于5，但不小于－2；(4)x与y的差的绝对值大于2，且小于或等于6.[解](1)a＋b≥0；(2)x≥3；(3)－2≤m<5；(4)2<|x－y|≤6.用不等式表示不等关系，实际上就是列不等式，列不等式与列方程类似，但要注意“大于”“不小于”“不大于”等关键词与不等号的对应关系.[变式训练1]如下图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：其含义分别为：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50 km/h；②限制质量：装载总质量m不得超过10 t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m.你能用数学式子表示上述关系吗？解：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3.类型二作差法比较大小[例2]已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[解]x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)[(x －12)2＋34]．∵x<1，∴x －1<0. 又∵(x －12)2＋34>0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]<0，∴x 3－1<2x 2－2x.作差法比较两个数的大小可归纳为作差→变形→判断符号→下结论.其中变形是关键，一般变形越彻底越有利于下一步的判断，常用知识有因式分解，配方，通分等，另外还要注意分类讨论.[变式训练2] 比较下列各题中两个代数式值的大小： (1)x 2＋3与3x ；(2)a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2，其中a ＞0，b>0，a ≠b.解：(1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝(x －32)2＋34≥34>0，故x 2＋3>3x.(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b)－b 2(a －b)＝(a －b)(a 2－b 2)＝(a －b)2(a ＋b)． ∵a>0，b>0，a ≠b ，∴(a －b)2(a ＋b)>0，故a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.类型三不等关系的实际应用[例3] 京沪铁路上，国产“和谐号”CRH 380A 高速动车组跑出了486.1 km /h 的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km /h ，还不超过波音飞机的最高时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度的关系．[解] 设高速动车组的速度为v 1，波音飞机的最高时速为v 2，普通客车的速度为v 3，则v 1，v 2的关系：2v 1＋100≤v 2；v 1，v 3的关系：v 1>3v 3.用不等式表示不等关系的关键在于找出题中体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”等.用代数式表示相应的量，并用与关键词对应的不等号连接.要注意“≤”与“≥”中的“＝”能否取到，避免错用.[变式训练3]《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.1 m～1.4 m的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4 m 时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1 m的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160 cm，杆状物品不超过200 cm，重量不得超过20 kg……”设身高为h(m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P(cm)，请用不等式表示下表中的不等关系.解析：身高在1.1 m～1.4 m之间可表示为1.1≤h≤1.4，身高超过1.4 m可表示为h>1.4，身高不足1.1 m可表示为0<h<1.1，物体长、宽、高之和不超过160 cm可表示为P≤160.1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(D) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(A)A．M>－5 B．M<－5C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2，∵x ≠－2，y ≠1，∴(x ＋2)2>0，(y －1)2>0，因此(x ＋2)2＋(y －1)2>0.故M>－5.3．已知a ＋b>0，b<0，则a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( C ) A ．a>b>－b>－a B ．a>－b>－a>b C ．a>－b>b>－aD ．a>b>－a>－b4．b 克糖水中有a 克糖(b>a>0)，若再添上m 克糖(m>0)，则糖水就更甜了，试根据这个事实提炼一个不等式a ＋m b ＋m >ab(b>a>0，m>0)．解析：由题意ab 的比值越大，糖水越甜，若再添上m 克糖(m>0)，则糖水就更甜了，说明a ＋mb ＋m >ab.。

高中数学第三章不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课

3.1不等关系与不等式（1）
一、教学目标：
1．知识与技能：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．
难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
其中,0,,R a b a b >∈且. (2)61x +4
2
()x x -+
6421
x x x =--+422(1)(1)x x x =---
24(1)(1)x x =--222(1)(1)x x =-+
当1x =±时, 61x +4
2
()x x =+;
当1x ≠±,61x +4
2
()x x >+.
(3) a b
a b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭。

人教A版高中数学必修五§不等关系与不等式教案新(1)

高中数学§3. 1不等关系与不等式（2）教案新人教A版必修5
备课人
授课时间
课题
§3. 1不等关系与不等式（2）
课标要求
掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
教
学
目
标
知识目标
不等式的基本性质
技能目标
学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法
情感态度价值观
通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
2），
∴ ．
实际上，我们还有，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，∴a＞c．
1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）
证明：
1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．①
∵c＞d ∴b＋c＞b＋d②
由①、②得a＋c＞b＋d．
2）
3）反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴ ．
学生分析回答
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
[范例讲解]：
例1、已知求证。
[补充例题]
(答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜
学生独立完成
教
学
小
结
课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：2.1 第1课时不等关系与不等式

2.1 第1课时不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2.学会用作差法比较两实数的大小．知识链接知识点一不等关系与不等式的概念1．用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接或，以表示它们之间的关系，含有这些的式子叫做不等式．2．符号“≥”和“≤”的含义：如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为；a≤b即为.3．对于任意实数a，b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．知识点二p推出q的符号表示1．“如果p，则q”为正确的命题，则简记为p⇒q，读作“p推出q”．2．如果p⇒q，且q⇒p都是正确的命题，则记为p⇔q，读作“p等价于q”或“q等价于p”．知识点三作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？反思感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范．跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．(2)配制A ，B 两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A 种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B 种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A ，B 两种药至少各配一剂，设A ，B 两种药分别配x ，y 剂(x ，y ∈N )，请写出x ，y 所满足的不等关系．题型二作差法的应用命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．反思感悟比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．命题角度2 作差法证明不等式例3 证明函数f (x )＝x 3(x ∈R )为增函数．反思感悟有时证明a ＞b 不易，可以转为证明其等价命题a －b ＞0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决．跟踪训练3 若a ＞b ，ab ＞0，求证：1a ＜1b．课堂小结1．比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键. 达标检测1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C ．⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >452．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b 3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小．4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满高中数学人教A版（新教材）必修第一册足的条件是什么？——★参*考*答*案★——知识链接知识点一1．两个数代数式不等不等号 2．a >b 或a ＝b a <b 或a ＝b例1 解提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(x ≥2.5)．跟踪训练1 (1)『『答案』』4.5t <28 000『『解析』』由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. (2)解根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，x ≥1，x ∈N ，y ≥1，y ∈N ．例2解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )．当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2．综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2．跟踪训练2解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1) ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34， ∵⎝⎛⎭⎫x －12＋34＞0，x －1＜0， ∴(x －1) ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34＜0， ∴x 3－1＜2x 2－2x ．例3 证明任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2) ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋12x 22＋34x 22．因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，又⎝⎛⎭⎫x 1＋12x 22＋34x 22＞0，所以(x 1－x 2) ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋12x 22＋34x 22＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )＝x 3(x ∈R )为增函数．跟踪训练3证明 1a －1b ＝b －aab ．∵a ＞b ，∴b －a ＜0．又ab ＞0，∴b －aab ＜0，即1a －1b ＜0，∴1a ＜1b．达标检测 1．『『答案』』D『『解析』』“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45． 2．『『答案』』C『『解析』』由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a 0， ∴a >－b >b >－a ．3．解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8) ＝－7<0，∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．解设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800，x ，y ∈N ．。

高中数学 3.1不等关系与不等式(第1课时)目标导学新人教A版必修5

1．了解生活中存在的不等关系．2．会用不等式表示不等关系．不等关系现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，不等关系常用______表示．文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤【做一做1－1】实数x大于－1，用不等式表示为( )A．x＞－1 B．x≥－1 C．x＜－1 D．x≤－1【做一做1－2】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，则经过该隧道的物体的高度h米满足的关系为( )A．0＜h＜4.5 B．h＞4.5 C．0＜h≤4.5 D．h≥4.5答案：不等式【做一做1－1】 A【做一做1－2】 C“不等关系”与“不等式”的区别剖析：不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，其中前三者是严格的不等关系，后两者是非严格的不等关系．而不等式则是表现两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，前三者是严格不等式，后两者是非严格不等式．不难发现，不等关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系无从体现．题型一用不等式表示不等关系【例题1】一房地产公司有50套公寓出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去；欲增加月租金，但每增加50元，就会有一套公寓租不出去．已知租出去的公寓每月需花100元的维修费，若将房租定为x元，怎样用不等式表示所获得的月收入不低于50 000元？分析：收入＝销售量×单位商品的售价，不等关系是月收入不低于．．．50 000元．反思：用不等式表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．(不等式中各数据的单位通常省略不写)题型二用不等式组表示不等关系【例题2】食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg) 800 400设用甲、乙两种食物各x kg ，y kg 配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x ，y 所满足的不等关系．分析：根据维生素A 和B 分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．反思：用不等式组表示不等关系的步骤：①审清题意，明确条件中的不等关系的个数；②适当设未知数表示变量；③用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．答案：【例题1】解：若房租定为x (x ≥1 000)元，则租出公寓的套数为⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050，月收入为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050x －100元．故月收入不低于50 000元可表示为不等式⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050x －100≥50 000. 【例题2】解：x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物总共含有维生素 A 600x ＋700y (单位)，含有维生素 B 800x ＋400y (单位)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.1 2004年，震惊全国的某劣质奶粉事件中，劣质奶粉的蛋白质含量远远低于国家质量标准(蛋白质含量应为10%～20%)，若劣质奶粉的蛋白质的含量为p ，则用不等式表示为__________．2 一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为__________．3 某工人有一根长2.5 m 的条形钢铁，要截成60 cm 和42 cm 两种规格的零件毛坯，则满足上述不等关系的不等式为__________．4 某商场如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？5工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．工厂现有A 种矿石300 t ，B 种矿石200 t ，煤360 t ，设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，写出x ，y 应满足的不等关系式．答案：1．0≤p ＜10% 2.8(x ＋19)＞2 2003.6042250,,0,x y x x y y +⎧⎪∈⎨⎪∈⎩N N ≤≥0,≥4．解：若提价后商品的售价为x 元，则每件的利润为x－8(元)，销售量减少10101x-⨯(件)，则销售量为100－10(x－10)(件)，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.5．解：由题意知应有如下的不等关系：①消耗A种矿石总量不超过300 t，②消耗B 种矿石总量不超过200 t；③煤的消耗量不超过360 t；④甲、乙两种产品数量均为非负数．所以列出不等式组为104300, 54200, 49360,0,0.x yx yx yx y+⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥。

河南省睢县回族高级中学高中数学 22不等式与不等关系(第2课时)学案新人教A版必修5

§3.1不等式与不等关系（第2课时）【学习目标】1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【学习重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【学习难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。

一．知识归纳1. 性质：(1):;a b >⇔对称性(2):,;a b b c >>⇒传递性(3);a b a c b c >⇒++(4),;a b cac bc >⇒>(5),;a b c ac bc >⇒<(6),;a b c d a c b d >>⇒++(7)0,0;a b c d ac bd >>>>⇒(8)0,,.n n a b n N a b >>∈⇒ 2.请试着对上式的（6），（7）,(8)进行证明。

二．典例分析.例1、已知0,0,a b c >><求证：c c a b >例2、已知,22ππαβ-≤<≤求,22αβαβ+-的取值范围例3、比较下列两个代数式值或者实数的大小。

（1）())7(5++x x 与()26+x （2三．课堂检测1.若a,b 是任意实数，且a>b,则（）A ．22a b >B ．1b a <C ．()lg 0a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11 C ．2a b > D ．22a b > 3.若0,0,0,x y a ay +><>则x y -的值为（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．符号不能确定4.设2,2a x x b x =-=-，则a 与b 的大小关系是（）A a>bB a<bC a=bD 与x 的值有关5.若2<a<3, -4<b<-3,则a b 的取值范围是，2b a的取值范围是 .6.当0,0a b c d >><<时，给出以下三个结论：①;ad bc >②22;a c b d +>+③()().a b c b d c ->-其中正确命题的序号是。

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：§2.1 第1课时不等关系与不等式学案

§2.1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？『答案』作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________．『答案』T≤40『解析』“限重40吨”是不超过40吨的意思．2．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________________．『答案』 4.5t<28000『解析』由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28000.3．若x <0，则x －2与2x －2的大小关系是___________________________________________．『答案』 x －2>2x －2『解析』因为x －2－(2x －2)＝－x >0，所以x －2>2x －2.4．a 2＋1与a 的大小关系为________________．『答案』 a 2＋1>a『解析』因为a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，所以a 2＋1>a .一、用不等式(组)表示不等关系例1 (1)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程就超过2200km ，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．『答案』 8(x ＋19)>22008xx －12>9 『解析』由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2200km ，则8(x ＋19)>2200.若每天行驶的路程比原来少12km ，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8x x －12>9.(2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．解设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.(学生)反思感悟 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换跟踪训练1 用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，要求菜园的面积不小于96m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式(组)表示其中的不等关系．解由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎫15－x2. 因此菜园面积S ＝x ·⎝⎛⎭⎫15－x 2，依题意有S ≥96，即x ⎝⎛⎭⎫15－x2≥96，故该题中的不等关系可用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥96.二、作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )．当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. (教师) 延伸探究1．若a >0，b >0，则比较a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小．解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3 ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)．∵a >0，b >0，∴(a －b )2≥0，a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解若a >0，b >0，n >r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r . (学生)反思感悟作差法比较两个实数大小的基本步骤跟踪训练2 比较2x 2＋5x ＋3与x 2＋4x ＋2的大小．解 (2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)＝x 2＋x ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34. ∵⎝⎛⎭⎫x ＋122≥0， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34>0. ∴(2x 2＋5x ＋3)－(x 2＋4x ＋2)>0，∴2x 2＋5x ＋3>x 2＋4x ＋2.重要不等式及其简单应用典例已知a >0，求证：a ＋1a ≥2.证明方法一利用a 2＋b 2≥2ab .∵a >0，∴a ＋1a ＝(a )2＋⎝⎛⎭⎫1a 2≥2a ·1a ＝2.当且仅当a ＝1时，等号成立．方法二 ∵a ＋1a －2＝(a )2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2≥0， ∴a ＋1a≥2.『素养提升』比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过逻辑推理得到差的符号，从而判定两个数的大小关系，也可以由a ＋1a 构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为( ) A ．v ≤120km/h 且d ≥10m B ．v ≤120km/h 或d ≥10m C ．v ≤120km/h D ．d ≥10m 『答案』 A『解析』 v 的最大值为120km /h ，即v ≤120 km/h ，车间距d 不得小于10m ，即d ≥10m. 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y <200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200『答案』 D『解析』依题意，得50x＋40y≤2000，即5x＋4y≤200.3．一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．『答案』10y＋x>70『解析』∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．『答案』m≥n『解析』∵m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.∴m≥n.5．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)『答案』>『解析』因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.1．知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系．(2)作差法比较大小．(3)重要不等式．2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．。

河南省睢县回族高级中学高中数学 21不等式与不等关系(第1课时)学案 新人教A版必修5

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