2018届高考数学二轮复习寒假作业十六直线与圆锥曲线的位置关系注意命题点的区分度文20180117256

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2018大二轮高考总复习理数文档：解答题7 第1课时直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问题

1 依题意知，a2＝b2＋c2＝4，c＝2a＝1，
∴b2＝a2－c2＝3， x2 y2
所以，椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1．
(2)设过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的方程为
y＝k(x－1)，
x2 y2 将其代入 4 ＋ 3 ＝1 中得，
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
其中，Δ＝144(k2＋1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
3k2k－1
当
3
k＝
2时上式不成立，因此
t＝
k3－2
．
k3－2k2＋k－2 k－2k2＋1 t>3 等价于 k3－2 ＝ k3－2 <0，
k－2 即k3－2<0．
3
因此得Error!或Error!解得
2<k<2．
故
k
3
的取值范围是(
2，2)．
解决范围问题的常用方法 (1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
第二单元高考压轴大题冲关解答题 07：解析几何
年份 2017
2016 2015 2014 2013
卷别
具体考查内容及命题位置
Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷
甲卷乙卷丙卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅰ卷
Ⅱ卷
轨迹方程的求法，平面向量的坐标运算·T20 椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系·T20 直线与抛物线的位置关系，直线方程，圆的方程·T20 椭圆性质，直线与椭圆的综合应用·T21 轨迹方程的求解、直线和椭圆的综合应用·T20 直线与抛物线的综合应用·T20 直线与圆锥曲线的综合问题·T20 直线与圆锥曲线的综合问题·T20 椭圆的标准方程、离心率及直线与椭圆的位置关系·T20 椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系·T20

名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题5第15讲直线与圆锥曲线的位置关系问题精品

(1)当 a≠0 时，若 Δ>0，则直线 l 与曲线 E 相交；若 Δ＝0，则直线 l 与曲线 E 相切；若 Δ<0，则直线 l 与曲线 E 相离．
(2)当 a＝0 时，即得到一个一次方程，l 与 E 相交，且只有一个交点，此时，若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线平行；若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴平行．
关于 y 的形式，其弦长公式为 |PQ| ＝
1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
3．已知弦 PQ 的中点，研究 PQ 的斜率和方程，即
中点弦问题 (1)PQ 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的一条弦，中点 M 的
坐标为(x0，y0)，则 PQ 的斜率为－ba22yx00.运用点差法求 PQ 的斜率，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，P、Q 都在椭圆上，所以xxaa221222＋＋bbyy212222＝＝11，，两式相减得x21－a2 x22＋y21－b2y22＝0，
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式．
【解析】(1)由已知 b＝4，且ac＝ 55，即ac22＝15， ∴a2－a2b2＝15，解得 a2＝20，∴椭圆方程为2x02＋1y62 ＝1；由 4x2＋5y2＝80 与 y＝x－4 联立，
消去 y 得 9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝490， ∴所求弦长|MN|＝ 1＋12|x2－x1|＝409 2；
以
上
两
式
相
减
得
（x1＋x2）（x1－x2） 2∴kMN＝yx11－－yx22＝－45·xy11＋＋xy22＝－45·－64＝65，
故直线 MN 的方程为 y＋2＝65(x－3)，即 6x－5y －28＝0.

高考数学解析几何直线和圆锥曲线的位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、解决问题的能力；重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。

难点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.知识要点梳理知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。

判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。

一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。

1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为Δ.(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。

（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。

2018年高考数学(理)二轮复习：规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系(含答案解析)

规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ和S △OAB的关系得S △ABQ 的最大值评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；(2)第(2)问中，求|OQ ||OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． (1)解由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．。

2018年全国3卷第16题(直线与圆锥曲线)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

2018年全国3卷第16题(直线与圆锥曲线)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例1.【2018年全国高考课标3第16题】已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解法一：点评：由题先设出直线方程，与抛物线方程联立，再借助条件90AMB =︒∠，化为向量语言转换为关于k 方程，进行求解。

解题以方程思想为指针，设而不求为桥梁，最终建立k 方程，完成求解。

解法二：同上，由90AMB =︒∠，则1MA MB k k ?-可得；2121211144011MA MBy y k k k k x x --??-?+=++ 2k \=.点评：将条件90AMB =︒∠，解读为1MA MBk k ?-，进行求解。

解法三：如图所示，点评：数形结合，将90∠的条件化为圆，运用圆的切线性质而简化运算。

AMB=︒二．方法总结,胸有成竹直线与圆锥曲线一直以来是我们高考关注的一个热点话题，主要涉及到圆锥曲线的方程和几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。

综合考查学生的数学思想、数学方法与数学能力。

1. 直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题求解的基本思路：由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。

这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想，运用圆锥曲线的定义与平面几何的知识，化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；另外采取“设而不求”法，“点差法”与弦长公式及韦达定理，减少变量，建立方程去解决； 2. 基本知识与基本方法（1）．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．（2）．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．（3）．弦长公式1212||||AB x x y y =-=-．（4）．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）三.精选试题，能力升级1．【2018河南省焦作市高三联考】已知抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且32MO MF ==（O 为坐标原点），则MOF ∆的面积为（）A.2B. 12C. 14D.【答案】A2.【2018年全国高考课标1第11题】已知双曲线 22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 若OMN ∆为直角三角形，则MN =A.B. 3C.D. 4 【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为3±(2,0)F ，从而得到030FON ∠=，所以直线MN 的倾斜角为060或0120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为060，可以得出直线MN 的方程为2)y x -，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得3(,22M N -B. 3．【2018湖南省长沙市高三联考】抛物线C ： 22(0)x py p =>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于点M 、N ，若OM N ∆的面积为12，则AF 的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A4．【2018山东省潍坊市二模】直线()2(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =交于A ， B 两点， F 为C 的焦点，若sin 2sin ABF BAF ∠=∠，则k 的值是（）A.3 B. 3C. 1D. 【答案】B【解析】分别过A ， B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ， N ，则AF AM =，BF BN =. 设直线()2(0)y k x k =+>与x 轴交于点P ，则()2,0P -.5．【2018衡水金卷】已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线l 分别交抛物线于点,A B ，过点,A B 分别作抛物线的切线12,l l ，两切线12,l l 交于点M ，若过点M 且与y 轴垂直的直线恰为圆221x y +=的一条切线，则p 的值为（） A.14 B. 12C. 2D. 4 【答案】C【解析】由题可知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F 0,,2p ⎛⎫⎪⎝⎭且过焦点F 的直线斜率存在，所以可设直线:2p l y kx =+，联立方程组222{ ,20,22py kx x kpx p x py =+∴--==设()11,A x y ，()22,,B x y 则21212,2.x x p x x kp =-+=又由22x py =得2,,2x xy y p p =∴='所以过A 点的切线方程为()22111111111:,2x x x x x l y y x x y y x x p p p p p-=-∴=+-=-. 同理可知过点B 的切线方程为2222:,2x x l y x p p =-联立方程组211122122222{ ,{ ,222x x x x y x x p px x p x x y y x p p p +=-=∴==-=-因此点12,,22x x p M +⎛⎫-⎪⎝⎭过点M 与y 轴垂直的直线为(0)2p y p =->，而圆221x y +=与y 轴负半轴交于点（0，-1），所以1, 2.2pp -=-∴=故选C. 点评：本题的思路比较自然，只要循序渐进，一步一步转化就可以了. 主要是计算有点复杂，在求出过点A 的切线方程2111:2x x l y x p p =-后，不必再重新求过点B 的切线方程，只要利用对称性同理求出2222:2x x l y x p p=-可以提高解题效率.6.【2017高考新课标I 】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】解法一：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-。

主题20 直线与圆锥曲线的位置关系-2018年高考数学二轮

2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第三篇主题20 直线与圆锥曲线的位置关系【主题考法】本主题考题形式解答题，与函数、导数、向量、三角、不等式等知识结合第一小题重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质，第二小题考查直线与椭圆、直线与抛物线的的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力及设而不求思想，综合性较强，第一小题为基础题。

第二小题为难题，分值12分. 【主题考前回扣】1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2＝2px(p＞0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b x≥0顶点(±a,0)，(0，±b) (0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0轴长轴长2a，短轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)e＝1准线x＝－p2渐近线2.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.3．解决范围、最值问题的常用解法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 4．定点问题的思路(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．5．求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值此值一般就是定值 →证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 6．解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论．【易错点提醒】1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误． 3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行．【主题考向】考向一椭圆的标准方程与几何性质【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义；2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出椭圆的标准方程.3.椭圆的离心率是椭圆的主要性质，是反映椭圆的扁平程度的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出a 和c 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c b a ,,的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；例1．【江西省临川一中等九校2018届联考】已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点2366,,,2233P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆交于,A B 两点， O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值.【分析】（1）根据点在曲线上，将点代入曲线可得到方程；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据弦长公式得到弦长AB ，又因为2222121212AOB m S AB d k m k∆=⋅=+-+｜｜，根据基本不等式可得到最值. 【解析】（1）设椭圆的方程为221mx ny +=将带入方程，可得1,12m n ==故椭圆的标准方程为（2）设()()1122,,,A x y B x y2212y kx mx y =++= ()222124220k ykmx m ⇒+++-=∆ ()()222216412220k m k m=-+-＞原点到直线l 的距离2111m d k=+()2222222212212121212AOBm S AB d k m m k m k k∆∴=⋅=+-=+-++｜｜由得又由基本不等式222222121222AOBm k m S k ∆++-≤⋅=+ 当且仅当22212k m +=时，不等式取“=”号考向二抛物线的标准方程与几何性质【解决法宝】1.涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为到抛物线的准线的距离； 2.抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的p 的值，最后代入写出抛物线的标准方程.3.抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，无渐近线，p 的几何意义是焦点到准线的距离.例2．【山东省济南市2018届一模】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1M 在抛物线C ： 2x ay =上，直线l ： ()0y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ， B 两点，且直线OA ， OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ， l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.【分析】（1）将点()2,1M 代入抛物线C ： 2x ay =，得4a =，联立直线y kx b =+与抛物线方程，消去y ，得2440x kx b --=，则124x x k +=， 124x x b =-，由1OA OB k k +=-，求出1k =-；（2）求出直线DM 的方程为()12b x y b-=+，联立直线DM 的方程和抛物线的方程，求出()22,N b b -，利用导数的几何意义，求出切线n 的斜率为b -，得到切线n 的方程2y bx b =--，联立直线DM 、n 的方程，求出Q 点的纵坐标221Q b y b =-，且32=1b S b -，采用导数的方法得出单调性，由单调性求出最小值。

高二数学寒假作业专题09 直线和圆锥曲线的位置关系(背)

专题9 直线和圆锥曲线的位置关系【背一背】一、直线和椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋b 与椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x2a2＋y2b2＝1有一组实数解，即0∆=，.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x2a2＋y2b2＝1有两组实数解，即0∆>，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x2a2＋y2b2＝1没有实数解，即0∆<. 直线和双曲线的位置关系一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m≠0)① 双曲线C ：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k 2)x2－2a2mkx －a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±b a时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．直线和抛物线位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程k2x2＋2(kb －p)x ＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行，此时直线与抛物线有一个公共点．直线与圆锥曲线相交问题的解法：利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系。

直线与圆锥曲线的位置关系-2018年高考文科数学高频考点总结与强化训练

直线与圆锥曲线的位置关系-2018年高考文科数学高频考点总结与强化训练考点1 直线与圆锥曲线的位置关系及弦长问题题组一直线与圆锥曲线的位置关系的应用调研1 直线=与椭圆=的位置关系为A．相交B．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A ．调研2 若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意得直线恒过定点P ,所以点P 要在双曲线的内部或双曲线上，就能保证对于任意的k ，直线与双曲线均有交点，所以,选B ．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解. 2．直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解. 题组二弦长问题调研 3 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且2AF FB =uu u r uu r,则||AF uu u r __________.【答案】6 【解析】易知抛物线的焦点为，准线为2x =-.如图，取AF 的中点为C ，分别过,,,A C F B 作准线的垂线，垂足分别为,,,M Q P N .由抛物线的定义可知，||||,||||,AM AF BN BF ==则||2||AM BN =. 设||BN a =，则||2AM a =，又||4PF =，所以||8CQ a =-，又||||2||PF AM CQ +=，即422(8)a a +=-，解得3a =.所以||236AF =⨯=u u u r.调研4 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)Q，右焦点为)F，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：()1(0)y k x k =->分别交x 轴，y 轴于C D ，两点，且与椭圆C 交于M N ，两点，若CN MD =，求k 的值，并求弦长MN ．【解析】（1）由椭圆C 过点)Q ，可得22211a b +=，由题意可得c =222a b -=，解得2a b ==，故椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）直线l ：()1y k x =-与x 轴的交点为()10C ，，与y 轴的交点为()0D k -，，联立()22241x y y k x +==-⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得，()2222124240k x k x k +-+-=，①设()()1122M x y N x y ，，，，则2122412k x x k +=+，()()22111CN x y MD x k y =-=--- ，，，，由CN MD = ，得21224112k x x k +==+，解得k =由0k >得2k =，代入①得22230x x --=，1212312x x x x +==-，，可得2MN ==．考点2 圆锥曲线的最值、范围、证明问题题组一圆锥曲线中的最值问题调研1 如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点()13,()22P x y x -<<.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求PA PQ ⋅的最大值．【解析】（1）设直线AP 的斜率为k ，则2114122x k x x -==-+，1322x -<< ，∴直线AP 的斜率的取值范围是()1,1-.（2）易得直线AP 的方程为11()42y k x -=+,即11024kx y k -++=；直线BQ 的方程为913()42y x k -=--，即93042x ky k +--=. 联立直线AP 与BQ 的方程，得1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，解得点Q 的坐标是()222243981(,)4421k k k k k k -++++++，故23432221(,)11k k k k k k kPQ k k +----++=++uu u r ，又2(1,)PA k k k =----u u r，所以323322(1)(1)(1)(1)(1)(1)11k k k k k PA PQ PA PQ k k k k +-+--⋅=⋅=+=+-++ ，令3()(1)(1)f k k k =-+，11x -<<.因为()()()2421f k k k '=--+，所以 f (k )在区间11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因此当k =12时，PA PQ ⋅取得最大值，为2716．调研2 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A点B 是椭圆上的动点，1ABF △的面积的最大值为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.【解析】(1)由已知，有c a =222a c =. ∵222a b c =+，∴b c =. 设B 点的纵坐标为()000y y ≠. 则()()101122ABF S a c y a c b =-⋅≤-=△，即)1b b -=.∴1b =，a =∴椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-.设()11,M x y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()2,Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=.此时()2810m ∆=+>.∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+.由弦长公式，得12MN y =-=.整理，得2212m MN m +=+.又12222P y y m y m +==+，∴2212P P x my m -=-=+.∴222622P m PQ m +=-=+.∴222||PQMN ⎫===≥，=，即1m =±时等号成立.∴当1m =±，即直线l 的斜率为1±时，PQ MN取得最小值2.☆技巧点拨☆求圆锥曲线中的最值问题常用的方法1．几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象法来解决，这是几何法，充分体现了数形结合思想．2．代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常见方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等．充分体现了函数与方程思想．题组二圆锥曲线中的范围问题调研3 已知圆的圆心为，，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段的交点为.（1）求点的轨迹的方程；（2）若过点的直线交曲线于，两点，求AM AN ⋅u u u r u u u r的取值范围.【解析】（1）连接，由于是线段的垂直平分线，所以，所以，所以点的轨迹是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，故其方程为22143x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 332,,2,22AM AN ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以97444AM AN ⋅=-= ．②当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =+，代入22143x y +=，消去y 得()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k --+==++，因为()()11221,,1,AM x y AN x y =-=-，所以()()()()()2121212*********AM AN x x y y x x x x k x x ⋅=--+=-+++++()()()2221212111kx x kx x k =++-+++()()222222241281113434k k kk k k k--=++-++++ ()22279757344434k k k -==-++. 因为2343k +≥，所以()2195704434k -≤-<+，所以734AM AN -≤⋅< ，综上可知，AM AN ⋅u u u r u u u r的取值范围是73,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．☆技巧点拨☆求圆锥曲线中的范围问题常用等价转化思想与数形结合思想，常用方法有：(1)几何法：根据圆锥曲线自身的几何性质以及几何量之间的不等关系建立不等式，求出参数的取值范围．(2)代数法．常从以下五个方面入手：①若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围；②若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解； ③利用隐含或已知的不等关系式直接求范围； ④利用基本不等式求范围； ⑤利用函数值域的方法求范围．题组三圆锥曲线中的证明问题调研4 抛物线：的焦点是，直线与的交点P 到的距离等于.（1）求抛物线的方程；（2）是圆上的一点，过点作的垂线交于，两点，求证：.【解析】（1）由2PF =知P 到准线的距离也是2，∴P 点横坐标是22p-，将2,22p P ⎛⎫-⎪⎝⎭代入22y px =，得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =. （2）可设直线AB 的方程为()1,0x ky b b k =+≠≠，则MF 的方程为()1y k x =--，联立得222,11k b k kb M k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，代入22610x y x +-+=中，整理得22461b k b -=-，联立24y x x ky b==+⎧⎨⎩得2440y ky b --=，()221616410k b b ∆=+=->，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则124y y k +=，124y y b =-，则1222121144FA FB y y k k y y ⋅=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()122212121211642y y y y y y y y =+-++2241421b b k b -==---+， ∴FA FB ⊥，∴2MF MA MB =⋅.☆技巧点拨☆1．圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．2．圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．3．解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．考点3 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题题组一圆锥曲线中的定点问题调研1 设直线的方程为=,该直线交抛物线于两个不同的点.(1)若点为线段的中点,求直线的方程;(2)证明:以线段为直径的圆恒过点.【解析】(1)联立()2254x my m y x ⎧=++⎪⎨=⎪⎩ ,消去得=,设,则==,因为为线段的中点,所以,解得,所以直线的方程为=.(2)因为==,()()2222121212254416y y y y x x m =⋅==+,所以=,即=,所以==,因此,即以线段为直径的圆恒过点.调研 2 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,且椭圆C过点2-⎭,过点()1,0作两条相互垂直的直线12,l l ,分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若,MS SN PT TQ ==,探究：直线ST 是否过定点？若是,请求出定点坐标；若不是,请说明理由.【解析】(1)由题意知22222311222a a b a b c b c c a⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩, 所以椭圆C 的方程为22142x y +=.(2)因为,MS SN PT TQ ==,所以,S T 分别为,MN PQ 的中点, 当两直线的斜率都存在且不为0时,设直线1l 的方程为()1y k x =-, 则直线2l 的方程为()11,y x k=--设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y . 联立()221421x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消去得()2222221424024160k x k x k k ∆+-+-=⇒=+>, 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++,所以PQ 的中点T 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理,MN 的中点S 的坐标为222,22k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭,所以()2321ST k k k -=-,所以直线ST 的方程为()222232212121kk k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪++-⎝⎭,即()232321k y x k -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,所以直线ST 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭, 当两直线的斜率分别为0和不存在时,则直线ST 的方程为0y =,也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭,综上所述,直线ST 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.☆技巧点拨☆定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明，求解的方法常见的有如下两种： (1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；(2)曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关．题组二圆锥曲线中的定值问题调研3 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，.(1)求椭圆C 的方程；(2)过P 作两条直线12l l ，与圆()22231(0)2x y r r -+=<<相切且分别交椭圆于M ，N 两点，求证：直线MN 的斜率为定值.【解析】(1)由12e =，得2a c =，因为椭圆过点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以221914a b +=，又222c b a +=，解得2a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．(2) 显然两直线12l l ，的斜率存在，设为12k k ，，()()1122,,M x y N x y ，，由于直线12l l ，与圆()22231(0)2x y r r -+=<<相切，则有12k k =-，直线1l 的方程为()1312y k x -=-，联立112232143y k x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得()()()22211114312832120x k k k x k ++-+--=，因为P M ，为直线与椭圆的交点，所以()11121812143k k x k -+=+，同理，当2l 与椭圆相交时，()11221812143k k x k ++=+，所以112212443k x x k --=+，而()11211212112243k y y k x x k k --=+-=+，所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==-，为定值．调研 4 已知,抛物线与抛物线异于原点的交点为,且抛物线在点处的切线与轴交于点,抛物线在点处的切线与轴交于点,与轴交于点.(1)若直线与抛物线交于点,且,求抛物线的方程;(2)证明:的面积与四边形的面积之比为定值.【解析】(1)由212y xx py=+⎧⎨=⎩,消去得.设的坐标分别为,则.∴,∵,∴. 故抛物线的方程为.(2)由2222y pxx py⎧=⎨=⎩,得或,则.设直线,与联立得.由,得,∴.设直线,与联立得.由,得,∴.故直线,直线,从而不难求得,∴,∴的面积与四边形的面积之比为222132pp p=-(为定值).☆技巧点拨☆解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．题组三圆锥曲线中的存在性问题调研5已知点⎭与点(都在椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>上.(1)求椭圆M 的方程;(2)若椭圆M 的左焦点、左顶点分别为1,F C ,则是否存在过点1F 且不与x 轴重合的直线l (记直线l 与椭圆M 的交点为,A B ),使得点B 在以线段AC 为直径的圆上;若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知得222261,43a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆M 的方程为22143x y +=. (2)解法一：由题意知:()()12,0,1,0C F --, 设()()000,22B x y x -<<,则22001,43x y += 因为1BF BC ⋅ =()()00001,2,x y x y ---⋅---=2200023x x y +++=20013504x x ++>, 所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 所以点B 不在以AC 为直径的圆上,即:不存在直线l ,使得点B 在以AC 为直径的圆上.解法二：由题意可设直线l 的方程为x =()()11221,,,,my A x y B x y -.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x ，得()2234690,m y my +--= 所以12y y +=1226,34m y y m +=29,34m -+ 所以CA CB ⋅=()()11222,2,x y x y +⋅+=()()2121211m y y m y y ++++,=()22296113434m m m m m -++⋅+++=250,34m -<+ 因为cos C =()1,0CA CB CA CB ⋅∈-⋅ ,所以π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以π0,,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以点B 不在以AC 为直径的圆上,即:不存在直线l ,使得点B 在以AC 为直径的圆上. ☆技巧点拨☆1．存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．2．解决存在性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．强化训练1．（河南省豫南九校2017-2018学年下学期联考）若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【答案】B故该椭圆离心率的取值范围是，故选B ．2．（【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷ⅠA 信息卷）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于点,A B ，若AF FB λ= ，且11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则k 的取值范围是A ．(B ．)2C．(2,D．【答案】D3．（湖南省益阳市2018届高三4月调研考试）设双曲线的左焦点，直线与双曲线在第二象限交于点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C△为直角三角形，【解析】设双曲线的右焦点为，又，所以，则AFF'即，则，，由双曲线的定义得，即，则b==，所以双曲线的渐近线方程为.故选C．4．(2017·河南适应性模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB 的垂直平分线与x轴的交点是(4,0)，则|AB|的最大值为A．2 B．4C．6 D．10【答案】C5．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由题意知，得，不妨设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，联立两式解得，代入椭圆方程解得，，由此可得椭圆的方程为或.故选C．6．（2018届四川省泸州泸县第五中学高三上学期期末考试）过抛物线=的焦点作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,则A．B．C ．D ．【答案】C7．（2018届福建省厦门市高三年级上学期期末质检）直线与抛物线交于两点,若,则___________．【答案】【解析】由消去y ，整理得=,∵直线与抛物线交于A,B 两点,∴()2242440k k k ∆≠⎧⎪⎨=+->⎪⎩,解得．设,则．∵==,∴==,∴k 2=3,=．检验知满足条件．8．（山西省2018年高考考前适应性测试）过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________．【答案】(【解析】由题意知02ba <<,故22222204,115bc b a a a<<<=+<,故1e <<9．（上海市虹口区2018届高三上学期期末教学质量监控）设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF △的内切圆的面积为π，则2MNF S =△___________. 【答案】410．（四川省攀枝花市2018届高三第三次（4月）统一考试）已知F 为抛物线24E y x =：的焦点,过F 作倾斜角为α的直线l 与抛物线E 交于A B 、两点，过A B 、向E 的准线作垂线，垂足分别为C D 、,设CD 的中点为M 则MF 的取值范是___________．【答案】()4,+∞11．（2018届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试）已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若1AF B △的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.【答案】(1)22143x y +=；(2).【解析】(1)由题意，抛物线的焦点坐标为，故设椭圆的方程为且，又点在椭圆上，于是22222223412131a b a b a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎧=⎪⎝⎭⇒+=⎨⎨=⎩⎪⎪-=⎩.故所求椭圆的方程为22143x y +=.12．（2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考）已知抛物线的焦点为.(1)若斜率为的直线过点与抛物线交于两点,求的值;(2)过点作直线与抛物线交于两点,且,求的取值范围.【答案】(1)；(2).(2)设直线的方程为与曲线的交点为,∴.将的方程代入抛物线的方程,化简得,.∵,∴.又∵,∴恒成立,∴恒成立.∵,∴只需即可,解得.∴所求的取值范围为.13．（2018届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考）已知椭圆的离心率为,为焦点是的抛物线上一点,为直线上任一点,分别为椭圆的上,下顶点,且三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆的另一交点分别交于点,求证:直线过定点.【答案】(1)2214xy+=；(2)证明见解析.∴直线DE过定点1 0,2⎛⎫-⎪⎝⎭.14．（湖南省株洲市2018届高三年级教学质量统一检测）在平面直角坐标系中，已知为椭圆的左焦点，且椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行四边形，同时满足下列两个条件：①点在直线上；②点在椭圆上且直线的斜率等于1.如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由.【答案】（1）.（2）见解析.15．（2017-2018学年北京101中学高三零模）已知椭圆的离心率为OAB△的面积为1.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上的一点,直线与轴交于点直线与轴交于点.求证为定值.【答案】(1)2214xy+=；(2)证明见解析.(2)设点坐标为当时,则直线的方程是11,yy xx--=点坐标为直线的方程是点坐标为所以当时此时所以综上为定值4.16．（2018届河南省中原名校高三第六次质量考评）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>及点,若直线与椭圆交于点,且为坐标原点),椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若斜率为的直线交椭圆于不同的两点,求DMN△面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 1.17．（2018届河南省高三4月普通高中毕业班高考适应性考试）在平面直角坐标系中,已知椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率分别为左、右焦点,过的直线交椭圆于两点,且2PQF △的周长为8.(1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线交椭圆于不同的两点.为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.【答案】(1)2214xy+=；(2).则.由点在椭圆上,得()()()2222222222414441414k kt k t k+=++,化简得. ①又由,即,将代入得()()()2242222436424131414kkkkk⎡⎤-⎢⎥+-<⎢⎥++⎣⎦,化简,得,则,∴. ②由①,得222364t k t =-，联立②,解得.∴或,即.故实数的取值范围是.真题链接1．（2017新课标全国II 文科）过抛物线2:4C y x =的焦点FC 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为AB．C．D．【答案】C2．（2015新课标全国Ⅰ文科）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C的左支上一点，(A ，当APF △周长最小时，该三角形的面积为．【答案】3．（2016新课标全国Ⅰ文科）直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由已知得),0(t M ， ),2(2t pt P .又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2t pt N ，ON 的方程为x t p y =，代入px y 22=整理得0222=-x t px ，解得01=x ，p t x 222=，因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点，即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下：直线MH 的方程为x t p t y 2=-，即)(2t y ptx -=. 代入px y 22=得04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 4．（2017新课标全国Ⅱ文科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）；（2）见解析.。

高二数学寒假作业专题09 直线和圆锥曲线的位置关系(学)

专题九直线和圆锥曲线的位置关系学一学------基础知识结论 1.判断直线l ：0Ax by C ++=（A 、B 不同时为0）与圆锥曲线E ：(,)0F x y =的位置关系，通常先方程组0(,)0Ax by C F x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （也可以消去x ）得到一个关于变量x （或变量y ）的方程，如消去y 后得20ax bx c ++=（1）当0a ≠时，则当0∆>时，直线l 与曲线E 相交；当0∆=时，直线l 与曲线E 相切；当0∆<时，直线l 与曲线E 相离.（2）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与E 相交，且只有一个交点，此时，若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行.小结：①直线与圆锥曲线的相离关系，常用求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．[:]②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．2.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.设11(,)A x y 、22(,)B x y 是直线l 与曲线E 的两个不同的交点，则弦长212||1||AB k x x =+-或1221||1||AB y y k =+-（0k ≠）3.已知弦AB 的中点，利用点差法研究AB 的斜率与方程——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系。

韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解学一学------方法规律技巧1.直线和圆锥曲线的位置关系的判断直线和圆锥曲线的位置关系的判断，转化为其方程组解的个数问题，通过消元得关于得20ax bx c ++=或20ay by c ++=，进而在转化为利用判别式判断二次方程解的个数问题，当圆锥曲线为抛物线或者双曲线时，需注意二次型系数为0的情况.例1. 已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=. 若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k 的取值范围.2.．相交弦的长度问题弦长问题是圆锥曲线题目中的重点内容，归纳起来有三类型：第一：圆里的弦长，通常是结合平面几何知识利用垂径定理，结合勾股定理处理；第二：过焦点的弦长问题，结合圆锥曲线的定义处理；第三：一般的弦长问题，利用弦长公式，而且此类问题，大都会结合韦达定理，体现设而不求的技巧．例2、设椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的左、右顶点分别为)0,2(-A、)0,2(B，离心率22=e．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且||)12(||PQPC-=.（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且728=MN，求直线MN的方程.3．相交弦的中点问题弦的中点问题大致有两种思路：点差法：代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系。

【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习：专题五第三讲直线与圆锥曲线的位置关系-含解析

专题五解析几何
第三讲直线与圆锥曲线的位置关系
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1.由直线与圆锥曲线的位置关系解决直线的方程、圆锥曲线的方程及其性质等问题．
2．求动点的轨迹问题，以椭圆和抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、范围等综合问题
.
1．(2016·全国Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
[解析] 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，
则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka 2－a ＝k (a －c )－c －a ，。

名师导学2018届高三数学文二轮复习课件：专题5第12讲直线与圆锥曲线位置关系精品

有两个交点 A，B，线段 AB 中点为 M.证明：直线 OM
的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值．
【解析】(1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1. 解得 a2＝8，b2＝4，∴C 的方程为x82＋y42＝1.
(2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2， y2)，M(xM，yM)，把 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1 得
(2)当 AB⊥x 轴时，ΑΒ＝ 2，又 CΡ＝3，不合题意．
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝
kx－1，Ax1，y1，Bx2，y2，将 AB 的方程代入椭圆方
程
，
得
1＋2k2
x2
－
4k2x
＋
2
k －1 2
＝
0
，
则
ห้องสมุดไป่ตู้
x1 ， 2 ＝
2k2±1＋22k12＋k2，
C 的坐标为1＋2k22k2，1＋－2kk2，且
【解析】(1)设动圆圆心坐标为 C(x，y)，根据题意得
x2＋（y－2）2＝ y2＋4 化简得 x2＝4y. (2)解法一：设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b，由xy2＝＝k4xy＋，b消去 y 得 x2－4kx－4b＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则xx11x＋2＝x2－＝44kb，且 Δ＝16k2＋16b，以点 P 为切点的切线的斜率为 y′|x＝x1＝12x1，其切线方程为 y－y1＝12x1(x－x1)，即 y＝12x1x－14x21，同理过点 Q 的切线的方程为 y＝12x2x－14x22，设两条切线的交点为 A(xA，yA)在直线 x－y－2＝0 上，解得xA＝x1＋2 x2＝2k，即 A(2k，－b)．

高考数学理科总复习10.4 直线与圆锥曲线的位置关系完美

1)
,消去y,得
k12
x2-2
k12
x-4x+
k12
=0,所以x1+x2=
2k12 4 k12
.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=
2k22 k22
4.
由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=
2k12 k12
4
+
2k22 k22
4
+4=
4 k12
+
4
k
2 2
1 2
在椭圆C上,
3
所以
a
2
a2
1 4b2
b2
1, 3,
解得
a2 b2
4, 1.
因此,椭圆C的方程为 x2 +y2=1.
4
因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.
(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 x02 + y02 =3.
所以直线l的方程为y=- x0 (x-x0)+y0,即y=- x0 x+ 3 .
+
4 cos2θ
=
4 sin 2θcos 2θ
=
1 2
4 sin 2θ
2
则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.
=
16 sin2 2θ
,
方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径. 如图,在抛物线y2=2px(p>0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为θ,
则在△FEA中,cos θ=cos∠EAF= | AE | = | AF | p ,

2020高考数学二轮复习寒假作业十六直线与圆锥曲线的位置关系注意命题点的区分度文

寒假作业(十六) 直线与圆锥曲线的位置关系(注意命题点的区分度)一、选择题1．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 的值为( )A.32 B ．±32C ．±12D.12解析：选B 由题意可得，c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32. 2．(2017·湖南五市十校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A. 2 B ．1 C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选C 由已知得b 2a＝2c ，即c 2－2ac －a 2＝0，所以e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又e ＞1，所以e ＝1＋2，故选C.3．已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12B.32 C ．1D ．2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，则由题意，得m ＝p2.①由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －m ＝0，y 2＝2px消去y ，得x 2－2(p ＋m )x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝2(p ＋m )，x 1x 2＝m 2，∴|AB |＝2· [2p ＋m ]2－4m 2＝6.② 由①②得p ＝32，故选B.4．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．(－3，3)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：选C 由题意知，右焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，故选C.5．已知圆(x －m )2＋y 2＝4上存在两点关于直线x －y －2＝0对称，若离心率为2的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为( )A ．1 B. 3 C ．2 3 D ．4解析：选D 由题意得直线x －y －2＝0过圆心(m,0)，所以m ＝2，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，且经过原点，易知渐近线与圆相交时的交点构成的图形为三角形，因为c a ＝2，所以b a＝1，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以交点坐标分别为(0,0)，(2,2)，(2，－2)，所以三角形的面积为12×2×4＝4，选D.6.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C. 7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由抛物线x 2＝2py (p ＞0)可知其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以b ＝p 2，又a ＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y2p2＝1，渐近线方程为y ＝±p42x .直线y ＝kx －1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k ＝p42，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42 x －1，x 2＝2py可得x 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 42x －1＝p 222x －2p ，即x 2－p 222x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.8．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＜0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：选A 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0， ∴y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－ab，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－ab， ∴ab ＝－32. 9．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若|FP |＝3|FQ |，则|QF |＝( )A.83B.52 C ．3D ．2解析：选A 设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83. 10．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M (－1,2)．若MA uuu r ·MB uuu r＝0，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，由题意可知直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－2k ＝2k 2＋4k －2k ＝4k ，y 1y 2＝－4.∴MA uuu r ·MB uuu r＝(x 1＋1，y 1－2)·(x 2＋1，y 2－2) ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝1＋2k 2＋4k 2＋1－4－8k ＋4＝4k 2＋4－8k k2＝0， ∴4k 2＋4－8k ＝0，即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1，故选C. 11.如图，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (2，t )(t ＞0)在抛物线上，且|AF |＝3.已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，则直线GB 的斜率为( )A ．－34B ．－32 C ．－223D ．－23解析：选C 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，所以2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .因为点A (2，t )(t ＞0)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以t ＝22，即A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，所以直线GB 的斜率k GB ＝－2－012－－1＝－223，选C.12．(2017·长沙统考)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1解析：选D 设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝x2或y ＝－x2，F 2(3，0)，求得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.选D. 二、填空题13．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝4 3.答案：4 314．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 上在第二象限内的点，直线BO 交E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率是________．解析：设AC 的中点为M ，连接OM ，FM ，则OM 为△ABC 的中位线，B ，F ，M 在一条线上，于是△OFM ∽△AFB ，所以|OF ||FA |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.答案：1315.(2017·成都二诊)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|EG |＝y 4－y 3＝12y 2－2y 1.因为AB 为抛物线y 2＝4x的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝12y 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 2＝12y 2＋8y 2≥212y 2·8y 2＝4，当且仅当12y 2＝8y 2，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4.答案：416．(2017·石家庄质检)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 交双曲线两支于M ，N 两点，且MF uuur ·NF uuu r＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF uuur ·NF uuu r ＝0，所以MF uuur ⊥NF uuu r.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a＝1，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 2.答案： 2 三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过点(0，2)且与椭圆C 相切，求直线l 的方程．解：(1)由题意得，c ＝1，又椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，得a －c ＝2－1，联立解得a ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，显然直线l 必存在斜率，又直线过点(0，2)， ∴设所求直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2＋42kx ＋2＝0，要使直线l 与此椭圆相切，则Δ＝(42k )2－4(2k 2＋1)×2＝0，解得k 2＝12，即k ＝±22，∴所求直线方程为：y ＝22x ＋2或y ＝－22x ＋2，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.18．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P (－1，k )，且△PAB 的面积为63，求k 的值．解：(1)由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2＝－4，从而p ＝2，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y 2＝4x消去x ，得ky 2－4y －4k ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.|AB |＝1＋1k2·16k2－4×－4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2. 又P 到直线AB 的距离d ＝3|k |k 2＋1.故S △PAB ＝12×|AB |×d ＝61＋1k2＝6 3.解得k ＝±22. 19．设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足AB ―→⊥BC ―→，AD ―→∥OC ―→，连接AC 交DE 于点P ，求证：|PD |＝|PE |.解：(1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a .因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)，因为AB ―→⊥BC ―→，所以可设C (2，y 1)，所以AD ―→＝(x 0＋2，y 0)，OC ―→＝(2，y 1)，由AD ―→∥OC ―→可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2. 所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 02x 0＋2(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以|PD |＝|PE |.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB uu u r ·PD uuu r＝0时，求点P 的坐标．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2，解得x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2，则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 23＋4k 2，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2k 3＋4k 2. 又PB uu u r ·PD uuu r ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0，化简得64k 4＋28k 2－363＋4k 22＝0，即64k 4＋28k 2－36＝0，解得k ＝±34.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，27或⎝⎛⎭⎪⎫0，－27.。

届高考数学复习必备试题直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系一．【课标要求】1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题二．【命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。

分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。

预测2010年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现三．【要点精讲】1．点M(x 0，y 0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系 2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。

因为方程组解的个数与交点的个数是一样的直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==n kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。

则弦长公式为：d=221221)()(y y x x -+-=2212))(1(x x k -+=22)1(ak Δ+=Δ||)1(2a k +。

2018届高考数学二轮复习寒假作业十六直线与圆锥曲线的位置关系注意命题点的区分度文20180117256

2018大二轮高考总复习理数文档：解答题7 第1课时 直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问题

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