八年级数学三角形全等的判定6

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浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第1课时)教案

浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第1课时）教案一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册第1.5节的内容，本节课主要让学生了解三角形全等的判定方法，掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法判断两个三角形是否全等。

此内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对于图形的认识有一定的基础。

但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能初次接触，需要通过实例分析、动手操作、小组讨论等方式，让学生理解和掌握。

三. 教学目标1.了解三角形全等的判定方法，掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。

2.能够运用判定方法判断两个三角形是否全等。

3.培养学生的逻辑思维和空间想象能力。

四. 教学重难点1.教学重点：SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。

2.教学难点：如何判断两个三角形是否全等，以及运用判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的图形实例，让学生观察、分析、总结三角形全等的判定方法。

2.动手操作法：让学生亲自动手操作，折叠、拼接等，增强直观感受。

3.小组讨论法：分组进行讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

4.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示图形实例和相关的练习题。

2.教具：三角板、直尺、剪刀等。

3.练习题：准备一些判断三角形全等的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的三角形图形，如自行车三角架、三角尺等，引导学生关注三角形的特点，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过实例分析，引导学生观察、总结三角形全等的判定方法。

如：–SSS：三边分别相等的两个三角形全等。

–SAS：两边和夹角分别相等的两个三角形全等。

–ASA：两角和夹边分别相等的两个三角形全等。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六(含答案) (55)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六（含答案)如图，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=90°．猜想线段AC 、BD 的位置关系和数量关系，并说明理由．【答案】AC ⊥BD ，AC=BD ，理由见解析【解析】试题分析：AC BD AC BD ⊥=，，利用SAS 证明AOC △与BOD 全等，再利用全等三角形的性质解答即可．试题解析：AC ⊥BD ，AC =BD ，理由如下：∵90AOB COD ∠=∠=，∴∠AOB +∠BOC =∠COD +∠BOC ，即,AOC BOD ∠=∠在AOC △与BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AOC △≌BOD (SAS)，∴AC =BD ，∠OBD =∠OAC ，∵90OBA BAO ∠+∠=，∴90OBA BAE OBC ∠+∠+∠=，∴90BEC BAE OBA ∠=∠+∠=，∴AC ⊥BD .42．如图，△ABC 和△BCD 都是等边三角形，连接BE 、AD 交于O ．求证：（1）AD=BE （2）∠AOB=60°．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AC BC CD CE ==，，60ACB DCE ∠=∠=︒，然后求出ACD BCE ∠=∠，再利用“边角边”证明ACD 和BCE 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得CAD CBE ∠=∠，然后求出120OAB OBA ∠+∠=︒，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．试题解析：证明：(1)∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，∴AC =BC ,CD =CE , 60ACB DCE ∠=∠=︒，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD =BE ；(2)∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，∴∠OAB +∠OBA =∠BAC +∠CAD +∠ABO ,=∠BAC +∠CBE +∠ABO ,=∠BAC +∠ABC ,6060120=+=，在△ABO 中,180()18012060,AOB OAB OBA ∠=-∠+∠=-=即60.AOB ∠=43．如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF ．求证：（1）∠D=∠B ；（2）AE ∠CF ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据SSS 推出ADE ≌CBF ，根据全等三角形的性质推出即可．（2）根据全等三角形的性质推出AED CFB ∠=∠，求出AEO CFO ∠=∠，根据平行线的判定推出即可．试题解析： (1)∵在△ADE 和△CBF 中，AE CF AD BC DE BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CBF (SSS)，∴∠D =∠B .(2)∵△ADE ≌△CBF ，∴∠AED =∠CFB ，∵180,180,AED AEO CFB CFO ∠+∠=∠+∠=∴∠AEO =∠CFO ，∴AE ∥CF .44．如图，点C ，F ，A ，D 在同一条直线上，CF=AD ，AB ∥DE ，AB=DE ．求证：∠B=∠E ．【答案】见解析【解析】试题分析：由CF =AD 可得出CA =FD ，由AB ∥DE 可得出∠BAC =∥EDF ，结合AB =DE 即可证出△ABC ∥∥DEF （SAS ），再根据全等三角形的性质即可得出∠B=∥E．试题解析：证明：∥CF=AD，∥CF+FA=FA+AD，即CA=FD．∥AB∥DE，∥∥BAC=∥EDF．在∥ABC和∥DEF中，∵CA=FD，∥BAC=∥EDF，AB=DE，∥∥ABC∥∥DEF （SAS），∥∥B=∥E．45．已知，如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD；（3）AD=CB且AD∥CB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据已知条件，利用HL判定Rt△CDE≌Rt△ABF，根据全等三角形的性质即可得AF=CE；（2）由Rt△CDE≌Rt△ABF，即可得∠BAF=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行即可得AB∥CD；（3）由AB∥CD，AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得AD=CB且AD∥CB．试题解析：证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠CED=∠AFB=90°，在Rt△CDE和Rt△ABF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），∴AF=CE；（2）∵Rt△CDE≌Rt△ABF，∴∠BAF=∠DCE，∴AB∥CD；（3）∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB且AD∥CB．46．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．（1）求证：△ABP≌△CAQ；（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【答案】(1)证明见解析；(2) △APQ是等边三角形．【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形.【详解】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，在△ABP和△ACQ中，AB ACABP ACQBP CQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP≌△ACQ(SAS)，（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∵∠BAP+∠CAP=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，∴△APQ是等边三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键.47．如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．【答案】见解析【解析】【分析】由CD∥BE，可证得∠ACD=∠B，然后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≌△CBE，证得结论．【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，∵AC=CB，∠ACD=∠B，CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠D=∠E．48．（1）如图，小林同学想把一张矩形的纸沿对角线BD对折，对折后C 点与C′点重合，BC和AD相交于E，请你用尺规作图的方法作出C′点，并保留作图痕迹．（2）如图，已知在△ABC中，∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE=1(AC－AB)2【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）分别以B、D为圆心，以BC、CD的长为半径画弧，两弧的交点就是所要找的点C′；（2）根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF=∠C ，根据等腰三角形的判定，可得BF=CF ，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．试题解析：（1）分别以B 为圆心，以BC 为半径画弧，以D 为圆心，以DC 为半径画弧，两弧在AD 的上方相交于一点C ′，则C ′为所要画的点. 保留作图痕迹。

人教版八年级数学上册教学课件三角形全等的判定

AB = CD
A EB
∴△ADE≌△CBF ( SSS )
② ∵ △ADE≌△CBF
∴ ∠A=∠C (
全等三角形对应角相等 )
课堂小结
内容
有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”)
谈谈本节课你有思哪路些分析收获以结现合有及图条形件存找，在隐证含准的条备件条困和件惑？
边边边应用
书写步骤
学习目标
1．通过三角形的稳定性，体验三角形全等的 “边边边”条件.
2．掌握并会运用“边边边”定理判定两个三角形的全等.
学习重、难点
重点：寻求三角形全等的条件的方法. 难点：寻求三角形全等的条件的依据.
尝试发现，探索新知
生生互动
已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角：
谈谈本节课你有哪些收获以及存在的困惑？
A
A′
B
C
B′
C′
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文
字语言和符号语言概括吗？
知识要点
“边边边”判定方法
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等。
（简写为“边边边”或“SSS”） A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE， BC=EF，
BD
C
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. E
∴ ∠A=∠C (
)
重点：寻求三角形全等的条件的方法.
活，用智慧点亮人
生！
一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？从这节课开始，我们来探究全等三角形的判定.
∴△ABC≌△FDE（SSS）；
=，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
情景问题

八年级数学探索三角形全等的条件

AC=DC
A
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠ACB=∠DCE
C
E D
BC=EC △ACB≌△DCE(SAS) AB=DE
； / 澳门葡京官网；
是用于举办战申榜排位赛の临事城市,其实就是呐个排位赛场地.一旦在排位赛期间离开呐座城市,那就无法再进来了.哪怕你是晋级到决赛绝点の战申,只要离开,也一样不能再回来.大斗场内の修行者,陆续の离开.鞠言和纪沄国尪,也跟着人流出了大斗场.在押注大厅,鞠言用相应の压保凭证在一片惊叹之中兑换到了九亿白耀翠玉.从押注大厅出来后,鞠言和纪沄国尪直接去了交易区域,径直来到了交易大厅.上次在交易大厅购买の红毛果和善琉膏,对鞠言の帮助极其巨大.能够说,若不是使用呐两种资源,让鞠言在对战之前提升了不少の战斗历,那鞠言是不可能击败月灿尪国丁水云战申の,更不可能杀死对方.红毛果提升了鞠言の申魂体,让鞠言对微子世界控制更强,同事还让他能够在一定程度上领悟混元碎片空间の黑色区域也就是至高级の黑道则,正是由于对至高级黑道则有了些许の掌握,鞠言才能够施展出自身の乾坤千叠击.至于那善琉膏, 同样是对他帮助巨大.善琉膏,明显の增强了鞠言体内の微子世界历量,同事也让微子世界更为稳固和坚韧.鞠言明确了一点,在暗混元空间之中,还有不少资源是对他修行能提供巨大帮助の.暗混元空间与明混元空间の资源,特性是不同の.当然了,普通资源就没哪个用处了,也只有善琉膏呐一级数の资源才有较为明显の效果.距离决赛阶段,鞠言还有足足半年の事间能够用来继续提升实历,呐半年事间,他自是要利用好.而珍贵の资源,也是必不可少の.现在鞠言身上有超过九亿の白耀翠玉,购买次一级の珍贵资源,那足够买到很多很多.对提升申魂体有效の红毛果,鞠言打算再买个二百颗.先前那次买の二百颗红毛果,已是被鞠言全部使用了,而鞠言感觉用红毛果仍然能继续提升自身の申魂体.在交易大厅,鞠言和纪沄国尪,直接就购买了伍亿白耀翠玉の各种资源.其中有三亿白耀翠玉都是鞠言自身所用,而另外两亿白耀翠玉是纪沄国尪花の.不过, 纪沄国尪所购买の资源中,绝大部分并不是自身所用,而是准备用于充实国家の国库.两亿白耀翠玉の各种资源,足够让龙岩国の国库颇为充盈了.毕竟,龙岩国只是一个小国家,国家内善王级强者数量都没多少,对资源の消耗,相对の也就比较少.从交易大厅购买了大量资源后,鞠言和纪沄国尪返回住处.当日稍晚一些事间,波塔尪国の申肜公爵过来,请鞠言和纪沄国尪赴宴.贺荣国尪,为鞠言战申和纪沄国尪准备了庆功宴.而鞠言拒绝了参加庆功宴,鞠言の意思是,庆功宴等到战申榜排位赛彻底结束后再说.申肜公爵劝说数次后都没能让鞠言改变主意,也就只能罢了.鞠言战申不参加庆功宴,纪沄国尪也是跟着鞠言拒绝了.申肜公爵回到波塔尪国の居所,向贺荣国尪复命.“陛下,鞠言战申和纪沄国尪の意思是,等战申榜排位赛全部结束,再行庆功.”申肜公爵对贺荣国尪道.“哦?”贺荣国尪轻‘哦’了一声.他准备庆功宴,是为了感谢鞠言.鞠言三轮全胜进入了战申榜排位赛の决赛,给波塔尪国带来了难以想象の好处.光是在几场对战中波塔尪国在押注大厅所赢取の白耀翠玉,都令贺荣呐位尪国の国尪心潮澎湃了.设宴庆功,另一方面也是为了进一步与鞠言战申和纪沄国尪拉近关系.“陛下,鞠言战申和纪沄国尪都很坚持.”申肜公爵又说道.“嗯,俺知道了.俺们,尊叠鞠言战申和纪沄国尪の意思.”贺荣国尪点点头道.“对了申肜公爵,俺们波塔尪国,通过鞠言战申呐一盘口,得到了多少积分?押注大厅那边,具体の信息应该出来了吧?”贺荣国尪转而问道.“信息已经出来了,鞠言战申呐个盘口得到の积分超过二拾八亿之巨.”申肜公爵道.积分与盘口压保额直接相关！“啧啧……”贺荣国尪听到呐个数字,忍不住咋了咋舌.“哈哈,下一届战申榜排位赛,俺们波塔尪国获得の压保盘口,至少能比呐次多一倍.”贺荣国尪振奋の语气说道.“是の陛下,按照过往の例子看,仅仅鞠言战申呐一个盘口获得の押注积分,就足以让俺们波塔尪国在下一届战申榜排位赛中得到至少伍个压保盘口了.而接下来,还有决赛阶段.鞠言战申在决赛中,应该也能获得一些押注积分.”申肜公爵道.“嗯,等战申榜排位赛结束后,俺一定要好好感谢鞠言战申和纪沄国尪.”贺荣国尪叠叠の点了点头.与此同事,玄秦尪国人员の居所,廉心国尪和尪国の众人员都在一个房间中,房间内气氛异常の安静.似乎,已是有一段事间没有人开口说话了.玄秦尪国在呐一届战申榜排位赛中,损失惨叠.获得の押注积分,也比预料中の少很多.别の不说,单单一个丁水云战申の盘口,就损失了大量の押注积分.(本章完)第三零零思章王国招揽丁水云战申の呐个盘口,本应该是能够帮助玄秦尪国必得大量押注积分の,可惜……从大斗场回到居所之后,廉心国尪の心仍然没能平复下来.她の心情,此事是极其の复杂,后悔、愤怒、忧虑等等情绪皆有.“怎么都不说话了?”“应哗公爵,你の主意不是一直都很多の吗?怎么也不说话了?”廉心国尪环视房间内の众人,声音冰冷.应哗公爵,身体都在发抖.淘汰阶段第二轮对战中,他代表玄秦尪国压保伍千万白耀翠玉,赔了.第三轮对战中,他代表玄秦尪国压保两亿白耀翠玉,又血本无归.他应哗公爵,还能找哪个借口.“陛下, 现在不是追究某个人责任の事候.损失の白耀翠玉,就目前の局势,已算不上最无法想象,善王の申魂体还能有呐样幅度の提升！”“不错,真是不错.申魂体增强之后,俺对微子世界の控制更加精妙了.”“还有对黑道则の掌控！俺の申魂体所增强の部分,与在明混元空间不同,在呐里所增强の那部分申魂体,与暗混元空间更加契合.呐也让俺,对暗混元黑道

2024年湘教版八年级上册数学期末培优训练第6招全等三角形判定的三种类型

＝，
∴△ BDF ≌△ CEF (AAS).
∴ BF ＝ CF ， DF ＝ EF .
∴ BF ＋ EF ＝ CF ＋ DF ，即 BE ＝ CD .
∠＝∠，
在△ ABE 和△ ACD 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABE ≌△ ACD (AAS).
∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形.
定出全等三角形.本题图中没有三角形，只有连接 AC ，
将∠ B 和∠ D 分别放在两个三角形中，通过三边对应相等
证明两个三角形全等来证明∠ B 和∠ D 相等.
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典例剖析
证明：如图，连接 AC .
＝，
在△ ABC 和△ ADC 中，ቐ＝，
＝，
∴△ ABC ≌△ ADC (SSS).∴∠ B ＝∠ D .
个三角形已经具备的条件，然后以其为基础，结合已知的
其他条件，分析推导得出需要的条件.
返回
典例剖析
如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， CB ＝ CD . 求
证：∠ B ＝∠ D .
返回
典例剖析
判定三角形全等时，需要三对相等的对应边或角
(至少有一对对应边)，因此我们可以先根据题目的条件确
返回
分类训练
已知一边一角型
方法1一次全等型
1. 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，连接 AD ，过点
B 作 BE ⊥ AD 于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ AD 交 AD 的延长
线于点 F ，且 BE ＝ CF .
求证： AD 是△ ABC 的中线.
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分类训练
∴△ ACB ≌△ ACD .

三角形全等的判定(6种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．题型五：线段的垂直平分线例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．的中点，ABC ，则BED 的面积为（【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键．【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△．【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠，又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意；当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意；当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意；当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．八年级期末）如图，在ABC 中，【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠．故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。

八年级数学上册13.三角形全等的判定6斜边直角边课件华东师大版

导入新课
回顾与思考 1.全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2.判定三角形全等的方法有： S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.，S.S.S.
再忆直角三角形 Rt△ABC
A
直角边
B 直角边
C
讲授新课
一利用“H.L.”判定直角三角形全等
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量．
求证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
E
D
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (H.L.). B
C
3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
当堂练习
1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，
还需要补充的条件是
（写出一个即可）.
A
答案： AB=AD 或 BC=DC 或
B
D ∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD
C 注意一定要注意直角三角形不是只能用H.L.证明全等，但H.L.只能用于证明直角三角形的全等.
2.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
下面，让我们来验证这个结论.
做一做
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
步骤：
2 cm
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
3 cm M

初二数学上册教案6：三角形全等的判定(SSS、SAS)学生版

学生姓名年级初二学科上课时间教师姓名课题 6. 三角形全等的判定——SSS/SAS1.掌握三角形全等SSS的判定方法教学目标2.掌握三角形全等SAS的判定方法教学过程——进门测评分_____1．下图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=．2．已知△ABC≌△DEF，若∠A=80°，∠B=30°，则∠F=°；若△ABC的周长为32，AB=10，BC=14，则DE=，DF=．3．如图所示，△ABC≌△AB′C′，∠CAC′=20°，∠BAB′=度．5．如图，已知△ABF≌△ACF≌△DBF，∠FAB：∠ABF：∠AFB=4：7：25，则∠AED的度数为．1．如图，AC=DB，AB=DC，可以由“SSS”判定全等的三角形是．2．如图，已知：AB=DC ，AC=DB ，求证：∠ABC=∠DCB ．精准突破一：SSS 的判定方法知识点证明过程三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”DB C E F在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB △ABC ≌△DEF例题讲解1．如图，AM=AN ，BM=BN ，求证：△AMB ≌△ANB ．证明：在△AMB 和△ANB 中，∴ ≌ ．练习1．将图中的全等三角形用全等符号表示出来：，．2．完成下面的证明．已知：如图AB=CD，BE=CF，AF=DE．求证：△ABE≌△DCF．证明：∵AF=DE（已知）∴AF﹣EF=DE﹣EF（）即AE=DF在△ABE和△DCF中∵AB=CD，BE=CF（）AE=DF（）∴△ABE≌△DCF（）．3．如图：AB=AC，点D是BC的中点．求证：△ABD≌△ACD．4．如图，在△ABC和△ADE中．AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAE=20°．求∠CAD的度数．极限挑战1．利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS2．如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，AC=BD ，AM=CN ，BM=DN ，求证：AM ∥CN ，BM ∥DN ．精准突破二：SAS 的判定方法知识点证明过程两边及其夹角边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”DB C E F在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC DEF ABC DE AB △ABC ≌△DEF例题讲解1．完成下面的证明过程：如图，已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF ．求证：∠D=∠B ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠A=∠ （两直线平行，相等）． ∵AE=CF ， ∴AF= ．在△AFD 和△CEB 中，∴△AFD≌△CEB（SAS）∴= ．练习1．如图，已知AC、BD相交于点0，AO=DO，BO=CO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）△ABC≌△DCB．2．如图，AB=DB，BC=BE，∠1=∠2，试说明△ABE≌△DBC．3．已知：如图，∠1=∠2，BE=CF，AC=DE，E、C在直线BF上，求证：∠A=∠D．极限挑战1．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=35°，则∠3= ．1．△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是．2．如图，△ABC中，CD、BE是边AB和AC上的高，点M在BE的延长线上，且BM=AC，点N在CD上，且AB=CN，则∠MAN的度数是．3．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=43°，则∠P的度数为度．4．如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．5．如图，C、E、F、D共线，AB∥FD，BG∥FH，且AB=FD，BG=FH．求证：∠A=∠D．6．已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；7．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．（3）拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由．(1)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

人教版八年级数学第十二章全等三角形考点例析(三)---全等三角形的判定(AAS、ASA和HL)

A C D B1 2 全等三角形的判定(AAS 、ASA 和HL)一、学习目标1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.二、知识精讲知识点1：全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA ；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS ；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS ．（5）若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL ）。

知识点2：全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边③利用AAS 或ASA 证明三角形全等【例1】如图所示，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．A DB EC O AD BEF C A B D C E F A D E B F 1 2 C A D C B O C E B F D A 【例2】如图所示，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【例3】如图所示，已知∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，要证△ABC≌△DEF ，若要以“ASA ”为依据，还缺条件_________；以“SAS 为依据，还缺条件_________；以“AAS ”为依据，还缺条件_________.【题组训练】：1．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 为BC 中点，由点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够直接说明△BDE ≌△CDF 的理由是（）.A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2．如图所示，已知∠A ＝∠D ，∠1＝∠2，若要使△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（）.A.∠B ＝∠EB.BC ＝EDC.AB ＝EFD.AF ＝CD3．如图，给出下列四组条件：①AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ；②AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ；③∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ；④AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（）.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【第1题图】【第2题图】【第3题图】【第4题图】【第5题图】4．如图所示，AB ∥CD ，OB ＝OD ，则由“ASA ”可以直接判定△______≌△_______.5．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，则CH 的长是___________．6．如图所示，已知点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AB C D ED CEFAB NMOC AD BACD F EB7．如图所示，已知∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAC，AC＝AD，求证：AB＝AE.8．如图所示，BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为点F，E，BF＝DE，∠B＝∠D，求证：AE＝CF.9．如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：线段OM＝ON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．10．如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，现过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，E.（1）请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程；（2）若BE＝3，DE＝5，求AD的长．④利用AAS或ASA证明三角形全等【例1】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′【例2】如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．【例3】如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【例4】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：CB=CD．【题组训练】：1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=AD C．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40° B．50° C．60° D．75°5.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD=CD D．不能确定6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_________________．7．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=__________度．8．如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是__________．【第4题图】【第5题图】【第6题图】【第7题图】【第8题图】9.已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE，求证：∠ACB=∠DBC．10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．11．如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？12．小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．13. 如图，已知 AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．⑤综合利用三角形全等解决问题【例1】如图1,2,3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图1中,求证：△ABE≌△ADC.(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120∘，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程。

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

缺个角的条件：缺条边的条件：04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。

八年级上册数学全等三角形的判定

八年级上册数学全等三角形的判定在数学中，全等三角形是指具有相同的形状和大小的两个三角形。

判定两个三角形是否全等是我们在数学学习中常常遇到的问题之一，它具有重要的理论意义和实际应用。

在八年级上册的数学课程中，全等三角形的判定是一个重要的知识点，我们将通过本文来深入探讨这一主题。

一、全等三角形的概念在开始讨论全等三角形的判定之前，首先我们来了解一下什么是全等三角形。

两个三角形全等的条件是它们的对应边相等，对应角相等。

当两个三角形的对应边和对应角都相等时，我们就可以说这两个三角形是全等的。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定有几种方法，我们将逐一讨论每一种方法。

1. SSS 判定法SSS 判定法是指“边-边-边”判定法，即两个三角形的三条边分别相等。

当两个三角形的三条边分别相等时，我们可以判定这两个三角形是全等的。

2. SAS 判定法SAS 判定法是指“边-角-边”判定法，即两个三角形的两条边和它们夹的夹角相等。

当两个三角形的一对对边和夹角分别相等时，我们可以判定这两个三角形是全等的。

3. ASA 判定法ASA 判定法是指“角-边-角”判定法，即两个三角形的两个角和它们夹的夹边相等。

当两个三角形的一对对角和夹边分别相等时，我们可以判定这两个三角形是全等的。

4. RHS 判定法RHS 判定法是直角三角形的判定法，即两个直角三角形的一个直角边和它们的斜边相等。

当两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等时，我们可以判定这两个直角三角形是全等的。

通过以上判定法，我们可以根据已知的条件来判定两个三角形是否全等，这对我们理解与运用全等三角形的知识具有重要的意义。

三、个人观点和理解全等三角形的判定是数学中的重要知识点，它在我们的日常生活中也有着广泛的应用。

例如在建筑设计、地图绘制、测量等领域，我们都能够看到全等三角形的应用。

掌握全等三角形的判定方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能够提高我们的逻辑思维能力和数学应用能力。

八年级数学上册全等三角形5大判定

八年级数学上册全等三角形5大判定一、边边边（SSS）学习全等三角形判定法则时，第一条就是边边边。

内容：它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

理解：若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系)，即可确定出的三角形形状，大小。

若给出三条线段长度 AB=c， BC=a， AC=b，确定过程如下：①先确定一边AB；②分别以AB为圆心，分别做半径为b，a长的圆，交于C点；③最后连接AC，BC。

这样三角形的大小，形状就都被确定出来了。

二、边角边（SAS）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

理解：若确定两条公共端点线段的长度，及它们的夹角，即可确定出的三角形形状，大小。

若给出AB=c BC=a ∠B=幔范ü倘缦拢º①画∠EAD=幔虎谠谏湎逜E上截取AC=c，在射线AD上截取AB=c；③连接BC。

这样，三角形的.大小形状同样被确定了。

三、角边角（ASA）内容：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。

理解：若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。

若有AB=c，∠CAB=幔螩BA=猓范ü倘缦拢º①先确定一边AB=c；②在AB同旁画∠DAB=幔螮BA=猓珹D，BE交于点C。

这样，三角形的大小形状同样被确定了。

四、角角边（AAS）内容：两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

理解：若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。

若有AB=c，∠CAB=幔螦CB=猓范ü倘缦拢º由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数，这样，利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。

相关定理：三角形内角和为180度五、斜边，直角边（HL）内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

(HL) 理解：若确定一个三角形为直角三角形，同时得到其一个直角边和斜边的长度，即可确定出三角形的形状大小。

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.2三角形全等的判定(第4课时图文详解)

通过本课时的学习，需要我们掌握：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形
判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法：HL.
八年级数学上册第12章全等三角形
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵ AE=CF
∴AF=CE 又∵ AB=CD
A
E
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ BF=DE
D
B
八年级数学上册第12章全等三角形
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
八年级数学上册第12章全等三角形
A 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若A= D，AB=DE，
F
E
B
C
则△ ABC与 △DEF 全等（填“全等”或“不全
等”）根据 ASA （用简写法）.
D
八年级数学上册第12章全等三角形
（2）若A=D，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等（填
“全等”或“不全等”）根据 AAS .（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△ DEF 全等（填“全等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）
八年级数学上册第12章全等三角形
第12章全等三角形
八年级上册
八年级数学上册第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时
八年级数学上册第12章全等三角形

北师大版八年级数学(下) 第一章三角形的证明第6节 HL定理判定直角三角形全等

以 2/秒的速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 ED＝CB，当
点 E 运动
秒时，△DEB 与△BCA 全等．
解：①当 E 在线段 AB 上，AC＝BE 时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4， ∴AE＝8﹣4＝4，∴点 E 的运动时间为 4÷2＝2（秒）； ②当 E 在 BN 上，AC＝BE 时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12， ∴点 E 的运动时间为 12÷2＝6（秒）； ③当 E 在线段 AB 上，AB＝EB 时，△ACB≌△BDE，这时 E 在 A 点未动，因此时间为 0 秒； ④当 E 在 BN 上，AB＝EB 时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点 E 的运动时间为 16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．
解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分两种情况：
①当 AP＝BC＝5时，在 Rt△ABC和 Rt△QPA中，
，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当 AP＝CA＝10 时，在△ABC 和△PQA 中，
，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点 P 运动到 AP＝5 或 10 时，△ABC 与△APQ 全等；故答案为：5 或 10．
练习：如图所示，已知 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为 E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt
△ABE≌Rt△DCF 的是
（填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD，选择①可利用 AAS 定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF；选择②可得∠A＝∠D，可利用 AAS 定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF；选择③可利用 HL 定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF；选择④不能定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF．故答案为：①②③．

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六(含答案) (26)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六（含答案)如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE DC ⊥，PF BC ⊥，E 、F 分别为垂足，若3CF =，4CE =，求AP 的长．【答案】5【解析】【分析】连接CP 时，可以证明△APD ≌△CPD ，然后根据全等三角形的性质可以得到AP=CP ，由已知条件可以得出四边形PECF 是矩形，根据矩形对角线相等可得PC=EF ，结合已知条件利用勾股定理可求出EF 的长，求出EF 的长即可得AP 的长.【详解】如图，连接PC ，四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，ADP CDP ∠∠=，PD PD =，APD ∴≌CPD ，AP CP ∴=，四边形ABCD 是正方形，DCB 90∠∴=，PE DC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形PFCE 是矩形，PC EF ∴=，DCB 90∠=，∴在Rt CEF 中，22222EF CE CF 4325=+=+=，EF 5∴=，AP CP EF 5∴===.【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出AP 与CP 相等是解题的关键.52．如图，AC 平分∠BCD ，AB ＝AD ，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F .(1)若∠ABE ＝60°，求∠CDA 的度数；(2)若AE ＝2，BE ＝1，CD ＝4.求四边形AECD 的面积．【答案】（1）120°；（2）9.【解析】【分析】(1)、根据角平分线的性质以及AB=AD得出Rt△ABE和Rt△ADF全等，从而得出∠ADF＝∠ABE＝60°，根据平角得出∠ADC的度数；(2)、根据三角形全等得出FD＝BE＝1，AF＝AE＝2，CE＝CF＝CD＋FD＝5，最后根据S四边形AECD ＝S△AEC＋S△ACD得出答案．【详解】解：(1)∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠ACE＝∠ACF，∠AEC＝∠AFC＝90°，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE=AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠ADF＝∠ABE＝60°，∴∠CDA＝180°－∠ADF＝120°；(2)由(1)知Rt△ABE≌Rt△ADF，∴FD＝BE＝1，AF＝AE＝2，在△AEC和△AFC中，∠ACE=∠ACF，∠AEC=∠AFC，AC=AC，∴△AEC≌△AFC(AAS)，∴CE＝CF＝CD＋FD＝5，∴S四边形AECD＝S△AEC＋S△ACD＝12EC·AE＋12CD·AF＝12×5×2＋12×4×2＝9．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质、三角形全等的应用以及三角形的面积计算，难度中等．理解角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解决这个问题的关键．53．如图所示，已知AB是O的直径，直线L与O相切于点C，AC AD=，CD交AB于E，BF⊥直线L，垂足为F，BF交O于C．()1图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；()2若sin CBFAE=，求AB的值．∠=4【答案】(1)见解析;(2)20.【解析】【分析】（1）观察图象知：只有FG的长度与AE相当，可猜想AE=FG，然后着手证明它们相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接AC、CG，然后证△AEC≌△GCF；连接BD，由于弧AC=弧AD，那么BA⊥CD，根据垂径定理知∠D=∠BCE；由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB，那么它们的余角也相等，即∠FBC=∠EBC，那么弧CG=弧AC，即AC=CG，再由角平分线的性质得CF=CE，根据HL即可判定所求的两个三角形全等，由此得证．（2）由弦切角定理知∠FCG=∠FBC，它们的正弦值也相等，即可在Rt△FCG中，求得CG的长，也就得到了AC的长，在Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理即可得到AB的长．【详解】解：（1）FG=AE，理由如下：连接CG、AC、BD；∵AC AD=，∴BA⊥CD，∴BC BD=，即∠D=∠BCD；∵直线L切⊙O于C，∴∠BCF=∠D=∠BCD，∴∠FBC=∠ABC，∴CG AC=，CE=CF；∴AC=CG；△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG．（2）∵FC切⊙O于C，∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠；在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠∴在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：AC2=AE•AB，即AB=AC2÷AE=20．【点睛】此题主要涉及到：圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、弦切角定理、解直角三角形等知识点；通过构造全等三角形来求得AE=FG 是解决此题的关键．54．如图，点E ，C 在BF 上，BE FC =，45ABC DEF ∠=∠=，90A D ∠=∠=．()1求证：AB DE =；()2若AC 交DE 于M ，且AB =ME =CE 绕点C 顺时针旋转，使点E 旋转到AB 上的G 处，求旋转角ECG ∠的度数．【答案】(1)见解析;(2)15°.【解析】【分析】（1）通过证明△ABC ≌△DEF 即可得出AB=DE ．（2）要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算．【详解】（1）证明：∵BE=FC ，∴BC=EF ，又∵∠ABC=∠DEF ，∠A=∠D ，∴△ABC ≌△DEF ，∴AB=DE ．（2）解：∵∠DEF=∠B=45°，∴DE ∥AB ，∴∠CME=∠A=90°，∴ ，，∴在Rt △MEC 中，，∴CG=CE=2，在Rt △CAG 中，cos ∠ACG=AC CG ∴∠ACG=30°，∴∠ECG=∠ACB-∠ACG=45°-30°=15°．【点睛】本题综合考查了旋转变换作图，三角形全等和解直角三角形的综合应用． 55．如图，//AD BC ，90A ∠=，E 是AB 上的一点，且AD BE =，12∠=∠． ()1求证：ADE ≌BEC ；()2若6AD =，14AB =，请求出CD 的长．【答案】(1)见解析.【解析】【分析】（1）根据已知可得到∠A=△B=90°，DE=CE ，AD=BE 从而利用HL 判定两三角形全等；（2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC=90°，由已知我们可求得BE、AE的长，再利用勾股定理求得ED、DC 的长．【详解】解：（1）△AD△BC，△A=90°，△1=△2，△△A=△B=90°，DE=CE．△AD=BE，△△ADE△△BEC．（2）由△ADE△△BEC得∠AED=△BCE，AD=BE．△△AED+△BEC=△BCE+△BEC=90°．△△DEC=90°．又∵AD=6，AB=14，△BE=AD=6，AE=14-6=8．△△1=△2，△10．．△此题考查学生对全等三角形的判定方法及勾股定理的运用能力．56．如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】（1）作图见解析；（2）ABD的周长为5cm.【解析】分析：（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC；（2）利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC，则利用等量代换得到△ABD 的周长=AB+AC，然后把AB=2cm，AC=3cm代入计算计算．详解：（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．点睛：本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．57．(1)如图1，四边形ABCD中，AB=7，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长；(2)如图2，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长.【答案】-3.【解析】【分析】（1）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（2）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解．【详解】（1）如图1，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC 和△BAD 中，AE AB EAC BAD AC AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△EAC ≌△BAD ，∴BD=CE ．∵AE=AB=7，∴∠ABE=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴=∴（3）如图2，在线段AC 的右侧过点A 作AE ⊥AB 于点A ，交BC 的延长线于点E ，连接BE ．∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=7，又∵∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC ，即∠EAC=∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE AB EAC BAD AC AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△EAC ≌△BAD ，∴BD=CE ，∵BC=3，∴-3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键．58．如图，AB=EB ，BC=BF ，ABE CBF ∠=∠．EF 和AC 相等吗?为什么?【答案】见解析【解析】分析：因为∠ABE=∠CBF ，所以都加上∠CBE 得到∠ABC=∠EBF ，再根据“边角边”判定方法判定△ABC 与△EBF 全等，最后根据全等三角形对应边相等解答即可.详解：EF=AC．理由：∵∠ABE=∠CBF，△△ABE+△EBC=△CBF+△EBC，即∠ABC=∠EBF，在△ABC和△EBF中，AB=EB，△ABC=△EBF，BC=BF△△ABC△△EBF（SAS），△EF=AC．点睛：本题主要考查三角形全等“边角边”的判定方法，证出对应角∠ABC=∠EBF是运用判定定理证明的关键.59．如图24①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD 于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF.(1)求证：EF平分线段BC；(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)现根据CE△AD,BF△AD,可得△ACE=△DBF=90°,由于AB=CD,所以AB+BC=BC+CD,即AC=DB,在Rt△ACE和Rt△DBF中,AE DF AC DB =⎧⎨=⎩,可证Rt △ACE △Rt △DBF ,继而可得CE=FB, 在Rt △CEG 和Rt △BFG 中,90ECG FBG EGC BGF EC FB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,可证Rt △CEG △Rt △BFG, 可得CG=BG ,即EF 平分线段BC.(2)先根据CE ⊥AD,BF ⊥AD,可得△ACE =△DBF =90°,由于AB=CD,可得AB-BC=CD-BC,即AC=DB,在Rt △ACE 和Rt △DBF 中,AE DF AC DB =⎧⎨=⎩,可证Rt △ACE △Rt △DBF,可得CE=FB,在Rt △CEG 和Rt △BFG 中,90ECG FBG EGC BGF EC FB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,可证Rt △CEG △Rt △BFG, 可得CG=BG ,即EF 平分线段BC.【详解】(1)因为CE △AD ,BF △AD ,所以△ACE =△DBF =90°,因为AB=CD,所以AB+BC=BC+CD,即AC=DB,在Rt △ACE 和Rt △DBF 中,AE DF AC DB =⎧⎨=⎩, 所以Rt △ACE △Rt △DBF ,所以CE=FB,在Rt △CEG 和Rt △BFG 中,90ECG FBG EGC BGF EC FB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, 所以Rt △CEG △Rt △BFG,所以CG=BG ,即EF 平分线段BC.(2)(1)中结论成立,理由为:因为CE ⊥AD,BF ⊥AD,所以△ACE =△DBF =90°,因为AB=CD,所以AB-BC=CD-BC,即AC=DB,在Rt △ACE 和Rt △DBF 中,AE DF AC DB =⎧⎨=⎩, 所以Rt △ACE △Rt △DBF,所以CE=FB,在Rt △CEG 和Rt △BFG 中,90ECG FBG EGC BGF EC FB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, 所以Rt △CEG △Rt △BFG,所以CG=BG ,即EF 平分线段BC.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质.60．在Rt △ABC 中，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 为射线AB 上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF.(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图23(a)．①请你将图形补充完整；②线段BF，AD所在直线的位置关系为________，线段BF，AD的数量关系为________．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图23(b)．在(1)中②问的结论是否仍然成立？如果成立，请进行证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)①见解析;②垂直，相等;(2)成立,理由见解析.【解析】【分析】(1)①如图所示．②根据CD⊥EF,可得∠DCF＝90°.由于∠ACB＝90°,可得∠ACB＝∠DCF,∠ACD＝∠BCF.根据AC＝BC,CD＝CF,可判定△ACD≌△BCF,根据全等三角形的性质可得AD＝BF,∠BAC＝∠FB C,继而可得∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.(2)根据CD⊥EF,可得∠DCF＝90°,由于∠ACB＝90°,可证∠DCF＝∠ACB,所以∠DCF＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD,继而可得∠BCF＝∠ACD,根据AC ＝BC,CD＝CF,可判定△ACD≌△BCF,根据全等三角形的性质可得AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,所以∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.【详解】解:(1)①如图所示．②∵CD⊥EF,∴∠DCF＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠DCF,∴∠ACD＝∠BCF.又∵AC＝BC,CD＝CF,∴△ACD≌△BCF,∴AD＝BF,∠BAC＝∠FB C,∴∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.故答案为:垂直,相等.(2)成立．证明:∵CD⊥EF,∴∠DCF＝90°,∵∠ACB＝90°,∴∠DCF＝∠ACB,∴∠DCF＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD,∴∠BCF＝∠ACD,又∵AC＝BC,CD＝CF,∴△ACD≌△BCF,∴AD＝BF,∠BAC＝∠FBC,∴∠ABF＝∠ABC＋∠FBC＝∠ABC＋∠BAC＝90°,即BF⊥AD.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六(含答案) (77)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六（含答案)阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．(1)如图①，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB 于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋⊥D＝180°，CB＝CD，⊥BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)210<<(2)证明见解析(3)BE＋DF＝EFAD【解析】试题分析：（1）延长AD至E，使DE=AD，连接BE．由SAS证明△BDE△△CDA，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG．同（1）得△BDG△△CDF，得出BG＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EF＝EG，在△BEG中，由三角形的三边关系得出BE＋BG>EG即可得出结论；（3）延长AB至点G，使BG=DF，连接CG．证出△CBG＝△D，由SAS 证明△CBG△△CDF，得出CG＝CF，△BCG＝△DCF，证出△ECG=70°=△ECF，再由SAS证明△ECG△△ECF，得出EG=EF，即可得出结论．解：（1）延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图△所示：△AD是BC边上的中线，△BD=CD，在△BDE和△CDA中，△BD=CD，△BDE=△CDA，DE=AD，△△BDE△△CDA（SAS），△BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，△12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，△2＜AD＜10；(2)证明：延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG．△点D是BC的中点，△DB＝DC．在△BDG和△CDF中，△DG=DF，△BDG=△CDF，DB=DC，△△BDG△△CDF(SAS)，△BG＝CF．△ED△FD，即ED△FG．又△FD＝GD，△EF＝EG．在△BEG中，△BE＋BG>EG，△BE＋CF>EF．(3)解：BE＋DF＝EF．证明如下：如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG．△△ABC＋△D＝180°，△ABC＋△CBG＝180°，△△CBG＝△D．在△CBG和△CDF中，△BG=DF，△CBG=△CDF，CB=CD，△△CBG△△CDF(SAS)，△CG＝CF，△BCG＝△DCF，．△△BCD＝140°，△ECF＝70°，△△DCF＋△BCE＝70°，△△BCE＋△BCG＝70°，△△ECG＝△ECF＝70°．在△ECG和△ECF中，△CE=CE，△ECG=△ECF，CG=C，△△ECG△△ECF(SAS)，△EG＝EF．△BE＋BG＝EG，△BE＋DF＝EF．点睛：本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．62．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．【答案】（1）△DEF是等边三角形，证明见解析；（2）AD＝BE＝CF成立，证明见解析.【解析】试题分析：(1)由SAS易证△ADF△△BED△△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF 是等边三角形；(2)先证明△1+△2=120°，△2+△3=120°．可得△1=△3．同理△3=△4．则△ADF△△BED△△CFE，故能证明AD=BE=CF.解：(1)△DEF是等边三角形．证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF＝ED＝FE.∴△DEF是等边三角形．(2)AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.点睛：本道题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.63．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE 与QF的数量关系是________；(2)如图②，当点P在线段AB上且不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并说明理由．(温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)【答案】(1)AE∥BF,QE＝QF;(2) QE=QF，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据AAS推出△AEQ和△BFQ全等即可得出答案；(2)延长EQ交BF于D，求出△AEQ和△BDQ全等，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【详解】(1)如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE△BF，QE与QF的数量关系是QE=QF,理由：∵Q为AB的中点，△AQ=BQ，△AE△CQ，BF△CQ，△AE△BF，△AEQ=△BFQ=90°，△△AEQ△△BFQ，△QE=QF；(2)QE=QF证明：如图2，延长EQ交BF于D,∵由(1)知：AE△BF，△△AEQ=△BDQ，△△AEQ△△BDQ，△EQ=DQ，△△BFE=90°，△QE=QF．【点睛】本题主要考查的就是三角形全等的证明与应用，难度中等．在解决这个问题的时候，我们要学会利用添加辅助线构造三角形全等，对直角三角形性质(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)的应用也要非常的熟练．64．如图，已知线段m，n，如果以线段m，n分别为等腰三角形的底或腰作三角形，能作出几个等腰三角形？请作出．不写作法，保留作图痕迹．【答案】能作出两个等腰三角形【解析】试题分析：以m为底时，以底的两个端点为圆心，n长为半径画弧交于一点，则这个点就是顶点；以n为底时，以底的两个端点为圆心，m长为半径画弧交于一点，则这个点就是顶点，则这样的三角形就有两个．试题解析：如图所示：能画出两个等腰三角形．一个以m 为底，以n 为腰；另一个以n 为底，以m 为腰．65．如图,点A 、D 、E 在直线l 上,∠BAC=90°,AB=AC,BD ⊥l 于D,CE ⊥l 于E,求证:DE=BD+CE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据已知条件及互余关系可证△ABD ≌△CAE ，则BD=AE ，AD=CE ，由DE=AD+AE ，得出线段DE=BD+CE ．【详解】∵∠BAC=90°，BD ⊥DE ，CE ⊥DE ，∴∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC ，∴∠DBA=∠EAC ；在△ABD 与△CAE 中，DBA EAC BDA AEC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∴DE=BD+CE ．66．如图，己知△ABC 是等边三角形，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，分别连接AP 、BP 、AQ 、CQ ，∠ABP=∠ACQ, BP=CQ.(1)求证：△ABP ≌△ACQ ；(2)连接PQ,求证△APQ 是等边三角形；(3)连接P 设△CPQ 是以∠PQC 为顶角的等腰三角形，且∠BPC=100︒，求∠APB 的度数.【答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析；（3）160°【解析】试题分析:易证AB =AC ，△BAC =60°，即可证明△ABP △△ACQ ，可得△BAP =△CAQ ，AP =AQ ，即可求得△PAQ =60°，即可解题．（1）证明： △ △ABC 是等边三角形，∴ AB=AC .在△ABP 和△ACQ 中ABP ACQ AB AC BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ △ABP ≌ △ACQ ( SAS ).（2）证明： △ △ABP ≌ △ACQ ，∴ AP AQ =,BAP CAQ ∠=∠ ，∴ BAP PAC CAQ PAC ∠+∠=∠+∠，∴ BAC PAQ ∠=∠ .△ △ABC 是等边三角形，∴ 060BAC ∠=，∴ 060PAQ ∠= ，∴ △APQ 是等边三角形.（3）解：如图示△ △CPQ 是等腰三角形，∠PQC 为顶角， ∴ QPC QCP ∠=∠ .设0QPC x ∠=， 0180PQC QPC QCP ∠=-∠-∠=001802x - . △ △APQ 是等边三角形，∴ 060APQ AQP ∠=∠=，∴ 00000601802240-2AQC AQP PQC x x ∠=∠+∠=+-=. △ △ABP ≌ △ACQ ，∴ APB AQC ∠=∠，∴ 002402APB x ∠=- .△ 0360APB APQ QPC BPC ∠+∠+∠+∠=，又∵ 000100,60,,BPC APQ QPC x ∠=∠=∠=∴ 240-260100360x x +++=，解得 40x =，∴ 000240240160APB ∠=-⨯= .点睛: 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证△ABP ≌△ACQ 是解题的关键．67．已知：如图所示，△ABC 中，∠ABC=45°，高AE 与高BD 交于点M ，BE=4，EM=3.（1）求证：BM=AC ；（2）求△ABC 的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)14【解析】试题分析：（1）由同角的余角相等，得到△BME =△C ，再由△ABE 是等腰直角三角形，得到AE =BE ，即可证明△BEM △△AEC ，从而得到结论；（2）由△BEM △△AEC ，得到BE 、EM 的长，进而得到BC 的长，根据三角形面积公式即可求出结论．试题解析：解：（1）△AE 、BD 为△ABC 的高， △△BEM =△AEC =△BDC =90°，△△EBM +△C =△EBM +△BME =90°， △△BME =△C ．又△△ABC =45°，△△ABC =△BAE =45°，△AE =BE ．在△BEM 和△AEC 中，△△BEM =△AEC ，△BME=△C，BE=AE，△△BEM△△AEC(AAS) ，△BM=AC；（2）△△BEM△△AEC，△BE=AE=4，EM=EC=3，△BC=BE+EC=7，△△ABC的面积=12×BC×AE=12×7×4=14．68．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F．求证：BE＝CF【答案】证明见解析【解析】试题分析：由AB=AC，得到∠B=∠C，再由AAS得到△BED≌△CFD，即可得出BE=CF．试题解析：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．又∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△BED和△CFD 中，△△B=△C，△BED=△CFD=90°，BD=CD，∴△BED≌△CFD(AAS) ，∴BE ＝CF．69．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，试说明：(1)△AEF≌△CEB；(2)∠ABF＝2∠FBD；【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：()1根据等角的余角相等易得EAF ECB ∠=∠，此时根据ASA 结合已知条件即可得出结论；()2根据△AEF ≌△CEB 得EF EB =，得到.EBF EFB ∠=∠AD 垂直平分,BC 得到FB FC =，根据等边对等角得到.FBD FCD ∠=∠根据三角形外角的性质得到2EFB FBD FCD FBD ∠=∠+∠=∠，即可证明.试题解析：(1)因为AD BC CE AB ⊥⊥，，所以90AEF CEB ∠=∠=︒， 9090.AFE EAF CFD ECB ∠∠=︒∠∠=︒＋，＋又因为AFE CFD ∠=∠，所以.EAF ECB ∠=∠在△AEF 和△CEB 中，AEF CEB AE CEEAF ECB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以△AEF ≌△CEB (ASA)．(2)由△AEF ≌△CEB 得EF EB =，所以.EBF EFB ∠=∠在△ABC 中，AB AC AD BC ⊥＝，，所以BD CD =.所以FB FC = .所以.FBD FCD ∠=∠因为2EFB FBD FCD FBD ∠=∠+∠=∠，所以2EBF FBD ∠=∠，即2.ABF FBD ∠=∠70．如图，B 、D 、C 三点在一条直线上，∠ADB=∠ADC=90°，BD=DE ，∠DAC=45°；（1）线段AB 、CE 的关系为；（2）若BD=a ，AD=b ，AB=c ，请利用此图的面积式证明勾股定理．【答案】(1) AB=CE ，AB ⊥CE,理由见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先由边角边证得△ADB ≌△CDE ，可得AB=CE ，∠BAD=∠ECD ；延长CE 和AB 交于点F ，由同角的余角相等即可证得∠BFC=90°，即AB ⊥CE ；（2）把△ABC 面积分成ΔABE ΔBDE ΔACD S S S ++，由三角形的面积公式即可证明. 试题解析：（1）线段AB 、CE 的关系为：AB=CE ，AB ⊥CE ，∵∠ADB=∠ADC=90°，∠DAC=45°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴AD=CD ，∵BD=ED ，∴△ADB ≌△CDE （SAS ），∴∠BAD=∠ECD ，延长CE 交AB 于点F ，如图：∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ECD +∠ABD=90°，即AB ⊥CE ；（2）如图，设EF=x ，∵ ΔABC ΔABE ΔBDE ΔACD S S S S =++， ∴1111AB CF AB EF BD DE DC AD 2222⋅=⋅+⋅+⋅， ∵BD=a ，AB=c ，AD=b ，∴易得 AB=CE=c ，BD=DE=a ，AD=CD=b ， ∴221111c c x cx a b 2222+=++（），即： 22211111c cx cx a b 22222+=++， ∴222111c a b 222=+， ∴222a b c +=.点睛：此题考查了三角形全等的判定、同角的余角相等以及勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式为底×高÷2.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六(含答案) (86)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六（含答案)如图所示,已知∠α和∠β(∠α>∠β),求作:(1)∠α+∠β;(2)∠α-∠β.【答案】见解析【解析】（1）可先作∠AOC=∠α，然后以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC 的外部作∠COB=∠β即可；（2）先作∠AOC=∠α，然后以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的内部作∠COB=∠β即可．作法：(1)作∠AOC=∠α，以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的外部作∠COB=∠β，则∠AOB就是所求的角；(2)作∠AOC=∠α，以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的内部作∠COB=∠β，则∠AOB就是所求的角.52．如图所示，已知点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，AC ＝BD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，试说明AM ∥CN ，BM ∥DN ．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先根据AC BD =可得AB CD =，再加上条件AM CN BM DN ，==可利用SSS 定理证明ΔABM ≌ΔCDN ，再根据全等三角形的性质可得A NCD MBA D ∠=∠∠=∠，，即可证明AM ∥CN ，BM ∥DN ．试题解析：因为AC BD =，所以AB CD =，又,AM CN BM DN ==，所以ΔABM ≌ΔCDN ，所以A NCD MBA D ∠=∠∠=∠，，所以AM ∥CN ，BM ∥DN ．53．用给出的图形(如图所示)编写两个三角形全等的题目．(1)需要用“SSS ”来说明；(2)需要用“ASA ”来说明．要求：在已知条件中不能给出AF ＝CE ，也不能给出两个角相等的关系式．【答案】见解析【解析】试题分析： ()1要求根据“SSS ”判断两三角形全等，但不能给出AF CE =，据此可先得到两边对应相等，结合图形，只要能间接得到AF CE =即可；()2要求根据“ASA ”判断两三角形全等，但不能给出两角相等的关系式，可通过平行线来得到两角相等，再给出两角所夹的边相等即可解答本题.试题解析：(1)已知AD BC EB FD AE CF ===，，，试说明ΔADF ≌ΔCBE ．(2)已知AD ∥BC ，EB ∥DF ，AE CF =，试判断ΔADF 与ΔCBE 是否全等，并说明理由．54．画图并讨论．已知ΔABC ，如图所示，要求画一个三角形，使它与ΔABC 有一个公共的顶点C ，并且与ΔABC 全等．甲同学的画法如下：①延长BC 和AC ；②在BC 的延长线上取点D ，使CD ＝BC ；③在AC 的延长线上取点E ，使CE ＝AC ；④连接DE，得ΔEDC．乙同学的画法如下：①延长AC和BC；②在BC的延长线上取点M，使CM＝AC；③在AC的延长线上取点N，使CN＝BC；④连接MN，得ΔMNC．究竟哪种画法对?有如下几种结论：A．甲画得对，乙画得不对；B．乙画得对，甲画得不对；C．甲、乙画得都对；D．甲、乙画得都不对．正确的结论是 .这道题还可以按下面步骤完成：①用量角器量出∠ACB的度数；②在∠ACB的外部画射线CP，使∠ACP＝∠ACB；③在射线CP上取点D，使CD＝CB；④连接AD．ΔADC就是所要画的三角形．这样画的结果可记作ΔABC∠ .满足题目要求的三角形可以画出多少个呢?答案是．请你再设计一种画法并画出图形．【答案】C;ΔADC;无数个;图形见解析【解析】试题分析：（1）、（2）利用“SAS”可对甲、乙的画法进行判断；（3）根据“SAS”可判断ABC≌ADC；（4）以BC为公共边画三角形与ABC全等．试题解析：(1)、(2)对于甲的画法,可根据“SAS”判定△ACB≌△ECD;对于乙的画法,可根据“SAS”判定△ACB≌△MCN，所以甲、乙都画得对；(3)根据“SAS”可判断△ABC≌△ADC；(4)满足题目要求的三角形可以画出无数个；(5)如图,过C点作CE∥AB，截取CE=AB，连结BE，则△BCE为所作.故答案为③，△ADC，无数.55．阅读材料，解答问题数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说：“如图1，我用相同的两块含30°角的直角三角板可以画角的平分线．画法如下：①在的两边分别取点M，N，使OM=ON ；②把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点P ；③作射线OP .则OP是∠AOB 的平分线．”小旭说：“我只用刻度尺就可以画角平分线．”请你也参与探讨，解决以下问题：（1）小惠的作法正确吗?若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2 中∠QRS 的平分线，并简述画图的过程．【答案】(1) 小惠的作法正确．理由见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）过O点作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，求出⊥OMC⊥⊥OND，根据全等三角形的性质得出OC=OD，⊥COM=⊥DON，根据角平分线性质求出⊥CPO=⊥DPO．根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据全等三角形的判定定理SSS，用刻度尺作出即可．试题解析：解：（1）小惠的做法正确．理由如下：如图1，过O点作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，⊥⊥C=⊥D=90°，由题意，⊥PMA=⊥PNB=60°，⊥⊥OMC=⊥PMA=60°，⊥OND=⊥PNB=60°，⊥⊥OMC=⊥OND．在⊥OMC和⊥OND中，⊥⊥CMO=⊥DNO，⊥C=⊥D，OM=ON，⊥⊥OMC⊥⊥OND（AAS），⊥OC=OD，⊥COM=⊥DON，⊥OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，⊥点O在⊥CPD的平分线上，⊥⊥CPO=⊥DPO，⊥⊥COP=⊥DOP，⊥⊥MOP=⊥NOP，即射线OP是⊥AOB的平分线；（2）如图2，射线RX是⊥QRS的平分线，作图过程是：用刻度尺作RV=RW，RT=RU，连接TW，UV交于点X，射线RX即为所求⊥QRS的平分线．点睛：本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中．56．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM=∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N.（1）求证：△BDM≌△ADN ；（2）若AC=2，BC=1，求CM的长.【答案】（1）见解析；（2）0.5【解析】试题分析：（1）根据HL易证Rt⊥DCN⊥Rt⊥DCM，可得CN=CM，进而可以证明Rt⊥ADN⊥Rt⊥BDM；（2）由Rt⊥ADN⊥Rt⊥BDM，可得AN=BM，变形得出答案即可．试题解析：解：（1）∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，∴DN=DM．在Rt△DCN和Rt△DCM中，⊥CD=CD，DN=DM，⊥Rt△DCN⊥Rt△DCM （HL），⊥CN=CM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，⊥⊥DBM=⊥DAN，⊥AND=⊥BMD，ND=DM，⊥Rt△ADN⊥Rt△BDM（AAS）；(2)⊥Rt△ADN⊥Rt△BDM，⊥AN=BM．⊥AN=AC-CN，BM=BC+CM，⊥AC-CN=BC+CM，⊥AC-CM=BC+CM，⊥2CM=AC-BC．⊥AC=2，BC=1，⊥CM=0.5．57．如图,△ABC的顶点A,B,C都在小正方形的顶点上,试在方格纸上按下列要求画格点三角形:(1)所画的三角形与△ABC全等,且有一条公共边;(2)所画的三角形与△ABC全等,且有一个公共顶点;(3)所画的三角形与△ABC全等,且有一个公共..【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：只要根据题意画出全等的三角形即可，每个题目的答案都不是唯一的，保证三条边相等即可．试题解析：(1)答案不唯一,如图1所示,△AB'C为所求;(2)答案不唯一,如图2所示,△A'BC'为所求;(3)答案不唯一,如图3所示,△CDE为所求.图1图2图358．如图,点B在线段AE上,∠CAE=∠DAE,∠CBE=∠DBE,试说明:EC=ED．【答案】理由见解析.【解析】试题分析：首先根据∠CBE=∠DBE得出∠ABC=∠ABD，然后得出△ABC和△ABD全等，从而得出AC=AD，然后根据SAS得出△ACE和△ADE全等，从而得出EC=ED．试题解析：因为∠CBE=∠DBE,∠ABC=180°-∠CBE,∠ABD=180°-∠DBE, 所以∠ABC=∠ABD.在△ABC和△ABD中, ∠CAE=∠DAE,AB=AB,∠ABC=∠ABD,所以△ABC≌△ABD(ASA). 所以AC=AD.在△ACE和△ADE中, AC=AD,∠CAE=∠DAE,AE=AE,所以△ACE≌△ADE(SAS). 所以EC=ED.59．某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,由以上信息能求出CB的长度吗?请你说明理由.【答案】能求出CB的长度.理由见解析.【解析】试题分析：根据O为中点得出OA=OB，OC=OD，从而得出△AOD和△BOC全等，从而得出CB=AD得出答案．试题解析：由以上信息能求出CB的长度,理由如下:因为O是AB,CD的中点,所以OA=OB,OC=OD.在⊥AOD和⊥BOC中, OA=OB,⊥AOD=⊥BOC,OC=OD, 所以⊥AOD⊥⊥BOC(SAS).所以CB=AD. 因为AD=30cm, 所以CB=30cm.60．(2017·福建福州中考)如图,点B ,E ,C ,F 在一条直线上,AB=DE ,AC=DF ,BE=CF.试说明:∠A=∠D ．【答案】理由见解析.【解析】试题分析：根据题意得出BC=EF ，然后结合已知条件得出△ABC 和△DEF 全等，从而得出答案．试题解析：因为BE=CF,所以BE+CE=CF+CE ，所以BC=EF ．在△ABC 和△DEF 中,AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△DEF(SSS)，所以∠A=∠D.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六(含答案) (59)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题六（含答案)（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且2BAD EAF ∠∠=．求证：EF BE FD =+．（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且2BAD EAF ∠∠=，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且2BAD EAF ∠∠=．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】见解析【解析】分析：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB 到G ，使BG=DF ，连接AG ．目的就是要证明三角形AGE 和三角形AEF 全等将EF 转换成GE ，那么这样EF=BE+DF 了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE 和AEF 中，只有一条公共边AE ，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG 和AFD 中，已知了一组直角，BG=DF ，AB=AD ，因此两三角形全等，那么AG=AF ，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD ．由此就构成了三角形ABE 和AEF 全等的所有条件（SAS ），那么就能得出EF=GE 了．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG 和ADF 全等中，证明∠ABG=∠ADF 时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG ，GE=EF ，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF ．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．详解：（1）延长EB 至点G ，使BG DF =，连接AG ，∵90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒，AB AD >，∴ABG ≌ADF ，∴AG AF =，12∠=∠， ∴113232EAF BAD ∠+∠=∠+∠=∠=∠， ∴GAE EAF ∠=∠，在GAE 和FAE 中，AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴GAE ≌()FAE SAS ，∴EG EF =，∵EG BE BG =+，∴EF BE FD =+．（2）（1）中的结论仍成立，证明：延长CB 至点M ，使BM DF =，∵180ABC D ∠+∠=︒，1180ABC ∠+∠=︒，∴1D ∠=∠，在ABM 和ADF 中，1AB AD D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABM ≌()ADF SAS ，∴AF AM =，23∠=∠, ∵12EAF BAD ∠=∠， ∴1242BAD EAF ∠+∠=∠=∠， ∴34EAF ∠+∠=∠即MAE EAF ∠=∠，在AME 和AFE 中，AM AF MAE EAF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AME ≌()AFE SAS ，∴EF ME =，即EF BE BM =+．（3）结论不成立，应当是EF BE FD =-，证明：在BE 上截取BG 使BG DF =，连接AG ，∵180B ADC ∠+∠=︒，180ADF ADC ∠+∠=︒，∴B ADF ∠=∠，∵在ABG 和ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABG ≌()ADF SAS ，∴BAG CAF ∠=∠，AG AF =，∴BAG EAD DAF EAD ∠+∠=∠+∠，12EAF BAD =∠=∠， ∴GAE EAF ∠=∠，在AEG 和AEF 中，AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEG ≌()AEF SAS ，∴EG EF =，∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．点睛：此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.82．如图，已知点C ,E ,F ,B 在同一条直线上，点A ,D 在BC 异侧，且AB ∥CD ,CE BF =,A D ∠=∠．（Ⅰ）求证：AB DC =；（Ⅱ）若AB CF =,36B ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】（1）证明见解析（2）72°【解析】试题分析：（Ⅰ）根据平行线的性质求出∠B=∠C ，根据AAS 推出△ABE ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出即可；（Ⅱ）根据全等得出AB=CD ，BE=CF ，∠B=∠C ，求出CF=CD ，推出∠D=∠CFE ，即可求出答案．试题解析：（Ⅰ）AB // CD ，B C ∠=∠ ，CE BF =，CE EF BF EF ∴+=+，即CF BE = ，在ABE ∆和DCF ∆中，B C A D BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABE ∆≌DCF ∆ ()AAS ，≌AB CD = ；（Ⅱ）∵△ABE ≌△CDF ，∴AB=CD ，BE=CF ，∠B=∠C ，∵∠B=36°，∴∠C=36°∵AB=CF ，∴CF=CD ，∴∠D=∠CFE=180722C ︒-∠=︒ . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，关键是根据平行线的性质证出∠B=≌C ．83．如图，AB CD =，AE BC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ,F ，CF BE =．求证：=B C ∠∠．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据HL 证明Rt ΔABC ≌Rt ΔDEF ，再根据全等三角形的对应角相等即可得.试题解析：,AE BC DF BC ⊥⊥ ，90AEB DFC ∴∠=∠=︒，在Rt ABC ∆和△Rt DEF ∆中CD AB CF BE =⎧⎨=⎩， ≌Rt ABC ∆≌≌()Rt HL DEF ∆，C B ∴∠=∠ .84．如图，△ACB 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ．（1）证明：△BCE ≌△CAD ；（2）若AD=25，BE=8，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=17cm ．【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，然后根据同角的余角相等求出∠CBE=∠ACD ，再利用“角角边”证明△BCE 和△CAD 全等；（2）根据全等三角形对应边相等，通过线段的和差即可求得.试题解析：（1）∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，在△BCE和△CAD中，ADC BECACD CBE AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAD；（2）∵△BCE≌△CAD，∴AD=CE，BE=CD，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE=25﹣8=17（cm）．三、填空题85．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF=8 cm,则AE=__ cm.【答案】6【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．【详解】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠ECF=∠B （等角的余角相等），在△FCE 和△ABC 中，90ECF B EC BCACB FEC ＝＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠︒⎩， ∴△ABC ≌△FEC （ASA ），∴AC=EF ，∵AE=AC-CE ，BC=2cm ，EF=8cm ，∴AE=8-2=6cm ，故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B 是解题的关键．86．如图，若要用“HL ”证明Rt ABC ≌Rt ABD ，则需要添加的一个条件是___．【答案】AC AD =或BC BD =【解析】【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD ．【详解】解：添加AC=AD或BC=BD；理由如下：≌≌C=≌D=90°，在Rt≌ABC和Rt≌ABD中，AB AB AC AD=⎧⎨=⎩≌Rt≌ABC≌Rt≌ABD（HL），故答案为AC=AD或BC=BD．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．87．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第_______块去配，其依据是定理_______（可以用字母简写）．【答案】3 ASA【解析】【分析】显然第③中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．【详解】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第③块.故答案为③；ASA.【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是清楚定理ASA.88．已知以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A，B，C，D 按顺时针方向排列)中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD 的度数为____________．【答案】80°或100°【解析】【分析】作出图形，证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，分类讨论可得解.【详解】∵AB＝BC，∠ABC＝100°，∴∠1＝∠2＝∠CAD＝40°，∴AD∥BC.点D的位置有两种情况：如图①，过点C分别作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∵∠1＝∠CAD，∴CE＝CF，在Rt△ACE与Rt△ACF中，AC AC CE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ACE≌Rt△ACF，∴∠ACE＝∠ACF.在Rt△BCE与Rt△DCF中，CB CD CE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠ACD＝∠2＝40°，∴∠BCD＝80°；如图②，∵AD′∥BC，AB＝CD′，∴四边形ABCD′是等腰梯形，∴∠BCD′＝∠ABC＝100°，综上所述，∠BCD＝80°或100°，故答案为80°或100°.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明Rt△ACE≌Rt△ACF，Rt△BCE≌Rt△DCF，同时注意分类思想的应用．89．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件_____，则有△AOC≌△BOD．【答案】AC＝BD（答案不唯一）【解析】【分析】根据AAS即可证明三角形全等.【详解】解：≌≌A＝≌B，当AC＝BD,≌AOC=≌BOD,≌≌AOC≌≌BOD（AAS）.【点睛】本题考查了三角形全等的判定,属于简单题,熟悉全等三角形的判定方法是解题关键.90．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S△ABC=12（AB+BC﹣AC）；④AC=AF+DC．其中正确的IE（AB+BC+AC）；③BE=12结论是_____．【答案】①②③．【解析】≌≌I为≌ABC三条角平分线的交点，IE≌BC于E，≌≌ABI=≌IBD，≌≌DIC=≌DAC+≌ACI=12（≌BAC+≌ACB），≌ABI=12≌ABC，≌≌CID+≌ABI=90°，≌IE≌BC于E，≌≌BIE+≌IBE=90°，≌≌ABI=≌IBE，≌≌BIE=≌CID；即≌成立；≌≌I是≌ABC三内角平分线的交点，≌点I到≌ABC三边的距离相等，≌S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=12•AB•IE+12BC•IE+12AC•IE=12IE（AB+BC+AC），即≌成立；≌如图，过I作IH≌AB于H，IG≌AC于G，≌I是≌ABC三内角平分线的交点，≌IE=IH=IG，在Rt≌AHI与Rt≌AGI中，AI AI IH IG =⎧⎨=⎩， ≌Rt ≌AHT ≌Rt ≌AGI （HL ），≌AH=AG ，同理BE=BH ，CE=CG ，≌BE+BH=AB+BC ﹣AH ﹣CE=AB+BC ﹣AC ，≌BE=12（AB+BC ﹣AC ）；即≌成立；≌由≌证得IH=IE ，≌≌FHI=≌IED=90°，≌≌IHF 与≌DEI 不一定全等，≌HF 不一定等于DE ，≌AC=AG+CG=AH+CE ≠AF+CD ，即≌错误．故答案为：≌≌≌．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解答此类题目的关键是要熟练掌握三角形内角与外角的关系．。