八圆

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高中数学教师备课必备系列圆与方程专题八圆系方程及其应用含解析

圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。

中考数学冲刺：总复习八圆的总复习

中考冲刺：总复习八圆的总复习一、考点分析：《圆》一章的内容，它是初中数学中最核心的内容之一。

在近年各省市的考题中，其分值平均占到19.66%左右，试题所反映出的考点主要有：1、准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题。

2、既会从距离与半径的数量关系，确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索相应半径与距离的数量关系。

3、利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及其它们之间特有的关系，解答或证明与角、线段有关的几何问题。

4、会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理证明一类与圆相关的几何问题。

5、会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长，圆、扇形、弓形的面积公式解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法求阴影部分的面积。

6、会准确表述有关点的轨迹问题。

7、会用T形尺找出圆形工件的圆心，会选用作垂直平分线的方法寻找有实际背景中的圆心问题，会作满足题设条件的圆和圆的切线、圆内接正多边形，并会以圆弧或圆的基本元素设计各种优美图案。

8、综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题。

二、精选例题：例1．（1）在半径为5cm的⊙O中，弦A B的长等于6cm.若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动（滑动过程中A B长度不变），则弦A B的中点C的轨迹是_________。

（2）如图，⊙O的直径为10，弦A B=8，P是弦A B上的一个动点，那么OP长的取值范围是________。

析解：本考题着重考查学生对点的轨迹概念的理解。

（1）由于在定圆中，弦A B长度不变，且弦A B的两个端点A、B在⊙O上滑动，根据垂径定理，可知OC⊥A B，且OC===4(定值)。

这说明弦A B的中点C的轨迹应是以O为圆心，4cm长为半径的圆。

（2）依据点到直线间垂线段最短公理，可过O作OC⊥AB，交A B于点C，由勾股定理，可知OC===3，又P是弦A B上的一个动点，则OP长满足OC≤OP≤OB，即3≤OP≤5。

八圆

八、圆1．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．2．已知△ABC内接于⊙O，BT与⊙O相切于点B，点P在直线AB上，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．（1）如图，当点P在线段AB上时，求证：P A·PB＝PE·PF；（2）当点P在BA延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB＝42，cos∠EBA＝13，求⊙O的半径．3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7．（1）求sin A和sin C的值；（2）若⊙D的圆心D在边AC上，且⊙D与边AB、BC都相切，求⊙D的半径．4．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、F．AD与BE相交于点G，连接BD．（1）求BD的长；（3）求BGAG的值．C5．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 切CD 于点E ．（1）如图1，设AD ＝x ，BC ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如图2，BE 的延长线交AD 的延长线于点F ，求证：AD ＝12AF ；（3）如图3，若AD ＝2，BC ＝8，动点P 以每秒1个单位长的速度，从点B 沿线段BC 向点C 运动；同时动点Q 以相同的速度，从点D 沿折线D －A －B 向点B 运动．当点P 到达点C 时，两点同时停止运动．过点P 作直线PM ⊥BC 与折线B －D －C 的交于点M ．设点P 运动的时间为t （秒）．点P 在线段BC 上运动时，是否可以使得以D 、M 、Q 为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请求出t 的值；若不可以，请说明理由．6．已知：在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，⊙A 与⊙B 外切于点D ，并分别与BC 、AC 边交于点E 、F ．（1）设EC ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若以E 、F、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 ADBD的值；（3）若⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，求ADBD的值．7．如图，已知∠ABC ＝90º，AB ＝BC ，直线l 与以BC 为直径的⊙O 相切于点C ，点F 是⊙O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 于点D ．（1）如果BE ＝15，CE ＝9，求EF 的长；（2）证明：①△CDF ∽△BAF ；②CD ＝CE ；BC ＝3（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使CD ，请说明你的理由．8．如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：y ＝kx ＋3．（1）设点P 的纵坐标为p ，写出p 随k 变化的函数关系式；（2）设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP ．请你对于点P 处于图中位置．．．．时的两三角形相似给予证明；（3）是否存在使△AMN 的面积等于3225的k 值？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．图3 El 图2 图1 A BCD EF9．已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、O 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P ．设⊙O 的半径为r ．（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r2；（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以图2点E 的位置为例，（1）中的结论是否成立？请说明理由．10．已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径．11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，DE ＝3，连接DB ，过点E 作EM ∥BD ，交BA 的延长线于点M ．（1）求⊙O 的半径；（2）求证：EM 是⊙O 的切线；（3）若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠APD ＝45º时，求图中阴影部分的面积．12．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，射线AM 、BN 为半圆O 的切线．在AM 上取一点D ，连接BD 交半圆于点C ，连接AC ．过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F ．过D 点作半圆O 的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q ．（1）求证：△ABC ∽△OFB ；（2）当△ABD 与△BFO 的面枳相等时，求BQ 的长；（3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点．（图1）（图2）13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2cm /s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．（1）当t ＝1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．14．如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ．（1）弦长AB 等于___________（结果保留根号）；（2）当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；（3）当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．15．如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O过正方形的顶点A 和对角线的交点M ，分别交AB 、AD 于点F 、E ．（1）求证：DE ＝AF ；（2）若⊙O 的半径为 32，AB＝2＋1，求AEED的值．16．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD 的边BC 为大圆的弦，边AD 与小圆相切于点M ，OM 的延长线与BC 相交于点N ．（1）点N 是线段BC 的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，求小圆的半径．A OBCDC D17．如图，AB 是⊙O 的直径，AT 是经过点A 的切线，弦CD 垂直AB 于P 点，Q 为线段CP 的中点，连接BQ 并延长交切线AT 于T 点，连接OT ．（1）求证：BC ∥OT ；（2）若⊙O 直径为10，CD ＝8，求AT 的长；（3）延长TO 交直线CD 于R ，若⊙O 直径为10，CD ＝8，求TR 的长．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、D 、B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）若CF ＝CD ＝2，求⊙O 的半径和sin ∠CAB 的值；（3）若CF ＝k ·CD （k ＞0），直接写出sin ∠CAB 的值（用含k 的代数式表示）．19．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合），PQ ⊥AB ，垂足为Q ．设PC ＝x ，PQ ＝y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）求△ABC 内切圆I 的半径，并探求x 为何值时，直线PQ 与内切圆I 相切？（3）若0＜x ＜1，试判断以P 为圆心，半径为y 的圆与⊙I 能否相内切，若能，求出相应的x 的值，若不能，请说明理由．20．如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．（1）证明：B 、C 、E 三点共线；（2）若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；（3）将△DCE 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D 1CE 1（如图2），若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段BEAD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．21．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，过点B 作⊙O 的切线，C 是切线上一点，且BC ＝2，P 是线段OA 上一动点，连结PC 交⊙O 于点D ，过点P 作PC 的垂线，交切线BC 于点E ，交⊙O 于点F ，连结DF 交AB 于点G ．（1）当P 是OA 的中点时，求PE 的长；（2）若∠PDF ＝∠E ，求△PDF 的面积．22．如图，△ABC 内接于⊙O ，直径DE ⊥BC ，交AB 于点F ，ED 、CA 的延长线相交于点G ．（1）求证：∠OBF ＝∠G ；（2）若OF ＝1，GF ＝3，求⊙O 的半径；（3）当BEC ︵是什么类型的弧时，△AFG 的外心在△AFG 的外部、内部、一边上？说明理由．23．如图1，已知在⊙O 中，点C 为劣弧AB 的中点，连接AC 并延长至D ，使CD ＝CA ，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ．（1）求证：AE 是⊙O 的直径；（2）如图2，连接EC ，⊙O 半径为5，AC 的长为4，求阴影部分的面积之和．图21图1A24．已知：如图，锐角△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝45°；点D 是BC ︵上一点，过点D 的切线DE 交AC 的延长线于点E ，且DE ∥BC ；连结AD 、BD 、BE ，AD 的垂线AF 与DC 的延长线交于点F ．（1）求证：△ABD ∽△ADE ；（2）记△DAF 、△BAE 的面积分别为S △DAF、S △BAE，求证：S △DAF＞S △BAE．25．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为2，大圆的弦AB 与小圆交于点C 、D ，且AB ＝3CD ，且∠COD ＝60°．（1）求大圆的半径；（2）若大圆的弦AE 与小圆切于点F ，求AE 的长．26．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ， F 是边AB 上一点，以BF 为直径的⊙O 经过点E ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝4，cos C ＝13，求⊙O 的半径．27．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，BD ⊥PC ，垂足为D ，交⊙O 于E ，连接AC 、BC 、EC ．（1）求证：BC 2＝BD ·BA ；（2）若AC ＝6，DE ＝4，求PC 的长．FA BB28．如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．（1）若AC ＝3，求点B 的坐标；（2）若AC ＝a ，D 是OB 的中点．问：O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O 1，函数y ＝kx的图象经过点O 1，求k 的值（用含a 的代数式表示）．29．己知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DF ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ．（1）求证：∠DAC ＝∠DBA ；（2）求证：P 是线段AF 的中点；（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝15 2，求tan ∠ABF 的值．30．如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）如果AC ＝1，BE ＝2，求tan ∠OAC 的值．31．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是AE ︵的中点；（2）求证：∠DAO ＝∠B ＋∠BAD ；（3）若 S △CEFS △OCD＝12，且AC ＝4，求CF 的长.B32．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）如果∠A ＝60º，则DE 与DF 有何数量关系？请说明理由；（3）如果AB ＝5，BC ＝6，求tan ∠BAC 的值．33．已知AB 为⊙O 直径，以OA 为直径作⊙M ，过点B 作⊙M 的切线BC ，切点为C ，交⊙O 于E ．（1）在图中1过点B 作⊙M 的另一条切线BD ，切点为D （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；（2）证明：∠EAC ＝∠OCB ；（3）若AB ＝4，在图2中过O 作OP ⊥AB 交⊙O 于P ，交⊙M 的切线BD 于N ，求BN 的值．34．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC ＝∠ACD ，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径是6cm ，EC ＝8cm ，求GF 的长．35．如图所示，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点A ，与大圆相交于点B ，大圆的弦BC ⊥AB 于点B ，过点C 作大圆的切线CD 交AB 的延长线于点D ，连接OC 交小圆于点E ，连接BE 、BO ．（1）求证：△AOB ∽△BDC ；（2）设大圆的半径为x ，CD 的长为y ． ①求y 与x 之间的函数关系式；②当BE 与小圆相切时，求x 的值．36．如图1，∠ABC ＝90°，AB ＝2，点D 为BC 边上的一个动点，连接AD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，过点EB图1B图2作EF ⊥BC 于F ．（1）当BD ＝233时，判断直线EF 与以AD 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点D 在BC 上向点B 运动，直线EF 与以AD 为直径的⊙O 交于E 、G 两点，连接AG ，当∠EAG ＝∠DAE 时，求BD 的长．37．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点（4＜OA ＜8），以O 为圆心，OA 的长为半径的⊙O 交边CD 于点E ，连接OE ，过点E 作⊙O 的切线交边BC 于点F ．（1）求证：△ODE ∽△ECF ；（2）设DE ＝x ，求OA 的长（用含x 的代数式表示）；（3）在点O 运动的过程中，设△CEF 的周长为p ，试用含x 的代数式表示p ，你能发现怎样的结论？38．如图，有一直径MN ＝4的半圆形纸片，其圆心为点P ，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN 平行于数轴，且半⊙P 与数轴相切于原点O ；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN 垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN 在数轴上；位置Ⅴ中的点N 到数轴的距离为3，且半⊙P 与数轴相切于点A ．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN 与数轴之间的距离为___________；位置Ⅱ中的半⊙P 与数轴的位置关系是___________；（2）求位置Ⅲ中的圆心P 在数轴上表示的数；（3）求半⊙P 从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，点N 所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA 的长． [（2），（3），（4）中的结果保留π]39．已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 的延长线上，以点O 为圆心，OP 为半径作⊙O ，点C 是⊙O 上的一点．图2ADBEF C图1（1）如图，如果AP ＝2PB ，PB ＝BO ，求证：△CAO ∽△BCO ；（2）如果AP ＝m （m 是常数且m ＞1），BP ＝1，且OP 2＝OA ·OB ．当点C 在⊙O 上运动时，求AC :BC 的值（结果用含m 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的⊙B 和以CA 为半径的⊙C 的位置关系，并写出相应的m 取值范围．40．已知，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在⊙O 的半径OA 上运动，PC ⊥AB ，垂足为C ，PC ＝5，PT 为⊙O 的切线，切点为T ．（1）如图1，当C 点运动到O 点时，求PT 的长；（2）如图2，当C 点运动到A 点时，连接PO 、BT ，求证：PO ∥BT ；（3）如图3，设PT 2＝y ，AC ＝x ，求y 与x 的函数关系式及y 的最小值．41．已知△ABC ，分别以AC 和BC 为直径作半圆O 1、O 2，P 是AB 的中点．（1）如图1，若△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC ，在AC ︵、BC ︵上分别取点E 、F ，使∠AO 1E ＝∠BO 2F ，则有结论：①△PO 1E ≌△FO 2P ，②四边形PO 1CO 2是菱形．请给出结论②的证明；（2）如图2，若（1）中△ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图3，若PC 是⊙O 1的切线，求证：AB 2＝BC 2＋3AC 2．42．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝2，以CD 为直径作⊙O 1，交BC 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知A ，B 两点的坐标分别为A （0，23），B （－2，0）．（1）求C ，D 两点的坐标；图1B (C 图2 B图3 O 1 A B CP F E O 2 图1 O 1 ABC P F EO 2 图2 O 1ABC PO 2图3（2）求证：EF 为⊙O 1的切线；（3）探究：如图2，线段CD 上是否存在点P ，使得线段PC 的长度与P 点到y 轴的距离相等？如果存在，请找出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．43．如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ，延长BO 与⊙O 交于点D ，与P A 的延长线交于点E ．（1）求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若tan ∠ABE ＝12，求sin E 的值．44．如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 的外角的平分线，F 为弧AD ︵上一点，BC ＝AF ，延长DF 与BA的延长线交于E ．（1）求证：△ABD 为等腰三角形；（2）求证：AC ·AF ＝DF ·FE ．45．已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，C 为⊙O 2上一点（不与A ，B ，O 1重合），直线CB 与⊙O 1交于另一点D ．（1）如图1，若AC 是⊙O 2的直径，求证：AC ＝CD ；（2）如图2，若C 是⊙O 1外一点，求证：O 1C 丄AD ；（3）如图3，若C 是⊙O 1内的一点，判断（2）中的结论是否成立．46．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝1，BC ＝2．图1 图2 A B CE F DM图1图2图3（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边CB 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心O ；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △AB C 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．47．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是△ABC 外接圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ．（1）求证：BF=CD ；（2）若CD ＝1，AD ＝3，BD ＝6，求⊙O 的直径．48．如图，线段AD ＝5，⊙A 的半径为1，C 为⊙A 上一动点，CD 的垂直平分线分别交CD ，AD 于点E ，B ，连接BC ，AC ，构成△ABC ，设AB ＝x ．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，则x ＝____________；（3）设△ABC 的面积的平方为W ，求W 的最大值．49．已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ，过点D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．（1）求证：AE ＝CK ；（2）如果AB ＝a ，AD ＝13a （a 为大于零的常数），求BK 的长；（3）若F 是EG 的中点，且DE ＝6，求⊙O 的半径和GH 的长．50．如图（1），在平面直角坐标系中，⊙O ′是以点O ′（2，－2）为圆心，半径为2的圆，⊙O ″是以点O ″（0，4）为圆心，半径为2的圆．（1）将⊙O ′竖直向上平移2个单位，得到⊙O 1，将⊙O ″水平向左平移1个单位，得到⊙O 2（如图2），分别求出⊙O 1和⊙O 2的圆心坐标；（2）两圆平移后，⊙O 2与y 轴交于A 、B 两点，过点A 、B 分别作⊙O 2的切线，交x 轴与C 、D 两点，求△O 2AC 和△O 2BD 的面积．A B C 图1 A B C X Y 图2 E51．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90︒，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切．（1）求证：OB ⊥OC ；（2）若AD ＝12，∠BCD ＝60︒，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积．52．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，AD 是⊙O 的弦，OC ⊥AD 于F ，交⊙O 于E ，连接DE 、BE 、BD 、AE ．（1）∠C ＝∠BED ；（2）如果AB ＝10，tan ∠BAD ＝34，求AC 的长；（3）如果DE ∥AB ，AB ＝10，求四边形AEDB 的面积．53．如图，点P 为等边△ABC 外接圆周劣弧BC 上的一点．（1）求∠BPC 的度数；（2）求证：P A ＝PB ＋PC ；（3）设P A ，BC 交于点M ，若AB ＝4，PC ＝2，求CM 的长度．54．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝3，点D 从点A 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动（点D 不与B 重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．以DE 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形ADFE ，设点D 的运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示△DEF 的面积S ；（2）当t 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？图（1）图（2）AA B C PM55．已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD ⌒上取一点E 使∠EBC ＝∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H ．（1）求证：AC ⊥BH ；（2）若∠ABC ＝45°，⊙O 的直径等于10，BD ＝8，求CE 的长．56．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，连接CO 并延长，交⊙O 于点D 、E ，连接AD 并延长，交BC 于点F ．（1）试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BDBE＝CDBC；（3）若BC ＝32AB ，求tan ∠CDF 的值．57．如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD ⊥P A ，垂足为D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若DC ＋DA ＝6，⊙O 的直径为10，求AB 的长．58．如图，点P 在y 轴的正半轴上，⊙P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，BD 分别交y 轴和⊙P 于E 、F 两点，连接AC 、FC ．（1）求证：∠ACF ＝∠ADB ；（2）若点A 到BD 的距离为m ，BF ＋CF ＝n ，求线段CD 的长；（3）当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，DEAO的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．59．一量角器的直径与含30°的较长直角板的直角边重合，且直角板Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝6，量角器半⊙O 从初始位置（点E 与点B 重合，EF 落在BC 上）在线段BC 上沿BC 方向以每秒1个单位的速度平移，半⊙O 分别与AB 相交于点M 、N ．当点F 运动到点C 时，半⊙O 停止运动，此时半⊙O 恰好与AB 相切，设半⊙O 平移的时间为t ．（1）求半⊙O 的半径；（2）用含t 的代数式表示MN 的长；（3）求BN60．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝4，AD ＝CD ＝5．E为底边BC 上的动点，以点E 为圆心，BE 为半径的⊙E 交线段DE 于点F ．（1）当点F 在线段DE 上时，设BE ＝x ，DF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；（2）当以CD 直径的⊙O 与⊙E 相切时，求x 的值；（3）连接AF 、BF ，当△ABF 为等腰三角形时，求x 的值．61．如图，四边形ABCD 内接于圆，∠D ＝90°，AB ＝BC ，CD ＝4，AC （1）设P 是AB 上的动点，求OP ＋PC 的最小值；（2）设Q 、R 分别是AB 、AD 上的动点，求△CQR 的周长的最小值．62．如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，E 是DA 延长线上一点，AB2＝AE ·BC ，BE 和CA 的延长线交于点F ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；A A C（2）若BC ＝18，CD ＝12，AF ＝16，求BE 和AD 的长．63．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC ︵上一点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ．（1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（2）若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外接圆的半径．64．如图，在△ABC 中，高AE 与CD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别与AB 、AC 交于点F 、G ，连接BH ．已知AC ＝25，CD ＝20，CE ＝7．（1）求DE 的长；（2）求证：BH ⊥FG ．65．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，且AC ＝PC ，∠BOC ＝2∠BCP ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求∠P 的度数；（3）设M 是AB ︵的中点，若⊙O 的半径为2，求线段BM 、CM 及劣弧BC 所围成的阴影部分的面积．66．已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在斜边BC 上，BD ＝4DC ，⊙O 过点C 且与AB 相切于AB 的中点E ，与AC 相交于点F ．（1）求证：AD ⊥BF ；（2）若AB ＝4，AC ＝22，求⊙O 的半径．A B CD E A B C E DH FG67．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、F ，连接BD 交OF 于点E ．（1）求证：OF ⊥BD ；（2）若AB ＝5 2 ，DF ＝52，求AD 的长．68．如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，C 是⊙O 2上一点，CA 的延长线交⊙O 1于点D ，CB 交⊙O 1于点E ，DE 的延长线交⊙O 2于点F ，BG ∥DF 交⊙O 2于点G ．（1）求证：CB ＝CG ；（2）若CA ＝4，AD ＝2，求CF 的长．69．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是BC 上一点，以O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AB 切于点D ，与BC 交于点E ，且BD ＝2，BE ＝1．（1）求△ACD 的面积；（2）若F 是线段EC 上一动点，过F 作FG ⊥AB 于G ，设AG ＝x ，OF ＝y ，求y与x 之间的函数关系式．70．如图，点D 在⊙O 的直径AB 上，DE ⊥AB 交⊙O 于点E ，OC ∥AE 交⊙O 的切线BC 于点C ，AC 与DE 相交于点F ．（1）求证：DF ＝EF ；（2）延长CO 交ED 的延长线于点G ，当点G 在⊙O 上时，求sin ∠ACO的值．71．如图，边长为23的等边三角形ABC 内接于⊙O ，点D 在AC ︵上运动（与点A 、C 不重合），AD 的延长线与BC 的延长线相交于点E ．（1）求⊙O 的半径；（2）设AD ＝x ，AE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 点在运动过程中是否存在这样的位置，使得△BDE 成为以BE 为底边的等腰三角形？若存在，求AD 的长；若不存在，请说明理由．72．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 为三角形外的一点，以O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与边AB 相切于点D ，与边BC 交于点E ，直径DF 与边BC 交于点G ，连结AG ．（1）求证：DE ∥AG ；（2）当AB ＝10，AC ＝6，AD ＝345时，求⊙O 的半径．73．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AC ︵上一点，AC 与BD 相交于点E ，且AB ＝5，sin ∠CAB ＝35．（1）设CE ＝m ，DEBE＝k ，试用含m 的代数式表示k ；（2）当AD ∥OC 时，求CE 的长．74．据气象台预报，一台风中心位于某沿海城市A 东偏南θ（cos θ＝210）方向300km 的海面B 处，正以20km /h 的速度向西偏北45°方向移动（如图所示），台风影响的范围为圆形区域，半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大．求几小时后该市开始受到台风的影响，受影响的时间是多长？B75．如图，点D 为锐角三角形ABC 外接圆的圆心，过A 、B 、D 三点的⊙O 交AC 、BC 于E 、F ，且EF ＝CD ．（1）求证：CD ⊥EF ；（2）求证：AB 是⊙O 的直径．76．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点F ，E 是OF 的中点，且BE ∥DC ．（1）求证：AF ＝5DF ；（2）若BC ＝25，求CD 的长．77．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，E 是OC 的中点，AE 的延长线交⊙O 于点F ，DF 交BC 于点G ．求证：G 是BC 的中点．78．△ABC 的内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、CA 三边于D 、E 、F ，G 是DF 上一点，且EG ⊥DF ，求证：EG 平分∠BGC ．79．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，且AC ＝AB ＝2，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ．求AE 的长．80．如图，已知⊙O 的半径为3，点M 为⊙O 内的一个定点，OM ＝5，AB 、CD 是⊙O 的两条相互垂直的弦，垂足为M ．（1）当AB ＝4时，求四边形ADBC 的面积；（2）当AB 变化时，求四边形ADBC 的面积的最大值．81．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE ⊥AB 于F ，C 是AD ︵的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点M 、N ．（1）求证：M 是△ACN 的外心；（2）若⊙O 的半径为253，CE ＝16，求CN 的长．82．如图，AB 是⊙O 的直径，以点A 为圆心作⊙A ，交⊙O 于C 、D 两点，△ACE 内接于⊙O ，AE 交CD 于点F ，连接DE ．（1）求证：AC 2＝AE ·AF（2）若AB ＝15，AC ＝35，CF :DF ＝1 :3，求AE 和DE 的长．83．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是半径OA 上的动点，MP ⊥ABMP ＝22．（1）当PC ＝OA 时，MD ＝2，求⊙O 的半径；（2）设MD 2＝y ，AP ＝x ，求y 与x 之间的函数关系式；（3）△MPD 能否成为以MP 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△MPD 的面积；若不能，请说明理由．84．在平面直角坐标系中，已知点A （－3，0），B （3，0），点P 在直线y ＝33(x ＋4)＋1上运动，当∠APB 最大时，求P A :PB 的值．D B85．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝12，E 是边CD 上一点，且CE :ED ＝5 :4．设过A 、B 、C 、E 四点的⊙O 1的半径为R 1，过A 、C 、C 三点的⊙O 2的半径为R 2，且边BC 与⊙O 2相切．（1）求边CD 的长；（2）求R 1 :R 2的取值范围．86．如图，BC 是半圆O 的直径，点A 、F 在半圆O 上，AD ⊥BC 于D ，AB ︵＝AF ︵，BF 交AD 于点E ．（1）求证：AE ＝BE ；（2）求证：AF 2＝BE ·BF ；（3）若AD ＝2，BD ＝1，求tan ∠FBC 的值．87．如图，扇形AOB 中，OA ＝1，∠AOB ＝90°，半圆⊙O 1的圆心O 1在OA 上，并与AB ︵内切于点A ，半圆⊙O 2的圆心O 2在OB 上，并与AB ︵内切于点B ，半圆⊙O 1与半圆⊙O 2相切．设两圆半径之和为x ，面积之和为y ．（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）求函数y 的最小值．88．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，sin ∠F ＝35，求DE 的长．89．如图，⊙O 中弦AB ⊥CD ，垂足为E ，过E 作AC 的垂线，垂足为F ，交BD 于G ．（1）探究BD 与EG 之间的数量关系，并说明理由；（2）连接OG ，若CE ＝4，DE ＝6，BD ＝10，求OG 的长．90．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，P 为BC ︵上一点，连接AP 分别交OC 、CD 、BCO 2AFC H P Q于点F 、G 、H ，连接DP 交BC 于点Q ．（1）若P 为BC ︵中点，求证：CG ＝CH ；（2）若F 为OC 中点，求证：BQ ＝CQ ．91．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过D 作DG ⊥AC 于G ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：FG 是⊙O 的切线；（2）若DF ＝5，DG ＝3，求EC 的长．92．如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 在半圆O 上，CD ⊥AB 于D ，E 在CD 上，⊙E 与AB 相切于点C ，与半圆O 相切于点F ，若AB ＝6，CD ＝6，求：（1）⊙E 的半径；（2）阴影部分的面积．93．如图，AB 是⊙O 的直径，直线BC 与⊙O 相切于点B ，OC ∥AD ，DE ⊥AB 于E ，交AC 于点F ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝2，BE ＝4，求sin ∠DAC 和sin ∠DCA 的值．94．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，E 为DC 上一点，若AE ∥BC ，AE ＝EC ，BE 交AC 于F ．（1）求证：AB ＝AD ；（2）若AD ＝6，AE ＝7，求BE 的长．BB95．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，点E 在CB 的延长线上，且∠BAE ＝∠ADB ，DF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点G ，DG ＝8．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若BG ︵上有一动点P ，且AD ＝15，sin ∠CPG ＝35，求tan ∠ABD96．如图，在△BCD 中，∠CBD ＝90°，E 是CD 的中点，⊙O 经过B 、D 、E 三点，CB 的延长线交⊙O于点A ，过A 作⊙O 的切线，交DC 的延长线于点F ．（1）求证：AC ＝AD ；（2）若CE ＝CF ＝2，求⊙O 的直径；（3）若CFCE＝n ，求sin ∠CDB 的值．97．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接AE 、OD 、DE ，AE 与OD 相交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝10，OF ＝2，求AD 的长；（3）当四边形AOED 是平行四边形时，求sin ∠CAE 的值．98．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB ︵的中点，点D 在AC ︵E ，CF ⊥BD 于F ．（1）求证：四边形CEDF 是正方形；（2）若AD ＝6－2，BD ＝6＋2，求阴影部分的面积．99．如图，以正方形ABCD 的边CD 为直径作⊙O ，以顶点C E 为BC 延长线的上一点，且CD 、CE 的长是方程x2－2(3＋1)x ＋43＝0的两根，其中CD ＜CE ．连结DE 交⊙O 于点F ．（1）求EF 的长；（2）求图中阴影部分的面积．100．如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径，在正方形内作半圆O ，过A 作半圆O 的切线AF ，切点为E ，AF 交BC 的延长线于点F ．（1）求sin ∠F 的值；（2）若AB ＝4，求EC 的长．C E AD E101．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AE＝4，cos∠ABF＝45，求BC的长．102．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点G，∠C的平分线交⊙O于点D，点E在BC上，AE交BD于点F，∠CAD＝∠EAD．求证：DF＝DG．103．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，点O在线段AD上，以O为圆心、OD为半径的⊙O与AB相切于点E，且ED∥AC．（1）求证：△BDE∽△ACD；（2）若ED＝1，tan∠ADE＝22，求AC、BD的长．104．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O1过A、B两点，交AC、BC于D、E，⊙O2过C、D、E三点，EF⊥AC于F，FE的延长线交⊙O1于G，AG交BC于H．（1）求证：EF过⊙O2的圆心O2；（2）若BH＝6，CD＝245，EC＝4，求AG的长．105．如图，以矩形ABCD 的边AB 为直径的半圆交CD 于E 、F 两点，CP 切半圆于P ，PQ ⊥AB 于Q ．设AQ ＝m ，BQ ＝n ．（1）用含m 、n 的代数式表示PC 的长；（2）求证：直线AC 平分线段PQ ；（3）求证：tg ∠EBC 和tg ∠FBC 是方程 nx2－2mx ＋n ＝0的两个根．106．如图，已知∠AOB ＝30°，C 为OB 上一点，OC ＝3，DC ⊥OB 于C ，交OA 于D ，以D 为圆心，DC 为半径作⊙D 交OA 于E 、F 两点，M 为线段OF 上一点（不与点O 、E 重合），过M 作MN ⊥OA 于M ，交OB 于N ，设OM ＝x ，四边形CEMN 的面积为S ．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若四边形CEMN 的面积是△EOC 面积的5倍，判断此时△CMN 的形状，并说明理由．107．如图，点A 、B 在半径为5的⊙O 上，∠AOB ＝90º，点C 是AB ︵上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC ＝x ，BD ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD ＝13OB 时，求⊙O 1的半径；（3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．108．如图，点M 在y 轴上，半径为5的⊙M 交x 轴于A 、B 两点，且AB ＝4．连结BM 并延长交⊙M 于点C ，过点C 的直线y ＝2x ＋b 交x 轴于点D ．（1）求点B 、M 、C 的坐标；（2）求证：CD 是⊙M 的切线；次函数的解（3）若二次函数y ＝－x2＋(a ＋1)x ＋6的图象经过点B ，求这个二析式，并写出使二次函数小于值一次函数y ＝2x ＋b 值的x 取值范围．BC DA F PQ E109．如图1，⊙M的直径AB在y轴的正半轴上，且点A与原点O重合，点C是y轴右侧半圆上的一点，AC＝1，BC ＝2．点A由O点开始沿x轴的正半轴滑动，点B随之沿着y轴向原点O滑动（如图2），当点B滑动至与原点O重合时运动结束．（1）在运动过程中，⊙M始终经过原点O，请说明理由；（2）设点C的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）求点C在整个运动过程中所经过的路径的长．110．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O2的切线交⊙O1于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点F．（1）求证：DF2CF2＝EFBF（2）当AE与⊙O1相切，且AF＝6，CF＝2，DF＝3时，求AE的长；（3）当⊙O1与⊙O2为等圆，且CF:CD:DF＝3:4:5时，求S△AEF :S△CDF．111．如图，P是射线y＝35x（x＞0）上的一动点，以P为圆心的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴相切于C点．（1）若⊙P的半径为5，求点P、A的坐标；（2）在（1）的条件下，求以点P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式；并判定该抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，说明理由；（3）是否存在直线l，当点P在射线y＝35x（x＞0）上运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l。

初中圆的八大定理

初中圆的八大定理
初中圆的八大定理：
一、圆心角定理：两条射线从圆心射出，其夹角为相等。

二、过圆心一点作圆周直线，则圆周过此点的两条直线是等切的。

三、内切圆周线定理：如果一条直线与圆相切，如果它的端点在圆的外面，那么它的两个断点共同组成一条等切线。

四、连接切点定理：两个切点连接就是切线，切线一定和圆心连接。

五、直接距离定理：切点到圆心的距离是切线上任意点到圆心的最短距离。

六、弦到圆心距离定理：两个切点连接形成弦，弦到圆心的距离是这两个切点到圆心的平均距离。

七、三角形定理：两个切点连接形成的弦和圆心形成三角形��三角形的两个角之和是180度。

八、全角定理：圆的四分之一角的大小是90度。

浅谈立圆平圆八字圆

浅谈古典舞‎平圆立圆8字圆中国舞蹈艺‎术总体上呈‎现为一种“圆”的状态，这种“圆”包括了外部‎形式和内涵‎的审美原则‎，而中国古典‎舞，在舞姿造型‎及其动态动‎势上均以走‎圆运动为原‎则，因此。

被称为“划圆”艺术。

人们长期为‎中国古典舞‎的内在韵律‎感到神秘，虽然一个“圆”字是早被人‎们公认的，但它究竟是‎怎样的运动‎规律，身体及手臂‎的运行轨迹‎是怎样的了‎这是从事古‎典舞的人们‎长期困惑的‎问题。

身韵创建者‎提出了“三圆运动”的理论。

他们认为中‎国古典舞身‎体运动过程‎是沿着三个‎圆形在运动‎。

这就是立圆‎、横圆、8字圆。

舞姿造型的‎圆曲相照、刚柔相生的‎运动方式、对比强烈的‎节奏特点，构成了中国‎舞蹈以“圆”为核心的风‎格特征。

中国舞蹈是‎典型的“划圆艺术”，“圆”贯穿于舞蹈‎形体活动的‎始终。

古典舞训练‎的总要求使‎围绕着形、神、劲、律进行整体‎而系统的训‎练，他是古典舞‎的神韵特征‎的突出表现‎。

形的艺术特‎征在于拧、倾、圆、曲。

一是指平圆‎、立圆、8字圆的运‎动轨迹，二是只动作‎呈现拧倾圆‎曲的外部形‎态特征。

而律就是韵‎律及运动的‎规律，平圆、立圆、8字圆是构‎成古典舞动‎势的精髓。

他们是古典‎舞所有连接‎特点，而8字圆有‎是个中转换‎连接中的的‎必然过程，是转换的街‎接点，在运动过程‎中有时是局‎部的，在审美上他‎是一个弧线‎，离开了弧线‎也就没有了‎圆，没有了圆就‎没有了动势‎，而缺少了动‎势的动作变‎化就是相加‎的，是生硬的，就会不顺、不圆、不流畅自如‎。

中国古典舞‎身韵，不管它有多‎少千变万化‎的“圆”，其根本规律‎是离不开“平圆、立圆、8字圆”这三种最基‎本、最典型的运‎动路线和轨‎迹的。

“身韵”即“身法”与“韵律”的总称。

“身法”属于外部的‎技法范畴，“韵律”则属于艺术‎的内涵神采‎，它们二者的‎有机结合和‎渗透，才能真正体‎现中国古典‎舞的风貌及‎审美的精髓‎。

换句话说“身韵”即“形神兼备，身心并用，内外统一”这是中国古‎典舞不可缺‎少的标志，是中国古典‎舞的艺术灵‎魂所在.。

新教材高中物理课时分层作业八圆周运动新人教版必修第二册(含答案)

新教材高中物理新人教版必修第二册：课时分层作业(八) 圆周运动A组基础巩固练1．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、运动半径、周期的关系，下列说法中正确的是( )A．线速度大的角速度一定大B．线速度大的周期一定小C．角速度大的运动半径一定小D．角速度大的周期一定小2．圆周运动是生活中常见的一种运动．一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上一个小物块随圆盘一起做匀速圆周运动，如图甲所示．把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，如图乙所示．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A．匀速圆周运动的线速度大小和方向都时刻变化B．匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻变化C．匀速圆周运动是匀速运动D．匀速圆周运动是匀变速运动3．(多选)汽车后备箱盖一般都配有可伸缩的液压杆，如图甲所示，其示意图如图乙所示．可伸缩液压杆上端固定于后盖上A点，下端固定于箱内O′点，B也为后盖上一点，后盖可绕过O点的固定铰链转动．在合上后备箱盖的过程中，下列说法正确的是( )A.A点相对O′点做圆周运动B．B点相对O点做圆周运动C．A、B两点相对于O点转动的线速度大小相等D．A、B两点相对于O点转动的角速度大小相等4.[2023·河北石家庄高一下段考](多选)如图所示为一个绕中心线OO′以角速度ω转动的球，下列说法正确的是( )A．A、B两点的角速度大小相等B．A、B两点的线速度大小相等C．若θ＝30°，则v A∶v B＝1∶2D．若θ＝30°，则v A∶v B＝3∶25．如图所示，两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2.则它们( )A．线速度之比为4∶3B．角速度之比为3∶4C．圆周运动的半径之比为2∶1D．周期之比为1∶26．[2023·山东烟台二中高一下月考]如图所示是一辆自行车，A、B、C三点分别为自行车轮胎和前后两齿轮外沿上的点，其中R A＝2R B＝5R C.下列说法中正确的是( )A．ωB＝ωC B．v C＝v AC．2ωA＝5ωB D．v A＝2v B7.[2023·陕西渭南高一下期末]我国古代的指南车是利用齿轮来指引方向的．指南车某部分结构如图所示，在A、B、C三个齿轮的边缘上分别取1、2、3三点，齿轮B和C在同一转动轴上，三个齿轮的半径分别为r1、r2、r3，且r2>r1>r3.下列说法正确的是( ) A．1和3的线速度大小关系为v1<v3B ．1和2的角速度大小关系为ω1<ω2C ．1和3的周期大小关系为T 1>T 3D ．1和2的转速大小关系为n 1>n 28．做匀速圆周运动的物体，10s 内沿半径为20m 的圆周运动100m 的路程，求： (1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小．B 组能力提升练9.如图是多级减速装置的示意图，每一个轮子都由大小两个轮子叠合而成，共有n 个这样的轮子，用皮带逐一连接起来．设大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，当第一个轮子的大轮外缘线速度大小为v 1时，第n 个轮子的小轮边缘线速度大小为(设皮带不打滑)( )A ．r R v 1B ．R rv 1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫r R nv 1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫R r n －1v 110．(多选)汕头海湾隧道工程采取的是隧道盾构挖掘技术．盾构机刀盘直径为15.01m ，相当于五层楼高，其基本工作原理是沿隧洞轴线向前推进，同时通过旋转前端盾形结构，利用安装在前端的刀盘对土壤进行开挖切削，挖掘出来的土碴被输送到后方．如图所示为某盾构机前端，以下说法中正确的是( )A ．盾构机前端转动时，各个刀片转动的角速度相同B ．盾构机前端转动时，各个刀片的线速度随半径的增大而减小C ．当盾构机前端转速为3r/min 时，其转动周期为0.05sD ．当盾构机前端转速为3r/min 时，前端外边缘的线速度约为2.4m/s11.[2023·陕西渭南高一下期末]如图甲所示，小强手持伞柄使雨伞绕轴匀速转动，雨伞边缘的雨滴被“甩出”后落到地面上，图乙是从雨伞中心轴正上方俯视观察到的情形．已知雨伞半径(雨伞边缘到伞柄的距离)R ＝0.5m ，雨伞边缘离地面的高度h ＝1.8m ，落到地面的雨滴形成的圆半径r ＝2.5m ，不计空气阻力．求：该雨伞转动的角速度ω约为多少？(g 取10m/s 2，6≈2.45，结果保留两位有效数字)12.[2023·广东广州华南师范大学附属中学高一下月考]冲关挑战是一种户外娱乐游戏，如图所示为参赛者遇到的一个关卡．一个半径为R 的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差h ＝1.25m ，M 为圆盘边缘上一点．某时刻，参赛者从跑道上P 点以初速度v 0水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM 在同一竖直平面内．已知圆盘的圆心与P 点之间的水平距离为x 0＝3m ，圆盘半径R ＝1m ，重力加速度g 取10m/s 2，不计空气阻力．(1)求参赛者从P 点跳出至落到圆盘经历的时间t . (2)参赛者要落在圆盘上，求v 0的范围．课时分层作业(八) 圆周运动1．解析：由v ＝ωr 知，r 一定时，v 与ω成正比，v 一定时，ω与r 成反比，故A 、C 错误；由v ＝2πr T 知，r 一定时，v 越大，T 越小，故B 错误；由ω＝2πT可知，ω越大，T 越小，故D 正确．答案：D2．解析：匀速圆周运动的线速度大小保持不变，而其方向时刻变化，选项A 错误，选项B 正确；因为匀速圆周运动的线速度和向心加速度时刻都在发生变化，所以匀速圆周运动既不是速度保持不变的匀速运动，也不是加速度保持不变的匀变速运动，选项C 、D 错误．故选B.答案：B3．解析：在合上后备箱盖的过程中，O ′A 的长度是变化的，因此A 点相对O ′点不是做圆周运动，故A 错误；在合上后备箱盖的过程中，A 点与B 点到O 点的距离不变，所以A 点与B 点都是绕O 点做圆周运动，故B 正确；A 点与B 点在相同的时间绕O 点转过的角度相同，即A 点与B 点相对O 点的角速度相等，由于OB 大于OA ，根据v ＝ωr 可知，B 点相对于O 点转动的线速度大于A 点，相对于O 点转动的线速度，故C 错误，D 正确．答案：BD4．解析：同轴转动的各点角速度大小相等，故A 、B 两点的角速度大小相等，根据v ＝ωr 可知，由于两点到中心线的距离(转动半径)不同，故两点的线速度大小不同，故A 正确，B 错误；设球的半径为R ，若θ＝30°，则A 点的转动半径为R A ＝R cos30°＝32R ，B 点的转动半径为R B ＝R ，根据v ＝ωr ，则v A v B ＝32，故C 错误，D 正确．答案：AD5．解析：A 、B 在相同时间内通过的路程之比为4∶3，根据v ＝s t，可得线速度之比为4∶3，故A 正确；角速度ω＝θt，运动方向改变的角度等于圆周运动转过的角度，时间相等，则角速度之比为3∶2，故B 错误；根据v ＝ωr 得，圆周运动的半径r ＝v ω，线速度之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则圆周运动的半径之比为8∶9，故C 错误；根据T ＝2πω，且角速度之比为3∶2，故周期之比为2∶3，D 错误．答案：A6．解析：大齿轮与小齿轮通过链条传动，链条上的点的线速度大小相等，所以v B ＝v C ，根据v ＝ωR 及R A ＝2R B ＝5R C 可得，ωB ωC ＝R C R B ＝25，故A 错误；车轮和小齿轮同轴传动，角速度相同，即ωA ＝ωC ，根据v ＝ωR 及R A ＝2R B ＝5R C 可得，v A v C ＝R A R C ＝51，故B 错误；由以上分析可知ωA ωB ＝52，即2ωA ＝5ωB ，故C 正确；由以上分析可知v A v B ＝51，即v A ＝5v B ，故D 错误．答案：C7．解析：由题意可知1和2的线速度大小相等，即v 1＝v 2，根据ω＝vr，r 2>r 1，可知1和2的角速度大小关系为ω1>ω2，ω＝2πn ，1和2的转速关系为n 1>n 2，故B 错误，D 正确；由题意可知2和3的角速度相等，即ω2＝ω3，又有ω1>ω2，故有ω1>ω3，根据v ＝ωr ，r 1>r 3，可知1和3的线速度大小关系为v 1>v 3，结合T ＝2πω可知，1和3的周期大小关系为T 1<T 3，故A 、C 错误．答案：D8．解析：(1)依据线速度的定义式v ＝s t可得v ＝s t ＝10010m/s ＝10m/s. (2)依据v ＝ωr 解得ω＝v r ＝1020rad/s ＝0.5rad/s. (3)依据ω＝2πT解得T ＝2πω＝4πs.答案：(1)10m/s (2)0.5rad/s (3)4πs9．解析：第一个轮子的大轮外缘线速度大小为v 1时，设第二个轮子的大轮外缘线速度大小为v 2，以此类推，第n 个轮子的大轮外缘线速度大小为v n ，则第n 个轮子的小轮边缘线速度大小为v n ＋1，根据线速度与角速度的关系得v 1R ＝v 2r ，解得v 2＝r R v 1，又因为v 2R ＝v 3r，解得v 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2v 1，以此类推，v n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r R nv 1，故选C. 答案：C10．解析：因为盾构机前端的各刀片同轴转动，所以各刀片的角速度相等，故A 正确；根据v ＝ωr 可知，角速度相等，各刀片的线速度随半径的增大而增大，故B 错误；因为转速n ＝3r/min ＝0.05r/s ，所以转动周期为T ＝1n ＝10.05s ＝20s ，故C 错误；根据v ＝2πrn知，盾构机前端外边缘的线速度大小为v ＝2×3.14×7.505×0.05m/s≈2.4m/s，故D 正确．答案：AD11．解析：雨滴被“甩出”后做平抛运动，设水平位移为x ，在竖直方向，有h ＝12gt 2，所以t ＝2hg＝0.6s ．由几何关系得x 2＋R 2＝r 2，所以x ＝6m ，在水平方向，有x ＝vt ，所以v ＝x t ，雨伞转动的角速度ω＝v R ＝x tR≈8.2rad/s.答案：8.2rad/s12．解析：(1)根据h ＝12gt 2，解得t ＝0.5s.(2)根据x 0－R ＝v 0min t ，解得初速度的最小值为v 0min ＝4m/s ，根据x 0＋R ＝v 0max t ，解得初速度的最大值为v 0max ＝8m/s ，所以初速度的范围为4m/s≤v 0≤8m/s. 答案：(1)0.5s (2)4m/s ≤v 0≤8m/s。

专题八圆

（2006苏州）如图①，△ABC 内接于⊙0，且∠ABC ＝∠C ，点D 在弧BC 上运动．过点D 作DE ∥BC ．DE交直线AB 于点E ，连结BD ．(1)求证：∠ADB=∠E ； (2)求证：AD 2=AC ·AE ；(3)当点D 运动到什么位置时，△DBE ∽△ADE 请你利用图②进行探索和证明A A（2006连云港）如图，半径为2的两个等圆⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，过O 1作⊙O 2的两条切线，切点分别为A 、B ，与⊙O 1分别交于C 、D ，则APB 与CPD 的弧长之和为A 、π2B 、π23 C 、π D 、π21（2006连云港）有一圆柱形储油罐，其底面直径与高相等。

现要在储油罐的表面均匀涂上一层油漆(不计损耗)，则两个底面所需油漆量与侧面所需油漆量之比是 A 、1∶1 B 、2∶1 C 、1∶2 D 、1∶4（2006连云港）如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm 。

（2006连云港）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 至点D ，使CD＝AC ，连接AD 交⊙O 与点E ，连接BE 、CE 与AC 交于点F 。

（1）求证：△ABE ≌△CDE ；（2）若AE =6，DE =9，求EF 的长。

(第12题图) 2 0468 (第18题图) D(第27题图)（2006无锡）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠C ＝60º，则∠D ＝ º，∠O ＝ º．（2006无锡）已知∠AOB ＝30º，C 是射线0B 上的一点，且OC ＝4．若以C 为圆心，r 为半径的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是。

（2006无锡）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和5，圆心距O l O 2＝3，则这两圆的位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动．．，点A 、O 间距离为d ．（1）如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有个；（2）如图②，当r ＝a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有个；（3）如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝54a ；（4）就r ＞a 的情形，请你仿照“当……时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“⊙O 与正方形的公共点个数”的正确结论．l（第27题图①）l（第27题图②）（第27题图③）（注：第（4）小题若多给出一个正确结论，则可多得2分，但本大题得分总和不得超过12分）（2007盐城）如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD＝1，AB=4，则该圆的半径是.（2007盐城）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C＝1∶2，则∠BOD＝.（2007盐城）已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是三角形；（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.我选择问题，结论：.证明：（2007盐城）如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．（2007苏州）如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为__________cm2（结果保留）（2007苏州）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F(1)设AP=1，求△OEF 的面积．(2)设AP=a (0＜a ＜2)，△APF 、△OEF 的面积分别记为S 1、S 2。

初中数学北师大版九年级下册《第三章圆 8 圆内接正多边形》教材教案

3.8圆内接正多边形教案课题：3.8圆内接正多边形课型：新授课年级：九年级教学目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系.学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形.教法与学学指导：本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．课前准备：教师：多媒体课件、三角板.学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.教学过程：一、创设情境，导入新课观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题．【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．二、探究新知，尝试发现活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形.（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢?发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢?师生共同归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程：如图，∵AB BC CD DE EA====∴AB BC CD DE EA====3BAD CAE AB==∴C D∠=∠同理可证：A B C D E∠=∠=∠=∠=∠∴五边形ABCDE是正五边形．∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限.说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转360n︒，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．A【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形的性质、相关概念.活动四：例题探究例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的中心角，边长和边心距．分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的边长为4．在Rt△OAM中，OA=4，AM=12AB=2利用勾股定理，可得边心距OM=22AMOA-=2224-=32【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.活动五：做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．师生归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.活动六：方案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，适时进行点拨.【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的.四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价.【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.五、达标检测，反馈提高1．如图1所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（）．A ．60°B ．45°C ．30°D ．22．5°2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A B ,3:2:1C ,1:2:3D3．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108°4．若半径为5cm 的一段弧长等于半径为2cm 的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（） A ．18° B ．36° C ．72° D ．144°(1) (2)5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．6．有一个边长为3cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为 .7．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，如图2所示，若AC=6，则AD 的长为________．8．如图所示，已知⊙O 的周长等于6 cm ，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的理解，同时也锻炼学生的发散思维．六.分层作业，自由拓展（1）必做题：课本99页习题3.10 第1题、2题、3题.. （2）选做题：试一试如图⑴⑵⑶⑷，M ，N 分别为⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形ABCDE …的边 AB ，BC 上的点，且BM=CN ，连结OM ，ON ， ⑴ 求图⑴中∠MON 的度数 ⑵ 图⑵中∠MON 的度数是 .⑶ 请探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系为 .⑴ ⑵ ⑶ ⑷【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．板书设计：。

圆的面积教案合集八篇

圆的面积教案圆的面积教案合集八篇作为一无名无私奉献的教育工作者，就有可能用到教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编为大家整理的圆的面积教案8篇，仅供参考，欢迎大家阅读。

圆的面积教案篇1教学内容：苏教国标版五年级下册103-105页及练一练和练习十九1-3题。

教材分析：本课时内容是在学生已掌握了圆的基本特征和圆的周长公式的基础上，引导学生探索并掌握圆的面积公式。

通过3个例题教学，采用两种不同的的策略，推导出圆的面积，让学生充分感受到圆的面积公式推导过程的合理性。

教学时，一要重点引导学生用数方格的方法计算圆面积及对相关数据进行分析和比较的过程中，发现圆的面积和以它的半径为边长的正方形面积之间的近似关系；二要把握两个关键环节：一是圆可以转化成过去所学过的什么图形；二是转化成的这个图形与原来的圆有什么联系。

最后通过应用实践让学生运用知识解决实际问题的成功体验，增强学生学习数学的信心。

学情分析：1、学生已有知识基础在学习本课内容前，学生已经认识了圆，会求圆的周长，在学习长方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形的面积时，已经学会了用割、补、移等方式，把未知的问题转化成已知的问题。

因此教学本课时，可以引导学生用转化的方法推导出圆的面积公式。

2、对后继学习的作用圆面积的计算是今后学习圆柱、圆锥等内容的重要基础。

教学目标：1、知识与技能：（1）理解圆的面积的含义。

（2）经历圆的面积公式的推导过程，理解和掌握圆的面积公式。

（3）培养学生分析、综合、抽象、概括的能力和解决简单实际问题的能力。

2、过程与方法：经历圆的面积公式的推导过程，体验实验操作、逻辑推理的学习方法。

3、情感与态度：感悟数学知识内在联系的逻辑之美，体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点：正确掌握圆面积的计算公式。

教学难点：圆面积计算公式的推导过程。

教学准备：1．CAI课件；2．把圆16等分、32等分和64等分的硬纸板若干个；教学设计：一、创设情境，提出问题。

圆中八边形边长和直径的比值

圆中八边形边长和直径的比值
首先，让我们来计算一下圆中八边形的边长和直径的比值。

一
个正八边形是一个正多边形，它有八条相等的边和八个相等的内角。

假设正八边形的边长为a，那么八边形的周长为8a。

现在，让我们来计算一下圆的直径。

圆的直径是圆的边界上通
过圆心的两个点之间的距离。

圆的周长等于直径乘以π（π是一个
数学常数，约为3.14159）。

所以，圆的直径可以表示为2πr，其
中r是圆的半径。

现在我们来计算圆中八边形边长和直径的比值。

八边形的边长
和圆的直径之比为：
8a / 2πr = 4a / πr.
因此，圆中八边形的边长和直径的比值为4/π。

这就是圆中八
边形边长和直径的比值。

圆内接八边形边长与半径的关系

圆内接八边形边长与半径的关系1. 引言嘿，大家好！今天我们要聊聊一个有趣的数学话题，圆内接八边形和它的边长与半径之间的关系。

听上去有点复杂，但其实就像小孩子学骑自行车一样，慢慢来，一定能学会的。

首先，想象一下你在一个美丽的圆形花园里，里面有一个八边形的花坛。

你有没有想过，这个八边形的每条边和圆的半径之间到底有什么神秘的联系呢？如果没有，不妨跟我一起探讨一下吧！2. 圆与八边形的基础2.1 什么是内接八边形？好，我们先从“内接八边形”这个概念说起。

简单来说，内接八边形就是指一个八边形的每一个顶点都刚好在圆的周围，听上去是不是有点像圆圈里的舞会，大家都挤在一起？没错，内接的意思就是八边形和圆相互依偎、亲密无间。

那么，为什么选八边形呢？因为八边形有八个角，形状规整，平衡感十足，看起来就是那种“稳如泰山”的感觉。

2.2 半径的角色接下来，我们来聊聊半径。

圆的半径就像是圆心到圆周的直线，短短的一段，却能把整个圆的灵魂串联起来。

说到这里，大家可能会想，半径有多长，八边形的边就有多长？其实，这里有个绝妙的公式，能够帮我们找到答案，就像用GPS找到方向一样，直截了当！3. 边长与半径的关系3.1 几何关系揭密现在，让我们揭开这个谜团。

对于一个内接八边形，每一条边的长度可以通过半径来计算。

公式是这样的：边长 = 半径× sin(π/8) × 2。

这听上去像是在做一道数学题，但别担心，我们慢慢来！这个公式里的sin(π/8) 就像是一个小小的魔法师，帮助我们把半径转换成边长。

其实，这个值大约是0.382，这样一来，你只需要把半径乘以这个值再乘以2，就能算出八边形的边长了。

是不是觉得很神奇呢？3.2 生活中的例子说到这儿，你可能会问，生活中有没有什么例子能说明这个关系呢？当然有啦！想象一下，你在做一个八边形的披萨，半径是10厘米。

根据我们刚刚的公式，边长大约就是10 × 0.382 × 2，结果就是7.64厘米。

ps 中圆角八边形

ps 中圆角八边形在Photoshop（PS）软件中，圆角八边形是一种独特的形状，可以用于设计和创作各种图形和元素。

本文将介绍如何在PS中创建和应用圆角八边形，以及一些关于圆角八边形的实用技巧和应用场景。

一、什么是圆角八边形圆角八边形是一种具有八个相等长度的边和八个相等的角的形状。

每个角都是135度，使得圆角八边形看起来既有八边形的特点，同时也具有圆形的柔和感。

在设计和排版中，圆角八边形常用于图标、按钮、边框等元素的制作。

二、创建圆角八边形的步骤1. 打开PS软件并新建一个文档，选择合适的尺寸和分辨率。

2. 在工具栏中找到"形状工具"，点击并选择"圆角矩形工具"。

3. 在顶部选项栏中可以设置圆角矩形的圆角半径，选择合适的数值，如10像素。

4. 在文档中点击并拖动鼠标，创建一个圆角矩形形状。

5. 在图层面板中可以对圆角矩形进行进一步的编辑和调整，如颜色、描边等。

三、圆角八边形的实用技巧1. 圆角半径调整：在创建圆角八边形后，你可以随时调整圆角的大小。

在图层面板中选中圆角矩形图层，然后通过调整顶部选项栏中的"圆角半径"来改变圆角的大小。

2. 斜角八边形：通过调整圆角矩形工具的选项，你可以创建具有不同角度的圆角八边形。

例如，将圆角半径设置为0像素，即可创建一个斜角八边形。

3. 颜色和渐变：你可以对圆角八边形应用不同的颜色或渐变效果。

选中圆角矩形图层后，在顶部选项栏中找到"填充"选项，选择合适的颜色或渐变类型。

4. 边框和描边：通过在图层面板中添加描边效果，你可以为圆角八边形添加边框。

调整描边的颜色、大小和样式，以满足你的设计需求。

5. 应用于按钮和图标：圆角八边形常用于设计按钮和图标。

你可以根据实际需要在创建的圆角八边形上添加文字、图标或其他装饰，制作出个性化的按钮和图标效果。

四、使用圆角八边形的应用场景1. 网页设计：圆角八边形可以用来设计网页上的按钮、图标、导航栏等元素，带来柔和的视觉效果，使页面更加友好和现代化。

数学第八单元圆知识点汇总

相关概念
(1)连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；直径是最大的弦，它的长是半径的2倍 [1] 。
(2)弦到圆心的距离叫做弦心距。
(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧；任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆。
(4)圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；圆心不相同，半径相等的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相
当角的度数与弧的度数相等时，不能说角与弧相等，只能说他们的度数相等，因此不能出现
这样的式子。
“圆心角相等，则所对的弧相等”的前提是在同圆或等圆中，如图2，与所对的圆心角相等，它们的度数也相
等，但弧的长度不等。
九年级下册-第八章圆
圆心的定义
(6)顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等；半圆所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 (7)顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。圆周角与弦切角的顶点都在圆上，圆周角的两边都是过顶点的弦，而弦切角的一条边是过顶点的弦，另一条边是过顶点的切线．弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角相等。
九年级下册-第八章圆
圆的性质-垂径定理
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二得三(知二推三)。 1.平分弦所对的优弧 2.平分弦所对的劣弧(前两条合起来就是:平分弦所对的两条弧) 3.平分弦 4.垂直于弦 5.过圆心(或是直径) 推导定理推论一:平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。几何语言:∵DC是直径，AE=EB ∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD=劣弧BD，弧AC=弧BC 推论二:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。几何语言:∵弧AD=弧BD ∴CD垂直平分AB，弧AC=弧BC 推论三:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

圆内接八边形的画法

圆内接八边形的画法圆内接八边形是指一个正八边形的每个顶点都在同一个圆心上，也就是说，这个正八边形的对角线长和两边长相等，是一个相当特殊的图形。

下面我们来介绍一下画圆内接八边形的方法。

STEP 1：画一个圆首先，在画纸上画一个圆，这个圆将成为圆内接八边形的外切圆。

圆心可以先用一支直尺和铅笔找到，并用铅笔在圆心处做上一个“+”号标记。

STEP 2：找到八个顶点位置接下来，利用一支直尺或者圆规，从圆心出发，分别在圆上画出8个点，这些点处于圆上等距离的位置。

照顾起见，我们可以先画两条互相垂直的直线，将这个圆平均分成四部分，先在四个垂直线上画出4个点，然后再在相邻两个点之间画两个点，最终就可以得到8个点，它们组成一个正八边形的顶点。

STEP 3：连接相邻的顶点圆内接八边形的最后一步是将相邻的点用直线连接起来。

从第一个点开始，依次将它与下一个点相连，然后继续在下一个点和下下个点之间绘制一条线，一直重复这个过程，直到把最后一个点和第一个点连接在一起，正八边形就画好了。

最后，用橡皮将之前画的圆心、垂直线和顶点的标记擦掉，让你的圆内接八边形更加美丽。

整个过程可能需要一些技巧和熟练的手笔，不过你只要耐心练习，就一定可以成功画出美丽的圆内接八边形。

画一个圆内接八边形比较简单，只需要按照一定的步骤进行操作即可。

下面将详细介绍如何画一个圆内接正八边形：1. 画一个圆首先，选择一块画纸，用一只圆规或者直尺可以找到圆心，然后在纸张上画一个圆。

这个圆将成为正八边形的外接圆，也就是只将正八边形的八个点都在这个圆上。

2. 分割圆这一步需要将圆分成8份，也就是将圆分成正方向的8个等份，然后将这些点连接起来，就可以得到正八边形的边数和顶点位置，这个过程用到了圆规和直尺：- 首先，用一支直尺连接圆心和圆上的任意一点P，构造径OP。

- 然后，将圆规的脚放在圆心，圆规的头放在点P上，开圆规打出弧交圆于点Q，Q点是圆上坐标以P为始点的8等分点之一。