平面向量、数系的扩充综合测评试题(含答案)

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2a－b· a＋2b 1 ＝2a2－2b2＋3a· b＝8－18＋9＝－1，故 cosθ＝ ＝－26，即向 |2a－b|· |a＋2b| 1 量 2a－b 与 a＋2b 的夹角的余弦值是－26，因此选 B. 8．D c＝(1，λ)，d＝(4,3)， 若 λ>0，c· d＝4＋3λ＝0 无解， ∴c 不能与 d 垂直，A 不正确． 若 λ>0，cos〈c，d〉＝ 4＋3λ c· d 1 ＝ ＝cos60° ＝2，无解．∴B 不正确． 2 |c||d| 5 1＋λ
高中数学阶段综合测评试题
测试范围：平面向量、数系的扩充 与复数的引入 (时间：120 分钟 满分：150 分) 温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前 请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为 120 分钟，注意把握好答题时 间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己． 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013· 河南三市联考)在复平面内复数 1 1 ， 对应的点分别为 A， 1＋i 1－i )
1 1 A.2，2 1 1 C.3，3
)
2 2 B.3，3 2 1 D.3，2
6．(2013· 威海质量监测)已知向量 a，b 满足|a|＝2，且向量 b 在向量 a 方向上的投影为 1，则 a· (a－b)的值为( A．4 C．2 B．3 D．1 )
π 7． (2013· 云南第一次统检)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3， |a| ＝2，|b|＝3，则 2a－b 与 a＋2b 的夹角的余弦值等于( 1 A.26 1 C.12 1 B．－26 1 D．－12 )
8．(2013· 石家庄质量监测)已知向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈ R)，向量 d 如图所示，则( )
4． 复数 z1＝a＋2i， z2＝－2＋i， 如果|z1|<|z2|， 则实数 a 的取值范围是(
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A．－1<a<1 C．a>0
B．a>1 D．a<－1 或 a>1
→ 5．如图，△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于 F，设AB＝a， → → AC＝b，AF＝xa＋yb，
则(x，y)为(
4＋3λ c· d 3 若 λ<0，cos〈c，d〉＝ ＝ ＝cos30° ＝ 2 ，无解．∴C 不正 2 |c||d| 5 1＋λ 确． 3 当 λ＝4时，c∥d，D 正确． → → → → 9． A 由AB＝DC＝(1,1)， 知四边形 ABCD 为平行四边形， 且|AB|＝|CD |＝ 2， → → → BA BC BD 又 ＋ ＝ 3 ， → → → |BA| |BC| |BD| 知平行四边形 ABCD 为菱形，且 C＝120° ， 3 ∴S 四边形 ABCD＝ 2× 2× 2 ＝ 3.故选 A. → → 10．A 设 AC、BC 的中点分别为 M、N，则已知条件可化为(OA＋OC) → → → → → → ＋2(OB＋OC)＝0，即OM＋2ON＝0，所以OM＝－2ON，说明 M、O、N 共 2 21 1 线，即 O 为中位线 MN 上的三等分点，S△AOC＝3S△ANC＝3· S △ABC＝ S△ABC， 2 3 S△ABC 所以 ＝3. S△AOC
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解析：∠B＝60° ，则∠AOC＝120° ， 当 P 在 A 点时，x＝1，y＝0，x＋y＝1 P 在 A，C 之间得 x>0，y>0 → → → OP＝xOA＋yOC平方得：x2＋y2－xy＝1
(x＋y)2－1＝3xy≤3×
x＋y2 3 ＝ (x＋y)2 4 2
即(x＋y)2≤4，x＋y≤2. 故 1≤x＋y≤2. 17．解：由(z1－2)(1＋i)＝1－i 得 z1－2＝ 1－i 1－i2 即 z1＝ ＋2 ＝ ＋2＝2－i. 1＋i 1＋i1－i 设 z2＝a＋2i(a∈R)， 则 z1· z2＝(a＋2i)(2－i) ＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又 z1· z2 是实数，∴4－a＝0，∴a＝4. ∴z2＝4＋2i. → → → → 1→ 1 1 18．解：∵BA＝OA－OB＝a－b，BM＝6BA＝6a－6b，
16．(2013· 石家庄一模)在△ABC 中，∠B＝60° ，O 为△ABC 的外心，P → → → 为劣弧 AC 上一动点，且OP＝xOA＋yOC(x，y∈R)，则 x＋y 的取值范围为 ________．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17．(10 分)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1· z2 是实数，求 z2. → → → 1→ → 18． (12 分)如图， 以向量OA＝a， OB＝b 为边作▱OADB， BM＝3BC， CN → → → 1→ ＝3CD，用 a、b 表示OM、ON、MN.
B，若点 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( A．1 1 B.2 C．i 1 D.2i
1 2．(2013· 石家庄一模 )复数 z＝1－i ，则 z ＋z 对应的点所在的象限为 ( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
3．(2013· 贵阳适应性监测)已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，则向量 a＋b＋c＝( A．a C．c B．b D．0 ) )
→ → → 10．(2013· 大连双基测试)设 O 在△ABC 的内部，且有OA＋2OB＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( A．3 C．2 5 B.3 3 D.2 )
11．如图，在平面斜坐标系中，∠xOy＝120° ，平面上任意一点 P 的斜 → 坐标是这样定义的：“若OP＝xe1＋ye2(其中 e1、e2 分别是与 x，y 轴同方向 的单位向量)，则点 P 的斜坐标为(x，y)”．那么，在斜坐标系中，以 O 为 圆心，2 为半径的圆的方程为( )
19．(12 分)(2013· 河南第二次调研)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 → → → → 别为 a，b，c，且满足( 2a－c)BA· BC＝cCB· CA. (1)求角 B 的大小； → → (2)若|BA－BC|＝ 6，求△ABC 的面积的最大值． → → 20．(12 分)平面直角坐标系 xOy 中，已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)， → → → CD＝(－2，－3)，且AD∥BC. (1)求 x 与 y 之间的关系式； → → (2)若AC⊥BD，求四边形 ABCD 的面积． 21．(12 分)已知点 M(1＋cos2x,1)，N(1， 3sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a → → 是常数)，设 y＝OM· ON(O 为坐标原点)． (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y＝f(x)，并求 f(x)的最小正周期； π π (2)若 x∈0，2时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值，并求此时 f(x)在0，2
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11．D 据题意可知在斜坐标系中圆上的点 → P(x，y)满足|OP|＝|xe1＋ye2|＝2， 即|xe1＋ye2|2＝x2＋y2＋2xye1· e2 ＝x2＋y2＋2xycos120° ＝4， 整理可得 x2＋y2－xy＝4，即为所求圆的方程．故选 D. 12．C 1＋2λ → → 1－λ → → 设 AB 边的中点为 D，则OP＝ 3 · (OA＋OB )＋ 3 OC＝
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A．存在 λ>0，使得向量 c 与向量 d 垂直 B．存在 λ>0，使得向量 c 与向量 d 夹角为 60° C．存在 λ<0，使得向量 c 与向量 d 夹角为 30° D．存在 λ>0，使得向量 c 与向量 d 共线 → → 1 → 1 → 3 → 9．在四边形 ABCD 中，AB＝DC＝(1,1)， BA＋ BC＝ BD， →| →| →| |BA |BC |BD 则四边形 ABCD 的面积为( A. 3 C. 6 ) B．2 3 6 D. 2

上的最小值． 22 ． (12 分 ) 已知角 A ， B ， C 是△ ABC 的三个内角，若向量 m ＝
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5 A－B A－B 1－cosA＋B，cos ，n＝ ，cos ， 2 2 8
9 且 m· n＝8. (1)求 tanAtanB 的值； absinC (2)求 2 2 2的最大值． a ＋b －c
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A．x2＋y2＝2 C．x2＋y2－xy＝2
B．x2＋y2＝4 D．x2＋y2－xy＝4
12．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点 → P 满足OP＝ → → → 1－λOA＋1－λOB＋1＋2λOC (λ∈R)，则 P 的轨迹一定过△ABC 的 3 ( ) A．内心 C．重心 B．垂心 D．AC 边的中点 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中 横线上) 1－ 3i 13．(2013· 厦门模拟)已知复数 z＝ ， z 是 z 的共轭复数，则 z 的 3＋i 模等于________． 14．(2013· 河南第二次调研)已知平面向量 α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α －2β)，则|2α＋β|的值是________． → → → → → 15．如图，在△ABC 中，AD⊥AB，BC＝ 3 BD，|AD|＝1，则AC· AD＝ ________.

3．D 依题意，设 a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有(a＋b)－(b＋c)＝m c －n a，即 a－c＝m c－n a；又 a 与 c 不共线，于是有 m＝－1，n＝－1，a ＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选 D. 4．A |z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 5，∴ a2＋4< 5， ∴－1<a<1.故选 A. → 2→ → 5． C 延长 AF 交 BC 于 G， 由题知 F 为△ABC 重心， AF＝3AG， 又AG → 1 1 1 1 ＝2(a＋b)，所以AF＝3(a＋b)＝3a＋3b.
21－λ → 1＋2λ → 3 OD＋ 3 OC，所以得到 P，D，C 三点共线，所以 P 的轨迹一定 过△ABC 的重心，故选 C. 13．1 －i2－ 3i －ii＋ 3 解析：∵z＝ ＝ ＝－i， 3＋i 3＋i ∴ z ＝i，∴| z |＝1. 14. 10 解析：∵α⊥(α－2β)，∴α· (α－2β)＝α2－2α· β＝0，∵|α|＝1，∴2α· β＝ α2＝1，|2α＋β|＝ 2α＋β2＝ 4α2＋β2＋4α· β＝ 10. 15. 3 → → → → → → → → → 解析：∵AC＝AB＋BC＝AB＋ 3 BD＝AB＋ 3(BA＋AD)＝(1－ 3)AB → ＋ 3 AD. → → → → → ∴AC· AD＝[(1－ 3)AB＋ 3 AD]· AD → → → → ＝(1－ 3)AB· AD＋ 3 AD2＝ 3 AD2＝ 3. 16．[1,2]
6．C a· (a－b)＝|a|－a· b＝4－|b|cosθ· |a| ＝4－1×2＝2. 7．B 记向量 2a－b 与 a＋2b 的夹角为 θ，又(2a－b)2＝4×22＋32－ π π 4×2×3cos3＝13， (a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3cos3＝52， (2a－b)· (a＋2b)
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阶段综合测评 详解答案 1 1 1 1 1 1 1 1 1．B ∵ ＝2(1－i)＝2－2i， ＝2(1＋i)＝2＋2i， 1＋i 1－i 1 1 1 1 ∴A，B 的坐标分别为2，－2，2，2，
1 1 ∴C 的坐标为2，0，其对应的复数为2.
1＋i 1 1 3 i 2．D z＝1－i，则 z ＋z＝ ＋1－i＝ ＋1－i＝2－2，对应 1－i 1－i1＋i 1 3 的点为2，－2位于第四象限，故选 D.