解析几何难题——教师版-附解答Word版

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解析几何难题——教师版,附解答

解析几何

【例01】点的坐标分别是，，直线相交于点M ，且它们的斜率之积为． (1)求点M 轨迹的方程.

(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间)，试求

与面积之比的取值范围(为坐标原点)．

解(1)设点的坐标为，∵

)，这就是动点M 的轨迹方程． (2)方法一由题意知直线的斜率存在，设的方程为() ① 将①代入，得，由，解得．设，，则 ②

令，则，即，即，且

由②得，即

．且且．解得且，且．

∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是．方法二由题意知直线的斜率存在，设的方程为 ①

将①代入，整理，得，由，解得． ,A B (0,1)-(0,1),AM BM 12

C ()2,0

D l C

F E D F ODE ∆ODF ∆O M (,)x y 12AM BM k k ⋅=-

0x ≠l l ()2y k x =-1

k ≠±

=+y x 0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k 0∆>2102k <<()11,E x y ()22,F x y ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=+.

1228,1

2822

212221k k x x k k x x OBE OBF S

S λ∆∆=||||BE BF λ=BE BF λ=⋅()1222x x λ-=-0 1.λ<<1221212122

4(2)(2),2122)(2)2()4.21x x k x x x x x x k -⎧-+-=⎪⎪+⎨⎪-

⋅-=-++

=⎪+⎩（()()()22222412,2122.21x k x k λλ-⎧

高中数学解析几何大题(附有答案及详解)

47．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

48．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设圆22

O x y +=

，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；

①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.

49．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；

（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，

22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.

50．已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为1

2，动点M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；

专题3.3 以解析几何中与抛物线相关的综合问题为解答题——新高考数学专项练习题附解析

类型四范围与定值问题
典例 4【湖南师大附中 2018 届高三上学期月考试卷】已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 nx(n 0) 上在第
一象限内的点
P
2,
t
到焦点的距离为
5 2
，曲线
C
在点
P
处的切线交
x
轴于点
Q
，直线
l1
经过点
Q
且垂直于
x 轴．
（Ⅰ）求 Q 点的坐标；（Ⅱ）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2 : x my b 交曲线 C 于点 A 和 B ，交 l1 于点 E ，若直线 PA ， PE ，
【举一反三】【（2018·山东高考模拟】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M (2,1) 在抛物线 C ：x2 ay 上，
直线 l ： y kx b(b 0) 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，且直线 OA ， OB 的斜率之和为-1.
（1）求 a 和 k 的值；（2）若 b 1，设直线 l 与 y 轴交于 D 点，延长 MD 与抛物线 C 交于点 N ，抛物线 C 在点 N 处的切线为 n ，记直线 n ， l 与 x 轴围成的三角形面积为 S ，求 S 的最小值.
线焦点的距离为 . 直线与抛物线交于两点，且线段的中点为
.
（Ⅰ）求直线的方程.
ຫໍສະໝຸດ Baidu

2022年新高考重难点汇编重难点05 解析几何(解析版)

2022

年新高考重难点汇编解析几何在新高考中一般为两道选择，一道填空，一道解答题。选择部分：一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度中等。填空题目也是综合题目，难度中等。大题部分一般是以椭圆、抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等。双

曲线很少出现在解答题中，一般出现在小题中。复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。

1、将圆锥曲线几何性质与向量数量积、不等式等交汇是高考解析几何命题的一种新常态，问题解决过程中渗透数学的转化化归，函数与方程和数形结合等的数学思想方法。

2、“定义型”的试题是高考的一个热点。这种题目设问新颖，层次分明，贯穿解析几何的核心内容，解题的思路和策略常规常见，通性通法，直线与圆锥曲线的位置关系的解法和基本在此呈现，正确快速的多字母化简计算是解析几何解题的一道坎。

3、定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点。算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤。利用结果写过程的形式。先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点），所得答案即是要求的定值，然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可。注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可。

4、最值与取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算。

数学解析几何经典例题附带答案

数学解析几何经典例题~

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．双曲线x 22－y 21

＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1)

C ．(3，0)，(－3，0)

D ．(0，3)，(0，－3)

解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3.

∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.

答案： C

2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；

当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.

所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件．

答案： C

3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )

A ．x 2＋y 2＋2x ＝0

B ．x 2＋y 2＋x ＝0

C ．x 2＋y 2－x ＝0

D ．x 2＋y 2－2x ＝0

解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.

答案： D

4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( )

A ．椭圆、双曲线、圆

B ．椭圆、双曲线、抛物线

专题精品课件4--解析几何解答题的解法

解析几何解答题的解法
试题特点
2007年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有10道，双曲线的有
2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中
点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.
在2008年高考的解析几何试题中，像有关面积的问题是高考的热点问题，但在2007年及以前主要是讨论三角形的面积，而近两年有多处出现了讨论四边形面积的问题，如2007年全国卷一理科第21题；2008年北京卷理科第19题等等．以后还会讨论多边形的问题.
x
2
＋y2=1的右焦点
3
设PQ的斜率为k且k≠0，则直线PQ的方程为y = k ( x － 2)
由
y k(x x2 3y 2
2) 3
0
(3k 2
1)x2
6
2k 2 x 6k 2 3 0
设P(x1,y1)，Q(x2 ,y2 )
则x1＋x2=
6 2k 2 , 3k 2 1
x1
x2
6k 2 3k 2
了几何性质.
解析几何解答题的解法
应试策略
(3)双曲线
①类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式.同样要重视定义在解
题中的运用，要深刻理解几何量a，b，c，e，a
2
的本质含义及其相互间的关系.

解析几何解答题的解法-文档资料

解析几何解答题的解法
试题特点
2010年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有 10道，双曲线的有2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.
解析几何解答试题热点的题型是求参数范围或求最值的综合性问题，探求动点的轨迹问题，有关定值、定点等的证明问题，与向量综合的探索性问题等.
解析几何解答题的解法
应试策略
（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.
（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.
（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程.
解析几何解答题的解法
试题特点wenku.baidu.com
从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：① 建立适当的平面直角坐标系；②设而不求，变式消元；③利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；④发掘平面几何性质，简化代数运算； ⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系；⑥注意对特殊情形的检验和补充；⑦充分利用向量的工具作用；⑧注意运算的可行性分析，等等

专题十三解析几何解答题

合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查.热点的题型是求
参数或求最值的综合性问题，探求动点的轨迹问题，有关定值、定点等的证明问题，与向量综合的探索性问题等.
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模拟训练
1. (2008· 广东韶关市高考模拟试题)已知圆C方程为：x2+y2=4. (Ⅰ)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A、B两点, 若|AB|=2 3 ，求直线l的方程; (Ⅱ)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点
把解析几何作为压轴题出现.
纵观近几年高考试题中解析几何试题，试题既坚持了注重通性通法，淡化特殊技巧的命题原则，又适度体现了灵活运用技巧解题返回目录
专题概览
的空间，考查的主要知识及特点为： (1)由已知条件建立曲线的方程，研究曲线的性质.用待定系数法确定圆锥曲线标准方程，求它们的焦点、焦距、准线、离心率等元素，研究几何性质. (2)直线与圆锥曲线的位置关系是高考重点考查的内容之一，主要讨论直线和圆锥曲线的公共点问题，求弦长、焦点弦长及中点等问题.
x1 x 2 ∴抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为 , , p p x1 ∴在点A处的切线方程为y－y1＝ ( x x1 ), p 2 x1 x1 x . 即y＝ p 2p
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模拟训练
2 x2 x2 . 同理在点B处的切线方程为y＝ x p 2p

高考数学解析几何解答题专项练习题(附解析)

高考数学解析几何解答题专项练习题（附解析）各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大伙儿一定要在平常的练习中不断积存，查字典数学网为大伙儿整理了解析几何解答题专题训练题，期望同学们牢牢把握，不断取得进步!

1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.

解(1)直线AB的方程是y=22x-p2，与y2=2px联立，从而有4x2-5px+ p2=0，

因此x1+x2=5p4.

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，

因此p=4，从而抛物线方程是y2=8x.

(2)由p=4，知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0，

从而x1=1，x2=4，y1=-22，y2=42，

从而A(1，-22)，B(4,42).

设OC=(x3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)，

又y23=8x3 ，

因此[22(2-1)]2=8(4+1)，

即(2-1)2=4+1，

解得=0，或=2.

2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于1

(1)求圆C的标准方程;

(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB

为邻边作平行四边形OADB.是否存在如此的直线l，使得直线OD 与MC

恰好平行?假如存在，求出l的方程;假如不存在，请说明理由.

解析几何(解答题)——大数据之五年(2018-2022)高考真题汇编(新高考卷与全国理科)(附答案)

解析几何（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考

卷与全国理科）

一、解答题

1．设双曲线C：x2

a2−y

=1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y=±3x．

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0．过P且斜率为−3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2．设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．

（1）求C的方程：

（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．

3．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，−2)，B(3

，−1)两点．（1）求E的方程；

（2）设过点P(1，−2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH．证明：直线HN过定点．

4．已知椭圆E：x2

a2+y

=1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为23．

（Ⅰ）求椭圆E的方程：

（Ⅱ）过点P(−2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值。

课时突破解析几何解答题 3

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第3课时圆锥曲线中的存在性与证明问题

考向一圆锥曲线中的存在性问题

【典例】(2020·银川二模)已知椭圆C ：x 2a

2+y 2

b 2=1(a>b>0)的离心率与双曲线

x 2

-y 2

=1的离心率互为倒数，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|=4.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知过左顶点A 的直线l 与椭圆C 另交于点D ，与y 轴交于点E ，在平面内是否存在一定点P ，使得

=0恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求△ADP

面积的最大值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)双曲线x 2-y

的离心率为

√1+3

=2，由题意可得椭圆的离心率为e=

√a 2-b 2

=12

，|AB|=4，即2a=4，即a=2，b=√3，所以椭圆的方程为x 24

+y 23

=1；

(2)过左顶点A 的直线l 的斜率显然存在，设为k ，方程设为y=k(x+2)，由题意知k ≠0，

可得E(0，2k)，且A(-2，0)，B(2，0)，

设P(m ，n)，由{y =k(x +2),

3x 2+4y 2

=12

可得(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-12=0，则-2x D =16k 2-12

3+4k 2

，即x D =6-8k 23+4k 2

，即有

D (

6-8k 23+4k 2,12k

3+4k 2

)，在平面内假设存在一定点P ，使得

=0恒成立.

可得·

=(-m ，2k-n)·(

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》技巧及练习题附答案解析

【高中数学】数学《平面解析几何》高考复习知识点

一、选择题

1．已知抛物线2

2(0)y px p =>交双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线于A ，B 两点

（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（） A ．(2,0) B ．(4,0)

C ．(6,0)

D ．(8,0)

【答案】B 【解析】【分析】

由题意可得

=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】

2222

222

15c a b b e a a a

+===+=，∴2b a =，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：

22322n

m mn n pm ⎧=⎪⎪

=⎨⎪=⎪⎩

，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】

本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．如图所示，已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上

一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线

C 的离心率是( )

A 27

B ．

C 7

D 7

【答案】C

【解析】【分析】

利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．【详解】

解：双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》难题汇编附答案解析

数学《平面解析几何》高考复习知识点

一、选择题

1．设P 为椭圆C ：22

x y 173

+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，

使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )

A ．22(x 2)y 28-+=

B ．22(x 2)y 7++=

C ．22(x 2)y 28++=

D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】【分析】

推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PF

PQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程．【详解】

P Q 为椭圆C ：22

x y 173

=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，

12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，

PF PQ FQ ∴+==，

Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．

故选：C ．【点睛】

本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

2．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．)+∞

D ．)+∞

【答案】C 【解析】【分析】

根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得

>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围．【详解】

解：不妨设该双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b

高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》难题汇编附答案解析

【高中数学】数学《平面解析几何》复习资料

一、选择题

1．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】

试题分析：渐近线的方程为

，而

，因此渐近线的方程为

，选D.

考点：双曲线渐近线

2．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的

圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为

（） A ．22B 22-C ．22D 22+

【答案】D 【解析】【分析】

设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出

22,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】

设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，

由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为

，可得22,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22

22122c c a b

-=，即()22222

122c c a c a -=-，

设该双曲线的离心率为()1e e >，则()

1221e e e -=-，整理得42420e e -+=，

解得22e =，因此，双曲线C

专题05 解析几何(解答题10种考法)讲义(原卷版)2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练

C
上不同于顶点的任意一点，射线 PF1 、 PF2
分别与椭圆
C
交于点
A、
B，△PF1B 的周长为 8．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若 PF1 1 F1A ， PF2 2 F2B ，求证： 1 2 为定值．
【变式】 1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为短轴长的 2 倍，若椭圆
b
0 的左、右焦点为
F1,
F2
，离心率为
1 2
.点 P 是椭圆 C 上不同于顶点的任意一点，射线 PF1, PF2 分别与椭圆 C
交于点 A, B ，
△PF1B 的周长为 8.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 △PF1F2
， △ PF1 B
， VPAB
的面积分别为
S1, S2 , S3
.求证：
C 经过点 P 2, 2 ，
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若 A, B 是椭圆上不同于点 P 的两个动点，直线 PA, PB 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，证明：直线 AB 的斜率为定值．
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
10, 0 ，线段 AB 的垂直平分线与直线 AC 交于点 D ．

解析几何难题——教师版-附解答Word版