全等三角形(常见辅助线)课件

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全等三角形经典题型辅助线

全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知:如图6,△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形,且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。

BD 平分∠ABC 。

求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D 。

求证：2BD CD =证明:延长DC 到E ，使得CE=CD ，联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例 4.】如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证:2AC AE =。

证明:延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ）在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、如图,△ABC 中,BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线"的辅助线包含的基本图形“八字型"和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

《全等三角形》中常见辅助线

全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点1.线段倍长（或作平行线）模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS)⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点.①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为 .⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE=12BC.⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.CBDBBA C2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)模型：如图，OA=OB,BC ⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) ⑴.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点.①在图中作出CM ⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,N; ②⑵求证：DM=DN; ③若AD=3，求AM+AN 的值.⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在CD,BD 上，且DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.⑶.如图，BC ⊥CE,BC=CE,AC ⊥CD,AC=CD,DE 交AC 的延长线于点M,M 是DE 的中点. ①求证：AB ⊥AC;②若AB=8，求CM 的长.⑷.如图，已知A(-2,1),C(0,2),且C 为线段AB 的中点，求点B 的坐标.DABCABA3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS 或ASA 构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，D,E 分别是AC 和AC 的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE ，∠DBC=∠EBC.求证：D 是AC 的中点.⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE 于点H,延长AH 交BC 于点M.求证：M 是BC 的中点.【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D 是AB 上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE 交AC 于点F ，求证：F 是BE 的中点.⑷如图，A,B,C 三点共线，D,C,E 三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC 于点F ，AE=BD. ①求证：C 是DE 的中点；②求证：AB=2CF.EBEB二、线段的和差处理 1.等线段代换法⑴如图，CD 为△ABC 的中线，M,N 分别为直线CD 上的点，且BM ∥AN. ①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CD⑵如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN 是过点A 的一条直线，且BM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N. ①求证：AM=CN ；②求证：MN=BM-CN.⑶如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD 平分∠BAC,CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F. ①求证：BD=CD;②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.⑷.如图，△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90︒，D 为BC 延长线上一点，BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点E.①求证：BE=AD ；②过C 点作CM ∥AB 交AD 于点M ，连接EM ，求证：BE=AM+EM.ABACBA B2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N.①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法）方法1：直接截长方法2：间接载长方法3：直接补短方法4：间接补短EBCA EBCA EBCA EBC A三、角平分线模型1.作垂线模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出-AC ABCE的值是 .⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的外角；②求-BD CDDM的值.21BAOPA BB CD2.截长补短模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB.⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)C BBBBA3.角平分线+垂线：延长法模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC 交OB 于点B ，则△OCA≌△OCB. ⑴.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点E ，探究∠ACE，∠B，∠ECD 之间的数量关系.⑵.如图，在△ABC 中，AB<BC ，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P 点，连接PC ，若△ABC 的面积为4，求△BPC 的面积.⑶.如图，在△AOB 中，AO=OB ，∠AOB=90 ，BD 平分∠ABO 交AO 于点D ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2AE.⑷.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AE,BE 分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE ；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD 的面积.BBA B四、半角与倍角模型⑴如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB交AM 于点M，连接MN.①当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN.②如图，在①的条件下，当AM和AN在AB⑵如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证：DE-AD=BE.⑶如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.⑷.①如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD,求证：EF=BE+DF;②如图2，在①条件下，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是 .BN MDB A BC。

【专题】全等三角形辅助线做法汇总PPT课件(沪科版)

=
∵ቐ∠ = ∠
=
∴△BDE≌△CDH(SAS）

∴BE=CH
在△CFH中，根据三角形三边数量关系
CF+CH＞FH
即CF+BE＞EF

猜想：AF+CE=EF
【解析】（3）延长FA至AH,使AH=CE
易证△HAD≌△CDE(SAS），HD=DE
再证△HDF≌△EDF(SAS）

图2

图3
【解析】（1）（2）问中，利用角度的和差关系，等角的余角相等，间接求证Rt△ADB≌Rt△AEC（AAS）
课堂练习
例8 如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°
的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，求△AMN的周长。

不需要说明理由，请直接写出你的猜想。
（2）如图③，当∠ABC≠90°时，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明。
【解析】
（1）猜想:AB=AC+CD 证明：方法如题①，在AB上截取AE=AC。
（2）猜想：AC+AB=CD 在AF上截取AH=AC易证△ACD≌△AHD(SAS）∴CD=HD再根据∠ACB=2∠B
（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN)
结论：DM=DN，AM=AN，∠ADM=∠AND
典型例题
例4.已知：如图，在四边形ABC中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠使BE=AB，连接DE

13.2.7.2构造全等三角形的常见辅助线

延长FD至G,使DG=FD,连接BG, 连接EG
A F
E
B 1 2 D C

四、截长与补短
例1、已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2 A 求证:AB=AC+CD
1、在AB上取点E使得AE=AC，连接DE
E
•
1
2
B
D
C F
2、在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
四、截长与补短
例2、如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线 DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=AB
13.2.7 构造全等三角形的常见辅助线
三、倍长中线
1 求证： AD ( AB AC) 例1.如图，若AD是△ABC的中线， 2 A
延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.
B
C D
E
三、倍长中线
例2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥GF，交 AB于点E，连接EG、EF.求证：BE＋CF＞EF.
在AB上取点F使AF=AD, 连接EF
D
E
4
C
3
1 2
5
A
F
•
B
线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线=中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。

全等三角形(辅助线)

全等三角形类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)．倍长中线法：1、已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF,试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论. FED C B A(答案与解析）BE ＋CF ＞EF ；证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG∵D 是BC 中点∴BD ＝CD又∵DE ⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG ≌△EDF （SAS ）∴EG ＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21∴△FDC ≌△GDB(SAS)∴CF ＝BG∵BG ＋BE ＞EG ∴BE ＋CF ＞EF(点评）因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF ，使DG ＝DF,证明△EDG ≌△EDF ，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBCBC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．(答案与解析）证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED 与△ACD 中，()12()()AE AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作，已知，公用边，∴ △AED ≌△ACD （SAS ）．∴ ∠AED ＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵ ∠C ＝2∠B ∴∠AED ＝2∠B ．由图可知：∠AED ＝∠B ＋∠EDB ，∴ 2∠B ＝∠B ＋∠EDB ．∴ ∠B ＝∠EDB ．∴ BE ＝ED ．即BE ＝CD ．∴ AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋CD(等量代换)．(点评）本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB ＞AC ．故用截长补短法．在AB 上截取AE ＝AC ．这样AB 就变成了AE ＋BE ，而AE ＝AC ．只需证BE ＝CD 即可．从而把AB ＝AC ＋CD 转化为证两线段相等的问题．举一反三：(变式）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD ＝BD.(1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD ＝∠BAD, AD ＝AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠AMD.∵ HD ＝DB, ∴ DB ＝ MD. ∴ ∠DMB ＝∠B. ∵ ∠AMD ＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD ＋∠B ＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补.（2）由（1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180︒.∵ ∠B ＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD ＝2∠DGA.∴ ∠AMD ＝2∠DGM.∵ ∠AMD ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ 2∠DGM ＝∠DGM ＋∠GDM.∴ ∠DGM ＝∠GDM. ∴ MD ＝MG.∴ HD ＝ MG.∵ AG ＝ AM ＋MG, ∴ AG ＝ AH ＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：M G H D CB A3、如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB －MC ＜AB －AC ．(答案与解析）证明：因为AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．(点评）因为AB ＞AC ，所以可在AB 上截取线段AE ＝AC ，这时BE ＝AB －AC ，如果连接EM ，在△BME中，显然有MB －ME ＜BE ．这表明只要证明ME ＝MC ，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：(变式）如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC(答案）证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD AC AE 在△AED 与△ACD 中∴△AED ≌△ADC （SAS ）∴DE ＝DC 在△BED 中，BE ＞BD －DC即AB －AE ＞BD －DC ∴AB －AC ＞BD －DCE DC B A（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如图所示，已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE＝∠FAE ．求证：AF ＝AD ＋CF ．(答案与解析）证明：作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C ＝∠D ＝∠EMA ＝90°．又∵ ∠DAE ＝∠FAE ，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME ＝DE ．在Rt △AME 与Rt △ADE 中，()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边，已证， ∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL)．∴ AD ＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵ E 为CD 中点，∴ DE ＝EC ．∴ ME ＝EC ．在Rt △EMF 与Rt △ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩已证，公用边)， ∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL)．∴ MF ＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF ＝AD ＋FC(等量代换)．(点评）与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD 为正方形，则∠D ＝90°．而∠DAE ＝∠FAE 说明AE 为∠FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E 到AD 的距离已有，只需作E 到AF 的距离EM 即可，由角平分线性质可知ME ＝DE ．AE ＝AE ．Rt △AME 与Rt △ADE全等有AD ＝AM ．而题中要证AF ＝AD ＋CF ．根据图知AF ＝AM ＋MF ．故只需证MF ＝FC 即可．从而把证AF ＝AD ＋CF 转化为证两条线段相等的问题．5、如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，12AE BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线． (答案与解析）证明：延长AE 和BC ，交于点F ，∵AC ⊥BC ，BE ⊥AE ，∠ADE=∠BDC （对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC ．即∠EAD=∠CBD ．在Rt △ACF 和Rt △BCD 中．所以Rt △ACF ≌Rt △BCD （ASA ）．则AF=BD （全等三角形对应边相等）．∵AE=BD ，∴AE=AF ，即AE=EF ．在Rt △BEA 和Rt △BEF 中，则Rt △BEA ≌Rt △BEF （SAS ）．所以∠ABE=∠FBE （全等三角形对应角相等），即BD 是∠ABC 的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，垂足分别为E ，F 。

专题(四) 全等三角形的基本辅助线—倍长中线公开课获奖课件

八年级上册人教版数学第十二章全等三角形
专题(四) 全等三角形的基本辅助线——倍长中线
几何题中含有中点，条件无法运用时，常将中点处的线段加倍延长，构造SAS全等三角形．其实质是旋转变换构造全等三角形．
1．已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD 的取值范围．
2
解：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD的中线，∴BE＝ DE.∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE(SAS)．∴∠B＝∠BDF，AB＝ DF.∵BA ＝ BD ， ∠ BAD ＝ ∠ BDA ， ∴ BD ＝ DF.∵∠ADF ＝ ∠ BDA ＋ ∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，Байду номын сангаас∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD.∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝ 1 AC
解：延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.∵BD是AC边上的中线，∴AD＝ CD，∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.
在△CBE中，BC－CE＜BE＜BC＋CE，∴2 cm＜2BD＜10 cm.∴1 cm＜ BD＜5 cm
2 ．如图， AD ， AE 分别是 △ ABC 和 △ ABD 的中线，且 BA ＝ BD ， ∠BAD＝∠BDA.求证：AE＝ 1 AC.
从而∠BAC＝∠B1A1C1，再用SAS证△ABC≌△A1B1C1
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》郭璞的《游仙诗》鲍照的《拟行路难》庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：

初二数学《全等三角形》PPT课件

02
全等三角形判定方法
SSS判定法
定义
三边对应相等的两个三角形全等。
符号语言
在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B'，AC=A'C'， BC=B'C' ⟹ △ABC≌△A'B'C' （SSS）
注意事项
在应用SSS判定法时，需要确保三个边分别对应相等，不能只满足其中两个边相等。
SAS判定法
注意事项
在应用AAS判定法时，需要确保两个角和其中一个角的对边分别对应相等。同时，需要注意的是，AAS判定法和ASA判定法的区别在于，AAS判定法中的两个角不是夹边所对的角，而是任意两个角。
03
全等三角形证明技巧
已知条件梳理与分析
已知条件分类
01
边、角、高、中线、角平分线等。
已知条件之间的关系
能够灵活运用这些判定方法解决相关问题。
关键知识点回顾与总结
全等三角形的应用了解全等三角形在几何证明和实际问题中的应用。
能够运用全等三角形的知识解决一些实际问题。
拓展延伸：相似三角形简介
相似三角形的定义与性质了解相似三角形的定义，即两个三角形对应角相等、对应边成比例。
掌握相似三角形的性质，如相似比、面积比等。
符号语言
在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'， AB=A'B'，∠B=∠B' ⟹ △ABC≌△A'B'C'（ASA）
注意事项
在应用ASA判定法时，需要确保两个角和它们之间的夹边分别对
应相等。
AAS判定法
定义

《全等三角形》ppt课件

《全等三角形》ppt课件•全等三角形基本概念与性质•判定全等三角形方法探讨•辅助线在证明全等过程中作用•相似三角形与全等三角形关系探讨目录•生活中全等三角形应用举例•总结回顾与拓展延伸全等三角形基本概念与性质全等三角形定义及判定方法定义SSS（边边边）SAS（边角边）HL（斜边、直角边）ASA（角边角）AAS（角角边）对应边相等对应角相等对应关系确定030201对应边、对应角关系全等三角形性质总结判定全等三角形方法探讨SSS判定法定义应用举例注意事项应用举例SAS判定法定义在证明两个三角形全等时，若已知两边及夹角相等，则可直接应用SAS判定法。

注意事项ASA判定法定义AAS判定法定义比较分析案例分析01020304ASA和AAS判定法比较与案例分析辅助线在证明全等过程中作用构造辅助线策略与技巧分享观察图形特征在证明全等三角形时，首先要仔细观察图形，分析已知条件和目标结论，从而确定需要构造的辅助线类型。

利用基本图形熟悉并掌握一些基本图形（如角平分线、中线、高线等）的性质，可以帮助我们更快地构造出合适的辅助线。

构造平行线或垂直线根据题目条件，有时需要构造平行线或垂直线来利用相关性质进行证明。

典型辅助线构造方法剖析角平分线法01中线法02高线法03复杂图形中辅助线应用实例在复杂图形中，有时需要综合运用多种辅助线构造方法才能解决问题。

例如，可以先构造角平分线，再利用中线或高线的性质进行证明。

在一些特殊情况下，可能需要构造多条辅助线才能找到解决问题的突破口。

这时需要仔细分析图形特点，灵活运用所学知识进行构造和证明。

通过学习和掌握典型辅助线的构造方法和应用实例，可以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。

相似三角形与全等三角形关系探讨性质面积比等于相似比的平方。

定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。

周长比等于相似比；010203040506相似三角形定义及性质回顾相似三角形判定方法简介预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形与全等三角形联系和区别联系区别全等三角形的性质在相似三角形中同全等三角形的性质更为严格和具体，而相似三角形的性质相对较为宽松和生活中全等三角形应用举例建筑设计中全等三角形应用稳定性美学效果美术创作中全等三角形构图技巧平衡感动态感其他领域（如工程、测量）中全等三角形应用工程测量机械设计地图制作总结回顾与拓展延伸全等三角形的判定方法熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。

全等三角形经典题型——辅助线问题

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)常见的辅助线的作法(教师版)全等三角形问题常见的辅助线的作法总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长线:倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的线,倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。

(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置CCBA上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。

全等三角形常见辅助线

全等三角形常见辅助线作法知识结构图一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（是底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．四．型图（一线三等角）型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用．（1）如图，已知，，，；则，，．（2）型图变化：将向右移动会出现下面两种情况：①如图，已知，，，，，则，；②如图，已知，，，，，则，．题模一中点类全等问题例1.1、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．例1.2、在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例1.3、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形______ 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是______．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．例1.4、在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．（1）如图1，当时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．题模二角平分线类全等问题例2.1、中，AD是的平分线，且．若，则的大小为（）A、40°B、60°C、80°D、100°例2.2、如图所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F．求证：．例2.3、已知，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．题模三截长补短类全等问题例3.1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．例3.2、(2013初二上期中人民大学附属中学)如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：（1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论例3.3、（1）如图，四边形ABPC中，，，，求证：．（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD内一点，且，求证：．题模四K型图例4.1、如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）连接，求证：．例4.2、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：；（2）连接FC，求证：，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则等于多少度？请说明理由．例4.3、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．随堂练习随练1.1、如图所示，是等腰直角三角形，，是边上的中线，过作的垂线，交于点，交于点，求证：．随练1.2、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AB=4，BD=3，∠B=2∠C，则AC的长为（）A、 6B、 7C、 8D、9随练1.3、如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证：．随练1.4、如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长．随练1.5、(2013初二上期末怀柔区)（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．随练1.6、已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．随练1.7、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：随练1.8、如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．随练1.9、在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA=BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．随练1.10、直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC 中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．随练1.11、【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．随练1.12、直线过的顶点，．分别是直线上两点，且．（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若则_______（填“”，“”或“”）；②如图②，若，若使①中的结论任然成立，则与应满足的关系式_______________；（2）如图3，若直线经过的外部，，请探究与三条线段的数量关系，并给予证明．能力拓展拓展1、已知：如图，在中，AD平分，于点D，，若，，求AB的长．拓展2、如图所示，，是的中点，，，求证．拓展3、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?拓展4、已知的顶点C在的平分线OP上，CD交OA于F，CE交OB于G．（1）如图1，若，，则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论：__________；（2）如图2，若，，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；（3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件．拓展5、如图1，在△ABC中，，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．拓展6、如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）；（2）．拓展7、已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__，QE与QF的数量关系是__；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．拓展8、在△ABC，∠BAC为锐角，，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明②如图3，若，求∠BAC的度数．拓展9、在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．拓展10、在□ABCD中，，过点D作，且，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．拓展11、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC中，，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．拓展12、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）拓展13、已知△ABC中，M为BC的中点，直线m 绕点A旋转，过B，M，C 分别作BD⊥m于点D，ME⊥m于点E，CF⊥m于点F．当直线m经过点B时，如图1，可以得到．（1）当直线m不经过B点，旋转到如图2，图3 的位置时，线段BD，ME，CF之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想．图2，猜想：；图3，猜想：．（2）选择第（1）问中任意一种猜想加以证明．拓展14、（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线L经过点A，BD⊥直线L，CE⊥直线L，垂足分别为点D、E．证明：①△ABD≌△CAE；②DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线L上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．。

人教版八年级数学上册 12.2 复习小专题(二)构造全等三角形常见辅助线的添法课件(共20张PPT)

大显身手
1、如图：CD⊥AB，BE⊥AC,垂足分别是D,E，BE和CD相
交于点O,AB=AC, ∠B= ∠C.求证：OD=OE
A
D
E
O
B
C
3
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
典例讲评
例2：如图，已知AC∥BD,AE、BE分别平 C
分∠CAB和∠DBA,CD过点E,
求证：AB=AC+BD．
A
E D
E D
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
AC=AF
在△ACE和△AFE中, ∠1=∠2
AE=AE
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴∠5=∠C. ∵AC∥BD,
2
A
FB
又∵∠5+∠6=180°,
∴∠6=∠D
在△EFB和△EDB中,
∴∠C+∠D=180°
5
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
典例讲评
“补短法”构造全等三角形 F
BD=CD ，
在∆BDE和∆CDA中, ∠1=∠2 ，
DE=DA，
∴ 2AD＜AB+AC，
∴ ∆BDE ≌∆CDA（SAS），
即：
12
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
大显身手
1.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,
DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
求证:BE+CF>EF
20
14
知识点四：利用“作平行线”构造全等三角形
典例分析
例4：如图，D是△ABC的边BA延长线上点,且
AD=AB,E是边AC上一点,且DE=BC.
C
求证:∠DEA=∠C.

八年级上册数学课件常见的辅助线

2
F
练3：如图：△ABC中，CD=BD=AB， E是BD的中点，求证：AD平分∠CAE.
F
练4：如图：△ABC中，D是BC的中点， DE⊥DF，求证：BE+CF>EF.
G
例1：如图：在△ABC中，∠1=∠2， AC=AB+BD.求证：∠ABC=2∠C.
E
例1：如图：在△ABC中，∠1=∠2， AC=AB+BD.求证：∠ABC=2∠C.
关于全等三角形辅助线
图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。
例1：如图：AD为 △ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
E
练1：在△ABC中，AC=5，中线 AD=7，则AB边的取值范围是（） A. 1<AB<29 B. 4<AB<24 C. 5<AB<19 D. 9<AB<19
E
例2：如图：AD是△ABC的中线， BE交AC于E，交ADΒιβλιοθήκη F，且AE= EF，求证：AC=BF.
G
练2：如图：AD是△ABC的中线， BE交AC于E，交AD于F，且AC= BF，求证：AE=EF.
G
例3：如图：AD、AE分别是△ABC 和△ABD的中线，且AB=BD.求证： AE= 1 AC.
E
练1：如图：在△ABC中，∠1=∠2， ∠ABC=2∠C.求证：AC=AB+BD.
E
例2：如图：AC平分∠BAD，CE⊥ AB于E，∠B+∠D=180°.求证： AE=AD+BE.
F
练2：如图：AD平分∠BAC， ∠ACD+∠B=180°，求证：BD=CD.

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同上例：如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.
若A1
A 2
=6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
O
B A
N C
A2
A
20
Ⅴ.“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”
典例3.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
Ⅰ.连结
练一练:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形（角平分线上的点到角两边的距离）,得到距离相等
语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
C P
G EB
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
练一练：如图,梯形中,∠A= ∠D =90o, B BE、CE均是角平分线,BE的延长线交 CD延长线与F，求证:CF=AB+CD.
连结CD,构造了一个等腰三角形
C
A
B
E
D
A
14
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
练一练：△ABC中，AD平分∠BAC，DE是 BC的中垂线，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：BM＝CN
A
M
B
E
C
N
D
A
15
Ⅳห้องสมุดไป่ตู้中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
少?
A
A C
12
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
典例1、如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为 △ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA 的延长线于E点．求证：DE=AE+BC．
AM+ MP+AN+NP+6 M P N
AM+AN+MN+6
B
C
13+6
完
再见
A
23
过E点做BC的垂线，
构造了:
全等的直角三角形
C
A E DF
A
11
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
练一练:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,
(1)求证:AB=AC+DC.
过点D作DE⊥AB
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 B
D
(2)若AB=15cm,求△BED的周长是多
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
典例1.AD是△ABC的求证 A： D 1(AB AC )
中线，
2
延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.
A
C B
D
E
Ⅴ.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”
典例1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
Ⅴ.“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”
典例2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
Ⅴ.“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
AB+ BM+AM+6
13+6
B
N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化借助“等腰三角形性质”
练一练：如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线， MN//BC.若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形
语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,