2020年中考数学一轮复习练习题 第17课时 二次函数的图象和性质(含答案)
2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质(含解析答案)
2020年中考数学一轮专项复习——二次函数图象及性质课时1 二次函数图象与基本性质基础过关1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3)D. (－1，－3)2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1D. 直线x ＝－13. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2D. y 2>y 1>24. (2019咸宁)已知点A (－1，m )，B (1，m )，C (2，m －n )(n ＞0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是( )A. y ＝xB. y ＝－2xC. y ＝x 2D. y ＝－x 25. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2B. －4C. 2D. 46. (2018岳阳)在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同．．．．的点A (x 1，m )，B (x 2，m )，C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( )A. 1B. mC. m 2D. 1m第6题图7. (2019株洲)若二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，则a ________0(填“＝”、“>”或“<”)． 8. (2019眉山模拟)如果点A (－4，y 1)、B (－3，y 2)是二次函数y ＝2x 2＋k (k 是常数)图象上的两点，那么y 1________y 2.(填“＞”、“＜”或“＝”)9. (2019甘肃省卷)将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__________． 10. 已知二次函数y ＝x 2－2x ＋3，当自变量x 满足－1≤x ≤2时，函数y 的最大值是________．满分冲关1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的顶点在第一象限，且图象经过点(－1，0)，若a ＋b 为整数，则ab 的值为( )A. －2B. 1C. －34D. －142. (2018呼和浩特)若满足12<x ≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3－x 2－mx >2成立，则实数m 的取值范围是( )A. m <－1B. m ≥－5C. m <－4D. m ≤－43. (2020原创)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1. (1)求抛物线的对称轴(用含m 的式子去表示)；(2)若点(m －2，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋3，y 3)都在抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1上，求y 1，y 2，y 3的大小关系．课时2 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系及解析式的确定(建议时间：25分钟)基础过关1. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )2. (2019青岛)已知反比例函数y ＝abx 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )第2题图3. (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A. y ＝(x －4)2－6B. y ＝(x －1)2－3C. y ＝(x －2)2－2D. y ＝(x －4)2－24. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结论正确的是( )①2a ＋b ＝0; ②当－1≤x ≤3时，y ＜0; ③若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2; ④3a ＋c ＝0.A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④第4题图5. (人教九上P 35例3改编)怎样移动抛物线y ＝－12x 2就可以得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1( )A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位6. 已知二次函数的图象经过(－1，0)，(2，0)，(0，2) 三点，则该函数解析式为( ) A. y ＝－x 2－x ＋2 B. y ＝x 2＋x －2 C. y ＝x 2＋3x ＋2D. y ＝－x 2＋x ＋27. (2019娄底改编)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ① 4a ＋c ＞－2b ② b 2－4ac <0 ③ 2a >b ④ (a ＋c )2<b 2 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第7题图8. (人教九上P 40练习第2题改编)一个二次函数的图象经过(0，0)、(－1，－1)、(1，9)三点，这个二次函数的解析式是________．9. (2019天水)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b .则M 、N 的大小关系为M ________N ．(填“>”、“＝”或“<”)第9题图能力提升如图，抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3与y 2＝12(x －3)2＋1交于点A (1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B 、C ，则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a ＝1；③2AB ＝3AC . 其中正确结论是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 都正确题图满分冲关抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A (－1，0)，B (m ，0)，C (－2，n )(1<m <3，n <0)．下列结论：①abc >0；②3a ＋c <0；③a (m －1)＋2b >0；④a ＝－1时，存在点P 使△P AB 为直角三角形．其中正确结论的序号为________．课时3二次函数与方程、不等式的关系(建议时间：25分钟)基础过关1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为()第1题图A. x＜－1或x＞5B. x＞5C. －1＜x＜5D. 无法确定2. (2019荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 33. (2019梧州)已知m>0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1<x2)，则下列结论正确的是()A. x1<－1<2<x2B. －1<x1<2<x2C. －1<x1<x2<2D. x1<－1<x2<24. (2019绵阳模拟)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是()A. m＞9B. m≥9C. m＜－9D. m≤－95. (2019潍坊)抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t 为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是()A．2≤t＜11 B．t≥2C．6＜t＜11 D．2≤t＜66. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和正比例函数y ＝23x 的图象如图所示，则方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和( )A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定第6题图7. 如图，二次函数y ＝ax 2＋c 的图象与反比例函数y ＝c x 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >cx的解集为( )A. x <－32B. x >－32C. x <－32或x >0D. －32<x <1第7题图8. 一次函数y ＝－2x ＋6的图象与二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象的交点坐标为________． 9. (2019镇江)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是________．能力提升1. (2019绵阳模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a )，下列结论：①a －3b ＋2c ＞0；②3a－2b－c＝0；③若方程a(x＋5)(x－1)＝－1有两个根x1和x2，且x1<x2，则－5<x1<x2<1；④若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－8.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图2. (2019安徽)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是________．3. (2019武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________．满分冲关1. (2019杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，则()A. M＝N－1或M＝N＋1B. M＝N－1或M＝N＋2C. M＝N或M＝N＋1D. M＝N或M＝N－12. (2019济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c>n的解集是________．参考答案课时1 二次函数图象与基本性质基础过关1. A 【解析】由二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的顶点坐标为(h ，k )，可得二次函数y ＝(x －1)2＋3的顶点坐标为(1，3)．2. C 【解析】∵抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2＝－3(x －1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.3. A 【解析】把x 1＝1，x 2＝2分别代入y ＝－(x ＋1)2＋2，求得y 1＝－2，y 2＝－7，∴2＞y 1＞y 2.4. D 【解析】∵A (－1，m )，B (1，m )，∴点A 与点B 关于y 轴对称．∵函数y ＝x 和y ＝－2x 的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误；∵n ＞0，∴m －n ＜m ；由B (1，m )，C (2，m －n )可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∴D 选项正确．5. B 【解析】已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴是直线x ＝－2＋42＝1，∴－b 2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋4，当x ＝－2时，y ＝－4，∴n ＝－4.6. D 【解析】根据图象信息，可以发现，A 、B 、C 三点的横坐标中，抛物线上的两点横坐标互为相反数，∴ω的值即为反比例函数上的点的横坐标，依题意，当y ＝m 时，有x ＝1m ，则ω＝1m.7. ＜8. ＞ 【解析】∵该二次函数图象的对称轴为y 轴， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2. 9. y ＝(x －2)2＋1 【解析】配方可得y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1.10. 6 【解析】∵二次函数y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴该二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，且a ＝1>0，∴当x ＝1时，函数有最小值2.当x ＝－1时，二次函数有最大值(－1－1)2＋2＝6.满分冲关1. D 【解析】依题意知a ＜0，－b2a＞0，a －b ＋1＝0，∴b ＞0，且b ＝a ＋1，a ＋b ＝a ＋(a ＋1)＝2a＋1，∴－1＜a ＜0，∴－1＜2a ＋1＜1，又a ＋b 为整数，∴2a ＋1＝0，∴a ＝－12，b ＝12，∴ab ＝－14.2. D 【解析】∵12<x ≤1，∴不等式可化为2x 2－x －m >2x ，∴当 12<x ≤1时，2≤2x <4，∵y ＝2x 2－x －m＝2(x －14)2－18－m ，∴当12<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝12，y 取得最小值，要使2x 2－x －m >2x 成立，∴y ≥4，即2(12－14)2－18－m ≥4，解得m ≤－4.3. 解：(1)∵抛物线为y ＝x 2－2mx ＋m 2－1， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2×1＝m ；(2)∵a ＝1>0，∴抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－1开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小， ∵对称轴为直线x ＝m ，m －2<m <m ＋3，m ＋3离对称轴的距离更远， ∴可得出y 3>y 1>y 2.课时2 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系及解析式的确定 基础过关1. D 【解析】一次函数y ＝ax ＋a ＝0时，x ＝－1，因此排除A 、B 选项；C 选项中一次函数a >0，二次函数a <0，相互矛盾；D 选项中a >0，二次函数开口向上，一次函数过第一、二、三象限且过点(－1，0)．2. C 【解析】∵反比例函数y ＝ab x的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 与b 同号．当a ＞0，b ＞0时，y ＝ax 2－2x 的开口向上，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＞0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在正半轴上，对于y ＝bx ＋a ，图象经过第一、二、三象限，∴选项C 正确，B 不正确．当a ＜0，b ＜0时，y ＝ax 2－2x 的开口向下，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＜0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在负半轴上，∴选项A 、D 不正确，故选C . 3. D 【解析】∵y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，∴将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是y ＝(x －3－1)2－4＋2＝(x －4)2－2.4. B 【解析】①∵抛物线过点(－1，0)与(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a＝1，∴b ＋2a ＝0，故①正确；②由图象可知：当－1≤x ≤3时，y ≤0，故②错误；③当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2，故③错误；④当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，∵2a ＝－b ，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，故④正确．5. B6. D 【解析】∵二次函数的图象经过(－1，0)、(2，0)、(0，2)三点，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)·(x －2)，将点(0，2)代入，得2＝－2a ，解得a ＝－1，故函数解析式为y ＝－1(x ＋1)(x －2)，整理得y ＝－x 2＋x ＋2.7. A 【解析】由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ，此时y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＜0，∴4a ＋c ＜－2b ，故①错误；二次函数的图象与x 轴交于两点，则当ax 2＋bx ＋c ＝0时，方程有两个不同的实数根，∴b 2－4ac >0，∴②错误. ∵二次函数的图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝－b 2a ，∴－1＜－b 2a＜0，∴2a ＜b ，∴③错误；由图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0；当x ＝1时，y <0，即a ＋b ＋c <0，∴(a －b ＋c )(a ＋b ＋c )＜0，即(a ＋c )2＜b 2，∴④正确．共有1个正确结论．8. y ＝4x 2＋5x 【解析】∵这个二次函数的图象经过(0，0)，∴可设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ，将点(－1，－1)和(1，9)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－1＝（－1）2a －b 9＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝5，∴这个二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x .9. < 【解析】观察图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c <0.∵M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b ，∴M ＋c <N ＋c .∴M <N .能力提升B 【解析】抛物线y 2＝12(x －3)2＋1，当x ＝3时，y 有最小值为1，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，∴①正确；把A (1，3)代入y 1＝a (x ＋2)2－3得a (1＋2)2－3＝3，解得a ＝23，∴②错误；∵抛物线y 1＝a (x ＋2)2－3的对称轴为直线x ＝－2，则B 点坐标为(－5，3)，∴AB ＝1－(－5)＝6，抛物线y 2＝12(x －3)2＋1的对称轴为直线x ＝3，则C 点坐标为(5，3)，∴AC ＝5－1＝4，∴2AB ＝3AC ，∴③正确．满分冲关1. ②③ 【解析】∵A (－1，0)，B (m ，0)，∴抛物线的对称轴x ＝m －12＝－b 2a ，∴－b a＝m －1，∵1＜m ＜3，∴m －1＞0，∴b a＜0，∴ab ＜0，∵抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (m ，0)，且过C (－2，n )，n ＜0，∴a ＜0，∴b ＞0，将A (－1，0)代入抛物线的解析式，得a －b ＋c ＝0，∴c ＝b －a ＞0，∴abc ＜0，①错误；∵当x ＝－1时，a －b ＋c ＝0得b ＝a ＋c ，∴结合抛物线图象可知当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a＋3(a ＋c )＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c )＜0，∴3a ＋c ＜0，②正确；a (m －1)＋2b ＝a ×(－b a)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，③正确；a ＝－1时，c ＝b －a ＝b ＋1, ∴y ＝－x 2＋bx ＋b ＋1，∴P (b 2，b ＋1＋b 24)，若△P AB 为直角三角形，则△P AB 为等腰直角三角形，∴∠P AB ＝45°，∴b ＋1＋b 24＝b 2＋1，解得b ＝0或b ＝－2，∵b ＞0，∴不存在点P 使△P AB 为直角三角形，④错误；故正确结论的序号为②③.2. D 【解析】∵12<x ≤1 ，∴不等式可化为2x 2－x －m >2x ，∴当 12<x ≤1时，2≤2x<4，∵y ＝2x 2－x －m ＝2(x －14)2－18－m ，∴当12<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝12，y 取得最小值，要使2x 2－x －m >2x成立，∴y ≥4，即2(12－14)2－18－m ≥4，解得m ≤－4.课时3 二次函数图象与方程、不等式的关系基础过关1. A 【解析】由二次函数的图象可知对称轴是直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标(5，0)，由二次函数的对称性可知，与x 轴另一个交点是(－1，0)，∴ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为x ＞5或x ＜－1.2. C 【解析】当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x －4＝－4，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－4)，当y ＝0时，－x 2＋4x －4＝0，解得x 1＝x 2＝2，抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，∴抛物线与坐标轴有2个交点．3. A 【解析】如解图所示，关于x 的一元二次方程(x ＋1)(x －2)＝m 的两根即为抛物线y ＝(x ＋1)(x －2)与直线y ＝m (m >0)的交点的横坐标．∵抛物线与x 轴交于点(－1，0)，(2，0)，观察解图可知x 1<－1<2<x 2.第3题解图4. A5. A 【解析】∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x ＋3，∴一元二次方程x 2＋bx ＋3－t ＝0有实数根可以看做抛物线y ＝x 2－2x ＋3与函数y ＝t 的图象有交点，∵方程在－1＜x ＜4的范围内有实数根，当x ＝－1时，y ＝6; 当x ＝4时，y ＝11，函数y ＝x 2－2x ＋3在x ＝1时有最小值2，∴2≤t ＜11.6. A7. C 【解析】要求ax 2＋c >c x的解集，即求二次函数图象在反比例函数图象上方时x 的取值范围，由题图知x <－32或x >0时满足题意，∴不等式ax 2＋c >c x 的解集是x <－32或x >0. 8. (0，6)，(3，0) 【解析】联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋6y ＝－2x 2＋4x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0，即一次函数与二次函数图象的交点坐标为(0，6)，(3，0)．9. 74【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1＝a (x ＋2)2＋1(a ≠0)，∴顶点为(－2，1)，过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴a ＞0，∵对称轴为直线x ＝－2，线段AB 的长不大于4，∴4a ＋1≥3，∴a ≥12，∴a 2＋a ＋1的最小值为：(12)2＋12＋1＝74. 能力提升1. C 【解析】∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的顶点坐标为(－2，－9a )，∴－b 2a ＝－2，4ac －b 24a＝－9a ，∴b ＝4a ，c ＝－5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋4ax －5a ，∴a －3b ＋2c ＝a －12a －10a ＝－21a ＜0，故①结论错误；3a －2b －c ＝3a －8a ＋5a ＝0，故②结论正确；∵抛物线y ＝ax 2＋4ax －5a 交x 轴于(－5，0)，(1，0)，∴若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1，故结论③正确；若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，设方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 22＝－2，可得x 1＋x 2＝－4，设方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根分别为x 3、x 4，则x 3＋x 42＝－2，可得x 3＋x 4＝－4.所以这四个根的和为－8，故结论④正确．综上所述，共有2个正确的结论．2. a ＞1或a ＜－1 【解析】 当a ＜0时，令x 2－2ax <0，得2a <x <0，由于y ＝x －a ＋1中y 随x 增大而增大，即2a －a ＋1＜0，∴a ＜－1；同理得a ＞0时，令x 2－2ax <0，得0<x <2a ，由于y ＝x －a ＋1中y 随x 增大而增大，即－a ＋1＜0，∴a ＞1.综上得，a 的取值范围为a >1或a <－1.3. x 1＝－2或x 2＝5 【解析】设y 1＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，将原抛物线ax 2＋bx ＋c 向右平移1个单位得y 1，由题意知当ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－3，x 2＝4，故方程a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝0的解为x 1＝－2或x 2＝5.满分冲关1. C 【解析】当a ＝0时，∵a ≠b ，∴b ≠0.∴y ＝(x ＋a )(x ＋b )＝x (x ＋b )．它与x 轴的交点为(0，0)，(－b ，0)有2个，即M ＝2.y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝bx ＋1.它与x 轴的交点为(－1b，0)有1个交点，即N ＝1.∴M ＝N ＋1；当a ＝－b 时，且a ≠0，∴y ＝(x ＋a )(x ＋b )＝(x ＋a )(x －a )．它与x 轴的交点为(－a ，0)，(a ，0)，有2个交点，即M ＝2，y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝(ax ＋1)(－ax ＋1)．它与x 轴的交点为(－1a ，0)，(1a，0)，有2个交点，N ＝2，∴M ＝N .综上所述，M ＝N 或M ＝N ＋1.2. x ＜－3或x ＞1 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，∴－m ＋n ＝p ，3m ＋n ＝q ，∴抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于(1，p )，Q (－3，q )两点．如解图，∴ax 2＋mx ＋c ＞n 可以转化为ax 2＋c ＞－mx ＋n ，观察函数图象可知，当x <－3或x >1时，直线y ＝－mx ＋n 在抛物线y ＝ax 2＋c 的下方．∴不等式ax 2＋mx ＋c >n 的解集为x ＜－3或x ＞1.第2题解图。
二次函数图像与性质总结含答案
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减;3. ()2y a x h =-的性质：左加右减;4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大； ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、例题精讲2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)一、一元二次函数的图象的画法例1求作函数64212++=x x y 的图象 解 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 例2求作函数342+--=x x y 的图象; 解)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表点评画二次函数图象步骤： 1配方； 2列表；3描点成图； 也可利用图象的对称性,先画出函数的左右边部分图象,再利用对称性描出右左部分就可;二、一元二次函数性质例3求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间; 解 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，,对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y函数在区间]3(--∞，上是减函数,在区间)3[∞+-，上是增函数;例4求函数1352++-=x x y图象的顶点坐标、对称轴、最值;103)5(232=-⨯-=-a b ,2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(,对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值2029=maz y 函数在区间]103,(-∞上是增函数,在区间),3[+∞-上是减函数; 点评要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目二次项系数为负数或分数如例4,可避免出错;任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22≠-++=a ab ac a b x a y 二次函数题型总结 1.关于二次函数的概念例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 ;例 2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 ;2.关于二次函数的性质及图象例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,则a 、b 、c,∆,c b a ++,c b a +-的符号 为 ,例4 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在 （A ） 第一或第二象限 B 第三或第四象限 C 第一或第四象限 D 第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例5 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为 A 322++-=x x y B 322--=x x yC 322+--=x x yD 322---=x x y4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0,它们在同一坐标系中的大致图象是.例7 如图：△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在X 轴上,点C 在第一象限,AC 与Y 轴交于点D,点A 的坐标为-1,01求 B 、C 、D 三点的坐标；2抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点,求它的解析式；642-6510D O CAB练习题 一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是A.2,－11B.－2,7C.2,11D. 2,－3 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是个 个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标-1,及部分图象如图,由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和Ａ．－１.３ B.-2.3 C.6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为 个 个 个. 3 个8.已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______;10．已知抛物线y=-2x+32+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点－1,2,②当x ＜0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可;12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C,已知直线3y kx =-+过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ;13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= ;14．如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 π取.三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过1,-6,且与y 轴的交点为0,52-. 1求这个二次函数的解析式;2当x 为何值时,这个函数的函数值为03当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大16.某种爆竹点燃后,其上升高度h 米和时间t 秒符合关系式2012h v t gt =-0<t≤2,其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升,1这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米2在爆竹点燃后的秒至秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.第15题图17.如图,抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. 1求此抛物线的解析式；2点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标;一,选择题、1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C二、填空题、9．4b =- 10．x ＜-3 11．如224,24y x y x =-+=+等答案不唯一 12．1 13．-8 7 14．15三、解答题15．1设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215322y x x =--- 21x =-或-5 23x <-16．1由已知得,211520102t t =-⨯⨯,解得123,1t t ==当3t =时不合题意,舍去;所以当爆竹点燃后1秒离地15米．2由题意得,2520h t t =-+＝25(2)20t --+,可知顶点的横坐标2t =,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的秒至108秒这段时间内,爆竹在上升．17．1直线3y x =-与坐标轴的交点A3,0,B0,－3．则9303b c c +-=⎧⎨-=-⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩32652ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=-⎨⎪⎪=-⎩所以此抛物线解析式为223y x x =--．2抛物线的顶点D1,－4,与x 轴的另一个交点C －1,0.设P 2(,23)a a a --,则211(423):(44)5:422a a ⨯⨯--⨯⨯=.化简得2235a a --=当223a a --＞0时,2235a a --=得4,2a a ==- ∴P4,5或P －2,5当223a a --＜0时,2235a a -++=即2220a a ++=,此方程无解．综上所述,满足条件的点的坐标为4,5或－2,5．。
中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《二次函数的图象与性质》经典题型及测试题（含答案）知识点一：二次函数的概念及解析式 1.一次函数的定义形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y =(a －1)x 2是二次函数，那么a 的取值范围是a ≠0. 2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax 2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h ,k ）; ③交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.变式练习：如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1，0)． (1)求抛物线的解析式；(2)直接写出B ，C 两点的坐标； (3)求过O ，B ，C 三点的圆的 面积．(结果用含π的代数式表示)解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝2，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－5，∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x －5(2)由A 点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x ＝2，可知AB ＝6，∴OB ＝5，∴B 点坐标为(5，0)，∵y ＝x 2－4x －5， ∴C 点坐标为(0，－5)(3)如图，连接BC ，则△OBC 是直角三角形，∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，在Rt △OBC 中，OB ＝OC ＝5，∴BC ＝52， ∴圆的半径为522，注意：若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可设交点式.∴圆的面积为π(522)2＝252π知识点二 ：二次函数的图象与性质变式练习2：当0≤x ≤5时，抛物线y=x 2+2x+7的最小值为7 .变式练习2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( ) A. 函数有最小值B. 对称轴是直线x ＝12C. 当x ＜12时，y 随x 的增大而减小 D. 当－1＜x ＜2时，y ＞0【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a ＞0，函数有最小值，正确，故本选项不顶点坐标 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性 当x >2ba -时，y 随x 的增大而增大；当x ＜2b a-时，y 随x 的增大而减小. 当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小；当x＜2b a-时，y 随x 的增大而增大.最值x=2ba -，y 最小＝244ac b a -.x =2ba -，y 最大＝244ac b a-. 注意：（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.符合题意；B.由图象可知，对称轴为x ＝12，正确，故本选项不符合题意；C.因为a ＞0，所以，当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当－1＜x ＜2时，y ＜0，错误，故本选项符合题意． 2.系数a 、b 、c 的关系注意某些特殊形式代数式的符号： ① a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ③ 2a+b 的符号，需判断对称 某些特殊形式代数式的符号： ② a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值. ④ 2a+b 的符号，需判断对称 ③ a ±b+c 即为x=±1时，y的值；②4a ±2b+c 即为x=±2时，y 的值.轴-b/2a 与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a ＞1，再根据a 的符号即可得出结果.④2a-b 的符号，需判断对称轴与-1的大小.3．已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( D ) A ．当a ＝1时，函数图象过点(－1，1)B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小系数a 、b 、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下.a 、b 决定对称轴（x=-b/2a ）的位置当a ，b 同号，-b/2a ＜0，对称轴在y 轴左边；当b ＝0时， -b/2a=0，对称轴为y 轴；当a ，b 异号，-b/2a ＞0，对称轴在y 轴右边． c决定抛物线与y 轴的交点的位置当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在正半轴上；当c ＝0时，抛物线经过原点； 当c ＜0时，抛物线与y 轴的交点在负半轴上.b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点; b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点;b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大知识点三 ：二次函数的平移平移与解析式的关系平移|k |个单位平移|h |个单位向上(k ＞0)或向下(k ＜0)向左(h ＜0)或向右(h ＞0)y =a (x －h )2＋k 的图象y =a (x －h )2的图象y =ax 2的图象变式练习1：将抛物线y=x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x －2）2． 变式练习2：如果将抛物线y ＝x 2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2＋3变式练习3：已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( ) A. 当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 B. 若图象与x 轴有交点，则a ≤4C. 当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是1＜x ＜3D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1， －2)，则a ＝－3【解析】C ∵y ＝x 2－4x ＋a ，∴对称轴x ＝2，画二次函数的草图如解图，A.当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，所以A 选项正确；B.∵b 2－4ac ＝16－4a ≥0，即a ≤4时，二次函数和x 轴有交点，所以B 选项正确；C.当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋a ＞0的解集是x ＜1或x ＞3，所以C 选项错误；D.y ＝x 2－4x ＋a 配方后是y ＝(x －2)2＋a －4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y ＝(x ＋1)2＋a －3，把(1，－2)代入函数解析式，易求a ＝－3，所以D 选项正确，故选C.知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式注意：1)二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式2)抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.无论是什么函数，左右移影响着x 的变化，左移x 加，右移x 减；上下移影响着y 的变化，上移y 减，下移y 加。
2020中考数学 函数复习：二次函数及其图像(含答案)
2020中考数学函数复习：二次函数及其图像（含答案）一、选择题1.抛物线（是常数）的顶点坐标是（）A．B．C．D．2.根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴（）x …－1 0 1 2 …y …－1 －2 …A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点3.函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）4.二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定22()y x m n=++m n，()m n，()m n-，()m n-，()m n--，cbxaxy++=247-47-cbxaxy++=221yy<21yy=21yy>B．C．D．1111xoyyo xyo xxoy5.将函数的图象向右平移a 个单位，得到函数的图象，则a 的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．46.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ． B ．C. D ．7.把二次函数用配方法化成的形式A. B. C. D. 8.某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/sD ．5 m/s二、填空题1.若把代数式化为的形式，其中为常数，则=.2.已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 3.抛物线的顶点坐标为__________．4.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．5.抛物线的图象如图所示， 则此抛物线的解析式为 ．2y x x =+(0)a >232y x x =-+22y x x =+-x y 22y x x =--+22y x x =-+-22y x x =-++22y x x =++3412+--=x x y ()k h x a y +-=2()22412+--=x y ()42412+-=x y ()42412++-=x y 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 2120y x =223x x --()2x m k -+,m k m k +12-14-23(1)5y x =--+2y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <<y (02)，420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>2y x bx c =-++yx =16.函数取得最大值时，______． 三、解答题1.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．2.已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．（1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：为定值．3.已知二次函数过点A （0，），B （，0），C （）．（1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，）是否在直线AC 上？ （3）过点M （1，）作一条直线与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．4.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(2)(3)y x x =--x =ABC ∆90ACB ∠=︒AC BC =A C x B 3m 0m >AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F ()FC AC EC +2-1-5948，1212l yxQPFE DC BA O(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．5.新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．7.如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结．（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线的顶点坐标是]【参考答案】 选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 填空题 1. -32. ，3. （1，5）4. 45. 6. 解答题1. 解：设这个二次函数的关系式为得：解得：∴这个二次函数的关系式是，即2. （1）由可知，，又△ABC 为等腰直角三角形，∴，，所以点A 的坐标是（）. （2）∵ ∴，则点的坐标是（）. 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：解得 ∴抛物线的解析式为 2y x x =+21133y x =-+223y x x =-++52(3,)B m 3OC =BC m =AC BC m ==3OA m =-3,0m -45ODA OAD ∠=∠=︒3OD OA m ==-D 0,3m -(1,0)P B D 2(1)y a x =-22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩14a m =⎧⎨=⎩221y x x =-+（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.∵ ∴∽ ∴ 即，得 ∵ ∴∽ ∴ 即，得 又∵ ∴ 即为定值8.3. （1）设二次函数的解析式为（）， 把A （0，），B （，0），C （）代入得解得 a =2 ， b =0 ， c =－2， ∴（2）设直线AC 的解析式为 ，把A （0，－2），C （）代入得， 解得 ，∴ 当x =1时， ∴M （1，）在直线AC 上（3）设E 点坐标为（），则直线EM 的解析式为 由 化简得，即，∴F 点的坐标为（）．Q QM AC ⊥M Q QN BC ⊥N Q 2(,21)x x x -+2(1)QM CN x ==-3MC QN x ==-//QM CE PQM ∆PEC ∆QM PM EC PC =2(1)12x x EC --=2(1)EC x =-//QN FC BQN ∆BFC ∆QN BN FC BC =234(1)4x x FC ---=41FC x =+4AC =444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++()FC AC EC +c bx ax y ++=20a ≠2-1-5948，2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩222y x =-(0)y kx b k =+≠5948，29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩522k b ==-，522y x =-511222y =⨯-=121322--，4536y x =-2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩2472036x x --=17()(2)023x x +-=713618，第3题过E 点作EH ⊥x 轴于H ，则H 的坐标为（）． ∴ ∴，类似地可得 ， ， ∴，∴△BEF 是直角三角形．4. 解：（1）过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ， 则AF ＝2，OF ＝1．∵OA ⊥OB ，∴∠AOF+∠BOE ＝90°． 又 ∵∠BOE+∠OBE ＝90°， ∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴． ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B(4，2)．（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax 2+bx+c ． ∴解之，得∴所求抛物线的表达式为． （3）由题意，知AB ∥x 轴．设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，102-，3122EH BH ==，2223110()()224BE =+=22213131690845()()186324162BF =+==222401025001250()()186324162EF =+==2221084512504162162BE BF EF +=+==2===OAOBAF OE OF BE ⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.0,2416,2c c b a c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.0,23,21c b a x x y 23212-=则S △ABP ＝． ∴d ＝2．∴点P 的纵坐标只能是0或4． 令y ＝0，得，解之，得x ＝0，或x ＝3． ∴符合条件的点P 1(0，0)，P 2(3，0)． 令y ＝4，得，解之，得． ∴符合条件的点P 3(，4)，P 4(，4)． ∴综上，符合题意的点有四个： P 1(0，0)，P 2(3，0)，P 3(，4)，P 4(，4)． （评卷时，无P 1(0，0)不扣分） 5.解：（1）当时，线段O A 的函数关系式为;当时，由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A （4，－40），设其解析式为在中，令x=10，得；∴B （10，320）∵B （10，320）在该抛物线上 ∴解得∴当时，=综上可知，(2) 当时, 当时,当时,AF AB d AB ⋅=⋅2121023212=-x x 423212=-x x 2413±=x 2413-2413+2413-2413+(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.6. 解：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为．（2），抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，．当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由，得，整理得，，解得，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．7. （1）（4，0），．．（2）是直角三角形．证明：令，则．．．解法一：．．是直角三角形．解法二：，．．，．即．是直角三角形．（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．，．．解法一：设，则，，．=．当时，最大．．，．，．解法二：设，则．．当时，最大．．，．，．当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．解法一：设，，．=．当时，最大．，．解法二：设，，，，．．=∴当时，最大，．．∴综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为。
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2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中：
①、当a>0时，y口向，当x< 时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，
②、当a<0时，开口向当x< 时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小
注意2：注意几个特殊形式的抛物线的特点
a:开口方向向上则a0,向下则a0；｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
综上，正确的结论有②④．
故选C
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2= （0-3）2+1= ，故y2-y1= ，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
2020中考数学 二次函数的图像和性质专题练习(含答案)
2020中考数学 二次函数的图像和性质专题练习（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜时，则y 1＜y 2； ②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（ ） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误2.已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（ ）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，4.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）14（x-h ）2+kABC5.函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）6.已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A.第一象限B.D.第四象限7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）8.2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M abca b c a b a b =++--+++--，则（ ）DB ADC DC B AA ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为09.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤10.如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、多选题（共有1道小题）11.下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2y x = ⑵ 21y x =-⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-三、填空题（共有6道小题）12.将抛物线22y x =的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ．13.若二次函数21my mx +=有最小值，则m =________．14.二次函数23(2)my m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m的值为_____．15.已知点()15A x ，，()25B x，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时， 函数值y =___________．16.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．四、解答题（共有7道小题）18.若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值．19.已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<20.二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围21.设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.22.设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．23.分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：⑴x 取任意实数；⑵当20x -≤≤时；⑶当13x ≤≤时；⑷当12x -≤≤时．24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式，并求出s 的取值范围．讲评卷一、单选题（共有10道小题）1.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜时，则y 1＜y 2； ②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（ ） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误参考答案:A解：①∵顶点坐标为（，m ），n ＜，∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x ＝的对称点为（1﹣n ，y 1）， ∴点（1﹣n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上， ∵（1﹣n ）﹣（﹣2n ）＝n ﹣＜0， ∴1﹣n ＜﹣2n ， ∵a ＞0，∴当x ＞时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；②把（，m ）代入y ＝ax 2+bx +c 中，得m ＝a +b +c ，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0中，△＝b 2﹣4ac +4am ﹣4a ＝b 2﹣4ac +4a （a +b +c ）﹣4a ＝（a +b ）2﹣4a ＜0，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，故此小题正确2.已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（ ）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<参考答案:C3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，参考答案:B4.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）参考答案:D5.函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）14（x-h ）2+kABCD参考答案:A6.已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A.第一象限B.D.第四象限参考答案:B7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）参考答案:D8.2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--，则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0B DC DC B A参考答案:C9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤参考答案:C10.如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案:D二、多选题（共有1道小题）11.下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2y x = ⑵ 21y x =-⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-参考答案:⑴二次项系数为1，一次项系数和常数项为0．⑵虽然次数为2，但x 位于分母位置，所以不是二次函数．⑶二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为-1．⑷2(1)y x x x x =-=-+，二次项系数为-1，一次项系数为1，常数项为0． ⑸将括号展开，二次项消去，所以不是二次函数．三、填空题（共有6道小题）12.将抛物线22y x =的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ．参考答案:y ＝2（x +1）2﹣2 13.若二次函数21m y mx +=有最小值，则m =________．参考答案:∵二次函数21my mx +=有最小值，∴0m >． 又∵212m +=，∴1m =±．∴1m =．14.二次函数23(2)m y m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．参考答案:根据题设条件，画图草图（如下图）：由二次函数图象性质可知：20m ->， 同时，232m -=，解方程，得：m =，因为20m ->，∴m =．15.已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时， 函数值y =___________．参考答案:由题意可知：A ，B 关于抛物线的对称轴对称，故12222bx x x a-=+=⋅=， ∴当2x =时，4433y =-+=16.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．参考答案:考察函数图像与系数之间的关系．因为函数图像开口向上，所以()20m ->，又因为顶点在第三象限，所以函数对称轴在y 轴左侧，所以20m >；因为函数图像又与y 轴的负半轴相交，所以()30m --<．综上所述可得()202200330m m m m m m ⎧->>⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪<--<⎩⎩∴23m <<17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．参考答案:0四、解答题（共有7道小题）18.若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值．参考答案:由函数图像开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为7，当0x =时，y 取最小值为1．19.已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<参考答案:方法一：根据图象得： 0,0a c <<122bb a a-=⇒=-⇒224b a =① 又∵240b ac ->，∴2440a ac -> 即：4()0a a c -> ∴220204()a c a c a a a a c a a c -<⇒<⇒=+<+<⇒>+② 由①②式得：22()a c b +< 方法二：根据图象得，当1x =时0y >，即0a b c ++>，∴()b a c >-+由0a <，12ba-=得：0b > 当0x =时0y <得0c <∴22()0()b a c b a c >-+>⇒>+即：22()a c b +<．20.二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围参考答案:根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)，则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，于是22214(1)(1)1()24a a a y ax a x a x a a+--=-++=-+ 根据函数图象可知102a x a +=<，24(1)14a a a--> 于是有10a -<<．21.设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.参考答案:设点A 的坐标为(m ，0)，0m <，则B 的坐标为(0，)m ，于是20am bm c ++=且c m =，即20am bm m ++=， ∴1b am =--.∴22111()244ab ma a m a m m m=--=-++≥， 由图知，0a >，对称轴在y 轴右侧，故02ba->，0b <， ∴104ab m≤<， 两边同时乘以负数c m =，即得104abc <≤．22.设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．参考答案:由题意有220y kx bax kx b y ax=+⎧⇒--=⎨=⎩ｕ两个交点的横坐标分别是12,x x ， 故1212k bx x x x a a+==-，．∴12121211x x k x x x x b ++==-．直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标为3bx k=-，故31k x b =-．故123111x x x +=． 23.分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：⑴x 取任意实数；⑵当20x -≤≤时；⑶当13x ≤≤时；⑷当12x -≤≤时．参考答案:⑴函数的最大值为178，无最小值； ⑵当0x =时，函数取得最大值1；当2x =-时，函数取得最小值13-； ⑶当1x =时，函数取得最大值2；当3x =时，函数取得最小值8-； ⑷当34x =时，函数取得最大值178；当1x =-时，函数取得最小值4-．24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式，并求出s 的取值范围．参考答案:二次函数222y x x =-+的对称轴是1x =，①当1t >时，对称轴在x t =左边， ∴222s t t =-+；②当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，最小值s 在顶点处取得，∴1s =； ③当11t +<，即0t <时，对称轴在1x t =+右边，∴21s t =+．综上所述：221(0),1(01),22(1)t t s t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩∴s 的取值范围为1s ≥．。
2020年中考数学一轮复习——二次函数的图象及性质(含答案)
2020年中考数学一轮复习——二次函数的图象及性质一、选择题1.(2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为( )A.－2B.－4C.2D.42.(2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )A.2＞y1＞y2B.2＞y2＞y1C.y1＞y2＞2D.y2＞y1＞23.(2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( )4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为( )A.m＝57，n＝－187B.m＝5，n＝－6C.m＝－1，n＝6D.m＝1，n＝－25.四位同学在研究函数y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx＋c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③2a ＋b－c＞0，④a＋b＋c＜0.其中正确的是( )A.①④B.②④C.②③D.①②③④二、填空题7.某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是(只要写出一个符合题意的答案即可).8.将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k 的形式为.9.(2019·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是.10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 .三、解答题11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧).(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m＞0，n＞0，求m，n的值.12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y＝13x2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B(5,0).(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积.13.设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0).(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由.(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)交x轴正半轴于点C，连结AO，AB.(1)求点C的坐标和直线AB的表达式；(2)设抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)分别交边BA，BA 延长线于点D，E.①若AE＝3AO，求抛物线表达式；②若△CDB与△BOA相似，则a的值为.(请直接写出答案)参考答案一、选择题1.(2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为( B )A.－2B.－4C.2D.42.(2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( A )A.2＞y1＞y2B.2＞y2＞y1C.y1＞y2＞2D.y2＞y1＞23.(2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( D )4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为( D )A.m＝57，n＝－187B.m＝5，n＝－6C.m＝－1，n＝6D.m＝1，n＝－25.四位同学在研究函数y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx＋c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( B )A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③2a ＋b－c＞0，④a＋b＋c＜0.其中正确的是( A )A.①④B.②④C.②③D.①②③④二、填空题7.某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是y＝x2(答案不唯一)(只要写出一个符合题意的答案即可).8.将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k 的形式为y＝(x－2)2＋1.9.(2019·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是x1＝－2，x2＝5.10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 2 .三、解答题11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B(点A在点B 的左侧).(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m＞0，n＞0，求m，n的值.解：(1)A(－2,0)，B(6,0)，由函数图象得，当y≥0时，－2≤x≤6；(2)由题意得，B1(6，m)，B2(6－n，m)，B3(－n，m)，函数图象的对称轴为直线x＝2，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6－n＋(－n)2＝2，∴n＝1，∴m＝－12×(－1)2＋2×(－1)＋6＝72，∴m，n的值分别为72，1.12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y＝13x2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B(5,0).(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积.解：(1)函数的表达式为：y ＝13(x ＋1)(x －5)＝13(x 2－4x －5)＝13x 2－43x －53，点M 坐标为(2，－3)；(2)当x ＝8时，y ＝13(x ＋1)(x －5)＝9，即点C(8,9)，S 四边形AMBC ＝12AB(y C －y M )＝12×6×(9＋3)＝36.13.设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b )(a ，b 是常数，a ≠0).(1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.(3)若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.解：(1)由题意Δ＝b 2－4·a [－(a ＋b )]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b )2≥0，∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个；(2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b )＝0，∴抛物线不经过点C ，把点A(－1,4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎨⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ）， 解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2，∴抛物线解析式为y ＝3x 2－2x －1；(3)当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b )＝3a ＋b ＞0①，∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0②，①②相加得：2a ＞0，∴a ＞0.14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB.(1)求点C 的坐标和直线AB 的表达式；(2)设抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E.①若AE ＝3AO ，求抛物线表达式；②若△CDB 与△BOA 相似，则a 的值为 .(请直接写出答案)解：(1)∵x ＝－b 2a＝1，∵O ，C 两点关于直线x ＝1对称，∴C(2,0)，设直线AB ：y ＝k x ＋b ，把A(1,2)，B(5,0)代入得y ＝－12x ＋52； (2)①∵A(1,2)，B(5,0)，O(0,0)，∴OA ＝5，OB ＝5，AB ＝25，∴OA 2＋AB 2＝OB 2，∴∠OAB ＝90°，∴∠OAE ＝90°，作EF ⊥AF ，AG ⊥x 轴，∵∠FEA ＝∠OAG ，∠F ＝∠AGO ＝90°，∴△EAF ∽△AOG ，∴EF AG ＝AF OG ＝3，∴E(－5,5)，代入解析式可得，a ＝17，∴y ＝17x 2－27x ； ②若△CDB 与△BOA 相似，CD AO ＝BD AB ＝BC BO，∴CD 5＝BD 25＝35，∴D(135，65)，代入解析式可得a ＝1013.。
中考数学专题复习《二次函数的图象与性质》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《二次函数的图象与性质》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知抛物线21:23C y x x =-+，将抛物线1C 绕顶点旋转180︒后得到抛物线2C ，则抛物线2C （ ） A ．有最小值，且最小值为1 B ．有最大值，且最大值为1 C ．有最小值，且最小值为2D ．有最大值，且最大值为22．对于二次函数()212y x =--+的图象，下列说法正确的是（ ） A ．当1x <时，y 随x 的增大而减小 B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小 C ．图象有最低点，其坐标是()1,2 D ．图象有最高点，其坐标是1,23．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2yx 的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =．设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）A ．3B ．23C ．22±D ．24．已知二次函数()214y a x =-+的图象开口向上 若点()12,A y - ()21,B y - ()35,C y 都在该函数图象上 则1y 2y 3y 三者之间的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<5．已知点()3,2M - (),5N a 当M N 两点间的距离最短时 a 的值为（ ） A ．0B ．2-C ．3D ．56．二次函数2y ax =与反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ．7．二次函数222y x x -=+的顶点坐标是（ ）A ．()11，B ．()22，C ．()12，D ．()11-，8．已知某二次函数上两点()()1122A x y B x y ，，， 当122x x <<时 ()()21210x x y y --> 当122x x <<时 ()()21210x x y y --< 则该二次函数的解析式可以是（ ）A ． ()232y x =+ B ． ()232y x =- C ． ()232y x =-+D ． ()232y x =--二 填空题9．二次函数235y x =-+的顶点坐标是 ．10．点()11,y - ()23,y 在二次函数()2y x h =-图象上 若12y y < 写出一个符合题意的无理数h = ．11．已知抛物线开口向上 对称轴是直线5x = 抛物线上两点坐标为（2 1y ） （4 2y ） 那么1y 2y ．（填“>”或“<”）12．已知二次函数图象的顶点坐标是2,1 且与抛物线22y x =的形状和开口方向均相同 则这个二次函数的解析式是 ．13．已知()()1122，，，M x y N x y 为抛物线2(0)y ax a =≠上任意两点 且120x x ≤<．若对于212x x -= 都有211y y -≥ 则a 的取值范围是三 解答题14．已知抛物线()22y a x h =--（a h 是常数 0a ≠） 与y 轴交于点C 点M 为抛物线顶点．(1)若1a = 点C 的坐标为(0)7，求h 的值 (2)若12a =当13x ≤≤时 对应函数值y 的最小值是52求此时抛物线的解析式 (3)直线16y x =--经过点M 且与抛物线交于另一点D ．当CD x ∥轴时 求抛物线的解析式．15．已知函数2y x bx c =++（其中b c 为常数）．(1)当1c =- 且函数图象经过点()1,2时 求函数的表达式及顶点坐标． (2)若该函数图象的顶点坐标为(),m k 且经过另一点(),k m 求m k -的值．(3)若该函数图象经过()11,A x y ()12,B x t y - ()132,C x t y -三个不同点 记21M y y =- 32N y y =- 求证：M N <．16．抛物线的部分图象如图所示 抛物线图象顶点()1,4A 与y 轴 x 轴分别交于点B 和点()3,0C 连接AB AC BC ．(1)求抛物线的解析式 (2)求ABC 的面积．17．在平面直角坐标系xOy 中 抛物线262y x mx n =-+-经过点()2,42m m -．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示） (2)()00,P x y 是抛物线上的点 ()00m x m t t ≤≤+> ①当0m = 2t =时 求0y 的取值范围①若无论m 为何值 都有满足02y ≥的点P 求t 的取值范围．18．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上 并且抛物线C 2的顶点也在抛物线C 1上 那么 我们称抛物线C 1与C 2关联．(1)已知抛物线①227y x x =+- 抛物线①()221y x =--+ 判断这两条抛物线是否关联 说明理由(2)把抛物线()212L y x =+-：绕顶点旋转180°得到抛物线()212M y x =-+-： 把抛物线M 先向上平移4个单位 再左右平移若干个单位得抛物线Q 若抛物线L 与Q 关联 请求出抛物线Q 的解析式．参考答案：1．D 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．()0,5 10．π- 11．>12．()2221y x =-- 13．14a ≥或14a ≤- 14．（1）解：当1a = ()22y x h =--将(0)7，代入 ()22y x h =--得 ()2702h =-- 解得3h =± ①h 的值为3±（2）解：当12a = ()2122y x h =-- ①0a >①当x h =时 y 有最小值为2①当13x ≤≤时 对应函数值y 的最小值是52①当1h ≤时 在1x =处 函数值y 的最小值是52当1x = ()2511222h =-- 解得 2h =- 4h =（舍去） ①()21222y x =+- 当3h ≥时 在3x =处 函数值y 的最小值是52当3x = ()2513222h =-- 解得 6h = 0h =（舍去） ①()21622y x =-- 综上所述 ()21222y x =+-或()21622y x =-- （3）解：由题意知 ()2M h -， ①直线16y x =--经过点M ①62h --=- 解得4h =-①()42M --， ①()242y a x =+- ①抛物线与y 轴交于点C 当0x = 162y a =-①()0162C a -， ①直线16y x =--与抛物线交于另一点D 且CD x ∥轴 ①C D 、关于直线4x =-对称 D 点纵坐标为162a -将162y a =- 代入16y x =-- 得1626a x -=-- 解得164x a =--①()164162D a a ---，①016442a --=- 解得14a =①()21424y x =+-． 15．（1）解：依题意 112c b c =-⎧⎨++=⎩ 解得：21b c =⎧⎨=-⎩ ①221y x x =+-①221y x x =+-()212x =+- ①顶点坐标为()1,2--（2）①2y x bx c =++中 二次项系数1a =该函数图象的顶点坐标为(),m k 设抛物线解析式为()2y x m k =-+①()2y x m k =-+的图象经过另一点(),k m①()2m k m k =-+ ①()2m k m k -=- 解得：0m k -=或1m k -=（3）解：①2y x bx c =++函数图象经过()11,A x y ()12,B x t y - ()132,C x t y -三个不同点①2111y x bx c =++ 0t ≠()()2211y x t b x t c =-+-+221112x x t t bx bt c =-++-+()()231122y x t b x t c =-+-+22111442x x t t bx bt c =-++-+①21M y y =-()222111112x x t t bx bt c x bx c =-++-+-++212x t t bt =-+-32N y y =-()22221111114422x x t t bx bt c x x t t bx bt c =-++-+--++-+2123x t t bt =-+-①()2221123220N M x t t bt x t t bt t -=-+---+-=>①M N <16．（1）解：设抛物线解析式为2(1)4y a x =-+把点()3,0C 代入得2(31)40a -+=解得1a =- 所以抛物线解析式为2(1)4y x =--+ （2）当0x =时 2(1)43y x =--+= 则点B 的坐标为()0,3 作AD y ⊥轴于点D 如图①1AD = 3OC = 4OD = 3OB = ①ABCABDOBCADOC SS SS=--梯形()1111341133222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 3=．17．（1）解：将点()2,42m m -代入262y x mx n =-+-得：2226242m m n m -+-=-解得29n m =则()22269232y x mx m x m =-+-=-- 所以该抛物线的顶点坐标为()3,2m -． （2）解：①当0m =时 22y x =- 当0m = 2t =时 002x ≤≤当0x =时 =2y - 当2x =时 2222y =-= 在002x ≤≤内 y 随x 的增大而增大 所以022y -≤≤①将点()00,P x y 代入函数()232y x m =--得：()20032y x m =--当02y ≥时 ()20322x m --≥ 即()20340x m --≥ 解方程()20340x m --=得：032x m =-或032x m =+ 画出函数()2034s x m =--的大致图象如下：由函数图象可知 在()00m x m t t ≤≤+>内 要使无论m 为何值 都有满足02y ≥（即0s ≥）的点P则()3232m t m m m +-≥+-- 解得4t ≥．18．（1）解：①①抛物线()222718y x x x =+-=+-的顶点坐标为()18--，①对于抛物线① 当=1x -时 2431438y x x =-+-=---=-①()18--，在抛物线①上 ①抛物线①()221y x =--+ 其顶点坐标为()21，对于抛物线① 2x =时 1y =①()21，在抛物线①上①抛物线① ①是关联的 （2）解：()212M y x =-+-：第一种情况是把抛物线()212M y x =-+-：先向上平移4个单位 再左平移()0a a >个单位得抛物线()212Q y x a =-+++：把抛物线()212L y x =+-：的顶点()12--，代入抛物线Q 得到222a -=-+①2a =± ①0a > ①2a =①抛物线Q 的解析式为()()2212232y x x =-+++=-++第二种情况是把抛物线()212M y x =-+-：先向上平移4个单位 再右平移()0b b >个单位得抛物线()212Q y x b =-+-+：把抛物线()212L y x =+-：的顶点()12--，代入抛物线Q 得到222b -=-+ ①2b =± ①0b > ①2b =①抛物线Q 的解析式为()()2212212y x x =-+-+=--+综上所示：抛物线Q 的解析式为()232y x =-++或()212y x =--+．。
中考数学一轮复习《二次函数的图像与性质》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《二次函数的图像与性质》练习题（含答案）课时1二次函数图象与性质、抛物线与系数a、b、c的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是()A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)2. (2017金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是()A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是23. (2017连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是()A. y1＞0＞y2B. y2＞0＞y1C. y1＞y2＞0D. y2＞y1＞04. (人教九上41页第6题改编)对于二次函数y＝－3x2－12x－3，下面说法错误的是()A. 抛物线的对称轴是x＝－2B. x＝－2时，函数存在最大值9C. 当x＞－2时，y随x增大而减小D. 抛物线与x轴没有交点5. (2017眉山)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax()A. 有最大值a4B. 有最大值－a4C. 有最小值a4D. 有最小值－a46. (2017广州)a≠0，函数y＝ax与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是()7. (2017重庆巴蜀月考)已知二次函数y＝a2x＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是()A. abc＞0B. b＝2aC. a＋c＞D. 4a＋2b＋c＞0第7题图第9题图第11题图8. (2017乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是()A. 32B. 2 C.32或 2 D. －32或 29. (2017日照)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c<0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x<2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是()A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤10. (2017广州)当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．11. (2017兰州)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则点Q的坐标为________．课时2 抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017重庆南开模拟)将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的二次函数解析式为( )A . y ＝(x －3)2－1B . y ＝(x ＋1)2＋5C . y ＝(x ＋1)2－1D . y ＝(x －3)2＋52. (2017徐州)若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A . b ＜1且b ≠0B . b ＞1C . 0＜b ＜1D . b ＜13. (2017苏州)二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为( )A . x 1＝0，x 2＝4B . x 1＝－2，x 2＝6C . x 1＝32，x 2＝52D . x 1＝－4，x 2＝04. (2017绵阳)将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是( )A . b ＞8B . b ＞－8C . b ≥8D . b ≥－85. (2017天津)已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，顶点为M ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A . y ＝x 2＋2x ＋1B . y ＝x 2＋2x －1C . y ＝x 2－2x ＋1D . y ＝x 2－2x －16. (2017随州)对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论错误的是( )A . 它的图象与x 轴有两个交点B . 方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3C . 它的图象的对称轴在y 轴的右侧D . x ＜m 时，y 随x 的增大而减小7. (2018原创)在－2，－1，0，1，2五个数字中，任取一个作为a ，使不等式组⎩⎨⎧x ＋a ≥01－x ＞x ＋2无解，且函数y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋12a ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值为( )A . 0B . 0或－2C . 2或－2D . 0，2或－28. (2017青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________．9. 注重开放探究(2017上海)已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是________．(只需写一个)10. (2017武汉)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)．若2＜m ＜3，则a 的取值范围是________．11. (2017鄂州)已知正方形ABCD 中A (1，1)、B (1，2)、C (2，2)、D (2，1)，有一抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位(m >0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是________．12. (2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上．若m <n ，求x 0的取值范围．答案第1课时 二次函数图象与性质，抛物线与系数a 、b 、c 的关系1. A2. B3. C 【解析】画出抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的草图如解图，根据图象可知，y 1＞0，y 2＞0，且y 1＞y 2.第3题解图4. D 【解析】由y ＝－3x 2－12x －3＝－3(x ＋2)2＋9，可知对称轴是x ＝－2，选项A 正确；抛物线的开口向下，顶点坐标是(－2，9)，当x ＝－2时，y 存在最大值9，选项B 正确；开口向下，当x ＞－2时，图象处于对称轴的右边，y 随x 增大而减小，选项C 正确；当y ＝0时，一元二次方程－3x 2－12x －3＝0有实数解，所以抛物线与x 轴有交点，选项D 错误．5. B 【解析】∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，∴⎩⎨⎧a ＋1＞0a ＜0，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x －12)2－a 4，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－a 4.6. D 【解析】如果a ＞0，则反比例函数y ＝a x 图象在第一、三象限，二次函数y＝－ax 2＋a 图象开口向下，排除A ；二次函数图象与y 轴交点(0，a )在y 轴正半轴，排除B ；如果a ＜0，则反比例函数y ＝a x图象在第二、四象限，二次函数y ＝－ax 2＋a 图象开口向上，排除C ；故选D .7. D 【解析】观察函数图象，抛物线开口向下，则a ＜0.对称轴在y 轴右边，则a 、b 异号，∴b ＞0.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，则c ＞0，∴abc ＜0，选项A 错误；由抛物线的对称轴x ＝－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ，选项B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴a ＋c ＜b ，选项C 错误；根据对称性可知，当x ＝2时，y＝4a ＋2b ＋c ＞0，选项D 正确．8. D 【解析】因为二次函数的对称轴为x ＝m ，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究x 的范围与对称轴的位置关系，①当m ≥2时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时y 取得最小值－2，即－2＝22－2m ×2，解得m ＝32＜2(舍)；②当－1<m <2时，此时在对称轴x ＝m 处取得最小值－2，即－2＝m 2－2m ·m ，解得m ＝－2或m ＝2，又－1<m <2，故m ＝2；③当m ≤－1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m ×(－1)，解得m ＝－32，综上所述，m ＝－32或 2.9. C 【解析】∵抛物线与x 轴交于(4，0)，对称轴为x ＝2，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0，0)．故①正确；∵抛物线经过原点，∴c ＝0.∵抛物线的对称轴为x ＝2，即－b 2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，∴4a ＋b ＋c ＝0，故②正确；当x ＝－1时，抛物线的函数图象在x 轴上方，∴a (－1)2＋(－1)b ＋c >0，即a －b ＋c >0，故③错误；∵c ＝0，4a ＋b ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝－b 4x 2＋bx ＝－b 4(x －2)2＋b ，∴抛物线的顶点坐标为(2，b )，故④正确；由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为x ＝2，当x <2时，y 随x 的增大而减小．故⑤错误．综上所述，①②④正确．10. 1，5 11.(－2，0)第2课时 抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系1. C2. A3. A 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，∴代入得a (－2)2＋1＝0，解得a ＝－14，∴所求方程为－14(x －2)2＋1＝0，解方程得x 1＝0，x 2＝4.4. D 【解析】将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的函数为y ＝(x －3)2－1，与一次函数联立得⎩⎨⎧y ＝（x －3）2－1y ＝2x ＋b ，整理得x 2－8x ＋8－b ＝0，∵两个函数图象有公共点，∴方程x 2－8x ＋8－b ＝0有解，则(－8)2－4(8－b )≥0，解得b ≥－8.5. A 【解析】∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得，x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使点B 平移后的对应点落在y 轴上，需向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1.6. C 【解析】∵Δ＝(－2m )2－4×1×(－3)＝4m 2＋12＞0，∴图象与x 轴有两个交点，A 正确；令y ＝0得：x 2－2mx －3＝0，方程的解即抛物线与x 轴交点的横坐标，由A 知图象与x 轴有两个交点，故方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为c a ＝－31＝－3，B 正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x ＝－b 2a ＝－－2m 2＝m ，∵m 的值不能确定，故对称轴是否在y 轴的右侧不能确定，C 错误；∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴的左侧的函数值y 随x 的增大而减小，由C 知抛物线对称轴为x ＝m ，∴当x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，D 正确，故选C .7. B 【解析】解不等式x ＋a ≥0得x ≥－a ，解不等式1－x >x ＋2得x ＜－12，因为不等式组无解，故－a ≥－12，解得a ≤12；当a ≠0时，b 2－4ac ＝(a ＋2)2－4a (12a ＋1)＝0，解得a ＝2或－2，当a ＝0时，函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当a ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点，但a ≤12，∴a ＝0或－2.8. m >9 9. y ＝x 2－1(答案不唯一)10. 13＜a ＜12或3＜a ＜－2 【解析】令y ＝0，即ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0，(ax －1)(x＋a )＝0，∴关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的交点为(1a ，0)和(－a ，0)，即m ＝1a 或m ＝－a ，又∵2＜m ＜3，则13＜a ＜12或－3＜a ＜－2.11. 2≤m ≤8 【解析】∵将抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－m ，由平移后抛物线与正方形ABCD 的边有交点，则当点B 在抛物线上时，m 取最小值，此时(1＋1)2－m ＝2，解得m ＝2，当点D 在抛物线上时，m 取最大值，此时(2＋1)2－m ＝1，解得m ＝8，综上所述，m 的取值范围是2≤m ≤8.12. 解：(1)由题意知(1＋a )(1－a －1)＝－2，即a (a ＋1)＝2，∵y 1＝x 2－x －a (a ＋1)，∴y1＝x2－x－2；(2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)和(a＋1，0)，当y2的图象过点(－a，0)时，得－a2＋b＝0；当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0；(3)由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝12，所以点Q(1，n)与点(0，n)关于直线x＝12对称．因为函数y1的图象开口向上，所以当m＜n时，0＜x0＜1.。
中考数学一轮复习备考专练 二次函数的图象及其性质(有答案)
中考数学一轮复习备考专练 二次函数的图象及其性质一、单选题1.在平面直角坐标系中,二次函数()()20y a x h a =-≠的图象可能是( )A. B. C. D.2.二次函数223y x x =+-的图象的对称轴是( ) A.直线1x =B.直线1x =-C.直线4x =D.直线4x =-3.对于二次函数2144y x x =-+-，下列说法正确的是( )A.当0x >时，y 随x 的增大而增大B.当2x =时，y 有最大值3-C.图象的顶点坐标为(2,7)--D.图象与x 轴有两个交点4.抛物线231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的顶点坐标是（ ）A.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.1,32⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭5.对于函数()223y x =--，下列说法不正确的是( ) A.开口向下B.对称轴是直线3x =C.最大值为0D.与y 轴不相交6.已知二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠有最大值2.则,a b 的大小关系为( ) A.a b > B. a b < C.a b = D.不能确定7.点()111,P y -,()223,P y ,()335,P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上,则123,,y y y 的大小关系是( )A.321y y y >>B.312y y y >=C.123y y y >>D.123y y y =>8.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示,有以下结论:①30a b -=;②240b ac ->;③520a b c -+>;④430b c +>,其中错误结论的个数是( )A.lB.2C.3D.49.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表:下列结论:①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线1x =；③当1x <时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下四个结论:①0abc =；②0a b c ++>；③a b >；④240ac b -<.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题11.已知函数2(1)y x =--图象上两点12(2,),(,)A y B a y ，其中2a >，则1y 与2y 的大小关系是1y ________2y (填“<”“>”或“=”).12.已知抛物线212y x =经过点(,4.5)a 和1(,)a y -,则1y 的值是_______. 13.已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根的和为______.14.下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论： ①该函数的图像与函数2y x =-的图像形状相同； ②该函数的图像一定经过点(0,1)； ③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图像的顶点在函数21y x =+的图像上. 其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（1）.用配方法求抛物线的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向； （2）.画出所给函数的图象；（3）.观察图象，指出当0y ≥时，x 的取值范围参考答案1.答案：D二次函数()()20y a x h a =-≠的图象的顶点坐标为(,0)h ,由于该点的纵坐标为0,所以该点在x 轴上,符合这一条件的图象只有D.故选D.2.答案：B()422314y x x x =+-=+-，∴二次函数图像的对称轴是直线1x =-.3.答案：B二次函数2144y x x =-+-可化为()21234y x =--，104a =-<，∴当2x =时，二次函数2144y x x =-+-取得最大值，最大值为3-.4.答案：B231352y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是抛物线的顶点式，根据顶点式的特点可知，顶点坐标为1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭.5.答案：D由题意可得，二次函数的图象开口方向向下，对称轴是直线3x =，顶点坐标为(3)0,，函数的最大值为0，故A 、B 、C 说法正确；当0x =时，18y =-，∴函数()223y x =--与y 轴相交，∴D 说法错误6.答案：B∵二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠有最大值2，0,2a b ∴<=，则,a b 的大小比较为: a b <. 故选:B. 7.答案：D∵22y x x c =-++,∴对称轴为1x =∴()223,P y ,()335,P y 在对称轴的右侧,∵0a <,∴在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小,∵35<,∴23y y >.根据二次函数图象的对称性可知, ()111,P y -与()223,P y 关于对称轴对称,故123y y y =>,故选D.8.答案：A由图象可知0,0a c <>,对称轴为直线32x =-，∴322bx a=-=-,∴3b a =，∴30a b -=①正确;∵函数图象与x 轴有两个不同的交点，∵240b ac ∆=->，②正确；当1x =-时，0a b c -+>，当3x =-时，930a b c -+>，∴10420a b c -+>，∴520a b c -+>③正确；由对称性可知1x =时对应的y 值与4x =-时对应的y 值相等.∴当1x =时,0a b c ++<，∵3b a =，∴4333333b c b b c b a c +=++=++3()0a b c =++<，∴430b c +<，④错误，故选 A.9.答案：B由题中表格可知，二次函数2y ax bx c =++有最大值，当03322x +==时，二次函数取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确；其图象的对称轴是直线32x =，故②错误； 当32x <时，y 随x 的增大而增大，故③正确； 方程20ax bx c ++=的一个根大于1-，小于0，则方程的另一个根大于3232⨯=，小于314+=，故④错误故①③正确，故选B.10.答案：C二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象经过原点，0c ∴=，0abc ∴=，∴①正确； 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，∴②不正确；函数图象开口向下，0a ∴<，函数图象的对称轴是直线32x =-，322b a ∴-=-，3b a ∴=，又0a <，0b a ∴<<，∴③正确；二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，0∴∆>，即240b ac ->，240ac b ∴-<，∴④正确.综上，正确的结论有3个.11.答案：>由题意可知，函数图象的对称轴是直线1x =，开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而减小， 又12(2,),(,)(2)A y B a y a >在函数图象上， ∴12y y >，故答案为>. 12.答案：4.5由题意可知(,4.5)a 和1(,)a y -都在抛物线212y x =上，又因为抛物线212y x =关于y 轴对称，故点(,4.5)a 和1(,)a y -关于y 轴对称，所以1 4.5y =.13.答案：2∵二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为直线1x =，∴12b a -=，∴2b a =-，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根的和为2ba-=，故答案为2. 14.答案：①②④本题考查二次函数的图像与性质.对于①，由题意可知，二次函数22()1y x m m =--++的图像可以看作是由2y x =-的图像平移而得，∴它们的形状相同，结论①正确；对于②，当0x =时，22(0)11y m m =--++=，∴该函数图像一定经过点(0,1)，结论②正确；对于③，10,-<∴抛物线开口向下，又210m +>，∴抛物线与y 轴交于正半轴，抛物线的对称轴是x m =，∴当0,0m x m ><<时，y 随x 的增大而增大，结论③错误；对于④，抛物线的顶点坐标为()2,1m m +，当x m =时，21,y m =+∴抛物线的顶点在21y x =+的图像上，结论④正确.综上所述，正确的结论是①②④.15.答案：1.12y x =-∴抛物线的对称轴是直线3x =，顶点坐标是(3)2，，开口向下2.图象如图所示3.由图象知，当0y ≥时，x 的取值范围是15x ≤≤.。
2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习（包含答案）
2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习（包含答案）2020中考数学二次函数的图像和性质专题练习（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜时，则y 1＜y 2；②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误2.已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，4.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（）14（x-h ）2+kABC5.函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（）6.已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（）A.第一象限B.D.第四象限7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）8.2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2| M abca b c a b a b =++--+++--，则（）DB ADC DC B AA ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为09.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤10.如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、多选题（共有1道小题）11.下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2y x = ⑵ 21y x =-⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-三、填空题（共有6道小题）12.将抛物线22y x =的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．13.若二次函数21my mx +=有最小值，则m =________．14.二次函数23(2)my m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．15.已知点()15A x ，，()25B x，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y =___________．16.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点．四、解答题（共有7道小题）18.若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值．19.已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<20.二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围21.设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.22.设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．23.分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：⑴x 取任意实数；⑵当20x -≤≤时；⑶当13x ≤≤时；⑷当12x -≤≤时．24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式，并求出s 的取值范围．讲评卷一、单选题（共有10道小题）1.抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜时，则y 1＜y 2；②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（） A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误参考答案:A解：①∵顶点坐标为（，m ），n ＜，∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x ＝的对称点为（1﹣n ，y 1），∴点（1﹣n ，y 1）与（﹣2n ，y 2）在该抛物线上，∵（1﹣n ）﹣（﹣2n ）＝n ﹣＜0，∴1﹣n ＜﹣2n ，∵a ＞0，∴当x ＞时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；②把（，m ）代入y ＝ax 2+bx +c 中，得m ＝a +b +c ，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0中，△＝b 2﹣4ac +4am ﹣4a ＝b 2﹣4ac +4a （a +b +c ）﹣4a ＝（a +b ）2﹣4a ＜0，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，故此小题正确2.已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<参考答案:C3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，参考答案:B4.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bxb ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（）参考答案:D5.函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（）14（x-h ）2+kABCD参考答案:A6.已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（）A.第一象限B.D.第四象限参考答案:B7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）参考答案:D8.2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--，则（）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0B DC DC B A参考答案:C9.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤参考答案:C10.如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案:D二、多选题（共有1道小题）11.下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴2y x = ⑵ 21y x =-⑶ 221y x x =-- ⑷(1)y x x =-⑸2(1)(1)(1)y x x x =--+-参考答案:⑴二次项系数为1，一次项系数和常数项为0．⑵虽然次数为2，但x 位于分母位置，所以不是二次函数．⑶二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为-1．⑷2(1)y x x x x =-=-+，二次项系数为-1，一次项系数为1，常数项为0．⑸将括号展开，二次项消去，所以不是二次函数．三、填空题（共有6道小题）12.将抛物线22y x =的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．参考答案:y ＝2（x +1）2﹣2 13.若二次函数21m y mx +=有最小值，则m =________．参考答案:∵二次函数21my mx +=有最小值，∴0m >．又∵212m +=，∴1m =±．∴1m =．14.二次函数23(2)m y m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．参考答案:根据题设条件，画图草图（如下图）：由二次函数图象性质可知：20m ->，同时，232m -=，解方程，得：m =，因为20m ->，∴m =．15.已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y =___________．参考答案:由题意可知：A ，B 关于抛物线的对称轴对称，故12222bx x x a-=+=?=，∴当2x =时，4433y =-+=16.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．参考答案:考察函数图像与系数之间的关系．因为函数图像开口向上，所以()20m ->，又因为顶点在第三象限，所以函数对称轴在y 轴左侧，所以20m >；因为函数图像又与y 轴的负半轴相交，所以()30m --<．综上所述可得()202200330m m m m m m ?->>>?><--<??∴23m <<17.已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点．参考答案:0四、解答题（共有7道小题）18.若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值．参考答案:由函数图像开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为7，当0x =时，y 取最小值为1．19.已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<参考答案:方法一：根据图象得： 0,0a c <<122bb a a-=?=-?224b a =① 又∵240b ac ->，∴2440a ac -> 即：4()0a a c -> ∴220204()a c a c a a a a c a a c -<?<++② 由①②式得：22()a c b +< 方法二：根据图象得，当1x =时0y >，即0a b c ++>，∴()b a c >-+由0a <，12ba-=得：0b > 当0x =时0y <得0c <∴22()0()b a c b a c >-+>?>+即：22()a c b +<．20.二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围参考答案:根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)，则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，于是22214(1)(1)1()24a a a y ax a x a x a a+--=-++=-+ 根据函数图象可知102a x a +=<，24(1)14a a a--> 于是有10a -<<．21.设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.参考答案:设点A 的坐标为(m ，0)，0m <，则B 的坐标为(0，)m ，于是20am bm c ++=且c m =，即20am bm m ++=，∴1b am =--.∴22111()244ab ma a m a m m m=--=-++≥，由图知，0a >，对称轴在y 轴右侧，故02ba->，0b <，∴104ab m≤<，两边同时乘以负数c m =，即得104abc <≤．22.设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．参考答案:由题意有220y kx bax kx b y ax=+??--=?=?ｕ两个交点的横坐标分别是12,x x ，故1212k b x x x x a a+==-，．∴12121211x x k x x x x b ++==-．直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标为3bx k=-，故31k x b =-．故123111x x x +=． 23.分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：⑴x 取任意实数；⑵当20x -≤≤时；⑶当13x ≤≤时；⑷当12x -≤≤时．参考答案:⑴函数的最大值为178，无最小值；⑵当0x =时，函数取得最大值1；当2x =-时，函数取得最小值13-；⑶当1x =时，函数取得最大值2；当3x =时，函数取得最小值8-；⑷当34x =时，函数取得最大值178；当1x =-时，函数取得最小值4-．24.已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式，并求出s 的取值范围．参考答案:二次函数222y x x =-+的对称轴是1x =，①当1t >时，对称轴在x t =左边，∴222s t t =-+；②当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，最小值s 在顶点处取得，∴1s =；③当11t +<，即0t <时，对称轴在1x t =+右边，∴21s t =+．综上所述：221(0),1(01),22(1)t t s t t t t ?+<?=≤≤??-+>?∴s 的取值范围为1s ≥．。
2020中考数学 函数复习：二次函数及其图像(含答案)
2020中考数学 函数复习：二次函数及其图像（含答案）一、选择题1.抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，2.根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ）x …－1012…y…－147-－247-…A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点3.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（）4.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定B ．C ． D ．5.将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．46.在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C.22y x x =-++ D ．22y x x =++7.把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x y C.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 8.某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ）A ．40 m/sB ．20 m/sC ．10 m/sD ．5 m/s二、填空题1.若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2.已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3.抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________．4.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是个．5.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．6.函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．三、解答题1.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．2.已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ．（1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：(FC AC 3.已知二次函数过点A （0，2-），B （1-， （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，12）是否在直线AC 上？ （3）过点M （1，12）作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．4.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．5.新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．7.如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结．（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线的顶点坐标是]【参考答案】选择题1.B 2.B 3. C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.C 填空题1.-32. 2y x x =+，21133y x =-+3.（1，5）4.45.223y x x =-++6.52解答题1. 解：设这个二次函数的关系式为得：解得：∴这个二次函数的关系式是，即2. （1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）.（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆ ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =-∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆ ∴QN BN FC BC = 即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+又∵4AC =∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++即()FC AC EC +为定值8.3. （1）设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2（0a ≠）， 把A （0，2-），B （1-，0），C （5948，）代入得2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩解得 a =2 ， b =0 ， c =－2，∴222y x =-（2）设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠ ，把A （0，－2），C （5948，）代入得29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得522k b ==-， ，∴522y x =-当x =1时，511222y =⨯-= ∴M （1，12）在直线AC 上 （3）设E 点坐标为（1322--，），则直线EM 的解析式为4536y x =-第3由 2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩化简得2472036x x --=，即17()(2023x x +-=，∴F 点的坐标为（713618，）．过E 点作EH ⊥x 轴于H ，则H 的坐标为（102-）．∴3122EH BH ==，∴2223110()()224BE =+=，类似地可得 22213131690845(()186324162BF =+==，222401025001250()(186324162EF =+==， ∴2221084512504162162BE BF EF +=+==，∴△BEF 是直角三角形．4. 解：（1）过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，OF ＝1．∵OA ⊥OB ，∴∠AOF+∠BOE ＝90°．又∵∠BOE+∠OBE ＝90°，∴∠AOF ＝∠OBE ．∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ．∴2===OAOBAF OE OF BE ．∴BE ＝2，OE ＝4．∴B(4，2)．（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax 2+bx+c ．∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.0,2416,2c c b a c b a 解之，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.0,23,21c b a∴所求抛物线的表达式为x x y 23212-=．（3）由题意，知AB ∥x 轴．设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，则S △ABP ＝AF AB d AB ⋅=⋅2121．∴d ＝2．∴点P 的纵坐标只能是0或4．令y ＝0，得023212=-x x ，解之，得x ＝0，或x ＝3．∴符合条件的点P 1(0，0)，P 2(3，0)．令y ＝4，得423212=-x x ，解之，得2413±=x ．∴符合条件的点P 3(2413-，4)，P 4(2413+，4)．∴综上，符合题意的点有四个：P 1(0，0)，P 2(3，0)，P 3(2413-，4)，P 4(2413+，4)．（评卷时，无P 1(0，0)不扣分） 5.解：（1）当时，线段O A 的函数关系式为;当时，由于曲线AB 所在抛物线的顶点为A （4，－40），设其解析式为在中，令x=10，得；∴B （10，320）∵B （10，320）在该抛物线上∴解得∴当时，=综上可知，(2) 当时,当时,当时,(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.6. 解：（1）根据题意得解得．所求一次函数的表达式为．（2），抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，当时，．当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由，得，整理得，，解得，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．7. （1）（4，0），．．（2）是直角三角形．证明：令，则．．．解法一：．．是直角三角形．解法二：，．．，．即．是直角三角形．（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．，．．解法一：设，则，，．=．当时，最大．．，．，．解法二：设，则．．当时，最大．．，．，．当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．解法一：设，，．=．当时，最大．，．解法二：设，，，，．．=∴当时，最大，．．∴综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为。
中考数学一轮温习二次函数的图像和性质含答案
中考数学一轮温习-二次函数的图像和性质【基础知识回忆】一、二次函数的概念：一样地若是y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数注意1： 二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特点是：一、等号左侧是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列二、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：一、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式二、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：①、当a>0时，y 口向 ，当x<a b 2-时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a<0时，开口向 当x<ab 2-时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小 注意2：注意几个特殊形式的抛物线的特点一、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标二、y= ax 2 +k ，对称轴 定点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k对称轴定点坐标三、二次函数同象的平移注意3：二次函数的平移本质可看做是定点问题的平移，固然要把握整抛物线的平移，只要关键的极点平移即可四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上那么a 0, 向下那么a 0 ；｜a｜越大，开口越b:对称轴位置，与a联系一路，用判定b=0时，对称轴是c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，那么c 0负半轴上那么c 0，当c=0时，抛物点过点【名师提示：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,常常依照对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2016•常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x、3、0时，对应的函数值别离：y1，y2，y3，，那么y1，y2，y3的大小关系正确的选项是（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2对应训练1．（2016•衢州）已知二次函数y=12x2-7x+152，假设自变量x别离取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，那么对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的选项是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2016•咸宁）关于二次函数y=x2-2mx-3，有以下说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若是当x≤1时y随x的增大而减小，那么m=1；③若是将它的图象向左平移3个单位后过原点，那么m=-1；④若是当x=4时的函数值与x=2020时的函数值相等，那么当x=2021时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你以为正确说法的序号都填上）对应训练2．（2016•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，别离交两条抛物线于点B，C．那么以下结论：①不管x取何值，y2的值老是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④1．解：①∵抛物线y2=12（x-3）2+1开口向上，极点坐标在x轴的上方，∴不管x取何值，y2的值老是正数，故本小题正确；②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=23，故本小题错误；③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2=12（0-3）2+1=112，故y2-y1=112，故本小题错误；④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，∴B（-5，3），C（5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC，故本小题正确．应选D．考点三：抛物线的特点与a、b、c的关系例3 （2016•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④假设方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=2，那么正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④思路分析：由抛物线与y 轴的交点在1的上方，取得c 大于1，应选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式取得关于a 与b 的关系，整理取得2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x 轴的交点有两个，取得根的判别式大于0，整理可判定出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，取得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将取得的a 与b 的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可取得正确的选项． 解：由抛物线与y 轴的交点位置取得：c ＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x=2b a-=1，∴2a+b=0，选项②正确； 由抛物线与x 轴有两个交点，取得b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，取得ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且2b a -=1，及b a -=2， ∴x 1+x 2=b a-=2，选项④正确， 综上，正确的结论有②④．应选C点评：此题要紧考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练把握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 一起决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．对应训练3．（2016•重庆）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图对称轴为x=12-．以下结论中，正确的选项是（ ）A ．abc ＞0B ．a+b=0C ．2b+c ＞0D ．4a+c ＜2b3．D3．解：A 、∵开口向上，∴a＞0，∵与y 轴交与负半轴，∴c＜0，∵对称轴在y 轴左侧， ∴2b a-＜0， ∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B 、∵对称轴：x=2b a -=12-， ∴a=b，故本选项错误；C 、当x=1时，a+b+c=2b+c ＜0，故本选项错误；D 、∵对称轴为x=12-，与x 轴的一个交点的取值范围为x1＞1， ∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2，∴当x=-2时，4a-2b+c＜0，即4a+c＜2b，故本选项正确．应选D．考点四：抛物线的平移例4 （2016•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x个单位后，其极点在直线上的A处，那么平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1思路分析：第一依照A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再依照，利用勾股定理求出m的值，然后依照抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．解：∵A在直线y=x上，∴设A（m，m），∴m2+m2=）2，解得：m=±1（m=-1舍去），m=1，∴A（1，1），∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，应选：C．点评：此题要紧考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，把握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．对应训练4．（2016•南京）已知以下函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移能够取得函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．4．解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法那么可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可取得函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移取得，故②错误；将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可取得函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．故答案为：①③．【聚焦山东中考】（2016•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，那么一次函数y=mx+n的图象通过（）1．A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限2．（2016•济南）如图，二次函数的图象通过（-2，-1），（1，1）两点，那么以下关于此二次函数的说法正确的选项是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于02．D2．解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左侧，因此y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值确实是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左侧，故y＜1；故本选项错误；C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y的值小于x=-1时，y的值1，即当x=-1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左侧，因此y的值小于0；故本选项正确．应选D．3．（2016•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．3．C3．解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=2b a -＜0， ∴b＜0，∵二次函数图象通过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且通过原点，反比例函数a y x =位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合．应选C ．4．（2016•泰安）设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，那么y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 24．A4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．应选A ．5．（2021•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．以下说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象极点坐标为（3，-1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．那么其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．A5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误； ②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误； ③其图象极点坐标为（3，1），故本小题错误； ④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确； 综上所述，说法正确的有④共1个． 应选A ．6．（2021•日照）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图，给出以下结论：①b 2-4ac ＞0；②2a+b＜0；③4a -2b+c=0；④a：b ：c=-1：2：3．其中正确的选项是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 6．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac ＞0，选项①正确； 又对称轴为直线x=1，即2ba=1， 可得2a+b=0（i ），选项②错误； ∵-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，选项③错误； ∵-1对应的函数值为0， ∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii ）， 联立（i ）（ii ）可得：b=-2a ，c=-3a ，∴a：b ：c=a ：（-2a ）：（-3a ）=-1：2：3，选项④正确， 那么正确的选项有：①④．应选D．7．（2015泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么取得的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-3 7．A8．（2021•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是咱们日常生活中超级现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上别离烧开一壶水（当旋钮角度过小时，其火力不能够将水烧开，应选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据取得下表：旋钮角度（度）2050708090所用燃气量（升）73678397115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确信哪一种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的转变规律？说明确信是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭利用此款燃气灶，以前适应把燃气开到最大，现采纳最节省燃气的旋钮角度，每一个月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每一个月的平均燃气量．8．解：（1）假设设y=kx+b（k≠0），由73206750k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得1577kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，因此y=15-x+77，把x=70代入得y=65≠83，因此不符合；假设设kyx=（k≠0），由73=20k，解得k=1460，因此y=1460x，把x=50代入得y=29.2≠67，因此不符合；假设设y=ax2+bx+c，那么由73400206725005083490070a b ca b ca b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1508597abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，因此y=150x2-85x+97（18≤x≤90），把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．因此二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的转变规律；（2）由（1）得：y=150x2-85x+97=150（x-40）2+65，因此当x=40时，y取得最小值65．即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；（3）由（2）及表格知，采纳最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升）设该家庭以前每一个月平均用气量为a立方米，那么由题意得：50a=10，115解得a=23（立方米），即该家庭以前每一个月平均用气量为23立方米．【备考真题过关】一、选择题1．（2016•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32．（2016•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图，假设|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞32．解：依照题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：因此假设|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，那么k＞3，3．（2016•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤33．解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，①②联立解得：c≥3，4．（2016•北海）已知二次函数y=x2-4x+5的极点坐标为（）A．（-2，-1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，1）5．（2021•广元）假设二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，那么a的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-21．（2016•西宁）犹如，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，以下关于那个二次函数的表达正确的选项是（）A．当x=0时，y的值大于1B．当x=3时，y的值小于0C．当x=1时，y的值大于1D．y的最大值小于06．（2016•巴中）关于二次函数y=2（x+1）（x-3），以下说法正确的选项是（）A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-16．解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式， A 、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．7．（2016•天门）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，它与x 轴的两个交点别离为（-1，0），（3，0）．关于以下命题：①b -2a=0；②abc＜0；③a -2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 7．解：依照图象可得：a ＞0，c ＜0， 对称轴：2bx a=-＞0， ①∵它与x 轴的两个交点别离为（-1，0），（3，0）， ∴对称轴是x=1， ∴2ba-=1， ∴b+2a=0， 故①错误； ②∵a＞0， ∴b＜0， ∵c＜0，∴abc＞0，故②错误； ③∵a -b+c=0，∴c=b-a，∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，又由①得b=-2a，∴a-2b+4c=-7a＜0，故此选项正确；④依照图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=-2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：③④两个．应选：B．8．（2016•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的极点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，那么t值的转变范围是（）A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜18．B8．解：∵二次函数y=ax2+bx+1的极点在第一象限，且通过点（-1，0），∴易患：a-b+1=0，a＜0，b＞0，由a=b-1＜0取得b＜1，结合上面b＞0，因此0＜b＜1①，由b=a+1＞0取得a＞-1，结合上面a＜0，因此-1＜a＜0②，∴由①②得：-1＜a+b＜1，且c=1，取得0＜a+b+1＜2，∴0＜t＜2．应选：B．9．（2016•扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-2 10．（2016•宿迁）在平面直角坐标系中，假设将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么通过这两次平移后所得抛物线的极点坐标是（）A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）11．（2016•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好通过原点，那么|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．611．解：当x=0时，y=-6，故函数与y轴交于C（0，-6），当y=0时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得x=-2或x=3，即A（-2，0），B（3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好于原点，故|m|的最小值为2．应选B．二、填空题12．（2016•玉林）二次函数y=-（x-2）2+94的图象与x轴围成的封锁区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．12．解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，极点坐标为（2，94），当y=0时，-（x-2）2+94=0，解得x1=12，得x2=72．可画出草图为：（右图）图象与x轴围成的封锁区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．13．（2016•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，那么以AB为边的等边三角形ABC的周长为．13．1813．解：∵抛物线y=a（x-3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC的周长=3×6=18．故答案为：18．14．（2021•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部份如下图．关于以下说法：①abc＜0； ②a -b+c ＜0； ③3a+c＜0； ④当-1＜x ＜3时，y ＞0． 其中正确的选项是 （把正确的序号都填上）． 14．①②③14．解：依照图象可得：a ＜0，c ＞0， 对称轴：x=2ba=1， 2ba=-1， b=-2a ， ∵a＜0， ∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；把x=-1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a-b+c ， 由图象能够看出当x=-1时，y ＜0， ∴a -b+c ＜0，故②正确； ∵b=-2a ，∴a -（-2a ）+c ＜0， 即：3a+c ＜0，故③正确； 由图形能够直接看出④错误． 故答案为：①②③．15．（2016•苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，假设x 1＞x 2＞1，那么 （填“＞”、“＜”或“=”）． 15．y 1＞y 215．解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右边，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右边y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．16．（2016•成都）有七张正面别离标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全数相同．现将它们反面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，那么使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不通过点（1，0）的概率是．16．3 716．解：∵x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴[-2（a-1）]2-4a（a-3）＞0，∴a＞-1，将（1，0）代入y=x2-（a2+1）x-a+2得，a2+a-2=0，解得（a-1）（a+2）=0，a1=1，a2=-2．可见，符合要求的点为0，2，3．∴P=3 7 ．故答案为37．17．（2016•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．18．（2016•宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后取得的图象的解析式为．18．y=-（x+1）2-218．解：二次函数y=（x-1）2+2极点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后取得的二次函数图象的极点坐标为（-1，-2），因此，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．故答案为：y=-（x+1）2-2．2．（2016•贵港）假设直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，那么常数m的取值范围是0＜m＜2 ．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象。
中考数学 一轮训练：二次函数的图象及其性质 附答案
2020-2021 中考数学一轮训练：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2>y1>y2B．2>y2>y1C．y1>y2>2 D．y2>y1>22. 已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是()A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞03. 已知二次函数y＝x2－x＋14m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是()A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞24. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交5. 二次函数2x …－5－4－3－2－10…y …40－2－204…A. 抛物线的开口向下B. 当x>－3时，y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是－2D. 抛物线的对称轴是x＝－5 26. （2020·镇江）点在以轴为对称轴的二次函数的图像上，则的最大值等于( )A．B．4 C．D．7. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2>4ac ；②abc<0；③2a ＋b －c>0；④a ＋b ＋c<0.其中正确的是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④8. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.有下列结论：①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a.其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9. 若二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，则a 0(填“=”或“>”或“<”).10. 经过A (4，0)，B (-2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是_____________.11. 如图所示，抛物线y ＝ax 2－3x ＋a 2－1经过原点，那么a 的值是________．12. 如图，已知抛物线过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(3，0)，且3AB ＝4OC ，则此抛物线的解析式为__________________．13. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)15. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．16. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……依次进行下去，则点A2019的坐标为________．三、解答题17. 2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．(1)试判断该抛物线与x轴的交点情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程．19. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．20. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)经过点A(0，3)，B(－1，0)．请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21. 如图，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，过点B 作直线BC ⊥x 轴，交直线y ＝－2x 于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D 的坐标，并判断顶点D 是否在直线y ＝－2x 上；(3)点P 是抛物线上一动点，是否存在这样的点P (点A 除外)，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知△ABD 的面积为18．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ ＝CP ，求点P 的坐标．2020-2021 中考数学 一轮训练：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】A [解析] 根据题意，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝－1，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．∵－1＜1＜2，∴2＞y 1＞y 2，故选A.2. 【答案】C [解析] ∵y ＝ax 2(a ＞0)，∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＝0时，函数取得最小值，最小值是0.∵A(－2，y 1)在对称轴的左侧，B(1，y 2)在对称轴的右侧，点A 到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，∴y 1>y 2>0.故选C.3. 【答案】A [解析] ∵抛物线y ＝x 2－x ＋14m －1与x 轴有交点，∴b 2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m≤5.4. 【答案】D5. 【答案】D 【解析】从表中选取三组值(－4，0)，(－1，0)，(0，4)，由此设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋4)(x ＋1)．将(0，4)代入y ＝a (x ＋4)(x ＋1)，求得a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋5x ＋4，即y ＝(x ＋52)2－94.由此可见，只有选项D中的说法是正确的．6. 【答案】C【解析】∵抛物线的对称轴为y 轴，∴a ＝0，将P (m,n )代入y ＝x 2＋4中，则n＝m 2－4，m －n ＝－m 2＋m －4，244ac b a -＝1614-－＝－154． 7. 【答案】A [解析] ①因为图象与x 轴有两个不同的交点，所以b 2－4ac>0，即b 2>4ac ，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y 轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b 2a＝－1，所以2a ＝b ，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a ＋b －c<0，故③错误．④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ，由图可得，当x ＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x ＝－1，所以由对称性可知，当x ＝1时，y<0，即a ＋b ＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.8. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，而a ＜0，∴b 2－4ac 4a＜0，故②错误． ∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0，∴ac －b ＋1＝0，故③正确．设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴x 1·x 2＝c a. 又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－c a，故④正确．故选B.二、填空题9. 【答案】<10. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2)，把C (0，3)代入上式得3=a (0-4)(0+2)，解得a=-，故y=-(x -4)(x +2).11. 【答案】－1 [解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.12. 【答案】 y ＝－x2＋2x ＋313. 【答案】③④ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.又∵对称轴为直线x ＝－b 2a＞0，∴b ＜0，∴结论①不正确； ∵当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，∴结论②不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；∵4ac －b 24a＝－2，c ＝－1，∴b 2＝4a ，∴结论④正确． 综上，正确的结论是③④.14. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ， ∴BD ＝BC ＝2，∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ，∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.15. 【答案】0 [解析] 依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.16. 【答案】(－1010，10102) [解析] 由点A 的坐标可得直线OA 的解析式为y ＝x.由AA 1∥x 轴可得A 1(－1，1)，又因为A 1A 2∥OA ，可得直线A 1A 2的解析式为y ＝x ＋2，进而得其与抛物线的交点A 2的坐标为(2，4)，依次类推得A 3(－2，4)，A 4(3，9)，A 5(－3，9)，…，A 2019(－2019＋12，10102)，即A 2019(－1010，10102)．三、解答题17. 【答案】解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根．综上，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．(2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6，∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．18. 【答案】解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝3，9a ＋3b ＋5＝5. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. ∴抛物线的解析式为y ＝x2－3x ＋5.∵Δ＝b2－4ac ＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，∴抛物线与x 轴没有交点．(2)∵△AOB 是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B 在y 轴上，∴点B 的坐标为(0，2)或(0，－2)．设平移后的抛物线的解析式为y ＝x2＋mx ＋n.①若抛物线过点A(－2，0)，B(0，2)，有⎩⎪⎨⎪⎧4－2m ＋n ＝0，n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. ∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x2＋3x ＋2，∴该抛物线的顶点坐标为(－32，－14)． 而原抛物线的顶点坐标为(32，114)， ∴将原抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度即可获得符合条件的抛物线(其他平移方式合理也可)．②若抛物线过点A(－2，0)，B(0，－2)，有⎩⎪⎨⎪⎧4－2m ＋n ＝0，n ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2. ∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x2＋x －2，∴该抛物线的顶点坐标为(－12，－94)． 而原抛物线的顶点坐标为(32，114)， ∴将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度即可获得符合条件的抛物线(其他平移方式合理也可)．19. 【答案】【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y 1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y 1＝(x ＋a )(x －a －1)可得出y 1过x 轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．解：(1)∵函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)图象经过点(1，－2)， ∴把x ＝1，y ＝－2代入y 1＝(x ＋a )(x －a －1)得，－2＝(1＋a )(－a )，(2分) 化简得，a 2＋a －2＝0，解得，a 1＝－2，a 2＝1，∴y 1＝x 2＋x －2；(4分)(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)图象在x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋1，0)， ①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时，把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，得a 2＝b ；(6分)②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时，把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，得a 2＋a ＝－b ；(8分)(3)∵抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝－a ＋a ＋12＝12，m <n ， ∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m <n ，∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比P 离对称轴x ＝12的距离大，(10分)∴|x 0－12|<1－12，∴0<x 0<1.(12分)20. 【答案】(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (0，3)，B (－1，0)， ∴⎩⎨⎧c ＝3a ＋2×（－1）＋c ＝0 解得⎩⎨⎧a ＝－1c ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，B (－1，0)，∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)，∴DE ＝4，BE ＝2，∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝25，即BD 的长是25；(3)假设在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4， 设点M 的坐标为(1，m )，∵B (－1，0)，E (1，0)，∴点C 的坐标为(3，0)，∴BC ＝4，∵△MBC 的面积是4，∴S △MBC ＝BC ×|m |2＝4×|m |2＝4，解得m ＝±2，即点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．21. 【答案】(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧13×32＋3b ＋c ＝013×（－1）2－b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－23c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1；(2)∵a ＝13，b ＝－23，c ＝－1，抛物线的顶点D 的坐标为(ab 2-，a b ac 442-)， ∴x D ＝－－232×13＝1，y D ＝4×13×（－1）－（－23）24×13＝－43，∴D (1，－43)．把x ＝1代入y ＝－2x 中得y ＝－2，∵－43≠－2，∴顶点D 不在直线y ＝－2x 上；(3)存在．理由如下：如解图，过点C 作x 轴的平行线，与该抛物线交于点P 1，P 2，连接BP 1，BP 2.解图∵直线BC ⊥x 轴，∴△P 1BC 、△P 2BC 都是直角三角形．把x ＝－1代入y ＝－2x 中得：y ＝－2×(－1)＝2，∴C (－1，2)．∴把y ＝2代入y ＝13x 2－23x －1中得13x 2－23x －1＝2， 解得x 1＝10＋1，x 2＝－10＋1.∴P 1(10＋1，2)，P 2(－10＋1，2)．22. 【答案】 （1）直线y ＝x ＋2与x 轴的夹角为45°，点A 的坐标为(－2, 0)．因为△ABD 是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．因此OD ＝4．所以点B 的坐标为(4, 6)．（2）将A (－2, 0)、B (4, 6)代入212y x bx c =-++，得220,84 6.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ 解得b ＝2，c ＝6． 所以抛物线的解析式为21262y x x =-++．（3）由21262y x x =-++，得抛物线的对称轴为直线x ＝2，点C 的坐标为(0, 6)． 如果AQ ＝CP ，那么有两种情况：①如图2，当四边形CAQP 是平行四边形时，AQ //CP ，此时点P 的坐标为(2, 6)． ②如图3，当四边形CAQP 是等腰梯形时，作AC 的垂直平分线交x 轴于点F ，那么点P 在FC 上．设点F 的坐标为(x , 0)，根据F A 2＝FC 2列方程，得(x ＋2)2＝x 2＋62．解得x ＝8．所以OF ＝8，HF ＝6． 因此39tan 642PH HF F =⋅∠=⨯=．此时点P 的坐标为9(2,)2．图2 图3考点伸展第（3）题等腰梯形CAQP时，求点P的坐标也可以这样思考：过点P作PE//x轴交AC于E，那么PE＝PC．直线AC的解析式为y＝3x＋6，设E(m, 3m＋6)，那么P(2, 3m＋6)．根据PE2＝PC2列方程，得(2－m)2＝22＋(3m)2．解得12m=-．所以P9(2,)2．其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法：设QH＝n，那么AQ＝4－n，PH＝3n，P(2, 3n )．根据AQ2＝CP2，列方程，得．(4－n)2＝22＋(3n－6)2．整理，得2n2－7n－6＝0．解得n1＝2，23 2n=．当n1＝2时，P(2, 6)，对应平行四边形CAQP（如图2）；当23 2n=时，P9(2,)2，对应等腰梯形CAQP（如图4）．图4。
中考数学 二次函数图像和性质 练习(含答案)
2020中考数学 二次函数图像和性质（含答案）1.已知二次函数m x x y++=2，当 x 取任意实数时，都有y>0，则 m 的取值范围是（ ） A ．41≥mB ．41>mC ．41≤mD ．41<m2.抛物线2221yx kx k =-+-的顶点在_______A 、x 轴下方B 、x 轴上方C 、x 轴上D 、条件不够，无法确定 3.如图，二次函数()2,0y axbx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（ ）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.已知点()11,x y ，()22,x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）A.若12y y =，则12?x x =B.若12x x =-，则12y y =-C.若120x x <<，则12?y y >D.若120x x <<，则12y y >5.将抛物线216212＝－＋yx x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( ) A ．21(8)52＝－＋y x B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x6.已知抛物线213662y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，若的D 为AB 的中点，则CD 的长为（ ）A.154B.92C.132D.1527.关于抛物线122+-=x x y ，下列说法错误的是（ ）A.开口向上B.与x 轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x ＞1时，y 随x 的增大而减小8.把抛物线12+=x y向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ).A ．()132-+=x y B ．()332++=x y C ．()132--=x y D ．()332+-=x y 9.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)10.将抛物线2y x =平移得到抛物线()22y x =+，则这个平移过程正确的是（）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位二、填空题（共有8道小题） 11.抛物线()3322+-=x y 的顶点在 象限．12.函数22y x =的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 .13.当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式322+-x x 的值相等，则x ＝m ＋n 时，代数式322+-x x 的值为__ __． 14.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______15.抛物线2yx =的开口方向是 ，顶点坐标是 .16.已知抛物线c x x y +--=221的顶点为(m ，3) 则m= ，c= . 17.二次函数2yx =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而 .18.抛物线()21653y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。
人教版 初中数学中考一轮复习专题-练习--二次函数图像与性质(含答案)
二次函数图像与性质知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1： 抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．(3，1) B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()y a x h k =-+的顶点是（h ，k ）【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24b ac b a a--求顶点坐标。
例2： 已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）． A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0 D ．x 1＝1，x 2＝3【答案】B ．【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，则x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．例3： 方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标，则方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ）． A ．4100<<x B ．31410<<x C ． D ．1210<<x【答案】C ．【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与xy 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在范围．解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与xy 1=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x =14时，y =x 2＋2=2116，1y x ==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =时，y =x 2＋2=219，1y x ==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．所以方程3210x x +-=的实根所在的范围是21310<<x ．所以应选C ．21310<<x 130x【方法指导】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．例4： 如图是二次函数c bx ax y ++=2图像的一部分，其对称轴是1-=x ，且过点（－3,0），下列说法：①0<abc ②02=-b a ③④若),25(),,5(21y y -是抛物线上两点，则21y y >，其中说法正确的是（ ）A .①②B .②③C . ①②④D .②③④【答案】A【解析】①根据抛物线的开口方向、对称轴的位置以及与外轴的交点位置来确定a 、b 、c 的符号，∵开口向上∴a >0；∵抛物线与y 轴交于负半轴∴c <0∵abx 2-==－1<0∴b >0，∴abc <0，故此选项正确.②利用对称轴求解：∵abx 2-==－1，∴2a －b =0；故此选项正确.③根据对称轴即可求出抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0）然后补齐图象根据图象特点即可求出当x =2时，4a +2b +c >0，故此选项错误.④把所给两点利用二次函数的对称轴转化为对称轴同侧图象上的点，即利用对称轴可以求出（－5，y 1）的对称点的坐标是（3，0），在对称轴的右侧图象上y 随x 的增大而增大，故此选项正确.故选项C 正确.【方法指导】本题考查了二次函数的图象及性质.对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x 轴，y 轴交点的位置，注意二次函数值y 随自变量x 的变化要以对称轴为分界点. 对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象： （1）开口向上⇔a >0;开口向下⇔a <0.024<++c ba（2）c >0图象与y 轴的正半轴有交点；c =0⇔图象过坐标原点；c <0⇔图象与y 轴的负半轴有交点；（3）根据对称轴abx 2-=和a 符号确定b 的符号以及a 、b 之间的数量关系. （4）根据x =1时y 的值来确定a +b +c 的符号；根据x =－1时y 的值来确定a －b +c 的符号；x =2时y 的值来确定4a +2b +c 的符号；根据x =－1时y 的值来确定4a －2b +c 的符号.（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性即可比较大小.演练方阵A 档（巩固专练）1．下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y (6) y=2(x+3)2－2x 2A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 2.关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）4.已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 5.已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）A 、321y y y <<B 、123y y y <<C 、231y y y <<D 、132y y y <<6．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值7．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；⇔213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y ax bx c =++0a ≠0abc >②a+b+c>0③a-b+c<0；；其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A.y=3－2 B ．y=3＋2 C ．y=3－2 D ．y=－32)1(-x +29．抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A . B. C. D. 10．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）B 档（提升精练）11.与抛物线y=－x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A. y = x 2+3x －5 B. y=－x 2xC. y =x 2+3x －5D. y=x 212．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反 13.对于抛物线，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标B ．开口向上，顶点坐标C ．开口向下，顶点坐标D ．开口向上，顶点坐标 14．抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－12(1)x -2(1)x +2(1)x +23y x =23(1)2y x =--23(1)2y x =+-23(1)2y x =++23(1)2y x =-+244y x x =--1212121222(2)x -22(2)x -21(5)33y x =--+(53)，(53)，(53)-，(53)-，222x mx m -++15.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）16．函数y=＋2x －5的图像的对称轴是（） A ．直线x=2 B ．直线a=－2 C ．直线y=2 D ．直线x=417.二次函数y=图像的顶点在（ ）A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限18．如果抛物线y=的顶点在x 轴上，那么c 的值为（）A ．0B ．6C ．3D ．919．已知二次函数，如果a ＞0,b ＜0,c ＜0，那么这个函数图像的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 20.已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-= C 档（跨越导练）21.若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2 22.二次函数（0<a ）的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2020年中考数学 二次函数的图形性质专题练习(含答案)
2020中考数学 二次函数的图形性质专题练习（含答案）一、单选题（共有19道小题）1.已知二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-，下列结论中正确的只有（ ）①0abc <②20a b += ③0a b c -+> ④420a b c -+< A.①② B.①④ C.③④ D. ②④参考答案:D 2.如图是二次函数()2,0y ax bx c a =++≠图象的一部分，其对称轴为1x =﹣，且过点 (-3，0)下列说法：①0<abc ；②02=-b a ；③024<++c b a ；④若()15,y - ，()22,y 是抛物线上的两点，则1y 其中说法正确的是（ ） A.①③④ B.②③ C. ②③④D.①②④参考答案:D解析：∵抛物线开口向上， ∴0a <，∵抛物线对称轴为直线12bx a=-=- ∴20b a =>，则20a b =-，所以②正确； ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴0c <，∴0abc <，所以①正确； ∵2x =时，0y >，∴420a b c ++>，所以③错误；∵点()15y -,离对称轴要比点()22y ,离对称轴要远， ∴12y y >，所以④正确．故选D ．3.已知二次函数y =ax 2+bx +c （c ≠0）的图像如图所示，下列结论 ①0b <；②420a b c ++<； ③0a b c -+>； ④()2a b +其中正确的结论是（ ）A ．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 参考答案:C4.二次函数2y x bx c =++，若0b c +=，则它的图象一定过点（ ） A.(-1，-1) B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)参考答案:D5.已知二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象如图，且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++=-①240b ac >-；②0abc <； ③2m>．其中，正确结论的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 参考答案:D解：①∵二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点， ∴240b ac ->，故①正确； ②∵抛物线的开口向下， ∴0a <，∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴0c >， ∵对称轴02bx a=->， ∴0ab <， ∵0a <， ∴0b >，∴0abc <，故②正确；③∵一元二次方程20ax bx c m ++=-没有实数根， ∴2y ax bx c =++和y m =没有交点， 由图可得，2m >，故③正确． 故选D ．6.函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；②10b c ++=； ③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案:B7.如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OB=OC ，则下列各式成立的是(A.01=--c bB.01=-+c bC.01=+-c bD.01=++c b参考答案:D8.二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）A.当m ≠1时，bm am b a +>+2B.若222121bx ax bx ax +=+，且21x x ≠，则21+x x C.0>+-c b a D.0<abc 参考答案:C9.如图是二次函数2y ax bx c ＝＋＋(a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x ＝1．对于下列说法： ①ab ＜0； ②2a ＋b ＝0； ③3a ＋c ＞0；④()a b m am b ≥＋＋(m 为实数)；⑤当－1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是( A ．①②④ B ．①②⑤ C ．②③④ D ．③④⑤参考答案:解：①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号， ∴ab ＜0，故正确； ②∵对称轴x ＝－2ba＝1，∴2a ＋b ＝0；故正确； ③∵2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a ，∵当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0， ∴a －(－2a )＋c ＝3a ＋c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m ＝1时，有最大值； 当m ≠1时，有am bm c a b c ≤＋＋＋＋2， 所以()a b m am b ≥＋＋(m 为实数)．故正确．⑤如图，当－1＜x ＜3时，y 不只是大于0． 故错误． 故选：A10.如图，二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点（2，0）.下列说法： ①abc <0， ②a+b =0， ③4a+2b+c <0， ④若（-2，y 1）（52，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是( )A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①② 参考答案:A11.已知二次函数c bx ax y ++=2(其中a >0，b >0，c <0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点有一个在y 轴的右侧．以上正确的说法的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 参考答案:C12.已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（ ） ①0>abc ；②2=++c b a ；③21<a ； ④1>b A.①②B.②③C.③④D.②④参考答案:D13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线22＝－＋y ax x (a ≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．11143－a a ≤≤<或 B ．1143a ≤<C ．1143a a ≤>或D ．114－a a ≤≥或参考答案:解：∵抛物线的解析式为y ＝ax 2－x ＋2．观察图象可知当a ＜0时，x ＝－1时，y ≤2时，且－12a-≥－1，满足条件，可得a ≤－1；当a ＞0时，x ＝2时，y ≥1，且抛物线与直线MN 有交点，且－12a-≤2满足条件， ∴a ≥14， ∵直线MN 的解析式为y ＝－13x ＋53，由215332y x y ax x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得到，3ax 2－2x ＋1＝0， ∵△＞0，∴a ＜13，∴14≤a ＜13满足条件，综上所述，满足条件的a 的值为a ≤－1或14≤a ＜13， 故选：A ．14.函数2y x bx c =++与y x =①240b c <﹣； ②10c b -+=；③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<．其中正确结论的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 参考答案:C解析：∵函数2y x bx c =++与x 轴无交点， ∴240b ac <-； 故①正确；当1x =-时，10y b c =-+>， 故②错误；∵当3x =时，933y b c =++=， ∴360b c ++=； ③正确；∵当13x <<时，二次函数值小于一次函数值， ∴2x bx c x ++<， ∴()210x b x c +-+<．故④正确． 故选C ．15.如图是二次函数()2,0y ax bx c a =++≠图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为1x =﹣．给出四个结论： ①24b ac >；②20a b +=； ③30a c +=； ④0a b c ++=．其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3D.4参考答案:C解析：∵抛物线的开口方向向下， ∴0a <；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac >-，即24b ac >，①正确； 由图象可知：对称轴12bx a=-=- ∴2a b =，24a b a +=， ∵0a ≠，∴20a b +≠，②错误； ∵图象过点A （﹣3，0），∴9302a b c a b +==-，，所以9603a a c c a +==-，-，③正确； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴0c >由图象可知：当1x =时0y =， ∴0a b c ++=，④正确． 故选C ．16.四位同学在研究函数2＝＋＋yx bx c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程20＋＋＝x bx c 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁参考答案:解：假设甲和丙的结论正确，则212434bc b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得：24b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋4． 当x ＝－1时，y ＝x 2－2x ＋4＝7， ∴乙的结论不正确；当x ＝2时，y ＝x 2－2x ＋4＝4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的， ∴假设成立． 故选：B ．17.已知二次函数()2,0y ax bx c a =++≠ 的图象如图，则下列说法：①0c = ；②该抛物线的对称轴是直线1x =-； ③当1x =时，2y a =； ④()20,1am bm a m ++>≠-．其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4参考答案:C解析：抛物线与y 轴交于原点， 0c =，（故①正确）； 该抛物线的对称轴是：2012-+=- 直线1x =﹣，（故②正确）； 当1x =时，y a b c =++ ∵对称轴是直线1x =﹣， ∴12ba=--，2b a =， 又∵0c =，∴3y a =，（故③错误）；x m =对应的函数值为2y am bm c =++，1x =-对应的函数值为y a b c =+-，又∵1x =-时函数取得最小值，∴2a b c am bm c +<++-，即2a b am bm <+-， ∵2b a =，∴20,1am bm a m ++>≠（﹣）．（故④正确）．故选：C ．18.小轩从如图所示的二次函数20(),y ax bxc a =≠＋＋的图象中，观察得出了下面五条信息：①0ab >；②0a b c ++<；③20b c >+；④240a b c ->+；⑤32a b =。
二次函数的图象与性质(三套带答案解析)
二次函数的图象与性质1一、选择题：1.把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A. ﹣4B. 0C. 2D. 62.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0，③ 4a+b2<4ac，④ 3a+c<0.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知二次函数y=−x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A. 图象的开口向上B. 图象的顶点坐标是(1,3)C. 当x<1时，y随x的增大而增大D. 图象与x轴有唯一交点4.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x=2，有以下结论：① abc>0；②若点M(−12,y1)，点N(72,y2)是函数图象上的两点，则y1<y2；③ −35<a<−25；④ ΔADB可以是等腰直角三形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）A. 154B. 4 C. ﹣154D. ﹣1746.已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A. a≥−2B. a<3C. −2≤a<3D. −2≤a≤3二、填空题7.抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，则k的取值范围是________.8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x．其中正确结论的序号是________．的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a9.下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为________．10.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________．11.将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是________．三、解答题12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．13.已知二次函数y=ax2−2ax−3a的图象与x轴交于A、B两点，且经过C（1，－2），求点A、B的坐标和a的值.14.已知二次函数的顶点坐标为(2，−2)，且其图象经过点(1，−1)，求此二次函数的解析式.15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA=2OB=4．求抛物线的顶点坐标。
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第17课时 二次函数的图象和性质
分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．[2019·重庆B 卷]抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A ．直线x ＝2 B ．直线x ＝－2 C ．直线x ＝1
D ．直线x ＝－1
2．[2019·荆门]抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
3．[2019·温州]已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )
A ．有最大值－1，有最小值－2
B ．有最大值0，有最小值－1
C ．有最大值7，有最小值－1
D ．有最大值7，有最小值－2
4．[2019·河南]若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2
D ．4
5．[2018·南宁]将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析
式为( )
A ．y ＝1
2(x －8)2＋5
B ．y ＝1
2(x －4)2＋5
C ．y ＝1
2(x －8)2＋3
D ．y ＝1
2
(x －4)2＋3
6．[2019·烟台]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：
x ＝2；③当0<x <4时，y >0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若A (x 1,2)，B (x 2,3)是抛物线上两点，则x 1<x 2.
其中正确的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．[2019·攀枝花]在同一平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是 ( )
8．[2019·齐齐哈尔]如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点(－3,0)，其对称轴为直线x ＝－1
2.结合图象分析下列结论：①abc >0；②3a ＋c >0；③当x <0时，y 随x 的增大
而增大；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1＝－
13，x 2＝1
2；⑤b 2－4ac 4a
<0；⑥若m ，n (m <n )为方程a (x ＋3)(x －2)＋3＝0的两个根，则m <－3，n >2.其中正确的结论有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
二、填空题(每题4分，共16分)
9．[2019·无锡]某函数当x >0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是____________(只要写出一个符合题意的答案即可)．
10．[2018·黔东南州]如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是________.
x … －1 0 1 2 … y
…
3
4
3
…
11.[2019·泰安]x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13的解为________________．
12．[2019·济宁]如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2＋mx ＋c >n 的解集是________________．
三、解答题(共10分)
13．(10分)[2019·温州]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象
交x 轴于点A ，B (点A 在点B 的左侧)．
(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；
(2)把点B 向上平移m 个单位得到点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合．已知m >0，n >0，求m ，n 的值．
(20分)
14．(10分)[2019·黄石节选]如图，已知抛物线y ＝1
3
x 2＋bx ＋c 经过点A (－1,0)，B (5,0)．
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；
(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积．
15．(10分)[2019·泰安节选]如图，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴、y 轴分别
交于点A(3,0)，B(0，－2)，且过点C(2，－2)．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标．
(14分)
16．(14分)[2019·宜宾]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2x＋c与直线y＝kx＋b交于A(0，－3)，B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的解析式；
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．
参考答案
1．C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C 9．y ＝x 2 10.(3,0)
11．x 1＝2，x 2＝4 12.x <－3或x >1 13．(1)－2≤x ≤6 (2)m ＝7
2
，n ＝1
14．(1)y ＝13x 2－43x －5
3，M (2，－3)
(2)36
15．(1)y ＝23x 2－4
3x －2
(2)点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，10
3. 16．(1)y ＝x 2－2x －3，y ＝x －3
(2)存在，点M 的坐标为(2，－1)或3＋172，－3＋17
2.
(3)△P AB 的面积最大值是278，此时点P 的坐标为32，15
4
.。