第十章 粘性流体动力学基础 气体动力学 教学课件
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粘性流体动力学基础
于是有：
v vvx dy v dy vx (v vx )dy
2 0 0 2 x 0
因此可得：
0
vx vx (1 ) dy v v
物理意义：
边界层内损失的动量相当于厚度为
的理想流体动量。
几个厚度比较：
dv 1 p x p y p z f dt x y z
上式即为粘性流体运动应力形式的动量方程。
( v) 0 t 未知量10个： u, v, w, , pxx , p yy , pzz , pxy , pxz , p yz
y 0时vx ( x,0) 0与v y ( x,0) 0 y 时vx ( x, y ) v ( x)
在推导边界层方程时曾得到过下述结论，即
u u 2u u v 与 x y y 2
是同数量级的。所以推出：
x
v
可见，边界层厚度 与流体的运动粘度 以及边界层所 在位置的坐标x的平方根成正比，和势流的速度的平方根成反比。 即流体越粘稠，势流速度越小，边界层越厚。并且边界层的厚度 随x的增大而不断加厚。
而与粘性系数
及管长
成反比。
4.阻力及阻力系数（层流） u p t r 剪应力分布: r 2l
p a 管壁剪应力： t 0 2l
2 t 0 u m
1 8
摩擦阻力：
F t 0 2al a 2 p
第二节 边界层基本概念
边界层定义：在被绕流物体表面上的一层厚度很小且其中的 流动具有很大法向速度梯度和旋度的流动区域称做边界层。 在边界层中呈现有较强的粘性作用，并形成对流动的阻力。
v vvx dy v dy vx (v vx )dy
2 0 0 2 x 0
因此可得：
0
vx vx (1 ) dy v v
物理意义：
边界层内损失的动量相当于厚度为
的理想流体动量。
几个厚度比较：
dv 1 p x p y p z f dt x y z
上式即为粘性流体运动应力形式的动量方程。
( v) 0 t 未知量10个： u, v, w, , pxx , p yy , pzz , pxy , pxz , p yz
y 0时vx ( x,0) 0与v y ( x,0) 0 y 时vx ( x, y ) v ( x)
在推导边界层方程时曾得到过下述结论，即
u u 2u u v 与 x y y 2
是同数量级的。所以推出：
x
v
可见，边界层厚度 与流体的运动粘度 以及边界层所 在位置的坐标x的平方根成正比，和势流的速度的平方根成反比。 即流体越粘稠，势流速度越小，边界层越厚。并且边界层的厚度 随x的增大而不断加厚。
而与粘性系数
及管长
成反比。
4.阻力及阻力系数（层流） u p t r 剪应力分布: r 2l
p a 管壁剪应力： t 0 2l
2 t 0 u m
1 8
摩擦阻力：
F t 0 2al a 2 p
第二节 边界层基本概念
边界层定义：在被绕流物体表面上的一层厚度很小且其中的 流动具有很大法向速度梯度和旋度的流动区域称做边界层。 在边界层中呈现有较强的粘性作用，并形成对流动的阻力。
粘性流体力学.ppt
Dvy Dt
=
fy-
p y
+
x
vy x
vx y
y
2
vy y
2 3
V
z
vz y
vy z
Dvz Dt
=
fz -
p z
在 t 时间内通过控制体左侧面流入控制体的 流体质量为 u y z t 通过右侧面流出控制体的流体质量为
u
u+
x
x y z t
这里对 u 运用了泰勒级数展开，并忽略二阶 以上小量。沿x方向净流出控制体的流体质量 为
u
u
从上式可得
+ u + v + w = 0
1.6
用场论符号表示为： t x y z
+ v = 0
t
利用散度公式 v = v + v
质点 导数表达式，（1D.7）+式 可v =改0写为
Dt
1.7
静止固壁： v 0 （粘附条件）
运动固壁： v流 v固
自由界面上：pnn p0 , pij 0i j
即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应
力为零。
对于温度场，还可以有温度边界条件，即
或
qw
k
T n
w
T Tw
式中 Tw 是物面上的温度。qw 为通过单位面积传递给流 体 T / n
流体力学不可压缩粘性流体动力学基础PPT学习教案
div ( u) 0
x y z 0 x y z
dx dy dz
x y z
第20页/共62页
在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是 涡线的 封闭曲 线，通 过这条 曲线上 每一点 作一根 涡线， 这些涡 线就构 成一个 管状曲 面，称 为涡管 （Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运动的流 体，称 为涡束 ，或称 为元涡 （Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以J表示。元涡的 涡通量 为微元 涡的断 面积和 速度涡 量（简 称涡量 ）的乘 积，即
思考题：流体速度分解定理和刚体速 度分解 定理有 何区别 ？
第17页/共62页
§7-3 有 旋 和 无 旋 流动
一、有旋流动及其性质
1、有旋流动
流体微团的旋转角速度在流场内不完全 为零的 流动称 为有旋 流动。 比如大 气中的 龙卷风 、管道 中的流 体运动 、绕流 物体的 表面边 界层及 其尾部 后的流 动等都 是有旋 流动。
x
第12页/共62页
而 所以
根据流体 微团剪 切变形 速度的 定义得
CAB CAB
u y dx dt dx ux dx dt uy dt
（1）
x
x
x
ux dy dt y
dy
u y y
dy dt
u x y
dt
（2）
u y x
ux y
d t
xy
yx
1 2 dt
在流场中，各点不仅存在有流速，形成 流速场 ，而且 也存在 有旋转 角速度 ，形成 旋转角 速度场 ，角速 度数值 大小为
旋转角速度向量的方向规定为沿旋转轴 线按右 手定则 确定。 用矢量 表示 那么定义涡量 为旋转角速度向量的2倍。
流体动力学基础ppt课件
质点在不同时刻所形成的曲线，其数学表达式为：
dx dy dz dt u vw
（3-14）
2024/2/11
21
式(3-14)就是迹线微分方程，是自变量。 流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲
线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线 是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线，如图3-3所示。
化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速
2024/2/11
9
图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
2024大或减少），从而产生了当地加速 度。
应该注意，流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间
点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速
量小于从阀门B流出的水量，水箱中的水位就逐渐下降，
于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐减小，
射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体
质点的流动参数(压强和速度等)随时间而变化的流动，称
为非定常流动。由上可见，定常流动的流场中，流体质点
的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点坐标x、y、z
流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等 运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作 用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导 出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动 量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。
的函数，而与时间t无关，用Φ表示任一流动参数（即Φ可
表示u，v，w，p，ρ等），则
Φ= Φ (x，y，z)
(3-11)
2024/2/11
粘性流体动力学基础..48页PPT
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
粘性流体动力学基础..
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
粘性流体-PPT
现在,我们将考虑定常流。例如,若讨论绕固体得流动(为 确定起见,下面我们将讨论这种情况),则来流速度应为常数。 此外还假设流体就是不可压缩得。
在流体动力学方程组(纳维-斯托克斯方程组)里,就表征流
体本身特性得参数而言,只出现运动粘性系数
。还有,求
解这个方程组所必须确定得未知函数就是速度 和 ,这里
类似得,我们可以写出流体中得压力分布公式。为此, 我们必须由参数 和 作出某个量纲为压力除以密度得 量,比如,这个量可以就是 。于就是, 就是无量纲变 量 和无量纲参数R得函数,所以
最后,类似得考虑也可适用于这样一些量:她们描写流
动得特性,但不就是坐标得函数。例如作用在物体上得阻力
F就就是这样一个量。我们可以说,阻力F与用
不难写出周围流体作用于固体表面得力得表达式。 一个面元上所受得作用力恰等于通过这个面元得动量通 量。通过面元 得动量通量就是
把 写成
得形式,这里 就是沿法线得单位
矢量,并考虑到在固体表面上
,我们得到作用在单位
面积上得力 为
其中等式右边第一项就是普通得流体压力,而第二项就是由 于粘性引起得作用在固体表面上得摩擦力。式中 就是单 位矢量,她沿流体界面得外法线,即沿固体表面得内法线。
组成得并具有力得量纲得某个量之比必定只就是雷诺数得
函数。比如,
组合成力得量纲可以就是
。
因而
若重力对流动有重要作用,则流动不就是由三个参数确
定,而就是由
和重力加速度 这四个参数确定。由
这四个参数可构成两个独立得无量纲量,而不就是一个。比
如,这两个量可以就是雷诺数和弗劳德数,弗劳德数为
最后,提一下非定常流。要描述一个确定类型得非定常
第四节 两个旋转圆柱面之间得流动
粘性流体力学 课件
N是与阿佛伽得罗常数(Avogadro，6.03×1023)同量级的正整数。 解这样庞大数目的方程组，连同初始条件给定的困难，不难想象。 这条路子是根本无法走通的。
2. 连续介质假设
2.2 解决办法
• 分子动力学是用质点力学和统计学相结合的方法来研究物 质宏观力学和热力学性质的科学。
这一理论确实取得了很大的成就，但是，它目前也只能应用于某 些简单的气体，远不能解决范围十分宽广的流体力学和固体力学 中的大量问题。
1. 物质结构
1.2 物质的微观性质
• 固、液、气的微观性质比较
固体 d0 强 <<1 有序 弱 量子统计 液体 d0 中等 ~1 部分有序 强 量子统计+经典 统计 气体 10 d0 弱 >>1 无序 强 经典统计
分子间距 分子间作用力 分子随机热运动振幅 与d0的比值 分子排列 可运动性(mobility) 需用的统计类型
Repulsion
d0
d
Attraction
• 对于简单分子组成的物质，常温常压下，分子间距的量级
气相分子，d~10d0 液相和固相分子， d~d0
1. 物质结构
1.2 物质的微观性质
• 气体
当d>>d0，分子力为弱相互作用，此时，只要分子的平均动能足够 大，单个分子就能克服邻近分子的吸引力而处于一种自由运动状 态，也就是说分子在邻近分子力场中具有的势能远小于分子本身 具有的动能，势能可以被忽略。 在偶尔的场合下，高能量分子也可能在运动过程中与其他分子十 分靠近，出现分子间短暂的强相互作用，通常，这种偶然出现的 强相互作用过程被称为碰撞 对于分子热运动平均能量高的物质，在分子碰撞以外的绝大部分 时间，分子都处于自由状态，大量分子的自由运动就呈现出高度 混乱的情景，这种宏观状态称作气体
粘性流体动力学基础
1 p 2 uy z C1 z C2 2 y
利用边界条件 u y
z 0
0和u y
z
U 可以确定出积分常数
1 p C1 , C2 0 2 y U
整理得
dvx 1 p xx yx zx fx ( ) x y z dt
3-4 纳维-斯托克斯方程式
dv y
同样可得
1 yx p yy yz dt x y z dv z 1 zx zy p zz fz dt x y z fy
p xx p 2 p yy p 2 p p 2 zz
v x x v y y v z z
二、本构方程
定义： 确定应力与变形速度关系的方程叫做本构方程。
为建立牛顿流体的本构方程，斯托克斯 Stokes 提出如 下假设： （1）小变形，即应力与变形速度成线性；
dv y dv dvx dvz a i j k dt dt dt dt
dxdydz
应力的第一个下标 i 表示应力作用面的法线方向；第二个下 标 j 表示应力的方向。当 i j 时 Fij 代表法向应力，否则代表切 应力 。将它们标注在包含A点在内的三个微元表面上，则如图 7—1所示，这里假定外界对微元这三个表面的法向应力都沿坐标 的正向，切向应力都沿坐标的负向。
由牛顿第二定律
F ma
微元六面体x向的运动方程为： dv x p xx dxdydz f x dxdydz p xx dydz ( p xx dx)dydz dt x yx yx dxdz ( yx dy )dxdz y
zx zx dxdy ( zx dz )dxdy z
理想流体稳定流动粘性流体PPT课件
ⅱ若粘性流体在开放的等粗细管中作稳定流动，
∵ P1 P2 P0 v1 v2
∴ gh1 gh2 E
因此，细管两端必须维持一定的高度差。
二、泊肃叶定律
1. 泊肃叶定律
实验证明：在水平均匀细圆管内作层流的粘性流体，其体积 流量与管子两端的压强差 成p 正比。
即 Q R4P 8L
R —— 管子半径
解：Rf
8L R 4
8 3.0 103 0.2 3.14 1.3102 4
5.97 104
Pa s m3
P QRf 1.0 104 5.97 104 5.97Pa
三、斯托克斯定律
1、斯托克斯定律
固体在粘性流体中运动时将受到粘性阻力作用，若 物体的运动速度很小，对于球体，它所受的粘性阻力可 以写为
x x+dx
v v+dv
管壁
管壁
速度梯度 dv 表示速度随位移的变化率。 dx
若x方向上相距dx的两液层的速度差为dv，则 dv/dx 表示在垂直于流速 方向单位距离的液层间的速度差叫做速度梯度。
实验证明： F ∝ S ，dv/dx 即：
F dv S
dx —— 牛顿粘性定律
—— 粘度系数（粘度）
g 2g
P — —压力头
g
v2 — —速度头 2g
h — —水头
4、特例 A、流体在水平管中流动或者可以忽略高度差（h1 = h2 ），
则流体的势能在流动过程中不变，故
P
1 2
v 2
常量
V小→P大 ； V大→P小
B、对于等粗管（v1 = v2 ），又有
P gh 常量
h小→P大 ； h大→P小
单位： SI中为 Pa s
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性应力散度两部分。将(10.11 ) ，(10.9) ，代入（10.5） 最后得 出对于无限小微元体的微分形式动量方程
Rpij
dV
dt
式中 R 为单位体积所受的质量力
（10.13）
用文字表示该方程的物理意义为
单位体积所受的质量力＋单位体积所受的压力
＋单位体积所受的粘性力＝密度×加速度 将方程（10.13）写成分量式为
第十章 粘性流体动力学基础
本章概述:粘性是流体的重要属性之一，自然界中存在的流
体都具有粘性。理论和实验表明，对于气体绕物体的流动，粘 性影响主要在靠近物体表面的薄层内（称为附面层）。这样求 解粘性流动的问题，可以通过求解粘性流动的基本方程，也可 以求解附面层内的流动。因此研究附面层的目的，一方面是解 决计算气流绕物体的摩擦阻力，而另一方面是估算物体上各点 的热流量。从而寻求减小摩擦阻力，减轻气动加热的途径，采 取必要的设计措施。
ij
pxx yx
zx
ij
xy pyy zy
（10.6）
xz yx pzz
i j 表示在与i轴垂直的面上j方向的应力。
下面来分析控制体所受表面力的合力。为了简单起见，以x方 向为例。图10.2给出了六个面上x方向应力作用的表面力。
图10.2分析控制体所受表面力
将这些力进行矢量和可得出微元控制体所受表面力在x方向的
R z p z x x z y y z z z z V tz V x V x z V y V y z V z V z z （10.15c）
对于无粘流动 ij 0 因此方程（10.13） 变成
Rp dV
（10.16)
dt
式（10.16）即为描述理想流动的欧拉方程(Euler’s equation)。
对于牛顿流体，粘性应力与流体的变形以及粘性系数成正
比，具体关系为
xx
2Vx
x
2(V)
3
yy
2Vy
y
2(V)
3
zz
2Vz
z
2(V)
3
xy
Vy x
Vx y
yz
Vz yΒιβλιοθήκη Vy z（10.17）
zx
Vx z
Vz y
式(3.118 ) 又称为广义牛顿内摩擦定律。将(3.118 ) 代入到
(3.116 ) 可得出
（10.18 c）
式（10.18）即为描述牛顿粘性流体运动的微分方程式，又称为 纳维尔－斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称N-S方程。它是 由C.L.M.H.Navier(1785-1836) 和Sir George G. Stokes(18191903)分别独立导出的，方程即以他们的名字联合命名。
分量为
d F x,su rf x(xx) y(yx) z(zx) d xd yd z （10.7）
将式（10.6）的第一行代入，两边同除以 dvdxdydz得
d d F vx p x x(xx) y(yx) z(zx)
同理可以得出y，z方向的合力
d d F vy p y x(xy) y(yy) z(zy)
dVx dt
= R x p x 2 x V 2 x 2 y V 2 x 2 zV 2 x 3 x( V)
（10.18 a）
dV y dt
=R y p y 2 x V 2 y 2 y V 2 y 2 z V 2y 3 y( V)
（10.18 b）
dVz dt
= R z p z 2 x V 2 z 2 y V 2 z 2 zV 2 z 3 z( V)
t cv
(m & i Vi)out － ( m & i Vi)in
（10.1）
同样，由于控制体为微元体，所以上式积分可以近似为
(
t
cv
Vd
v
)
t
(
V)dxdydz
（10.2）
动量流量发生在六个面上，三个流入三个流出.
F=[
t
(
V)＋ x
(
VxV)＋ x
(
VyV)+
x
( VzV)] dxdydz（10.3）
d d F vz p z x(xz) y(yz) z(zz)
将上式写成矢量形式为
（10.8 a ）
（10.8 b ） （10.8 c ）
dF dvsurf
pddF vviscous
（10.9）
上式右边第二项为粘性力项，由九个分量组成
dF dvviscous
ixxx
yx
y
zzxjxxy
yy
y
zy
dt
上式说明，微元控制体内流体的加速度乘以控制体内流体的质
量，等于控制体所受的合外力。控制体所受的外力有两大类，
质量力和表面力。质量力是在某种外部场的作用下使得所有流
体质量受到的力，如重力、离心力、电磁力等等。表面力是由
于控制面上应力的作用而产生的力，这些应力包括压强p和流体
运动而产生的粘性应力
,其中压强的作用方向垂直指向控制面。
（10.14）
R x p x x x x y y x z z x V t x V x V x x V y V y x V z V z x （ 10.15a）
R y p y x x y y y y z z y V ty V x V x y V y V y y V z V z y （10.15b）
本章首先讨论粘性流动的基本方程，由于连续方程并不涉及到 粘性问题，因此本章主要讨论动量方程和能量方程，然后导出 湍流流动的雷诺方程，最后讨论附面层基本知识。本章内容构 成了粘性流体流动的基本知识。
与第八章分析质量守恒方法类似，我们可以针对微元控制体图
10.1,列出动量方程
F= ( Vd v )＋
上式为矢量方程，右边中括号内可以改写成
t
(
V)＋
x
(
VxV)＋
x
(
VyV)+
x
( VzV)
=V[
t
+ ( V)]+ (V t Vx V xVy V yVzV z)
（10.4）
根据连续方程上式中右边中括号内为零，第二大项括号内为 加速度，因此方程（10.3） 可以写为
F= dV dxdydz （10.5）
z
kxxz
yz
y
zz
z
（10.10）
式（10.10）还可以简写成如下的散度形式
dF dv
viscous
ij
（10.11）
式中
xx yx zx ij xy yy yz
xz yz zz
（10.12）
称 因为此粘该性张应量力有张6个量独，立 i j分为量对。称表张面量力，的即合力ij 包 含ji压，强当梯i度 和j 时粘，
Rpij
dV
dt
式中 R 为单位体积所受的质量力
（10.13）
用文字表示该方程的物理意义为
单位体积所受的质量力＋单位体积所受的压力
＋单位体积所受的粘性力＝密度×加速度 将方程（10.13）写成分量式为
第十章 粘性流体动力学基础
本章概述:粘性是流体的重要属性之一，自然界中存在的流
体都具有粘性。理论和实验表明，对于气体绕物体的流动，粘 性影响主要在靠近物体表面的薄层内（称为附面层）。这样求 解粘性流动的问题，可以通过求解粘性流动的基本方程，也可 以求解附面层内的流动。因此研究附面层的目的，一方面是解 决计算气流绕物体的摩擦阻力，而另一方面是估算物体上各点 的热流量。从而寻求减小摩擦阻力，减轻气动加热的途径，采 取必要的设计措施。
ij
pxx yx
zx
ij
xy pyy zy
（10.6）
xz yx pzz
i j 表示在与i轴垂直的面上j方向的应力。
下面来分析控制体所受表面力的合力。为了简单起见，以x方 向为例。图10.2给出了六个面上x方向应力作用的表面力。
图10.2分析控制体所受表面力
将这些力进行矢量和可得出微元控制体所受表面力在x方向的
R z p z x x z y y z z z z V tz V x V x z V y V y z V z V z z （10.15c）
对于无粘流动 ij 0 因此方程（10.13） 变成
Rp dV
（10.16)
dt
式（10.16）即为描述理想流动的欧拉方程(Euler’s equation)。
对于牛顿流体，粘性应力与流体的变形以及粘性系数成正
比，具体关系为
xx
2Vx
x
2(V)
3
yy
2Vy
y
2(V)
3
zz
2Vz
z
2(V)
3
xy
Vy x
Vx y
yz
Vz yΒιβλιοθήκη Vy z（10.17）
zx
Vx z
Vz y
式(3.118 ) 又称为广义牛顿内摩擦定律。将(3.118 ) 代入到
(3.116 ) 可得出
（10.18 c）
式（10.18）即为描述牛顿粘性流体运动的微分方程式，又称为 纳维尔－斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称N-S方程。它是 由C.L.M.H.Navier(1785-1836) 和Sir George G. Stokes(18191903)分别独立导出的，方程即以他们的名字联合命名。
分量为
d F x,su rf x(xx) y(yx) z(zx) d xd yd z （10.7）
将式（10.6）的第一行代入，两边同除以 dvdxdydz得
d d F vx p x x(xx) y(yx) z(zx)
同理可以得出y，z方向的合力
d d F vy p y x(xy) y(yy) z(zy)
dVx dt
= R x p x 2 x V 2 x 2 y V 2 x 2 zV 2 x 3 x( V)
（10.18 a）
dV y dt
=R y p y 2 x V 2 y 2 y V 2 y 2 z V 2y 3 y( V)
（10.18 b）
dVz dt
= R z p z 2 x V 2 z 2 y V 2 z 2 zV 2 z 3 z( V)
t cv
(m & i Vi)out － ( m & i Vi)in
（10.1）
同样，由于控制体为微元体，所以上式积分可以近似为
(
t
cv
Vd
v
)
t
(
V)dxdydz
（10.2）
动量流量发生在六个面上，三个流入三个流出.
F=[
t
(
V)＋ x
(
VxV)＋ x
(
VyV)+
x
( VzV)] dxdydz（10.3）
d d F vz p z x(xz) y(yz) z(zz)
将上式写成矢量形式为
（10.8 a ）
（10.8 b ） （10.8 c ）
dF dvsurf
pddF vviscous
（10.9）
上式右边第二项为粘性力项，由九个分量组成
dF dvviscous
ixxx
yx
y
zzxjxxy
yy
y
zy
dt
上式说明，微元控制体内流体的加速度乘以控制体内流体的质
量，等于控制体所受的合外力。控制体所受的外力有两大类，
质量力和表面力。质量力是在某种外部场的作用下使得所有流
体质量受到的力，如重力、离心力、电磁力等等。表面力是由
于控制面上应力的作用而产生的力，这些应力包括压强p和流体
运动而产生的粘性应力
,其中压强的作用方向垂直指向控制面。
（10.14）
R x p x x x x y y x z z x V t x V x V x x V y V y x V z V z x （ 10.15a）
R y p y x x y y y y z z y V ty V x V x y V y V y y V z V z y （10.15b）
本章首先讨论粘性流动的基本方程，由于连续方程并不涉及到 粘性问题，因此本章主要讨论动量方程和能量方程，然后导出 湍流流动的雷诺方程，最后讨论附面层基本知识。本章内容构 成了粘性流体流动的基本知识。
与第八章分析质量守恒方法类似，我们可以针对微元控制体图
10.1,列出动量方程
F= ( Vd v )＋
上式为矢量方程，右边中括号内可以改写成
t
(
V)＋
x
(
VxV)＋
x
(
VyV)+
x
( VzV)
=V[
t
+ ( V)]+ (V t Vx V xVy V yVzV z)
（10.4）
根据连续方程上式中右边中括号内为零，第二大项括号内为 加速度，因此方程（10.3） 可以写为
F= dV dxdydz （10.5）
z
kxxz
yz
y
zz
z
（10.10）
式（10.10）还可以简写成如下的散度形式
dF dv
viscous
ij
（10.11）
式中
xx yx zx ij xy yy yz
xz yz zz
（10.12）
称 因为此粘该性张应量力有张6个量独，立 i j分为量对。称表张面量力，的即合力ij 包 含ji压，强当梯i度 和j 时粘，