内蒙古开来中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试卷-8395e1ac6bea43f5a692fe86b13ba20c

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内蒙古开来中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)
试卷
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．在等比数列{a n }中，如果公比q <1，那么等比数列{a n }是 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．无法确定数列的增减性 2．若a >b,c >d,则下列不等关系中不一定成立的是 ( )
A ．a −b >d −c
B ．a +d >b +c
C ．a −c >b −c
D ．a −c <a −d 3．命题p:∀x ∈R ，x 2−x +1
4≥0的否定¬p 为 ( )
A ．¬p:∀x ∈R ，x 2−x +1
4
<0 B ．¬p:∀x ∈R ，x 2−x +1
4
≤0
C ．¬p:∃x ∈R ，x 2−x +14
<0 D ．¬p:∃x ∈R ，x 2−x +1
4
≥0
4．抛物线x 2=2y 的准线方程为 ( )
A ．x =−1
B ．x =−1
2 C ．y =−1 D ．y =−1
2 5．已知a,b >0，下列不等式一定成立的是( ) A ．
a+b 2
≤√ab ≤√
a 2+
b 2
2 B ．
a+b 2
≤√
a 2+
b 2
2
≤√ab
C ．√ab ≤√a 2+b 2
2
≤a+b 2
D ．√ab ≤
a+b 2
≤√
a 2+
b 2
2
6．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
装…………○……※※要※※在※※装※※订※※装…………○……A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 8．不等式x 2−2x +1>0的解集为 ( )
A ．R
B ．{x|x ∈R ，且x ≠1}
C ．{x|x >1}
D ．{x|x <1} 9．当x >3时，函数y =x +
1x−3
的最小值为 ( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．设变量x,y 满足{x +y ≤2
x −y ≤0x ≥−2 ，则z =x +2y 的最大值为 ( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 11．双曲线x 2
4−
y 29
=1的渐近线方程为 ( )
A ．4x ±9y =0
B ．9x ±4y =0
C ．2x ±3y =0
D ．3x ±2y =0 12．已知向量a ⃗=(1,2,3),b ⃗⃗=(1,1,1)，|a ⃗+b ⃗⃗|= A ．25 B ．29 C ．5 D ．√29
13．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别为棱AB,CC 1 的中点，则直线EF 与BD 1所成角的余弦值为 ( )
A ．−2
3 B ．−
√2
3
C ．2
3
D ．√23
14．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．1
3 B ．1
2 C ．2
3
D ．3
4
○…………外……○…………内……第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
15．不等式x−1
x−2<0解集为________.
16．在等差数列{a n }中，已知a 5=4，则a 1+a 2+⋯+a 9=______.
17．已知向量a ⃗=(1,0,−1),b ⃗⃗=(0,1,−1)，n ⃗⃗=(x,y,1),n ⃗⃗⊥a ⃗,n ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则n ⃗⃗=_______ 18．已知点P 是抛物线y =x 2上到直线2x −y −4=0的距离最短的点，则点P 的坐标为_________. 三、解答题
19．已知在等差数列{a n }中，a 1=25，S 17=S 9. (1)求公差d 及通项公式a n ; (2)求前n 和公式S n 及S n 的最大值. 20．已知f(x)=|x −1|+|x −3| （1）解不等式f(x)≤6；
（2）作出函数f(x)的图象，若f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围. 21．已知：双曲线C: x 2
16−
y 29
=1.
（1）求双曲线C 的焦点坐标、顶点坐标、离心率；
（2）若一条双曲线与已知双曲线C 有相同的渐近线，且经过点A(2√3,−3)，求该双曲线的方程.
22．如下图所示，在四棱锥S −OABC 中，SO ⊥底面四边形OABC ，四边形OABC 是直角梯形，且∠COA =∠OAB =90°，OA =OS =AB =1,OC =4，点M 是棱SB 的中点，N 是OC 上的点，且ON:NC =1:3.
……○…………线…题※※
……○…………线…(1)求异面直线MN 与BC 所成的角的余弦值； (2)求MN 与平面SBC 所成的角的正弦值． 23．已知椭圆E:
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)且与过焦点的直线x +y −1=0相交于A,B 两点，
C 是AB 的中点， OC 的斜率为12
.
（1）求椭圆E 的方程； （2）求△OAB 的面积.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
表示出a n+1−a n，从差值的正负来判断即可。

【详解】
∵a n+1−a n=a1q n−a1q n−1=a1q n−1(q−1)无法判断正负
∴a n+1与a n的大小无法比较，
故选：D。

【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式及数列的增减性判断。

2．B
【解析】
试题分析：由同向不等式的相加性可知a+c>b+d∴a−b>d−c，由a>b可得a−c> b−c，由c>d∴−c<−d∴a−c<a−d，因此A,C,D正确
考点：不等式性质
3．C
【解析】
【分析】
由全称命题的否定直接写出即可。

【详解】
命题p:∀x∈R，x2−x+1
4≥0的否定¬p为：∃x∈R,x2−x+1
4
<0
故选：C
【点睛】
本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题。

4．D
【解析】
【分析】
由抛物线x2=2y的准线方程即可求解。

【详解】
由抛物线x 2=2y 方程得：2p =2。

所以p 2
=1
2
，
∴抛物线x 2=2y 的准线方程为y =−1
2
故选：D 【点睛】
本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题。

5．D 【解析】 【分析】 由基本不等式得a+b 2
≥√ab ，由(
a+b 2
)2≤
a 2+
b 2
2
即可判断三个数的大小关系。

【详解】 ∵
a+b 2
≥√ab ，又(
a+b 2
)2=a 2+2ab+b 2
4
≤
a 2+a 2+
b 2+b 2
4
=
a 2+
b 2
2
，
∴ √ab ≤a+b 2
≤√
a 2+
b 2
2
故选：D
【点睛】
本题主要考查了基本不等式及等价转化思想，属于基础题。

6．B 【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以
12323a a a a ++=，
解得24a =，由题意得1313812a a a a +=⎧⎨=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或13
6
2a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数
列，所以
132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质． 7．A
【解析】分析：由等比数列的性质求解较方便．
详解：∵{a n }是等比数列，∴a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6,a 7+a 8也是等比数列，
∴a 7+a 8=40×(60
40
)3=135．
故选A ．
点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算a 7+a 8，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列{a n }是等比数列，则{a nk−k+1+a nk−k+2+⋯+a nk }（k 为常数）仍是等比数列． 8．B 【解析】 【分析】
由x 2−2x +1>0变形为(x −1)2>0即可求得不等式解集 【详解】
∵ x 2−2x +1>0，∴ (x −1)2>0，∴ x ≠1
所以不等式x 2−2x +1>0的解集为：{x|x ∈R ，且x ≠1} 故选：B 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式得解法，属于基础题 9．C 【解析】 【分析】 对y =x +1x−3
变形为y =(x −3)+
1x−3
+3，利用基本不等式求解。

【详解】
∵ y =x +1
x−3可化为y =(x −3)+1
x−3+3， 又y =(x −3)+
1x−3+3≥2√(x −3)⋅1
(
x−3)
+3=5
当且仅当x =4时，y min =5 故选：C 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，注意一正二定三相等，属于基础题。

10．C 【解析】
作出{x+y≤2
x−y≤0
x≥−2
表示的平面区域，求出区域的顶点坐标，分别代入z=x+2y即可求得z最大
值。

【详解】
作出{x+y≤2
x−y≤0
x≥−2
表示的平面区域，如图：
将A,B,C三点坐标分别代入z得：z1=1+2×1=3，z2=−2+2×4=6，z3=−2+ 2×(−2)=−6，所以z max=6，
故选：C
【点睛】
本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。

11．D
【解析】
【分析】
由双曲线x 2
4−y2
9
=1的渐近线方程公式直接求解。

【详解】
∵双曲线x2
4−y2
9
=1的渐近线方程为：y=±b
a
x=±3
2
x
∴双曲线x2
4−y2
9
=1的渐近线方程为：3x±2y=0。

故选：D。

【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。

【解析】 【分析】
求出a ⃗+b ⃗⃗的坐标，利用向量的模的公式求解即可。

【详解】
∵ a ⃗=(1,2,3),b ⃗⃗=(1,1,1)，∴ a ⃗+b ⃗⃗=(2,3,4) ∴ |a ⃗+b ⃗⃗|= √22+32+42=√29 故选：D 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算及模的计算，属于基础题。

13．D 【解析】 【分析】
如图建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D 1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解。

【详解】
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
则E (2,1,0)，F (0,2,1),B (2,2,0)，D 1(0,0,2) ∴ EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2),
∴直线EF 与BD 1所成角的余弦值为：|cosθ|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|=|√(−2)2+12+12√(−2)2+(−2)2+2
2
|=√2
3
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题。

14．B
【解析】试题分析：不妨设直线l:x
c +y
b =1，即bx +cy −b
c =0⇒椭圆中心到l 的距离
√b2+c2=2b
4
⇒e=c
a =1
2
，故选B.
考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
不妨设直线l:x
c +y
b
=1，即bx+cy−bc=0⇒椭圆中心到l的距离
√b2+c2
=2b
4
⇒e=c
a
=1
2
，
利用方程思想和数形结合思想建立方程
√b2+c2=2b
4
是本题的关键节点.
视频
15．{x|1<x<2}
【解析】
【分析】
不等式x−1
x−2
<0等价于(x−1)(x−2)<0，从而求解。

【详解】
不等式x−1
x−2
<0等价于(x−1)(x−2)<0，
∴原不等式得解集为：{x|1<x<2}
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的解法，考查了转化思想，属于基础题。

16．36
【解析】
【分析】
整理得：a1+a2+⋯+a9=9a1+9×8
2
d=9(a1+4d)，利用a5=4即可求解。

【详解】
∵a1+a2+⋯+a9=9a1+9×8
2
d=9(a1+4d)，又a5=a1+4d=4
∴a1+a2+⋯+a9=9×4=36。

【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的通项公式，属于基础题。

17．n⃗⃗=(1,1,1)
【解析】 【分析】
由n ⃗⃗⊥a ⃗列方程x −1=0，由n ⃗⃗⊥b ⃗⃗列方程y −1=0，问题得解。

【详解】
∵ a ⃗=(1,0,−1),b ⃗⃗=(0,1,−1)，n ⃗⃗=(x,y,1),n ⃗⃗⊥a ⃗,n ⃗⃗⊥b ⃗⃗ ∴ {1×x +0×y +(−1)×1=00×x +1×y +(−1)×1=0 ,解得：{x =1y =1
，所以n ⃗⃗=(1,1,1)
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的坐标表示，计算比较简单，属于基础题。

18．(1,1) 【解析】 【分析】
设P (x 0,y 0)是抛物线y =x 2上的点，则点P (x 0,y 0)到直线2x −y −4=0的距离为：d =
002√5
，求使得2x 0−x 02−4最大的x 0即可解决问题。

【详解】
设P (x 0,y 0)是抛物线y =x 2上的点，
则点P (x 0,y 0)到直线2x −y −4=0的距离为：d =00√22+(−1)2
=
002√5
，
又2x 0−x 02−4=−(x 0−1)2−3≤−3， ∴ d =
002√5
≥
√5
，当且仅当x 0=1时，等号成立。

此时y 0=(x 0)2=1
∴ P(1,1) 【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离公式，还考查了转化思想及二次函数性质，计算量一般，属于中档题。

19．（1） d =−2,a n =27−2n (2) S n =−n 2+26n , (S n )max =169 【解析】 【分析】
（1）由a 1=25，S 17=S 9列方程组求解d ，再利用等差数列的通项公式求解。

（2）利用等差数列求和公式表示出S n ，再利用二次函数性质求解。

【详解】
（1）∵S17=S9.
∴17a1+17×16
2d=9a1+9×8
2
d，即：2a1=−25d，又a1=25
∴d=−2，a n=a1+(n−1)d=27−2n
（2）∵S n=na1+n(n−1)
2
d=−n2+26n，
当n=13时，(S n)max=−132+26×13=169
【点睛】
（1）主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前n和公式，属于基础题。

（2）主要考查了等差数列的前n和公式及二次函数的性质，属于基础题。

20．(1）x∈[−1,5](2)a∈(−∞,2]
【解析】
【分析】
（1）对x的范围分类，去绝对值，再解不等式组即可
（2）分段作出函数f(x)的图象，结合图像求解。

【详解】
（1）f(x)={4−2x,x<1
2,1≤x≤3
2x−4,x>3
，不等式f(x)≤6可化为：{
x<1
4−2x≤6或{
1≤x≤3
2≤6或
{x>3
2x−4≤6，解得：−1≤a<1或1≤x≤3或3<a≤5，综上：−1≤x≤5
（2）作出f(x)={4−2x,x<1
2,1≤x≤3
2x−4,x>3
的图像如下图：
要使得f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，即：a≤2
【点睛】
（1）考查了绝对值不等式得解法—去绝对值，转化成一元一次不等式组求解即可。

（2）考查了恒成立问题，还考查了转化思想，把问题转化成函数f(x)的最值问题解决即可。

21．(1)a =4,b =3,c =5，焦点(±5,0)，顶点(±4,0)，离心率e =5
4；(2)4y 29
−
x 24
=1
【解析】 【分析】
（1）由双曲线C: x 2
16−
y 29
=1可得：a =4,b =3，从而求得：c =5，问题得解。

（2）设所求双曲线的方程为：x 216
−
y 29
= λ，将A(2√3,−3)代入即可求得λ，问题得解。

【详解】 ∵双曲线C:
x 216
−
y 29
=1，所以a =4,b =3，∴ c =√a 2+b 2=5，
∴双曲线C 的焦点坐标(−5,0)，(5,0)，顶点坐标(−4,0)，(4,0)，离心率e =c a
=5
4。

（2）设所求双曲线的方程为：x 216−y 29
= λ，
将A(2√3,−3)代入上式得：(2√3)2
16
−
(−3)29
=λ，解得：λ=−1
4
∴所求双曲线的方程为：4y 29−
x 24
=1。

【点睛】
（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题。

（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：x 2a 2−y 2
b 2=1 (a >0,b >0) 则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：x 2
a 2−y 2
b 2=λ，属于基础题。

22．（1）
2√3015； （2）√6
3
. 【解析】 【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求出M,N,B,C,S 各点的坐标，从而求出MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式求解。

（2）求出平面SAB 的法向量n ⃗⃗=(1,0,1)，求出MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗⃗=(1,0,1)的夹角余弦值，从而求出MN 与平面SBC 所成的角的正弦值。

【详解】
(1)建系以o 为原点，如图，S(0,0,1),B(1,1,0),M(12,12,1
2),N(0,1,0),C(0,4,0)，
所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−12
),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3,0) cosθ=|cos〈MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |
|=2√30
15 (2）A(1,0,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设n ⃗⃗=(x,y,z)是平面SAB 的法向量， 则{n ⃗⃗⋅SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗⃗⋅AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即{x −z =0y =0 ，取n ⃗⃗=(1,0,1)
cos〈n ⃗⃗,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√6
3
所以MN 与平面SBC 所成的角的正弦值√6
3. 【点睛】
（1）主要考查了空间向量的应用---空间直线夹角问题转化成空间向量夹角问题，还考查了向量的坐标运算。

（2）主要考查了空间向量的应用---空间线面角问题转化成向量夹角问题求解，还考查了向量的坐标运算。

23．（1）x 2
2+y 2=1； （2）2
3. 【解析】 【分析】
（1）由直线x +y −1=0过焦点求得：c =1，联立直线与椭圆方程得：(a 2+b 2)x 2−2a 2x +a 2−a 2b 2=0，表示出x 1+x 2=2a 2
a 2+
b 2，再由C 是AB 的中点， OC 的斜率为1
2列方程即可解决问题。

（2）联立直线与椭圆方程，求得x 1=0,x 2=4
3.从而求得A(4
3,−1
3),B(0,1)，再利用两点距离公式求得|AB|=4
3√2，求出点O 到直线x +y −1=0的距离d =√2
，利用三角形面积公式求
解。

【详解】
(1)因直线x +y −1=0过椭圆E:x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的焦点，
所以，c =1，∴a 2−b 2=1又由x +y −1=0得，y =1−x 代入椭圆方程得
x 2
a 2
+(1−x)2b 2
=1，即(a 2+b 2)x 2−2a 2x +a 2−a 2b 2=0
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 0,y 0)，则x 1+x 2=2a 2a 2+b 2
，所以
x 0=
x 1+x 22
=a 2
a 2+
b 2,y 0=1−x 0=b 2
a 2+
b 2，而k OC =1
2，∴b 2
a 2=1
2
∴a 2=2,b 2
=1，所以椭圆E:
x 22
+y 2=1
(2）联立{
x +y −1=0
x 22
+y 2
=1
消去y 得3x 2−4x =0，解得x 1=0,x 2=43
.
∴y 1=1,y 2=−1
3，∴B(4
3,−1
3),A(0,1), ∴|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4
3√2
又点O 到直线x +y −1=0的距离d =√
2
，所以S ΔOMN =12|MN|d =2
3. 【点睛】
（1）本题主要考查了设而不求方法，考查了方程思想，两点斜率公式及韦达定理，计算量一般，属于中档题。

（2）考查了方程思想，两点距离公式及三角形面积公式，属于中档题。