07高阶偏导数59035
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二阶偏导数
′ 从而, 在任何点 ( x, y ), 有u ′′ = u ′yx xy
即 1 + b sin x ≡ a.
比较知 a = 1, b = 0.
本题也可 :由u ′ = x 2 + ay, 积分(以x为积分变量), x
1 3 得 u = x + axy + c( y ). 3 从而 u ′y = ax + c′( y ).
′′ 同理 f yx ( x 0 , y 0 )
1 [ f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 +∆x , y0) = lim lim ∆x→0 ∆y→0 ∆x∆y
– f (x0, y0 +∆y ) + f (x0 , y0)]
证: 分别给 x, y 以改变量∆x, ∆y , 使(x0 +∆x , y0 +∆y),
从而,
2x ∂z = z ∂x e − sec 2 z
2x ∂z = z ∂x e − sec 2 z
(2)上式两端对 x 求偏导. 此时右边的z看作 x 的的函数. y要看作常数. 有
2(e z − sec 2 z ) − 2 x(e z ⋅ z′ − 2 sec z ⋅ sec z ⋅ tgz ⋅ z ′ ) x x z′′ = xx z 2 2 (e − sec z ) 2(e − sec z ) − 2 x(e − 2 sec z ⋅ tgz ) z ′ x = (e z − sec 2 z ) 2
∂w = f1′ ⋅ 1 + f 2′ ⋅ yz ∂x
= f1′( x + y + z , xyz ) + yzf 2′ ( x + y + z , xyz ).
偏导数与高阶偏导数
x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
6
y2,
2z y 2
2x3
18xy;
2z xy 6x2 y 9 y2 1,
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
数二 图阶 形混
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴
的斜率.
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
解
z 2x 3y ; x
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2
3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
2r x 2
2r y 2
2r z 2
z. r
七、设
f
( x,
y)
x
2
arctan
y x
y2
arctan
x y
,
xy
0
0, xy 0
求 f x , f xy .
偏导数与高阶偏导数.ppt
解
z 2x 3y ; x
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2
3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
高阶导数与高阶偏导数
高阶导数可以描述曲线的弯 曲程度，例如二阶导数表示 曲线的凹凸程度，三阶导数 表示曲线的拐点变化趋势。
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词
07高阶偏导数5903546页PPT
第七节 高阶偏导数
多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似.
一般说来, 在区域 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数
z , z x y z , z x y
仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数
仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数
的二阶偏导数.
依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数.
能熟 12. 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 13. 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的
无约 14. 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运
用拉 15. 格朗日乘数法求条件极值。 16. 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解
3
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y 2 x2
y
2z 3z
2z
xxy xyx
xy yx2zyx3yz2
例 二元函 z数 f(x,y)的三阶偏导数：
4
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y 2 x2
y
2z
xy2zxy3zx2
yx 2z 3z yyx yxy
二元函 z数 f(x,y)的三阶偏共导23数 = 8 ： 项.
2
x
z
2
z 2 z y x x y
x
z y
y
2z x
y
yz
2
y
z
2
高阶偏导数还可使用下列记号
2z x2
fxx
f11
2z xy
fxy
f12
2z y2
f yy
f22
2z yx
f yx
f21
高等数学：第五讲高阶偏导数
2z xy
fxy (x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
混合偏导数
混合偏导数
高阶偏导数
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z f (x, y) 关于 x 的三阶偏导数为
3z 2z x3 x ( x2 )
z f (x, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数，再关于 y 的一阶偏导数为
1 x
2z x 1 xy xy y
3z x2y 0
3z xy 2
-
1 y2
内容小结
高阶偏导数
二阶偏导数
( z ) x x
2z x 2
fxx(x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
பைடு நூலகம்
y
( z ) x
2z xy
f xy (x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
谢谢
例题1中，两个二阶混合偏导数相等，即 2 z 2 z . xy yx
这是由于多项式函数在其定义区域内都是连续的函数.
例题2：
设
z x ln(xy),
求
2z , 2z , 3z , 3z . x2 xy x2y xy2
解
z ln( xy) x y ln(xy) 1
x
xy
2z x 2
y xy
y
n1z ( xn1
)
nz x n 1y
二阶及二阶以上的偏导数统称为函数的高阶偏导数.
z ，z x y
高阶偏导数与高阶全微分
2 f2 y2 f11 4xyf12 4x2 f22 ,
2z xy
f1
y
f11
u y
f
22
v y
2
x
fy[ xf11 2 yf12 ] 2x[ xf21 2 yf22]
f1 xyf11 2( x2 y2 ) f12 4xyf22 .
例3 设由方程 x 2 y z e x yz 确定的隐函数 为 z z(x, y), 求 2z .
2
,
x 1 x 2 y z 1 x 2 y z
z x 2 y z 2 1
1
.
y 1 x 2 y z
1 x2y z
从而
2z xy
(1
2 2 z y x2y
z)2
2( x 2 y z) (1 x 2 y z)3
.
二、高阶全微分
考虑 z f (x, y) 的全微分 dz f x( x, y)dx f y( x, y)dy
xy 解 方程 x 2 y z ex yz 两边求全微分, 得
dx 2dy dz ex yz (dx dy dz)
因此
( x 2 y z)(dx dy dz)
dz x 2 y z 1dx x 2 y z 2dy 1 x2y z 1 x2y z
由此可得
z x 2 y z 1 1
[1
2x3 y ( xy)2
]2
d2z zxxdx2 2zxydxdy zyydy2
[1
1 ( xy)2
]2
[2
xy 3dx 2
2(1
x2
y2
)dxdy
2
x3
ydy
2
].
三、二元函数的泰勒公式
偏导数与高阶导数
解
将点(1,3)代入上式，得
可得
所以
在求定点处的导数时，
先代入固定变量取值，
然后再求导，可简化求导计算。
或
2.偏导数的计算
例4 设
求
解
所以
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算
例 求函数 的偏导数.
对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
曲线
即
fx (x0, y0),
第二节 偏导数与高阶偏导数
4.偏导数与连续的关系
对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
连续
解
一元函数可导与连续的关系：
可导
由偏导数定义
例
所以，函数在(0, 0) 处对变量 x，y 的偏导数存在.
让 沿直线 而趋于（0,0），
这里 为常数，
当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为
当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率
该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，
Q表示产量.
别表示投入的劳动力数量和资本数量，
分
数为
引例
对另一个变量的变化率.
第二节 偏导数与高阶偏导数
此时沿着平行坐标轴的方向
偏导数存在 连续.
一元函数中在某点可导 连续，
可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。
二、高阶偏导数
设函数 z = f (x, y) 在区域 D内有偏导函数 与
则称此极限值为z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的
记为
一元函数导数
如果极限存在,
函数有增量
相应
(1)定义
当y 固定在y0 , 而 x 在x0 处有增量△x时,
将点(1,3)代入上式，得
可得
所以
在求定点处的导数时，
先代入固定变量取值，
然后再求导，可简化求导计算。
或
2.偏导数的计算
例4 设
求
解
所以
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算
例 求函数 的偏导数.
对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
曲线
即
fx (x0, y0),
第二节 偏导数与高阶偏导数
4.偏导数与连续的关系
对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
连续
解
一元函数可导与连续的关系：
可导
由偏导数定义
例
所以，函数在(0, 0) 处对变量 x，y 的偏导数存在.
让 沿直线 而趋于（0,0），
这里 为常数，
当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为
当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率
该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，
Q表示产量.
别表示投入的劳动力数量和资本数量，
分
数为
引例
对另一个变量的变化率.
第二节 偏导数与高阶偏导数
此时沿着平行坐标轴的方向
偏导数存在 连续.
一元函数中在某点可导 连续，
可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。
二、高阶偏导数
设函数 z = f (x, y) 在区域 D内有偏导函数 与
则称此极限值为z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的
记为
一元函数导数
如果极限存在,
函数有增量
相应
(1)定义
当y 固定在y0 , 而 x 在x0 处有增量△x时,
偏导数的定义及其计算法-PPT
y) lim
x0
f
(xx, y) x
f
(x,
y)
.
❖偏导函数的符号
z , x
f , x
zx ,
或 fx(x, y) . >>>
❖偏导函数
fx
(x0,
y0)
lim
x0
f
(x0
x,
y0) x
f
(x0,
y0)
.
fx(x,
y)
lim
x0
f
(xx, y) x
f
(x,
y)
.
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数uf(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为
二、高阶偏导数
❖二阶偏导数
如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数.
函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个
x
(
z x
)
2z x2
f
xx
(x,
y)
,
y
( z ) x
2z xy
fxy(x,
y)
,
x
(z ) y
§8.2 偏 导 数
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
设函数zf(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限
lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)
x0
x
存在, 则称此极限为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
偏导数的定义及其计算法-PPT
ln x
例4例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数
解 解 r
x
x r
y
y
x x2 y2 z2 r y x2 y2 z2 r
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)
p V
V T
T p
1
证 证 因为 p RT V
p V
RT V2
V RT V R p T p
z x
x x0 y y0
f x
x x0 y y0
zx xx0 或 fx(x0 y0)
y y0
类似地 函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数 >>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f x (x0,
y0)
lim
x0
f
(x0 x, y0) x
f (x0, y0)
❖偏导数的符号
z x
在区域 D 内连续
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例7例 7 验证函数 z ln
x2 y2
满足方程 2z x2
2z y2
0
证 证 因为 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2) 所以 2
z x
x2
x
y2
z y
y x2 y2
2z x2
(x2 y2) x2x (x2 y2)2
证明函数 u
1 r
满足方程
2u x2
2u y2
2u z2
0
其中 r x2 y2 z2
证 证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
2u x2
1 r3
第7讲高阶偏导数
例
例
二元函数 z f ( x, y ) 的三阶偏导数：
3
2z 2z yx xy 2z y 2
2z x 2
x y
2z xy
2 z 3 z x xy xyx 2 z 3 z y xy xy 2
z x
x
y
2
z y
x
y
z z 2 x x x
z z y x xy
2
2 z z x y yx
2 z z 2 y y y
(u C 2 )
同理可得
2 2u u 2u u 2 2 2 2 x
2
将上述偏导数带入原方程, 得到
2u 0.
( x y) z f12 xyz2 f 22 z f 2 f11
例
例
2 z 设 e z xyz 0, 求 2 . x
解
这是求隐函数的高阶偏导数.
令 F ( x, y, z ) e z xyz , 则
F yz yz z x z z F e xy e xy x z
的二阶偏导数.
依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数.
一般地, 若函数 f (X) 的 m－1 阶偏导数仍可偏
导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数.
二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其 中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数.
例
例
二元函数 z f ( x, y ) 的二阶偏导数：
记为 f ( X ) C k () , k 0, 1, 2, 。
第7讲高阶偏导数
两个混合偏导数相等
这里的两个混合偏导数均连续
例
例
xy(x2 y2 )
设
f
(
x,
y)
x2 y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
求 f xy(0, 0) , f yx(0, 0) .
解 需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数:
fx(0, 0) lim f (x, 0) f (0, 0) 0
xy
解 u
x
f1(
x
y x
z)
f
2
( xyz x
)
f1 yz f2
2u xy
y
(
f1
yz
f 2)
此时, 2u 2u . yx xy
f11
(x y y
z)
f12
( xyz ) y
z
f 2
x0
x
f y(0, 0)
lim
y 0
f
(0, y) y
f
(0, 0)
0
f xy (0, 0) lim y0
fx(0, y) y
fx(0, 0)
lim y y0 y
1
f yx(0, 0) lim f y(x, 0) f y(0, 0) lim x 1
yz
f21
(x y y
z)
f22
( xyz)
y
f11 (x y)z f12 xyz2 f22 z f 2
这里的两个混合偏导数均连续
例
例
xy(x2 y2 )
设
f
(
x,
y)
x2 y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
求 f xy(0, 0) , f yx(0, 0) .
解 需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数:
fx(0, 0) lim f (x, 0) f (0, 0) 0
xy
解 u
x
f1(
x
y x
z)
f
2
( xyz x
)
f1 yz f2
2u xy
y
(
f1
yz
f 2)
此时, 2u 2u . yx xy
f11
(x y y
z)
f12
( xyz ) y
z
f 2
x0
x
f y(0, 0)
lim
y 0
f
(0, y) y
f
(0, 0)
0
f xy (0, 0) lim y0
fx(0, y) y
fx(0, 0)
lim y y0 y
1
f yx(0, 0) lim f y(x, 0) f y(0, 0) lim x 1
yz
f21
(x y y
z)
f22
( xyz)
y
f11 (x y)z f12 xyz2 f22 z f 2
二阶偏导数
k
例2. 设u = u ( x, y )在任何点 ( x, y )处的全微分
du = ( x + ay )dx + ( x + y + b sin x )dy. 求常数 a, b.
2
u ′ = x 2 + ay, u ′y = x + y + b sin x. 解: x
知u ′ , u ′y 均可导, 有 x ′ u ′′ = a, (连续), u ′yx = 1 + b sin x, (连续). xy
g ( x , y + ∆y ) − g ( x , y ) g ′y ( x, y ) = lim , ∆y → 0 ∆y
′′ f xy ( x , y ) = [ f x′ ( x , y )
′ ]
y
f x′ ( x, y + ∆y ) − f x′ ( x, y ) = lim , ∆y →0 ∆y
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)∈Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)∈Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都 可写成
∂ f , 或, f x(mky)k −m ∂x m ∂y k −m
2222yxyxyx?????????2yxabybxa????????????????????2222222axxaxa???????????????????????????22222222ddd2dzd则yyzyxyxzxxzzyyxx2dd??????????zyyyxyxxx???????????????2222222ddd2d
(x 0 +∆x , y0)及 (x0 , y0 +∆y)均在U(X0)内. 记 A = [ f (x0 +∆x , y0 +∆y) – f (x0 +∆x , y0)] – [ f (x0, y0 +∆y) – f (x0 , y0)]
例2. 设u = u ( x, y )在任何点 ( x, y )处的全微分
du = ( x + ay )dx + ( x + y + b sin x )dy. 求常数 a, b.
2
u ′ = x 2 + ay, u ′y = x + y + b sin x. 解: x
知u ′ , u ′y 均可导, 有 x ′ u ′′ = a, (连续), u ′yx = 1 + b sin x, (连续). xy
g ( x , y + ∆y ) − g ( x , y ) g ′y ( x, y ) = lim , ∆y → 0 ∆y
′′ f xy ( x , y ) = [ f x′ ( x , y )
′ ]
y
f x′ ( x, y + ∆y ) − f x′ ( x, y ) = lim , ∆y →0 ∆y
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)∈Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)∈Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都 可写成
∂ f , 或, f x(mky)k −m ∂x m ∂y k −m
2222yxyxyx?????????2yxabybxa????????????????????2222222axxaxa???????????????????????????22222222ddd2dzd则yyzyxyxzxxzzyyxx2dd??????????zyyyxyxxx???????????????2222222ddd2d
(x 0 +∆x , y0)及 (x0 , y0 +∆y)均在U(X0)内. 记 A = [ f (x0 +∆x , y0 +∆y) – f (x0 +∆x , y0)] – [ f (x0, y0 +∆y) – f (x0 , y0)]
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3
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y 2 x2
y
2z 3z
2z
xxy xyx
xy yx2zyx3yz2
例 二元函 z数 f(x,y)的三阶偏导数：
4
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y 2 x2
y
2z
xy2zxy3zx2
yx 2z 3z yyx yxy
二元函 z数 f(x,y)的三阶偏共导23数 = 8 ： 项.
能熟 12. 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 13. 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的
无约 14. 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运
用拉 15. 格朗日乘数法求条件极值。 16. 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解
6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并
则必有
2
f (x0, xy
y0)
2
f (x0, yx
y0)
.
废话! 求出偏导数 才能判断连续性, 这时 一眼就可看出混合偏导 数是否相等了, 还要定 理干什么.
有些函数不必 求出其导数,就可知 道它的导函数是否 连续. 懂吗！
证 在U(x(0,y0))内考虑式子
A f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 x , y 0 )
例
求 zx3y23x3yx y1的二阶偏导数.
解
z
x z
x
x
y y
y
二阶混合偏导数： 2 z (3x2y23y3y)6x2y9y21 x y y 2 z (2x3y9xy2x)6x2y9y21 y x x
发现两个混合偏导数相等
一般性？
观察
这里的两个混合偏导数均连续
例
设
xy(x2y2) f(x,y) x2y2 ,
f( x 0 ,y 0 y ) f( x 0 ,y 0 )
令
( x ) f( x ,y 0 y ) f( x ,y 0 )
则
A ( x 0 x )( x 0 )
由二阶混续 合性 偏可 导 (知 x)数 在 U ， 的 x0 (,y (0 函 )连 内 ) 数
连续、可导, 由拉格朗日中值定理得
A ( x 0 1 x ) x , ( 0 1 1 . )
即
A [ f x ( x 0 1 x ,y 0 y ) f x ( x 0 1 x ,y 0 ) x ]
y y
1
fyx(0,
0)
limfy(x,0)fy(0,0)
x 0
x
lim
x0
x x
1
在该 ,fx (0 y,例 0 )fy (中 0 x,0 ), 这说明只有在一定的条件下求函数 的高阶偏导数才与求导顺序无关.
定理
若 zf(x,y)的二阶混合偏导数在
U(x(0, y0))内存在且在点 (x0, y0) 处连续,
x2y2 0
0,
x2y2 0
求 fxy(0,0), fyx(0,0).
解 需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数:
fx(0,
0)
f(x,0)f(0,0)
lim
0
x 0
x
fy(0,
0)
limf(0,y)f(0,0)0
y0
y
不相等
fxy(0,
பைடு நூலகம்0)
limfx(0,y)fx(0,0)
y0
y
lim
y0
3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。
4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。
5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系。
第七节 高阶偏导数
多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似.
一般说来, 在区域 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数
z , z x y z , z x y
仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数
仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数
的二阶偏导数.
依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数.
1
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y 2 x2
y
2z
x
x2z2
3z x3
x2
2z
yx2
x23zy
例 二元函 z数 f(x,y)的三阶偏导数：
2
2z 2z 2z 2z
x
yx xy y 2 x2
y
2z
xy2z2
3z y2x
y2
y
2z y2
3z y3
例 二元函 z数 f(x,y)的三阶偏导数：
07高阶偏导数59035
高等院校非数学类本科数学课程
大学数学
（三）
多元微积分学
第一章 多元函数微分学
教案编写：曾 刘金 楚平 中 电子制作：曾 刘金 楚平 中
第一章 多元函数微分学
本章学习要求：
1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。
2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。
一般地, 若函数 f (X) 的 m－1 阶偏导数仍可偏 导,
则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数.
二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其 中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数.
例 二元函 z数 f(x,y)的二阶偏导数：
z
x x2xx z
x
x
y y2 yy y
y
z x x
2
x
z
2
z 2 z y x x y
x
z y
y
2z x
y
yz
2
y
z
2
高阶偏导数还可使用下列记号
2z x2
fxx
f11
2z xy
fxy
f12
2z y2
f yy
f22
2z yx
f yx
f21
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
例 二元函 z数 f(x,y)的三阶偏导数：
发现求高阶导数与求导顺序有关.
例
求 zx3y23x3yx y1的二阶偏导数.
解 先求一阶偏导数： z3x2y23y3y, x
再求二阶偏导数： z x
z2x3y9xy2x, y
x z
x
y y
y
2z x2
z (3x2y23y3y) 6xy2 x x x
2z y2
y
z y
(2x3y9xy2x)2x3 18xy y