初一下数学竞赛辅导资料1

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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。

秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。

秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。

清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。

秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。

2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。

聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。

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初中数学竞赛辅导资料倍数约数甲内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A 叫做B的倍数，B叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。

0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。

7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。

乙例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。

解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，32322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数,m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。

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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料一元一次方程解的讨论甲内容提要1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。

2，关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=ab；当a=0且b ≠0时，无解；当a=0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a 与4同号，即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。

例2 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。

②化为最简方程kx=k －6，当k ≠0时x=k k 6 =1－k6，只要k 能整除6, 即k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。

浙教版七年级下数学竞赛辅导(基础+竞赛)

浙教版七年级下数学竞赛辅导（基础+竞赛）一、基础部分（整式的乘除，因式分解）分解因式：1．228a a -- 2．22(2)(22)1a a a a --++ 说出下列因式分解不正确的理由： 1．2412(4)12x x x x --=-- 2．42216(4)(4)a a a -=+-3．216(2)a a -=+4．32(1)x x x x -=- 5．22111111()()a b a b a b-=+- 下列等式都成立吗？是不是因式分解都正确？为什么？1．22()()492323a b a b a b -=+- 2．221(32)(32)4936a b a b a b -=+- 3．22133()()49922a b a b a b -=++ 4．42242222()a a b b a b -+=- 5．422422[()()]a a b b a b a b -+=-+ 6．222112()x x x x-+=-………………………………是完全平方式吗？原则：因式分解时，只容许系数不同，在括号内若有整数的公因数，必须提到括号外面，有人说，在因式分解的最后结果中，没有中括号，你认同吗？练习：1．因式分解：32a ab -= ；2(2)2a b a b --+= ；22(32)(23)a b a b +-+= ．2．若22(3)16x m x +-+是一个关于x 的完全平方式，求m 的值．3．若0m n +=，则多项式3223m m n mn n --+的值为． 4．已知13,28a b ab +==，求多项式32232a b a b ab ++的值．5．已知2226100a b a b +--+=，则22a b -= ． 6．若221104a a ab b -+-+=，则22a b -= ． 7．证明：（1）若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定是8的倍数；（2）若n 为正整数，3n n -一定是6的倍数；（3）四个连续的正整数的积加上1一定是一个完全平方数．二、竞赛部分1. 已知2,5,20nnna b c ===，探究,,a b c 之间的关系，并说明理由． 2. 若,m n 为整数，且有22()()33mx a x a x nax a +-=+-,求,m n 的值． 3. 已知8xy =满足2256x y xy x y --+=,求22x y +的值． 4.已知2(2)2410m n m n +--+=，则2017(2)m n += ．5.把多项式2164x +加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，则符合条件的单项式是．6.正整数n 满足211252523000n n n n +-++⨯-⨯=，则n = ．竞赛试题一．选择题（每小题5分，共30分）1．运动会开幕式上准备了一个彩旗方阵（横、竖排数一样），由于服装不够，只好减少19人，但仍保持方阵，那么彩旗队原来计划人数为--------------------------------------------- ( ) A ．121 B ．100 C ．81 D ．642．设实数a,b,c 满足a+b+c =0，abc =1，则a,b,c 中正数的个数是---------------------------（）A ．3B ．2C ．1D ．03．设10002,9981002,9991001=+=+=c b a ，则a,b,c 之间的大小关系是-（）A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>c>aD ．c>a>b 4．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12 之间的数量关系保持不变的是----------（） A ．212∠=∠+∠A B ．)21(23∠+∠=∠A C ．3212∠=∠+∠AD ．∠=∠+∠A 125．如图是某校各年级学生体育达标情况的两张统计图，该校三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三位同学看了两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高．”乙说：“八年级共有264名学生．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”说法正确的是-----（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．都对 6．一根足够长的铁丝，紧贴地球赤道形成一个圆圈，如果把这个铁丝再均匀放长10米，猜想在地球和铁丝之间形成的缝隙能够通过下列哪些动物---------------------------------（） ①蚂蚁 ②老鼠 ③猪 ④大象A ．都不能通过B ．只有①C ．①②③D ．①②③④二．填空题（每小题5分，共30分）7．若|m |=m +1，则(4m +1)2018= ．8．如图，OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACD ，设∠A =x °，∠O =y °，则y ，x 之间的关系式为．9．若m 2+m -1=0，则m 3+2m 2+2012= ．10．小明从家到学校要经过一个红绿灯，这个红绿灯其中红灯25秒，黄灯3秒，绿灯32秒，问小明从家出发去学校碰到绿灯的概率是．ODCBA各年级人数分布情况各年级达标人数七年级八年级九年级11九年级30%八年级 33%七年级 37%21DECBA11．甲，乙两人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+.232y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==1,1y x ，乙因抄错C ，解得⎩⎨⎧-==.6,2y x 则A +B +C = ．12．a +b =-1，a 2+b 2=5，则a 3+b 3= ．三．解答题（每小题15分，共60分）13．分解因式：（1）a 4+ a 2+1．（2）a(a+1)(a+2)(a+3)+1．14．解关于x 的方程0123=---x ．15．如图，已知B ,O,C 三点在一条直线上，且OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠1＝∠2．（1）证明：AC ＝BD ；（2）若∠3＝80°，请求出∠4的度数．16．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．如8＝32-12，16＝52-32，24＝72-52，因此8,16,24这三个数都是奇特数．（1）32和2008这两个数是奇特数吗？为什么？（2）奇特数是8的倍数吗？为什么？（3）两个连续偶数的平方差（取正数）是奇特数吗？为什么？4321D OC B A。

七年级数学竞赛同步辅导讲义-下学期专用doc

七年级数学竞赛同步辅导讲义下册专用教育教材研发中心编第一讲整数的一种分类内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。

－9＝5（－2）＋1。

）2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。

例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。

m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。

4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

初中数学竞赛辅导2篇

初中数学竞赛辅导初中数学竞赛辅导第一篇：整数的等式与不等式整数的等式与不等式是数学竞赛中常见的题型，掌握了解决这类题目的方法和技巧，对于提高数学竞赛的成绩非常有帮助。

接下来，我们将介绍一些常见的整数等式与不等式的解法。

一、整数的等式对于整数的等式，学生们需要根据题目的要求将其转化为相应的算式，然后进行解题。

以下是两个常见的例子：例子1：一个整数减去25等于150，求这个整数。

解法：设这个整数为x，根据题意可以得到以下等式：x - 25 = 150将等式两边都加上25，得到：x = 150 + 25 = 175所以，这个整数是175。

例子2：一个整数加上20等于-100，求这个整数。

解法：设这个整数为y，根据题意可以得到以下等式：y + 20 = -100将等式两边都减去20，得到：y = -100 - 20 = -120所以，这个整数是-120。

二、整数的不等式对于整数的不等式，学生们需要通过观察不等式的形式，进行代数运算并求解。

以下是两个常见的例子：例子1：一个整数减去5大于20，求这个整数。

解法：设这个整数为x，根据题意可以得到以下不等式：x - 5 > 20将不等式两边都加上5，得到：x > 25所以，这个整数是大于25的任意整数。

例子2：一个整数加上8小于15，求这个整数。

解法：设这个整数为y，根据题意可以得到以下不等式：y + 8 < 15将不等式两边都减去8，得到：y < 7所以，这个整数是小于7的任意整数。

以上是关于整数的等式与不等式的解题方法，希望对同学们在数学竞赛中的备考有所帮助。

第二篇：平面图形的性质与计算平面图形的性质与计算是数学竞赛中常见的考点，了解平面图形的性质以及掌握计算相关的方法和技巧，对于解决平面几何题目非常重要。

以下是一些常见的平面图形的性质与计算的内容。

一、平面图形的性质1. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

初中数学竞赛辅导材料目录

初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。

祝学习愉快！。

第1讲竞赛辅导[初一下]

第一讲：综合复习一1、有理数(1)、[2006全国初中竞赛第6题]已知a,b,c 为整数，且a+b=2006,c-a=2005，若a<b,则求a+b+c 的最大值。

[有理数混合运算](2)、[全国数学竞赛]设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均分为N ，N,c 的平均分为P ，若a>b>c ，判断M 与P 的大小关系。

[有理数的大小比较](3)、[全国数学竞赛]若a,b,c 是三个任意整数，则2,2,2a c c b b a +++（）[整除问题] A ．都不是整数 B.至少有2个整数 C.至少有1个整数 D.都是整数2、绝对值(1)[初中数学应用能力竞赛]若a,b,c 满足c>0,a<b<0,，且22c b =，化简：-|b|-|a-b|+|a-c|-|b+c|.[化简含绝对值号的代数式](2)、化简：|3x+1|+|2x-1|.(3)、已知y=|2x-6|+|x-1|-4|x+1|,求y 的最大值.(4)、设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值.(5)、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反数，求yx y x -+2的值.3、计算： (1)10321132112111+++++++++++ (2)10099433221⨯++⨯+⨯+⨯4、比较大小： (1)1111111111111111；(2)9876543×3456789 9876544×23456788. (3)、若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++,,,,,52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 都是常数，且54321a a a a a >>>>，则求 54321,,,,x x x x x 的大小顺序。

初中数学竞赛辅导资料(总24页)

初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇一元一次方程的讨论第一部分基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ；当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。

问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解；当a ＿＿＿＿时,解是负数。

初中数学竞赛辅导讲义1

初中数学竞赛辅导讲义1初中数学竞赛是培养学生数学能力的一种重要途径，也是考验学生数学素质和思维能力的有效方法。

竞赛的题目一般会有一定的难度，需要学生具备较高的数学知识和思维能力。

为此，我们推出这份初中数学竞赛辅导讲义1，旨在为广大学生提供一些在数学竞赛中常用的数学方法和技巧。

一、数的分解1.1 质因数分解对于一个正整数，我们可以将其分解为若干个质数的乘积的形式，这种分解方式称为质因数分解。

质数是指只能被1和它本身整除的正整数，常见的质数有2、3、5、7等。

在竞赛中，质因数分解是一个非常常见的题型。

例如，对于数字28，它可以表示为2×2×7的形式，因此28的质因数分解式是28=2×2×7。

1.2 分解因式在数学竞赛中，分解因式也是一种很常见的题型。

分解因式即将一个多项式拆分成多个因数的乘积，许多数学问题可以用分解因式的方式解决。

例如，求解一个一次方程或二次方程就需要先进行分解因式。

例如，对于多项式x2+3x+2，我们可以将其拆分成(x+2)×(x+1)的形式，因此x2+3x+2的因式分解式是(x+2)×(x+1)。

二、方程的解法2.1 一元一次方程的求解在数学竞赛中，一元一次方程的求解是一个很基础的知识点。

一元一次方程是指只有一个未知数且未知数的最高次幂为1的方程。

例如，解方程2x+3=7，我们可以将其转化为2x=4，再将其化简为x=2，因此方程的解为x=2。

2.2 二元一次方程的求解在数学竞赛中，二元一次方程也是一种常见的题型。

二元一次方程指的是含有两个未知数且未知数的最高次幂为1的方程。

例如，解方程2x+3y=7，x-y=1，我们可以利用消元法或其他方法来求解未知数的值。

三、几何基础知识3.1 圆的相关知识在数学竞赛中，圆的相关知识也是一个非常重要的内容。

圆是平面上一组点构成的集合，其中任意两点之间的距离相等，这个距离被称为圆的直径。

初中数学竞赛辅导资料(1)

初中数学比赛指导资料（5）a n的个位数甲内容大纲.1. 整数 a 的正整数次a n,它的个位数字与 a 的末位数的n 次的个位数字同样。

比方2002 3与 23的个位数字都是8。

7位数是 5，620的个位数是6。

3.2， 3， 7 的正整数次的个位数字的律下表：指数12345678910⋯⋯底22486248624⋯⋯数33971397139⋯⋯77931793179⋯⋯其律是： 2 的正整数次的个位数是按2、 4、 8、 6 四个数字循出，即 24k+1与 21， 24K＋2与 22，24K＋3与 23，24K＋4与 24的个位数是同样的（K 是正整数）。

3 和 7 也有似的性。

4. 4， 8，9 的正整数次的个位数，可模拟上述方法，也可以用4＝ 22，8＝ 23，9＝ 32化以 2、3 底的。

5.上所述，整数 a 的正整数次的个位数有以下的一般律：a4K＋m与 a m的个位数同样 (k,m 都是正整数。

乙例例 1的个位数是多少？解：与 32003的个位数是同样的，∵ 2003＝ 4× 500＋ 3，∴ 32003与 33的个位数是同样的，都是7，∴2003 的个位数是 7。

例 2 明 632000＋ 1472002的和能被 10 整除的原由解：∵ 2000＝ 4×500， 2002＝ 4× 500＋ 2∴ 632000与 34的个位数同样都是1，1472002与 72的个位数同样都是9，∴ 632000＋ 1472002的和个位数是0，∴ 632000＋ 1472002的和能被10 整除。

例 3K 取什么正整数，3k＋2k是 5 的倍数？例 4解：列表察个位数的律K ＝1234⋯⋯3 的个位数3971⋯⋯2 的个位数2486⋯⋯3k＋ 2k的个位数55⋯⋯从表中可知，当 K＝ 1，3 ， 3k＋ 2k的个位数是5，∵ a m与 a4n+m的个位数同样（ m,n 都是正整数， a 是整数）;∴当 K 任何奇数， 3k＋ 2k是 5 的倍数。

七年级竞赛培训资料

47121225-++>+++x x x x 23515124++->-+-x x x x ()15332+-=-k x k x ⎪⎩⎪⎨⎧-≥+>+31224)1(3x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++->+14185421339x x x x 45)31(22≤-<-x 七年级竞赛培训资料-----《一元一次不等式组》姓名原班级例1 解不等式（1）3261445432++->---x x x （2）练习1：例2 若关于x 的方程222x m x x -=--的解是非负数，求m 取值范围。

练习2：关于x 的方程的解是负数，求k 取值范围。

例3解不等式组并写出不等式组的整数解。

练习3：解不等式组并写出不等式组的整数解。

例4求不等式的整数解。

练习4：53321<-≤-x 解不等式组：例5解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-->+-+≤->+--1411752253401321x x x x x x练习5：解不等式组()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-+<-<-<-<2323252113242133521x x x x x x例6解含有绝对值的不等式组知识点：（1）若a x a a a x <<-><则),0(（2）a x a x a a x -<>>>或则),0(（1）253≤-x （2）31≥-x练习6：解不等式组（1）632<-x （2）4231<-≤x⎩⎨⎧+->-+-<-4)1(22)2(384)2(x a x a ax ax 知识点：解不等式ax>ba b x a >>时，0)1( ab x a <<时，0)2( 无解时，,00)3(≥=b a 解为一切实数时，,00)4(<=b a例7：解下列关于x 的不等式组b x ax +<+3)1( ax a a x ->+22412)2(练习7：解下列不等式（组）n x mx +<+332)1(例8：已知关于x 的不等式71005)2(<>-+-x a b x b a 的解是，则ax>b 的解集是多少？练习8：已知m 、n 为实数，若不等式(2m-n) x+3m-4n ＜0的解集为94>x ，求不等式(m-4n) x+2m-3n ＞0的解。