黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题(数学)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)sin的值为()A.B.C.﹣D.﹣2.(5分)=()A.2B.﹣3C.7D.13.(5分)已知集合,B={α|0<α<π},A∩B=C,则C=()A.B.C.D.4.(5分)函数f(x)=2x﹣的零点所在的区间是()A.B.C.D.5.(5分)下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是()A.①,②y=x2,③,④y=x﹣1B.①y=x3,②y=x2,③,④y=x﹣1C.①y=x2,②y=x3,③,④y=x﹣1D.①,②,③y=x2,④y=x﹣16.(5分)函数的单调减区间为()A.(﹣∞,﹣3)B.(﹣∞,﹣1)C.(﹣1,+∞)D.(﹣3,﹣1)7.(5分)在△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,,则A=()A.15°B.30°C.45°D.60°8.(5分)已知,则cos(α+β)=()A.B.C.D.9.(5分)已知f(x)=tanωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω=()A.B.C.D.10.(5分)已知sinα﹣cosα=﹣,则tanα+的值为()A.﹣4B.4C.﹣8D.811.(5分)记a=log sin1cos1,b=log sin1tan1,c=log cos1sin1,d=log cos1tan1,则四个数的大小关系是()A.a<c<b<d B.c<d<a<b C.b<d<c<a D.d<b<a<c 12.(5分)已知函数f(x)=cos x,若存在x1,x2,…,x n满足,且,则n的最小值为()A.6B.8C.10D.12二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)13.(5分)在0°到360°范围内,与角﹣60°的终边相同的角为.14.(5分)先将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位后,得到函数g(x)的图象,函数g(x)的解析式为.15.(5分)下列说法中,正确的序号是.①y=|sin x|的图象与y=sin(﹣x)的图象关于y轴对称;②若sinα+cosα=1,则sin nα+cos nα(n∈N*)的值为1;③若,则cos(sinθ)>sin(cosθ);④把函数的图象向左平移个单位长度后,所得图象的一条对称轴方程为;⑤在钝角△ABC中,,则sin A<cos B;⑥sin168°<cos10°<sin11°.16.(5分)若函数恰有4个零点,则a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知点P(1,1)在角α的终边上,求下列各式的值.(Ⅰ);(Ⅱ).18.(12分)已知,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.19.(12分)函数.(Ⅰ)若,求函数f(x)的值域;(Ⅱ)若是函数g(x)=f(x)+λcos2x的一条对称轴,求λ的值.20.(12分)已知函数的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和.(Ⅰ)求f(x)解析式及x0的值;(Ⅱ)求f(x)的单调增区间;(Ⅲ)若时,函数g(x)=2f(x)+1+m有两个零点,求实数m的取值范围.21.(12分)设函数f(x)=x2+|x﹣1|+2a,a∈R.(Ⅰ)若方程f(x)=3x在(0,1)上有根,求实数a的取值范围;(Ⅱ)设g(x)=cos2x+2a sin x,若对任意的,x2∈(0,2)都有,求实数a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=sin x+cos x.(Ⅰ)把f(x)的图象上每一点的纵坐标变为原来的A倍,再将横坐标变向右平移φ个单位,可得y=sin x图象,求A,φ的值;(Ⅱ)若对任意实数x和任意,恒有,求实数a的取值范围.2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.【解答】解:由特殊角的正弦函数值可得:sin=.故选:A.2.【解答】解:=﹣5+log636=﹣5+2=﹣3.故选:B.3.【解答】解:,B={α|0<α<π};∴;又A∩B=C;∴.故选:C.4.【解答】解:令=0,可得,再令g(x)=2x,,在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,可知g(x)与h(x)的交点在(,1),从而函数f(x)的零点在(,1),故选:B.5.【解答】解:②的图象关于y轴对称,②应为偶函数,故排除选项C,D①由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于1,故排除A故选:B.6.【解答】解:令t=x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1)>0,解得x<﹣3,或x>1,故函数的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞).根据f(x)=log2t,复合函数的单调性可得,本题即求函数t=(x+1)2﹣4 在定义域(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)上的减区间.再利用二次函数的性质可得函数t=(x+1)2﹣4 在定义域上的减区间为(﹣∞,﹣3),故选:A.7.【解答】解:∵,∴由正弦定理,可得:sin A===,∵a<b,可得A∈(0°,45°),∴A=30°.故选:B.8.【解答】解:已知:,所以:,故:,,所以:,则:cos(α+β)=cos[()+()],=﹣,=,=故选:D.9.【解答】解:∵0<ω<1,∴T=>π,故f(x)在区间上递增,故f(x)max=f()=,故tan=,解得:ω=,故选:A.10.【解答】解:∵sinα﹣cosα=﹣,∴两边平方可得1﹣2sinαcosα=,∴sin2α=﹣,∴tanα+==﹣8,故选:C.11.【解答】解:∵tan1>1>sin1>cos1>0,a=log sin1cos1,b=log sin1tan1,c=log cos1sin1,d=log cos1tan1,∴a=log sin1cos1==log cos1sin1>log sin1sin1=1,∴a>c>0.又lg tan1>0>lg sin1>lg cos1,b=log sin1tan1=<=log cos1tan1=d<0,∴0>d>b.综上可得:a>c>0>d>b.∴b<d<c<a.故选:C.12.【解答】解:函数f(x)=cos x,对任意x i,x j(i,j=1,2,3,…,n),都有|f(x i)﹣f(x j)|≤|f(x)max﹣f(x)min|=2,要使n取得最小值,尽可能多让x i(i=1,2,3,…,m)取得最高点,x j(j=1,2,3,…,m)取得最低点,由,且,则按下图取值即可满足条件,∴n的最小值为10.故选:C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)13.【解答】解:∵与﹣60°角终边相同的角为:α=k•360°﹣60°,(k∈Z)∵0°≤α<360°,∴k=1时,α=300°.故答案为:300°.14.【解答】解:将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位,得到:y=sin[2(x﹣)]=﹣cos2x,再向上平移1个单位后,得到函数g(x)=1﹣cos2x.故答案为:g(x)=1﹣cos2x15.【解答】解:①,y=sin(﹣x)的图象关于y轴对称的函数为y=sin x,而非y=|sin x|,故①错误;②,若sinα+cosα=1,两边平方可得1+2sinαcosα=1,即sinα=0,cosα=1,或sinα=1,cosα=0,则sin nα+cos nα(n∈N*)的值为1,故②正确;③,若,则sinθ∈(0,1),cosθ∈(0,1),﹣cosθ∈(﹣1,),且sinθ+cosθ=sin(θ+)<,即有sinθ<﹣cosθ,可得cos(sinθ)>cos(﹣cosθ),即有cos(sinθ)>sin(cosθ),故③正确;④,把函数的图象向左平移个单位长度后,所得y=cos(2x+)的图象,由y=cos(+)=﹣,不为最值,则一条对称轴方程不为,故④错误;⑤,在钝角△ABC中,,可得A+B<,即有A<﹣B,则sin A<sin(﹣B)=cos B,故⑤正确;⑥,sin168°=sin12°,cos10°=sin80°,可得sin11°<sin12°<sin80°,即有sin11°<sin168°<cos10°,故⑥错误.故答案为:②③⑤.16.【解答】解:设g(x)=sin(2x+),h(x)=cos(2x+),分别令f(x)=0,g(x)=0,则:g(x)在[﹣π,]上的零点为﹣π,﹣π,﹣;h(x)在[﹣π,]上的零点为﹣π,﹣,.f(x)恰有4个零点,可得m∈(﹣π,﹣]∪(﹣π,﹣]∪(﹣,].故答案为:(﹣π,﹣]∪(﹣π,﹣]∪(﹣,].三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.【解答】解:∵角α终边上有一点P(1,1),∴x=1,y=1,r=|OP|=,∴sinα==,cosα==,tanα==1,∴(Ⅰ)===﹣;(Ⅱ)===﹣.18.【解答】解:(Ⅰ)∵已知,,∴sinα=﹣=﹣,∴=sinαcos+cosαsin=﹣•+•=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得tanα===﹣,tan2α==﹣,∴==﹣.19.【解答】解:(Ⅰ)=2sin(2x+)﹣1,若,则2x+∈[0,],故2sin(2x+)∈[0,1],故f(x)∈[﹣1,1];(Ⅱ)g(x)=sin2x﹣2sin2x+λcos2x=sin(2x+θ)﹣1sinθ=,cosθ=,若是函数g(x)=f(x)+λcos2x的一条对称轴,则2×+θ=,故θ=,故,解得:λ=2.20.【解答】解:(Ⅰ)∵函数的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和,∴A=2,2sinφ=﹣,即sinφ=﹣,∴φ=﹣,且•=,ω=2,∴f(x)=2sin(2x﹣).令2x0﹣=,求得x0=.(Ⅱ)令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.(Ⅲ)若时,函数g(x)=2f(x)+1+m有两个零点,即4sin(2x﹣)+1+m=0有2个实数根,即方程sin(2x﹣)=﹣有2个解.若时,2x﹣∈[﹣,],sin(2x﹣)∈[﹣,1],∴结合正弦函数的图象可得,应有≤﹣<1,解得﹣5<m≤﹣2﹣1,即实数m的取值范围(﹣5,﹣23﹣1].21.【解答】(Ⅰ)解:(1)∵方程f(x)=3x在(1,2)上有根,∴函数h(x)=f(x)﹣3x=x2+|x﹣1|﹣3x+2a在(1,2)上有零点.由于在(1,2)上,h(x)=f(x)﹣3x=x2﹣2x+2a﹣1是增函数,故有h(1)h(2)=(2a﹣2)•(2a﹣1)<0,得﹣<a<1.∴实数a的取值范围:(﹣,1)(Ⅱ)在(0,2)上,f(x)=,∴f(x)的最小值为f()=2a+,对任意的,x2∈(0,2)都有,⇔对任意的,有g(x1)<2a+1恒成立,∴cos2x+2a sin x<2a+1在[﹣,]恒成立.⇒sin2﹣2a sin x+2a>0在[﹣,]恒成立,⇒(sin x﹣a)2+2a﹣a2>0在[﹣,]恒成立.①⇒a≥1.②⇒a∈∅,③⇒0<a<1综上实数a的取值范围为(0,+∞).22.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=sin x+cos x=sin(x+),由题意可得A=,φ=;(Ⅱ)不等式等价于(3+2sinθcosθ﹣a sinθ﹣a cosθ)2≥,θ∈[0,]①,由①得a≥②,或a≤③,在②中,1≤sinθ+cosθ≤,=(sinθ+cosθ)+,显然当1≤x≤时,f(x)=x+为减函数,从而上式最大值为f(1)=1+=,由此可得a≥;在③中,=(sinθ+cosθ)+≥2=,当且仅当sinθ+cosθ=时取等号,所以的最小值为,由此可得a≤,综上,a≤或a≥.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)第I卷(选择题, 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.【详解】故选:A【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关角的的三角函数值是解题的关键.2.()A. 2B. -3C. 7D. 1【答案】B【解析】【分析】利用根式的性质及对数的运算性质直接化简求值即可.【详解】.故选:B【点睛】本题考查了根式的运算性质,考查了对数的运算性质,考查了计算能力.3.已知集合,,,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】,借助余弦图像即可得到结果.【详解】∵,∴即故选:C【点睛】本题考查交集概念及运算,考查余弦函数的图象与性质,属于基础题.4.函数的零点所在区间为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数f(x)=0得到,转化为两个简单函数g(x)=2x,h(x),最后在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,进而可得答案.【详解】令0,可得,再令g(x)=2x,,在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,可知g(x)与h(x)的交点在(,1),从而函数f(x)的零点在(,1),故选:C.【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法.考查数形结合思想是中档题.5.下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是()① ② ③ ④A. ①,②,③,④B. ①,②,③,④C. ①,②,③,④D. ①,②,③,④【答案】B【解析】【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数;①对应的幂指数大于1,通过排除法得到选项【详解】②的图象关于y轴对称,②应为偶函数,故排除选项C,D,①由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于1,故排除A故选:B.【点睛】本题考查幂函数的图象与性质,幂函数的图象取决于幂指数.属于基础题.6.函数的单调递减区间是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域,再由复合函数的单调性求单调减区间.【详解】∵x2+2x﹣3>0,∴x>1或x<﹣3;又∵y=x2+2x﹣3在(﹣∞,﹣1]上是减函数,在[﹣1,+∞)上是增函数;且y=log2x在(0,+∞)上是增函数;∴函数y=log2(x2+2x﹣3)的单调递减区间为(﹣∞,﹣3);故选:A.【点睛】复合函数的单调性:对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称:同增异减.7.在中,角所对的边分别为,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理,即可解得.【详解】∵∴,即,∴,又a<b,A三角形的内角,∴故选:B【点睛】本题考查了正弦定理的应用,注意利用大边对大角进行角的限制,属于基础题.8.已知则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和,然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos(α+β).【详解】∵∴,∴。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)
哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B = ( )A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性,结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=,由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以A B = ()0,2,故选:C 2. 复数12iiz +=的虚部为( )A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式,即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--,所以虚部为-1.故选:A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域,再确定为偶函数,最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠,()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数,采用特殊值法代入,当x 趋近于零时,2x 趋近于零,23x 趋于正无穷;此时()232f x x x =+取值趋于正无穷;当x 趋近于正无穷时,2x 趋近于正无穷,23x 趋于零,此时()232f x x x=+取值趋于正无穷;所以只有B 图像符合;故选:B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==,则实数m =( )A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方,结合数量积的运算律求出a b ⋅ ,再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-,所以()()22a ba b +=- ,即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅,所以0a b ⋅=,即60+=m ,解得6m =-.故选:B.5. 已知命题:2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题,则实数a 的取值范围是( )A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定,可知命题:2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题,讨论a 是否为0,结合0a ≠时,解不等式,即可求得答案.【详解】由题意知命题:2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题,则命题:2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题,故当0a =时,2210ax ax +-<,即为10-<,符合题意;当0a ≠时,需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩,解得10a -<<,综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-,故选:D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点,则12PF F △的面积值为 ( )A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ,根据方程组求点P 的坐标和焦距,进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知:半长轴长为5,半短轴长为3,半焦距为4,则128F F =,设点(),P m n ,则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选:A.7. 等比数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,若51013S S =,则1015SS =( )A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列,51013S S =,设510,3,0S k S k k ==>,所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列,所以157S k =,所以10153377S k S k ==.故选:A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行,组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员,每位志愿者去一个路口,每个路口至少有两位引导员,若甲和乙不能去同一路口,则不同的安排方案总数为( )A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人,再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人,有22A 2=种方法;再安排其余4名志愿者有两类方法,共有122424C A C 14+=种方法,根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选:C二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分,9. 下列说法正确的是( )A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭,若幂函数()f x x α=为奇函数,且在()0,∞+上递减,则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-,则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ,直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证;对于B ,由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证;对于C ,定义域都是全体实数,且对应法则也一样,由此即可判断;对于D ,由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ,当1α=-时,幂函数()1f x x xα==奇函数,且在()0,∞+上递减,满足题意,当12023α=时,幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增,不满足题意,当12023α=-时,幂函数()f x x α==()0,∞+上递减,满足题意,当2024α=-时,幂函数()20241f x x xα==为偶函数,在()0,∞+上递减,不满足题意,故A 错误;对于B ,12log y t =关于t 在定义域内单调递减,若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减,则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增,而二次函数220242023x x t -+-=开口向下,对称轴为2012x =,所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩,解得12012x <<,所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012,故B 正确;对于C ,()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦,故C 选项正确,对于D ,若函数()21f x +的定义域为[]1,1-,则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-,所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-,解得[]1,1x ∈-,故D 正确.故选:BCD.10. 已知正数,a b ,2a b +=,且a b >,则下列说法正确的是( )为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ,将不等式1b a>等价转化为1ab <,由于和式为定值,判断积的取值范围即可;对于选项B ,需要研究函数e x y =的单调性,即可判断不等式;对于选项C ,1111()2a b a b a b ++=+⨯,应用基本不等式即可;对于选项D 平方,2a b =++,判断积的取值范围即可;【详解】对于选项A ,1b a>等价1ab <,2a b =+≥1≤,其中a b >1<,1ab <,不等式成立,选项A 正确;对于选项B ,因为e 1>,指数函数e x y =是增函数,且a b >,所以e e a b >所以e e a b a b +>+,选项B 正确;对于选项C ,1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=,由于a b >,22b a a b ≠,等号取不到,112a b+>,选项C 不正确;对于选项D ,22()4a b a b +=++≤+=,由于a b >,等号取不到,所以24<2<,选项D 不正确;故选:AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,下列结论正确的有( )A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时,三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点,,E F 为线段1AC 的两个三等分点,则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确;对于B 利用等体积法计算点到平面距离;对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值,确定三棱锥11A B PC -的体积不变;对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线,将QE QF +转化,利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ,因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ,所以A 选项不正确. 对于B ,设点1C 到平面1B CD 的距离为h ,由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ,由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形,所以1B CD S =112C CD S =,解得h =.故B 选项正确对于C ,设点P 到平面11A B C 的距离为h ,易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行,则点P 到平面11A B C 的距离为定值,因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ,其中11A B C S 也为定值,故C 选项正确.对于D ,如图1QE QF QE QF +=+,当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小,在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==,由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=,所以1EF =,所以QE QF +有最小值,故D 正确.故选:BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2,()f x 的最小正周期为π,将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象,则下列结论正确的是( )A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π,求出ω,由最值点和最值,求出,a b ,得()f x 的解析式,判断AB 选项;由函数图象的变换,求()g x 的解析式,验证C 选项,数形结合验证D 选项.【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-,其中tan b aϕ=,()f x 的最小正周期为πT =,则有2π2π2πT ω===,故()()2f x x ϕ=-,函数()f x 在π6x =处取得最大值2,则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=,解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,B 选项错误;函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2,则π6x =是()f x 图象的一条对称轴,A 选项正确;将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象,ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数为奇函数,C 选项正确;在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象,如图所示,的两个函数图象有3个交点,可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解,D 选项正确.故选:ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知α为第二象限角,2sin 3α=,则tan2α=_______.【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式,结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=,α为第二象限角,所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为:-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点,满足SD 垂直平面ABC,且SD =S ABC -外接球的体积为_______.【解析】【分析】建立空间直角坐标系,设出球心坐标,根据外接球的性质,列出方程组,即可求出外接球的半径,从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ,ABC 为等边三角形,且D 是AB 边的中点,以D 为坐标原点,分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴,y 轴,z轴,建系如图,设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ,半径为R ,因为2AB BC AC ===,则DC ===,又因为SD =(S ,()1,0,0B ,()1,0,0A -,()C ,则====OS OA OB OC R ,即RRR R ====,解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =,则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______.【答案】916【解析】【分析】设出直线方程,利用弦长得到两个变量间的关系式,结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+,()()1122,,,A x y B x y ;联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩,2440x kx m --=,216160k m ∆=+>,12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=,整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+,所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+,则1t ≥,1291216y y t t +=+-,由对勾函数的单调性可得129216y y +≥,当且仅当0k =时,取到最小值916.故答案为:91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数,对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =,则不等式()5f x x >的解集为_______.【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠,结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性,再结合题设判断()g x 的单调情况,进而结合不等式()5f x x >,讨论x 的正负,结合()g x 的单调情况,分类求解,即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠,而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数,即()()f x f x -=-,故()()()()f x f x g x g x xx---===--,即()(),0f x g x x x=≠为偶函数;对任意的()12,0,x x ∞∈+,不妨设12x x <,则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=,又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-,当12x x <时,120x x -<,则()()12210x f x x f x -<,即()()21120x f x x f x ->,而120x x >,故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>,则()g x 在()0,∞+上单调递减,又()g x 为偶函数,故()g x 在(),0∞-上单调递增,()315f =,故()3(3)53f g ==,则(3)5g -=-,而不等式()5f x x >,即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩,即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩,故03x <<或3x <-,即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃,故答案为:(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛:诸如此类抽象函数的问题,解答时要结合题设构造出函数,由此判断出其奇偶性和单.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-.(1)求角B ;(2)D 为AC 边上一点,DB BA ⊥,且4AD DC =,求cos C 的值.【答案】(1)2π3; (2.【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角,然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解;(2)BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式,联立整理得2c a =,再由余弦定理求得b =,然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-,)sin sinA B C C=-,又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦,)cos sin sin sinB C B C B C C+=-,整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭,因为()0,π,sin0C C∈>,所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭,又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3B+=,即2π3B=.【小问2详解】由(1)知B,因为DB BA⊥,所以π6CBD∠=,记BDCθ∠=,则πBDAθ∠=-,在BCD△中,由正弦定理得πsinsin6CD aθ=,得2sinaCDθ=,在Rt ABD中,有()sinπsinc cADθθ==-,因为4AD DC=,所以2sin sinc aθθ=,得2c a=,在ABC中,由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=,即b=,所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列,11a=,且125,,a a a成等比数列.(1)求数列{}n a的通项公式;.(2)若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅,求{}n b 的前1012项和1012T .【答案】(1)21n a n =- (2)101220242025T =【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解;(2)由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,则211a a d d =+=+,51414a a d d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列,所以2215a a a =⋅,即()()21114d d +=⨯+,得220d d -=,又因为{}n a 是公差不为零的等差数列,所以2d =,即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由(1)知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭,1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ,点G 是椭圆C 的上顶点,直线2A G 与圆2283x y +=相切,且椭圆C.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 右焦点F 的直线l (与x 轴不重合)与椭圆C 交于A B 、两点,若点()0,M m ,且MA MB =,求实数m 的取值范围.【答案】(1)22184x y +=(2)[【解析】【分析】(1)先由离心率得出a =,再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=,联立即得椭圆方程;(2)依题设出直线AB 方程,与椭圆方程联立,得出韦达定理,求出AB 的中点H 坐标,利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线,求出方程,将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得:a =①因2(,0),(0,)A a G b ,则2:1A Gx y l a b +=即:0bx ay ab +-=,又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②,联立①②,可解得:2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为:22184x y +=.【小问2详解】如图,因直线l 与x 轴不重合,椭圆焦点为(2,0)F ,故可设:2l x ty =+,由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x整理得:22(2)440t y ty ++-=,易得:0∆>,不妨设1122(,),(,)A x y B x y ,则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ,则:1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++,即:2242(,)22t H t t -++,因MA MB =,则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t,故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -,于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++,因()0,M m ,则有:222422222t t tm t t t =-=+++,①当0=t 时,0m =,此时直线:2l x =,点(0,0)M ,符合题意;②当0t ≠时,22m t t=+,若0t >,则2t t +≥可得m ∈,当且仅当t =时取等号;若0t <,则2t t +≤-,可得[m ∈,当且仅当t =.综上,实数m的取值范围为[.20. 如图,在四棱锥P ABCD -中,//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=,AD PD ⊥.(1)求证:平面PBD ⊥平面ABCD ;(2)若线段PC 上存在点F ,满足CF FP λ= ,且平面BDF 与平面ADP实数λ的值.【答案】(1)证明见解析(2)2λ=【解析】【分析】(1)要证面面垂直,需证线面垂直,就是要证AD ⊥平面PBD ,再进一步判断面面垂直;(2)建立空间直角坐标系,用向量的方法求解.【小问1详解】如图:因为2CB CD ==,60BCD ∠=︒,所以BCD △为等边三角形,2BD =又//AB CD ,所以60ABD BDC ∠=∠=︒,又4AB =,所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=,所以ABD △为直角三角形,AD BD ⊥.又AD PD ⊥,BD ,PD 为平面PBD 内的两条相交直线,所以AD ⊥平面PBD ,AD ⊂ABCD ,所以:平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ,AB 中点E ,因为PB PD =⇒PO BD ⊥,又平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD 平面ABCD BD =,PO ⊂平面PBD ,所以PO ⊥平面ABCD ,又OE BD ⊥,故以O 为原点,建立如图空间直角坐标系,所以()0,1,0B ,()0,1,0D -,()0,0,3P ,)E,()1,0A -,()C .设(),,F x y z ,因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩,所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =,则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩,取()0,3,1m =- ;设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ,则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩,取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-,m =,n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=,又0λ>,所以2λ=.【点睛】关键点睛:根据CF FP λ=,和点C 、F 的坐标,求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-,圆心在直线y x =上.(1)求圆G 的标准方程;(2)若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点,A 为直线:16l x =上的动点,直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ,求证直线EF 经过定点,并求出定点的坐标.【答案】(1)2216x y +=(2)证明见详解,直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】(1)设出圆心坐标,利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可;(2)设出直线AM 的方程和直线AN 的方程,分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标,进而写出直线EF的方程,化简即可证明直线EF 经过定点,并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上,设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++,解得0a =,所以圆心()0,0,4=,所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点,不妨设()()4,0,4,0M N -,又A 为直线:16l x =上的动点,设()()16,0A t t ≠,则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+,AN 方程为()412ty x =-,设()()1122,,,E x y F x y ,联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩,解得()()22224008164000t x t x t +++-=,所以()212164004400t x t --=+,即()211224400160,400400t t xy t t --==++,即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,解得()()22221448161440t x t x t +-+-=,所以()222161444144t x t -=+,即()22222414496,144144t t x y t t --==++,即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t,所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+.(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程;(2)当0x >时,试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系,并说明理由;(3)设n *∈N ,求证:1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【答案】(1)e e 44y x =+ (2)()()()f x g x h x <<;理由见解析; (3)证明见解析.【解析】【分析】(1(2)构造函数,利用导数确定函数的单调性,求出最值,即可判定结论;(3)构造函数,结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得,()()2e 1xx f x x '=+,所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=,切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭,所以所求切线方程:()e e124y x -=-,即e e 44y x =+;【小问2详解】结论:()()()f x g x h x <<;理由如下:要证()()f x g x <,即证e e e 12x x x x -+<+,只需证()()2e 1e e x x xx -<++,为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++,则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-',当0x >时,1x e -<,e 1x >,故()0x ϕ'<,所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减,所以()()00x ϕϕ<=,即()()2e 1e e 0x x x x --++<,所以e e e 12x x xx -+<+,故()()f x g x <;要证()()g x h x <,即证22e ee 2x x x -+<,只需证22e e ln ln e 2x x x -+<,令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-,则()e e e e x x x x v x x ---=-+',令()e e e ex xx x w x x ---=-+,则()()241e e x x w x -=-+',当0x >时,e e 2x x -+>,从而()2e 4x ->,故()()2410e e x x w x -=-'<+,所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减,所以()()00v x v ''<=,从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减,所以()()00v x v <=,即22e e ln ln e 20x x x -+-<,即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<,故()()g x h x <,又因为()()f xg x <,所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+,则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减,所以()()00u x u <=,所以()ln 11x x x <++,即()1ln 111x x <++,令1x n =,则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭,即()1ln 1ln 1n n n <+-+,所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++,()()1ln 3ln 23n n n <+-++,⋯()1ln 2ln 212n n n<--,所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ,所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ,因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ,所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-;下面先证当0x >时,ln 1≤-x x ,令()()1ln 0p x x x x =-->,()111x p x x x'-=-=,令()0p x '>,则1x >,所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减,在()1,∞+上单调递增,所以()()10p x p ≥=,从而()1ln 0p x x x =--≥,即ln 1≤-x x ,当且仅当1x =时,ln 1x x =-,所以当0x >时,()ln 1x x +<,令1x n =,则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭,即()1ln 1ln n n n+-<,所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+,()()1ln 3ln 22n n n +-+<+,⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-,所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ,即111ln 2121n n n ++++>+- ,因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ,因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ,所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-,综上所述,1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题:1.通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值(最值),从而得出不等关系;2.利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题,从而判定不等关系;3.适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系;4.构造“形似”函数,变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.。
黑龙江高一上学期期末数学试题(解析版)
数学试卷(本试卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区城内,写在本试卷上无效.一、选择题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合,集合,则( ){}1,0,1,2,3A =-{}1,0,2,4B =-A B = A. B.C.D.{}1,0,2-{}1,0-{}1,2-{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意,. {}1,0,2A B =- 故选:A2. 命题“”的否定是( ) 2,0x x ∃∈<R A. B. 2,0x x ∀∈<R 2,0x x ∃∈≥R C. D.2,0x x ∀∈>R 2,0x x ∀∈≥R 【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题, 其否定是全称量词命题,注意到要否定结论,所以D 选项正确. 故选:D3. 是的( ) 38x >0x >A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由不等式性质及充分必要条件判断即可.【详解】由不等式性质可知:,而, 382x x >⇔>20x x >⇒>反之,不能推出成立, 0x >2x >所以是的充分不必要条件, 38x >0x >故选:B4. 不等式的解集为( ) 23210x x --+<A. B. 1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 或D. 或 {|1x x <-13x ⎫>⎬⎭1|3x x ⎧<-⎨⎩}1x >【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】不等式,即, 23210x x --+<23210x x +->即,解得或, ()()1310x x +->1x <-13x >所以不等式的解集为或. 23210x x --+<{|1x x <-13x ⎫>⎬⎭故选:C5. 计算:( )151lg 4lg 22-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A. 0B. 6C.D.1-103【答案】C 【解析】【分析】根据对数与指数运算得出答案.【详解】,1515lg 4lg lg 42lg102121222-⎛⎫⎛⎫+-=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:C.6. 若点在幂函数的图象上,则的图象大致是( )()4,2P ()f x ()f xA. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式,再进行判断即可得出答案. 【详解】设幂函数,将点代入,得,解得, ()a f x x =()4,2P 42a =12a =所以,定义域为,且在定义域内单调递增,大致图像为B , 12()f x x =[0,)+∞故选:B .7. 函数的最小值为( ) ()()1411f x x x x =+>-A. 12 B. 10C. 8D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意,1,10x x >->, ()()1414481f x x x =-++≥=-当且仅当时等号成立. ()1341,12x x x -==-故选:C8. 关于函数,给出以下四个命题:①当时,严格单调递减且没有最值;②()1x f x x =-0x >()y f x =方程一定有解;③如果方程有解,则解的个数一定是偶数;④()()0f x kx b k =+≠()f x k =()y f x =是偶函数且有最小值,其中真命题是( ) A. ②③ B. ②④C. ①③D. ③④【答案】B 【解析】【分析】分类讨论,特别是时,由函数的单调性判断①,判断函数的奇偶性,确定函数的单调01x <<性,并确定函数的变化趋势后判断②,结合偶函数的性质及的值,判断③,由函数的单调性,奇偶(0)f 性判断④.【详解】时,,时,是减函数,时,0x >()1x f x x =-1x >1()111x f x x x ==+--01x <<是增函数,无最值,①错; 1()111x f x x x =-=----的定义域是,,是偶函数,()f x {|1}x x ≠±()()11x x f x f x x x --===---()f x 时,,时,,1x →()f x →+∞x →+∞()1f x →时,直线与的图象在第一象限内一定有交点,0k >y kx b =+()y f x =由偶函数的对称性,时,直线与的图象在第二象限内一定有交点, 0k <y kx b =+()y f x =所以方程一定有解,②正确;()(0)f x kx b k =+≠是偶函数,且,所以时,函数的图象与直线只有一个公共点,所以方()f x (0)0f =0k =()y f x =y k =程只有一个解,③错;()f x k =是偶函数,时,,时,是增函数,是最()f x 1x>1()111f x x =+>-01x ≤<1()11f x x =---(0)0f =小值,所以在上,的最小值是,④正确.R ()f x (0)0f =故选:B .【点睛】难点点睛:本题考查函数的奇偶性、单调性,考查方程根的个数问题,难点在于含有多个绝对值,可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性,确定函数的变化趋势,然后根据函数的性质可得结论.二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知,则下列计算正确的是( ) ()1sin π2α+=-A. B. ()1sin 5π2α-=πsin 2α⎛⎫+=⎪⎝⎭C. D. 3π1cos 22α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πtan 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意,, ()11sin πsin ,sin 22ααα+=-=-=所以,cos α==所以,A 选项正确; ()1sin 5πsin 2αα-==,B 选项错误;πsin cos 2αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭,C 选项正确.3π1cos sin 22αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭D 选项错误.πsin π2tan π2cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭故选:AC10. 已知函数下列叙述正确的是( )()222,38,3x x x f x x x ⎧-+≤=⎨-+>⎩A. ()35f =B. 的零点有3个 ()()12g x f x =-C. 的解集为或()2f x <{|02x x <<}6x >D. 若a ,b ,c 互不相等,且,则的取值范围是 ()()()f a f b f c ==a b c ++()5,9【答案】ACD 【解析】【分析】根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案.【详解】A 选项,,A 选项正确.()2332325f =-⨯+=B 选项,当时,方程的, 3x ≤2213222022x x x x -+-=-+=344202∆=-⨯=-<无实数根;当时,由解得, 3x >1158022x x -+-=-+=152x =所以的零点有个,B 选项错误. ()()12g x f x =-1C 选项,当时,由得,解得; 3x ≤2222x x -+<()2220x x x x -=-<02x <<当时,由得,3x >82x -+<6x >所以的解集为或,C 选项正确. ()2f x <{|02x x <<}6x >D 选项,画出的图象如下图所示, ()f x 不妨设,则,a b c <<212a b +=⨯=,由解得,()2222111x x x -+=-+≥81x -+=7x =所以,所以,D 选项正确. 37c <<()5,9a b c ++∈故选:ACD11. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再将所得图象向右平移()cos f x x =12个单位长度后得到函数的图象,则下列叙述正确的是( ) π12()g x A. 函数是偶函数 B. 函数的一个对称中心是 ()f x ()f x ()π,0C. 若,则 D. 函数的一个对称中心是 12π6x x +=()()12g x g x =()g x π,06⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识求得,根据函数的奇偶性、对称性等知识求得正确答案.()g x【详解】函数,所以是偶函数,A 选项正确.()cos f x x =()f x ,所以B 选项错误.()πcos π1f ==-函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的, ()cos f x x =12再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数, π12()ππcos 2cos 2126g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,πππcos 2666g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()ππcos 2cos 266x x g x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 选项正确.,所以D 选项正确. ππcos 062g ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:ACD12. 已知函数,若关于的方程有四个不相等的实根,221,0()43,0x x f x x x +<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩x ()(2)0f x f x m +--=则的值可以是( ) m A. B.C. D. 02-1-12-【答案】BC 【解析】【分析】由题设求的解析式,进而可得的解析式,并画出其函数图象,将问题(2)-f x ()(2)f x f x +-转化为与有4个交点,应用数形结合判断的范围,即知的可能值.()(2)f x f x +-y m =m m 【详解】由题设,,2221,0()1,027,2x x f x x x x x +<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩∴,2252,2(2)34,0243,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪-=-+-≤<⎨⎪--<⎩∴,可得函数图象如下:22222,0()(2)242,0222,2x x x f x f x x x x x x x ⎧--≥⎪+-=-+-≤<⎨⎪--≥⎩要使有四个不相等的实根,即与有4个交点, ()(2)f x f x m +-=()(2)f x f x +-y m =由图知:. 20m -<<故选:BC三、填空题:本题4个小题,每小题5分,共20分.13. _________. 2sin3π=【答案】【解析】【详解】试题分析:.考点:三角函数14. 函数的定义域为__________. ()3()log 3f x x =+-【答案】 (3,4]【解析】【分析】根据对数函数的定义域和二次根式的定义列出不等式组,求解即可. 【详解】由题意得,,82030x x -≥⎧⎨->⎩解得,即函数定义域为, 34x <≤(3,4]故答案为:.(3,4]15. 已知定义在R 上的函数满足,设,()f x ()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦30.3220.3,log 0.3,2a b c ===则的大小顺序是__________.(用“>”号连接) ()()(),,f a f b f c 【答案】 ()()()f c f a f b >>【解析】【分析】根据题意,由函数单调性的定义分析可得函数在R 上为增函数,又由,分()f x 01b a c <<<<析可得答案.【详解】定义在R 上的函数满足,则函数在R 上为增函数, ()f x ()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x 又由,,,即,,, 30200.30.31<<=22log 0.3log 10<=0.30221>=01a <<0b <1c >则有,则. b a c <<()()()f c f a f b >>故答案为:.()()()f c f a f b >>16. 已知图象上有一最低点,若图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短sin cos y a x b x c =++11π,16⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原来的,再将所得图象向左平移1个单位得到的图象,又的所有根从小到大依次3π()y f x =()1f x =相差3个单位,则的解析式为_________. ()f x ()f x =【答案】ππ2sin 133x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的最值、图象变换、周期和方程的根等知识来求得的解析式. ()f x 【详解】,()sin cos y a x b x c x c ϕ=++=++其中sinϕϕ==由于图象上有一最低点,()y x c ϕ=++11π,16⎛⎫--⎪⎝⎭所以,, 11ππ2π,621k k Z c ϕ⎧-+=-∈⎪⎨⎪+=-⎩4π2π,31k k Z c ϕ⎧=+∈⎪=+根据三角函数图象变换的知识可知()()π13f x x c ϕ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ππ33x cϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭ππ4π2π333x k c⎛⎫=++++⎪⎝⎭π5π33x c⎛⎫=++⎪⎝⎭,ππ33x c⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最小正周期为,()f x2π6π3T==的所有根从小到大依次相差3个单位,即半周期,()1f x=所以,10,1c c-==12c=+=所以.()ππ2sin133f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭故答案为:ππ2sin133x⎛⎫-+⎪⎝⎭【点睛】对于的化简,主要利用的是两角与差的正弦、余弦公式,化为sin cosy a x b=+,也可以化为,可根据题意选择合适的一个来对问题进()y xϕ=+()y xϕ=+行求解.四、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 已知,为第二象限角.4sin5θ=θ(1)求的值;sin2θ(2)求的值.πcos6θ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】(1)2425-(2【解析】【分析】(1)根据同角三角函数结合已知得出,即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案;cosθ(2)根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.【小问1详解】,为第二象限角, 4sin 5θ= θ, 3cos 5θ∴===-则; 4324sin 22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭【小问2详解】. πππ341cos cos cos sin sin 666552θθθ⎛⎫-=+=-+⨯= ⎪⎝⎭18. 已知关于的不等式.x 240ax ax --<(1)若不等式的解集为,求的值;{}12x x -<<a (2)若不等式的解集为,求的取值范围.R a 【答案】(1)2(2)(]16,0-【解析】【分析】(1)分类讨论,,当时,根据已知变形为,当时,根据一元二次0a =a 0a =4<0-0a ≠不等式解集与一元二次方程韦达定理列式即可解出答案;(2)分类讨论,,当时,根据已知变形为,当时,根据已知得出一元二次0a =0a ≠0a =4<0-0a ≠不等式在上恒成立,即可列式解出答案.R 【小问1详解】当时,为,不满足题意;0a =240ax ax --<4<0-当时,若的解集为,0a ≠240ax ax --<{}12x x -<<即的两个解为与,240ax ax --=1-2则,解得; 412a--⨯=2a =【小问2详解】当时,为,在上恒成立,满足题意,0a =240ax ax --<4<0-R当时,的解集为,0a ≠240ax ax --<R 即在上恒成立,240ax ax --<R 则,解得, ()()20Δ440a a a <⎧⎪⎨=--⨯-<⎪⎩160a -<<综上:,160a -<≤故的取值范围.a (]16,0-19. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售 8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入, 该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定x 162x 宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时,才可5x a 能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】(1)要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元(2)当该商品改革后的销售量10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投a 入之和,此时该商品的每件定价为30元【解析】【分析】(1)设每件定价为元,则提高价格后的销售量为,根据销售的总收入不低于原收t 2580.21t --⨯入,建立不等式,解不等式可得每件最高定价;(2)依题意,时,不等式有解,等价于时,25x >21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+25x >有解,利用基本不等式,可以求得结论. 1501165a x x ≥++【小问1详解】 解:设每件定价为t 元,依题意得, 25(80.2)2581t t --⨯≥⨯整理得 ,26510000t t -+≤解得.2540t ≤≤所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.【小问2详解】解:依题意,时,25x >不等式有解 21125850(600)65ax x x ≥⨯++-+等价于时,有解 25x >1501165a xx ≥++(当且仅当时,等号成立) 1501106x x +≥=x =30.此时该商品的每件定价为30元10.2a ∴≥当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,∴a 此时该商品的每件定价为30元.20. 已知函数上满足,其中为实数 ()21log 1ax f x x +=-()31f =a (1)求的值,判断函数的奇偶性并证明;a ()f x (2)若函数,求在上的值域.()()()()2log 17g x f x x x =+--⎡⎤⎣⎦()g x [)2,7【答案】(1),函数为奇函数,证明见解析1a =()f x (2)(],4∞-【解析】【分析】(1)根据已知代入函数根据对数运算解出,即可得出函数解析式,根据解析式得出其()31f =a 定义域判断是否关于原点对称,根据函数解析式得出,再根据奇偶性的定义判断其奇偶()()f x f x -=-性;(2)根据已知结合对数运算得出函数的解析式,即可根据复合函数值域的求法结合二次函数与对数()g x 函数在区间上的值域得出答案.【小问1详解】 ,()31f =Q ,解得:, ()2313log 131a f +∴==-1a =则,定义域为,解得或,关于原点对称, ()21log 1x f x x +=-10101x x x -≠⎧⎪+⎨>⎪-⎩1x <-1x >则, ()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-则函数为奇函数,()f x 【小问2详解】当时,,,,[)2,7x ∈10x +>10x ->70x ->则, ()()()()()()22221log log 17log 1log 17g x f x x x x x x x =+--=-+-⎡⎤⎣+-⎦+,()()()()2222log 1log 1log l 7og 1x x x x =+-+--+-,()()22log og 17l x x +=-+,()()2log 17x x =+-⎡⎤⎣⎦,()22log 67x x =-++当时,, [)2,7x ∈(]2670,16x x -++∈则, ()(]22log 67,4x x -++∈-∞则在上的值域为.()g x [)2,7(],4∞-21. 已知函数对任意的x ,,都有,且当时. ()f x y ∈R ()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x <(1)求的值,判断并证明函数的奇偶性;()0f ()f x (2)试判断函数在上的单调性并证明;()f x (,)-∞+∞(3)解不等式.()()2140f x f x ++->【答案】(1),是奇函数,证明见解析()00f =()f x (2)在上单调递减,证明见解析()f x (),-∞+∞(3)(),1-∞【解析】【分析】(1)利用赋值法求得,根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性.()0f ()f x (2)利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性.()f x (,)-∞+∞(3)根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.()f x ()()2140f x f x ++->【小问1详解】依题意,函数对任意的x ,,都有,()f x y ∈R ()()()f x y f x f y +=+令,得,0x y ==()()()()000,00f f f f =+=是奇函数,证明如下:()f x 用代替,得,则,x -y ()()()f x x f x f x -=+-()()f x f x -=-所以是奇函数.()f x 【小问2详解】在上单调递减,证明如下:()f x (),-∞+∞任取, 12x x <()()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-,()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦由于,所以,210x x ->()210f x x -<所以,()()()()12120,f x f x f x f x ->>所以在上单调递减.()f x (),-∞+∞【小问3详解】,,()()2140f x f x ++->()()()2144f x f x f x -->=+-由于在上单调递减,()f x (),-∞+∞所以,214,33,1x x x x +<-<<所以不等式的解集是.()()2140f x f x ++->(),1-∞22. 设函数是偶函数.()()()212R x x f x k x -=+-⋅∈(1)当时,解关于的不等式 x ∈R x ()112x a f x a +>-+(2)设函数,若不等式对任意的恒成立求实数()()()1222x g x n f x f x -⎡⎤=---⎣⎦()0g x <()1,x ∈+∞的取值n (3)设,当时,讨论关于的方程()()2log h x f x =R m ∈x 的根的个数. ()()211420h x m h x m m m -+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣++=⎦【答案】(1)当时,;当时,;0a ≤x ∈R 0a >2log x a >(2) 4n <(3),当时,方程无实数根;当时,方程有1个根;当或40,17m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0m =()1,0,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时,方程有2个根;当时,方程有3个根;当时,方程有4个根; 417m =12m =41,172m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义求出的值,再将原不等式转化为k 解的范围即可;()()()22122210x x x x a a a --⋅-=-+>x (2)原不等式可转化为在上恒成立,即求的最小值即可;()2222222x x x x n --++<-()1,x ∈+∞()2222222x x x x --++-(3)利用换元法令,,将原问题转化为关于的一元二次方程的解的个数()1p h x =-0p ≥p ()0F p =即可.【小问1详解】由偶函数的定义可得,解得,()()()212x x f x k f x --=+-⋅=2k =所以,()22x x f x -=+所以由得,即()112xa f x a +>-+()221121x x a a +>-⋅++()()()22122210x x x x a a a --⋅-=-+>, 当时,由解得, 0a ≤()()2210x x a-+>x ∈R 当时,由解得, 0a >()()2210x x a-+>2log x a >【小问2详解】 由(1)可得, ()()()()1222222222222222x x x x x x x x x g x n n -----=+----=--+-因为当时,()1,x ∈+∞220x x -->则条件等价于在上恒成立, ()2222222x x x x n --++<-()1,x ∈+∞所以小于的最小值即可,n ()2222222x x x x --++-因为 , ()()222222224422222222x x x x x x x x x x x x ------++-+==-+---令,因为单调递增,单调递减,所以在上单调递增,则, 22x x t -=-2x 2x -t ()1,x ∈+∞32t >由对勾函数的性质可得在处取得最小值,最小值为, 4t t+2t =4所以的最小值为,()2222222x x x x --++-4所以.4n <【小问3详解】令,,由对勾函数的性质可得当时,取得最小值, 2x u =0u >1u =1u u +2所以,则,()222x x f x -=+≥()()2log 1h x f x =≥令,,由对勾函数的图象和性质可得当时,关于的方程有1个解,当()1p h x =-0p ≥0p =x ()1h x -时,关于的方程有2个解,0p >x ()1h x -则原问题转化为关于的方程的根的个数,p ()()22242320p m p m m m p mp m m +-++=--+=令,表示开口向上的抛物线,()2232F p p mp m m =--+()F p , ()()2223412174m m m m m ∆=--⨯⨯-+=-当,即时,无解, Δ0<4017m <<()0F p =当时,由解得,关于的方程有1个解; 0m =()20F p p ==0p =x 当时,,的对称轴, 417m =Δ0=()2232F p p mp m m =--+302m p =>所以有唯一解,且,关于的方程有2个解;()0F p =p 0p >x 当时,有两不等实根,0m <()2232F p p mp m m =--+12,p p 因为的对称轴,且, ()F p 302m p =<21220p p m m =-+<所以有1个正数解,关于的方程有2个解;()0F p =x当时,有两不等实根, 417m >()2232F p p mp m m =--+34,p p 因为的对称轴, ()F p 302m p =>所以当,即时,有两不相等的正数解,此时关于的方程有23420p p m m =-+>41172m <<()0F p =x 4个解;当,即时,有一个零解,一个正数解,此时关于的方程有3个23420p p m m =-+=12m =()0F p =x 解; 当,即时,有一个正数解,此时关于的方程有2个解; 23420p p m m =-+<12m >()0F p =x 综上所述,当时,方程无实数根;当时,方程有1个根;当或40,17m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0m =()1,0,2m ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时,方程有2个根;当时,方程有3个根;当时,方程有4个根; 417m =12m =41,172m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】思路点睛:本题的难点在于需利用换元法将复杂的问题转化为一元二次函数的形式,第(3)问注意换元后关于的方程需有非负根,可利用对称轴和韦达定理分析根的符号情p 22320p mp m m --+=况,降低计算难度.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学高一数学上学期期末考试试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题考试说明:本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.(1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;(2)选择题必须使用2B 铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚;(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效;(4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.第I 卷(选择题, 共60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合}|{x y y A ==,)}1ln(|{x y x B -==,则=⋂B AA .}0|{e x x <≤B .}10|{<≤x xC .}1|{e x x <≤D .}0|{≥x x 2.函数)32tan(π-=x y 的最小正周期是A .2πB .πC .2π D .4π 3.若51sin =α,则=α2cosA .2523 B. 252- C .2523- D .252 4.下列函数中,当(0,)2x π∈时,与函数13y x -=单调性相同的函数为A .cos y x =B .1cos y x=C .tan y x =D .sin y x = 5.若ln a π=,3log 2b =,13(2)c =-,则它们的大小关系为A .a c b >>B .b a c >>C .a b c >>D .b c a >> 6.若函数3log y x =的反函数为()y g x =,则1()2g 的值是A .3B .31log 2C .3log 2D 37.函数11()lg f x x x=-的零点所在区间为 A .(8,9) B .(9,10) C .(10,11) D .(11,12)8.已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-,则下列说法正确的是A .7(,0)12π是函数()y f x =的对称中心 B .712x π=是函数()y f x =的对称轴 C .(,0)12π-是函数()y f x =的对称中心 D .12x π=-是函数()y f x =的对称轴9.函数2log cos()4y x π=+的单调减区间为A .[2,2+()44k k k Z ππππ-∈) B .5[2,2]()44k k k Z ππππ--∈C .3[2,2+]()44k k k Z ππππ-∈ D .32,2]()44k k k Z ππππ--∈(10.如图,圆A 的半径为1,且A 点的坐标为)1,0(,B 为圆上的动点,角α的始边为射线AO ,终边为射线AB ,过点B 作x 轴的垂线,垂足为C ,将BC 表示成α的函数()f α,则()y f α=在[0,2]π的在图像大致为11.设函数()sin()3)(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=++><的最小正周期为π,且)()(x f x f =-,则αxyO ABCx yO π2πxyO π2πxyOπ2πx yOπ2πA .B .C .D .2211A .)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递减 B .)(x f 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C .)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增 D .)(x f 在()0,π单调递增 12.对于任意x R ∈,函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当1322x -≤≤时,()21+1f x x =--.则函数()y f x =24x -≤≤()与函数1()1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 A .2 B . 4 C . 6 D .8哈三中2016-2017学年度上学期 高一学年第二模块数学考试试卷 第Ⅱ卷(非选择题, 共90分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13.=87cos 87sinππ . 14.函数x x y sin cos 2+=的最大值为 .15.当[]3,2∈x 时,012<+++a ax x 恒成立,则a 的范围是 .16.已知0,0,32>>=+βαπβα,当βαsin 2sin +取最大值时θα=,则=θcos . 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题10分)已知cos 5α=,且)2,0(πα∈. (Ⅰ)求α2sin ;(Ⅱ)求)4tan(πα+.18.(本题12分) (Ⅰ)解方程3)6tan(=-πx ;(Ⅱ)求函数2()lg(25)f x x =-+的定义域.19.(本题12分)将函数()sin g x x =的图象纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),再将横坐标缩短为原来的21倍(纵坐标不变),最后把得到的函数图象向左平移8π个单位得到函数)(x f y =的图象. (Ⅰ)写出函数)(x f y =的解析式; (Ⅱ)用五点法作出函数)(x f y =(7[,]88x ππ∈-)的图象.20.(本题12分) 已知函数xx x f 4)(+=,()()32log 2+-=x x x g a ,其中0>a ,且1≠a . (Ⅰ)用定义证明函数)(x f 在[)+∞,2是增函数;(Ⅱ)若对于任意的[]4,20∈x ,总存在[]3,01∈x ,使得()()01g f x x =成立,求实数a 的取值范围.21.(本题12分)已知()23cos 33sin cos 6cos sin 32-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x x x f ππ. (Ⅰ)当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时,求()x f 的值域;(Ⅱ)已知312παπ<<,()56=αf ,612ππβ-<<,()1013f β=,求()βα22cos -.22.(本题12分)函数()(01)xxf x k a a a a -=⋅->≠且是定义域为R 的奇函数.(Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)讨论不等式0)42()(2<-++x f x x f 的解集; (Ⅲ)若38)1(=f ,且2)(2)(22+⋅-+=-x f m a a xg xx 在[1,)+∞恒为正,求实数m 的取值范围.哈三中2016---2017学年度上学期高一学年第二模块数学考试答案一.选择题1. B 2. C 3.A 4. A 5. C 6. D 7. C 8. C 9. A 10. B 11. A 12. B 二.填空题13. 42-14. 45 15. )25,(--∞ 16. 721 三.解答题 17.(I )54(II )-3 18.(I ))(2Z k k x ∈+=ππ(II )]65,6[]67,5(πππY --19. (I ))42sin(2)(π+=x x f(II )证明略20.(I )证明略(II )]6,2[514121.(I ))32sin(2)(π+=x x f , 值域:]2,3(-(II )6533-22.(I )1=k(II )当a >1时,)1,4(-当1> a > 0时,),1()4,(+∞--∞Y (III ))1225,(-∞∈m。
黑龙江省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1.已知集合,,则( ) {}N |04A x x =∈≤<{}1,0,1,2,3B =-A B = A . B .C .D .{}0,1,2{}1,2,3{}0,1,2,3{}1,0,1,2-【答案】C【分析】确定集合A 中元素,根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意得集合,, {}N |04{0,1,2,3}A x x =∈≤<={}1,0,1,2,3B =-故, {0,1,2,3}A B = 故选:C. 2.已知:,:,则是的( )条件 p 11a<q 1a >p q A .充分不必要 B .必要不充分 C .既不充分也不必要 D .充分必要【答案】B【分析】求出命题对应的的取值范围,根据集合包含关系即可求出. p a 【详解】由可得,即,解得或,所以命题对应的的取值范围为11a<110a -<10a a ->a<01a >p a ,()(),01,-∞⋃+∞因为 , ()1,+∞()(),01,-∞⋃+∞所以是的必要不充分条件. p q 故选:B.3.已知点在第三象限,则角的终边在第( )象限. (tan ,cos )M αα-αA .一 B .二C .三D .四【答案】D【分析】由点M 所在的象限,确定正切和余弦的符号,得角终边所在的象限. α【详解】因为点在第三象限,所以,, ()tan ,cos M αα-t an 0α<cos 0α>所以的终边在第四象限. α故选:D.4.在流行病学中,把每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数.当基本传染数高于1时,每个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染者人数急剧增长.当基本传染数低于1时,疫情才可能逐渐消散.而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径.假设某种传染病的基本传染数为,0R1个感染者平均会接触到个新人,这人中有个人接种过疫苗(称为接种率),那么N ()0N R ≥N V VN1个感染者可传染的新感染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数()0R N V N-02log R =了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为( ) A .30% B .40%C .50%D .60%【答案】D【分析】由题意列不等式,即可求出结果 0R ()1N V N-≤【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1人,只需要, 0()1R N V N-≤所以,即, 0()1N V R N -⨯≤011V R N ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭52022log log 2 2.5R === ,解得2.511V N ⎛⎫∴⨯-≤ ⎪⎝⎭0.660%V N ≥=则该地疫苗的接种率至少为60% 故选:D5.若不等式的解集为,则不等式解集为( ) 20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+A .B .(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C .D .43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】利用二次不等式解集的性质,结合韦达定理将不等式化简为,从而得0ax c cx b +≥+3034x x +≥-解.【详解】因为由不等式的解集为, 20ax bx c ++≥[]1,3所以,方程的两根为1和3, a<020ax bx c ++=由根与系数的关系得,则,134,133b c a a-=+==⨯=4,3b ca a =-=所以不等式可化为,即, 0ax c cx b +≥+0cx a c b x a a +≥+3034x x +≥-所以且,解得或, ()()3340x x +-≥340x -≠3x ≤-43x >所以解集为. 0ax c cx b +≥+(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭故选:B .6.已知函数,图象向左平移个单位后关于直线对称,则下列()sin(2)1f x x ϕ=++||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭3π0x =说法正确的是( )A .在区间上有一个零点B .关于对称4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,012π⎛⎫⎪⎝⎭C .在区间上单调递增D .在区间上的最大值为25,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】通过函数的平移变换后图象关于直线对称可求得值,从而可求出函数解析()f x 0x =ϕ式,然后使用换元法画出函数图象,再逐项判断即可.【详解】函数,图象向左平移个单位后的图象对应的解析式为:()sin(2)1f x x ϕ=++||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭3π;2()sin 21sin 2133f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦而图象关于直线对称,且,于是,; ()f x 0x =||2ϕπ<232ππϕ+=2236ππϕπ=-=- ;∴()sin(2)16f x x π=-+ ,所以不关于对称,故B 错误;012f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ ()f x ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭当时,则,令,则,此时函数图象如图:433x ππ≤≤62225x πππ≤-≤26t x π=-()sin 1f t t =+结合图象可知,当时,即,与坐标轴只有一个交点,即只25226t x πππ=-≤≤433x ππ≤≤()f t ()f x 有一个零点,故A 正确; 当时,则,结合图象可知,此时有增有减,故C 错误;51212ππx ≤≤20263x ππ≤-≤()f t 当时,则,结合图象可知,此时单调递增,所以,当时,即124x ππ≤≤0326x ππ-≤≤()f t 4x π=,函数取最大值,,故D 错误; 3t π=()sin 1133f t f ππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭故选:A.7.已知,给出下述四个结论:()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x①是偶函数; ②在上为减函数; ()y f x =()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭③在上为增函数; ④的最大值为. ()y f x =(,2)ππ()y f x =其中所有正确结论的编号是( ) A .①②④ B .①③④C .①②③D .①④【答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①;利用举反例即可判断②和③;分四个范围对进行化()f x 简,然后利用三角函数的性质进行求值域,即可得到时的最值,结合偶函数即可判断 0x ≥【详解】解:对于①,易得的定义域为,关于原点对称,()f x R 因为()()()sin |||sin |cos |||cos |sin |||sin |cos |||cos |f x x x x x x x x x -=-+-+-+-=+-++,所以是偶函数,故正确;()sin |||sin |cos |||cos |x x x x f x =+++=()y f x =对于②和③,因为, 55555sin |||sin |cos |||cos |044444f πππππ⎛⎫=+++==⎪⎝⎭, 7777711sin sin cos cos 06666622f πππππ⎛⎫=+++=-+= ⎪⎝⎭且,所以在不是减函数,在也不是增函数,故②,③错753642ππππ<<<()y f x =3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭(,2)ππ误;对于④,当时,22,N 2k x k k πππ≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x,()sin sin cos cos 2sin cos 4x x x x x x x π⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭因为,所以, 22,N 2k x k k πππ≤<+∈322,N 444k x k k πππππ+≤+<+∈,所以; sin 14x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()2f x ≤≤当时,22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ,sin sin cos cos 2sin x x x x x =++-=因为,22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以,所以; 0sin 1x <≤0()2f x <≤当时,322,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ;sin sin cos cos 0x x x x =-+-=当时,3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ,sin sin cos cos 2cos x x x x x =-++=因为, 3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以,所以,0cos 1x ≤<0()2f x ≤<所以,综上所述,当时,的最大值为为偶函数,所以当时,的0x ≥()f x ()f x 0x <()f x最大值也为的最大值为④正确; ()y f x =故选:D【点睛】方法点睛:利用四个象限对进行讨论,根据三角函数符号去掉绝对值,然后利用()y f x =三角函数的性质进行求解值域8.已知函数(a >0,且a ≠1)在区间(﹣∞,+∞)上为单调函数,若函数21log 2,1()(1)4,1a x x f x x a x ⎧+-≤=⎨-+>⎩y =|f (x )|﹣x ﹣2有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是( ) A .B .C .D .13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦1[,1)41313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭1113,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【答案】C【分析】首先根据函数f (x )的单调性求得a 的大致范围,然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题,再作出函数图象,利用数形结合思想求解即可.【详解】解:∵函数f (x )在区间(﹣∞,+∞)上为单调函数,且当x >1时,f (x )=(x ﹣1)2+4a 在(1,+∞)上单调递增,∴,解得,011004a a<<⎧⎨+≤+⎩114a ≤<又函数y =|f (x )|﹣x ﹣2有两个不同的零点等价于|f (x )|=x +2有两个不同的实数根, ∴函数y =|f (x )|的图象与直线y =x +2有两个不同的交点, 作出函数y =|f (x )|与直线y =x +2的图象,当x ≤1时,由1+log a |x ﹣2|=0得,易知函数y =|f (x )|与直线y =x +2的图象在(﹣∞,1]上有121x a=-<唯一交点,则函数y =|f (x )|与直线y =x +2的图象在(1,+∞)上有唯一交点,故4a ≤3或(x ﹣1)2+4a =x +2,即x 2﹣3x +4a ﹣1=0有唯一解,∴或△=9﹣4(4a ﹣1)=0, 34a ≤∴或, 34a ≤1316a =综上,实数a 的取值范围为.1313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭故选:C.【点睛】关键点点睛:此题考查函数与方程的综合应用,考查函数的零点问题,解题的关键是将问题转化为函数y =|f (x )|的图象与直线y =x +2有两个不同的交点,然后画出函数图象,根据图象求解即可,考查数形结合的思想,属于较难题二、多选题9.下列等式成立的是( )A .πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭B .cos73cos28sin73sin28︒︒+︒︒C .tan152︒=D .1sin40sin702︒︒︒=【答案】ABC【分析】根据诱导公式可判断A ;根据两角差的余弦公式可判断B ;根据两角差的正156045︒=︒-︒切公式可判断C ;根据两角和的正弦公式可判断D.【详解】,故A 正确;πsin 2cos22⎛⎫+= ⎪⎝⎭,故B 正确; ()cos73cos28sin73sin28cos 732c 8os 45=︒-︒=︒︒+︒︒︒=C 正确; ()tan15tan 60452︒=︒-︒==1sin40sin40cos 60cos40sin 602︒︒=︒︒+︒︒,故D 错误. ()sin 4060sin100sin 80=︒+︒=︒=︒故选:ABC.10.下列命题中正确的是( ) A .若,则 B .若且,则 0x <12x x+≤-x ∈R 0x ≠12x x+≥CD . 2≥22111x x +≥+【答案】ABD【分析】将时,化为,利用均值不等式可判断A;利用,利0x <1x x +1[()(x x--+-11||||x x x x +=+用均值不等式可判断B C ;利用,结合均值不等式判断D. 2222111111x x x x ++=+-++【详解】当时,,则, 0x <0x ->11[()()]2x x x x +=--+≤-≤--当且仅当时取等号,故A 正确; =1x -若且,则, x ∈R 0x ≠11||||2x x x x +=+≥≥当或时取等号,B 正确; 1x ==1x -,0>2==≥等号取不到,C 错误;=21,1x =∴=-2≥,当且仅当时取等号,D 正确, 222211111111x x x x +=+-≥-≥+++0x =故选:.ABD 11.若定义在R 上的减函数y =f (x ﹣2)的图像关于点(2,0)对称,且g (x )=f (x )+1,则下列结论一定成立的是( )A.g(2)=1B.g(0)=1C.不等式f(x+1)+f(2x﹣1)>0的解集为(﹣∞,0)D.g(﹣1)+g(2)<2【答案】BCD【分析】由于y=f(x﹣2)的图像关于点(2,0)对称,可得f(x)为奇函数,从而由奇函数的性质可判断AB,对于C,利用函数为奇函数将f(x+1)+f(2x﹣1)>0化为f(x+1)>f(1﹣2x),再利用其单调性可得答案,对于D,由于g(﹣1)+g(2)=f(﹣1)+f(2)+2=﹣f(1)+f(2)+2,再利用函数的奇偶性和单调性可判断【详解】解:∵定义在R上的减函数y=f(x﹣2)的图像关于点(2,0)对称,∴f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∵g(x)=f(x)+1,∴g(0)=f(0)+1,∴g(0)=1,故A选项错误,B选项正确,∵y=f(x﹣2)为减函数,∴f(x)为减函数,∴g(x)=f(x)+1为减函数,∵f(x+1)+f(2x+1)>0,即f(x+1)>﹣f(2x+1),∵f(x)为奇函数,∴f(x+1)>f(1﹣2x),∵f(x)为减函数,∴x+1<1﹣2x,即x<0,故C选项正确.g(﹣1)+g(2)=f(﹣1)+f(2)+2=﹣f(1)+f(2)+2,∵f(1)>f(2),∴g(﹣1)+g(2)<2,故D选项正确.故选:BCD.12.已知函数的定义域为,且满足下列条件: ()f x []0,1①对于任意,总有,且;[]0,1x ∈()3f x ≥()14f =②若,则有. 12120,0,1x x x x ≥≥+≤()()()12123f x x f x f x +≥+-给出下列命题,其中正确的有( ) A .可能为区间内的任意值; ()0f []3,4B .函数的最大值是4;()f x C .函数是符合上述条件的一个函数;()[]e 3e 4,0,1e 1x g x x +-=∈-D .当时,211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()33f x x <+【答案】BCD【分析】根据所给性质取特殊值求出判断A ,根据所给性质可推断出函数的单调性判断B ,对(0)f 所给函数验证性质判断C ,利用性质②推理可判断D.【详解】令,得,结合①知,故A 错误; 120x x ==()()()()0003,03f f f f ≥+-∴≤()03f =任取,则, []1212,0,1,x x x x ∈<()()()()212113f x f x f x x f x ≥+--≥所以在上单调递增,所以, ()f x []0,1()(1)4f x f ≤=即函数故的最大值为4,故B 正确; ()f x 易知,,()()03,14g g ==()e 3e 4e 13e 1e 1x x g x +--==+--所以任意,总有.[]0,1x ∈()3g x ≥,()1212e 13e 1x x g x x +-+=+-,()()121212e 1e 1e 1e 133333e 1e 1e 1e 1x x x x g x g x ----+-=+++-=++----则()()()12121212e 1e 1e 1333e 1e 1e 1x x x x g x x g x g x +⎡⎤---⎡⎤+-+-=+-++⎢⎥⎣⎦---⎣⎦, ()()1212121212e 1e 1e 1e 1e 1e e e 10e 1e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x x x ++--⎛⎫-----+=-+==≥ ⎪-----⎝⎭故是符合条件的函数,故C 正确;()g x 因为, ()1211113633333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+-≥++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,当时,, ()111163333f f ⎛⎫⎡⎤≤+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2113333333x +>⋅+=+所以当时,,故D 正确.211,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()1133333f x f x ⎛⎫≤≤+<+ ⎪⎝⎭故选:BCD.三、填空题13.已知扇形的圆心角为,其弧长为,则此扇形的面积为_________.(结果保留π)3ππ【答案】##32π32π【分析】首先根据弧长公式求半径,再根据扇形面积公式,即可求解. 【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径,33lr ππα===此扇形的面积.1133222s lr ππ==⨯⨯=故答案为:32π14.函数的值域为__________.()5πππ2,,1236f x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(【分析】根据求出,进而利用正弦函数图像即可求出结果.ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5ππ3π2,1244x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭【详解】因为,所以,ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5ππ3π2,1244x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭则由正弦函数图像可知,5πsin 212x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以. ()(f x ∈-故答案为:.(15.若函数在区间上为减函数,则a 的取值范围是________.()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】24(0,](1,)33⋃【分析】令,分和两种情况讨论,结合二次函数的性质得到不等式组,2()2t x x ax =-1a >01a <<解得即可.【详解】解:令,则,2()2t x x ax =-()0t x >当时,是增函数,由在区间上为减函数,1a >log a y x =()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦则在上为减函数,故,即,解得;2()2t x x ax =-31,2⎛⎤⎥⎝⎦113021a t a ⎧≤⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1193041a a a ⎧≤⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩413a <<当时,是减函数,由在区间上为减函数,01a <<log a y x =()()2log 2a f x x ax =-31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦则在上为增函数,故,即,解得,2()2t x x ax =-31,2⎛⎤⎥⎝⎦()1321001a t a ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<<⎪⎩1322001a a a ⎧≥⎪⎪-≥⎨⎪<<⎪⎩203a <≤综上,的取值范围是..a 24(0,](1,)33⋃故答案为:24(0,](1,)33⋃16.已知,函数,若存在,使得,则实数的最大值是a R ∈3()f x ax x =-t R ∈2|(2)()|3f t f t +-≤a ____.【答案】 max 43a =【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想,属于能力型考题.从研究入手,令,从而使问题加以转化,通过()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-2364[1,)m t t =++∈+∞绘制函数图象,观察得解.【详解】使得,()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=∙[++++-=++-使得令,则原不等式转化为存在, 2364[1,)m t t =++∈+∞11,|1|3m am ≥-≤由折线函数,如图只需,即,即的最大值是11133a -≤-≤2433a ≤≤a 43【点睛】对于函数不等式问题,需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.四、解答题17.已知()()21R 21x x f x x -=∈+(1)判断函数的单调性,并用定义证明之.()f x (2)解关于t 的不等式.()()2320f t f t -+<【答案】(1)函数在上单调递增,证明见解析 ()f x R (2) {}31t t -<<【分析】(1)由题意可知,对函数进行分离常数可判断其单调性并用单调性的定义证明即可; (2)根据函数的奇偶性和单调性即可对不等式进行求解.【详解】(1)由题意,函数在上是增函数, ()21212121x x xf x -==-++()21x h x =+R 所以函数在上是增函数. ()f x R 证明如下:在上任取且,R 12,x x 12x x <所以 ()()()()()121212122222211,21212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由可知,所以,,,12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以,即. ()()120f x f x -<()()12f x f x <即在上单调递增.()f x R (2)易知,所以函数为奇函数;()()21122112x xx x f x f x -----===-++()f x 由(1)知,函数是上的增函数,()f x R 由可得,()()2320f t f t -+<()()()2322f t f t f t -<-=-所以,即,解得,232t t -<-2230t t +-<31t -<<即关于t 的不等式的解集为()()2320f t f t -+<{}31t t -<<18.(1)已知角终边所在直线经过点,求的值; α()1,2-sin()3sin()232cos()cos()2παπαπαπα+-+---(2)已知求的值. 233sin cos 3252ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,()sin αβ+【答案】(1);(21-【分析】(1)利用诱导公式化简即可求解; (2)利用同角三角关系与和差公式即可求解. 【详解】(1)角终边所在直线经过点,α()1,2-,,.∴sinα=cos α=tan 2α=- ∴sin()3sin()232cos()cos()2παπαπαπα+-+---cos 3sin 2sin cos αααα+=-+13tan 2tan 1αα+=-+()()132221+⨯-=-⨯-+.1=-(2) 233sin cos 3252ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,,∴cos α=4sin 5β=-∴()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ 234355⎛⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=19.设函数,.()22sin cos f x x x x =-x ∈R (1)求的最小正周期; ()f x (2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,求函数在上的单调递()f x π6()g x ()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦增区间. 【答案】(1) π(2) ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简解析式即可求出最小正周期; ()f x (2)根据图像平移求出解析式,结合正弦函数的单调性即可求解.()g x【详解】(1),()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期; 2ππ2T ==(2)将函数的图象左移个单位得到的图象,()y f x =6π()y g x =则,()ππ2sin 22sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, ππ2ππ,2,3432x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当即时,单调递增,ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ∴在上的单调递增区间为:()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20.1.已知数,函数. ()()22log log 28xf x x =⋅()1423x xg x +=--(1)求函数的值域;()f x (2)若不等式对任意实数恒成立,求实数x 的取值. ()()0f x g a -≤[]0,2a ∈【答案】(1) [)4,-+∞(2)2【分析】(1)利用对数运算,把化为关于的二次函数,配方后求出的值域;(2)()f x 2log x ()f x 不等式对任意实数恒成立,只需,利用换元法求出,令()()f x g a ≤[]0,2a ∈()()min f x g a ≤()min g a ,求出实数x 的值为2.()4f x ≤-【详解】(1), ()()()()()2222222log 3log 1log 2log 3log 144f x x x x x x =-+=--=--≥-即的值域为.()f x [)4,-+∞(2)∵不等式对任意实数恒成立,∴.()()f x g a ≤[]0,2a ∈()()min f x g a ≤, ()()()2214232223214a a a a a g a +=--=-⨯-=--令,∵,∴,2a t =[]0,2a ∈[]1,4t ∈设,,当时,取得最小值,即,()()214h t t =--[]1,4t ∈1t =()h t 4-()min 4g a =-∴,即,∴实数x 的值为2.()4f x ≤-()22log 144x --≤-21.已知二次函数.()()21,R f x x a x a a =-++∈(1)若关于的不等式对恒成立,求的取值范围;x ()1f x ≤-(]2,3x ∀∈a (2)已知函数,若对,使不等式成立,求的取值范()1g x x =-[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥a 围.【答案】(1) 72a ≥(2)或 {1aa ≤-∣3}a ≥【分析】(1)分离参数得对恒成立,只需,利用对勾函数211x x a x -+≥-(]2,3x ∀∈2max 11x x a x ⎛⎫-+≥ ⎪-⎝⎭单调性求最大值即可;(2)由,,使不等式成立可得 ,是一元二1[0,1]x ∀∈2[1,2]x ∃∈-12()()g x f x ≥min min ()()g x f x ≥()f x 次函数,利用对称轴位置分类讨论求最小值即可.【详解】(1)因为二次函数,()()21,R f x x a x a a =-++∈所以关于的不等式对恒成立,x ()1f x ≤-(]2,3x ∀∈转化为对恒成立,()211a x x x -≥-+(2,3]x ∀∈即对恒成立,211x x a x -+≥-(]2,3x ∀∈令,记,因为,所以,()22(1)111111111x x x x y x x x x -+-+-+===-++---1t x =-(]2,3x ∈(]1,2t ∈则,因为在上单调递增,11,(1,2]y t t t =++∈11y t t =++(1,2]t ∈所以,,所以; 2t =max 72y =72a ≥(2)对,使不等式成立, [][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥转化为 min ()g x min ()f x ≥, ()[]1,0,1g x x x =-∈ 在上单调递增,()g x ∴[]0,1,()min ()01g x g ∴==-, ()()[]2221211,1,224a a a f x x a x a x x +-+-⎛⎫=-++=-+∈- ⎪⎝⎭ ①当,即时,在上单调递增, 112a +≤-3a ≤-()f x []1,2-,()min ()122f x f a ∴=-=+此时,且,解得; 122a -≥+3a ≤-3a ≤-②当,即时,在上单调递减, 122a +≥3a ≥()f x []1,2-()min ()22,f x f a ∴==-此时,且,解得; 12a -≥-3a ≥3a ≥③当,即时,在上单调递减,在上单调递增, 1122a +-<<33a -<<()f x 11,2a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2min121(),24a a a f x f +-+-⎛⎫∴==⎪⎝⎭此时,且,解得,22114a a -+--≥33a -<<31a -<≤-综上所述,实数的取值范围为或. a {1aa ≤-∣3}a ≥22.已知为偶函数,为奇函数,且满足.()f x ()g x ()()12xf xg x --=(1)求函数、的解析式; ()f x ()g x (2)已知函数,,求函数的值域; ()()()g x h x f x =[]0,1x ∈()h x (3)若关于的方程在内恰有两个不等实根,求实数的取值范围.x ()()()23g x f x λ+=⎡⎤⎣⎦()1,1-λ【答案】(1) ()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(2) 30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3) 17,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)结合奇偶函数性质,令,两式联立可求、的解析式; x x =-()f x ()g x (2)化简得,结合单调性可求的值域; ()22121x h x =-+()h x (3)易得,令,结合奇偶性与单调性确定的取值()22222223x x x xλ---⋅+++=22x x t -=-()t x t范围,原方程等价为,分离参数得,令,结合单调性可()243t t λ++=234t t λ=--()234h t t t =--求的取值范围.λ【详解】(1)因为为偶函数,为奇函数,由已知可得,()f x ()g x ()()12xf xg x +---=即,所以,,解得; ()()12xf xg x ++=()()()()1122x x f x g x f x g x -+⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(2)由题意,,因为单调递增, ()222222121222121x x x x x x xh x ----===-+++()h x ,所以值域为;()()300,15h h ==()h x 30,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)由题知方程在区间内恰有两个不等实根.()22222223x x x xλ---⋅+++=()1,1-显然不是该方程的根,令,则原方程可变形为,0x =22x xt -=-()243t t λ++=由,所以为偶函数,()()()2222x x x xt x t x t x --=-⇒-=-=()t x 当时,单调递增,所以,()0,1x ∈()212x xt x =-30,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则题意转化为方程在区间内有唯一实根(因为每一个在区间内234t t λ=--30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭30,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,1-恰有两个值与之对应).x 设,显然在区间内单调递减,()234h t t t =--()h t 30,2⎛⎫⎪⎝⎭又时,,当时,,所以.0t →()h t →+∞32t →()174h t →-174λ>-综上所述,所求常数的取值范围是.λ17,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭。
黑龙江省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一学年数学试题答题时间:120分钟 满分:150分一、单选题(本大题共8小题,共40.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 若集合,,则( ){}1,2,3A ={}0,1,2B =A B = A. B.C.D.{}0,1{}2,3{}0,3{}1,2【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义,即得解 【详解】由题意,利用交集的定义,A B = {}1,2故选:D2. 设,则“”是“”的( ) R a ∈2a <6a <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件,利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】,则当时,必有,222a a <⇔-<<2a <6a <反之当时,不一定成立,如,满足,而不满足, 6a <2a <3a =6a <2a <所以“”是“”的充分不必要条件. 2a <6a <故选:A3. 已知函数,若,则( )()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩()21f f =⎡⎤⎣⎦=a A. B. C. D.2-7-15【答案】B 【解析】【分析】先计算出,然后得出,即可求出实数的值.()23f =-()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦a【详解】,,()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()21233f -∴=-=-则,得,解得. ()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦92a +=7a =-故选:B.【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解,解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算,考查计算能力,属于基础题.4. 已知角终边上一点,则的值为 α(2,3)P -cos()sin()2cos()sin(3)παπαπαπα++--A.B. C.D. 3232-2323-【答案】A 【解析】【详解】角终边上一点,所以. α()2,3P -32tan α=-.故选A. ()()()()()cos sin 32cos sin 32sin sin tan cos sin παπααααπαπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-=---5. 若两个正实数满足,且存在这样的使不等式有解,则实数的,x y 2x y xy +=,x y 228x y m m +<+m 取值范围是( ) A.B.()1,9-()9,1-C. D.()(),91,∞∞--⋃+()(),19,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得满足,再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值,最后,x y 211x y+=2x y +解不等式即可.【详解】由得, 2x y xy +=211x y+=,()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时,等号成立,3x y ==则使不等式有解,只需满足即可, 228x y m m +<+289m m +>解得. ()(),91,m ∞∞∈--⋃+故选:C. 6. 函数的定义域为( )y =A. B.C. D.[)1,+∞3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎛⎤⎥⎝⎦30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.【详解】解:函数,解得,y =()0.534304log 4301x x x x ⎧->⎧>⎪⇒⎨⎨-≥⎩⎪≤⎩314x <≤故函数定义域为.3,14⎛⎤⎥⎝⎦故选:C.7. 下列说法正确的是( ) A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同角60︒600︒C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角D. 将表的分针拨慢分钟,则分针转过的角的弧度数为 10π3【答案】D 【解析】【分析】举反例说明A 错误;由终边相同角的概念说明B 错误;由三角形的内角的范围说明C 错误;求出分针转过的角的弧度数说明D 正确.【详解】对于,是第二象限角,是第一象限角,,故A 错误; A 120︒420︒120420︒<︒对于B ,,与终边不同,故B 错误;600360240︒=︒+︒60︒对于C ,三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角,故C 错误; y 对于D ,分针转一周为分钟,转过的角度为,将分针拨慢是逆时针旋转,602π钟表拨慢分钟,则分针所转过的弧度数为,故D 正确. ∴101π2π63⨯=故选:D .8. 设奇函数在上是增函数,且,若对所有的及任意的都满足()f x [1,1]-(1)1f -=-[1,1]x ∈-[1,1]m ∈-,则t 的取值范围是( )2()21f x t mt ≤-+A.B. [2,2]-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.D.11,,{0}22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭(,2][2,){0}-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由奇函数在上是增函数,且得最大值为1,则有对任意()f x [1,1]-(1)1f -=-()f x 220t mt -≥的成立,将m 看成变量,得出不等式组,解之可得结果. [1,1]m ∈-【详解】因为奇函数在上是增函数,且, ()f x [1,1]-(1)1f -=-所以的最大值为1. ()f x 所以只需2211t mt -+≥即对任意的恒成立即可, 220t mt -≥[1,1]m ∈-令,2()2g m t mt =-则,即 (1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩解得或或. 2t ≥2t ≤-0=t 故选:D .二、多选题(本大题共4小题,共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)9. 下列说法中,正确的是( ) A. 若,,则B. 若,则 0b a >>0m >a m ab m b+>+22a b c c >a b >C. 若,,则 D. 若,,则a b >c d <a c b d ->-22a b >0ab >11a b<【答案】ABC 【解析】【分析】利用作差法可判断A ,再根据不等式的性质判断BC ,举反例判断D 即可.【详解】对A ,若,,则,故A 正确; 0b a >>0m >()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++对B ,因为,故,故,故B 正确; 22a b c c>20c >a b >对C ,若,,则,则,故C 正确; a b >c d <c d ->-a c b d ->-对D ,若,则,,但,故D 错误; 2,1a b =-=-22a b >0ab >11a b>故选:ABC10. 已知,则下列不等式成立的有( ) e e a b >A.B. C.D.11a b<31a b ->20212021a b >lg()1a b -<【答案】BC 【解析】【分析】先由,得,再根据不等式的性质,指数函数、幂函数的单调性及特殊值法即可判e e a b >a b >断.【详解】由,得.当,时,,故选项A 不正确; e e a b >a b >2a =1b =-11112a b=>-=,,又在上单调递增,,故选项B 正确;a b > 0a b ∴->3x y =R 0331a b -∴>=在上单调递增,,,故选项C 正确; 2021y x = R a b >20212021a b ∴>当,时,,故选项D 不正确. 101a =1b =lg()21a b -=>故选:BC11. 下列结论正确的是( ) A. 是第三象限角 76π-B. 若,则tan 2α=sin cos 3sin cos αααα+=-C. 若圆心角为的扇形的弧长为,则该扇形面积为3ππ32πD. 终边经过点的角的集合是()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BCD 【解析】【分析】直接利用象限角的定义,同角三角函数关系式,扇形面积公式的计算来判断各选项的结论.【详解】,是第二象限角,故A 错误; 766πππ-=--若,则,故B 正确;tan 2α=sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--圆心角为的扇形的弧长为,扇形的半径为,面积为,故C 正确;3ππ33ππ=13322ππ⨯⨯=终边经过点,该终边为第一象限的角平分线,即角的集合是,故()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D 正确; 故选:BCD12. 已知函数,方程有四个不同的实数根,从小()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()220(0)f x f x m m +-=>到大依次是则下列说法正确的有( ) 1234,,,,x x x x A. B.C.D. 可以取到313x <-122x x +<-342x x =m 【答案】BD 【解析】【分析】由分段函数对应区间上指对数函数的性质画出函数图象,根据已知方程知两个零点、1()f x 分别在的两侧,结合图象及原方程根的个数确定、的范围,进而得到2()f x ()1f x =-1()f x 2()f x 的范围,即可确定答案.1234,,,x x x x 【详解】由题设,,其函数图象如下:2222,0()log ,01log ,1x x f xx x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩而的对称轴为且,即,2()2()y f x f x m =+-()1f x =-440m ∆=+>1m >-所以必有两个零点、分别在的两侧, 0y =1()f x 2()f x ()1f x =-由上图知:且,满足原方程有四个实根, 10()1f x <≤23()2f x -≤<-故,则,D 正确; 123()()0f x f x m -≤=-<03m <≤所以:;且;13222x --≤-<-21log 52x -≤<-210x -<≤:;且:.;230log 1x <-≤3112x <≤240log 1x <≤412x <≤所以且,则, 212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤341x x =122x x +<-故A 、C 错误,B 正确. 故选:BD【点睛】关键点点睛:根据分段函数上指对数函数的性质画出函数图象,由方程判断、的分1()f x 2()f x 布并结合函数图象确定它们的范围,进而确定根的范围.三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 若幂函数的图象不经过原点,则实数的值为________.()222()1mmf x m m x+=--m 【答案】-1 【解析】【分析】根据函数是幂函数,由求得m ,再图象不经过原点确定. ()()2221m mf x m m x+=--211m m --=【详解】因为函数是幂函数,()()2221mmf x m m x+=--所以,解得或;211m m --=1m =-2m =当时,,图象不经过原点,满足题意;1m =-()1f x x -=当时,,图象经过原点,不满足题意;2m =()8f x x =所以. 1m =-故答案为:.1-14. 若“”的否定是假命题,则实数的取值范围是____.2000R,22x x x m ∃∈++=m 【答案】 [)1,+∞【解析】【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题,再利用存在量词命2000R,22x x x m ∃∈++=题为真得关于x 的方程有实根,最后利用判别式计算得结论. 2220x x m ++-=【详解】因为“”的否定是假命题, 2000R,22x x x m ∃∈++=所以“”是真命题, 2000R,22x x x m ∃∈++=因此关于x 的方程有实根, 2220x x m ++-=所以,解得. 2241(2)0m ∆=-⨯⨯-≥1m ≥因此实数m 的取值范围是. 1m ≥故答案为:.[)1,+∞15. 已知函数是定义在上的偶函数,且()()2231f x ax b a x b =+--+23,2a a ⎡⎤-⎣⎦,则m 的取值范围的集合是______.()()2113f m f m -<+【答案】或. {|0m m >2}m <-【解析】【分析】利用已知求出,再利用函数的奇偶性和单调性得到,解不等式()25f x x =-|21||13|m m -<+即得解.【详解】解:由题得. 22320,132a a a a a⎧-+=∴=⎨-<⎩所以,()()2231f x x b x b =+--+因为函数是偶函数,所以.()()()22(),231231,2f x f x x b x b x b x b b -=∴---+-++=-∴=所以.()25f x x =-所以函数在单调递减,在单调递增. (,0)-∞(0,)+∞因为,所以, ()()2113f m f m -<+|21||13|m m -<+平方得或.220,0m m m +>∴>2m <-所以m 的取值范围的集合是或.{|0m m >2}m <-故答案为:或.{|0m m >2}m <-16. 已知,函数,,若0a ≠()2cos 2cos 1f x x x x a =+--()()2log 32g x a x =+-,,有,则实数a 的取值范围是______.1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =【答案】 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用三角恒等变换化简,由三角函数的性质求得,由题意得()f x ()[]11,2f x a a ∈---的值域是的子集,结合的单调性分类讨论求解即可.()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---()g x 【详解】,()2cos 2cos 12cos22sin 26f x x x x a x x a x a π⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭∵,∴,∴,∴. 1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]11,2f x a a ∈---∵,,有,1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =∴的值域是的子集.()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---①当时,,则,此时,解得;0a >[]1,5x ∈()[]22,32g x a a ∈--1223220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩113a ≤≤②当时,,则,此时,无解.0a <[]1,5x ∈()[]32,22g x a a ∈--1322220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪<⎩综合①②,. 1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为:.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题(本大题共6小题,共70.0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. 化简与求值. (1)若, 3π2π2α<<.(2)已知,求. 1tan 3α=-22sin cos cos ααα⋅-【答案】(1) 2sin α-(2) 32-【解析】 【分析】(1)根据,判断的正负,将原式进行化简,去绝对值即可; 3π2π2α<<sin α(2)将原式分母看为,分子分母同除以,原式即可化为关于的式子,将22sin cos αα+2cos αtan α1tan 3α=-代入即可求值. 【小问1详解】 解:由题知, 3π2π,sin 02αα<<∴<原式 ∴=+=1cos 1cos sin sin αααα-+=+1cos 1cos sin sin αααα-+=--; 2sin α=-【小问2详解】 由题知, 1tan 3α=-故原式 22222sin cos cos 2sin cos cos sin cos αααααααα⋅-⋅-=+22tan 1tan 1αα-=+ 53109-=.32=-18. 已知函数 ()2sin 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(1)求函数的最小正周期()f x (2)求函数的对称轴方程和对称中心 ()f x (3)求的单调递增区间 ()f x 【答案】(1)T π=(2)对称轴方程为:,,对称中心为, 212k x π5π=+Z k ∈,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈(3) , 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【解析】【分析】(1)化简得,利用正弦函数的周期公式,计算可得答()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭案;(2)根据正弦函数对称轴方程和对称中心的公式,直接计算可得答案; (3)根据复合函数的单调性,得到,计算可得函数的单调递增区间. 32k 22k 232x πππππ+≤-≤+()f x 【小问1详解】由题意知:()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得函数的最小正周期为: 22T ππ==【小问2详解】 由得函数的对称轴方程为:, 232x k πππ-=+212k x π5π=+Z k ∈由得,∴对称中心为, 23x k ππ-=26k x ππ=+,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【小问3详解】 由得,32k 22k 232x πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ+≤≤+Z k ∈∴函数的单调递增区间为: , ()f x 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈19. 已知函数. 21()cos cos 2f x x x x =+-(1)解不等式,其中. 1()2f x ≥ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)在锐角中,,求的取值范围. ABC A π3A =()()f B f C +【答案】(1) ,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦(2) 1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为,根据得到()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,然后解不等式,可得求解即可;ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+ππ5π2266x <+≤(2)利用已知条件求出角的取值范围,利用三角恒等变换化简得出,利B ()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. ()()f B f C +【小问1详解】()1cos 211π22cos 2sin 22226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭,ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,即,1()2f x ≥sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+,解得 ππ5π2266x ∴<+≤ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式的解集为. 1()2f x ≥ππ,63⎛⎤⎥⎝⎦【小问2详解】由题意可得且,可得,π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩π3A =ππ62B <<∵, π,π3A ABC =++=∴, 2π3C B =-πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭,πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵,则, ππ62B <<ππ5π2666B <-<∴. 1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故的取值范围为. ()()f B f C +1,12⎛⎤⎥⎝⎦20. 已知. π0,,sin 2cos 2ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭(1)求的值;2sin24cos 2tan ααα-+(2)若,且,求的值. ()0,πβ∈πsin 4β⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ+【答案】(1) 2425-(2)π4【解析】【分析】(1)利用换元法及同角三角函数的平方关系,结合二倍角的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解;(2)利用两角差的正弦公式及换元法,结合同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】令则由于所以,cos ,t α=π0,,2α⎛⎫∈⎪⎝⎭(0,1)t∈sin α=从而,即于是有,即2t =2t =22154,t t-=+-2540t -+=解得 22)0,-=t ==所以,cos αα==所以,, 4sin 22sin cos 25ααα=⋅==sin 1tan cos 2ααα==所以. 244124sin 24cos 24555152tan 25222ααα-⨯-==-=-++【小问2详解】πsin cos )4βββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭从而,所以,从而,sin cos ββ-=sin cos ββ<π0,,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+令,则, sin t β=cos t β⎛=∈⎝从而,于是有,t =t +=22215t t ++=-即,即, 23205t +-=21030,Δ40410(3)160t +-==-⨯⨯-=从而(舍),t ===t ==即, sin ββ==所以. cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因为,所以. 3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+π4αβ+=21. 已知函数. ()222sin 14f x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(1)当,且的最大值为,求的值;5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32m (2)方程在上的两解分别为、,求的值. ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()12cos x x -【答案】(1);(2). 12m =()123cos 4x x -=【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,令()y f x =()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,可得,再令,可将问题转化为二次函数26s x π=-()22sin 4sin 1g x s m s =-++[]sin 0,1t s =∈在上的最大值为,利用二次函数的基本性质可求出实数的值;2241y t mt =-++[]0,1t ∈32m (2)设,由题意求得,12x x <123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的值,求出的取值范围,进而2cos 26x π⎛⎫-=⎪⎝⎭()12cos 22x x -12x x -利用二倍角余弦公式可求出的值. ()12cos x x -【详解】(1)()222sin 14f x x x π⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭, 1cos 21cos 22212cos 22sin 2226x x x x x ππ⎛⎫-+ ⎪-⎛⎫⎝⎭=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭当时,令,则,则.5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦220,63s x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦26x s π=+[]sin 0,1s ∈,()24sin sin 2cos 24sin 2sin 4sin 12g x m s s s m s s m s π⎛⎫∴=++=+=-++ ⎪⎝⎭令,令,该二次函数图象开口向上,对称轴为直线. []sin 0,1t s =∈2241y t mt =-++t m =①当时,二次函数在区间上单调递减, 0m ≤2241y t mt =-++[]0,1则,不合乎题意; max 312y =≠②当时,二次函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则01m <<2241y t mt =-++[]0,m [],1m ,解得或(舍);2max 3212y m =+=12m =12m =-③当时,二次函数在区间上单调递增, m 1≥2241y t mt =-++[]0,1则,解得(舍). max 3412y m =-=58m =综上所述,; 12m =(2)设,,则, 12x x <0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由于正弦函数在区间上单调递增,在区间上单调递减, sin y x =,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由,得, ()32sin 262f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为方程在上的两解分别为、, ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 则,必有,, 123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10262x ππ<-<252266x πππ<-<所以,,同理 1cos 26x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭2cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()1212cos 22cos 2266x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2121231cos 2cos 2sin 2sin 2666648x x x x ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝由于,且,,则,102x π≤≤202x π≤≤12x x <1202x x π∴-≤-<()12cos 0x x -≥由,可得.()()21212cos 222cos1x x x x -=--()123cos 4x x -==【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数,同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值,考查计算能力,属于中等题.22. 已知指数函数满足. ()f x ()()112f f --=(1)求的解析式;()f x (2)设函数,若方程有4个不相等的实数解()()()2g x f x kf x =+()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x .(i )求实数的取值范围;k (i i )证明:. 12344x x x x +++<【答案】(1)())1xf x =+(2)(i );(i i )证明详见解析 (6,--【解析】【分析】(1)根据指数函数的知识求得的解析式.()f x (2)利用换元法,结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以k 及放缩法证得. 12344x x x x +++<【小问1详解】设(且),()xf x a =0a >1a ≠由于,所以, ()()112f f --=212,210a a a a -=--=由于且,所以解得,0a >1a ≠1a =+所以.())1xf x =+【小问2详解】(i ),()()()))2211xxg x f x kf x k=+=+++方程有4个不相等的实数解.()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x即①有4个不相等的实数解.))))221111100xx x xkk --+++++=1234,,,x x x x令,则, ))11xxt -=++))222112x xt -=++++,))112x x t -=+++≥=当且仅当时等号成立.))11,0xxx -+==所以①化为②, 2221080t kt t kt -++=++=对于函数,,()))11xxh x -=++()))()11xxh x h x --=+++=所以是偶函数,图象关于轴对称,()h x y 当时,令,,,0x >)1xv =+1v >()1m v v v=+任取,, 121v v <<()()()()121212121212111v v v v m v m v v v v v v v ---=+--=其中,()()121212120,1,10,0v v v v v v m v m v -<>->-<,所以在上递增,()()12m v m v <()m v ()1,+∞根据复合函数单调性同增异减可知在上递增; ()h x ()0,∞+由于是偶函数,所以在上递减. ()h x ()h x (),0∞-所以的最小值是.()h x ()02h =所以方程②在上有两个不同的实数根,()2,+∞所以,解得22Δ320222280k k k ⎧=->⎪⎪->⎨⎪++>⎪⎩6k -<<-所以的取值范围是.k (6,--(i i )由于是偶函数,图象关于轴对称, ()h x y 所以不妨设, 31420,0x x x x =->=->所以要证明, 12344x x x x +++<即证明,即证明.()3424x x +<342x x +<设方程②的两个不同的实数根为,则,12,t t 1212,8t t k t t +=-⋅=,()2222121212216t t t t t t k +=+-=-由整理得,))()110xxt x -=++>))()211100xxt x +-⋅++=>解得,)1x+=34,x x 所以,1x =则, 3411x x+=+ 1⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎣⎦1=⎣⎦1=⎣⎦ 1<⎣⎦ 1=⎣⎦1=,1=由于,()2632,36k k -<<-∈所以11<,()2111312==+==即,所以.342x x +<12344x x x x +++<【点睛】本题的主要难点有两个,一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围,涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明,首先根据奇偶性将所证明的不等式简化,然后通过解复杂的指数方程,再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形:,右侧部分还可变形为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭a b +≤。
2025届黑龙江省哈尔滨市哈三中高一上数学期末综合测试试题含解析
3, b
log 1
2
1 3
,
c
1 2
0.3
,则
A. a b c
B. a c b
C. b c a
D. b a c
3.已知函数
f
(x)
2x
x2 ,则不等式
f
(2 cos x)
3,
x
2
,
2
的解集为(
)
A.
6
,
6
B.
3
,
3
C.
2
,
6
6
,
2
D.
2
,
3
11、[ 2, 2]
【解析】 f x
1 cosx
1 cosx
2sin2 x 2
2cos2 x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
2sin
x 2
4
,
又
x
0
,
2
,∴
x 2
4
4
, 2
,∴
2sin
x 2
4
2, 2
故答案为 2, 2
12、
0,
1 6
1 3
,
2 3
【解析】根据正弦函数的图像与性质,可求得取最值时的自变量值,由 f x 在区间 , 2 上没有最值可知
,∵
x
R, x
12
R
,∴
1
sin
x
12
1 ,则
f
x 的最大值为 2 ;
∵ 1,∴周期T 2 ;当 x k k Z 时,f x 图象关于某一点对称,∴当 k 0 ,求出 x ,即 f x
黑龙江省哈三中2025届高一上数学期末达标检测模拟试题含解析
f30来自,所以fAsin
A 2cos
A tan
A
1的零点位于区间
π 4
,
π 3
,
即满足
sin
A
2
cos
A
tan
A
1的角
A
π 4
,
π 3
,
故选:C
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是令 f A sin A 2cos A tan A 1,根据零点存在定理判断函数的零点
所在的区间. 4、B
xy2
xy 2 y x 2
yx 2
yx
3
3
故答案为: 9 2
13、 3 【解析】利用 sin(x ) [1,1]可求最大值.
6
【详解】因为 x 2k ,即 x 2k 2 , k Z , y sin(x ) 取到最小值 1;
6
2
3
6
所以函数 y 3sin(x ) 的最大值为 3 . 6
D.[5π , π] 6
5.如果两个函数的图象经过平移后能够重合,则称这两个函数为“互为生成”函数,给出下列函数:①f x sinx ;
②f
x
sinx
cosx
;③f
x
2cos
x
12
;④f
x
3sinx 2cos2 x ,其中“互为生成”函数的是 ( 2
)
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ③④
不同的交点,它们的横坐标分别为 x1, x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是(
)
A. 2,6 2 3
B. 2, 3 1
C. 4,8 2 3
D. (0, 4 2 3)
黑龙江省哈三中2022年高一数学第一学期期末调研试题含解析
(1)若从第 3 , 4 , 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3 , 4 , 5 组各抽取多少名
志愿者?
(2)在(1)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 5 组志愿者有被抽中的
概率.
21.已知函数
f
(x)
A.2
C. 2 2
B.4
D. 4 2
9.已知 sin cos
5 ,则 tan 1 的值为()
2
tan
A.-4
B.4
C.-8
D.8
10.若
cos
5 12
5 3
,则
sin
12
(
)
A. 5 3
B. 2 3
2
C.
D. 5
3
5
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
11.已知
8
tan cos sin sin cos
故选:C.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系,应用了 sin2 cos2 1以及切弦互化求值,属于基础题.
10、A
【解析】令 5 ,则 cos 12
5 3
,所以 sin
12
sin
2
,由诱导公式可得结果.
【详解】令
5 12
,则
5 12
对于 B,若 m / / , n , m 不一定与 n 平行,不正确;
对于 C,若 m // n , m , 则 n 正确;
对于 D,若 m , n , m // n ,则 / / 正确.
故选:B.
5、C
【解析】根据补集的定义可得结果.
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末数学试题一、单选题1.已知{}210A x x =-≥,{}xB y y e==,则A B =I( )A .()0+∞,B .(],1-∞-C .[)1,+∞D .(][),11,-∞-+∞U【答案】C【解析】求出集合A ,B ,直接进行交集运算即可. 【详解】{}{}21011A x x x x x =-≥=≤-≥或,{}{}0x B y y e y y ===>, {}1A B x x ⋂=≥故选:C 【点睛】本题考查集合的交集运算,指数函数的值域,属于基础题. 2.化简cos 480o 的值是( )A .12B .12-C D . 【答案】B【解析】利用终边相同的角同名函数相同,可转化为求120︒的余弦值即可. 【详解】1cos 480cos(360120)cos1202︒=︒+︒=︒=-.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值,属于容易题.3.已知()sin 2f x x x =,则()f x 的周期为( ) A .π B .2πC .1D .2【答案】A【解析】利用两角和的正弦公式化简函数,2ω=代入周期计算公式2T πω=即可求得周期. 【详解】()sin 222sin(2)3f x x x x π==+,周期为:22T ππ== 故选:A 【点睛】本题考查两角和的正弦公式,三角函数的最小正周期,属于基础题. 4.已知扇形的周长为6cm ,圆心角为14,则扇形面积为( ) A .22cm B .289cmC .298cm D .21cm【答案】B【解析】周长为6cm 则26R l +=,代入扇形弧长公式解得83R =,代入扇形面积公式212S R α=即可得解. 【详解】由题意知26R l +=,14l R =代入方程解得83R =, 所以11648==2499S ⨯⨯ 故选:B 【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式,属于基础题. 5.方程2log 2x x +=的解所在的区间为( ) A .(0,1) B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)【答案】B【解析】令2()log 2f x x x =+-,由(1)(2)0f f <可知方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,2). 【详解】令2()log 2f x x x =+-,21(1)log 1210f =+-=-<,22(2)log 2210f ==+->,因为(1)(2)0f f <,所以()f x 在(1,2)上有零点,因此方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,2). 故选:B 【点睛】本题考查求函数零点范围,属于基础题. 6.已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=,则22sin sin cos ααα-=( ) A .2110B .32CD .2【答案】A【解析】由三角函数诱导公式化简等式可得tan 3α=-,利用221sin cos αα=+将所求等式化简为含tan α的分式,代入tan 3α=-即可得解. 【详解】化简得3cos sin αα-=,则tan 3α=-222222sin sin cos 2tan tan sin cos tan 1αααααααα--=++=2110 故选:A 【点睛】本题考查三角函数诱导公式二、六,同角三角函数的关系,属于基础题.7.比较133log 2a =,151()3b -=,152()3c -=的大小( )A .c b a <<B .c a b <<C .a b c <<D .a c b <<【答案】D【解析】由对数函数的单调性判断出133log 02a =<,再根据幂函数15y x -=在(0,)+∞上单调递减判断出115512()(0)33-->>,即可确定大小关系.【详解】因为133log 02a =<,115512()(0)33-->>,所以a c b <<故选:D 【点睛】本题考查利用对数函数及幂函数的单调性比较数的大小,属于基础题.8.为了得到sin(2)6y x π=-的图象,可以将sin 2y x =的图象( )A .向左平移1112π个单位 B .向左平移12π个单位C .向右平移6π个单位 D .向右平移3π个单位 【答案】A【解析】根据左加右减原则,只需将函数sin 2y x =向左平移1112π个单位可得到sin(2)6y x π=-.【详解】1111sin 2()sin(2)sin[(2)2]sin(2)12666y x x x x πππππ=+=+=-+=-, 即sin 2y x =向左平移1112π个单位可得到sin(2)6y x π=-.故选:A 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质,三角函数诱导公式,属于基础题. 9.已知函数()2tan(2)f x x φ=-+,(0)2πφ<<,其函数图象的一个对称中心是(,0)12π,则该函数的一个单调递减区间是( )A .5(,)66ππ-B .ππ(,)63-C .(,)36ππ-D .5(,)1212ππ-【答案】D【解析】由正切函数的对称中心得3=πφ,得到()2tan(2)3f x x π=-+,令222322k k x πππππ-+<+<+可解得函数的单调递减区间. 【详解】 因为(,0)12π是函数的对称中心,所以=()1222k k Z πφπ+∈⨯,解得()26k k Z ππφ=-∈ 因为02πφ<<,所以3=πφ,()2tan(2)3f x x π=-+,令2)23(2k x k k Z πππππ-+<+<+∈,解得)5++(122122k Z k k x ππππ-∈<<, 当0k =时,函数的一个单调递减区间是5(,)1212ππ- 故选:D 【点睛】本题考查正切函数的图像与性质,属于基础题. 10.已知函数2()sin()2cos 2264f x x x πππ=+--,则()f x 在3[0,]2上的最大值与最小值之和为( ) A .92-B .72-C .0D .112-【答案】D【解析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为()sin()326f x x ππ=--,当3[0,]2x ∈时,7[,]26612x ππππ-∈-,由正弦型函数的单调性即可求出最值.【详解】21cos12()sin()2cos 2=+cos 22264222221cos 3sin()3222226x f x x x x x x x x ππππππππππ+=+---⨯-=--=--当3[0,]2x ∈时,7[,]26612x ππππ-∈-,max 7()(0)sin()362f x f π==--=-min 4()()sin()3232f x f π==-=-所以最大值与最小值之和为:112-. 故选:D 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式,正弦型函数的单调性与最值,属于基础题. 11.已知sin y x ω=的图象在[0,1]上存在10个最高点,则ω的范围( )A .3741[,)22ππB .[20,22)ππC .3741[,]22ππD .(20,22)ππ【答案】A【解析】根据题意列出周期应满足的条件,解得444137T <≤,代入周期计算公式即可解得ω的范围. 【详解】由题可知1(9)141(10)14T T ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,解得444137T <≤, 则4244137πω<≤,374122ππω≤< 故选:A 【点睛】本题考查正弦函数图像的性质与周期,属于中档题.12.定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且当[0,2]x ∈时,2()f x x =,则方程()f x m =(14)m <<在[2019,2019]-上的所有根的和为( ) A .1004- B .3028 C .2019 D .2020【答案】D【解析】首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性,作出函数图像,()f x m =(14)m <<在[2019,2019]-上的所有根等价于函数()f x 与y m =图像的交点,从两函数的交点找到根之间的关系,从而求得所有根的和. 【详解】函数()f x 为奇函数,所以(4)()()f x f x f x -=-=-,则()f x 的对称轴为:2x =-, 由(8)((4)4)(4)()f x f x f x f x -=--=--=知函数周期为8,作出函数图像如下:()f x m =(14)m <<在[2019,2019]-上的所有根等价于函数()f x 与y m =图像的交点,交点横坐标按如图所示顺序排列, 因为(2019)(3)1f f ==,(2019)(3)1f f -=-=-,所以两图像在y 轴左侧有504个交点,在y 轴右侧有506个交点,3456100910101222222x x x x x x x x ++++=====L 123456*********x x x x x x x x +=+=+==+=L 123456100910102020x x x x x x x x ++++++++=L故选:D 【点睛】本题考查函数的图像与性质,根据函数的解析式推出周期性与对称性,考查函数的交点与方程的根的关系,属于中档题.二、填空题13.tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______ 【答案】1【解析】解:因为tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=114.已知log (1)a y ax =-在(1,2)上单调递增,则a 的范围是_____【答案】1 02a<≤【解析】令()1g x ax=-,利用复合函数的单调性分论讨论函数()g x的单调性,列出关于a的不等式组,求解即可.【详解】令()1g x ax=-当1a>时,由题意知()1g x ax=-在(1,2)上单调递增且10y ax=->对任意的(1,2)x∈恒成立,则1(1)10aag a>⎧⎪->⎨⎪=-≥⎩,无解;当01a<<时,由题意知()1g x ax=-在(1,2)上单调递减且10y ax=->对任意的(1,2)x∈恒成立,则01(2)120aag a<<⎧⎪-<⎨⎪=-≥⎩,解得12a<≤.故答案为:12a<≤【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性,同增异减,求解时注意对数函数的定义域,属于基础题.15.函数sin()y A x bωφ=++,其中0A>,0>ω,||2πφ<的图象如图所示,求y的解析式____【答案】14sin()223y xπ=++【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出A,b,然后由图像求出函数周期从而计算出12ω=,再由函数过点4(,2)3π求出3πφ=.【详解】6(2)6(2)4,222A b --+-====, 42()2233T πππ=--=,24T ππω==,解得12ω=,则14sin()22y x φ=++,因为函数过点4(,2)3π, 所以14sin()023πφ⨯+=,14()23k k Z πφπ⨯+=∈,解得2()3k k Z πφπ=-+∈因为||2πφ<,所以3πφ=, 14sin()223y x π=++.故答案为:14sin()223y x π=++【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式,第一步通过图像的最值确定A ,b 的值,第二步通过周期确定ω的值,第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及16.已知函数11,[0,2](){1(2),(2,)2x x f x f x x --∈=-∈+∞,若0x >时,()kf x x≤恒成立,则实数k 的取值范围是 . 【答案】3[,)2+∞【解析】试题分析:当01x ≤≤时,()111(1)f x x x x =--=--=, 当12x <≤时,()111(1)2f x x x x =--=--=-,又11,[0,2](){1(2),(2,)2x x f x f x x --∈=-∈+∞,如图所示:当[2(1),2]x n n ∈-时,()f x 在21x n =-处取得最大值,且max ()(21)f x f n =-, 令(21)n a f n =-,则数列{}n a 是以1为首项,以12为公比的等比数列, ∴11111()22n n n a --=⨯=,∴11(21)2n f n --=, 若0x >时,()k f x x ≤恒成立,只需*n N ∀∈,当[2(1),2]x n n ∈-上,均有()kf x x≤恒成立,结合图形知:(21)21k f n n -≤-11221n k n -⇒≤-,∴1212n n k --≥,∴max 121()2n n k --≥,令1212n n n b --=,11212132222n n n n nn n nb b +-+---=-=, 当1n =时,10n n b b +->,∴1n n b b +>,∴12b b <, 当2n ≥时,10n n b b +-<,1n n b b +<,∴234b b b >>>L , ∴2b 最大,∴max 2212213()22n b b -⨯-===,∴32k ≥. 【考点】1.函数图像;2.恒成立问题;3.数列的最值.三、解答题 17.求下列各式的值(1)22cos 101sin 35cos35-o o o; (2)cos 7cos8cos15cos 23cos8cos15--o o oo o o【答案】(1)2;(2)1-. 【解析】(1)首先利用公式21cos 2cos 2αα+=降幂,然后将20o 写为9070-o o 将cos 20o 化为sin 70o 即可得解; (2)将7o 记为158-o o ,23o 记为158+o o ,再用公式()(),C C αβαβ-+展开,然后化简求值.【详解】(1)原式=1cos2012sin702 1sin70sin702+-==o ooo(2)原式=cos(158)cos8cos15cos8cos15sin8sin15cos8cos15cos(158)cos8cos15cos8cos15sin8sin15cos8cos15 --+-=+---o o o o o o o o o oo o o o o o o o o osin15sin81sin15sin8==--o oo o故答案为:2;-1【点睛】本题考查三角函数诱导公式,二倍角公式,两角和与差的余弦公式,属于基础题.18.已知函数()2sin(2)13f x xπ=++(1)写出函数()f x单调递减区间和其图象的对称轴方程;(2)用五点法作图,填表并作出()f x在5[,]66ππ-的图象.23xπ+xy【答案】(1)递减区间7,,1212k k k Zππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭,对称轴方程:()122kx k Zππ=+∈;(2)见解析【解析】(1)由正弦型函数的单调性与对称性即可求得()f x的单调区间与对称轴;(2)根据五点作图法规则补充表格,然后在所给坐标中描出所取五点,以光滑曲线连接即可. 【详解】 (1) 令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 令2()32x k k Z πππ+=+∈,解得1()122x k k Z ππ=+∈, 所以函数的递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭,对称轴方程:()122k x k Z ππ=+∈; (2)23x π+2π π32π 2πx 6π-12π3π 712π 56π y 131-11【点睛】本题考查正弦型函数的单调性与对称性,五点法作正(余)弦型函数的图像,属于基础题. 19.已知22()log 2axf x x +=-为奇函数,且0a > (1)求a 的值;(2)判断()f x 在()2,+∞上的单调性,并用单调性定义证明. 【答案】(1)1a =;(2)递减,见解析【解析】(1)函数()f x 是奇函数,所以()()f x f x -=- ,得到2222log log 22ax axx x -+=----,从而解得1a =;(2) 在区间()2,+∞上任取两个数12,x x ,且12x x <,判断21()()f x f x -的符号,得到21()()f x f x <,由此证明函数()f x 的单调性. 【详解】(1) 由题意知()()f x f x -=-,则2222log log 22ax axx x -+=---- 2222ax x x ax--=--+,解得1a =;(2)函数 22()log 2axf x x +=-在()2,+∞上单调递减,证明如下: 在区间()2,+∞上任取两个数12,x x ,且12x x <,212121222212122(2)(2)()()log log log 22(2)(2)x x x x f x f x x x x x +++--=-=---+ 因为122x x <<,所以212121(2)(2)(2)(2)4()0x x x x x x +---+=--< 即21210(2)(2)(2)(2)x x x x <+-<-+,2121(2)(2)01(2)(2)x x x x +-<<-+,所以2121221(2)(2)()()log 0(2)(2)x x f x f x x x +--=<-+即21()()f x f x <,函数22()log 2axf x x +=-在()2,+∞上单调递减. 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数,利用定义证明函数的单调性,属于基础题. 20.2()2sin sin sin sin cos 2626222x x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11()42x π->,求x 的范围;(2)若()f α,312cos()413πβ-=-,且344ππα<<,3744ππβ<<,求sin()αβ-.【答案】(1)5{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈;(2)16sin()65αβ-=. 【解析】(1)利用公式1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+ 化简函数解析式可得())24f x x π=+ ,将函数解析式代入不等式得1sin 2x > ,即可求得x 的取值范围;(2)由()f α求得3sin()45πα+=,根据,αβ的范围求出24ππαπ<+<,304πβπ<-<,从而求得4cos()45πα+=-,5sin()413πα+=,再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】111cos 1()2(cos )sin 222211cos sin )224x f x x xx x x π-=-⨯-++=+=+1()42x π->12n 2x >,1sin 2x >, 5(2,2)()66x k k k Z ππππ∈++∈(2) 3()))445f ππααα=+=+= 因为344ππα<<,所以24ππαπ<+<,4cos()45πα+=-,因为3744ππβ<<,所以304πβπ<-<,5sin()413πα+=, 3sin()sin[()()]443316sin()cos()cos()sin()444465ππαβπαβππππαβαβ-+=+--=+--+-=-,16sin()sin()65αβαβπ-=--+=【点睛】本题考查三角函数和差化积公式,两角和与差的正弦公式,同角三角函数的平方关系,计算时注意角的取值范围,属于中档题.21.设函数()()21()sin cos cos 25,222x x f x a x a R ⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 在R 上的最小值; (2)若方程()0f x =在506π⎛⎫⎪⎝⎭,上有四个不相等的实根,求a 的范围. 【答案】(1)见解析;(2)3(,22--【解析】(1)将函数化简为2()sin sin 2f x x a x a =+++,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2f t t at a =+++ ,求出对称轴,对区间[1,1]-与对称轴的位置关系进行分类讨论求出最小值;(2) 要满足方程()0f x =在506π⎛⎫⎪⎝⎭,上有四个不相等的实根,需满足2()2f t t at a =+++在1(,1)2上有两个不等实根,列出相应的不等式组,求解即可.【详解】(1)2215()(1sin )(12sin )sin sin 222f x a x x x a x a =+--+=+++,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2f t t at a =+++,对称轴为:2ax =- 当12a≤-即2a ≤-时,min ()(1)23f x f a ==+, 当12a-≥-即2a ≥时,min ()(1)3f x f =-=,当22a -<<时,2min()()224a a f x f a =-=-++,所以求函数()f x 在R 上的最小值223,2()2,2243,2a a ag a a a a +≤-⎧⎪⎪=-++-<<⎨⎪≥⎪⎩; (2) 要满足方程()0f x =在506π⎛⎫⎪⎝⎭,上有四个不相等的实根,需满足2()2f t t at a =+++在1(,1)2上有两个不等零点,2139()0224(1)2304(2)01122f a f a a a a ⎧=+>⎪⎪=+>⎪⎨∆=-+>⎪⎪<-<⎪⎩,解得3(,22a ∈--.【点睛】本题考查动轴定区间分类讨论二次函数最小值,正弦函数的单调性,二次函数的几何性质,属于中档题.22.设函数()()222()log 2log a a f x x ak x a=---(0a >且1,0a k ≠>)(1)若函数()f x 存在零点,求实数k 的最小值;(2)若函数()f x 有两个零点分别是sin θ,cos θ且对于任意的()0,1x ∈时1212421x x x m a+--+<恒成立,求实数m 的取值集合.【答案】(1(2){76m m ⎫≤⎬⎭【解析】(1)由题意列出不等式组,令222()(2)g x x ak x a =--+,求出对称轴,若()g x 在区间(,)2ak +∞上有解,则2()03ak g ≤解不等式即可求得k 的范围;(2)由韦达定理计算得01a <<<,利用指数函数单调性解不等式,化简得232122x xx m ⋅+<+,令 231()t g t t t+=+,求出函数在区间(1,2)上的值域从而求得m 的取值范围. 【详解】(1)由题意知()()222log 2log a a x ak x a-=-有解,则2222220(1)0(2)(2)(3)x ak x a x ak x a ->⎧⎪->⎨⎪-=-⎩有解, ①③成立时,②显然成立,因此 令222222()(2)34(1)g x x ak x a x ax k a =--+=-++,对称轴为:23akx =当2ak x >时,()g x 在区间2(,)23ak ak 上单调递减,在区间2(,)3ak+∞上单调递增, 因此若()g x 在区间(,)2ak+∞上有解, 则22222242()40333ak akg k a ak k a a =-⋅++≤,解得23k ≥, 又0k >,则k ≥k(2)由题意知sin ,cos θθ是方程222(2)x ak x a -=-的两根,则4sin 3ak cos θθ+=,22(1)sin 3k cos a θθ+⋅=,联立解得22269310a k a -=≥,解得014a <<<,所以xy a =在定义域内单调递减,由1212421x x xm a +--+<可得212221x xx m --<+对任意的()0,1x ∈恒成立,化简得232122x x xm ⋅+<+,令2(1,2)xt =∈,231()t g t t t +=+, 22321()0()t t g t t t ---'=<+对(1,2)t ∈成立,所以()g t 在区间(1,2)上单调递减, 7()(2)6g t g >=,所以76m ≤【点睛】本题考查函数与方程,二次函数的图像与性质,考查韦达定理,求解指数型不等式,导数证明不等式,属于较难题.。
黑龙江省哈尔滨市哈三中2022-2023学年高一上数学期末教学质量检测试题含解析
【解析】(1)利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化,化简求值即可;
(2)利用对数运算性质化简求值即可.
【详解】解:(1)原式 ;
(2)原式 .
19、(1)[-4,﹢∞);(2)
【解析】(1)将原函数转化为二次函数,根据求二次函数最值的方法求解即可.(2)由题意得 ,求得 ,然后通过解对数不等式可得所求范围
12、D
【解析】由诱导公式及同角三角函数基本关系化简原式即可求解.
【详解】由已知
即
故选:D
【点睛】本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系,属于简单题.
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13、
【解析】根据所给的图象,可得到 ,周期的值,进而得到 ,根据函数的图象过点可求出 的值,得到三角函数的解析式
考点:本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
2、B
【解析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果
【详解】函数的解析式满足 ,则函数为奇函数,排除CD选项,
由 可知: ,排除A选项.
故选B.
【点睛】本题考查的知识要点:函数的性质的应用.属中档题.
3、D
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系
17、(1)函数模型① ,函数模型②
(2)函数模型②更合适,从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500
【解析】(1)可通过已知条件给到的数据,分别带入函数模型①和函数模型②,列出方程组求解出参数即可完成求解;
(2)将第4天和第5天得到的数据与第(1)问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比,即可做出判断并计算.
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷解析版
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.sin的值为()A. B. C. - D. -【答案】A【解析】解:由特殊角的正弦函数值可得:sin=.故选:A.由特殊角的正弦函数值即可解得.本题主要考查了三角函数求值,特殊角的三角函数值一定要加强记忆,属于基本知识的考查.2.=()A. 2B. -3C. 7D. 1【答案】B【解析】解:=-5+log636=-5+2=-3.故选:B.利用对数的性质、运算法则直接求解.本题考查对数式化简求值,考查对数的性质、运算法则等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于基础题.3.已知集合,B={α|0<α<π},A∩B=C,则C=()A. B. C. D.【答案】C【解析】解:,B={α|0<α<π};∴;又A∩B=C;∴.故选:C.可求出集合A,然后进行交集的运算即可.考查描述法的定义,以及交集的运算,熟悉余弦函数的图象.4.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是()A. B. C. D.【答案】B【解析】解:令=0,可得,再令g(x)=2x,,在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,可知g(x)与h(x)的交点在(,1),从而函数f(x)的零点在(,1),故选:B.令函数f(x)=0得到,转化为两个简单函数g(x)=2x,h(x)=,最后在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,进而可得答案.本题主要考查函数零点所在区间的求法.考查数形结合思想是中档题.5.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是()A. ①,②y=x2,③,④y=x-1B. ①y=x3,②y=x2,③,④y=x-1C. ①y=x2,②y=x3,③,④y=x-1D. ①,②,③y=x2,④y=x-1【答案】B【解析】解:②的图象关于y轴对称,②应为偶函数,故排除选项C,D①由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于1,故排除A故选:B.通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数;①对应的幂指数大于1,通过排除法得到选项.本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数.6.函数的单调减区间为()A. (-∞,-3)B. (-∞,-1)C. (-1,+∞)D. (-3,-1)【答案】A【解析】解:令t=x2+2x-3=(x+3)(x-1)>0,解得x<-3,或x>1,故函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).根据f(x)=log2t,复合函数的单调性可得,本题即求函数t=(x+1)2-4 在定义域(-∞,-3)∪(1,+∞)上的减区间.再利用二次函数的性质可得函数t=(x+1)2-4 在定义域上的减区间为(-∞,-3),故选:A.令t=x2+2x-3>0,求得函数的定义域,根据f(x)=log2t、复合函数的单调性,可得本题即求函数t=(x+1)2-4 在定义域上的减区间,再利用二次函数的性质可得答案.本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.7.在△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,,则A=()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】解:∵,∴由正弦定理,可得:sin A===,∵a<b,可得A∈(0°,45°),∴A=30°.故选:B.由已知利用正弦定理可求sin A的值,根据大边对大角可求A的范围,由特殊角的三角函数值可求A的值.本题主要考查了正弦定理,大边对大角,特殊角的三角函数值在解三角形中的应用,属于基础题.8.已知,则cos(α+β)=()A. B. C. D.【答案】D【解析】解:已知:,所以:,故:,,所以:,则:cos(α+β)=cos[()+()],=-,=,=故选:D.直接利用同角三角函数关系式的应用和角的变换的应用求出结果.本题考查的知识要点:本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,角的变换的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.9.已知f(x)=tanωx(0<ω<1)在区间上的最大值为,则ω=()A. B. C. D.【答案】A【解析】解:∵0<ω<1,∴T=>π,故f(x)在区间上递增,故f(x)max=f()=,故tan=,解得:ω=,故选:A.根据函数的周期,求出函数的单调性得到关于ω的方程,结合ω的范围,求出ω的值即可.本题考查了求三角函数最值,考查三角函数的性质,是一道常规题.10.已知sinα-cosα=-,则tanα+的值为()A. -4B. 4C. -8D. 8【答案】C【解析】解:∵sinα-cosα=-,∴两边平方可得1-2sinαcosα=,∴sin2α=-,∴tanα+==-8,故选:C.先平方,可得sin2α=-,再切化弦tanα+=,可得结论.本题考查同角三角函数关系,考查学生的计算能力,比较基础.11.记a=log sin1cos1,b=log sin1tan1,c=log cos1sin1,d=log cos1tan1,则四个数的大小关系是()A. a<c<b<dB. c<d<a<bC. b<d<c<aD. d<b<a<c【答案】C【解析】解:∵tan1>1>sin1>cos1>0,a=log sin1cos1,b=log sin1tan1,c=log cos1sin1,d=log cos1tan1,∴a=log sin1cos1==log cos1sin1>log sin1sin1=1,∴a>c>0.又lgtan1>0>lgsin1>lgcos1,b=log sin1tan1=<=log cos1tan1=d<0,∴0>d>b.综上可得:a>c>0>d>b.∴b<d<c<a.故选:C.由tan1>1>sin1>cos1>0,得到a=log sin1cos1==log cos1sin1>log sin1sin1=1;由lgtan1>0>lgsin1>lgcos1,得到b=log sin1tan1=<=log cos1tan1=d<0,由此能求出结果.本题考查四个数的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意对数性质、三角函数知识的合理运用.12.已知函数f(x)=cos x,若存在x1,x2,…,x n满足,且,则n的最小值为()A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】解:函数f(x)=cos x,对任意x i,x j(i,j=1,2,3,…,n),都有|f(x i)-f (x j)|≤|f(x)max-f(x)min|=2,要使n取得最小值,尽可能多让x i(i=1,2,3,…,m)取得最高点,x j(j=1,2,3,…,m)取得最低点,由,且,则按下图取值即可满足条件,∴n的最小值为10.故选:C.由余弦函数的有界性可得,对任意x i,x j(i,j=1,2,3,…,n),都有|f(x i)-f(x j)|≤|f(x)max-f(x)min|=2,要使n取得最小值,应尽可能多让x i(i=1,2,3,…,m)取得最高点,x j(j=1,2,3,…,m)取得最低点,结合题意画出图象,利用图象求出满足条件n的最小值.本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了数形结合的应用问题,是中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.在0°到360°范围内,与角-60°的终边相同的角为______.【答案】300°【解析】解:∵与-60°角终边相同的角为:α=k•360°-60°,(k∈Z)∵0°≤α<360°,∴k=1时,α=300°.故答案为:300°.利用与α终边相同的角度为k•360°+α(k∈Z)即可得到答案.本题考查与α终边相同的角的公式,考查理解与应用的能力,属于基础题.14.先将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位后,得到函数g(x)的图象,函数g(x)的解析式为______.【答案】g(x)=1-cos2x【解析】解:将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位,得到:y=sin[2(x-)]=-cos2x,再向上平移1个单位后,得到函数g(x)=1-cos2x.故答案为:g(x)=1-cos2x直接利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式.本题考查的知识要点:本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.15.下列说法中,正确的序号是______.①y=|sin x|的图象与y=sin(-x)的图象关于y轴对称;②若sinα+cosα=1,则sin nα+cos nα(n∈N*)的值为1;③若,则cos(sinθ)>sin(cosθ);④把函数的图象向左平移个单位长度后,所得图象的一条对称轴方程为;⑤在钝角△ABC中,,则sin A<cos B;⑥sin168°<cos10°<sin11°.【答案】②③⑤【解析】解:①,y=sin(-x)的图象关于y轴对称的函数为y=sin x,而非y=|sin x|,故①错误;②,若sinα+cosα=1,两边平方可得1+2sinαcosα=1,即sinα=0,cosα=1,或sinα=1,cosα=0,则sin nα+cos nα(n∈N*)的值为1,故②正确;③,若,则sinθ∈(0,1),cosθ∈(0,1),-cosθ∈(-1,),且sinθ+cosθ=sin(θ+)<,即有sinθ<-cosθ,可得cos(sinθ)>cos(-cosθ),即有cos(sinθ)>sin(cosθ),故③正确;④,把函数的图象向左平移个单位长度后,所得y=cos(2x+)的图象,由y=cos(+)=-,不为最值,则一条对称轴方程不为,故④错误;⑤,在钝角△ABC中,,可得A+B<,即有A<-B,则sin A<sin(-B)=cos B,故⑤正确;⑥,sin168°=sin12°,cos10°=sin80°,可得sin11°<sin12°<sin80°,即有sin11°<sin168°<cos10°,故⑥错误.故答案为:②③⑤.由图象关于y轴对称的特点可判断①;由两边平方可得sinα=0,cosα=1,或sinα=1,cosα=0,可判断②;由正弦函数、余弦函数的单调性可判断③;运用图象变换特点和余弦函数的对称性可判断④;由A,B的关系,结合正弦函数的单调性可判断⑤;由诱导公式和正弦函数的单调性可判断⑥.本题考查三角函数的图象和性质,考查三角函数的单调性和对称性,以及图象变换,考查化简变形能力和运算能力、推理能力,属于中档题.16.若函数恰有4个零点,则a的取值范围是______.【答案】(-π,-]∪(-π,-]∪(-,]【解析】解:设g(x)=sin(2x+),h(x)=cos(2x+),分别令f(x)=0,g(x)=0,则:g(x)在[-π,]上的零点为-π,-π,-;h(x)在[-π,]上的零点为-π,-,.f(x)恰有4个零点,可得m∈(-π,-]∪(-π,-]∪(-,].故答案为:(-π,-]∪(-π,-]∪(-,].设g(x)=sin(2x+),h(x)=cos(2x+),分别令g(x)=0,h(x)=0,求出零点,即可得到所求m的范围.本题考查函数的零点个数问题解法,注意运用转化思想和数形结合思想方法,考查观察和判断能力,属于中档题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知点P(1,1)在角α的终边上,求下列各式的值.(Ⅰ);(Ⅱ).【答案】解:∵角α终边上有一点P(1,1),∴x=1,y=1,r=|OP|=,∴sinα==,cosα==,tanα==1,∴(Ⅰ)===-;(Ⅱ)===-.【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα,cosα,tanα的值,再利用诱导公式即可求得要求式子的值.本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.18.已知,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)∵已知,,∴sinα=-=-,∴=sinαcos+cosαsin=-•+•=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得tanα===-,tan2α==-,∴==-.【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinα,再利用两角和的正弦公式求得的值;(Ⅱ)先求得tanα,再求得tanα2α,再利用两角和的正切公式的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和的三角公式,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.19.函数.(Ⅰ)若,求函数f(x)的值域;(Ⅱ)若是函数g(x)=f(x)+λcos2x的一条对称轴,求λ的值.【答案】解:(Ⅰ)=2sin(2x+)-1,若,则2x+∈[0,],故2sin(2x+)∈[0,1],故f(x)∈[-1,1];(Ⅱ)g(x)=sin2x-2sin2x+λcos2x=sin(2x+θ)-1sinθ=,cosθ=,若是函数g(x)=f(x)+λcos2x的一条对称轴,则2×+θ=,故θ=,故,解得:λ=2.【解析】(Ⅰ)化简f(x),根据x的范围,求出函数的值域即可;(Ⅱ)化简g(x)的解析式,根据函数的对称轴,得到关于λ的方程组,解出即可.本题考查了函数值域问题,考查三角函数的性质,是一道常规题.20.已知函数的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和.(Ⅰ)求f(x)解析式及x0的值;(Ⅱ)求f(x)的单调增区间;(Ⅲ)若时,函数g(x)=2f(x)+1+m有两个零点,求实数m的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)∵函数的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和,∴A=2,2sinφ=-,sinφ=,φ=-,且•=,ω=2,∴f(x)=2sin(2x-).令2x0-=,求得x0=.(Ⅱ)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+,可得函数的增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.(Ⅲ)若时,函数g(x)=2f(x)+1+m有两个零点,即4sin(2x-)+1+m=0有2个零点,即方程sin(2x-)=-有2个解.若时,2x-∈[-],sin(2x-)∈[-,1],∴结合正弦函数的图象可得,应有≤-<1,解得-5<m≤2+1,即实数m的取值范围(-5,23+1].【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ和x0的值,可得函数的解析式.(Ⅱ)利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调增区间,(Ⅲ)由题意可得若时,方程sin(2x-)=-有2个解,结合正弦函数的图象和性质,求得m的范围.本题主要考查由函数y=A sin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,正弦函数的单调性,正弦函数的图象和性质,属于难题.21.设函数f(x)=x2+|x-1|+2a,a∈R.(Ⅰ)若方程f(x)=3x在(0,1)上有根,求实数a的取值范围;(Ⅱ)设g(x)=cos2x+2a sin x,若对任意的,x2∈(0,2)都有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)解:(1)∵方程f(x)=3x在(1,2)上有根,∴函数h(x)=f(x)-3x=x2+|x-1|-3x+2a在(1,2)上有零点.由于在(1,2)上,h(x)=f(x)-3x=x2-2x+2a-1是增函数,故有h(1)h(2)=(2a-2)•(2a-1)<0,得-<a<1.∴实数a的取值范围:(-,1)(Ⅱ)在(0,2)上,f(x)=,∴f(x)的最小值为f()=2a+,对任意的,x2∈(0,2)都有,⇔对任意的,有g(x1)<2a+1恒成立,∴cos2x+2a sin x<2a+1在[-,]恒成立.⇒sin2-2a sin x+2a>0在[-,]恒成立,⇒(sin x-a)2+2a-a2>0在[-,]恒成立.①⇒a≥1.②⇒a∈∅,③⇒0<a<1综上实数a的取值范围为(0,+∞).【解析】(Ⅰ)由题意可得函数h(x)=f(x)-3x=x2+|x-1|-3x+2a在(1,2)上有零点,h(1)h(2)=(2a-2)•(2a-1)<0,由此求得a的范围.(Ⅱ)在(0,2)上,f(x)的最小值为f()=2a+,对任意的,x2∈(0,2)都有,⇔对任意的,有g(x1)<2a+1恒成立,即cos2x+2a sin x<2a+1在[-,]恒成立,分类讨论即可.本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用,函数的恒成立问题,属于中档题.22.已知函数f(x)=sin x+cos x.(Ⅰ)把f(x)的图象上每一点的纵坐标变为原来的A倍,再将横坐标变向右平移φ个单位,可得y=sin x图象,求A,φ的值;(Ⅱ)若对任意实数x和任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)f(x)=sin x+cos x=sin(x+),由题意可得A=,φ=;(Ⅱ)不等式等价于(3+2sinθcosθ-a sinθ-a cosθ)2≥,θ∈[0,]①,由①得a≥②,或a≤③,在②中,1≤sinθ+cosθ≤,=(sinθ+cosθ)+,显然当1≤x≤时,f(x)=x+为减函数,从而上式最大值为f(1)=1+=,由此可得a≥;在③中,=(sinθ+cosθ)+≥2=,当且仅当sinθ+cosθ=时取等号,所以的最小值为,由此可得a≤,综上,a≤或a≥.【解析】(Ⅰ)化简函数f(x)=sin(x+),由图象变换即可得到所求值;(Ⅱ)原不等式等价于(3+2sinθcosθ-a sinθ-a cosθ)2≥,θ∈[0,]①,从而可得a≥②,或a≤③,于是问题转化为求函数的最值问题加以解决,对上述分式进行合理变形,利用函数单调性、基本不等式即可求得最值.本题考查函数恒成立问题,转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法,解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x,变为关于θ的恒等式处理.。
黑龙江省高一上学期数学期末考试试卷(测试)
黑龙江省高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共27分)1. (2分)函数的零点的个数是()A . 0B . 1C . 2D . 32. (2分)已知函数,则方程的不相等的实根个数为()A . 5B . 6C . 7D . 83. (2分)若a是第三象限的角,则是()A . 第一、二、三象限角B . 第一、二、四象限角C . 第一、三、四象限角D . 第二、三、四象限角4. (2分)已知一扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20cm,则扇形的周长为()A . 6π cmB . 60 cmC . (40+6π) cmD . 1 080 cm5. (2分) (2019高一上·思南期中) 已知角是第二象限角,那么角是().A . 第一、二象限B . 第一、三象限C . 第二、四象限D . 第二、三象限6. (2分) (2019高三上·佛山月考) 已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,若它的终边经过点,则()A . -7B .C .D . 77. (2分) (2016高一下·吉林期中) =()A .B .C . -D . -8. (2分) (2019高一下·丽水期末) 为了得到函数的图像,只需把函数的图像()A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位9. (2分)已知和都是锐角,且,,则的值是()A .B .C .D .10. (2分)设,则()A .B .C .D .11. (2分)已知函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为()A .B .C .D .12. (5分)已知,且,则的是()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2020高一上·武汉期末) 函数的最大值是________,最小值是________.14. (1分)(2016·北区模拟) 在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a= ,b=3,sinB+sinA=2 ,则cosB的值为________.15. (1分) (2017高一上·徐汇期末) 关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0,只有一个实数解,则实数k的取值范围是________.16. (1分) (2016高一下·新化期中) 已知函数f(x)= ,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.三、解答题 (共6题;共50分)17. (5分)已知角α终边过直线l1:x﹣y=0和直线l2:2x+y﹣3=0的交点P.求sinα,cosα,tanα的值.18. (10分) (2019高一下·成都月考) 在中,内角A,B,C所对的边分别为 .已知.(1)求的值;(2)若,求的面积.19. (10分) (2019高一上·嘉兴期末) 已知函数,()的最小值为1.(1)求的值及取此最小值时的值;(2)求函数的最小正周期和单调递增区间.20. (10分) (2020高一上·武汉期末) 已知函数 .(1)求的最小正周期;(2)当时,求的最小值以及取得最小值是的值.21. (5分) (2016高一上·翔安期中) 已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,).(1)求a的值;(2)比较f(2)与f(b2+2)的大小;(3)求函数f(x)=a (x≥0)的值域.22. (10分) (2018高一上·和平期中) 已知函数f(x)= .(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在(﹣∞,1)上为增函数,求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题;共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、答案:略22-2、答案:略。
黑龙江高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1.与角的终边相同的最小正角是( ) 390︒-A .10° B .30° C .60° D .330°【答案】D【分析】写出与角终边相同的角的集合,即可得出结论390- 【详解】设是角终边相同角,则的集合表示为,α390- α{}|390360,k k αα=-+⋅∈Z当时,取得最小正角为. 2k =330 故选:D.2.定义集合且,已知集合,则{A B xx A ⊗=∈∣}x B ∉{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--A B ⊗=( ) A . B .C .D .{3,2}-{1,1}-{2,3}-{0}【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合且,, {A B xx A ⊗=∈∣}x B ∉{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--所以 A B ⊗={2,3}-故选:C3.sin(-315°)的值是A B .-C D .1212【答案】C【分析】根据终边相同的角同名三角函数值相等转化后求解即可. 【详解】因为-315°=-360°+45°所以sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45° 故选:C【点睛】本题主要考查了终边相同的角的三角函数,属于容易题. 4.的值是( )sincos1212ππA .B .C .D .121418116【答案】B【分析】利用二倍角正弦公式,计算求值. 【详解】. 11sincossin 1212264πππ==故选:B5.若,则的最小值等于( ) 1x >111x x ++-A .1 B .2 C .3 D .4【答案】D【分析】由可得,则,再利用基本不等式即可求出结果. 1x >10x ->1111211x x x x ++=-++--【详解】,,1x >Q 10x ∴->,∴111122411x x x x ++=-++=--…当且仅当即时,等号成立, 111x x -=-2x =的最小值为4, ∴111x x ++-故选:D .6.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于( ) 43A .3 B .-3C .D .1313-【答案】C【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解:tan(α-β)===, tan tan 1tan tan a αββ-+4334133-+⨯13故选:C.7.为了得到函数的图象.只需把函数的图象上所有的点( ) sin(2)5y x π=+sin 2y x =A .向左平行移动个单位长度5πB .向右平行移动个单位长度 5πC .向左平行移动个单位长度10πD .向右平行移动个单位长度10π【答案】C【分析】根据三角函数图形变换中的原理求解,求解过程中注意系数对平移情况的影响. x 【详解】因为,所以把函数的图象上所有的点向左平行移sin(2)sin 2()510y x x ππ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦sin 2y x =动个单位长度即可.故选C.10π8.已知,则( )π1tan 43θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan θ=A .1 B .2 C .D .1-12【答案】B【分析】利用两角差的正切公式展开即可求解. 【详解】由, π1tan 1tan 41tan 3θθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭解得:. tan 2θ=故选:B. 9.若,则 1sin 3α=cos2α=A .B .C .D .897979-89-【答案】B【详解】分析:由公式可得结果.2cos2α12sin α=-详解: 227cos2α12199sin α=-=-=故选B.点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题. 10.化简,得( ) sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒AB .C .D .12sin 4︒cos 4︒【答案】B【分析】逆用和角正弦公式化简三角函数式,即可求值. 【详解】. 1sin13cos17cos13sin17sin(1317)sin 302︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选:B11.化简的结果是( ) ()()sin 2cos 633sin cos 22παπααπαπ---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . B .1C .D .21-2-【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】原式()()sin cos sin 2cos 222ααπππαπα-⋅-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin cos sin cos 22ααππαα-⋅=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. sin cos sin cos 1cos sin sin cos 22ααααππαααα-⋅-⋅===-⋅⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:B12.已知定义在上的奇函数满足,且在区间上单调递增,则 R ()f x ()()4f x f x -=-[]0,2A . ()()()134f f f -<<B . ()()()431f f f <<-C . ()()()341f f f <<-D . ()()()143f f f -<<【答案】D【分析】根据选项可判断,最终,,应结合和奇函数性质转化成()1f -()3f ()4f ()()4f x f x -=-与区间有关的函数值,再结合函数增减性判断大小[]0,2【详解】因为是上的奇函数,所以.又满足,则()f x R ()00f =()f x ()()4f x f x -=-.()()400f f =-=又且,所以()()f x f x =--()()4f x f x -=-.()()()()33141f f f f =--=--=又在区间上单调递增,所以,即,所以,()f x []0,2()()10f f >()10f >()()110f f -=-<,所以()()310f f =>()()()143f f f -<<故选D【点睛】本题考查根据函数奇偶性和增减性比较函数值大小,主要解题思路为,将不在给定区间的函数值转化成对应区间的函数值再结合增减性进行大小比较二、填空题13.函数的最小正周期为___.2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】## 23π23π【分析】根据函数的周期等于,得出结论.sin()y A x ωϕ=+2πω【详解】函数的最小正周期为,2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭23π故答案为:. 23π14.函数的单调递减区间是__.tan y x =-【答案】,,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】根据正切函数的单调递增区间,即可写出函数的单调递减区间. tan y x =tan y x =-【详解】由正切函数的图象与性质,知;函数的单调递增区间为:,,tan y x =,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈所以函数的单调递减区间是:,,tan y x =-,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈故答案为:,.,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈【点睛】本小题主要考查正切型函数的单调区间的求法,属于基础题.15.求值:= ________. 44cos 15sin 15-【详解】 44222222cos 15sin 15(cos 15sin 15)(cos 15sin 15)cos 15sin 15cos30︒-︒=︒+︒⋅︒-︒=︒-︒=︒=16.通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数的图象.2018()sin y A x b ωϕ=++年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2℃.则该地区该时段的温度函数(()sin y A x b ωϕ=++)的表达式为________.[)0,0,π,0,24A x ωϕ>><∈【答案】[)π2π8sin 6,0,24123y x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭【分析】由最大值和最小值得到,再由从2点到14点的图象是函数的半,A b ()sin y A x b ωϕ=++个周期的图象,得到,再代入最值点求出,即可得到解析式.ωϕ【详解】根据题目数据知,,解得,;142A b A b +=⎧⎨-+=-⎩6b =8A =由,解得,所以; 142122T =-=24T =2ππ12T ω==由时,,有, 14x =14y =14π8sin 61412ϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭解得,即,; 7πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭7ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈所以,;由,解得; 2π2π3k ϕ=-+Z k ∈πϕ<2π3ϕ=-所以.[)π2π8sin 6,0,24123y x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭故答案为:[)π2π8sin 6,0,24123y x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭三、解答题 17.已知cos α=,求sin α,tan α的值. 817-【答案】sin α=,tan α=或sin α=,tan α=.1517158-1517-158【解析】首先根据题意确定角的终边所属的象限,之后应用同角三角函数关系式求得结果. 【详解】∵cos α=<0,∴α是第二或第三象限的角. 817-如果α是第二象限角,那么sin α,tan α=. 1517=15sin 15178cos 817αα==--如果α是第三象限角,同理可得 sin α=-,tan α=.1517158【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题,涉及到的知识点有同角三角函数关系式,根据三角函数值的符号确定角所属的象限. 18.已知=2,计算下列各式的值.sin cos sin cos αααα+-(1)tan α;(2)sin 2α-2sin αcos α+1. 【答案】(1)tan α=3 (2)1310【分析】(1)由已知分子和分母可同时除以,计算可得的值.cos αtan α(2)先将原式化为,再由齐次式法,将弦化切,根据(1)的结果,222sin 2sin cos 1sin cos ααααα-++即可求出结果. 【详解】(1)由,显然不等于0,所以分子和分母同时除以,sin cos 2sin cos αααα+=-cos αcos α可得,解得.tan 12tan 1αα+=-tan 3α=(2)2sin 2sin cos 1ααα-+=2sin 2sin cos 11ααα-+= 22222sin 2sin cos tan 2tan 9613111sin cos tan 19110αααααααα---+=+=+=+++19.求值:cos21°·cos24°+sin159°·sin204°.【分析】利用三角函数的诱导公式以及和角的余弦公式进行化简计算. 【详解】原式=cos21°cos24°+sin (180°-21°)sin (180°+24°)=cos21°cos24°-sin21°sin24° =cos (21°+24°)=cos45°.20.已知为锐角,,,αβ4tan 3α=cos()αβ+=(1)求的值; sin()αβ+(2)求的值. tan β【答案】 (2)2【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系进行计算求解.(2)利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式进行求值.【详解】(1)因为为锐角,所以,又因为, ,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=所以sin )(αβ+==(2)由(1)有:,又, sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+4tan 3α=所以.42tan()tan 3tan tan[()]241tan()tan 1(2)3αβαβαβααβα--+-=+-===+++-⨯21.某港口的水深y (米)随着时间t (时)呈现周期性变化,经研究可用来ππsin cos 66y a t b t c =++描述,若潮差(最高水位与最低水位的差)为3米,求的取值范围.a b +【答案】⎡⎢⎣【分析】利用辅助角公式可得,进而利用基本不等式求出结果.3=【详解】由题意可知(为辅助角),πππsin cos 666y a t b t c t c θ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭θ,()3c c -+==故, 2294a b +=由,得, 222a b ab +≥2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭解得a b ≤+≤故a +b 的取值范围为. ⎡⎢⎣22.已知函数.()2sin 22cos 16x f x x π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=(Ⅰ)求函数的最大值及其相应的取值集合; ()f x x (Ⅱ)若且,求的值. 42ππα<<()45f α=cos 2α【答案】(Ⅰ),的取值集合为(Ⅱ()max 1f x =x ,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【详解】试题分析:(Ⅰ)化简,当,, 即()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2262x k πππ+=+k Z ∈k Z6x k ππ=+∈时,; ()max 1f x =(Ⅱ) 由,得,利用,结合角的范围用两角差42ππα<<272366πππα<+<cos2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的余弦展开即可. 试题解析:(Ⅰ)()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭sin2cos cos2sin cos266x x x ππ=⋅-⋅+1sin2cos22x x =+sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当,即时,.22k Z 62x k πππ+=+∈,k Z 6x k ,ππ=+∈()max 1f x =其相应的取值集合为.x ,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(Ⅱ)由题意有,.()4sin 265f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由,得42ππα<<272366πππα<+<所以.3cos 265πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因此341cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666552ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⋅++⋅=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦点睛:在三角化简求值类题目中,常常考“给值求值”的问题,遇见这类题目一般的方法为——配凑角:即将要求的式子通过配凑,得到与已知角的关系,进而用两角和差的公式展开求值即可.。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨三中高一上学期期末考试数学试题(解析版)
黑龙江省哈尔滨三中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题(共8小题,每小题5分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.sin600°的值为()A.﹣B.C.﹣D.2.已知sinα﹣2cosα=0,则tan(﹣α)=()A.﹣4B.4C.﹣D.3.在下列函数中,同时满足:①在(0,)上单调递增;②最小正周期为2π的是()A.y=tan x B.y=cos x C.y=tan D.y=﹣tan x4.函数f(x)=|3sin(2x﹣)|的最小正周期为()A.B.C.πD.2π5.若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就要减少10件,那么要保证该商品每天的利润在450元以上,售价应定为()A.11元B.11元到15元之间C.15元D.10元到14元之间6.已知a=30.2,b=log0.4,c=log20.2,则()A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.b>a>c7.已知sin(α+)=,则sin(2α+)=()A.B.C.﹣D.﹣8.若函数f(x)=sin x+2cos x取最小值时x=θ,则sinθ=()A.﹣B.﹣C.D.二、多项选择题(共4小题,每小题5分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分):9.下列说法正确的是()A.﹣150°化成弧度是﹣B.﹣化成角度是﹣600°C.若角α=2rad,则角α为第二象限角D.若一扇形的圆心角为30°,半径为3cm,则扇形面积为cm210.若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在区间(0,4),(0,2)(1,),(,)内,则与f(0)符号不同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f()11.为了得到函数y=sin(x﹣)的图象,只要把函数y=sin x图象上所有点的()A.横坐标变为原来的2倍,再向右平移个单位长度B.横坐标变为原来的2倍,再向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍D.向右平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍12.集合{ω∈R|函数f(x)=sin(ωx+)}在(,π)内单调递减的子集是()A.(﹣,0)B.(﹣,﹣)C.(,)D.(,)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.4++lg30﹣lg3=.14.函数y=tan(2x﹣)+1的图象的对称中心的坐标为.15.函数y=log2(4x﹣x2)的递增区间是.16.设函数,若关于x的方程〖f(x)〗2+af(x)+1=0(a∈R)有且仅有6个不同的实根,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sinαcosα=,且<α<.(1)求cosα﹣sinα的值;(2)求的值.18.(12分)已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.(Ⅰ)求a的值与函数f(x)的定义域;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x﹣1)>m恒成立.求实数m的取值范围.19.(12分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<0)中角φ的终边经过点P(1,﹣),若|f(x1)﹣f(x2)|=4时,|x1﹣x2|的最小值为.(1)求函数f(x)的〖解析〗式;(2)求函数f(x)的单调递增区间.20.(12分)已知函数f(x)=cos2x+sin x cos x.(1)当函数f(x)取得最大值时,求自变量x的集合;(2)完成下表,并在平面直角坐标系内作出函数f(x)在〖0,π〗的图象.x0ㅤㅤㅤㅤπㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤyㅤㅤㅤㅤㅤㅤ21.(12分)已知函数f(x)=x2+mx+,g(x)=lnx.(1)若函数g(f(x))的值域为R,求实数m的取值范围;(2)若函数h(x)是函数g(x)的反函数,当0≤x≤1时,函数f(h(x))的最小值为,求实数m的值;(3)用max{m,n}表示m,n中的最大值,设函数G(x)=max{f(x),g(x)}(x>0)有2个零点,求实数m的范围.22.(12分)已知A,B,C为△ABC的内角.(1)若tan A=﹣2,求tan B•tan C的取值范围;(2)求证:tan2+tan2+tan2≥1;(3)设α,β,γ∈(0,),且tanα=tan•tan,tanβ=tan•tan,tanγ=tan•tan,求证:6sin2α+6sin2β+6sin2γ≥sin2α+sin2β+sin2γ.▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题(共8小题,每小题5分。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期末考试数学试题一、单选题1. ( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.【详解】故选:A【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关角的的三角函数值是解题的关键.2.( )A .2B .-3C .7D .1【答案】B【解析】利用根式的性质及对数的运算性质直接化简求值即可.【详解】.故选:B【点睛】本题考查了根式的运算性质,考查了对数的运算性质,考查了计算能力.3.已知集合,,,则( )A .B .C .D .【答案】C【解析】,借助余弦图像即可得到结果.【详解】∵,∴即故选:C【点睛】本题考查交集概念及运算,考查余弦函数的图象与性质,属于基础题.4.函数的零点所在区间为()A.B.C.D.【答案】C【解析】令函数f(x)=0得到,转化为两个简单函数g(x)=2x,h(x),最后在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,进而可得答案.【详解】令0,可得,再令g(x)=2x,,在同一坐标系中画出g(x),h(x)的图象,可知g(x)与h(x)的交点在(,1),从而函数f(x)的零点在(,1),故选:C.【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法.考查数形结合思想是中档题.5.下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是()① ② ③ ④A.①,②,③,④B.①,②,③,④C.①,②,③,④D.①,②,③,④【答案】B【解析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数;①对应的幂指数大于1,通过排除法得到选项【详解】②的图象关于y轴对称,②应为偶函数,故排除选项C,D,①由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于1,故排除A故选:B.【点睛】本题考查幂函数的图象与性质,幂函数的图象取决于幂指数.属于基础题.6.函数的单调递减区间是()A.B.C.D.【答案】A【解析】先求出函数的定义域,再由复合函数的单调性求单调减区间.【详解】∵x2+2x﹣3>0,∴x>1或x<﹣3;又∵y=x2+2x﹣3在(﹣∞,﹣1]上是减函数,在[﹣1,+∞)上是增函数;且y=log2x在(0,+∞)上是增函数;∴函数y=log2(x2+2x﹣3)的单调递减区间为(﹣∞,﹣3);故选:A.【点睛】复合函数的单调性:对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称:同增异减.7.在中,角所对的边分别为,,则A.B.C.D.【答案】B【解析】利用正弦定理,即可解得.【详解】∵∴,即,∴,又a<b,A三角形的内角,∴故选:B【点睛】本题考查了正弦定理的应用,注意利用大边对大角进行角的限制,属于基础题.8.已知则()A.B.C.D.【答案】D【解析】先利用同角三角函数基本关系式求出和,然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos(α+β).【详解】∵∴,∴。
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黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题(数学)
考试说明:(1)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分, 满分150分.
考试时间为120分钟;
(2)第I 卷,第II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.
第I 卷 (选择题, 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1. 已知一个扇形弧长为6,扇形圆心角为2rad ,则扇形的面积为 A .2 B . 3 C .6 D .9 2. 已知函数sin()3y x π=--,则函数的最小正周期为 A .3 B .π C .2 D .2π 3.已知ABC ∆
中,a =,60B =,45A =,则b = A .2 B
. C
D
. 4.化简
sin()cos()
cos(
)
22
παπαπ
α+-+所得结果为
A .sin α
B .sin α-
C .cos α
D .cos α-
5.已知cos sin 3αα=,则sin sin cos cos sin cos 3223
ααααα
α
-+= A .
13 B .727 C .19 D .1327
6.
函数log (sin 32y x =-的定义域为 A .(,)224
2k k π
π
ππ+
+
(k Z ∈) B .(,)3224
4
k k π
π
ππ+
+
(k Z ∈) C .(,)32224k k ππππ++(k Z ∈) D .(,)2244
k k ππ
ππ-+ (k Z ∈)
7. 已知函数254
m m y x -+=(m Z ∈)为偶函数且在区间(,)0+∞上单调递减,则m =
A .2或3
B .3
C .2
D .1 8. 已知函数sin sin 2
31y x x =-+([,]6
x π
π∈)
,则函数的值域为 A .[1,1]- B .1
[,1]4
-
C .1[1,]4
-- D .[1,5]-
9.sin cos sin sin 44241αααα
---=
A .
3
2
B .2
C .3
D .1 10.设tan 1a =,tan 2b =,tan 3c =,tan 4d =,则,,,a b c d 大小关系为 A .d a c b >>> B .a d b c >>> C .a d c b >>> D .d a b c >>> 11. 已知sin()124
13π
α+
=
,且(,)042
ππ
α+∈,则sin α=
A B C .- D . 12. 已知,[,]22
ππ
αβ∈-,tan ,tan αβ是关于方程2201120120x x ++=的两根,
则αβ+= A .
4
π
B . 34π-
C .4π或34π-
D .4π-或4
π 第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13. 函数sin sin 22
x
y x =+的值域为__________________.
14. ABC ∆中,若5a =,3b =,23
C π
=,则c =________________.
15. 已知(
,)2
π
θπ∈,cos
2
a θ
=+=________________. 16. 若函数()()2
21f x x m x m =+-+在区间[,]11-内有零点,则m 的取值范围是 ________________________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本大题10分)
已知:函数()sin()32f x x ϕ=+((,)0ϕπ∈-)的一条对称轴方程为712
x π
=, (1)求函数()y f x =的解析式;
(2)利用五点作图法画出函数()y f x =在区间[
,]433
ππ
内的图象.
18.(本大题12分)
求实数a 的取值范围使不等式sin cos sin cos 410x x x x a ++⋅+-≤恒成立. 19.(本大题12分) 已知函数()sin()6
g x x π
=+
,()cos ()1
22
f x x
g x =⋅-
(1)求函数()f x 的最小正周期及其对称中心坐标; (2)当[,
]02
x π
∈时,求函数()f x 的值域;
(3)由sin y x =可以按照如下变换得到函数()y f x =, sin y x =()
1→sin()6
y x π
=+()
2→sin()26
y x π
=+
,写出(1)
(2)的过程.
20.(本大题12分)
在ABC ∆中,sin()1C A -=,sin 1
3
B = (1)求sin A 的值;
(2)设AC =,求ABC ∆的面积.
21.(本大题12分)
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,0002
A π
ωϕ>>≤≤
)在(,)05π内只取到一个最
大值和一个最小值,且当x π=时,函数取到最大值2,当4x π=时,函数取到最小值
2-
(1)求函数解析式;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)是否存在实数m 使得不等式f f >成立,若存在,求出
m 的取值范围.
22. (本大题12分)
已知函数()lg ||11f x x p =-,()lg(||)222f x x p =-+(x R ∈,,12p p 为常数) 函数()f x 定义为对每个给定的实数x (1x p ≠),()
()()()()
()()
112221f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨≤⎩
(1)当12p =时,求证:()1y f x =图象关于2x =对称;
(2)求()()1f x f x =对所有实数x (1x p ≠)均成立的条件(用1p 、2p 表示); (3)设,a b 是两个实数,满足a b <,且1p ,2p (,)a b ∈,若()()f a f b = 求证:函数()f x 在区间[,]a b 上单调增区间的长度之和为
2
b a
-. (区间[,]m n 、(,)m n 或(,]m n 的长度均定义为n m -)
高一数学答案
一、选择题
112- DCBCB BAABC BB
二、填空题
13.[,]223
- 14.7 15.2
1a - 16.2m ≥或312
m ≤- 三、解答题
20.(1)sin 3
3
A =
(2)62ABC S ∆= 21.
(1)()sin(
)1236
f x x π=+ (2)单调增区间为[,]626k k ππππ-+(k Z ∈) (3)1
22
m <≤ 22
(1)当12p =时
x x x f x x x f x x f -=--=-=-+=+∴-=lg 22lg )2(,lg 22lg )2(,2lg )(111
)2()2(21x f x f -=+∴,所以对称轴为2=x
(2)若对任意实数)()(,),()(211x f x f R x x f x f ≤∈∀∴=均成立
即()
2lg lg 21+-≤-p x p x ,由对数的单调性可知221+-≤-p x p x 均成立
212121,2p p p x p x p x p x ----≤---∴的最大值为又
所以21,p p 满足221≤-p p
(3)① 当221≤-p p 时,由(2)可知11lg )()(p x x f x f -==
由(1)可知函数)()(1x f x f =关于1p x =对称,由)()(b f a f =,可知2
1b
a p +=
而⎩
⎨⎧<->-=))(lg())(lg()(11111p x x p p x p x x f 由单调性可知,单调增区间长度为22a
b b a b -=
+- 故由()1y f x =与()2y f x =单调性可知,增区间长度之和为
()()012x p b p -+-,由于()()f a f b =,得122p p a b +=++
所以()()1201212p p x p b p b +-+-=-+2
b a
-=
. 当12p p >时,同理可证增区间之和仍为2
b a
-.。