高中数学人教A版选修2-3检测及作业课时作业10离散型随机变量的分布列含解析

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人教A版数学高二选修2-3课后提升训练2.1.2离散型随机变量的分布列

课后提升训练十一离散型随机变量的分布列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.若离散型随机变量X的分布列如表,则a的值为( )X 0 1P 2a 3aA. B. C. D.【解析】选A.由离散型随机变量X的分布列知:2a+3a=1,解得a=.2.(2017·兰州高二检测)设离散型随机变量X的分布列为:X -1 0 1 2 3P则下列各式成立的是( )A.P(X=1.5)=0B.P(X>-1)=1C.P(X<3)=1D.P(X<0)=0【解析】选A.因为{X=1.5}事件不存在,故P(X=1.5)=0.3.(2017·广州高二检测)随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(ξ≥2)等于( )A. B. C. D.【解析】选C.根据分布列中所有的概率和为1,得++=1,解得c=.所以P(ξ=k)=·,所以P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=×=.【补偿训练】已知随机变量ξ所有可能取值是1,2,…,5,且取这些值的概率依次是k,2k,…,5k,求常数k的值.【解析】根据离散型随机变量分布列的性质,得k+2k+…+5k=1,所以15k=1,即k=.4.(2017·郑州检测)离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:X=i 1 2 3 4 5 6P(X=i) 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20则P等于( )A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55【解析】选B.根据分布列的性质知,0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1,得x=2,y=5,所以P=P(X=2)+P(X=3)=0.10+0.25=0.35.5.(2017·广州高二检测)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:①X表示取出的球的最大号码;②Y表示取出的球的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是( )A.①②B.③④C.①②④D.①②③④【解析】选B.依据超几何分布的数学模型及计算公式,或用排除法.6.一批产品共50件,其中5件次品,45件正品,从这批产品中任抽2件,则出现次品的概率为( )A. B.C. D.以上都不对【解题指南】本题符合超几何分布,且可用对立事件求概率.【解析】选C.P=1-=1-=.7.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是( )A.P(0<X≤2)B.P(X≤1)C.P(X=1)D.P(X=2)【解析】选B.本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球.8.(2017·武汉检测)若随机变量η的分布列为η-2 -1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是( )A.x≤2B.1≤x≤2C.1<x≤2D.1<x<2【解析】选C.根据随机变量η的分布列知,实数η的所有可能取值是-2,-1,0,1,2,3且P(η≥2)=P(η=2)+P(η=3)=0.1+0.1=0.2,则有:P(η<2)=1-0.2=0.8,又P(η≤1)=P(η=-2)+P(η=-1)+P(η=0)+P(η=1)=0.8,则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是1<x≤2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为________.【解析】P(ξ=0)==0.1,P(ξ=1)==0.6,P(ξ=2)==0.3,故分布列为ξ0 1 2P 0.1 0.6 0.3答案:ξ0 1 2P 0.1 0.6 0.310.设随机变量ξ的可能取值为5,6,7,…,16这12个值,且取每个值的概率均相同,则P(ξ>8)=________,P(6<ξ≤14)=________.【解析】P(ξ>8)=×8=,P(6<ξ≤14)=×8=.答案:【补偿训练】一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量ξ,则P(ξ>1)=________.【解析】依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=2),P(ξ=3) =P(ξ=4),由分布列性质得1=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4),4P(ξ=2)=1,所以P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=.所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=.答案:三、解答题11.(10分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率.(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求X的分布列.【解析】(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A,那么P(E A)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是. (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)==,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=. (3)随机变量X可能取的值为1,2.事件{X=2}是指有两人同时参加A 岗位服务,则P(X=2)==.所以P(X=1)=1-P(X=2)=,X的分布列是X 1 2P【能力挑战题】一个盒子中装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数:f1(x)=x, f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新的函数,求所得函数是奇函数的概率.(2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列. 【解析】(1)记事件A为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知P(A)==.(2)由题意ξ=1,2,3,4.P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)=··=,P(ξ=4)=···=.故ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P。

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

高中数学选修2-3课时作业10：2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)

2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 5522．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) A ．0 B.13 C.12D.233．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( ) A.150 B.125 C.1825D.149504．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( ) A ．P (X ≤1) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)6．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( ) A.310 B.710 C.2140 D.740二、填空题8．已知离散型随机变量X 的分布列为则m 9．某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为________.10．若随机变量X 只取x 1与x 2两个值，并且X 取x 1的概率是它取x 2的概率的3倍，则P (X ＝x 2)＝________.11．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为______________(用式子表示)．三、解答题12．袋中有3个白球、3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球．规定取得一个红球得1分，取得一个白球扣1分，取得一个黑球不得也不扣分，求得分数ξ的分布列．13．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．[答案]精析1．D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D8.139 9.0.2 10.14 11.C 13C 397＋C 497C 410012．解 ξ＝3,2,1,0，－1，－2，－3.ξ＝3表明取出的3个球全是红球，P (ξ＝3)＝C 33C 311＝1165.ξ＝2表明取出的3个球中，两个红球，一个黑球，P (ξ＝2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝1表明取出的3个球中，一个红球，两个黑球；或者两个红球，一个白球，P (ξ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355. ξ＝0表明取出的3个球中，三个都是黑球；或者一白、一红、一黑，P (ξ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13. ξ＝－1表明取出的3个球中，一个白球、两个黑球；或者两个白球，一个红球，P (ξ＝－1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355. ξ＝－2表明取出的3个球中，两个白球，一个黑球，P (ξ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝－3，表明取出的3个球全是白球， P (ξ＝－3)＝C 33C 311＝1165.∴ξ的分布列为13.解 (1)由(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9,50×0.006×10＝3.所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N ＝12，M ＝3，n ＝2的超几何分布，则P (ξ＝0)＝C 03C 29C 212＝3666＝611，P (ξ＝1)＝C 13C 19C 212＝2766＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 09C 212＝366＝122.所以随机变量ξ的分布列为。

人教A版高中数学选修2-3 模块综合评价(一)(含答案解析)

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A ．－0.2B ．0.2C ．0.1D ．－0.1解析：由离散型随机变量分布列的性质，可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，所以m ＝0.4，n ＝0.4，所以m －n2＝0.2.答案：B2．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中的y ＝100，而C 中y ＝－300，故C 不符合题意．3．从A，B，C，D，E5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．24 B．48 C．72 D．120解析：A参加时参赛方案有C34A12A33＝48(种)，A不参加时参赛方案有A44＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C.答案：C4．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c＝()A．4 B．5 C．6 D．7解析：列2×2列联表可知：当c＝5时，K2＝66×（10×30－5×21）215×51×31×35≈3.024>2.706，所以c＝5时，X与Y有关系的可信程度为90%，而其余的值c＝4，c＝6，c＝7皆不满足．5.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105 解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.答案：B6．ξ，η为随机变量，且η＝aξ＋b ，若E (ξ)＝1.6，E (η)＝3.4，则a ，b 可能的值为( )A ．2，0.2B ．1，4C ．0.5，1.4D ．1.6，3.4解析：由E (η)＝E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，只有A 满足．答案：A7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为( )A ．－16 B.23 C.2936D ．1解析：E (ξ)＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，所以E (μ)＝E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝23.8．若随机变量ξ～N (－2，4)，ξ在下列区间上取值的概率与ξ在区间(－4，－2]上取值的概率相等的是( )A ．(2，4]B ．(0，2]C ．[－2，0)D ．(－4，4]解析：此正态曲线关于直线x ＝－2对称，所以ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2，0)上取值的概率．答案：C9．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.2021D.3132解析：函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点，所以Δ＝16－4X ≥0，所以X ≤4，因为随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫5，12，所以P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132.答案：D10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：) A．99%的可能性B．99.75%的可能性C．99.5%的可能性D．97.5%的可能性解析：由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c ＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72.代入公式K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得K2＝72×（16×8－28×20）244×28×36×36≈8.42.由于K2≈8.42＞7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．答案：C11．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝()A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4解析：设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)．法一 P (X ＝0)＝1－0.36＝0.64.P (X ＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32， P (X ＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E (X )＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.法二 X ～B (2，0.2)，E (X )＝np ＝2×0.2＝0.4. 答案：D12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：当x >0时，f (f (x ))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，则展开式中常数项为C 36⎝⎛⎭⎪⎫1x 3(－x )3＝－20. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________．解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.314．已知随机变量ξ～B (36，p )，且E (ξ)＝12，则D (ξ)＝________. 解析：由E (ξ)＝36p ＝12，得p ＝13，所以D (ξ)＝36×13×23＝8.答案：815.欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，如图铜钱是直径为4 cm 的圆形，正中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴是直径为0.2 cm 的球)，记“油滴不出边界”为事件A ，“油滴整体正好落入孔中”为事件B .则P (B |A )________(不作近似值计算)．解析：因为铜钱的有效面积S ＝π·(2－0.1)2，能够滴入油的图形为边长为1－2×110＝45的正方形，面积为1625，所以P (B |A )＝64361π.答案：64361π16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.376三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)展开式中x 的系数为19，求f (x )的展开式中x 2的系数的最小值．解：f (x )＝1＋C 1m x ＋C 2m x 2＋…＋C m m x m ＋1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C nnx n ，由题意知m ＋n ＝19，m ，n ∈N *，所以x2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋n （n －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋19×174.因为m ，n ∈N *，所以当m ＝9或m ＝10时，上式有最小值．所以当m ＝9，n ＝10或m ＝10，n ＝9时，x 2项的系数取得最小值，最小值为81.18．(本小题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望．解：(1)X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0，1，2，3，4)，故X 的分布列为：(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800，3 500，则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370， E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280.所以新录用员工月工资的期望为2 280元．19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为：所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又P (X ＝1)＝16，P (X＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为：所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1 x i ＝80，∑10i ＝1 y i ＝20，∑10i ＝1 x i y i ＝184，∑10i ＝1 x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ＝∑ni ＝1 x i y i －n x y∑n i ＝1 x 2i －nx 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1 x i ＝8010＝8，y＝1n∑ni＝1y i＝2010＝2，又l xx＝∑ni＝1x2i－nx2＝720－10×82＝80，l xy＝∑ni＝1x i y i－nxy＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝l xyl xx＝2480＝0.3，a^＝y－b^x＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．⎝⎭⎪参考公式：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10(个)，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝(7个)，所以P ＝710. (2)2×2列联表如下：K 2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞5.024.因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关． 22．(本小题满分12分)在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率．(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率．(3)记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望E (X )．解：(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A ，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B ，依题意得：P (A )＝V 小锥体V 圆锥体＝13·14·S 圆锥底面·12h 圆锥13·S 圆锥底面·h 圆锥＝18，所以P (B )＝1－P (A )＝78，所以蜜蜂落入第二实验区的概率为78.(2)记“蜜蜂被染上红色”为事件C ，则事件B ，C 为相互独立事件，又P (C )＝1040＝14，P (B )＝78.则P (BC )＝P (B )P (C )＝14×78＝732，所以恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为732.(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫40，18，所以随机变量X 的数学期望E (X )＝40×18＝5.。

高中人教A数学选修2-3学案：2.1.2 离散型随机变量的分布列含答案

(3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率．
[思路分析] (1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出 X 的所有可能取值，并求出相应
的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和．
[解析] (1)解法一：记“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)
C35C12C12C21 2
晨鸟教育
2.1.2 离散型随机变量的分布列
情景引入
自主预习·探新知
投掷一颗骰子，所得点数记为 ξ ，则 ξ 可取哪些数字？ξ 取各个数字的概率分别是多少？可否用列表法表示 ξ 的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记为 ξ ，则 ξ 可能的取值有哪些，你能列出表示 ξ 取各值的概率与 ξ 取值的对应关系吗？
10 10 『规律总结』
5
5
5 15 15 5 5
n
1.利用分布列的性质 Σ pi＝1，可以初步检验所求分布列是否正确，即若 i＝1
n
的Σ ．pi≠i＝11，则所求的分布列一定是错误
2．{X＝xi}所表示的事件是互斥的． 3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率
Earlybird
晨鸟教育
C2C12＋C12C2 1
P(X＝2)＝
＝；
C130 C24C12＋C14C P(X＝3)＝
C130
30 2 ＝；
15
2
C26C12＋C16C2
P(X＝4)＝
＝；
C130
10
3
C28C12＋C18C
P(X＝5)＝ C130
8
2
＝． 15
所以随机变量 X 的概率分布列为：

高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目(附答案)

高中数学选修2-3离散型随机变量的分布列精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的分布列的定义及性质①一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格形式表示为：表示为P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，离散型随机变量分布列还可以用图象表示．(2)特殊分布①两点分布X的分布列为两点分布，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．②超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，即其中m＝如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．一、离散型随机变量的分布列1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．解：(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为(2)X的取值不小于P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝320＋310＋12＝1920.注：求离散型随机变量分布列的一般步骤：(1)确定X的所有可能取值x i(i＝1,2，…)以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)；(3)写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验．2．一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．解：随机变量X的可能取值为1,2,3.当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝C24C35＝610＝35；当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝C23C35＝310；当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为3．若随机变量X则当P (X <a ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)解析：选C 随机变量X 的分布列，知P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．故选C.4．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 2＋b 2的最小值为( )A.124B.116C.18D.14解析：选C 由分布列性质可知a ＋b ＝12，而a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝18.故选C. 5．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝( )A.35B.1325C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1可得a ＝125，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.6．已知随机变量X 所有可能取值的集合为{－2,0,3,5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X ＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C 由分布列的性质可知，P (X ＝0)＝1－P (X ＝－2)－P (X ＝3)－P (X ＝5)＝16. 7．已知随机变量ξ的分布列为设η＝ξ2－2ξ解析：由题意，可知P (η＝3)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝3)＝14＋112＝13. 答案：13二、离散型随机变量分布列的性质1．设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.解：题目所给随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a 得a ＝115.(2)法一：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝15＋415＋13＝45.法二：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋15＝25.注：(1)利用离散型随机变量的分布列的两个性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：(1)求q 的值；(2)求P (X ＜0)，P (X ≤0)的值．解：(1)由分布列的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1，解得q ＝1－22.(2)P (X ＜0)＝P (X ＝－1)＝12；P (X ≤0)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＝12＋1－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12.三、两点分布及超几何分布1．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．解： (1)从10张奖券中任意抽取1张，只有中奖与不中奖两种情况，X 的取值只有1和0，故属于两点分布．(2)从10张奖券中任意抽取2张，属于超几何分布．(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35. 因此X 的分布列为(2)2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115，因此随机变量Y 的分布列为注：(1)由于在两点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．(2)可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，往往由差异明显的两部分组成．2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取的概率为C33C34C36C36＝1100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C33C13C46＝15.所以X的分布列为3ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：选C设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝1 3，所以P (ξ＝0)＝13.故选C.4．已知10名同学中有a 名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8解析：选B 设抽取的女生人数为X ，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8，故选B.5．生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率为________．解析：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布，这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格的，所以被接收的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245.故该批产品被接收的概率是243245.答案：2432456．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X 的分布列．解：X 的可能取值是1,2,3，P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为7.老师要从102篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．解：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.巩固练习：1．设随机变量X 等可能地取值为1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y ＜10)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：选B Y ＜10，即2X －1＜10，解得X ＜5.5，即X ＝1,2,3,4,5，所以P (Y ＜10)＝0.5.2．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x ”“y ”(x ，y ∈N )代替，其表如下：则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113等于( )A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55解析：选B 根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，得x ＝2，y ＝5.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.35.3．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝2)D ．P (X ＝1)解析：选B 由已知，得X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 222C 226，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，P (X ＝2)＝C 24C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226.4．设随机变量X 的分布如下表，则P (|X －3|＝1)＝( )A.712B.512C.14D.16解析：选B 因为|X －3|＝1，所以X ＝2或X ＝4，所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝1－13－14＝512.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝________.解析：由离散型随机变量分布列的性质，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋(1－2q )＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，0≤q 2≤1，故q＝1－22.答案：1－226．袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.解析：取出的4个球红球个数可能为4,3,2,1，黑球相应个数为0,1,2,3，其分值为ξ＝4,6,8,10分．P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44C 03C 47＋C 34C 13C 47＝1335.答案：13 357．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.(2)分数在[80,90)，[90,100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)．所以ξ的可能取值为0,1,2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布．则P(ξ＝0)＝C03C29C212＝3666＝611，P(ξ＝1)＝C13C19C212＝2766＝922，P(ξ＝2)＝C23C09C212＝366＝122.所以随机变量ξ的分布列为ξ01 2P 6119221228．某班50名同学参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目的个数及对应的人数如下表：答对题目的个数012 3人数5102015(1)从50名同学中任取2名，求答对题目的个数之和为4或5的概率；(2)从50名同学中任选2名，设随机变量ξ为这2名同学答对题目的个数之差的绝对值，求ξ的分布列．解：(1)记“从50名同学中任选2名，答对题目的个数之和为4或5”为事件A，从50名同学中任选2名，基本事件总数为C250，事件A所包含的基本事件分为三类：第一类，从答对1个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C110C115种选法；第二类，从答对2个问题及答对3个问题的同学中各选1人，共有C120C115种选法；第三类，从答对2个问题的同学中选2人，共有C220种选法．由古典概型的概率计算公式，可得P(A)＝C110C115＋C120C115＋C220C250＝128245.(2)ξ的所有可能取值0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C25＋C210＋C220＋C215C250＝27，P(ξ＝1)＝C15C110＋C110C120＋C120C115C250＝2249，P(ξ＝2)＝C15C120＋C110C115C250＝1049，P(ξ＝3)＝C15C115C250＝349.所以ξ的分布列为。

2019高中数学课时分层作业10 离散型随机变量的分布列新人教A版选修2-3

课时分层作业(十) 离散型随机变量的分布列(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( ) A.B.C.D.C [C 选项中，P (X ＝1)＜0不符合i (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1的特点，故C 选项不是分布列．]2．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 2＋b 2的最小值为( )【导学号：95032135】A ．124B ．116C ．18D ．4C [由分布列性质可知a ＋b ＝12，而a 2＋b 2≥a ＋b 22＝18.故选C.] 3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，取出白球0，取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量XA [A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布，故选A.]4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( )【导学号：95032136】A ．16B ．13C ．12D ．23A [根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.]5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ≤2)C ．P (ξ＝4)D ．P (ξ≤4)C [A 项，P (ξ＝2)＝C 27C 88C 1015；B 项，P (ξ≤2)＝P (ξ＝2)≠C 47C 68C 1015；C 项，P (ξ＝4)＝C 47C 68C 1015；D 项，P (ξ≤4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)>C 47C 68C 1015.]二、填空题6．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.【导学号：95032137】47 [设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k2个． ∴分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47.]7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为________．[P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.] 8．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________.【导学号：95032138】45 [设所选女生数为随机变量X ，X 服从超几何分布，P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.] 三、解答题9．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．[解] 将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6.P (ξ＝1)＝136，ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)(其中(x ，y )表示第一枚骰子点数为x ，第二枚骰子点数为y )，所以P (ξ＝2)＝336＝112.同理可求得P (ξ＝3)＝536，P (ξ＝4)＝736，P (ξ＝5)＝14，P (ξ＝6)＝1136，所以ξ的分布列为10.在8X 的分布列． [解] X 的可能取值是1,2,3，P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为一、选择题1．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品D [设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0,1,2，P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310. 因为P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝710，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．] 2．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x ”“y ”(x ，y ∈N )代替，其表如下：则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113＝( )【导学号：95032139】A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55B [根据分布列的性质可知，随机变量的所有取值的概率和为1，得x ＝2，y ＝5.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜X ＜113＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.35.]二、填空题3．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于________．1－(a ＋b ) [P (m ≤ξ≤n )＝1－P (ξ＞n )－P (ξ＜m )＝1－[1－(1－a )]－[1－(1－b )]＝1－(a ＋b )．] 4．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝________.【导学号：95032140】56 [由题意，知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a4×5＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 2＋a 6＝2a 3＝23×54＝56.]三、解答题5．袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率．[解] (1)从袋中随机摸4个球的情况为 1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，分别得分为5分，6分，7分，8分．故X 的可能取值为5,6,7,8. P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835， P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X ＝P (X ＝7)＋P (X ＝8) ＝1235＋135＝1335.。

高中数学第二章随机变量及其分布学业质量标准检测练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( C )A ．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B ．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C ．公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D ．从一副扑克牌中随机抽取5X ，其中梅花的X 数服从超几何分布[解析] 公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C ．2．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( C )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[解析] 由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111．3．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( A )A ．35 B ．815 C ．1415D ．1[解析] 由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝15＝5．4．(2018·全国卷Ⅱ理，8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A ．112B ．114C ．115 D ．118[解析] 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115．故选C ．5．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( C )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04[解析] 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( C )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的[解析]X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1、2、3、4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310， P (X ＝3)＝12， P (X ＝4)＝16，∴选C ．7．(2020·全国卷Ⅲ)设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1,10x 2，…，10x n 的方差为( C )A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10[解析] 因为数据ax i ＋b i (i ＝1,2，…，n )的方差是数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差的a 2倍，所以所求数据方差为102×0.01＝1.故选C ．8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3[解析] 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6.又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4·(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．指出下列随机变量是离散型随机变量的是( AB ) A ．小明回答20道选择题，答对的题数 B ．某超市5月份每天的销售额C ．某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差XD ．某某某某市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一X 围内变化，该水位站所测水位X [解析] A 项，小明回答的题数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量；B 项，某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量；C 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，D 项，不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一X 围内变化，不能按次序一一列举．故选AB ．10．把一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C 2，下列说法中正确的是( ABC )A ．曲线C 2仍然是正态曲线B ．曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2D ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的方差大2 [解析] 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线．在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标(即正态密⎭⎪⎫度函数的最大值12πσ不变，方差σ2也没有变化．设曲线C 1的对称轴为x ＝μ，那么曲线C 2的对称轴为x ＝μ＋2，说明期望从μ变到了μ＋2，增大了2．11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ACD )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12[解析] 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2独立；在A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为16，A 正确；在B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B 错误；在C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；在D中，2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD ．12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( AD )A ．P (B )＝2330B ．事件B 与事件A 1相互独立C ．事件B 与A 2事件相互独立D ．A 1，A 2互斥[解析] 由题意知P (A 1)＝35，P (A 2)＝25，P (B )＝P (B |A 1)＋P (B |A 2)＝35×56＋25×46＝＝2330，A 正确；又P (A 1B )＝12，因此P (A 1B )≠P (A 1)P (B )，B 错误；同理，C 错误；A 1，A 2不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则a ＝__0.2__，E (ξ)＝__1.8__.[解析] ；E (ξ)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则P (B |A )＝__23__．[解析] 由条件知，P (A )＝34，P (AB )＝C 23C 24＝12，∴P (B |A )＝P AB P A ＝23．15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1、A 2、A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，又P (B |A 1)＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④．16．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为__625__.(用数字作答)[解析] 由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)．{a n }的前10项分别为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23(25)2(12)1＝625．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23． P (B )＝1－P (B )＝13．(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49．(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127． 18．(本题满分12分)(2019·全国Ⅱ卷理，18)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．[解析] (1)X ＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5．(2)X ＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1．19．(本题满分12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.[解析]E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81．工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61．由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．20．(本题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )． [解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518．(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142．因此X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2． 21．(本题满分12分)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为X ，Y ． (1)写出X 的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (X )，E (Y )；(2)求D (X )，D (Y )．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛． [解析] (1)X 的分布列为所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×5＝2．由题意得，Y ～B (3，23)，E (Y )＝3×23＝2．(2)由(1)得E (X )＝E (Y )．D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25．∵Y ～B (3，23)，∴D (Y )＝3×23×13＝23．∴D (X )<D (Y )．因此，建议该单位派甲参加竞赛．22．(本题满分12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．[解析] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14．(2)X 的可能取值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115综上知，X 的分布列为：故E (X )＝0×715＋1×15＋2×15＝5．。

高中数学选修2-3课时作业11：2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)

2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)一、选择题1．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10D ．n ＝92．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23B.34C.45D.563．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <24．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c ( ) A.16B.13C.12D.565．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16B.13C.12D.236．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－3,3] D ．[0,1]二、填空题7．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________.8．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知9．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则有P(X<2)＝________.10．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________．三、解答题11．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab.求这名运动员投中3分的概率．12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．13．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列．四、探究与拓展14．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能值为____________．15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P(5≤X≤25)的值．[答案]精析1．C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.B 7.47 8.0.6 9.2527 10.11.解由题中条件知，2b ＝a a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 12．解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13.解 5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，则P (X ＝－5)＝136，P (X ＝－4)＝236＝118，…，P (X ＝5)＝136.故X 的分布列为15．解 (1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 26C 210＝1－13＝23.(2)X 的可能取值为0,10,20,50,60.P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故随机变量X 的分布列为所以P (5≤X ≤25)＝P (X ＝10)＋P (X ＝20)＝25＋115＝715.。

人教版数学高二选修2-3讲义离散型随机变量的分布列

2.1.2离散型随机变量的分布列1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)[基础·初探]教材整理1离散型随机变量的分布列阅读教材P46～P47例1上面倒数第二行，完成下列问题．1．定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X 取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列．为了简单起见，也用等式P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列．2．性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n；(2)i＝1np i＝1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(3)√由分布列的性质可知，该说法正确．【答案】(1)×(2)×(3)√2．随机变量ξ的分布列为：则ξ【解析】P(ξ为奇数)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝215＋845＋29＝2445＝815.【答案】8 15教材整理2两个特殊分布阅读教材P47例1上面倒数第一行～P49，完成下列问题．1．两点分布若随机变量X并称p＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{}M，n，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.PC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC n N布．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X 只取两个值的分布是两点分布．( )(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．( )(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布．( )【解析】 (1)× 只有随机变量取0或1的分布才是两点分布． (2)√ 根据两点分布的概念知，该说法正确．(3)√ X 的可能取值为1,2,3，可求得P (X ＝k )＝C k 5C 3－k3C 38(k ＝0,1,2,3)，是超几何分布．【答案】 (1)× (2)√ (3)√2．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.【解析】设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k 2个． ∴分布列为ξ 1 2 3 P472717P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 【答案】 473．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【导学号：29472048】【解析】P(X＝3)＝C35C15C410＝521.【答案】521[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ia(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P⎝⎛⎭⎪⎫12<X<72.【精彩点拨】先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，12<X<72的含义，利用分布列求概率．【自主解答】(1)∵∑i＝14p i＝1a＋2a＋3a＋4a＝1，∴a＝10，则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.(2)由a＝10，得P⎝⎛⎭⎪⎫12<X<72＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.[再练一题]1．若离散型随机变量X的分布列为：X 0 1P 4a－13a2＋a求常数a【解】由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，即3a2＋5a－2＝0，解得a＝13或a＝－2，又因为4a－1>0，即a>14，故a≠－2.所以a＝13，此时4a－1＝13，3a2＋a＝23.所以随机变量X的分布列为：X 0 1P1323求离散型随机变量的分布列口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．【精彩点拨】X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【自主解答】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C36，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C33，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C11C23，事件“X＝5”包含的基本事件总数为C11C24，事件“X＝6”包含的基本事件总数为C11C25.从而有P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X 345 6P 120320310121．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i(i＝1,2，…，n)，以及ξ取每个值的意义；(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝x i)＝p i；(3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．[再练一题]2．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【解】将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6.P(ξ＝1)＝1 36，ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)(其中(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y)，所以P(ξ＝2)＝336＝112.同理可求得P(ξ＝3)＝536，P(ξ＝4)＝736，P(ξ＝5)＝14，P(ξ＝6)＝1136，所以ξ的分布列为ξ12345 6P 136112536736141136两点分布与超几何分布探究1利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【提示】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X 2 5P 0.30.7X探究3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X 个A的概率分布问题．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为X 0 1 P3525(2)2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为Y 010205060P 13251152151151．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．[再练一题]3．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率.【导学号：29472049】【解】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝C r6C3－r4C310(r＝0,1,2,3)．所以P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的概率分布为X 012 3P 1303101216(2)他能及格的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝12＋16＝23.1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) A ．1 B.913 C.2713 D.1113【解析】由分布列的性质可知：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )【导学号：29472050】A ．0 B.13 C.12 D.23【解析】设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23. 故P (ξ＝0)＝1－p ＝13. 【答案】 B3．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________.【解析】依题意有P (ξ>8)＝112×8＝23. 【答案】 234．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为________．高中数学-打印版精心校对完整版【解析】 P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.【答案】5.从4名男生和2ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)知，“所选3 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.。

2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3检测：第二章2.1-2.1.2第1课时离散型随机变量的分布列 Word版含解析

第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.2 离散型随机变量的分布列第1课时离散型随机变量的分布列A级基础巩固一、选择题1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5解析：第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．答案：C2．若随机变量X的分布列为：则当P(A ．(－∞，2]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，2)解析：由随机变量X 的分布列知：P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1，2]．答案：C3．设离散型随机变量X 的概率分布列如下表：则p 等于( A.110 B.15 C.25 D.12解析：由110＋310＋110＋p ＝1，解得p ＝510＝12.答案：D4．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k，k ＝1，2，3，则m 的值为( )A.1718B.2738C.1719D.2719 解析：P (X ＝1)＝2m 3，P (X ＝2)＝4m 9，P (X ＝3)＝8m27，由离散型随机变量的分布列的性质知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，即2m3＋4m 9＋8m 27＝1，解得m ＝2738. 答案：B5．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an （n ＋1），n ＝1，2，3，4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56解析：a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a4×5＝a ⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＝45a ＝1. 所以a ＝54.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.答案：D 二、填空题6．随机变量ξ的分布列如下：其中a 、b 、c ________．解析：由a ＋b ＋c ＝1及2b ＝a ＋c ，得b ＝13，所以P (|ξ|＝1)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝－1)＝23.答案：237．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ＞8)＝________．解析：依题意有P (ξ＞8)＝112×8＝23.答案：238．随机变量η的分布列如下：则x ＝解析：由分布列的性质得0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.答案：0 0.55 三、解答题9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．解： X 可取3，4，5，6，7.其中X ＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P (X ＝3)＝1C 24＝16；X ＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P (X ＝4)＝1C 24＝16；X ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P (X ＝5)＝2C 24＝13； X ＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P (X ＝6)＝1C 24＝16；X ＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P (X ＝7)＝1C 24＝16.所以变量X 的分布列为：10.设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．求： (1)常数a 的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)P ⎝⎛⎭⎪⎫110<X <710.解：题目所给随机变量X 的分布列为：(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝15＋415＋13＝45.(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋15＝25.B 级能力提升1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k15(k ＝1，2，3， 4，5)，则P ⎝⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52＝( )A.12B.19C.16D.15解析：由12＜ξ＜52知ξ＝1，2，P (ξ＝1)＝115，P (ξ＝2)＝215.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15.答案：D2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (ξ＜4)＝0.3，那么n ＝________．解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.3＝3n，解得n ＝10.答案：103．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．解：将一颗骰子连掷两次共出现的等可能基本事件有6×6＝36(种)，其最大点数ξ可能取的值为1，2，3，4，5，6.P (ξ＝1)＝136.ξ＝2包含三个基本事件(1，2)，(2，1)，(2，2)，其中(x ，y )表示第一枚骰子点数为x ，第二枚骰子点数为y .所以P (ξ＝2)＝336＝112.同理可求得P (ξ＝3)＝536，P (ξ＝4)＝736，P (ξ＝5)＝14，P (ξ＝6)＝1136. 所以ξ的分布列为：。

数学选修2-3分层作业10 离散型随机变量的分布列含解析

课时分层作业(十) 离散型随机变量的分布列(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )C ．0.1D ．－0.1【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.【答案】 B2．下列问题中的随机变量不服从二点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎨⎧1，取出白球，0，取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X【解析】 A 中随机变量X 的取值有6个，不服从二点分布，故选A. 【答案】 A3．若P (X ≤n )＝1－a ，P (X ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤X ≤n )＝( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )【解析】 P (m ≤X ≤n )＝P (X ≤n )－P (X ≤m )＝1－a －[1－(1－b )]＝1－(a ＋b )．【答案】 C4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( )A.16 B ．13 C.12D ．23【解析】根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16. 【答案】 A5．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为( )A.23 B ．34 C.45D ．56【解析】 a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝a 1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45a ＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.【答案】 D 二、填空题6．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，随机变量X 的概率分布列如下：123【解析】 X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.【答案】 0.1,0.6,0.37．设离散型随机变量X 的概率分布列为：【解析】 P (X ≤2)＝1－25＝35. 【答案】 358．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，【解析】由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16 三、解答题9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎨⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的分布列； (2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的分布列及P (X >1)．【解】依题意，有 P (X ＝1)＝2P (X ＝2)， P (X ＝3)＝12P (X ＝2)．由分布列的性质得1＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)，所以P (X ＝2)＝27，所以X 的分布列如下：故P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.[能力提升练]1．随机变量X的分布列如下表：A.13B．23C.34D．45【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.【答案】 B2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：A．1 B．1±2 2C．1＋22D．1－22【解析】由分布列性质(2)知12＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1±22，又由性质(1)知1－2q≥0，∴q≤12，∴q＝1－22，故选D．【答案】 D3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为【解析】 X ＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a ＝1920；X ＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b ＝120.【答案】 1920 1204．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．棵数Y 的分布列．【解】当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14； P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18. 所以随机变量Y 的分布列为。

2017-2018学年数学人教A版选修2-3优化练习：第二章2.12.1.2离散型随机变量的分布列Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1D ．－0.1解析：由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，可得m －n2＝0.2.答案：B2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( ) A.421 B.921 C.621D.521解析：P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.答案：D3．若离散型随机变量X 的分布列为：则常数c 的值为( ) A.23或13 B.23 C.13D ．1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，得c ＝13.答案：C4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.答案：C5．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则P (A.239 B.2310 C.139 D.1109 解析：由分布列的性质∑i ＝1np i ＝1，得23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1，所以P (X ＝10)＝m＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋233＋…＋239＝1－2×13(1－139)1－13＝139. 答案：C6．随机变量ξ的分布列如下：则ξ解析：P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝215＋845＋29＝815.答案：8157．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下： 50.1解析：由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25.∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 答案：0.68．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的分布列为由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：[－13，13]9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．解析：由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67.∴X 的分布列如下表：10.在8个大小相同的球中，有23个，求取出的球中白球个数X 的分布列．解析：X 的可能取值是1,2,3， P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为1．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.56解析：a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a4×5＝a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15 ＝45a ＝1. ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2) ＝54×⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＝56.答案：D2．若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( ) A ．(1－a )(1－b ) B ．1－a (1－b ) C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )解析：由分布列的性质得P (m ≤ξ≤n )＝P (ξ≥m )＋P (ξ≤n )－1＝(1－a )＋(1－b )－1＝1－(a ＋b )．答案：C3．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：则x 1，x 2，x 3的值分别为解析：ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (ξ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1,0.6,0.34．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是解析：由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 答案：165．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．解析：(1)P ＝1－C 04C 26C 210＝1－13＝23.即该顾客中奖的概率为23.(2)X 所有可能的取值(单位：元)为0,10,20,50,60，P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13；P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25；P (X ＝20)＝C 23C 210＝115；P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215；P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故X 的分布列为6.4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．解析：(1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为。

高中数学人教A版选修2-3检测及作业课时作业15离散型随机变量的方差含解析

答案：乙
7．若事件A在一次试验中发生的方差等于0.25，则事件A在一次试验中发生的概率为________．
解析：事件A发生的次数ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
P
p
1－p
E(ξ)＝1－p，
D(ξ)＝(1－p)2p＋p2(1－p)
＝(1－p)·p
＝0.25.
所以p＝0.5.所以1－p＝0.5.
答案：0.5
8．已知随机变量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，则D(ξ)＝________.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2× ＋(1－1.5)2× ＋(2－1.5)2× ＋(3－1.5)2× ＋(4－1.5)2× ＝2.75.
14．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
答案：C
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C ( )k·( )n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()
A．8 B．12
C. D．16
解析：由题意可知ξ～B(n， )，∴ n＝E(ξ)＝24.∴n＝36.
∴D(ξ)＝n× ×(1－ )＝ ×36＝8.

人教A版2019高中数学选修2-3同步检测作业：课时作业 10离散型随机变量的分布列_含解析

q2
A.1B．1±
C．1－ D．1＋
解析：由分布列的性质得
解得q＝1－ .
故选C.
答案：C
12．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.
解析：ξ可能取的值为0,1,2,3，
答案：D
4．设随机变量X的分布列如下，则下列各项中正确的是()
X
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.2
0.4
A.P(X＝1.5)＝0B．P(X>－1)＝1
C．P(X<3)＝0.5 D．P(X<0)＝0
解析：由分布列知X＝1.5不能取到，故P(X＝1.5)＝0，正确；而P(X>－1)＝0.9，P(X<3)＝0.6，P(X<0)＝0.1.故A正确．
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为()
A. B.
C．1－ D.
解析：出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－ .
答案：C
2．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()
A. B.
C. D.
解析：取出的红球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为 .
答案：D
3．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是()

2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3检测：课时跟踪检测(十) 离散型随机变量的分布列

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十) 离散型随机变量的分布列层级一学业水平达标1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ）A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝错误!D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X解析:选A A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布．2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于错误!的是（）A．P(X＝2）B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4）解析：选C X服从超几何分布P(X＝k）＝错误!,故X＝k＝4。

3．某射手射击所得环数X的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（）A．0。

28 B．0.88C．0。

79 D．0。

51解析：选 C P（X>7）＝P（X＝8）＋P（X＝9）＋P(X＝10）＝0。

28＋0。

29＋0.22＝0。

79。

4．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( ）A。

B。

C.D.解析：选C 选项A、D不满足分布列的概率和为1，选项B不满足分布列的概率为非负数．5．若离散型随机变量X的分布列如表所示，则a的值为( )A．错误!C．错误!或－2 D．错误!解析：选A 由分布列的性质，得错误!解得a＝错误!。

6．随机变量Y的分布列如下：则x＝________，P（解析：由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0。

1＋0。

2＝1，解得x＝0.05.故P(Y≤3）＝P(Y＝1）＋P（Y＝2）＋P（Y＝3)＝0.2＋0。

05＋0.35＝0。

6。

答案:0.05 0.67．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．解析：设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P（X≤1)＝P(X＝0)＋P（X＝1）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!8．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X,则P（X＞1)＝________.解析:依题意，P(X＝1)＝2P（X＝2），P(X＝3）＝错误!P（X＝2)，P(X＝3）＝P（X＝4)，由分布列性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4）＝1，则4P(X＝2）＝1，即P（X＝2）＝错误!，P(X＝3）＝P(X＝4）＝错误!。

高中数学 2.1.2 离散型随机变量的分布列课时作业(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

课时作业11 离散型随机变量的分布列知识点一离散型随机变量分布列的性质1.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 的值为( )A.1110 B.155C ．110D ．55 答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.2．若随机变量X 的概率分布列为：P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( )A.23B.34C.45D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝54×23＝56.3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1P0.51－2qq 2则q ＝________. 答案 1－22解析由分布列的性质得0．5＋1－2q ＋q 2＝1，整理得q 2－2q ＋0.5＝0，解得q ＝－－2±－22－4×1×0.52＝1±22，又0≤1－2q ≤1,0≤q 2≤1，所以q ＝1－22.知识点二两点分布与超几何分布4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)＝( )A ．0 B.12 C.13 D.23答案 C解析设P (ξ＝1)＝P ，则P (ξ＝0)＝1－P .依题意知，P ＝2(1－P )，解得P ＝23，故P (ξ＝0)＝1－P ＝13.5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2) D．P (X ≤3) 答案 B解析 C 35表示从5名“三好生”选择3名，从而P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.知识点三离散型随机变量的分布列6.一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X 的分布列； (2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X 的分布列．解 (1)X 的分布列为X 0 1 P3747(2)∵P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，∴X 的分布列为X 0 1 P1767一、选择题1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( ) A.X －2 0 2 4 P0.5 0.2 0.3B.X 0 1 2 P0.70.150.15C.X 1 2 3 P－13 12 23D.X 1 2 3 Plg 1lg 2lg 5答案 C解析 C 选项中，P (X ＝1)＜0不符合P (X ＝x i )≥0的特点，也不符合P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1的特点，故C 选项不是分布列．2．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10 D ．n ＝9 答案 C解析由X ＜4知X ＝1,2,3，所以P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3＝3n，解得n ＝10.3．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 2＋b 2的最小值为( )X ＝i 0 1 2 3P (X ＝i )14a 14bA.124 B.116 C.18 D.14答案 C解析由分布列性质可知a ＋b ＝12，而a 2＋b 2≥a ＋b 22＝18.故选C. 4．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )A.C 35C 350B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350D.C 15C 25＋C 25C 145C 350 答案 C解析出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为C 345C 350，故答案为1－C 345C 350.5．从只有3X 中奖的10X 彩票中不放回随机逐X 抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A.310 B.710 C.2140 D.740答案 D解析 “X ＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P (X ＝3)＝A 27C 13A 310＝7×6×310×9×8＝740，故选D.二、填空题6．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：答案 0.6解析由离散型随机变量的分布列的性质可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为________．答案解析当有0个红球时，P (X ＝0)＝2C 25＝0.1；当有1个红球时，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6；当有2个红球时，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.答案 47解析设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47.三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．解 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝3.10．一个盒子里装有4X 大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4X 大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一X 卡片，其上面的数记为x ，再从另一个盒子里任取一X 卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ，求η的分布列．解依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11. 则有P (η＝5)＝14×4＝116， P (η＝6)＝216＝18，P (η＝7)＝316， P (η＝8)＝416＝14，P (η＝9)＝316， P (η＝10)＝216＝18，P (η＝11)＝116.所以η的分布列为。