人教版高中数学必修三 第三章 概率课堂问题变式教学在几何概型中的运用
最新人教版高中数学必修三第三章概率3.3几何概型教案
课题名称几何概型授课教师科目高中数学班级教学目标1．理解几何概型的特点。
2．会应用几何概型的计算公式求几何概型的概率。
3．体会生活和学习中与几何概型有关的实例。
教学重点难点重点：几何概型的特点及公式的应用。
难点:几何概型的应用。
教学过程设计意图复习导入【知识回顾】（你已做好知识准备了吗？你一定还记得以下知识吧！）1.请看下面的例子并回答问题：（1）投掷一颗骰子，观察向上的点数。
（2）一先一后投掷两枚硬币，观察正反面出现的情况。
想一想：这两个试验是什么类型的？2. 古典概型的两个特点：3.古典概型的计算公式：【创设情境】探究合作（师生互动，合作探究，分组展示，点拨提升！）探究一：引例1：从区间[1，6]中任取一个实数。
引例2：取一个边长为2a的正方形 (如图),随机地向正方形内丢一粒豆子。
思考：上述试验还是不是古典概型？为什么？温故知新，类比正弦函数的图象和性质，研究余弦函数展示目标齐读学习目标、学习重点、学习难点：【学习目标】1.理解几何概型的特点。
2.会应用几何概型的计算公式求几何概型的概率。
3.体会生活和学习中与几何概型有关的实例。
【重点】几何概型的特点及公式的应用【难点】几何概型的应用师生互认学习目标，引导学生带着目标进入新课学习，有的放矢。
新课讲授新课讲授小组内讨论：参照古典概型的特点，上述试验的特点是什么？特点：（1）_________________________________；（2）______________________________________。
具有上述特点的试验称为几何概型。
我们通过上面的试验，得出了几何概型的概念，明确了几何概型事件的两个基本特点。
那么如何用数学表达式来解决几何概型事件的概率问题呢？探究二：问题1：从区间[1，6]中任取一个实数，求取到的数比3小的概率是多少？问题2：下面是运动会射箭比赛的靶面，靶面半径为10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭，假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少?问题3：500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履虫的概率？通过以上三个问题，类比古典概型，你是否能够得出几何概型的计算公式呢？在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：通过问题引导，让学生初步感知本节课的主要问题，并对比前节课古典概型内容完成思维推理，训练，训练四基中的基本技能和基本思想。
人教版高中数学必修三 第三章 概率 《几何概型》备课资料
《几何概型》备课资料教学内容的分析1.从教材的地位和作用来看本课选自人教A 版（必修3）第三章《概率》中3.3几何概型的第一课时，是在学习古典概型情况下教学的。
它是对古典概型内容的进一步拓展，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，此节内容也是新课本中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。
2.从学生学习角度来看从学生的思维特点看，很容易将本节内容与古典概型进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：基本事件个数由有限向无限过渡，以及对实际背景的转化上还存在一定的认知困难。
3.教学重难点重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。
教学目标1.知识与技能以学生动手试验为主要形式，通过解决具体问题来感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义.2.过程与方法通过多个问题的分析及模拟试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。
3.情感、态度与价值观教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。
教学过程：引入1：复习古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数 对比练习：1.(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲掷一次获胜（事件A ）的概率？2. （转盘游戏）：如图转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.求甲获胜（事件A ）的概率是多少?思考：⑴两个问题概率的求法一样吗？若不一样,请问可能是什么原因导致的？赌博游戏分析：骰子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，因而可以利用古典概型；所以P （A ）=61 转盘游戏分析：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型； ⑵你是如何解决这些问题的？利用模拟实验得到概率探究归纳（模拟实验）：1.转盘游戏引导：先分析，做示范。
人教A版高中数学必修3《几何概型》教案
参赛课题：几何概型使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修3（人教A版）《几何概型》教案说明一、《几何概型》在教材中的地位本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第三节几何概型的第一课时，是在学习了古典概型情况下教学的。
它是对古典概型内容的进一步拓展，主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想，通过建立基本事件与相应点的对应，实现从有限到无限形式上的转化，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，进而建立合理的几何模型解决相关概率问题。
此节内容也是新课标中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。
二、《几何概型》教学目标定位1、教学目标1）知识目标通过解决具体问题让学生感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义。
2）能力目标通过多个问题的分析及试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。
3）情感目标教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。
2、教学目标的设置意图几何概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。
同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。
三、《几何概型》的重难点分析1、教学重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.2、教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。
3、诊断分析：本节课让学生动手操作，亲身体验感受基本事件的个数不可数的情形下，从而引起思维的困惑，进而引导学生利用数形结合的思想，通过建立等量替代的关系，实现有限和无限之间的对应转化，从而解决了无限性难以计算的问题，让学生理解这样的对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理，这是本节课的难点所在，也是学生难以理解的地方。
人教版高中数学必修三 第三章 概率3.3.1 几何概型(第1课时)
3．3．1 几何概型（第1课时）一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过等公交车和转盘游戏，引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式，明确几何概型与古典概型的区别.（2）通过例题教学，使学生进一步理解几何概型的使用条件，学会利用几何概型的概率计算公式解决问题.（3）在几何概型下进一步理解“不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；而概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件”的含义.2．过程与方法：发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3．情感、态度与价值观：本节课的主要特点是现实问题多，需要将现实问题转化为数学问题来解决，加强数学知识与现实世界的联系，学习时养成勤学严谨的学习习惯.二、教学重点与难点：重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式.难点：准确确定全部几何区域和与事件A对应的区域，并求出它们的长度、面积或体积.三、教法与教具：教学方式：启发、探究式教学辅助：多媒体课件四、教学基本流程：五、教学过程（一）知识回顾复习古典概型创设情境，引入课题通过转盘游戏猜想相应的概率几何概型的概念、特点、与古典概型的区别例题讲解及变式，明确几何概型的计算步骤练习和小结作业和课后思考1、古典概型的特点是什么？在古典概型下，如何计算随机事件A 出现的概率？2、当随机试验的基本事件有无限个时，事件的概率应该如何求呢?（二）新知探究当随机试验的基本事件有无限个时，事件的概率应该如何求呢?1、创设情境情境1： 公共汽车站每隔15分钟有一辆1路汽车通过，乘客到达车站的任一时刻是等可能的，那么乘客等车不超过10分钟的概率是多少？情境2：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.如果你是甲，你会选择那一个转盘进行游戏？你为何作此选择？你获胜的可能性是多少？思考讨论： 1. 指针指向B 区域的机会（概率）与什么有关？2.指针指向B 区域的机会（概率）与圆的大小有关吗？3.把转盘②变成③图, 指针指向B 区域的机会（概率）会不会改变？情境3：在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，那么发现草履虫的概率是多少？ 2、探究（1）你是如何计算概率的？（2）它们的共同特征是什么？（3）以上3个问题是否属于古典概型问题？为什么？3、几何概率模型的定义及计算公式（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.（2）几何概型的概率公式：()A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（强调：求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义.）（3）几何概型的特点：（类比古典概型，说出异同点）1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．(三)应用举例1、判断下列概率类型并求其概率：（1）在区间[0,9]上任取一个整数，恰好取在区间[1,3]上的概率为多少？（2）在区间[0,9]上任取一个实数，恰好取在区间[1,3]上的概率为多少？2、例题及变式例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假设电台只在整点报时）变式1：求他等待的时间至少20分钟的概率．变式2：求他等待的时间为20至40分钟的概率．变式3：一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？B B N NB（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.3、解决情境14、达标训练1.如右图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.2.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.3.取一根长为30厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于10厘米的概率有多大?4.(2010湖南文科)在区间[]2,1-上随机取一个数x，则[]1,0∈x的概率为 .5.思考题：在转盘游戏中,当指针指向B区域时,甲获胜.(1)如果在转盘上，区域B缩小为一个点，那么甲获胜的概率是多少？ (2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个点，那么甲获胜的概率是多少？结论：概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定是必然事件.（四）课堂小结1、几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个(2)每个基本事件出现的可能性相等.2、几何概型的概率公式：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）几何概型是适用于试验结果无限多且事件是等可能发生的概率类型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题是解决问题的关键. 3、注意理解几何概型与古典概型的区别.（五）作业布置1、课本P142 习题3.2 A组 12、在区间[,]22ππ-上随机取一个数x，求cos x的值介于0到21之间的概率.(09山东高考）（六）课后思考（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人15分钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.。
人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型教案
几何概型教案一、教学目标：（1）知识与技能目标 ：通过具体实例正确理解几何概型定义及与古典概型的区别；掌握几何概型的概率计算公式并能解决简单实际问题 。
（2）过程与方法目标 ：通过解决引例问题及归纳定义、公式，体验从特殊到一般的思想方法；通过实际问题，培养学生数学建模能力；通过对问题的观察、对比和交流讨论，领悟类比思想与转化思想.（3）情感、态度与价值观目标 ：通过对几何概型的教学，培养学生独立思考探索的能力，增强学生合作交流的机会，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想.二、教学重点、难点：重点：几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式难点：选择正确的几何度量,通过数学建模解决实际问题三、教学方法：引导发现式四、教学手段：多媒体辅助式教学五、教学过程;(一) 复习提问上节课我们学习了古典概型，大家还记得它的特点和求概率公式吗？1、古典概型的两个特点:(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.2、计算古典概型的公式：（二）问题情境我们来看一个很简单的古典概型问题 1、从区间[0，10]内任取一个整数 ，求取到(1,3)x ∈的概率。
2、从区间[0，10]内任取一个实数 ，求取到(1,3)x ∈的概率。
（三）归纳特点从刚才问题中，你能发现上述概型有什么特点吗？（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个;（2）每个基本事件出现的可能性相等.如果满足这两个特点的概型我们把他叫做几何概型。
（四）得出定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。
概率计算公式:x xP(A)= 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（五）例题分析【例1】某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.分析：假如他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0～60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。
人教版高中数学必修三 第三章 概率 “几何概型”教学设计与反思
《几何概型》教学设计突出内涵揭示关注知识建构——“几何概型”教学设计与反思摘要：几何概型是继“古典概型”之后的又一类等可能概率模型，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.本节课学生通过对丰富而具体的实例的观察、分析、抽象、概括，亲历几何概型的概念建构过程, 并在运用中进一步理解概念，培养学生的思维能力，提高学生的建模能力.关键词：几何概型；基本事件；等可能概率模型2012年11月，笔者有幸参加了中国教育学会中学数学教学专业委员会组织的第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，进行了课题为“几何概型”的教学展示，获一等奖并被评为最优秀展示老师.赛后，笔者对这节课进行了回顾与反思，认为要上好一节数学概念课，前提是教师要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上进行教学设计，围绕数学概念的核心展开教学.一、教学内容解析《几何概型》是苏教版高中数学必修3第三章3.3节(第1课时)的内容，是在学生学习了概率的统计定义和等可能定义之后学习的. 它是在古典概型基础上的进一步发展，是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸. 本节内容作为“一个未来公民的必备知识”，充分体现了新课程以人为本的理念.学好几何概型，对学生全面系统地掌握概率知识及辩证思想的进一步形成具有重要作用.几何概型的关键是寻找合理的几何模型，通过建立无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，用几何区域的测度刻画无限个等可能基本事件，达到求解相关概率问题的目的，体现了抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，是概率问题与几何问题的一种完美结合.基于以上分析，本节课的教学重点确定为:几何概型概念的建构和建立合理的几何模型进行简单的几何概率计算.二、教学目标设置结合《普通高中数学课程标准（实验）》对几何概型的教学要求：“初步体会几何概型的意义，会进行简单的几何概率计算”，立足学生的思维水平和认知特点，本节课的具体教学目标确定为以下三点：1.通过对具体实例的观察和分析，了解几何概型的两个基本特点，并会判断实际问题中的概率模型是否为几何概型.2.经历几何概型的概念建构过程, 感受数学的拓广过程，体会从感性到理性的思维过程，提高数学归纳能力和数学抽象能力.3.会通过建立合理的几何模型进行简单的几何概型概率计算, 注重建模过程，体会数形结合思想.说明：一节数学课的教学目标，应当是以学生为主体，以具体的数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育.教师要摒弃对“高、大、全”的“三维目标”的简单罗列，要结合具体的教学内容及其特点设置恰当的课堂教学目标，才能实现有效教学，否则课堂将不堪重负.三、学生学情分析初中教材中已涉及到个别简单的几何概型问题，学生凭借直觉与生活经验能把问题的结果计算出来，但缺少从数学的内部对问题本质的理解.本节课的教学目的也正是在学生已有认知的基础上对概念的完善与系统化.在本章中，学生已经学习了概率的统计定义和古典概型，掌握了两种计算随机事件发生概率的方法:一是用频率估计概率；二是用古典概型的公式来计算概率.在《古典概型》一节中学生已经会把事件分解成等可能基本事件，知道它的两个特点是等可能性和有限性，并经历了从基本事件的角度建构了古典概型的定义和概率计算公式.类比古典概型，通过分析基本事件，学生容易知道几何概型中基本事件的特点是等可能性与无限性.但学生对无限个等可能基本事件的量化具有困难，需要教师引导.在运用公式解决实际问题时，选择合适的模型，将实际问题转化几何概型问题对学生来说比较困难.笔者所在学校为农村普通高中，招收的学生大部分基础薄弱，自主学习能力较弱.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.基于以上分析，本节课的教学难点确定为:几何概型概念的建构及解决实际问题时如何从背景中确定特定几何区域及其测度.四、教学策略分析本节课结合启发式教学原则，采用学生探究与教师讲授相结合的教学方法，结合多媒体辅助教学.前苏联数学家斯托利亚说过：“积极地教学应是数学活动（思维活动）的教学，而不是数学活动的结束——数学知识的教学.”因此，教学中通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力和数学建模能力.为突破难点，在概念建构过程中结合分析内容形成框图，利用框图直观地表示无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，有助于学生理解概念，并为在实际应用中合理建模打下基础.五、教学过程1.情境导入，激活思维情境1取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机地向正方形内投一粒米，假设米粒能落在正方形内任意一点且米粒的面积不计，求米粒落入圆内的概率．（人教版九年级数学上册P147试验与探究）问题1：请解答并说明解答依据.教学预设：学生用内切圆与正方形面积之比表示所求概率，但无法说出这样计算的理论依据.【设计意图】“米粒问题”是教材上的例1，但初中教材选学部分就已经出现过这个问题，本着紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发的教学原则，笔者创造性地使用教材，将这个问题作为了导入情境.事实上，学生凭借直觉与生活经验能够用内切圆与正方形面积之比表示所求概率，但却缺少从数学的内部对问题的理解.以此作为导入情境，有助于激发学生的探求欲望，促使学生对问题由感性认识转向理性思考.问题2：这样计算究竟是否合理呢？我们不妨先来回顾一下已有哪些求随机事件概率的方法？教学预设：通过问题让学生回顾已有的两种计算随机事件概率的方法：随机事件概率的统计定义和古典概型概率计算公式.教师追问两种概率计算方法的注意点，强化古典概型计算公式的使用条件，即古典概型中基本事件满足等可能性和有限性两个特点.【设计意图】必要的复习铺垫能有效地帮助学生回忆学习新知所需要的相关旧知.在学生无法回答情境1的解答依据时，通过引导他们回顾已有求随机事件概率的方法去寻找理论支撑.虽然已有的两种方法不能解释答案的合理性，但为接下来从数学内部研究情境1提供了“先行组织者”，学生可以类比古典概型的研究思路对此进行探究.2.合作探究，启迪思维问题3:你准备从什么角度对情境1展开分析？教学预设：通过教师追问，引起学生思考.生：我们也从基本事件角度对情境1展开分析.师：具体分析哪些问题？生：①试验中每一个基本事件是什么？②每个基本事件是否等可能？③所有基本事件共有多少个？④指定事件中有多少个基本事件？师: 请大家就以上4个小问题对情境1展开分析.（教师等待，学生思考）生：试验中的一个基本事件应该是米落在正方形内的一个点，每一个基本事件的发生都是等可能的，这样的基本事件共有无限个，指定事件含有的基本事件也是无限个.师：是古典概型吗？生：不是，古典概型中所有的基本事件只有有限个，而这里是无限个.师：那我们就无法用数值来表示基本事件的个数m 和n 了.那它与古典概型有相同之处吗？ 生：有，每一个基本事件的发生都是等可能的.【设计意图】引导学生从已有知识经验出发，类比熟知的古典概型问题，从基本事件的角度出发对问题1进行分析.通过分析发现此问题仍是一个等可能模型，不同于古典概型的是基本事件的个数由有限个变成无限个，无法用数值刻画，从而形成认知冲突.问题4：如何刻画不易计数的无限个等可能基本事件？教学预设：教师引导学生分析，每个基本事件与正方形内一个点对应，所有基本事件与正方形内所有的点对应即与正方形对应，指定事件与内切圆对应，从而用内切圆与正方形的面积之比合理地替代了基本事件的个数之比，解决了无限性无法计算的问题.教师强调之所以能这样对应，是因为每个基本事件都是等可能的，也即每个基本事件所对应的点在正方形内是均匀分布的.结合分析过程，教师在黑板上板书上述对应关系:A 事件包含的基本事件数内切圆的面积基本事件的总数正方形的面积【设计意图】这个问题对学生来说具有难度，这时需教师及时作出引导.教师通过引导学生分析得到基本事件与点对应，所求事件与几何图形对应，从而用几何图形的面积之比合理地替代了基本事件的个数之比，说明计算方法的合理性，让学生初步感知到以形代数、数形结合的思想方法，同时为后面形成几何概型形式化的定义做铺垫.问题5：你有办法验证结果的正确性吗？教学预设：学生提出验证的试验方案与试验注意点，教师多媒体演示投米粒试验，师生合作验证计算结果的正确性.【设计意图】尽管问题4的处理过程说明了用面积比表示概率是合乎情理的，但初次接触几何概型的学生对此还是缺乏一定的认同感的.这时利用学生已经掌握的另一种求解随机事件概率的方法，即通过多媒体演示投米粒实验，用频率估计概率，来进一步验证了计算结果的正确性，使学生体会到推理成功的喜悦，使数学的严密性得到保证.问题6：请同学们观察试验，当投到正方形内的点数足够多时，你有什么发现？教学预设：通过观察，学生发现这些点几乎把整个正方形填满了，进一步体悟到所有的基本事件与正方形相对应的合理性，并再次感知数形结合思想.教师追问：将情境1中的红色区域改变形状、移动位置,概率发生变化了吗?改变红色区域的大小呢？由此你能发现什么？【设计意图】通过对试验的观察以及情境中几何图形的变化，引发学生对几何概型本质特征的思考，帮助学生理解“事件A发生的概率只与红色区域的面积成正比，而与其位置、形状无关”.在整个对情境1的分析过程中，教师始终以“问题串”为载体，引领学生经历猜想，推理到验证的研究过程.问题7：请参照情境1的研究思路对情境2和情境3进行分析.情境2取一根长度为3m的绳子，将绳子拉直后, 在绳子上随机选择一点, 在该点处剪断.那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？情境2 情境3情境3一个棱长为20cm盛满水的正方体水池中有一个病毒, 病毒可能出现在水池中的任意一个位置, 它距离水池底不超过5cm的概率是多少？教学预设：学生自由选择情境，类比情境1展开分析，给出解答并说明理由，学生相互予以点评.教师结合学生分析进行板书.【设计意图】情境2、情境3分别是以长度之比、体积之比表示概率的，采用不同的度量量之比，目的是给予学生更丰富的体验.在这两个情境的探究过程中，始终将对“基本事件”的分析作为解决概率问题的着眼点，进一步从等可能性、无限性两方面来区别古典概型与几何概型，深化学生对几何概型基本特征的体会.3. 抽象概括，建构概念从教育心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”.因此，在突破概念建构这个难点时，笔者采取的第一个策略就是让学生在已有分析的基础上进行概括.第二个策略是结合学生概括内容进一步完善框图，利用框图直观的表示无限个等可能基本事件与几何模型中特定区域的对应关系，有助于学生理解概念，并为在实际应用中合理建模打下基础.问题8：请结合前面的分析,总结三个试验具有的共同特点.教学预设：先以活动小组为单位进行组内交流，然后小组代表总结发言.教师结合学生的分析，引入测度的概念，并完善框图，将无限个等可能基本事件与几何模型中区域的对应关系直观体现：至此，几何概型的特点、几何概型的概念和概率计算公式都经由学生的观察、分析、归纳、抽象，自然形成.（1）几何概型中基本事件的特点：每个基本事件的发生都是等可能的；所有的基本事件有无限个.（2）几何概型的定义：对于一个随机试验:每个基本事件可以视为从某个特定的几何区域D 内随机地取一点，且区域D 内的每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．用这种方法处理随机试验，称为几何概型.（3）几何概型的概率计算公式：()d P A D =的测度的测度. 结合对三个情境的分析，指出： ①D 的测度不能为0；② “测度”的意义依D 确定；③ 事件发生的概率与d 的形状和位置无关.【设计意图】通过让学生对丰富而具体的实例的观察、分析、归纳、抽象，亲历几何概型的概念建构过程,使学生经历对事物从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的认知过程，逐步养成透过事物的表象把握本质的思维方法，培养学生的理性思维能力、抽象概括能力.几何概型的定义是一种描述性定义，涉及的文字较多，新名词较多.教学过程中通过以活动小组为单位进行组内交流，并辅以框图，可以使学生在熟悉概念定义的每一个“构建”基础上自然生成定义. 只要学生理解了、抓住了概念的本质就可以了，不要死记硬背定义，不必字字合于教材.4. 数学应用，升华概念数学概念学习理论已揭示：概念只有在运用中才能得到真正的理解.因此，概念运用的价值不仅仅为了巩固概念，最为重要的是为了理解概念.笔者根据教材和学生的实际，适当改造和增补例题与练习，讲练结合，注重引导学生对解题思路和方法的总结，逐步提高思维的层次，深化学生对概念和公式的理解，培养学生的思维能力，提高学生的建模能力.例1 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？教学预设：学生分析试验中的基本事件及其特点，判断该问题为几何概型，确定D ，d 区域及测度.教师板书示范解题过程，并引导学生归纳解题步骤：记→判→算→答.【设计意图】例1是对所学概念和公式的一个简单应用.其形式与情境1类似，但学生对问题的认识已由感性上升至理性，开始尝试着运用所学理论从数学内部对问题展开分析和解答. 解题步骤的归纳让学生体会规范的书写是思维过程的完美再现.练习 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，其中含有麦锈病种子的概率是多少？教学预设：学生独立完成，教师点评.学生总结解决几何概型问题的分析思路：分析基本事件，根据基本事件的特点确定概型，如果是几何概型，再确定区域D 和d ，最后确定他们的测度.【设计意图】练习题中的背景没有例1直观，需要学生理性分析，抽象出基本事件对应的几何区域，有助于学生养成透过事物的表象把握本质的思维方法.例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率.例2图 变式图教学预设：学生判断出点M 落在斜边AB 上的每一点都是一个基本事件，由于在斜边AB 上任取一点M ，所以基本事件具有等可能性和无限个的特点，这是一个几何概型.线段AB 是区域D ，在线段AB 上存在一个特殊的点C ',使得A C '=AC ，线段A C '就是区域d .教师提问：如何确定点C '？学生AB. A B M C判断：以A 为圆心，AC 为半径作弧，与AB 的交点就是C '.问题9：请同学们比较例1和例2 ，哪个问题简单点？为什么？【设计意图】例2中的区域d 需要学生确定，这是建模的一个难点.这里通过对两个例题的比较，提炼出“确定区域找临界”这一方法，从而突破了这个难点.变式探究 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ABC 内部任取一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率．教学预设：学生可能出现两种不同的解法.解法一：同例2，因为在∠ACB 内部每作一条射线CM ，都会与斜边AB 产生一个交点，射线CM 与斜边AB 的每一个交点就是一个基本事件，都是等可能的……所以区域D 是线段AB ，区域d 是线段AC ',他们的测度是长度，概率P(E)= AC AB '解法二：每一个基本事件就是在∠ACB 内部任作一条射线CM ，他们都是等可能的.所以区域D 是，当这条射线作在ACC '∠内时，事件发生了，区域 d 是ACC '∠.他们的测度应该是角度，概率P(E)=ACC ACB '∠∠ =34. 引导学生通过合作交流的方式来发现问题，使学生在讨论中互相纠错，进而得出正确解法.教师适时辅以多媒体演示，说明在∠ACB 内等可能的取射线不能等价于在斜边AB 上等可能的取点.强调解决具体问题时不仅要关注试验中的每一个基本事件是什么，更主要的要看每一个基本事件的发生是否等可能的.【设计意图】变式设置的目的让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，加强学生对几何概型本质的进一步认识，形成严谨的数学思维习惯.而通过对这两个背景相似而基本事件不同的问题的对比研究，可以引导学生发现当等可能的角度不同时，测度不同，其概率值也会发生改变，从而突破确定测度这一难点.5.回顾小结，理清脉络问题10：通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？学会了哪些方法？经历了怎样的研究过程？获得了什么体会？你还有什么疑问？教学预设：学生思考，回答，教师适当点拨，补充.【设计意图】通过问题串引领学生进行回顾总结，归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验，并将所学知识纳入已有知识体系，使学生在头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构.6.分层作业，延伸思维（略）六、设计反思本节课在展示时受到较高的评价，与课前的精心设计是密不可分的.本节课的设计主要体现了如下的特点：1.体现了过程性----数学教学的本质数学思维研究中主要问题是问题解决，而问题解决的核心又是对概念的深刻理解.这就要求学生不仅仅学习概念的知识---形式化的结论内容，而且必须学习概念的产生过程与运用过程.在本节课的教学设计中，教师通过提供丰富而具体的情景，让学生主动地进行观察、猜想、推理、验证、概括与交流，亲历了几何概型概念的形成与发展过程，促进了学生对概念本质的理解.2.体现了问题性----课堂教学的关键著名教育家陶行知先生说：“发明千千万，起点是一问.”这里提出了课堂教学的问题性.在本节课的教学设计中，教师通过对教材的二次开发，设计出恰时恰点，能触及学生的“最近发展区”,使学生“跳一跳就能摘到桃子”的问题.教学中以“问题串”为载体，以问题引领教学，以问题驱动学生主动参与知识建构、合作探究，实现了课堂教学的有效性.3.体现了主体性----实现目标的保障传统的教学侧重于教师“教”的设计，不利于学生思维的发展.数学学习的本质是学生的再创造，学生才是课堂的主体.本节课中，教师充分关注了学生已有的知识背景、生活经验以及思维特点，并以此为教学起点进行教学设计.教学过程中，教师为学生搭建了有层次的学习平台，无论是探究分析、建构概念还是数学应用，都能做到放手让学生自主活动，为学生思维能力的发展提供了保障.当然，课堂是开放的，在以学生为主体、以问题为载体、追求过程性的数学课堂上，生成是必然的.但预设是生成的基础，没有高质量的预设，就不可能有精彩的生成.只有在“精心预设”的前提下，才能追求课堂教学的“动态生成”，才能切实搞好“思维的教学”.参考文献：[1]章建跃.理解数学理解学生理解教学[J].中国数学教育（高中版），2010（12）：3-7.[2]徐新民.数学课堂教学的核心：过程性、问题性、主体性[J].基础教育参考，2011（11）：33-37.[3]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社，2005.。
人教版高中必修3(B版)第三章概率教学设计 (2)
人教版高中必修3(B版)第三章概率教学设计一、教学目标1.掌握概率的概念和计算方法。
2.能够应用概率解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维和分析解决问题的能力。
二、教学内容1. 概率的概念•定义：概率是事件发生的可能性大小的度量。
•概率的计算方法：频率法、古典概型、加法原理、乘法原理。
2. 概率的应用•概率的加法定理、乘法定理。
•条件概率。
•贝叶斯公式。
3. 统计学习•正态分布。
•切比雪夫不等式。
•大数定理和中心极限定理。
三、教学方法1. 探究式教学学生可以通过实验、案例分析等方式，深入了解概率的概念和计算方法，培养其求解问题的能力。
2. 讲解式教学老师可以通过讲解概率的理论知识，帮助学生掌握概率的计算方法和应用，提高其学习效率。
3. 互动式教学老师可以通过提出问题、组织小组讨论等方式，促进学生之间的交流，激发其学习兴趣，提高其学习效果。
四、教学流程第一步：导入通过讲解概率的概念，引导学生了解概率的基本概念，并介绍概率的计算方法。
第二步：学习学生通过实验、案例分析等方式，深入了解概率的概念和计算方法，培养其求解问题的能力。
老师根据学生掌握情况，授课相应的内容，帮助学生掌握概率的计算方法和应用。
第三步：讨论老师提出问题，学生分小组讨论，通过互动式教学的方式，促进学生之间的交流，提高其学习效果。
第四步：总结老师对今天的内容进行总结，并强调掌握概率的重要性。
五、教学评价1.在探究式教学中，可以通过学生的实验、案例分析的方式，了解学生的学习效果。
2.在讲解式教学中，可以通过学生的回答问题的方式，了解学生对概率理论知识的掌握情况。
3.在互动式教学中，可以通过学生之间的交流，了解学生的学习状况。
六、教学反思1.探究式教学需要充分考虑实验环境，确保学生的实验成果真实可靠。
2.讲解式教学需要重点讲解各种概率计算方法的步骤和思路。
3.互动式教学需要老师引导，避免学生的讨论超出预计的范畴。
七、课外拓展1.学生可以通过自主学习，进一步了解概率的应用领域。
最新人教版高中数学必修3第三章《第三章概率》示范教案
示范教案整体设计教学分析本章是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，随机事件的概率是基础，在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系．三维目标1．归纳、总结本章知识，形成知识网络．2．让学生体验归纳在数学中的重要性，提高直觉思维能力． 3．通过合作学习交流，感受与他人合作的重要性． 重点难点教学重点：知识系统化、网络化，并初步形成一些基本技能． 教学难点：画知识网络图． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、沲肥、治虫，非常辛苦，到了秋天，他们便忙着收获．到了收获的季节，他们既高兴又紧张，因为收获比前面的工作更重要，收获的多少决定着一年的收成．我们前面的学习就像播种，今天的章节复习就像收获，希望大家重视今天的小结学习．教师点出课题．思路2.为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题． 推进新课 新知探究 提出问题1．事件与概率包括几部分？ 2．古典概型包括几部分？3．随机数的含义与应用包括几部分？ 4．本章涉及的主要数学思想是什么？ 5．画出本章的知识结构图． 讨论结果： 1．事件与概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件． (1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A 发生的频率mn 总是接近于某一常数，且在它的附近摆动，这个常数就是事件A 的概率P(A)，概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2)概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大；概率越小，事件A 发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1]之间，从而任何事件的概率都在[0,1]之间，即：0≤P(A)≤1.概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型 (1)古典概型①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性) ②每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为：P(A)＝A 所包含的基本事件的个数基本事件的总数.在使用古典概型的概率公式时，应该注意： ①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．随机数的含义与应用(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的基本特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P(A)＝μAμΩ.其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示区域A 的几何度量．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数，可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率，学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1)古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n ，二是事件A 所包含的结果数m ，最后化归为公式P(A)＝mn.(2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．本章知识结构图如下所示：应用示例思路1例1下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．(1)完成上面表格．(2)估计该油菜子发芽的概率约是多少．分析：(1)代入公式得频率；(2)估计频率的稳定值即为概率． 解：(1)由n An得各批种子发芽的频率：22＝1；45＝0.8；910＝0.9；6070＝0.857；116130＝0.892；269300＝0.896；1 3471 500＝0.898；1 7942 000＝0.897；2 6883 000＝0.896.所以从左到右依次填入：1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.896,0.898,0.897,0.896.(2)由于每批种子的发芽的频率稳定在0.897附近，所以估计该油菜子发芽的概率约为0.897.点评：概率知识成为近几年高考考查的新热点之一，多与现实生活结合考查，强化概率的应用性．高考中以直接考查互斥事件的概率与运算为主，随机事件的有关概率和频率在高考中鲜见单独考查，但是由于是基础，一些概念会经常应用，所以应引起重视.(1)求两枚骰子点数相同的概率；(2)求两枚骰子点数之和为5的倍数的概率． 分析：利用列举法计算全部结果．解：用(x ，y)表示同时抛出的两枚均匀骰子中一枚骰子向上的点数是x ，另一枚骰子向上的点数是y ，则全部结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 即同时抛出两枚均匀骰子共有36种结果．则同时抛出两枚均匀骰子的结果是有限个，属于古典概型． (1)设“两枚骰子的点数相同”为事件A ，事件A 有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6种，则P(A)＝636＝16.即两枚骰子点数相同的概率是16.(2)设“两枚骰子点数之和为5的倍数”为事件B ，事件B 有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)共7种， 则P(B)＝736.即两枚骰子点数之和为5的倍数的概率是736.点评：古典概型是本章的重要内容，更是高考考查的重要内容之一，选择、填空或解答题三种题型都有可能出现．试题的设计主要是考查公式P(A)＝mn 的应用及与其他知识的综合.思路2例 在以3为半径的圆内任取一点P 为中点作圆的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．分析：满足弦长超过圆内接等边三角形边长的点P 在圆内接等边三角形边的内切圆内，转化为几何概型求解．解：设弦长超过圆内接等边三角形的边长为事件A.在以半径为3的圆内任取一点P 的结果有无限个，属于几何概型． 如图所示，△BCD 是圆内接等边三角形，再作△BCD 的内切圆，则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P 在等边三角形△BCD 的内切圆内，可以计算得：等边三角形△BCD 的边长为3，等边三角形△BCD 的内切圆的半径为32，所以事件A 构成的区域面积是等边三角形△BCD 的内切圆的面积为π×(32)2＝34π，全部结果构成的区域面积是π×(3)2＝3π，所以P(A)＝34π3π＝14，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.点评：几何概型是新增内容，在高考中鲜见考查随机模拟，主要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作合理化转化；要注意古典概型和几何概型的区别(基本事件的个数的有限性与无限性)，正确选用几何概型解题. ＝12，事件A 的区域是 知能训练1．下列说法正确的是( )A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定解析：任何事件的概率总是在[0,1]之间，所以A 不正确；频率不是客观存在的，与试验次数有关，所以B 不正确；概率不是随机的，在试验前已经确定，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )A.1999B.11 000C.9991 000D.12解析：概率不受实验次数的限制，在实验前已经确定，抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是12.答案：D3．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥 解析：三件产品不全是次品包含三种情况：三件产品全不是次品或一件正品两件次品或两件正品一件次品，所以B 与C 互斥．答案：B4．有一种电子产品，它可以正常使用的概率为0.992，则它不能正常使用的概率是________．解析：正常使用和不能正常使用是对立事件，所以不能正常使用的概率是1－0.992＝0.008.答案：0.0085．小明和小刚各掷一枚骰子，出现点数之和为10的概率是________．解析：设(x ，y)表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 即有36种基本事件．则出现点数之和为10的基本事件有(4,6)，(5,5)，(6,4)共3种，所以出现点数之和为10的概率是336＝112.答案：1126．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：则年降水量在[200,300]范围内的概率是________．解析：年降水量在[200,300]范围内包含在[200,250)和[250,300]，则年降水量在[200,300]范围内的概率是0.13＋0.12＝0.25.答案：0.257．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表， 求：(1)甲被选中的概率； (2)丁没被选中的概率．解：选出的两名代表有甲乙或甲丙或甲丁或乙丙或乙丁或丙丁共6种．(1)记甲被选中为事件A ，则P(A)＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B ，则P(B )＝1－P(B)＝1－12＝12.8．如下图所示，阴影部分是一个等腰三角形ABC ，其中一边过圆心O ，现在向圆面上随机撒一粒豆子，求这粒豆子落到阴影部分的概率．解：向圆面上随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型． 设圆的半径为r ，全部结果构成的区域面积是圆面积πr 2，阴影部分的面积是等腰直角三角形ABC 的面积r 2，则这粒豆子落到阴影部分的概率是r 2πr 2＝1π，即这粒豆子落到阴影部分的概率是1π.拓展提升某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？分析：(1)利用抽到初二年级女生的概率解得x 的值；(2)先计算出初三年级学生数，根据抽样比确定在初三年级抽取的人数．解：(1)由题意得x2 000＝0.19，解得x ＝380.(2)抽样比是482 000＝3125，初三年级学生数是2 000－(373＋380＋377＋370)＝500. 则应在初三年级抽取500×3125＝12(名)． 课堂小结本节课复习了第三章的基本知识，并形成知识网络，对概率问题重点进行了复习巩固． 作业本章小节Ⅲ.巩固与提高1、3.设计感想 这章内容与其他数学知识联系较少，其解题方法独特，对同学们的思维能力、分析及解决问题能力要求较高．钻研课本，理解概念，弄清公式的“来龙去脉”，尤其是公式中字母的内涵．在此基础上，适当地做一些练习，并及时归纳解题方法，不断反思及加深自己对数学知识(概念、公式等)的理解．备课资料一名数学家＝10个师的由来第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．你可知道这句话的由来吗？1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律．一定数量的船(如100艘)编队规模越小，编次就越多(如每次20艘，就要5个编次)；编次越多，与敌人相遇的概率就越大．比如5位学生放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%.美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．。
人教版高中数学必修三第三章概率几何概型的教学设计与实践
几何概型的教学设计与实践
几何概型是普通高中新课程改革的新增内容，它可以看作是古典概型的推广。
虽然几何概型教学要求是初步了解，但在教学中不注意几何概型概念的理解，很容易让学生在解
题时产生一些难以辨析的错误。
而本人已连续教过两届高二的几何概型，每次下来感触颇
深。
为此写下我二次上课时教学设计与实践，请同行们指正。
教学设计与实践：
教学目标：
1、初步体会几何概型及其基本特点；
2、会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；
3、让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型；
重点: 将实际问题转化为几何概型求概率的问题
难点:如何实际问题转化为几何概型求概率的问题
教学用具：多媒体展示台
教学实践情况：
一、复习巩固
师：计算随机事件概率的方法有哪些?
学：一是通过做实验或者用计算机模拟实验等方法得到事件发生的频率,以此近似估计概率；二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率。
师：如何计算古典概型的概率？
学：P(A)= A包含的基本事件的个数基本事件的总数
师：能用古典概型的计算概率它应该满足什么条件,即古典概型的特征是什么？
学：一实验中可能出现的基本事件只有有限个
二每个基本事件出现的可能性相等
设计目的：先通过复习旧课，让学生回顾已有知识方法，为学习新课作铺垫。
二、创设情景，引入新课
师：现实生活中，常常遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，比如在一条线段上
随意点一点，通学生早上到校的时间为6：30—7：08分的任何一个时刻…..这些实验出现的结果都是无限多个的，这样要求我们用另一种方法来求概率。
也就是我们今天要来探
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人教版高中数学必修三 第三章 概率对几何概型教学的几点体会
对几何概型教学的几点体会注意正确区分古典概型与几何概型例1 (1)在区间[0，10]上任意取一个整数x ，则x 不大于3的概率为 .(2)在区间[0，10]上任意取一个实数x ，则x 不大于3的概率为 .解 (1)总的基本事件是[0，10]内的全部整数，则总数为11个，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型.所以所求概率为114. (2)总的基本事件是[0，10]内的全部实数，则总数为无限个，此问题属于几何概型.事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]的长度为10，而事件“不大于3”对应区间[0，3]的长度为3，所以所求概率为103. 小结 古典概型与几何概型，每个基本事件都是等可能发生的，但是总基本事件是有限个，属于古典概型；总基本事件是无限个，属于几何概型.在实际解决问题时，关键还在于正确区分古典概型与几何概型.注意分析观察角度是否等可能例2 如右图所示，在ABC 中， 060B ∠=，045C ∠=，高AD =在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M 点，求1BM <的概率。
错解 在Rt ADB 和Rt ADC 中，AD =060B ∠=，045C ∠=，01,tan 60AD BD DC ∴====.(1)()BD P BM P BM BD BC ∴<=<===错解分析 由于点M 是由BAC ∠内作射线AM 与BC 相交得到的，所以本题中的基本事件是BAC ∠内的射线(每一条射线的产生都是等可能的)，而由此得到的点M 在BC 上并不是等可能的.正解 以A 点为起点作射线AM 是随机的，且射线AM 落在BAC ∠内的任何位置都是等可能的，故当1BM <时，射线AM 一定落在BAD ∠内，且射线AM 落在BAD ∠内的概率只与BAD ∠的大小有关，符合几何槪型的条件.记事件A={射线AM 落在BAD ∠内}.在Rt ADB 和Rt ADC中，AD =060B ∠=，045C ∠=，075BAC ∴∠=，030BAD ∠=. . 小结 选取观察的角度不一样，在解决问题时结果也不一致.可见，在解决几何概型问题时，同学们要认真审题，分析观察角度是否等可能，从而正确解决问题.注意引入变量是否合理例3 某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？错解 总的基本事件是表停的分钟数和实际分钟数差异在[0，60]内的任意时刻，而事件“差异不超过5分钟”对应区间[0，5]的长度为5，所以所求概率为121605=. 错解分析 上述错解产生的原因在于没有合理地认识题中的变量.本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以是[0，60]内的任意时刻；另一个变量是实际分钟数，也可以是[0，60]内的任意时刻.正解 以x 轴和y 轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是5||≤-y x ，从而可以绘制坐标轴，利用数形结合，从而求得结果.由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由右图中的阴影部分表示，记“差异 不超过5分钟”为事件A ，于是可知差异不超过5分钟的概率14414360560)(222=-=A P . 小结 要想顺利解答本题，合理地引入变量是关键我们发现问题中隐含的变量因素，然后将一个包含两个变量的实际问题引入坐标中，从而利用数形结合使问题得以解决.【高考预测题】1.已知一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为 .2.在区间[-1，1]上任取两个实数a 、b ，则二次方程x 2+2ax +b 2=0的两根都为实数的概率是 .3.已知公交车每隔10分钟来一辆.假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 .4.甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，则两人能会面的概率为 .参考答案 1.19362.213.1034.167 00302()755P A ==。
人教版高中数学必修三 第三章 概率 《几何概型》教案(共2课时)
《几何概型》教案(共2课时)第一课时 3.3.1 几何概型一、教学目标1、知识与技能：通过这节内容学习，让学生理解几何概型，掌握其基本计算方法并会运用．2、过程与方法：通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3、情感态度与价值观：通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．二、教学重点：几何概型的概念，特点及概率的求法教学难点：把实际问题转化为几何概型求概率的问题。
三、教学程序（一）检查预习，导入新课1.我们已经学习了哪两种方法计算随机事件发生的概率？2.古典概型应满足哪些条件？如何计算古典概型的概率？引入：试验的所有可能结果是有限的，并且每个结果发生的可能性相等，这样的随机事件的概率可用古典概型公式求概率。
在现实生活中，常常会遇到所有可能结果是无限个，又如何求概率呢？这就要用到我没们今天学习的几何概型。
（二）引导自学，合作讨论1.问题情境：如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．2.合作讨论：（1）几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的哪些表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．（2）变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？3 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等4. 自学检测：判下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型。
人教版高中数学必修3第三章概率-《3.3.1几何概型》教案(3)
§3.3.1几何概型 （第一课时） （人教A 版·必修3）教学目标1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； 2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。
（2）通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
教学重点理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率。
教学难点（1） 等可能性的判断和几何概型与古典概型的区别。
（2） 把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题。
教辅手段投灯片，计算机及多媒体教学．教学过程一、以旧带新——设置情景 处理方式（一）借助课件，提出问题，引导学生回顾 1、古典概型的特点 2、古典概型的公式（二）引导学生独立思考，解决问题：如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
思考1：该情景是古典概型吗？思考2：基本事件是谁呢？有多少个基本事件？ 思考3：基本事件出现的可能性相同吗？二、探究发现——抽象概括1、 几何概型的概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）利用类比的方法引导学生总结几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．（3）引导学生由几何概型的概念、特点及转盘问题总结出几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A三、典型示例---及时体验处理方式1、 以问题探究的形式引导学生区分古典概型和几何概型。
人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型教学设计 (2)
几何概型教学设计教学目标：1.了解几何概型的定义2.会求简单的几何概型的概率问题3.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力教学重点：1、几何概型概率计算公式及应用2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题教学难点：如何计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件所对应的区域的长度（面积或体积） 教学过程：一、复习：前面我们学习两种计算概率的方法：（1）通过试验得到事件发生的频率，以此来近似估计概率；（2）用古典概型的公式来计算。
提出问题：但在我们的现实生活中，经常会遇到试验出现的结果是无限多种的情况，这时概率就不能用古典概型的公式来计算了，怎么办呢？二、创设情景，引入新课问题1．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？问题中基本事件是什么？这个问题能否用古典概型的方法来求解呢? 怎么办呢?问题2．一张方桌的图案如图所示．将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求豆子落在红色区域的概率。
问题中基本事件是什么？这个问题能否用古典概型的方法来求解呢? 怎么办呢?分析1:在问题1中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点.如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于事件A 发生的长度为10cm ，试验的全部结果构成的长度为30cm 。
于是事件A 发生的概率P(A)=31 分析2:在问题2中, 豆子落在桌面上的任意一点都是一个基本事件,如图,记“豆子落在红色区域”为事件B, 当豆子落入红色区域中的任意位置时，事件B 发生，事件B 发生的面积为：4个小正方形的面积而试验的结果是豆子落入桌面内的任意位置，其全部结果构成的面积为：事件B 发生的概率为：3m3m ()94=B p归纳:在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那怎样处理呢?三、建构数学1、定义的形成我们把形如上述这样的概率模型叫做几何概型。
人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型课堂设计
2、公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分钟之间到达的概率。
以上两个例子，都是基本事件有无数多个，并且基本事件发生是等可能的，显然，他们不是古典概型。
教师提问：以上两个问题是古典概型吗？为什么？它与古典概型有什么区别？
三、课题引入
上面的例子中，概率只与几何因素有关，分别用面积和长度来度量的，并且概率与它们成比例，像这样的概型我们成为几何概型。
教学目标
1.知识与技能：
（１）了解几何概型的概念及基本特点；
（２）熟练掌握几何概中概率的计算公式；
（３）会进行简单的几何概率计算．
2.过程与方法：
（1）通过与古典概型的比较，得出几何概型的特征；
（2）通过三个例题，用三个不同的几何度量来计算概率，让学生体会几何概型的特点，以及解题思路
3.态度情感与价值观：
几何概型课堂设计
课题
几何概型
教材分析
1、随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供的理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
2、在本章中，学生将结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。
（1）培养学生数形结合的能力；
（2）数学建模的能力
（3）体会到“数学是有用的”
教学重点
（１）掌握几何概型中概率的计算公式；
（２）会进行简单的几何概率计算．
教学难点
找到适当的几何度量
教学手段
PPT
教学方法
电子教案：人教A版高中数学必修3第三章 概率3.3 几何概型教案(1)
2019-2020学年高中数学《3.3几何概型》教案新人教版必修3一、教学任务分析：1、通过本节课的学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。
2、通过学生玩转盘游戏、教师分析得出几何概型概率计算公式。
3、通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用，并理解均匀分布的概念。
二、教学重点与难点：重点：（1）几何概型概率计算公式及应用。
（2）如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概型问题。
难点：正确判断几何概型并求出概率。
三、教学基本流程：四、教学情境设计：问题问题设计意图师生活动（1）谁能叙述古典概型的有关知识吗？复习上节课相关知识师：提出问题，引导学生回忆，对学生活动进行评价。
生：回忆、概括。
（2）现实生活中，常常遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，如何计算概率？引出课题：几何概型。
师：提出问题，引导学生思考，激发兴趣。
生：思考。
（3）学生玩转盘游戏，猜想在两种情况下，甲获胜的概率是多少？让学生通过观察，猜想几何概型的特点及计算公式。
师：提出问题，引导学生思考、猜想，得出几何概型的概率计算公式。
生：观察、思考、猜想。
（4）你能说说几何概型与古典概型的区别吗？引导学生分析、比较，更加深对几何概型的理解。
师：引导学生比较两种概型的区别，明确几何概型要求的基本事件有无限多个，明确几何概型的复习古典概型的概念提出问题，引入课题学生玩转盘游戏、猜想甲获胜的概率几何概型的概念、特点、与古典概型的区别例1 的教学，明确几何概型的计算步骤练习和小结计算公式。
生：思考，比较，理解。
（5）例题，P 147练习。
通过例1明确与长度有关的几何概型概率的求法。
在练习中设置与角度、面积、体积有关的几何概型的概率求法。
师：引导学生把问题抽象为与长度有关的几何概型问题，并明确求解步骤。
师生共同完成解题过程，然后学生独立完成相应练习，教师进行点评。
引导学生阅读书本P 131明确均匀分布的概念。
生：思考完成练习。
人教版高中数学必修三 第三章 概率几何概型教学的一点体会
几何概型教学的一点体会一、教学目标的定位:本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成建模的数学思想，学会用随机的观念去观察、分析研究客观世界的变化规律，并获取认识世界的初步知识和科学方法。
依据高中数学新课程标准的要求、本课教材的特点、学生的实际情况等方针，我认为这一节课要达到的学习目标可确定为：1．知识与技能：（1）通过本节学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典的区别（2）通过学生玩转盘游戏，分析得出几何概型概率计算公式。
（3）通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。
2．过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3．情感、态度与价值观：通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。
确定教学重点与难点如下：1．重点：（1）几何概型概率计算公式及应用。
（2）如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。
2．难点：无限过渡到有限；实际背景如何转化几何图形；正确判断几何概型并求出概率。
二、教学内容的地位和作用本小节是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。
另外几何概型是借助几何图形解决概率的一种手段，它与几何图形的长度、面积、体积均有联系，尤其应注意到点的面积为0这一情况。
而且几何概型为后继求几何图形的面积（如抛物线与x轴相交内部的面积求解）、在经济学中、在高等数学的概率论学习都有极其重要的应用。
通过本节课的学习，应注重发展学生的应用意识，通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值．帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，从而发展学生应用数学的意识和能力。
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课堂问题变式教学在几何概型中的运用
在高中数学教学中，课堂问题变式教学具体包括教师在课堂上引用的例子、讲解的例题以及要求学生在课堂上完成的练习和解答的思考问题.课堂问题变式教学不仅是给学生形式上的参与和表象上的传授，关键是使学生对问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等方面有更深层次的理解，从而使学生能够成功辨别各种变异，掌握特定的数学知识和方法.
课堂问题变式教学在苏教版《必修3：概率》中的 “几何概型”中的运用：
问题1：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率有多大？
问题2：如图所示，靶子由3个半径为R ，2R ，3R
如果有人向靶子随机掷一个飞镖，命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别 为P 1,P 2,P 3,则
P 1:P 2:P 3= .
几何概型： P （A ）= d 的测度D 的测度
问题1的测度比为长度比，问题2的测度比为面积比.
例1.（问题1的变式）在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M,求的AC 概率.
解析：在AB 上取一点D ，使AD=AC ，因为AM ＜AC ，所以M 在AD 上取 所以 P （AM ＜AC ）= AD AB =AC AB = 2 2
例2.（问题2求飞镖落在阴影部分的概率.
解析：x=1,y=23 ;y =－1,x=16 .S △=12 (1+23 )(1－16 )=2536
所以P=S △S 正 =2536 问题1和问题2是两个引例，例1与例2分别是问题1与问题2的变式，对于几何概型中的“事件A 发生的概率等于测度比”作了一个很好的诠释，也体现了与古典概型的本质区别，同时也体现了测度可表示为长度、面积等，让学生对知识有了进一步认识.
例3.（例2的变式）两人相约在8点到9点会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可
离去，那么两人能见面的机会有多大？
解析：设甲到达时刻为x （分钟）,乙到达时刻为y （分钟）,则 0≤x ≤60，0≤y ≤60， ︱x －y ︱≤60 ， 所以P=S 阴影S 正 =59
－4=0
例4.（例3的变式）在区间(0,L)内任取两点，求两点之间的距离小于L 3
的概率. 解析：设A 坐标x,B 坐标y,设OA=x,OB=y ，则 0＜x ＜L ，0＜y ＜L ，
︱y －x ︱＜L 3 ，要使两点之间的距离小于L 3
， 必须满足图中阴影部分面积
所以P=S 阴影S 正 =59 例3与例4分别是上一题的变式，虽然背景不同，但从分析的本质上来看是完全相同的，让学生对用几何概型解决实际问题有了更深的认识. 课堂练习： 在圆心角为900的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ， 求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于的300概率.
学生分析：此题弧长，角度，面积都可以作为测度.
思考：.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜
的任意时刻到达，设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别为2小时与4小时，求有一艘轮船停靠泊位必须等待一段时间的概率.
通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探索研究，有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探索变的规律，从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力和素质.
在以构建系统知识为取向的现有课堂教学中，实施有效课堂问题变式教学的关键在于确定合适的潜在距离和合理的变异空间.问题变式安排应遵循以下基本原则：第一，在问题的外貌特征上，后一问题与前一问题相近；第二，在问题的结构上，后一问题与前一问题相近；第三，在变异增加的数量上，每一问题应该逐渐增加；第四，在变异增加的内容上，因该从简单到复杂，从具体到抽象.变式训练不是简单的重复，关于特定数学内容的问题变式，有助于帮助学生关注特定数学内容的不同方面，有助于促使学生产生体验新的知识的深切体会，有助于促成学生形成看待原有问题的全新视角.所有这些，就其外在表象而言，接触了更多的变异，就其内在而言，产生了深刻的理解.
参考文献：
1徐国土.谈谈变式教学中问题结构条件的认识.中学数学教学参考，2006，9
2罗新兵，罗增儒.课堂问题变式浅析中学数学教学参考，2005，3
3刘淑珍.变式教学—研究性学习的一种模式.中学数学教学参考，2004，10
B O A L · · ·
C A B E F。