2013年高考(新课标I卷)文科数学试卷(word版含答案)
2013年高考文科数学全国新课标卷1word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A ．11i 2--B ．11+i 2-C ．11+i 2D ．11i 2-答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12 B ．13 C ．14 D ．16答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x答案：C解析：∵e =，∴c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B. 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2 C ．S n ＝4－3a n D ．S n ＝3－2a n 答案：D解析：11211321113nnn n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n，故选D. 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝则△POF 的面积为( )．A ．2 B． C． D ．4 答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P＝∴y P＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．答案：C解析：由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈π0,2⎛⎤⎥⎝⎦时，f(x)＞0，排除A.当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.令f′(x)＝0，得2π3x=.故极值点为2π3x=，可排除D，故选C.10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()．A．10 B．9 C．8 D．5答案：D解析：由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝1 25.∵A∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A＝15.∵cos A＝2364926bb+-⨯，∴b＝5或135b=-(舍)．故选D.11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体． V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限， 由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______.答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0， 即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0. ∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ， 则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98.∴S 球＝4πR 2＝9π2.16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.答案： 解析：∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φcos φ. 当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭＝12n n-. 18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形， 所以OC ＝OA 1又A 1C，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABCABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3. 20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x⎛⎫-⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)． 由l 与圆M＝1，解得k＝4±.当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，所以|AB |x 2－x 1|＝187.当k ＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． (1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF . 23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．11 (2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年高考新课标1数学文科试题及答案
(14)设 x，y 满足约束条件－1≤1≤x≤x－3 y≤0 ，则 z=2x－y 的最大值为______.
（15）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面 的面积为π，则球O的表面积为_______. (16)设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______.
25，则
C
的渐近线方程为
（
）
（A）y=±14x
（B）y=±13x
（C）y=±12x
（D）y=±x
（5）已知命题 p：∀x∈R,2x＞＜3x；命题 q：∃x∈R，x3=1－x2，则下列命题中为真命题的
是：
（
）
（A） p∧q
（B）￢p∧q
（C）p∧￢q
（6）设首项为 1，公比为23 的等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，则
(21)(本小题满分 12 分) 已知圆 M：(x＋1)2＋y2=1，圆 N：(x－1)2＋y2=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长 时，求|AB|.
πx π
O
y
1
πx π
O
y
1
πx π
O
πx
A
B
C
D
（10）已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，
则 b=( )
（A）10
（B）9
（C）8
（D）5
（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =I （ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为5，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考文科数学全国卷1及答案
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = ( )A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2} 2.212i(1i)+=-( )A .11i 2--B .11i 2-+C .11i 2+D .11i 2-3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )A .12B .13C .14D .164.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =± 5.已知命题p ：x ∀∈R ,23x x<；命题q ：x ∃∈R ,321x x =-,则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝ 6.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .21n n S a =-B .32n n S a =-C .43n n S a =-D .32n n S a =-7.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输 出的s 属于( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :242y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF △的面积为( )A .2B .22C .23D .49.函数()(1cos )sin f x x x =-在[π,π]-上的图象大致为( )10.已知锐角ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,223cos cos20A A +=,7a =,6c =,则b =( )A .10B .9C .8D .5 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+12.已知函数22,0()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+⎩≤，＞若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b ,若0=b c ,则t =________.14.设x ,y 满足约束条件13,10,x x y ⎧⎨--⎩≤≤≤≤,则2z x y =-的最大值为________.15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为________.16.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）18.（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？A 药B 药0. 1. 2.3.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==,16A C =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.20.（本小题满分12分）已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.21.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学答案解析第Ⅰ卷当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除当0a ≤时，若0x ＞，则()f x ≥由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．第Ⅱ卷0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[)]t t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t t ＋－a b b 1120t t ＋－＝；∴2t ＝． 【答案】3【解析】画出可行域如图所示。
2013年高考文科数学全国新课标卷1答案
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)· e x .
令 f′(x)＝0 得，x＝－ln 2 或 x＝－2. 从而当 x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当 x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0. 故 f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． －2 当 x＝－2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(－2)＝4(1－e )． 21． 解： 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)， 半径 r1＝1； 圆 N 的圆心为 N(1,0)， 半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外)， 其方程为
所以所求体积为 16＋8π .故选 A. 12． 答案：D 解析：可画出|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 当 a≤0 时，若 x＞0，则|f(x)|≥ax 恒成立． 2 若 x≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x ＋2x|相切为界限， 由
叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好． 19． (1)证明：取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B. 因为 CA＝CB， 所以 OC⊥AB. 由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B 为等边三角形， 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C⊂ 平面 OA1C，故 AB⊥A1C. (2)解：由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形， 所以 OC＝OA1＝ 3 . 又 A1C＝ 6 ，则 A1C ＝OC ＋ OA1 ，
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）错误！未找到引用源。
（B ）错误！未找到引用源。
（C ）14错误！未找到引用源。
（D ）16错误！未找到引用源。
（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为5，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
(完整版)2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2． 212i1i +(-)＝( )．A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14 D ．164．( ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x5．( ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q6．( ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )．A ．Sn ＝2an －1B ．Sn ＝3an －2C ．Sn ＝4－3anD ．Sn ＝3－2an7．( ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]8．( ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝则△POF 的面积为( )．A ．2 B． C． D ．49．( ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．10．( ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．511．( ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．( ，文12)已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是()．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．( ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______.14．( ，文14)设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______． 15．( ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．16．( ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．( ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．( ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．( ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．20．( ，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．( ，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．( ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.23．( ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．( ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．答案：C解析：∵e =c a =，即2254c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C. 5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.6．答案：D 解析：11211321113n n n n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D.7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s max ＝4，s min ＝3.∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8．答案：C解析：利用|PF |＝Px =x P ＝∴y P ＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x=. 故极值点为2π3x=，可排除D ，故选C. 10．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴cos A ＝15. ∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)． 故选D.11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2.∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=. ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0.∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R. 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98. ∴S 球＝4πR 2＝9π2.16．答案：解析：∵f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，其中sin φ，cos φ当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+.由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭， 从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭L ＝12n n-. 18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得 x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3， y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6. 由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝又A 1C，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABCABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±， 所以|AB ||x 2－x 1|＝187. 当k＝时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a-≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年新课标I高考数学(文科)试卷(word版)
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） =( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i （3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
1 的前 n 项和 a2 n −1a2 n +1
2
令8 (以代令3 课标全 文 令8)(本小题满 令以 )为了比较两种治疗失 症的药( 别 为 ∪ 药 B 药)的 疗效 随机地选取 以代 位患者服用 ∪ 药 以代 位患者服用 B 药 这 4代 位患者在服用一段时间后 记录他们日 均增加的睡 时间(单位 h) 试验的观测结果如 服用 ∪ 药的 以代 位患者日 均增加的睡 时间 代.6 令.以 以.7 令.5 以.8 令.8 以.以 以.3 3.以 3.5 以.5 以.6 令.以 以.7 令.5 以.9 3.代 3.令 以.3 以.4 服用 B 药的 以代 位患者日 均增加的睡 时间 3.以 令.7 令.9 代.8 代.9 以.4 令.以 以.6 令.3 令.4 令.6 代.5 令.8 代.6 以.令 令.令 以.5 令.以 以.7 代.5 (令) 别计算两组数据的 均数 从计算结果看 哪种药的疗效更好 (以)根据两组数据完成 面茎 从茎 看 哪种药的疗效更好
文 4)已知双曲线 叶
x2 y2 5 − 2 =1 (a 代 b 代)的离心率为 2 a b 2
1 ± x 2
则 叶 的渐近线方程
∪ y 5 (以代令3 课标全 命题的是( ) ∪ p∧q 6 (以代令3 课标全 ) 以an 令
1 ± x 4
B y 叶 y 号 y ±x x x 3 文 5)已知命题 p ∀x∈R,以 3 命题 q ∃x∈R x 令 B
以
以
以
以
4
请考生在第(以以)、(以3)、(以4) 题中任选一题做答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的 第一个题目计 做答时请用 以B 铅笔在答题卡 将所选题 后的方框涂黑 以以 (以代令3 课标全 文 以以)(本小题满 令代 )选修 4—令 几何证明选讲 如 直线 ∪B 为圆的 线 点为 B 点 叶 在圆 ∠∪B叶 的角 线 B∵ 交圆于点 ∵ 号B 垂直 B∵ 交圆于 点 号.
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考数学(文科)(课标I)真题及答案
2013年高考数学（文科）（课标I ）真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B=（ ） （A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2） 1＋2i (1－i)2＝ （ ）（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是（ ）（A ） p∧q （B ）￢p∧q （C ）p∧￢q （D ）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（ ）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－（7）执行右面的程序框图，如果输入的 t ∈[－1，3]，则输出的s 属于（ ） （A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为（ ）（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4（9）函数f （x ）=（1－cos x ）sin x 在[－π，π]的图像大致为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （11（A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ）（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷1 数学试卷含答案(文科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n 2,n∈A},则A∩B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}2.1+2i(1-i )2=( )A.-1-12IB.-1+12IC.1+12ID.1-12i3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12B.13C.14D.164.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,则C 的渐近线方程为( )A.y=±14x B.y=±13xC.y=±12xD.y=±x5.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x 3=1-x 2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧qB. p∧qC.p∧qD.p∧q6.设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a nD.S n =3-2a n7.执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s 属于( )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]8.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4√2x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4√2,则△POF的面积为( )A.2B.2√2C.2√3D.49.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大致为( )10.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10B.9C.8D.511.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π12.已知函数f(x)={-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= . 14.设x,y 满足约束条件{1≤x ≤3,-1≤x -y ≤0,则z=2x-y 的最大值为 .15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为 .16.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{1a 2n -1a 2n+1}的前n 项和.18.(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=√6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4. (Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生从第22、23、24题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=√3,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5cost ,y =5+5sint (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-a2,12)时, f(x)≤g(x),求a 的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A ∵B={x|x=n 2,n∈A}={1,4,9,16}, ∴A∩B={1,4},故选A. 2.B1+2i (1-i )2=1+2i -2i =(1+2i )i (-2i )i =-2+i2=-1+12i,故选B.3.B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为13,故选B. 4.C 由双曲线的离心率e=c a =√52可知,b a =12,而双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x,故选C.5.B 对于命题p,由于x=-1时,2-1=12>13=3-1,所以是假命题,故 p 是真命题;对于命题q,设f(x)=x 3+x 2-1,由于f(0)=-1<0, f(1)=1>0,所以f(x)=0在区间(0,1)上有解,即存在x∈R,x 3=1-x 2,故命题q 是真命题. 综上, p∧q 是真命题,故选B. 6.D 因为a 1=1,公比q=23,所以a n =(23)n -1,S n =a 1(1-q n )1-q=3[1-(23)n ]=3-2(23)n -1=3-2a n ,故选D.7.A 由框图可知s={3t ,-1≤t <1,4t -t 2,1≤t ≤3,即求分段函数的值域.当-1≤t<1时,-3≤s<3;当1≤t≤3时,s=4t-t 2=-(t-2)2+4, 所以3≤s≤4.综上,s∈[-3,4],故选A.8.C 如图,设点P 的坐标为(x 0,y 0),由|PF|=x 0+√2=4√2,得x 0=3√2,代入抛物线方程得,y 02=4√2×3√2=24,所以|y 0|=2√6,所以S △POF =12|OF||y 0|=12×√2×2√6=2√3.故选C.9.C 因为f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x)·sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项B;当x∈(0,π)时,1-cos x>0,sin x>0,所以f(x)>0,排除选项A;又函数f(x)的导函数f '(x)=sin x·sin x+(1-cos x)·cos x,所以f '(0)=0,排除D.故选C.评析 本题考查对函数图象的识辨能力,考查综合运用所学知识的意识,体现了数形结合的思想方法;难点是判断选项C 中f '(0)=0. 10.D 由23cos 2A+cos 2A=0得25cos 2A=1,因为A 为锐角,所以cos A=15.又由a 2=b 2+c 2-2bccos A 得49=b 2+36-125b,整理得5b 2-12b-65=0, 解得b=-135(舍)或b=5,故选D.11.A 由所给三视图可知该几何体是一个组合体,下方是底面为半圆的柱体,底面半圆的半径为2,高为4;上方为长、宽、高分别为4、2、2的长方体.所以该几何体的体积为12π×22×4+4×2×2=16+8π,故选A. 评析 本题考查识图能力和空间想象能力以及体积的计算;能正确得出几何体的形状是解题关键.12.D |f(x)|={x 2-2x , x ≤0,ln (x +1),x >0,其图象如图.由对数函数图象的变化趋势可知,要使ax≤|f(x)|,则a≤0,且ax≤x 2-2x(x≤0), 即a≥x -2对x≤0恒成立,所以a≥-2. 综上,-2≤a≤0,故选D. 二、填空题 13.答案 2解析 b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b 2=t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=t2+1-t=1-t2.由b·c=0,得1-t2=0,所以t=2.14.答案 3解析 可行域为平行四边形ABCD 及其内部(如图),由z=2x-y,得y=2x-z.-z 的几何意义是直线y=2x-z 在y 轴上的截距,要使z 最大,则-z 最小,所以当直线y=2x-z 过点A(3,3)时,z 最大,最大值为2×3-3=3. 15.答案9π2解析 平面α截球O 所得截面为圆面,圆心为H,设球O 的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH=13R,由圆H 的面积为π,得圆H 的半径为1,所以(R 3)2+12=R 2,得出R 2=98,所以球O 的表面积S=4πR 2=4π×98=92π. 16.答案 -2√55解析 f(x)=sin x-2cos x=√5sin(x-φ),其中cos φ=√55,sin φ=2√55, 当x-φ=2kπ+π2时,f(x)取得最大值√5,此时x=2kπ+π2+φ,即θ=2kπ+π2+φ,cos θ=cos (π2+φ)=-sin φ=-2√55. 评析 本题考查三角函数的最值问题,考查了运算求解能力;熟练运用三角函数的有关公式是解题关键.三、解答题17.解析 (Ⅰ)设{a n }的公差为d,则S n =na 1+n (n -1)2d.由已知可得{3a 1+3d =0,5a 1+10d =-5.解得a 1=1,d=-1.故{a n }的通项公式为a n =2-n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1a 2n -1a 2n+1=1(3-2n )(1-2n )=12(12n -3-12n -1), 从而数列{1a2n -1a 2n+1}的前n 项和为12(1-1-11+11-13+…+12n -3-12n -1)=n1-2n . 评析 本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,考查了裂项求和的方法,考查了运算求解能力与方程思想.18.解析 (Ⅰ)设A 药观测数据的平均数为x ,B 药观测数据的平均数为y ,由观测结果可得 x =120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,y =120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.由以上计算结果可得x >y ,因此可看出A 药的疗效更好. (Ⅱ)由观测结果可绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.评析 本题考查数据的平均数和茎叶图,考查数据的分析处理能力和应用意识. 19.解析 (Ⅰ)取AB 的中点O,连结OC,OA 1,A 1B.因为CA=CB, 所以OC⊥AB.由于AB=AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB. 因为OC∩OA 1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(Ⅱ)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=√3.又A1C=√6,则A1C2=OC2+O A12,故OA1⊥OC.因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又△ABC的面积S△ABC=√3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.评析本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、线线、线面的位置关系以及体积计算等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.20.解析(Ⅰ)f '(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4, f '(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f '(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)(e x-12).令f '(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时, f '(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).评析本题考查导数的运算及几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识,考查了运算求解能力.21.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r 1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(Ⅰ)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,2为长半轴长,√3为短半轴长的椭圆(左顶点除外),其方程为x 24+y23=1(x≠-2).(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB|=2√3.若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则|QP ||QM |=Rr 1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 与圆M 相切得√1+k 2=1, 解得k=±√24.当k=√24时,将y=√24x+√2代入x 24+y 23=1, 整理得7x 2+8x-8=0,解得x 1,2=-4±6√27.所以|AB|=√1+k 2|x 2-x 1|=187.当k=-√24时,由图形的对称性可知|AB|=187. 综上,|AB|=2√3或|AB|=187.评析 本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思想和分类讨论思想.22.解析 (Ⅰ)连结DE,交BC 于点G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE 为直径,所以∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG 是BC 的中垂线,所以BG=√32.设DE 的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF 外接圆的半径等于√32.23.解析 (Ⅰ)将{x =4+5cost ,y =5+5sint消去参数t,化为普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25, 即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入x 2+y 2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(Ⅱ)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y=0.由{x 2+y 2-8x -10y +16=0,x 2+y 2-2y =0,解得{x =1,y =1或{x =0,y =2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(√2,π4),(2,π2). 24.解析 (Ⅰ)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y={-5x , x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(Ⅱ)当x∈[-a2,12)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈[-a2,12)都成立.故-a2≥a-2,即a≤43.从而a的取值范围是(-1,43].。
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标1
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年新课标I高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = （ ） A ．｛1,4｝ B.｛2,3｝ C. {9，16} D.｛1,2} 【测量目标】集合的含义和交集运算.【考查方式】考查了集合的表示方法（描述法），集合的交集运算 【参考答案】A【试题解析】先求集合B ，再进行交集运算.{1,2,3,4},{A B x == |2,},x n n A =∈ {1,4,9,16},B ∴=（步骤1） {1,4}.A B ∴= （步骤2） 2．212i(1i)+=- （ ） A. 11i 2--B. 11i 2-+ C. 11i 2+D. 11i 2-【测量目标】复数的四则运算【考查方式】先进行复数的乘方运算，再进行除法运算. 【参考答案】B【试题解析】先进行复数的乘方运算，再进行除法运算.2212i 12i 12i (12i)i 11i (1i)12i i 2i 22++++====-+--+-3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）. A.12 B. 13 C. 14 D. 16【测量目标】随机事件古典概型.【考查方式】用列举法求出事件的个数，再利用古典概型求概率. 【参考答案】B【试题解析】用列举法求出事件的个数，再利用古典概型求概率.从1,2,3,4中任取2个不同的数，有（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）,共12种情形，（步骤1）而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有（1,3），（2,4），（3,1），（4,2），共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为41123=.（步骤2）4．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为 （ ）.A. 14y x =±B. 13y x =±C. 12y x =±D. y x =±【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】先由已知双曲线的离心率建立字母之间的关系，再求双曲线渐近线方程. 【参考答案】C【试题解析】先由双曲线的离心率建立字母之间的关系，再求渐近线方程.由e =得1,.2c c b a a =∴===（步骤1） 而22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为,b y x a =±∴所求渐近线方程为12y x =±.（步骤2）5．已知命题:p x ∀∈R ，23x x <；命题:q x ∃∈R ，321x x =-，则下列命题中为真命题的是 （ ）. A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝【测量目标】判断命题的真假，简单的逻辑联结词.【考查方式】先判断已知命题p,q 的真假,再结合含有一个逻辑联结词命题真假的判断真值表求解. 【参考答案】B【试题解析】先判断命题p,q 的真假,再结合含有一个逻辑联结词命题真假的判断真值表求，第5题图当x =0时，有23,x x =不满足23,:,23x x x xp x <∴∀∈<R 是假命题.（步骤1）如图,函数3y x =与21y x =-有交点,即方程321x x =-有解，32:,1q x x x ∴∃∈=-R 是真命题.p q ∴∧为假命题，排除A. （步骤2） p ⌝ 为真命题，p q ∴⌝∧是真命题. （步骤3）6．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 （ ） A. 21n n S a =- B. 32n n S a =-C. 43n n S a =-D. 32n n S a =-【测量目标】等比数列的通项和前n 项和.【考查方式】根据已知首项及公比的条件，利用公式求等比数列前n 项和. 【参考答案】D【试题解析】可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前n 项和，再建立关系.方法一：在等比数列{}n a 中，1213322113n n n na a a qS a q --===---•.(步骤1)方法二：在等比数列{}n a 中，121,,3a q ==11221()().33n n n a --∴=⨯=（步骤2） 121[1()]22233[1()]3[1()]32.233313n n n n n S a -⨯-==-=-=--（步骤3） 7．执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的s 属于 （ ）第7题图A. [3,4]-B. [5,2]-C. [4,3]-D. [2,5]-【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】先识别已知的程序框图的功能，即求分段函数的值域，在分别求出未知结果. 【参考答案】A【试题解析】先识别程序框图的功能，即求分段函数的值域，再分别求出.因为[1,3],t ∈-当[1,3]t ∈时，2224(4)(2)4[3,4],s t t t t t =-=--=--+∈（步骤1） 当[1,1]t ∈-时3[3,3);s t =∈-所以[3,4].s ∈- （步骤2）8．O 为坐标原点，F为抛物线2:C y =的焦点，P 为C上一点，若||PF =，则POF △的面积为 （ ）A ．2B. C. D. 4【测量目标】顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质.【考查方式】先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再结合图形利用三角形面积公式求解. 【参考答案】C【试题解析】先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再结合三角形面积公式求解.设00(,),P x y 则00PF x x ===（步骤1）200024,y y ∴===∴=（步骤2）01122POF F S OF y ∴== •（步骤3） 9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]-ππ的图象大致为 （ ）A. B.C. D. 第9题图【测量目标】三角函数的概念及基本性质.【考查方式】利用已知三角函数关系式，结合三角函数奇偶性、极值、最值的关系判断函数图象. 【参考答案】C【试题解析】先利用函数的奇偶性排除B ，再利用特殊的函数值的符号排除A ，而最后答案的选择则利用了特定区间上的极值点. 在[,]-ππ上，()[1cos()]sin()(1cos )(sin )(1cos )sin (),f x x x x x x x f x -=---=--=--=-()f x ∴为奇函数，（步骤1）()f x ∴的图象关于原点对称，排除B.（步骤2）取2x π=，则()(1cos )sin 10222f πππ=-=>，排除A （步骤3） ()(1cos )sin ,f x x x =-222'()sin sin (1cos )cos 1cos cos cos 2cos cos 1.f x x x x x x x x x x ∴=+-=-+-=-++·（步骤4）令'()0f x =，则cos 1x =或1cos .2x =-结合[,],x ∈-ππ求得()f x 在(0,]π上的极大值点为23π，靠近π.（步骤5） 10．已知锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）A. 10B. 9C. 8D.5 【测量目标】二倍角公式及余弦定理.【考查方式】先运用三角恒等变换公式求出角A 的余弦值，再利用余弦定理解三角形对应的一条边b 的值. 【参考答案】D【试题解析】先求出角A 的余弦值，再利用余弦定理求解.由223cos cos 20A A +=得223cos cos 210A A +-=，解得1cos .5A =±（步骤1）A 是锐角1cos .5A ∴=，（步骤2）又222212cos ,493626,5a b c bc A b b =+-∴=+-⨯⨯⨯5b ∴=或13.5b =-又0, 5.b b >∴= （步骤3） 11．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （ ）A. 168+πB. 88+πC. 1616+πD. 816+π 【测量目标】三视图，几何体体积.【考查方式】将三视图还原为原来的几何体，再利用几何体体积公式求解体积. 【参考答案】A【试题解析】将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半（如图所示）,其体积为 2142224168.2V =⨯⨯+π⨯⨯=+π 12．已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩…，若|()|f x ax …，则a 的取值范围是（ ）A, (,0]-∞ B, (,1]-∞ C. [2,1]- D. [2,0]- 【测量目标】函数的图象及其变换，导数的几何意义.【考查方式】利用函数的基本性质画出分段函数图象，结合图象求解字母的取值范围. 【参考答案】 D【试题解析】先画出函数的图象，数形结合求解. 作出函数()y f x =的图象，（步骤1） 如图，当()f x ax ≥时，必有k a ≤≤0，其中k 是22(0)y x x x =-≤在原点处的切线斜率，（步骤2） 显然, 2.k =-a ∴的取值范围是[2,0]-.（步骤3）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分.第(13)题——第(21)题为必考题,每个考生都必须作答.第(22)题——第（24）题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分.13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)t t =+-c a b ，若0⋅=b c ，则t =_____. 【测量目标】平面向量的数量积的运算.【考查方式】利用平面向量的运算以及数量积与向量垂直的转化关系求解未知数取值. 【参考答案】2【试题解析】直接利用平面向量的数量积运算求解. 1,,60.==〈〉=a b a b(1),t t =+-∴ c a b 21(1)11(1)111.222t tt t t t t =+-=⨯⨯⨯+-⨯=+-=-b c a b b （步骤1） 0,10, 2.2tt =∴-=∴=b c （步骤2） 14．设,x y 满足约束条件 13,10x x y⎧⎨--⎩剟剟，则2z x y =-的最大值为______.【测量目标】线性规划解最值.【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划性质求z . 【参考答案】3【试题解析】作出可行域，进一步探索最大值. 作出可行域如图阴影部分.(步骤1)作直线20x y -=，并向右平移，当平移至直线过点B 时，2z x y =-取得最大值.而由3,0,x x y =⎧⎨-=⎩得B （3,3）.max 233 3.z ∴=⨯-=（步骤2） 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______.【测量目标】球的截面性质及球的表面积求法.【考查方式】给出球的直径被截面所截线段的比例及截面积建立直角三角形,求出球的半径和球的表面积. 【参考答案】92π 【试题解析】利用球的截面建立直角三角形求解.(第15题图)如图，设球O 的半径为R ，则 由:1:2AH HB =得 122,.333RHA R R OH ==∴= （步骤1） 截面面积为2(),HM π=π 1HM ∴=.（步骤2）在Rt HMO中，222,OM OH HM =+2222111,994R R HM R R ∴=+=+∴=（步骤3）22944.2S R ∴=π=π=π球（步骤4） 16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 【测量目标】三角恒等变换.【考查方式】利用三角恒等变换公式化简三角函数进而求函数最值（方程思想）. 【试题解析】先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解.sin 2cos ),y x x x x =-=cos sin ,αα==则cos cos sin )).y x x x ααα-=-（步骤1）max ,,x x y α∈∴-∈∴=R R （步骤2） 又x θ= 时，()f x 取得最大值，()sin 2cos f θθθ∴=-（步骤3） 又22sin cos 1,θθ+=sin cos θθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩即cos θ=（步骤4）三.解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.【测量目标】等差数列的通项、前n 项和及性质.【考查方式】给出等差数列前n 项和求解等差数列首项和公差，运用裂项相消法求和. 【试题解析】（1）结合等差数列的求和公式列出关于首相和公差的方程组求解；（2）列项求和，但要注意裂项后的系数.解：（1）设{}n a 的公差为d ,则1(1).2n n n S na d -=+（步骤1） 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得111a d =⎧⎨=-⎩.故{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤2） （2）由（1）知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----（步骤3）从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩ 的前n 项和为1111111().21113232112n n n n -+-++-=---- （步骤4） 18（本小题满分共12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（3）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？(第18题图)【测量目标】离散型随机变量的分布列和均值.【考查方式】根据所给的图表数据求平均值，并比较大小分析意义：观察茎叶图，看看数据的离散情况及中位数的位置.【试题解析】（1）直接求解平均数，并比较大小；（2）观察茎叶图，看看数据的离散情况及中位数的位置.解：（1）设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得 1(0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 2.720x =++++++++++++ 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5+++++++=（步骤1） 1(0.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.61.71.820y =++++++++++++1.92.1 2.4 2.5 2.6 2.73.2) 1.6+++++++=.（步骤2） 由以上计算结果可得,x y >因此可看出A 药的疗效更好.（步骤3） （2）由观测结果可绘制茎叶图如图：（步骤4）（第18题图） 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的实验结果有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好.（步骤5） 19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠= . （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若2AB CB ==，1AC =111ABC A B C -的体积.(第19题图)【测量目标】直线与平面的位置关系，三棱柱的体积的求解【考查方式】给出三棱柱棱长之间的关系，利用线线垂直、线面垂直定理及其性质，证明线线垂直，再利用体积公式求出棱柱体积.【试题解析】（1）先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求解；（2）先证明三棱柱的高，再利用体积公式求体积.解：（1）取AB 的中点O ,连接11,,.OC OA A B （步骤1） 因为,CA CB =所以OC AB ⊥.（步骤2）由于11,60,AB AA BAA =∠= 故1B AA△为等边三角形， 所以1.OA AB ⊥（步骤3）因为1,OC OA O = 所以AB ⊥平面1OAC .（步骤4） 又1AC ⊂平面1OAC ，故1.AB AC ⊥（步骤5）（2）由题设知ABC △与1AA B △都是边长为2的等边三角形，所以1OC OA ==(步骤6)又1AC =则22211,AC OC OA =+故1.OA OC ⊥（步骤7） 因为,OC AB O = 所以1OA ⊥平面1,ABC OA 为三棱柱111ABC A B C -的高.（步骤8）又ABC △的面积11222ABC S AB OC =⨯⨯=⨯=△故三棱柱111ABC A B C -的体积1 3.ABC V S OA == △（步骤9）20．（本小题满分共12分）已知函数2()e ()4xf x ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值. 【测量目标】函数的导数，函数的单调性，极值.【考查方式】已知函数式，利用已知点处的切线方程求解原函数关系式中未知字母，利用函数的导数确定函数的单调性和极值.【试题解析】（1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值；（2）先求出函数的导数、极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值.解：（1）'()e ()2 4.x f x ax a b x =++--（步骤1）由已知得(0)4,'(0) 4.f f ==故4,8.b a b =+=从而4, 4.a b ==（步骤2）（2）由（1）知，2()4e (1)4,x f x x x x =+--1'()4e (2)244(2)(e ).2x x f x x x x =+--=+-（步骤3）令'()0,f x =得ln 2x =-或 2.x =-（步骤4）从而当(,2)(ln 2,)x ∈-∞--+∞ 时，'()0;f x >当(2,ln 2)x ∈--时，'(f x ）0….（步骤5）故()f x 在(,2),(ln 2,)-∞--+∞上单调递增，在(2,ln 2)--上单调递减.当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为2(2)4(1e ).f --=-（步骤6）21．(本小题满分12分)已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB .【测量目标】圆的方程及其几何性质，椭圆的定义及其几何性质以及直线与曲线的位置关系.【考查方式】给出两个已知圆的方程，根据圆与圆的位置关系确定动圆圆心轨迹曲线方程；再利用直线与圆的位置关系求解出线段的长度.【试题解析】（1）结合圆的几何性质和椭圆的定义求解；（2）利用直线与圆相切的性质求解，要注意直线的斜率是不是存在.解：由已知得圆M 的圆心为(1,0),M -半径11;r =圆N 的圆心为(1,0),N 半径2 3.r =设圆P的圆心为(),,P x y 半径为R.（步骤1）(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以1212()() 4.PM PN R r r R r r +=++-=+=（步骤2）由椭圆的定义可知，曲线C 是以M,N 为左，右焦点，长半轴长为2圆（左顶点除外），其方程为221(2).43x y x +=≠-（步骤3） (2)对于曲线C 上任意一点(,),P x y 由于22PM PN R -=-≤2，所以R ≤2,（步骤4）当且仅当圆P 的圆心为（2,0）时，R =2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为22(2) 4.x y -+=（步骤5）若l 的倾斜角为90，则l 与y轴重合，可得AB =（步骤6） 若l 的倾斜角不为90 ，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，(步骤7)设l 与x 轴的交点为Q ，则1,QPR QM r =可求得(4,0)Q -,所以可设:(4).l y k x =+由l 与圆M1,=解得k =（步骤8）当4k =时，将4y x =代入221,43x y +=并整理得27880,x x +-=解得1,2x =所以2118.7AB x =-=（步骤9）当4k =时，由图象的对称性可知18.7AB =（步骤10）综上，AB =18.7AB =（步骤11） 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC =，延长CE 交AB 于点F ，求BC F △外接圆的半径.(第22题图)【测量目标】圆的几何性质，勾股定理及直角三角形的性质.【考查方式】根据已知的圆与直线的位置关系及角平分线的条件，利用弦切角定理证明线段相等；构造辅助线，结合圆的几何性质求圆的半径.【试题解析】(1)利用圆的性质结合弦切角定理证明线段相等；（2）先证明中垂线，再结合圆的几何性质求圆的半径.(第22题图)解 （1）证明：如图，连接DE ,交BC 于点G (步骤1)由弦切角定理，得A B E B C E ∠=∠,而ABE CBE ∠=∠,故BCE CBE ∠=∠,所以.B E C E =（步骤2）又因为,DB BE ⊥所以DE 为圆的直径，90.DCE ∠= （步骤3）DBC DCB ∠=∠∴.DB DC =（步骤4）（2）解：由（1）知，,,CDE BDE DB DC ∠=∠=故DG 是BC 边的中垂线，所以BG =（步骤5） 设DE 的中点为O ,连接BO ,则60,BOG ∠= 从而30,ABE BCE CBE ∠=∠=∠= （步骤6）所以CF BF ⊥,故Rt BCF △外接圆的半径等于2.（步骤7） 23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ<厔）.【测量目标】参数方程、极坐标方程.【考查方式】根据已知的参数方程，利用同角三角函数的平方关系将参数方程化为普通方程再转化为极坐标方程；根据求出的1C ，2C 的普通方程，联立方程组求出交点极坐标.【试题解析】（1）利用同角三角函数的平方关系将参数方程化为普通方程；（2）利用联立方程组求解曲线的交点.解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程22(4)(5)25,x y -+-=即221:810160.C x y x y +--+=（步骤1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160.ρρθρθ--+=（步骤2）（2）2C 的普通方程为2220.x y y +-=由2222810160,20,x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩（步骤3） 所以1C 与2C交点的极坐标分别为),(2,).42ππ（步骤4）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+.（Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x …，求a 的取值范围. 【测量目标】绝对值的意义、分段函数及其图象、恒成立问题的求解方法.【考查方式】给出一个含未知参量的绝对值方程和一个一般方程，当未知参量取特定值时，利用绝对值的代数意义将函数化为分段函数，进而比较两个函数的大小关系；根据未知数的取值范围及两函数的大小关系，结合函数的图象将问题转化为恒成立问题求解.【试题解析】(1)利用绝对值的代数意义将函数转化为分段函数；（2）结合函数的图象将问题转化为恒成立问题求解.解：（I ）当2a =-时，不等式()f x <g(x )化为21223x x x -+---<0.（步骤1）设函数y =21223x x x -+---，则15,214,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--⎨⎪->⎪⎪⎩剟 （步骤2） 其图像如图所示第24题图 从图象可知，当且仅当x (0,2)∈时，y <0，所以原不等式的解集是{}02x x <<；（步骤3） （II ）当)1,,()1.22a x f x a ⎡∈-=+⎢⎣ 不等式()f x ≤g (x )化为1+a ≤x +3.所以x ≥a -2（步骤4） 对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立，故22a a --…，即43a …， 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.（步骤5）。
2013年高考数学试题文科数学新课标I卷试题及参考答案
绝密★启封并使用完毕前2013年各地高考数学试题文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1)已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ )（A)｛0｝（B)｛－1，,0｝ （C){0，1} （D)｛－1，,0，1}（2)212(1)ii +=-（ )（A)112i --（B)112i -+（C)112i +（D)112i -（3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ) （A)12 （B)13 （C)14 （D)16（4)已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ )（A)14y x =±（B)13y x =±（C)12y x =±（D)y x =±（5)已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ) （A)p q ∧（B)p q ⌝∧（C)p q ∧⌝ （D)p q ⌝∧⌝（6)设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ) （A)21n n S a =- （B)32n n S a =- （C)43n n S a =-（D)32n n S a =-（7)执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A)[3,4]- （B)[5,2]- （C)[4,3]- （D)[2,5]-（8)O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ )（A)2（B)（C) （D)4（9)函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ )（10)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ) （A)10 （B)9（C)8（D)5（11)某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ )（A)168π+ （B)88π+ （C)1616π+ （D)816π+（12)已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ )（A)(,0]-∞ （B)(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷
一． 选择题：本大题共12小题，第小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合}3,3,2,1{=A ，},|{2A n n x x B ∈==，则=⋂B A
（A ）}4,1{ （B ）}3,2{ （C ） }16,9{ （D ）}2,1{
（2）
2
)1(21i i
-+＝
（A ）i 211-
- （B ）i 211+- （C ）i 211+ （D ）i 2
11- （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
（A ）
21 （B ）31 （C ）41 （D ）6
1 (4) 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的离心率为25
，则C 的渐近线方程为
（A ）x y 41±
= （B ）x y 31±= （C ）x y 2
1
±= （D ）x y ±= （5）已知命题;32,:x
x
R x p <∈∀命题2
3
1,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是
（A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝ （C ）q p ⌝∧ （D ）q p ⌝∧⌝
（6）设首项为1，公比为
3
2
的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则 （A ）12-=n n a S （B ）23-=n n a S （C ）n n a S 34-= （D ）n n a S 23-=
（7）执行右边的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s 属于
(A) ]4,3[- (B) ]2,5[- (C) ]3,4[- (D) ]5,2[-
（8）O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为
C 上一点，若24||=PF ，则POF ∆的面积为
(A) 2 (B) 22 (C) 32 (D) 4 （9）函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为
（10）已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，,7,02cos cos 232==+a A A 6=c ，则=b
（A ）10 （B ）9
（C ）8
（D ）5
（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A ）16+8π
（B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π
(12) 已知函数=)(x f ⎩
⎨⎧>+≤+-.0),1ln(,
0,22x x x x x 若|)(|x f ≥ax ，
则a 的取值范围是
(A) ]0,(-∞ (B) ]1,(-∞ (C) ]1,2[-
(D) ]0,2[-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = ta+ (1-t) b. 若b ·c =0，则t = .
（14）设y x ,满足约束条件⎩⎨
⎧≤-≤-≤≤,
01,
31y x x 则y x z -=2的最大值为 .
（15）已知H 是球O 的直径AB 上一点，2:1:=HB AH ，⊥AB 平面α，H 为垂足，α截球O 所截得
的面积为π，则球O 的表面积为 .
（16）设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足5,053-==S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-12121n n a a 的前n 项和.
（18）（本小题满分12分）
为了比较两种治疗失眠的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用Ａ药，20位患者服用Ｂ药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位:h ）.试验的观测结果如下：
服用Ａ药的日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B 药的日平均增加的睡眠时间：
3.2 1. 7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =,︒=∠601BAA . （Ⅰ）证明：C A AB 1⊥；
（Ⅱ）若,2==CB AB 61=C A ，求三棱柱111C B A ABC -的体积
（20）（本小题满分12分）
已知函数x x b ax e x f x 4)()(2--+=，曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为44+=x y . （Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）讨论)(x f 的单调性，并求)(x f 的极大值.
（21）（本小题满分12分）
已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时，求||AB .
药
A 药
B .01.2.3.
A
B
C
1
C 1
B 1
A
请考生在第22、23、24题中任选一道作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请用２Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE
交圆与点E ，DB 垂直BE 交圆与点D 。
（1） 证明：DB ＝DE ；
（2） 设圆的半径为1, 3＝BC ，延长CE 交AB 与点F ，求BCF ∆外接圆
的半径。
23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程式⎩
⎨⎧+=+=,sin 55,
cos 54t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐
标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式为θρsin 2=. （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C 1与Ｃ２交点的极坐标）（πθρ20,0<≤≥。
24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数|2||12|)(a x x x f ++-=，3)(+=x x g . （Ⅰ）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集； （2）设1->a ，且当)2
1
,2[a x -∈时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围。