声学中波动方程的建立
声学中的波动方程与波束形成分析
声学中的波动方程与波束形成分析引言：
声学是研究声波在介质中传播和产生的学科，而波动方程是描述波动现象的基
本方程之一。本文将探讨声学中的波动方程以及与之相关的波束形成分析。
一、声学中的波动方程
声学中的波动方程是描述声波在介质中传播的方程。它是根据质量守恒定律、
动量守恒定律和能量守恒定律推导出来的。声学中的波动方程可以写成如下形式：∇²p - 1/c² ∂²p/∂t² = 0
其中，p是声压，c是声速，∇²是拉普拉斯算子，∂²p/∂t²是声压的时间二阶导数。这个方程描述了声波在介质中的传播过程。
二、波束形成分析
波束是指声波在传播过程中由于介质的非均匀性而发生的聚焦现象。波束形成
分析是研究波束形成的原理和方法。下面将介绍几种常见的波束形成分析方法。
1. 声源阵列
声源阵列是一种通过控制多个声源的相位和幅度来实现波束形成的技术。通过
调节声源的相位和幅度，可以使得声波在特定方向上相干叠加，形成一个强大的波束。声源阵列广泛应用于声纳、超声医学成像等领域。
2. 相控阵
相控阵是一种利用多个传感器阵列来实现波束形成的技术。通过调节传感器的
相位差，可以实现对声波的定向接收和发射。相控阵在声纳、雷达等领域有着重要的应用。
3. 自适应波束形成
自适应波束形成是一种利用信号处理技术对波束进行实时调整的方法。通过对接收到的声波信号进行分析和处理，可以实现对波束形状和方向的自动调整。自适应波束形成在无线通信、声纳等领域有着广泛的应用。
结论：
声学中的波动方程是描述声波在介质中传播的基本方程，它可以通过质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导得出。波束形成分析是研究波束形成的原理和方法，包括声源阵列、相控阵和自适应波束形成等技术。波束形成在声纳、超声医学成像等领域具有重要的应用价值。通过对声学中的波动方程和波束形成分析的研究，可以更好地理解声波在介质中的传播过程，并为相关领域的应用提供理论基础和技术支持。
流体声学知识点总结
流体声学知识点总结
1. 流体声学的基本概念
流体声学研究声波在流体中的传播特性，涉及声波的产生、传播和接受等过程。流体声学
可以研究海洋中的声波传播规律、水下声纳技术、医学中的超声成像等问题。流体声学的
研究对象一般包括水、海洋、大气等流体。
2. 声波的传播特性
声波是由气体、液体或固体中的分子或原子的振动产生的纵波，它可以在这些介质中传播。声波的速度取决于介质的密度、弹性模量和声学阻尼等条件。在流体中，声波的传播速度
一般比固体中的速度要慢。声波的传播具有衍射、干涉和折射等特性。
3. 流体中的声速
流体中的声速是声波在该流体中传播的速度。流体中声速的大小受到温度、压力和流体密
度等因素的影响。一般来说，温度越高，声速越快；而密度越大，声速越慢。
4. 流体中的声学波动方程
声学波动方程描述了声波在流体中的传播行为。对于不可压缩流体，声学波动方程可以写成：
∇ · v = 0,
∇ · p = −ρ∂V/∂t,
p = c^2ρ,
v = ∂V/∂t,
其中，v是流体速度矢量，p是压力，ρ是密度，c是声速，V是声压。声学波动方程描述了声波在流体中传播的速度、压力和密度等参数之间的关系。
5. 流体中的声学现象
在流体中，声波会产生折射、散射和反射等现象。声波在海洋中传播时，会因为海水的密
度分布和深度不同而产生折射现象；声波在水下传播时，会被水下障碍物散射和反射；声
波在医学超声成像中，会通过体内组织的不同密度和声阻抗产生回波，从而形成影像。
综上所述，流体声学是一个重要的声学分支，研究声波在流体中的传播和作用。流体声学
第四章 海洋中的声传播理论
第四章 海洋中的声传播理论
水声传播常用的方法：
波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；
射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，
但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。
4.1 波动方程和定解条件
1、波动方程
当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：
p t u -∇=∂∂
ρ 0=⋅∇+∂∂u t
ρρ
ρd c dp 2= 状态方程可写为：
t
c t p ∂∂=∂∂ρ
2
由状态方程和连续性方程可得：
012=⋅∇+∂∂u t
p c ρ 利用运动方程从上式中消去u
可得
01
12222
=∇⋅∇-∂∂-∇ρρp t
p c p
当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。
引入新的从变量：ρ
ϕp
=
，则可得
0432********=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇+∂∂-∇ρρρρϕ
ϕt c 对于简谐波，222ω-=∂∂t ，则上式可写为：
()0,,22=+∇ϕϕz y x K
式中，2
22
4321⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∇-∇+=ρρρρk K 。
ϕ不是声场势函数，K 也不是波数。
在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则()z y x c k K ,,ω==，于是
()0,,22=+∇ϕϕz y x k ()0,,22=+∇p z y x k p
如果介质中有外力作用F
，例如有声源情况，则有
()ρ
ϕϕF
z y x K ⋅∇=
+∇,,22
在密度等于常数时，有
()ρ
ϕϕF
z y x k ⋅∇=
波动方程的标准形式
波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。
波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。
在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。
波动方程
波动方程
波动方程或称波方程（英语：Wave equation）由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：
这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒，参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若a作为波长的函数改变，它应该用
相速度代替：
注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。
u = u(x，t)，是振幅，在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。
波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。用波动方程来描述杆的振动，包含的信息有：杆的初始位置，杆振动的振幅，频率等等。
波动方程的推导：声学基础上关于声学波动方程的推导，来自理想流体媒质的三个基本方程，运动方程、连续性方程和物态方程（绝热过程）。而关于流体
力学也有三个方程，分别是质量守恒方程、动量守恒方程（N-S方程），以及能量守恒方程。事实上，在绝热过程中，小扰动下的流体方程也可以推导出声学方程。
波动方程在经典物理和量子物理里面的意义不一样的，给出波动方程更好分析。波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限(不像热传导方程)。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播(光速c)，而没有瞬时的作用(即超距作用)。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation)是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域.
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）.在弦振动问题中,c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大.而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky)上,波速可以慢到1米/秒.
在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替：
实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：
另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波和横波:
3.1,3.2 基本概念 声学量 波动方程 速度势函数(3学时)
状态方程 运动方程
对上三式消元，可以得到一个基本声学量的方程。
方oy向,o流z 量在
y
U
y
dx
dydz
dt
z
U
z
dx
dydz
dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速U (x, y, z,引t) 起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
m
x
U
x
y
U
y
z
U
z
dx
dydz
dt
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
dU P
dt
（2）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程
静压强 P0 ＝常数
静态流速U0 常 数
P p
dU du dt dt
所以：
du p
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
du 是质点 M x, y的, z加 速度。
dt
根据，多元函数微分公式，有：
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
z
C
G
M点的密度为： D x, y, z,t
设某一瞬时t，介质质点流过
M点的速度向量
A
o
声学黑洞波动方程
声学黑洞波动方程
声学黑洞是一种人造结构，可以通过吸收声波来模拟黑洞的某些性质。在声学黑洞中，波动方程可以用来描述声波的传播和吸收。
波动方程是描述波动现象的基本方程，适用于描述声波、光波、电磁波等波动现象。在声学黑洞中，波动方程可以表示为：
∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² + f(x)
其中，u(x,t)表示声波的位移，t表示时间，x表示空间位置，c 表示声速，f(x)表示声波的吸收系数。
在声学黑洞中，f(x)通常是一个非零的函数，表示声波在某些区域被强烈吸收。通过调整f(x)的取值和分布，可以模拟不同类型和不同性质的声学黑洞。
求解波动方程是研究声学黑洞的关键步骤之一。通过求解波动方程，可以得到声波在声学黑洞中的传播和吸收情况，进一步了解黑洞的性质和特点。在实际应用中，可以使用数值方法和计算机模拟来求解波动方程。
计算声学声场的方程和计算方法
该章节介绍了低频声场的基本性质和计算方法，包括Green函数法、积分方 程法等。
该章节介绍了声场可视化的基本方法和常用软件，包括粒子图等值线图、云 图等。
该章节介绍了声场测量技术的基本原理和方法，包括传声器阵列、激光多普 勒测振仪等。
该章节介绍了声场控制技术的基本原理和方法，包括主动隔振、有源噪声控 制等。
该章节介绍了常用的声场模拟软件及其特点和应用范围。
该章节总结了本书的主要内容，并指出了不足之处和未来研究的方向。还提 出了一些具有挑战性的问题供读者进一步探讨。
作者简介
作者简介
这是《计算声学声场的方程和计算方法》的读书笔记，暂无该书作者的介绍。
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书中深入浅出地讲解了声学的基础理论和计算方法。从声波的基本性质，到 声场的波动方程，再到声源的辐射和传播，书中都进行了详细的阐述。其中，特 别引人注目的是书中对于声场计算方法的描述。作者运用了数值方法和计算机模 拟技术，对声场的分布和变化进行了精确的预测和控制。这种方法不仅具有极高 的实用价值，更是在科学上具有重大意义。
本书的目录共有14个章节，每个章节都涵盖了声学声场计算的不同方面，具 体内容如下：
该章节介绍了本书的研究背景、研究目的和意义，同时简要概述了声学声场 的基本概念和计算方法。
该章节介绍了声波的基本性质，包括波动现象、声速、声压等基本概念，同 时还介绍了声波传播的基本规律。
振动方程和波动方程
振动方程和波动方程
振动方程和波动方程是物理学中两个重要的方程，它们描述了振动和波动现象的规律和特性。本文将分别介绍振动方程和波动方程的定义、推导以及应用。
一、振动方程
振动是物体在某一平衡位置附近往复运动的现象。振动方程描述了物体振动的规律。一般来说，振动方程可以分为简谐振动方程和非简谐振动方程。
简谐振动方程是指物体在平衡位置附近以固定频率和振幅往复振动的情况。对于简谐振动，振动方程可以表示为x=A*sin(ωt+φ)，其中x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
非简谐振动方程是指物体在振动过程中受到了非线性的力或阻尼的影响，使得振动不再是简谐的情况。非简谐振动方程的形式较为复杂，可以根据具体情况进行推导。非简谐振动方程的求解需要借助数值模拟或近似方法。
振动方程在物理学、工程学、生物学等领域有着广泛的应用。例如，在机械振动中，振动方程可以用于描述机械系统的振动特性，从而进行振动控制和优化设计；在生物学中，振动方程可以用于研究人
体内部的生物振动，从而帮助诊断疾病和设计医疗设备。
二、波动方程
波动是指能量在空间中传播的过程。波动方程描述了波动现象的规律。一般来说，波动方程可以分为机械波动方程和电磁波动方程。
机械波动方程是指介质中的能量以波的形式传播的情况。对于机械波，波动方程可以表示为∂²u/∂t²=c²∇²u，其中u表示介质的位移，t表示时间，c表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
电磁波动方程是指电磁场的能量以电磁波的形式传播的情况。对于电磁波，波动方程可以表示为∇²E=με∂²E/∂t²，其中E表示电场强度，∇²表示拉普拉斯算子，μ表示磁导率，ε表示介电常数。
波动方程的声学问题
波动方程的声学问题
波动方程是数学中一类非常重要的偏微分方程。它可以描述一类物理现象中的波动传播过程。其中最重要的应用之一就是声学问题。声学问题中的波动方程可以用来描述声波在介质中的传播过程。它可以解释音乐、语言、声响效果等许多听觉现象，对于加深我们对声学问题的理解有很大帮助。
一、波动方程的基本形式
波动方程是一类偏微分方程，其泛函表达式为：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 u$$
其中$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$表示$u$关于时间$t$的二阶导数，$c$是波速，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子。这个方程通常用来描述机械波的传播过程。
声波是一种机械波，因此可以用波动方程来描述其在介质中的传播过程。
二、声波的波动方程
介质中的声波可以用波动方程来描述。声波的基本波动方程个形式为：
$$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=c^2 \nabla^2 p-
\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p}{\partial t}-2\alpha \frac{\partial
p}{\partial t}$$
其中$p$是介质中的声压，$\rho_0$是介质的密度，
$c^2=\frac{\delta p}{\delta \rho}|_{isothermal}$是介质的声速，$\alpha$是介质的吸声系数。这个方程可以描述声波在介质中的传播过程。在这个方程中，第一项表示压力梯度对声压的贡献，第二项表示介质的惯性对声压的贡献，第三项表示介质的阻尼对声压的贡献。
声波的基本性质
p 0
E p pdV
p co '
2
V0 2 p 2 2 0c0
V0 1 2 2 E E E ( v p ) 总能： k p 0 2 2 2 0 c0 2 pa 2 E V cos (t kx) 声场中的 0 2 0c0 能量
声波方程
理想气体声速
P0 dP c0 ( ) s ,0 d 0
2
温度为t(℃)时理想气体中的声速为
o P0 c（ 0 C） o 0 c0 (t C ) （273 t） C （ t 0 0 C） 0 273 2 o
c0 (t C) 331.6 0.6t (m / s)
pref 2 105 pa
此时pref的对应人耳对1KHz声音是刚能察觉到的声压。 声强级:该声音的声强与基准声强之比的常用对数再乘以10。 12 2 I I 10 w / m SIL 10lg (dB) ref I ref
此时的I与Pref的声强对等，也是1kHz声音可听阀声压 声级与分贝
声能量密度
pa 2 E V0 cos (t kx) 2 0c0
2
平面声场中任何位置上动能与位能的变化是同相位的； 动能和位能同时达到最大值，即：总声能量随时间由零变化 到最大值； 能量不是储存在系统中，具有传递特性。
简谐波的波动方程三
• 简谐波的波动方程三的推导 • 简谐波的波动方程三的应用 • 简谐波的波动方程三的特性
• 简谐波的波动方程三与其他波动方 程的关系
• 简谐波的波动方程三的扩展与展望
01
简谐波的波动方程三的推导
推导过程
确定简谐波的振动形式
简谐波的振动形式通常表示为 y=A*sin(ωt+φ)，其中A是振 幅，ω是角频率，φ是初相。
空间维度的影响
在多维空间中，波动方程的解将具有更复杂的空间结构和传播特性。例如，波的衍射、干 涉和散射等现象将变得更加复杂和有趣。
数值模拟与解析解
为了研究多维波动方程的解，需要发展高效的数值模拟方法，并寻求解析解。这将有助于 深入了解多维波动的特性和应用。
在未来研究中的展望
交叉学科研究
数值模拟与实验验证
与一维波动方程的关系
01
一维波动方程是简谐波的波动方程在空间一维情况下
的特例。
02
一维波动方程描述的是波在一条直线上传播的情况，
而简谐波的波动方程三则适用于三维空间中的波动。
03
在一维情况下，简谐波的波动方程可以简化为标准的
一维波动方程形式。
与二维波动方程的关系
01
二维波动方程是简谐波的波动 方程在空间二维情况下的特例 。
实际应用
将简谐波的波动方程与其他物理、 工程和数学领域相结合，可以产 生新的研究领域和交叉学科。例 如，将波动方程与流体动力学、 量子力学等领域相结合，可以产 生新的研究问题和解决方案。
数学物理中的波动方程与波函数
数学物理中的波动方程与波函数
波动方程是数学物理中一种重要的方程，用于描述波动现象的传播和行为。在波动方程中，波函数是一个关键的概念，用于描述波动的性质和变化。本文将介绍波动方程和波函数的基本概念、性质和应用。
一、波动方程的基本概念
波动方程是一种偏微分方程，用于描述波动现象的传播和行为。它通常以时间和空间变量为自变量，通过对波函数的求导和求解来描述波动的性质和变化。波动方程的一般形式可以表示为：
∂²u/∂t² = c²∇²u
其中，u是波函数，t是时间，c是波速，∇²是拉普拉斯算符。这个方程表示了波函数在时间和空间上的二阶导数之间的关系。
二、波函数的性质和特点
波函数是波动方程的解，它描述了波动的性质和变化。波函数的性质和特点包括以下几个方面：
1. 波函数的形式：波函数可以是一维、二维或三维的，具体形式取决于波动方程的维度和边界条件。常见的波函数形式包括正弦函数、余弦函数、指数函数等。
2. 波函数的振幅：波函数的振幅表示波动的幅度或强度，通常用于描述波动的能量或振动的大小。振幅可以是实数或复数，取决于波动的性质。
3. 波函数的频率：波函数的频率表示波动的周期性或重复性，通常用于描述波动的频率或振动的频率。频率可以是连续的或离散的，取决于波动的性质。
4. 波函数的相位：波函数的相位表示波动的相对位置或相对相位，通常用于描述波动的相位差或相位差。相位可以是实数或复数，取决于波动的性质。
三、波动方程的应用
波动方程在数学物理中有广泛的应用，涉及到多个学科和领域。以下是一些常
见的波动方程的应用：
1. 声波传播：声波是一种机械波，可以通过波动方程来描述声波的传播和行为。在声学中，波动方程被用于研究声波的传播速度、频率和振幅等特性。
声学原理第三讲
(1-3-6) (1 3 6)
dp 引入新的变量： c 2 ( ) s ( 0 ) d
可得到以速度c传播的声波动方程：
1 2 p 2 p 2 0 c 2 t 2 x
该方程还可描述振动弦、电磁波等。
(1-3-7)
7
§1.3.4 一维声波动方程的建立
波动方程的一般解可写为：
(1-4-34) (1 4 34)
20
10
讨 论:
⑴全透射：当 i 满足 m cos i n 2 sin 2 i 0 ，即
sin ic m2 n2 ic 入 时， rp 0, p 1， 即声波以 m2 1 ic 称为 射时不会出现反射，声波全部进入媒质II，
14
这样在媒质I中的总声压为: pI pi pr P t k1x) Pr cos( t k1x) i cos(
7
§1.4.2 声波的反射、折射和透射（续）
在媒质II中仅有透射声波，由边界条件(1-4-15)可得， Pi Pr Pt 当x=0时，有: (1-4-21) 1 p 根据动量方程 v x dt ，则在两个媒质中质点 速度为: u1 u i u r U i cos(t k1 x) U r cos(t k1 x)
18
9
§ 1.4.2.3 平面波斜入射（续）
波动方程
一、波动方程简介
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）波动方程里，c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。
二、波的基本原理
简单地说，波是一种传播的扰动；是一种通过介质传递能量的方式。不同的波在不同的介质中传播，例如：机械波、水波和声波。曾几何时我们一直认为，任何波的传递都需要介质，我们甚至自己发明出了以太这种并不存在的物质，以解释电磁波的传递，但自从迈克逊-莫雷实验以后，我们才认识到原来电磁波不需要介质就可以传播，
甚至引力波也可以通过扰动空间的方式传播。
根据波的传播方式，我们有两种基本的波：横波和纵波。对于纵波来说，质点被扰动的方向与波传播的方向平行，介质中质点之间会被压缩和膨胀。另一方面，横波沿着与质点运动垂直的方向移动，所以当质点上下振动时，波会向左或向右移动。在波传播的过程中质点一直在相互影响，现在你想象一根弦，并且向上移动一个质点，其他的质点也会跟着移动。最简单的形象化的方法就是用一个弹簧，当弹簧中的第一个线圈受到干扰时，它会推或拉第二个线圈，第二个线圈也会对第三个线圈做出同样的动作，这时我们就能看到波动。线圈会上下移动，但波会左右传播。对于横波，介质中的每一个质点都在一个固定的位置上振荡，波的传播方向垂直于这个振荡。
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田佳星海洋技术１2０200４１049
今天我介绍一下声学中波动方程得建立。我们首先介绍一下声学得基本概念。
声波就是机械振动状态在介质中得传播。存在声波得空间称为声场。理论上描述声场需要引入一些物理量:声压、位移、振速、密度压缩量与相位等。通常采用上述各物理量得时空分布函数描述声场。下面对这些物理量作简要介绍。
1、基本概念
１) 声压(标量)
声波为压缩波。描述“压缩”过程得一个物理量就是压强。然而,声波就是声扰动(如振动源)引起介质中得压强发生变化得部分。因此,我们引入声压得概念:
声压为介质压强得变化量:
(2-1)
其中,就是压强,就是介质中得静态压强。
声压就是描述波动得物理量。为使用方便,还由声压引入了瞬时声压、峰值声压与有效声压。
声场中某瞬时得声压称为瞬时声压。一定时间间隔内得最大瞬时声压称为峰值声压。瞬时声压在一定时间间隔内得均方根值称为有效声压,即
(2-2) 对简谐声波,、与相互之间得关系与电压可作相同类比,即
。
一般仪器仪表测得就是有效声压。
2) 位移与振速(矢量)
质点位移就是指介质质点离开其平衡位置得距离、质点振速就是介质质点瞬时振动得速度。两者均就是有大小与方向得量,即矢量,相互关系为
(２—3)
对简谐振动,位移与振速都满足如下关系:
, (2—４a)
, (2-4b)
其中,与分别为位移幅值与振速幅值。
需要注意得就是区分质点振速与声传播速度。声传播速度就是指振动状态在介质中传播得速度,而质点振速就是指在给定时间与给定空间位置得某一质点得振动速度。
３) 密度与压缩量
密度得变化也就是描述声波得一个物理量。这里引入压缩量得概念:
(２-5)
其中,密度,为静态密度,为密度改变量。
压缩量s得含义为介质密度得相对变化量、
４) 相位
为描写简谐振动而引入得物理量。它描述质点简谐振动得状态。质点振动得一个周期对应着相位0—2π、相位与质点振动状态有一一对应得关系。
声波就是振动状态在介质中得传播,而相位描述得就是质点简谐振动得状态、由此可见相位在声场描述中得重要性。
以上物理量并不就是独立得,如根据位移由(２－3)式可以求出振速。实际应用时可根据需要选择使用哪些物理量来描述,如对简谐声波,只需要位移幅值与相位就可导出振速、加速度等基本物理量;更进一步,如果已知介质条件,只要知道位移幅值与相位得初值,就可计算声场得时空分布函数了。
2. 理想流体介质中得小振幅波
本节先建立描述声波得基本方程-波动方程,并讨论波动方程得线性特性;然后分别介绍波动方程在几种简单介质条件下得解－行波解、平面波解、球面波解与柱面波解,并对各种解中相关得物理量,如声场中得能量、介质特性阻抗与声阻抗率、相速度与群速度等概念,进行讨论,并重点分析在水声物理中应用较多得平面波在两种不同均匀介质界面上得反射与折射现象。
一、波动方程
２、1建立波动方程
为更清楚地了解声波得物理本质,我们先对介质条件与声波做出一定得限制,而得到形式简洁得波动方程,并通过它认识声波得物理本质。在后续得学习与研究过程中,将不断引入更为复杂得介质条件与放宽对声波得限制,再进行研究、这也就是物理中研究常用得方法之一。
假设条件:
✧介质静止、均匀、连续得;
✧介质就是理想流体介质,即忽略粘滞性与热传导;
✧声波就是小振幅波。
（1）连续性方程
理论推导见教材、
连续性方程即质量守恒定律:介质流入体元得净质量等于密度变化引起得体元内质量得增加。
(2-6)
根据假设条件有:
(2—
7)
事实上,当介质本身有流动时,中含有介质流动速度得影响,相关理论可参阅朗道著《连续介质力学》。考虑到假设介质就是静止得,(2—6)式与(２－7)式中没有考虑介质流动速度得影响。
（2）状态方程
在理想流体介质声传播过程中,还没有来得及进行热交换,声波传播(介质得压缩与膨胀)得力学过程已经完成,这一过程近似为绝热过程,即无热传导。
绝热过程中,
(2-８)
其中,定义
, (2-9)
为压强,为密度,下标表示绝热过程。本节后面讨论波动方程得解时,可知为声波在介质中得传播速度。
声速就是介质固有得特性,就是由介质得物理参数所确定得。下面由理想流体介质得绝热状态方程导出声速与介质参数得关系。
一定质量理想流体得绝热状态方程为
(2—１0)
其中,与分别为平衡态下流体得压强与密度,为流体定压比热与定容比热之比。
(2-10)式表明,在绝热状态下,流体压强只就是密度得函数。对(２－10)式微分得
(2－11)
由(2—8)、(２－10)与(2－１１)式可推得
(2－12a) 更进一步,利用小振幅近似可以给出声速得近似表式。由(2—12a)式可知,只就是密度得函数。将在附近展开得
,
忽略小量()之后得项近似得
式中就是在平衡态时得声速。因此,
(２-12b)
引入平衡态下得绝热压缩系数(单位压强变化引起得体积相对变化)
,
利用质量不变表式
与小振幅近似,
(2—１２
ｃ)
以上几种声速表式,可根据使用方便选用。另外,以后除特殊说明,以后只用表示声速,而不用
（3）运动方程
运动方程实质上连续流体介质中得牛顿第二定律。理论推导见教材、
(2—1３)
式中,本地加速度、迁移加速度、
对于小振幅波,迁移加速度项为二阶小量,略去后再根据假设条件有:
(2-14) (４) 波动方程
对(２－1４)求散度(两端同时左乘),将(２—7)式两端对时间求偏导数,注意到时、空导数次序对调不变,消去振速项,再利用(2—８)式可得波动方程
(2—1
５)
其中,在直角坐标系中:
在球坐标系中:
在柱坐标系中:。
引入速度势物理量
。(2-１6)
它表示单位介质质量具有得声扰动冲量、由(２-１６)式可知,声压、质点振速与速度势得关系就是:
(2－17)
。(2—
18)
将(2-17)与(2－18)式分别代入连续性方程、状态方程与运动方程,作与(2-15)式类似得推导,可得关于速度势得波动方程:
、
(２—19)
(２—15) 与(２－19)两式具有相同得形式,但却就是不同物理量满足得声纳方程、实际使用时,两者边界条件与初始条件得表述不同,可根据解算得方便选择不同得物理量来描述声场,当然也就需要选择相应得波动方程了。速度式与声压、振速等物理量间得转换关系由(2—1６)、(２-１７)与(2－１8)三式给出。