2019年高考数学(理)第十六章几何证明选讲 16-1 习题及答案
2019年高考数学三卷理科第16题
2019年高考数学三卷理科第16题
摘要：
1.题目分析
2.解题思路
3.解题步骤
4.同类题型拓展
5.总结与建议
正文：
一、题目分析
2019年高考数学三卷理科第16题是一道考查函数与导数知识的题目。
题目要求考生求解一个函数在特定区间上的最值，并分析函数的单调性。
此类题目在高考中每年均有出现，掌握解题方法至关重要。
二、解题思路
面对这类题目，首先要分析函数的定义域和区间，然后利用导数研究函数的单调性，找出极值点，最后判断最值。
本题中，函数的定义域为实数集，我们需要在给定的区间上分析函数的单调性。
三、解题步骤
1.求导数：对函数进行求导，得到导函数。
2.分析导函数的正负性：将导函数设为0，求得极值点。
根据极值点的正负性，判断函数在区间上的单调性。
3.求最值：根据函数的单调性，求得函数在区间上的最值。
四、同类题型拓展
此类题目不仅考查了函数与导数的基本知识，还考查了考生的综合分析能力。
在平时的学习中，要多做类似题目，提高自己的解题技巧。
以下是一道拓展题目：
已知函数$f(x) = x^3 - 6x + 2$，求在区间$[0, +∞)$ 上的最大值和最小值。
五、总结与建议
1.熟练掌握函数与导数的基本知识，了解导数的几何意义和应用。
2.学会利用导数研究函数的单调性，找出极值点。
3.多做同类题目，提高自己的解题能力。
4.在解题过程中，注意审题，合理运用所学知识。
通过以上分析和建议，相信大家对这类题目有了更深入的了解。
2019年高考数学真题分类汇编专题16：空间几何
2019年高考数学真题分类汇编专题16：空间几何一、解答题（共12题；共100分）1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．2.（2019•浙江）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点（1）证明：EF⊥BC（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.3.（2019•天津）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2,AD=3，（Ⅰ）设G,H分别为PB,AC的中点，求证：CH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.4.（2019•天津）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE,AD∥BC，AD⊥AB,AB=AD=1,AE= BC=2.（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；，求线段CF的长.（Ⅲ）若二面角E−BD−F的余弦值为135.（2019•全国Ⅲ）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.6.（2019•全国Ⅲ）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.7.（2019•卷Ⅱ）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1。
高考数学 第十六章 第一节 不等式的基本性质、含有绝对值的不等式课件 理 苏教版
4．(2013·苏州模拟)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求 |x-y+1|的最大值.
【解析】方法一:∵|x-1|≤1,|y-2|≤1,∴|x-y+1|=|(x-1)-(y2)|≤|x-1|+|y-2|≤1+1=2, (当且仅当x=2,y=1,或x=0,y=3时取等号), 故|x-y+1|的最大值为2. 方法二:∵|x-1|≤1,|y-2|≤1, ∴-1≤x-1≤1且-1≤y-2≤1, 即-1≤x-1≤1且-1≤2-y≤1. 相加可得-2≤x-y+1≤2,即|x-y+1|≤2, 故|x-y+1|的最大值为2.
(4)错误.当数或式小于0时,不等式两边同乘(除)此数或式，
不等号要改变方向.
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
考向 1 不等式性质的简单应用
【典例1】设实数x,y满足3≤xy2≤8 ，4 x2 9，求 x3 的最
y
y4
大值.
【思路点拨】可以从结论开始，设所求的量为参数t，通过消
元法求出参数的取值范围；也可以从已知条件出发，将条件中 的整体设成参数t,s，然后用其表示x,y，从而求 xy的43 取值范 围.
{_x_|_a_x_＋__b_≥_c__ 或__a_x_＋__b_≤_－__c_}
(2) 含两个绝对值的不等式的解集 |x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的 思想．
2019高考数学异构异模复习 第十六章 几何证明选讲 课时撬分练16 几何证明选讲 理.doc
2019高考数学异构异模复习 第十六章 几何证明选讲 课时撬分练16几何证明选讲 理1.[2016·枣强中学期末]如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，则△DEF 的边长为________．答案 43解析 设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，∴x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.2．[2016·衡水二中仿真]如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ＝5，DB ＝3，FC ＝2，则BF ＝________.答案103解析 由平行线的性质可得BF FC ＝AE EC ＝AD BD ＝53，所以BF ＝53FC ＝103.3.[2016·枣强中学期中]如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E ，连接AE ，已知ED ＝3，BD ＝6，则线段AE 的长为________．答案 3 3解析 易知∠CBE ＝∠CAE ＝∠ABE ，又∠E ＝∠E ，所以△EAD ∽△EBA ，所以AE EB ＝ED AE，所以AE 2＝EB ·ED ＝27，所以AE ＝3 3.4．[2016·冀州中学猜题]如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.答案 6解析 因为PE ∥BC ，所以∠C ＝∠PED ，所以∠A ＝∠PED ，又∠P 是公共角，所以△PED∽△PAE .则PD PE ＝PE PA，即PE 2＝PA ·PD .由PD ＝2DA ＝2，可得PE 2＝6.∴PE ＝ 6.5．[2016·武邑中学仿真]如图，过圆O 外一点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝40°，则∠PCE ＝________.答案 70°解析 由PE 为切线可得∠PEB ＝∠PAE ，由PC 为角平分线可得∠EPC ＝∠APC .由△PAE 的内角和为180°，得2(∠APC ＋∠BAE )＋40°＝180°，所以∠APC ＋∠BAE ＝70°，故∠PCE ＝∠APC ＋∠BAE ＝70°.6．[2016·衡水中学模拟]如图，已知四边形PQRS 是圆内接四边形，∠PSR ＝90°，过点Q 作PR ，PS 的垂线，垂足分别为H ，K ，HK 与QS 交于点T ，QK 交PR 于点M .求证：(1)QM HM ＝MPMK；(2)QT ＝TS .证明 (1)因为∠QHP ＝∠QKP ，所以Q ，H ，K ，P 都在以QP 为直径的圆上，即Q ，H ，K ，P 四点共圆，由相交弦定理得QM ·MK ＝HM ·MP ，所以QM HM ＝MPMK.(2)因为Q ，H ，K ，P 四点共圆，所以∠HKS ＝∠HQP .因为∠PSR ＝90°，所以PR 为圆的直径，所以∠PQR ＝90°，∠QRH ＝∠HQP .而∠QSP ＝∠QRH ，综上可得∠QSP ＝∠HKS ，所以TS ＝TK .又∠SKQ ＝90°，所以∠SQK ＝∠TKQ ，所以QT ＝TK ，所以QT ＝TS .7．[2016·冀州中学期中]如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过D 点作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ，求证：(1)△ABC ≌△DCB ； (2)DE ·DC ＝AE ·BD .证明 (1)因为四边形ABCD 为等腰梯形，所以AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，又BC ＝BC ，所以△ABC ≌△DCB .(2)因为AD ∥BC ，DE ∥AC ，所以∠EDA ＝∠ACB .又由△ABC ≌△DCB 知∠ACB ＝∠DBC ，所以∠EDA ＝∠DBC .由AD ∥BC 得∠EAD ＝∠ABC ，又∠ABC ＝∠DCB ，所以∠EAD ＝∠DCB .所以△AED ∽△CDB ，所以DE BD ＝AE DC，所以DE ·DC ＝AE ·BD .8．[2016·衡水中学仿真]由⊙O 外一点P 引⊙O 的切线PA ，PB ，过P 引割线PCD 交⊙O 于点C ，D ，OP 与AB 交于点E .求证：∠CEO ＋∠CDO ＝180°.证明如图，连接AO，则AO⊥PA，又AE⊥OP，则PA2＝PE·PO.因为PA2＝PC·PD，所以PE·PO＝PC·PD，从而C，D，O，E四点共圆，则∠CEO＋∠CDO＝180°.9．[2016·枣强中学预测]如图，PA，PB为圆O的切线，AB与OP相交于点K，过点K引任意弦CD，求证：∠OCK＝∠KPD.证明如图，连接AO.由AO⊥PA，AK⊥PO，可得PK·KO＝AK2，又CK·KD＝AK·KB＝AK2，所以CK·KD＝PK·KO，则C，O，D，P四点共圆，从而∠OCK＝∠KPD.10．[2016·冀州中学一轮检测]如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O 的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．解(1)证明：如图所示，连接OP，OM.因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由于圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM ＝90°.11．[2016·武邑中学一轮检测]如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．解(1)证明：因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠ECB.又因为AD ＝AC，所以∠ACB＝∠ADC.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.12．[2016·武邑中学月考]如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB ， 从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，所以△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，可得AC ＝AE .能力组13.[2016·衡水中学热身]如图，已知在▱ABCD 中，O 1，O 2，O 3为对角线BD 上三点， 且BO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3D ，连接AO 1并延长交BC 于点E ，连接EO 3并延长交AD 于F ，则AD ∶FD 等于( )A ．19∶2B ．9∶1C ．8∶1D ．7∶1答案 B解析 在▱ABCD 中，∵BE ∥DF ，BO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3D ，∴DF BE ＝O 3D O 3B ＝13，同理BE AD ＝O 1B O 1D ＝13，∴AD ∶FD ＝9∶1.14．[2016·衡水二中热身]已知圆O 的直径AB ＝4，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D ，若CD ＝3，则AC ＝________.答案 2或2 3解析 因AB 为圆O 的直径， 所以∠ACB ＝90°， 设AD ＝x ，因为CD ⊥AB ，由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即(3)2＝x (4－x )．整理得x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当AD＝1时，得AC＝2；当AD＝3时，得AC＝2 3.15．[2016·武邑中学期末]如图所示，已知D为△ABC的边BC上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2的另一交点为G.(1)求证：A，E，G，F四点共圆；(2)若AG切⊙O2于G，求证：∠AEF＝∠ACG.证明(1)连接GD，∵四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG.又∠BDG＋∠CDG＝180°，∴∠AEG＋∠AFG＝180°.∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF.∵AG切⊙O2于G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.16．[2016·衡水二中预测]如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C 两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：AB AC ＝PA PC； (2)求AD ·AE 的值．解 (1)证明： ∵PA 为圆O 的切线，∴∠PAB ＝∠ACP . ∴又∠P 为公共角， ∴△PAB ∽△PCA ，∴AB AC ＝PA PC.(2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC ， ∴PC ＝20，BC ＝15.又∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.又由(1)得AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝65，AB ＝3 5.连接EC ，则∠CAE ＝∠EAB ，又∠AEC ＝∠ABD ， ∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC， ∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.。
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
高中几何证明选讲课后练习及答案解析
高中几何证明选讲课后练习及答案解析1、[选修4-1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：①BE=EC;②AD·DE=2PB2.证明：①∵PC=2PA，PD=DC，∴PA=PD，△PAD为等腰三角形.连接AB，那么∠PAB=∠DEB=β，∠BCE=∠BAE=α，∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE，∴β+α=β+∠DBE，即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.②∵AD·DE=BD·DC，PA2=PB·PC，PD=DC=PA，BD·DC=(PA-PB)PA=PB·PC-PB·PA=PB·(PC-PA)，PB·PA=PB·2PB=2PB2.2、[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y=2+2sinα(x=2cosα)(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足→(OP)=2→(OM)，点P的轨迹为曲线C2.①求C2的参数方程;②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=3(π)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：①设P(x，y)，那么由条件知M2(y).由于M点在C1上，所以=2+2sinα(y)，即y=4+4sinα(x=4cosα).从而C2的参数方程为y=4+4sinα(x=4cosα)(α为参数).②曲线C1的极坐标方程为=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为=8sinθ.射线θ=3(π)与C1的交点A的极径为1=4s in3(π)，射线θ=3(π)与C2的交点B的极径为2=8sin3(π).所以|AB|=|2-1|=2.3、 [选修4-5：不等式选讲]函数f(x)=|x-m|+|x+6|(m∈R).①当m=5时，求不等式f(x)≤12的解集;②假设不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围.解：①当m=5时，f(x)≤12即|x-5|+|x+6|≤12，当x<-6时，得-2x≤13，即x≥-2(13)，所以-2(13)≤x<-6;当-6≤x≤5时，得11≤12成立，所以-6≤x≤5;当x>5时，得2x≤11，即x≤2(11)，所以5故不等式f(x)≤12的解集为2(11).②f(x)=|x-m|+|x+6|≥|(x-m)-(x+6)|=|m+6|，由题意得|m+6|≥7，那么m+6≥7或m+6≤-7，解得m≥1或m≤-13，故m的取值范围是(-∞，-13]∪[1，+∞).三道题让你快速“吃透”几何选讲，你还在等什么呢?更多数学资讯，尽在数学网。
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高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是()A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数[答案]D[解析]∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为()A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案]C[解析]由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝()A ．3 B.15 C ．32 D ．35 [答案]D[解析]由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45，∴PN ＝35.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为()A ．56 B.562 C.15 D.3102 [答案]B[解析]设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是()A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，20102009) D ．(0，20092010)[答案]A[解析]由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，B (－2009,0)，与y 轴交点为C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009∴y 2＝1，故选A.[点评]圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ，∴OD ＝1，∴y 2＝1.6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A.12 B.22 C.33 D.32[答案]B[解析]∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b2＋c2＝c 2c ＝22.二、填空题7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB＝________.[答案]15[解析]由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案]2[解析]∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案]99°[解析]连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得，∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评]可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案]43[解析](1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ，∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin∠PAC，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°，∴BC ＝PB2－PC2＝82－42＝43.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案]－12[解析]如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sinα2＋α33 ＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析]由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°，又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1，∴cos ∠POD ＝22＋12－PD22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析]连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ.又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC .所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中，r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33.14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析]连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∵BC ＝4，∴OB∠COB ＝60°，∴∠CBO＝C ，又直线l 切⊙O 于∠CBO ＝60°，∴∠DCA ＝∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，∵AD ⊥l，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．[解析](1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PD PO， 由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝22.。
高考数学 16 选修系列：几何证明选讲讲试题解析 学生版 文
高考数学 16 选修系列：几何证明选讲讲试题解析 学生版
文
一、填空题:
1. (2012年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA=∠DBA ，若AD=m ，AC=n ，则
AB=_________.
2．(2012年高考天津卷文科13)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,
32EF =,则线段CD 的长为 .
3．(2012年高考陕西卷文科15) B （几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅=
二、解答题:
4．（2012年高考新课标全国卷文科22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：
F
G D E
A
B C。
高考数学一轮总复习第十六章几何证明选讲课件理新人教B版
第十六章 几何证明选讲
知识清单
1.平行线截割定理 (1)平行线等分线段定理及其推论 (i)定理:如果一组平行线在一条直线上1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. (iii)推论2:经过梯形一腰的 中点 ,且与底边 平行 的直线平分另一腰.
证明 因为AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE为公共角,可知△ABD∽△AEB.
方法2
圆中有关定理(圆幂定理)的应用
1.圆幂定理——切割线定理、相交弦定理、割线定理等,考查常常以证明乘积恒等式的形 式出现.因此,必须抓住以下几点:(1)圆中的比例线段及其应用范围;(2)线段成比例,相似三角形, 圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形;(3)圆幂定理的原理与证明. 例2 (2014课标Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点, AD的延长线交☉O于点E. 证明:(1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.
(2)平行线分线段成比例定理及其推论 (i)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例 . .
(ii)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段 成比例 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 (i)判定定理
a. 两角
对应相等的两个三角形相似. 的两个三角形相似.
.
;90°的圆周角所对的弦是 直径
.
(2)切线的性质及判定定理 (i)切线的性质定理:圆的切线 垂直于 (ii)切线的判定定理: 经过半径的 外端 并且 垂直 于这条半径的 直线 是圆的切线. ,圆心和这一点的连线平分 经过 切点 的半径.
2019年高考数学(理) 第十六章 全章综合训练
全章综合训练刷速度1．=-+i i2121（ ） A ．i5354-- B ．i 5354+- C ．i5453-- D ．i 5453+-2．[江西南昌2018调研]已知复数z 满足(1+i)z=2，则复数z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i3．[广东惠州2018调研]已知a 是实数，i ia +-1是纯虚数，则a=（ ）A ．1 B.-1 C ．2 D ．2-4．[贵州贵阳2018一模]复数311i i ++等于（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．-i5．[甘肃2018联考]设i 是虚数单位，如果复数i ia z +-=2，其实部与虚部互为相反数，那么实数a=（ ） A ．-3 B ．3C ．31-D ．316．[河南豫西南部分示范性高中2018联考]已知i 是虚数单位，i ia -+12(a ∈R)为纯虚数，则a=（ ） A ．1 C ．-1 C ．0 D ．±17．[湖南长沙2018 -模]若复数z 满足2z+z ·z =(2-i)²（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．-1 - 2i B ．-1 -i C ．-1 +2i D ．1-2i8．[河北石家庄2018联考]已知i 是虚数单位，则=+i i12（ ）A ．1B ．22C ．2D ．29．[辽宁凌源2018联考]已知i 为虚数单位，若复数z 满足（1-i ）z=3 -i ，则∣z ∣=（ ）A ．1B ．-1C ．5D ．2或110. [安徽合肥2018质检]若复数z 满足z ²=-4，则∣1+z ∣=（ ） A ．3 B ．3 C ．5 D ．511.[山西太原2018期末]已知i 是虚数单位，复数z 满足i z z=+2，则复数z 在复平面内对应的点是（ ）A ．)2,2(-B ．（-1，1）C ．)21,21(-D ．（1，-1）12．[湖南五十校2018联考]已知i 是虚数单位，复数925i i+的共轭复数在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13.[江西南昌2018零模]已知z=m ²-1+mi 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（-1，1） B ．（-1，0） C ．（-∞，1） D ．(0，1)14.[江西临川一中2018期中]复数z ₁=2 +i ，若复数z ₁，z ₂在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z ₁z ₂=（ ） A. -5B ．5C ．-3 +4iD ．3-4i15.[四川成都2018质检]已知复数z ₁=2 +6i ，z ₂=- 2i.若z ₁，z ₂在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则∣z ∣=（ ） A ．5 B ．5 C.52 D ．17216.[湖北成宁2018联考]若复数z 满足iz i-=+121，则z 的共轭复数是（ ）A ．i2123+ B ．i 2123-C ．i22+- D ．i 2321--17.[广西五校2018联考]下面是关于复数z=2 -i 的四个命题，p ₁：∣z ∣=5;p ₂：z ² =3 -4i;p ₃：z 的共轭复数为-2 +i;p ₄：z 的虚部为-1．其中真命题为（ ） A ．P ₂，p ₃ B ．P ₁，P ₂ C ．P ₂，p ₄ D ．p ₃，p ₄刷真题1．[课标全国Ⅱ文2018·l] i(2+3i)=（ ） A ．3 - 2i B ．3+2i C.-3 -2i D ．-3 +2i2．[课标全国I 理2018·1]设i i iz 211++-=，则∣z ∣=（ ）A ．0B ．21C ．1D ．23．[北京理2018·2]在复平面内，复数i -11的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．[浙江2018·4]复数i -12（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．1+iB ．1-i C.-1 +i D ．-1 -i5．[山东理2017·2]已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z=a+3i ，z ·z =4，则a=（ ）A ．1或-1B ．7或7-C ．3-D ．36．[课标全国I 理2017·3]设有下面四个命题：p ₁：若复数z 满足z 1∈R ，则z ∈R;P ₂：若复数z 满足z²∈R ，则z ∈R ； p ₃：若复数z ₁，z ₂满足z ₁z ₂∈R ，则z ₁=2z；p ₄：若复数Z ∈R ，则2z∈ R ．其中的真命题为（ ） A ．P ₁，p ₃ B ．p ₁，p ₄ C.P ₂，p ₃ D ．P ₂，p ₄7．[课标全国Ⅱ文2017·2](1+i)(2+i)=（ ） A ．1-i B ．1+3i C ．3 +i D ．3+3i8．[课标全国Ⅲ理2016·2]若z=1 +2i ，则=-14z z i（ ）A ．1B ．-1 C.iD ．-i9．[北京理2017·2]若复数（1-i ）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，1） B ．（-∞，-1） C ．(1，+∞) D ．（-1，+∞）10.[课标全国Ⅲ文2017·2]复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11.[课标全国I 理2015·1]设复数z 满足iz z=-+11，则∣z ∣=（ ）A.1 B ．2 C ．3D ．212.[课标全国I 文2017·3]下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A.i(1+1)² B ．i ²（1 -i ） C ．(1+i)² D ．i(1+i)13．[山东文2017·2]已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi =1 +i ，则z ²=（ ） A ．-2i B ．2i C.-2 D ．214.[天津理2018·9]i 是虚数单位，复数=++i i2176______．15．[江苏2018·2]若复数z 满足i ·z =1 +2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______．16．[天津理2017·9]已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i ia +-2为实数，则a 的值为______．17．[江苏2017·2]已知复数z=（1+i ）(1+2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是______．18．[天津理2016·9]已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i)(1-bi)=a ，则b a的值为______.全章综合训练刷速度1．D 【解析】ii i i i i i i 545352441)21)(21(2)21(2121+-=++=+-+=-+，故选D ． 2．B 【解析】由(1+i)z=2知i i i i i z -=-+-=+=1)1)(1()1(212，故z 的虚部为-1．3．A 【解析】设bii a =+-11（b 是实数且b ≠0），则a-i=(1+i)bi=-b+ bi ，所以⎩⎨⎧-=-=,1,b b a 解得a=1．故选A ．4．C 【解析】i ii i i i i i i i i ==-+=-++=-+=++22212)1()1)(1(2)1(11311，故选C ．5．B 【解析】方法一：因为i a a i i i i a i i a z 52512)2)(2()2)((2+--=-+--=+-=，所以由题意，得52512+=-a a ，解得a =3，故选B ．方法二：由题意，设z=b-bi(b ∈R)，则(b-bi)(2+i) =a-i ，即3b - bi =a -i ，所以⎩⎨⎧==,1,3b b a 所以a=3，故选B ．6．D 【解析】2)12(12)1)(1()1)(2(12i a a i i i i a i i a ++-=+-++=-+为纯虚数，故1022±=⇒=-a i a ，故选D ．7．A 【解析】令z=x+yi ，则2z+z ·z =x ²+y ²+2x+2yi=3-4i ，所以⎪⎩⎪⎨⎧-==++.42,3222y x y x 解得x=-1，y=-2，则z=-1 -2i ．8．D 解析，方法一：212)1(212=+=-=+i i i i i ，故选D ．方法二：2112)1(12=+=++=+i ii i i ，故选D ．方法三：2221212==+=+i i i i ，故选D ．9．C 【解析】iii i i i i i z +=+=+-+-=--=2224)1)(1()1)(3(13，所以52122=+=z ，故选C.10．D 【解析】设z =x+yi(x ，y ∈ R)，则(x+yi)²= -4，即x ²-y ²+2xyi =-4,所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.02,422xy y x 解得⎩⎨⎧±==,2,0y x 所以z=±2i,｜1+z ｜=｜1±2i ｜=5,故选D 。
高考数学几何证明选讲专题检测试题(有解析)
2019高考数学几何证明选讲专题检测试题（有解析）成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。
小编给大家准备了几何证明选讲专题检测试题，欢迎参考!一、填空题1.在△ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=13BD，延长AE交BC于点F，则BFFC的值为________.解析如图，过B作BG∥AC交AF的延长线于点G，则BGAD=BEED=12，BFFC=BGAC=BG2AD=14.答案142.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB的长为________.解析∵DE∥BC，EF∥CD，又BC=3，DE=2，DF=1，AFFD=AEEC=ADDB=2.AF=2，AD=3，BD=32，则AB的长为92.答案923.如图所示，直角三角形ABC中，B=90，AB=4，以BC为直径的圆交边AC于点D，AD=2，则C的大小为________. 解析连接BD，∵BC为直径，BDC=90.ABD=BCD，在直角△ABD中，∵AD=2，AB=4，ABD=30，故ABD=30.答案304.如图所示，在△ABC中，C=90，A=60，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________.解析由已知BC=ABsin60=103，由弦切角定理BCD=A=60，所以BD=BCsin60=15，CD=BCcos60=53，由切割线定理CD2=DEBD，所以DE=5.答案55.如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD的长为________.解析设⊙O的半径为r，由CE2=CACB，解得r=3.连接OE，∵Rt△COE∽Rt△CAD，COCA=OEAD，解得AD=245.答案2456.如图，⊙O的直径AB=6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，则PC=________cm.解析连接OC，因为PC为⊙O的切线，所以OCPC.又因为CPA=30，OC=12AB=3 cm，所以在Rt△POC中，PC=OCtanCPA=333=33(cm).答案337. 如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AFAG=AD③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是________.解析∵CF=CE，BF=BD，BC=CE+BD.AB+BC+CA=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE，故结论①正确；连接DF，则FDA=DGA.又∵A，△ADF∽△AGD.ADAG=AFAD.而AD=AE，故结论②正确；容易判断结论③不正确.答案①②8.(2019广东肇庆一模)如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若DB=3，则DC=________.解析因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以BCD+BAD=.又因为BAD+DAE=，所以B CD=DAE.因为DAC与DBC为圆上同一段圆弧所对的角，所以DAC=DBC.又因为AD为CAD的角平分线，所以DAC=DAE.综上DAE=DACDAE=BCDDAC=DBCDCB=DBC.所以△DBC为等腰三角形，则DC=BD=3，故填3.答案39.(2019湖北七市联考)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=23，APB=30，则AE=________.解析因为PA是⊙O的切线，所以OAPA.在Rt△PAO中，APB=30，则AOP=60，AO=APtan30=2，连接AB，则△AOB是等边三角形，过点A作AMBO，重足为M，则AM=3.在Rt△AMD中，AD=3+4=7，又EDAD=BDDC，故ED=377，则AE=7+377=1077.答案1077二、解答题10.如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC 切⊙O于点C，CDAB，垂足为D，且PA= 4，PC=8，求tanACD 和sinP的值.解连接OC，BC，如图.因为PC为⊙O的切线，所以PC2=PAPB.故82=4PB，所以PB=16.所以AB=16-4=12.由条件，得PCA=PBC，又P，所以△PCA∽△PBC.所以ACBC=PCPB.因为AB为⊙O的直径，所以ACB=90.又CDAB，所以ACD=B.所以tanACD=tanB=ACBC=PCPB=816=12.因为PC为⊙O的切线，所以PCO=90.又⊙O的直径AB=12，所以OC=6，PO=10.所以sinP=OCPO=610=35.11.如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CFAB，垂足为点F.已知CAB=15，DCB=50.(1)求EAB的大小；(2)求BCBE+ACAD的值.解(1)因为AB为圆O的直径，故AEB=90，又因为ECA=DCB=50，所以在Rt△AEC中，CAE=40，故EAB=EAC+BAC=55.(2)连接BD.由(1)，知AEC+AFC=180，故A，F，C，E四点共圆，所以BCBE=BF BA，①易知ADB=90，同理可得ACAD=AFAB，②联立①②，知BCBE+ACAD=(BF+AF)AB=AB2=22=4.B级能力提高组1.(2019广州一模)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线PA与圆O交于A ，B两点，APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC=3，PB=2，则PEPD的值为________. 解析由切割线定理可得PC2=PAPBPA=PC2PB=322=92，由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知PCB=PAD，由于PD是APC的角平分线，则CPE=APD，所以△PCE∽△PAD，由相似三角形得PEPD=PCPA=392=329=23.答案232.(2019湖北荆州二模)已知⊙O的半径R=2，P为直径AB延长线上一点，PB=3，割线PDC交⊙O于D，C两点，E为⊙O上一点，且AE︵=AC︵，DE交AB于F，则OF=________.解析如图所示，连接OC，OE，PE，由于AC︵=AE︵，所以AE︵=12CAE︵.因此AOE=12COE，而CDE=12COE，所以AOE=CDE，故EOF=PDF.由于OFE=DFP，因此△OEF∽△DPF，所以OFDF=EFPF.因此OFPF=EFDF，设OF=x，则PF=5-x，所以EFDF=x(5-x)=-x2+5x，由相交弦定理得EFDF=AFBF=(2+x)(2 -x)=-x2+4，所以-x2+5x=-x2+4，解得x=45，故OF=45.答案453.(2019辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G 为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC=BD，求证：AB=ED.证明(1)因为PD=PG，所以PDG=PGD，由于PD为切线，故PDA=DBA，又由于PGD=EGA，故DBA=EGA，所以DBA+BAD=EGA+BAD，从而BDA=PFA.由于AFEP，所以PFA=90，于是BDA=90.故AB是直径.(2)连接BC，DC，如图.由于AB是直径，故BDA=ACB=90.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是DAB=CBA.又因为DCB=DAB，所以DCB=CBA，故DC∥AB.由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
高考专题专题16几何证明选讲-高考数学(理)试题小题部分分项版解析(解析版)
1.【2014高考湖南卷第12题】如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，3AB =，22BC =，则O 的半径等于________.2.【2014高考湖北卷理第15题】如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则=PB .【答案】43.【2014高考广东卷理第15题】如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .4.【2014重庆高考理第14题】过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B 、C ，若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACPBAP ∆∆、||||||PA AB AC PC ∴=,所以86412AB ⨯== 所以答案应填：4.考点：1、切割线定理；2、三角形相似.5.【2014陕西高考理第15B 题】如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =6．【2014天津高考理第6题】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF；②2FB FD FA；③AE CE BE DE；④AF BD AB BF．则所有正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④EFDABC。
高考数学一轮总复习 第十六章 几何证明选讲专用题组 理 新人教B版
第十六章几何证明选讲考点一平行线截割定理与相似三角形8.(2014广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .答案9解析依题意得△CDF∽△AEF,由EB=2AE可知AE∶CD=1∶3.故=9.9.(2012辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明(1)由AC与☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理,∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB.从而=,即AC·BD=AD·AB.(4分)(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.从而=,即AE·BD=AD·AB.(8分)结合(1)的结论,AC=AE.(10分)评析本题考查圆与三角形的性质,考查学生推理论证能力及数形结合思想.考点二圆的初步11.(2015湖北,15,5分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则= .答案解析由切割线定理得PA2=PB·PC,∵BC=3PB,∴PC=4PB,则PA2=4PB2,∴PA=2PB.又∠PAB=∠PCA,∠APB=∠CPA,∴△PAB∽△PCA,则==.12.(2013湖北,15,5分)(选修4—1:几何证明选讲)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则的值为.答案8解析不妨设AD=1,AB=3,则CD2=AD·DB=2,DO=.又CE∶EO=CD2∶DO2,故=8.13.(2013重庆,14,5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=20,过C作△ABC的外接圆的切线CD,BD⊥CD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为.答案 5解析设外接圆的圆心为O,则AB是直径,O为AB的中点.连结OE,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,又由CD与圆相切,得∠BCD=60°.又由BD⊥CD,得∠CBD=30°,所以∠OBD=60°,所以△OBE 是等边三角形,BE=10.又可算得BD=15,则DE=15-10=5.14.(2012广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA= .答案解析连结OA,由圆周角定理得∠AOC=60°,又由切线的性质得OA⊥PA,在Rt△POA中,PA=OA·tan∠AOC=.评析本题考查圆的重要性质及圆的切线的性质,考查推理论证能力.15.(2013天津,13,5分)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.答案解析由切割线定理得EA2=EB·ED,即62=EB·(EB+5),解得EB=4.又易知∠C=∠EAB,由AB=AC 可得∠C=∠ABC,于是∠ABC=∠EAB,∴EA∥BC,又AC∥BD,于是四边形ACBE为平行四边形,∴BC=EA=6,AC=EB=4.又由AC∥BD可得△AFC∽△DFB,于是==,∴=,即CF=×6=.16.(2015陕西,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.解析(1)证明:因为DE为☉O直径,则∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED.又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)由(1)知BD平分∠CBA,则==3,又BC=,从而AB=3.所以AC==4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即☉O直径为3.17.(2015湖南,16(1),6分)选修4—1:几何证明选讲如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.证明(1)如图所示.因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.18.(2014辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.证明(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连结BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,BD=AC,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角. 于是ED为直径,所以ED=AB.。
2019年全国版高考数学必刷题：第十六单元 圆锥曲线的概念与几何性质
【答案】A 3.(2013 年全国Ⅱ卷)设椭圆 C: + =1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, 则 C 的离心率为( ).
A.
B.
C.
D.
【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= m,故离心率
1.点 P(x0,y0)在椭圆内⇔ + <1. 2.点 P(x0,y0)在椭圆上⇔ + =1. 3.点 P(x0,y0)在椭圆外⇔ + >1.
四 离心率 e 与 a、b 的关系
e2= = - =1- ⇒ =
.
五 求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法:根据椭圆的定义,确定 a2,b2 的值,再结合焦点位置写出椭圆方程. 2.待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出 a,b;若焦点 位置不明确,则需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
二、 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0) 2a 2b (±c,0) (0,±c) (0,1)
基础训练 1.【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2.【解析】e= = ,故选 B.
【答案】B 3.【解析】由椭圆的定义知,|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a(F 是椭圆的另一个焦点),∴△ABC 的周长为 4a=4 . 故选 C. 【答案】C
A. B. C.3 D.2
【解析】过点 Q 作 QQ'⊥l 交 l 于点 Q',因为 =4 ,所以|PQ|∶|PF|=3∶4.又焦点 F 到准线 l 的距离 为 4,所以|QF|=|QQ'|=3.故选 C.
2019年高考理数——立体几何(解答)
2019年高考理数——立体几何1.(19全国一理18．（12分）)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．2.(19全国二理17．（12分）)如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．3.(19全国三理19．（12分）)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.4.(19北京理（16）（本小题14分）)如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．如图，AE ⊥平面ABCD，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．6.(19浙江19．（本小题满分15分）)如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．参考答案：1．解：（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(13,2)A M =--u u u u r，1(1,0,2)A N =--u u u u r ，(0,3,0)MN =u u u u r．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ， 所以32040x y z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取3,1,0)=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r ，．n n 所以3020q p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是2315cos ,||25⋅〈〉===⨯‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --的正弦值为105．2．解：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒， 故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴正方向，||DA uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =u u u r ，(1,1,1)CE =-u u u r，1(0,0,2)CC =u u u u r．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）． 于是1cos,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --的正弦值为3．3．解：（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH =3．以H 为坐标原点，HC u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，03CG u u u r =（1，03），AC u u u r=（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n 即30,20.x z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩所以可取n =（3，6，3 又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以3cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ．因此二面角B –CG –A 的大小为30°．4.解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ．又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=u u u r u u u r u u u r．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩令z =1，则1,1y x =-=-． 于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以3cos ,||⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F -AE -P 为锐角，所以其余弦值为33．（Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内． 因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--u u ur ，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由（Ⅱ）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=u u u r n .所以直线AG 在平面AEF 内.5.依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（Ⅰ）证明：依题意，(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r，可得0BF AB ⋅=u u u r u u u r，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--u u u r u u u r u u u r．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =， 可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-u u u ru u u r u u u r n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49． （Ⅲ）解：设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩ 不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ．由题意，有||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87．6.方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E 3EG 3. 由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35．方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，23），B （3，1，0），1(3,3,23)B ，33(,,23)2F ，C (0，2，0)．因此，33(,,23)22EF =u u u r ，(3,1,0)BC =-u u u r ． 由0EF BC ⋅=u u u r u u u r得EF BC ⊥．（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n ，得3030x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 取n (131)=，，，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．7.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.。
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1.
如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( ) A．①② B．③④
C．①②③D．①②④
答案 D
解析由弦切角定知∠FBD＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠DBC.
∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，
∴①正确；
由切割线定知，②正确；
由相交弦定知，AE·ED＝BE·EC，
∴③不正确；
∵△ABF∽△BDF，∴AB
BD
＝
AF
BF
，
∴AF ·BD ＝AB ·BF ，∴④正确．故选D.
2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC
与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积
＝________.
答案 9
解析 ∵EB ＝2AE ，∴AB ＝3AE ，又△DFC ∽△EFA ，
∴S △CDF S △AEF ＝DC 2AE 2＝AB 2AE 2
＝9.
3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .
求证：△ABD ∽△AEB .
证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .
又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，
又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB .
4．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC 交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．
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解(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD ⊥EF.
从而EF ∥BC .
(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．
连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .
由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．
因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.
因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12
MN ＝3，所以OD ＝1. 于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1033
2×32－12×(23)2×32＝1633. 5.
如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：
(1)∠FEB ＝∠CEB ；
(2)EF 2＝AD ·BC .
证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，
从而∠EAB＋∠EBF＝π2
.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π
2
，
从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，
故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.。