2018届苏教版空间向量与立体几何单元测试1

1.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则
(1)·＝________；cos〈，〉＝________；
(2)·＝________.
2.设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－2e1＋4e2＋2e3，则向量a，b的坐标分别是________．
3.已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2)．若a∥b.则λ＝________，μ＝________.
4.在以下命题中，不正确的个数为________．
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C 四点共面；
④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
5.若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，8)，则直线l与平面α的位置关系是________．
6.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
7.已知e1，e2，e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为________．
8.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
9.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N 为AC中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
10.已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．
11.判断下列说法是否正确。

若三条直线两两平行，则这三条直线必共面
12.在平面直角坐标系中，求与A(1，1)关于原点对称的点的坐标。

13.如下图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.
14.在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG⊥BC，PG⊥EG.
15.等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如下图所示)．
(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；
(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．
16.怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小？
17.正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
18.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
19.如下图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.
求证：平面ADE⊥平面ABE.
20.如下图所示，
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得为平面EFB1的法向量.
答案解析
1.【答案】(1)1，(2)1
【解析】(1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴||＝，
||2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
(2)·＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1.
2.【答案】a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2)
【解析】由向量坐标的定义可知
3.【答案】5，
【解析】由2μ－1＝0，得μ＝；由＝，得λ＝5.
4.【答案】4
【解析】①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．
5.【答案】l⊂α或l∥α
【解析】∵a·n＝(－2)×4＋3×0＋8×1＝0，∴a⊥n，∴l⊂α，或l∥α.
6.【答案】－13
【解析】∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
7.【答案】－1－
【解析】d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，又因为d＝e1＋2e2＋3e3，e1，e2，e3不共面，
∴，解得.
8.【答案】
【解析】将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝.
9.【答案】
【解析】＝－＝(＋)－(＋)＝－，
即＝.
10.【答案】45°
【解析】∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
11.【答案】错误
【解析】
12.【答案】（-1，-1）
【解析】
13.【答案】证明：因为H为BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋＋＋
)＝(2＋＋＋)．
因为EF∥AB，CD∥AB，且AB＝2EF，所以2＋＝0，所以＝(＋)＝
＋.
因为与不共线，由共面向量定理知，，，共面．
因为FH⊄平面EDB，所以FH∥平面EDB.
【解析】
14.【答案】(1)方法一如下图，
以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，
C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，
G(1，1，0)，P(0，0，0)，
于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)，
故＝3，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二同方法一，建立空间直角坐标系，
则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，
∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥，∴
令y＝1，得z＝－1， x＝0，即n＝(0，1，－1)．
显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量．
这样n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.
(2)∵＝(1，－1，－1)，＝(1，1，0)，＝(0，－3，3)，
∴·＝1－1＝0，·＝3－3＝0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC.
【解析】
15.【答案】取DE的中点O，取BC的中点G，连结AO，OG，
则AO⊥DE，OG⊥DE.
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，
∴AO⊥平面BCDE，∴AO⊥OG.
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设BC＝4，则DE＝2，AO＝OG＝.
所以A(0，0，)，D(1，0，0)，E(－1，0，0)，B(－2，，0)，
C(2，，0)．
设平面ABE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
∵＝(1，0，)，＝(－1，，0)，
由，得
令y1＝1，得m＝(，1，－1)，
设平面ABC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
∵＝(4，0，0)，＝(2，，－)，
由得
令y2＝1，得n＝(0，1，1)，
∵m·n＝(，1，－1)·(0，1，1)＝0，
∴平面ABC⊥平面ABE.
(2)由(1)得cos〈，m〉＝
＝＝.
∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为.
【解析】
16.【答案】(1)基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；
(2)坐标法：建立适当的空间直角坐标系，求得相关两个半平面的法向量，再借助平面的法向量求解．
【解析】
17.【答案】(1)证明＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝||.∴cos〈，〉＝＝，∴||＝2，即侧棱长为2.
【解析】
18.【答案】证明
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
B1(1，1，1)，C(0，1，0)，
O，C1(0，1，1)，
＝(－1，0，－1)，
＝，
＝.
设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则得
令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1，1，－1)．
又·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
∴⊥n，又B1C⊄平面ODC1，
∴B1C∥平面ODC1.
【解析】
19.【答案】取BE的中点O，连接OC，又AB⊥平面BCE，∴以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.如下图所示．
则由已知条件有C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)．设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，则n·＝(a，b，c)·(0，2，2)＝2b＋2c＝0，n·=(a，b，c)·(－1，，1)=－a＋b＋c=0.令b＝1，则a=0，c=－，∴n＝(0，1，－)，又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE∴AB⊥OC，∵BE⊥OC，AB∩BE于点B，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取为m＝(1，0，0)．∵n·m＝(0，1，－)·(1，0，0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.
【解析】
20.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，M(1，1，m)．连结AC，
则＝(－1，1，0)．而E，F分别为AB，BC的中点，
所以＝＝.
又因为＝，
＝(1，1，m－1)，
要使⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，
即·＝0，且·＝0.
所以解得m＝.
故当M为B1B的中点时，就能满足⊥平面EFB1.
此时为平面EFB1的法向量．
【解析】。