专升本试题及解答(四川理工2014A)

2014年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（A 卷）

一、选择题（每题3分，共15分）

1、函数)12

arccos()(-=x x f 的定义域为（ A ）

（A ）]4,0[ （B ）),(+∞-∞ （C ）)4,0( （D ）Φ 【知识点】反三角函数的定义域。 解析：40112

1≤≤⇒≤-≤

-x x

。 2、下列求导中正确的是（ B ）

（A ）e e cos )(sin =' （B ）0)(sin ='e

（C ）x x e e cos )(sin =' （D ）x

x

x

e e e sin )(sin =' 【知识点】基本初等函数的导数公式（常数的导数为0）。 3、无穷级数

∑∞

=+-1

3

1

)1(n n

n 满足（ B ） （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 【知识点】交错级数的审敛法、条件收敛的定义。 解析：由莱布尼茨判别法知，

∑∞

=+-1

3

1

)1(n n

n 收敛； 取n v n 1

=，由比较法的极限形式知，∑∑∞

=∞=+=113

1n n n n u 发散，故原级数条件收敛。

4、将二重积分⎰

⎰-2

20

2

1

),(x x dy y x f dx 交换积分次序正确的是（ C ）

（A ）⎰

⎰-2

20

2

1

),(x x dx y x f dy （B ）⎰

⎰-2

201

),(y y dx y x f dy （C ）

⎰

⎰-+2

111

1

),(y dx y x f dy （D ）⎰

⎰-+2

111

21

),(y dx y x f dy

【知识点】交换二次积分次序。

解析：新积分区域2

111;10:y x y D -+≤≤≤≤。 5、设

c x dx x f +=⎰

2sec )(，则=)(x f （ B ）

（A ）x tan （B ）x x tan sec 22

（C ）x sec 2 （D ）x x tan sec 2 【知识点】微分与积分的互逆性。x x x tan sec )(sec ='。

二、填空题：（每题3分，共18分）

1、极限=--→11lim 451x x x 。【4

5

】

【知识点】罗必达法则。

2、设)(x f 为可导函数，且2)

31()31(lim 000=--+→h

h x f h x f h ，则=')(0

x f 。【3】 【知识点】导数的定义。

解析：h

h x f h x f h )

31

()31(lim

000--+→ )(3

2])3

1(3)

()31

(313)()31([lim 000000x f h x f h x f h x f h x f h '=-⨯--+⨯-+=→。

于是，

2)(3

2

0='x f ，即3)(0='x f 。 3、微分方程096=+'+''y y y 的通解 。【x

e x c c 321)(-+】

【知识点】二阶常系数线性齐次微分方程的通解。

解析：0962

=++r r ，即3r =-，故通解x

e

x c c y 321)(-+=。

4、函数)(22y x f +的全微分为 。【2

2

22)

(y

x ydy xdx y x f +++'】

【知识点】抽象函数的全微分：dy f dx f df y x '+'=。

5、级数∑∞

=-+-1

2214)1(n n

n x n n 的收敛域为 。【]1,1[-】

【知识点】幂级数的收敛半径。

解析：令t x =2

，则∑∞

=-+-12

14

)1(n n n t n n 的收敛半径114

)1(4lim 22=+++⨯+=∞→n n n n R n 于是12

当1±=x 时，级数∑∞

=-+-1

214)1(n n n n

绝对收敛，故原级数的收敛域为]1,1[-。

6、与向量k j i 22++=α反向的单位向量为 。【k i i 3

23231---】 【知识点】单位向量的定义。

解析：32212

2

2

=++=α，反向的单位向量为：k i i 3

23231---。

三、解答题（每小题7分，共63分）

1、设⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-0

,0

,1)(2x xe x x x f x ，求⎰--22

)1(dx x f 。

【知识点】定积分的换元法、分部积分法、区间可加性。

解析：令1-=x t ，则dx dt =，

原式1

00333

3

()[]124

4

x x x f t dt xe dx xe e e π

π

------=

=+=--+

=--+

⎰

⎰⎰。

2、求曲线t e x t

cos =，t e y t

sin =，t z 3=对应于4

π=

t 的切线方程。

【知识点】空间曲线的切线方程。

解析：)sin (cos t t e x t

-='，)sin (cos t t e y t

+='，3='z

对应4

π

=

t 曲线上点的切线的方向向量为)3,2,0(4πe S =

，

对应4

π

=t 曲线上点的坐标为)43,22,22(44ππ

πe e ， 所求切线方程为：⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎨⎧-=-=34322222444

ππππ

z e e y e x 。

3、计算极限x

xdx

x

x x cos 1tan lim

2

-⎰→。

【知识点】罗必达法则、变上限函数的导数。

解析：101sin tan 2lim sin tan lim sin tan 2tan lim cos 1tan lim

2

00200

2

=-=-=-=-→→→→⎰x

x x x x x x x x x xdx

x x x x

x x 。 4、设)(x f y =由方程03arctan 2

=++xy x y e

所确定，求dy 。

【知识点】隐函数的微分法（微分的形式不变性）。 解析：两边求微分：03ln 33ln 311

22

2

=++++

dy x dx y dy y

dx xe xy xy x ， 所以，2

2

23ln 3

13ln 31z xy xy

xe y dy dx x y

+=-++。

5、设D 是由9

2

2

2

π=

+y x 和2

22π=+y x 所围成区域，求

σd y

x y x D

⎰⎰

++2

2

2

2sin 。