2020年高考数学二轮提升专题训练考点14 基本不等式及其应用(1)(附答案)
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练:不等式、线性规划含解析
8.已知变量x,y满足约束条件 若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,1]D.[-1,1)
答案:C
解析:设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=- x+ ,
18.已知存在实数x,y满足约束条件 则R的最小值是.
答案:2
解析:根据前三个约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3= ,则 的最小值为.
答案:3
解析:由2x-3= ,得x+y=3,故 (x+y) (5+4)=3,当且仅当 (x,y∈(0,+∞))时等号成立.
17.若函数f(x)= lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.
答案:-2
解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由 >0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x- 在定义域内恒成立,而-x- <-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.
A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}
新高考数学复习考点知识提升专题训练12---基本不等式的应用
新高考数学复习考点知识提升专题训练(十二) 基本不等式的应用(一)基础落实1.下列等式中最小值为4的是( ) A .y =x +4xB .y =2t +1tC .y =4t +1t(t >0)D .y =t +1t解析:选C A 中x =-1时,y =-5<4;B 中t =-1时,y =-3<4;C 中y =4t +1t ≥24t ·1t=4,当且仅当t =12时,等号成立;D 中t =-1时,y =-2<4.2.已知0<x <1,则x (3-3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析:选B 由x (3-3x )=13×3x (3-3x )≤13×94=34,当且仅当3x =3-3x ,即x =12时取等号.3.函数y =3x 2+6x 2+1的最小值是( ) A .32-3 B .3 C .62 D .62-3 解析:选D y =3(x 2+1)+6x 2+1-3≥23(x 2+1)·6x 2+1-3=218-3=62-3,当且仅当x 2=2-1时等号成立,故选D.4.(多选)设y =x +1x -2,则( )A .当x >0时,y 有最小值0B .当x >0时,y 有最大值0C .当x <0时,y 有最大值-4D .当x <0时,y 有最小值-4解析:选AC 当x >0时,y =x +1x -2≥2x ·1x -2=2-2=0,当且仅当x =1x,即x =1时,等号成立,故A 正确,B 错误;当x <0时,y =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤-x +1-x -2≤-2-2=-4,当且仅当-x =1-x,即x =-1时,等号成立,故C 正确,D 错误.故选A 、C.5.已知x >0,y >0,且x +y =8,则(1+x )(1+y )的最大值为( ) A .16 B .25 C .9D .36解析:选B (1+x )(1+y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1+x )+(1+y )22=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2+(x +y )22=⎝ ⎛⎭⎪⎫2+822=25,当且仅当1+x =1+y ,即x =y =4时,等号成立. 6.如果a >0,那么a +1a +2的最小值是________.解析:因为a >0,所以a +1a +2≥2a ·1a+2=2+2=4,当且仅当a =1时等号成立. 答案:47.若正数m ,n 满足2m +n =1,则1m +1n的最小值为________.解析:∵2m +n =1,∴1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n (2m +n )=3+2m n +nm ≥3+22,当且仅当n =2m ,即m =1-22,n =2-1时,等号成立,即最小值为3+2 2. 答案:3+2 28.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为y =-x 2+18x -25(x ∈N *),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.解析:每台机器运转x 年的年平均利润为y x =18-⎝⎛⎭⎫x +25x ,且x >0,故yx≤18-225=8,当且仅当x =5时,等号成立,所以,当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5 89.(1)已知x <3,求4x -3+x 的最大值;(2)已知x ,y 是正实数,且x +y =4,求1x +3y 的最小值.解:(1)∵x <3,∴x -3<0, ∴4x -3+x =4x -3+(x -3)+3 =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤43-x +(3-x )+3≤-243-x·(3-x )+3 =-1,当且仅当43-x =3-x ,即x =1时,等号成立,∴4x -3+x 的最大值为-1. (2)∵x ,y 是正实数,x +y =4,∴1x +3y =⎝⎛⎭⎫1x +3y ·x +y 4=14⎝⎛⎭⎫4+y x +3x y ≥1+234=1+32,当且仅当y x =3x y ,即x =2(3-1),y =2(3-3)时等号成立.故1x +3y 的最小值为1+32.10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目,准备购置一块1 800平方米的矩形地块(如图所示),中间挖三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,池塘所占面积为S 平方米,其中a ∶b =1∶2.(1)试用x ,y 表示S ;(2)若要使S 最大,则x ,y 的值分别为多少?解:(1)由题意得,xy =1 800,b =2a , 则y =a +b +6=3a +6,S =a (x -4)+b (x -6)=a (x -4)+2a (x -6) =(3x -16)a =(3x -16)×y -63=xy -6x -163y +32=1 832-6x -163y ,其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知,6<x <300,6<y <300,xy =1 800,6x +163y ≥26x ·163y =26×16×600=480,当且仅当6x =163y 时等号成立,∴S =1 832-6x -163y ≤1 832-480=1 352,此时9x =8y ,xy =1 800,解得x =40,y =45,即x 为40,y 为45.(二)综合应用1.(多选)一个矩形的周长为l ,面积为S ,则下列四组数对中,可作为数对(S ,l )的有( ) A .(1,4) B .(6,8) C .(7,12)D.⎝⎛⎭⎫3,12 解析:选AC 设矩形的长和宽分别为x ,y ,则x +y =12l ,S =xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y 22知,S ≤l 216,故A 、C 成立.2.已知a >0,b >0,则1a +1b +2ab 的最小值是( )A .2B .2 2C .4D .5解析:选C1a +1b+2ab ≥21a ·1b+2ab ≥41ab·ab =4,当且仅当1a =1b 且1ab=ab ,即a =b =1时取等号.3.已知x >-1,则(x +10)(x +2)x +1的最小值为________.解析:(x +10)(x +2)x +1=(x +1+9)(x +1+1)x +1=(x +1)2+10(x +1)+9x +1=(x +1)+9x +1+10,∵x >-1,∴x +1>0,∴(x +1)+9x +1+10≥29+10=16,当且仅当x +1=9x +1,即x =2时,等号成立.答案:164.若a >0,b >0,且a 2+b 22=1,求a 1+b 2的最大值. 解:∵a >0,b >0,a 2+b 22=1, ∴a 1+b 2=a 2(1+b 2)=2a 2·1+b 22=2a 2·1+b 22≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+12+b 2222 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1222=324,当且仅当正数a ,b 满足a 2=1+b 22且a 2+b 22=1,即a =32,b =22时等号成立.∴a 1+b 2的最大值为324.(三)创新发展1.若不等式ax 2+1x 2+1≥2-3a 3(a >0)恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:原不等式可转化为a (x 2+1)+1x 2+1≥23,又a >0,则a (x 2+1)+1x 2+1≥2a (x 2+1)·1x 2+1=2a ,当且仅当a (x 2+1)=1x 2+1,即a =1(x 2+1)2时,等号成立,则根据恒成立的意义可知2a ≥23,解得a ≥19.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥192.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,设铁栅长为x 米,一堵砖墙长为y 米.(1)写出x 与y 的关系式;(2)求出仓库面积S 的最大允许值.为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解:(1)由于铁栅长为x 米,一堵砖墙长为y 米,由题意可得40x +2×45y +20xy =3 200,即4x +9y +2xy =320,解得y =320-4x2x +9,由于x >0且y >0,可得0<x <80,所以,x 与y 的关系式为y =320-4x2x +9(0<x <80).(2)S =xy =x ·320-4x2x +9=x ·338-2(2x +9)2x +9=x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3382x +9-2=338x 2x +9-2x =169(2x +9)-169×92x +9-2x =169-2x -169×92x +9=178-(2x +9)-169×92x +9=178-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x +9)+169×92x +9≤178-2(2x +9)×169×92x +9=100,当且仅当2x +9=169×92x +9,即⎩⎨⎧x =15,y =203时,等号成立,因此,仓库面积S 的最大允许值是100平方米,此时正面铁栅长应设计为15米.。
【高考试卷】江苏专版2020届高三数学备考冲刺140分问题12利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题含解
2020年高考冲刺试卷芳草香出品问题12利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一.下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考.二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.(5)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(6)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.三、知识拓展1.(1)若R b a ∈,,则;(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”). 2.(1)若00a ,b >>,则ab b a ≥+2;(2)若00a ,b >>,则(当且仅当b a =时取“=”); (3)若00a ,b >>,则(当且仅当b a =时取“=”). 3.若0x >,则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”);若0x ≠,则12x x +≥,即12x x +≥或12x x +≤-(当且仅当b a =时取“=”). 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”);若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a b b a +≥或2a b b a+≤-(当且仅当b a =时取“=”).6.若R b a ∈,,则(当且仅当b a =时取“=”).7.一个重要的不等式链:.8.9.函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示:(2)函数性质:①值域:;②单调递增区间:;单调递减区间:.10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”;(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”;(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.四、题型分析(一) 利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件:“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本.因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用.主要有两种类型:一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式.。
2020年高考数学二轮重难点复习:基本不等式的应用附答案详解
2020年高考数学二轮重难点复习:基本不等式的应用1.1 2020年高考定位高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查,构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融会贯通,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生的数学素质及创新意识.1.2应考策略掌握高考考查基本不等式的常见题型,主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值,或积的最大值,或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题;二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等;三是利用基本不等式构造不等式;四是将一个实际问题构造成函数模型,利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时,要满足的三个条件,即一正,二定,三相等,而且求解时要逐一检验.1.3知识解读从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的;其次,反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系;再次,基本不等式有很好的几何意义,用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此,基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.从知识的作用角度看.首先,由基本不等式可以推出许多重要的不等式,例如:当a>0,b>0时,有等;其次,基本不等式是研究其他不等式的重要基础;再次,证明基本不等式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此,基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养,有利于学生对数学知识的整合,如:几何与代数的整合,信息技术与数学的整合等.1.4常用变式两边同加.两边同除以a,.两边同除以b,.两边同除以ab,.用-a代替a,.用代替a,b,.1.5应用方式“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境,观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系,之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题,即直接规范正确使用,间接变形合理使用,构造关系变式使用.利用基本不等式时,要注意“正、定、等”三要素,正,即x,y都是正数;定,即不等式另一边为定值;等,即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式时,要注意“积定和最大,和定积最小”这一口诀,并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意,一般不要出现两次不等号,若出现,则要看两次等号成立的条件是否同时成立.2问题精解2.1利用基本不等式求最值要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值;构造基本不等式满足的条件求最值.2.1.1运用换元变换,简化条件关系例1求函数的最小值.2.1.2选择消元变形,构造数量关系例2若正数a,b满足,求的最小值,并求此时a,b的值.2.1.3分析最值类型,转化结构关系例3设x,y为实数,若,则2x+y的最大值是.2.2基本不等式在实际问题中的应用要点:构造函数模型,利用基本不等式求实际问题中的最值问题.例4:如图,有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设.(I)用t表示PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值.(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)?2.3基本不等式与其他知识的综合应用要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合;(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用.例5已知函数.(I)判断f(x)在区间(0,+∞)内的增减性,并证明你的结论;(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0;(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0,+∞)内恒成立,求a的取值范围.3两点说明3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到。
基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)
(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0.(2)等号成立的条件:当且仅当a =b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R);(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22(a ,b ∈R);(4)⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b 22(a ,b ∈R);(5)2ab a +b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22(a >0,b >0).知识点三算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.知识点四利用基本不等式求最值问题已知x >0,y >0,则(1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小).(2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 24(简记:和定积最大).【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】(江西临川一中2019届模拟)已知x <54,则f (x )=4x -2+14x -5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x <54,所以5-4x >0, 则f (x )=4x -2+14x -5=-⎝⎛⎭⎫5-4x +15-4x +3≤-2+3=1.当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时,取等号. 故f (x )=4x -2+14x -5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);(2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;(4)利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值.【变式1】(山东潍坊一中2019届模拟)已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________.【答案】6【解析】由已知得x +3y =9-xy ,因为x >0,y >0,所以x +3y ≥23xy ,所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x +3y 22,当且仅当x =3y ,即x =3,y =1时取等号,即(x +3y )2+12(x +3y )-108≥0. 令x +3y =t ,则t >0且t 2+12t -108≥0,得t ≥6,即x +3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.,最后利用基本不等式求最值.考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业,李明自主创业,李明自主创业,在网上经营一家水果店,在网上经营一家水果店,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为__________.【答案】①130 ;②15.【解析】(1)x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付60+80-10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元,所以x 的最大值为15。
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1.基本不等式若a>0,,b>0,则a +b 2≥ab ,当且仅当时取“=”.这一定理叙述为:两个正数的算术平均数它们的几何平均数.注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:(1)各项或各因式均正;(一正)(2)和或积为定值;(二定)(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等)2.常用不等式(1)a 2+b 2≥ab 2(a ,b ∈R ).2a b +()0,>b a 注:不等式a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形:ab≤(2b a +)2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ,b ∈R ). (4)b a +a b ≥2(a ,b 同号且不为0). (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2+b 22(a ,b ∈R ). (6)ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥;(),,0a b c>3.利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2+b2≥.(2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥22a·2b=22a+b=42,当且仅当a=b=32时取等号,故选B.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤12.当且仅当a=1,b=12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()A.a<v<abB.v=abC.ab<v<a+b2 D.v=a+b2解:设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b,∴v=2ssa+sb=2aba+b<2ab2ab=ab.又v -a =2ab a +b -a =ab -a 2a +b >a 2-a 2a +b=0,∴v >a.故选A. (2014·上海)若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+2y 2的最小值为________.解:由xy =1得x 2+2y 2=x 2+2x 2≥22,当且仅当x =±42时等号成立.故填22.点(m ,n )在直线x +y =1位于第一象限内的图象上运动,则log 2m +log 2n 的最大值是________.解:由条件知,m >0,n >0,m +n =1,所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m +n 22=14, 当且仅当m =n =12时取等号,∴log 2m +log 2n =log 2mn ≤log 214=-2,故填-2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y =(x >-1)的值域.解:∵x >-1,∴x +1>0,令m =x +1,则m >0,且y ==m ++5≥2+5=9,当且仅当m =2时取等号,故y min =9.又当m →+∞或m →0时,y →+∞,故原函数的值域是[9,+∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x +≥2(x ≠k π,k ∈Z )C.x 2+1≥2||x (x ∈R )D.1x 2+1>1(x ∈R ) 解:A 中,x 2+14≥x (x >0),当x =12时,x 2+14=x.B 中,sin x +1sin x ≥2(sin x ∈(0,1]);sin x+1sin x≤-2(sin x∈[-1,0)).C中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R).D中,1x2+1∈(0,1](x∈R).故C一定成立,故选C.点拨:这里(1)是形如f(x)=ax2+bx+cx+d的最值问题,只要分母x+d>0,都可以将f(x)转化为f(x)=a(x+d)+ex+d+h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t>0,则函数f(t)=t2-4t+1t的最小值为.解:∵t>0,∴f(t)=t2-4t+1t=t+1t-4≥-2,当且仅当t=1时,f(t)min=-2,故填-2.(2)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(Ⅰ)xy的最小值;(Ⅱ)x+y的最小值.解:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=,∵x>0,∴y>2,则x+y=y+=(y-2)++10≥18,当且仅当y-2=,即y=6,x=12时等号成立.解法二:由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当y=6,x=12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有()A.2∈M,0∈MB.2∉M,0∉MC.2∈M,0∉MD.2∉M,0∈M解法一:求出不等式的解集:(1+k2)x≤k4+4⇒x≤=(k2+1)+-2⇒x≤=2-2(当且仅当k2=-1时取等号).解法二(代入法):将x=2,x=0分别代入不等式中,判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨:一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题:(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;(3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min;(4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.解:由条件知m(e x+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立.令t=e x(x>0),则t>1,且m≤-t-1t2-t+1=-1t-1+1t-1+1对任意t>1成立.∵t-1+1t-1+1≥2(t-1)·1t-1+1=3,∴-1t -1+1t -1+1≥-13,当且仅当t =2,即x =ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位:元),修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位:元).(1)将y 表示为x 的函数;(2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m ,则y =45x +180(x -2)+180·2a =225x +360a -360.由已知xa =360,得a =360x ,所以y =225x +3602x -360(x ≥2).(2)∵x ≥0,∴225x +3602x ≥2225×3602=10800,∴y =225x +3602x -360≥10440,当且仅当225x =3602x ,即x =24时等号成立.答:当x =24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔排出,设箱体的长度为am,高度为b m,已知排出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2,问a,b各为多少m时,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔面积忽略不计).解法一:设y为排出的水中杂质的质量分数,根据题意可知:y=kab,其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小,只需ab最大.由题设得:4b+2ab+2a≤60(a>0,b>0),即a+2b≤30-ab(a>0,b>0).∵a+2b≥22ab,∴22·ab+ab≤30,得0<ab≤32.当且仅当a=2b时取“=”号,ab最大值为18,此时得a=6,b=3.故当a=6 m,b=3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二:同解法一得b≤30-aa+2,代入y=kab求解.1.若a>1,则a+的最小值是()A.2B.aC.3D.解:∵a>1,∴a+=a-1++1≥2+1=2+1=3,当a=2时等号成立.故选C.2.设a,b∈R,a≠b,且a+b=2,则下列各式正确的是()A.ab<1<a2+b22 B.ab<1≤a2+b22 C.1<ab<a2+b22 D.ab≤a2+b22≤1解:运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22⇒ab ≤1以及(a +b )2≤2(a 2+b 2)⇒2≤a 2+b 2(由于a ≠b ,所以不能取等号)得,ab <1<a 2+b 22,故选A.3.函数f (x )=在(-∞,2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解:当x <2时,2-x >0,因此f (x )==+(2-x )≥2·=2,当且仅当=2-x 时上式取等号.而此方程有解x =1∈(-∞,2),因此f (x )在(-∞,2)上的最小值为2,故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方M20元,侧面造价是每平方M10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解:假设底面的长、宽分别为x m , m ,由条件知该容器的最低总造价为y =80+20x +≥160,当且仅当底面边长x =2时,总造价最低,且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ,b ∈R ,则b a +a b ≥2b a ·ab =2B.若x ,y 都是正数,则lg x +lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0,则x +4x ≥-2x ·4x =-4D.若x ≤0,则2x +2-x ≥22x ·2-x =2解:对于A ,a 与b 可能异号,A 错;对于B ,lg x 与lg y 可能是负数,B 错;对于C ,应是x +4x =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-x )+4-x ≤-2(-x )·4-x=-4,C 错;对于D ,若x ≤0,则2x +2-x ≥22x ·2-x =2成立(x =0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a +4b )=log 2,则a +b 的最小值是( )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4解:因为log4(3a+4b)=log2,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且即a>0,b>0,所以+=1(a>0,b>0),a+b=(a+b)=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号.故选D.7.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.解:因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),所以有=≤=,即的最大值为,故填a≥.8.()设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m +3=0交于点P(x,y),则|P A|·|PB|的最大值是________.解:易知定点A(0,0),B(1,3).且无论m取何值,两直线垂直.所以无论P与A,B重合与否,均有|P A|2+|PB|2=|AB|2=10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2+|PB|2)=5.当且仅当|P A|=|PB|=5时,等号成立.故填5.9.(1)已知0<x<,求x(4-3x)的最大值;(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值.解:(1)已知0<x<,∴0<3x<4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤=,当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立.∴当x=时,x(4-3x)取最大值为.(2)已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,所以x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4.当且仅当即x=,y=时“=”成立.∴当x=,y=时,2x+4y取最小值为4.10.已知a>0,b>0,且2a+b=1,求S=2-4a2-b2的最大值.解:∵a>0,b>0,2a+b=1,∴4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab.且1=2a+b≥2,即≤,ab≤,∴S=2-4a2-b2=2-(1-4ab)=2+4ab-1≤.当且仅当a=,b=时,等号成立.11.如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S,则S=xy.解法一:由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤,即S≤.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使每间虎笼面积最大.解法二:由2x+3y=18,得x=9-y.∵x>0,∴0<y<6.S=xy=y=(6-y)y.∵0<y<6,∴6-y>0.∴S≤=.当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.解法一:∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长度最小.解法二:由xy=24,得x=.∴l=4x+6y=+6y=6≥6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
高三数学基本不等式试题答案及解析
高三数学基本不等式试题答案及解析1.若且(I)求的最小值;(II)是否存在,使得?并说明理由.【答案】(1)最小值为;(2)不存在a,b,使得.【解析】(1)根据题意由基本不等式可得:,得,且当时等号成立,则可得:,且当时等号成立.所以的最小值为;(2)由(1)知,,而事实上,从而不存在a,b,使得.试题解析:(1)由,得,且当时等号成立.故,且当时等号成立.所以的最小值为.(2)由(1)知,.由于,从而不存在a,b,使得.【考点】1.基本不等式的应用;2.代数式的处理2.已知点A(m,n)在直线x+2y-1=0上,则2m+4n的最小值为________.【答案】2【解析】因为点A(m,n)在直线x+2y-1=0上,所以有m+2n=1;2m+4n=2m+22n≥2=2=2,当且仅当m=2n时“=”成立.3.已知,且,成等比数列,则xy( )A.有最大值e B.有最大值C.有最小值e D.有最小值【答案】C【解析】解:因为,所以又,成等比数列,所以(当且仅当即时等号成立)所以,故选C.【考点】1、基本不等式的应用;2、对数函数的性质.4.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最小值时,x+2y﹣z的最大值为()A.0B.C.2D.【答案】C【解析】∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z为正实数,∴=+﹣3≥2﹣3=1(当且仅当x=2y时取“=”),即x=2y(y>0),∴x+2y﹣z=2y+2y﹣(x2﹣3xy+4y2)=4y﹣2y2=﹣2(y﹣1)2+2≤2.∴x+2y﹣z的最大值为2.故选C.5.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,2]B.[﹣2,0]C.[﹣2,+∞)D.(﹣∞,﹣2]【答案】D【解析】∵1=2x+2y≥2•(2x2y),变形为2x+y≤,即x+y≤﹣2,当且仅当x=y时取等号.则x+y的取值范围是(﹣∞,﹣2].故选D.6.设是半径为的球面上的四个不同点,且满足,,,用分别表示△、△、△的面积,则的最大值是 .【答案】2【解析】设则有即的最大值为2.【考点】基本不等式7.若(其中,),则的最小值等于.【答案】.【解析】,因此的最小值等于.【考点】基本不等式8.已知正数满足,则的最小值为.【答案】9【解析】由,得,当且仅当,即,也即时等号成立,故最小值是9.【考点】基本不等式.9.若正实数满足,且恒成立,则的最大值为.【答案】1【解析】,恒成立,那么,即,所以的最大值为1.【考点】基本不等式求最值10.已知,且,则的最小值是.【答案】【解析】∵,∴==≥=,当且仅当=取等号,故最小值为.【考点】1.利用基本不等式求最值;2.转化与化归思想.11.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6【答案】C【解析】因为x>0,y>0,x+3y=5xy,所以+=1,所以(+)(3x+4y)=++++≥+2×=5,当且仅当=时,等号成立,所以选C.12.设,,若,则的最小值为A.B.6C.D.【答案】A【解析】因为,,,所以,;所以,当且仅当时,“=”成立,故答案为A.【考点】基本不等式13.在平面直角坐标系xoy中,过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是____【答案】【解析】因为过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点,则线段PQ长,由对称性只要研究部分,设,所以,所以当且仅当时取等号.所以的最小值为.故填.【考点】1.直线与双曲线的关系.2.两点间的距离.3.基本不等式的应用.14.在实数集中定义一种运算“”,对任意,为唯一确定的实数,且具有性质:(1)对任意,;(2)对任意,.则函数的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意可得,当且仅当时“=”成立,所以函数的最小值为,选.【考点】基本不等式,新定义问题.15.已知函数f(x)=.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;(2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.【答案】(1)k=-(2)【解析】(1)f(x)>k⇔kx2-2x+6k<0.由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2,由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=,即k=-.(2)∵x>0,f(x)==≤=.当且仅当x=时取等号,由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,故t≥.即t的取值范围是.16.(-6≤a≤3)的最大值为 ().A.9B.C.3D.【答案】B【解析】由于-6≤a≤3,所以=≤,当且仅当a=-时等号成立.17.若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2+8x+2y+1=0,则+的最小值为________.【答案】16【解析】直线平分圆,∴直线过圆心,又圆心坐标为(-4,-1),∴-4a-b+1=0,∴4a+b=1,∴+=(4a+b) =4+++4≥16,当且仅当b=4a,即a=,b=时等号成立,∴+的最小值为16.18.在直角坐标系中,定义两点之间的“直角距离”为,现给出四个命题:①已知,则为定值;②用表示两点间的“直线距离”,那么;③已知为直线上任一点,为坐标原点,则的最小值为;④已知三点不共线,则必有.A.②③B.①④C.①②D.①②④【答案】C【解析】①;②【考点】1.基本不等式;2.三角函数的性质.19.设均为正数,且证明:(1);(2).【答案】(1)证明:见解析;(2)证明:见解析.【解析】(1)利用基本不等式,得到,,,利用,首先得到,得证;(2)为应用,结合求证式子的左端,应用基本不等式得到,,,同向不等式两边分别相加,即得证.试题解析:(1),,, 2分所以 4分所以 5分(2),, 7分10分【考点】基本不等式,不等式证明方法.20.已知,,则的最小值为____________.【答案】【解析】由得,当且仅当时取等号;两边平方得,,当且仅当时取等号.【考点】基本不等式求最值.21.已知函数的定义域为,则实数的取值范为 .【答案】【解析】由函数定义域可知为正数,根据均值不等式,恒成立即可.【考点】均值不等式求最值.22.在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且.(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆:+=1上;(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为,求证:直线MN过定点;并求△GMN面积的最大值.【答案】详见解析;直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.【解析】先计算出E、R、G、R′各点坐标,得出直线ER与GR′的方程,解得其交点坐标代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况;再讨论斜率存在时,用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立,用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1,又当b=1时,直线GM与直线GN的斜率之积为0,所以舍去.从而证明出MN过定点(0,-3).最后算出点到直线的距离及MN的距离,得出△GMN面积是一个关于的代数式,由及知:,用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.试题解析:(Ⅰ)∵,∴, 1分又则直线的方程为① 2分又则直线的方程为②由①②得∵∴直线与的交点在椭圆上 4分(Ⅱ)①当直线的斜率不存在时,设不妨取∴ ,不合题意 5分②当直线的斜率存在时,设联立方程得则7分又即将代入上式得解得或(舍)∴直线过定点 10分∴,点到直线的距离为∴由及知:,令即∴当且仅当时, 13分【考点】1.直线的方程;2.解析几何;3.基本不等式.23.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A.B.2C.3D.4【答案】C【解析】原点到直线的距离,,在直线的方程中,令可得,即直线与轴交于点,令可得,即直线与轴交于点,,当且仅当时上式取等号,由于,故当时,面积取最小值.【考点】原点到直线的距离,,在直线的方程中,令可得,即直线与轴交于点,令可得,即直线与轴交于点,,当且仅当时上式取等号,由于,故当时,面积取最小值.24.已知正数满足,,则的取值范围是______.【答案】【解析】由,,又,得,所以,故.【考点】不等式性质,基本不等式的应用.25.设若是与的等比中项,则的最小值【答案】4【解析】根据题意,由于若是与的等比中项,则可知,则,当a=b时等号成立故答案为4.【考点】不等式的运用点评:主要是考查了均值不等式来求解最值的运用,属于中档题。
专题1.4 基本不等式及其应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第一篇 集合与不等式 专题1.04 基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a +b2(a ,b ≥0);2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】1.基本不等式:ab ≤a +b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号.(3)其中a +b2称为正数a ,b 的算术平均数,ab 称为正数a ,b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a =b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a =b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果和x +y 是定值s ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是s 24(简记:和定积最大).【微点提醒】1.b a +ab≥2(a ,b 同号),当且仅当a =b 时取等号. 2.21a +1b≤ab ≤a +b2≤a 2+b 22(a >0,b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y =x +1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )=sin x +4sin x 的最小值为4.( )(4)x >0且y >0是x y +yx ≥2的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a ,b ∈R ; 不等式a +b 2≥ab 成立的条件是a ≥0,b ≥0.(2)函数y =x +1x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.(3)函数f (x )=sin x +4sin x 没有最小值.(4)x >0且y >0是x y +yx ≥2的充分不必要条件.【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81【答案】 A【解析】 因为x +y =18,所以xy ≤x +y2=9,当且仅当x =y =9时,等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0,则x +1x ( )A.有最小值,且最小值为2B.有最大值,且最大值为2C.有最小值,且最小值为-2D.有最大值,且最大值为-2【答案】 D【解析】 因为x <0,所以-x >0,-x +1-x≥21=2,当且仅当x =-1时,等号成立,所以x +1x ≤-2.【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )=x 2-2x +1x ,则f (x )在⎣⎡⎦⎤12,3上的最小值为( ) A.12B.43C.-1D.0【答案】 D【解析】 f (x )=x 2-2x +1x =x +1x -2≥2-2=0,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号.又1∈⎣⎡⎦⎤12,3,所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12,3上的最小值为0. 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m ,则这个矩形的长为________m ,宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】 设矩形的长为x m ,宽为y m.则x +2y =30,所以S =xy =12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x +2y 22=2252,当且仅当x =2y ,即x =15,y =152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】 由题设知a -3b =-6,又2a >0,8b >0,所以2a +18b ≥22a ·18b =2·2a -3b 2=14,当且仅当2a =18b ,即a =-3,b =1时取等号.故2a +18b 的最小值为14.【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1-1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32,则函数y =4x (3-2x )的最大值为________.(2)已知x <54,则f (x )=4x -2+14x -5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y =4x (3-2x )=2[2x (3-2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x +(3-2x )22=92, 当且仅当2x =3-2x ,即x =34时,等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0,32,∴函数y =4x (3-2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (2)因为x <54,所以5-4x >0,则f (x )=4x -2+14x -5=-⎝⎛⎭⎫5-4x +15-4x +3≤-2(5-4x )·15-4x +3=-2+3=1.当且仅当5-4x =15-4x,即x =1时,等号成立.故f (x )=4x -2+14x -5的最大值为1. 角度2 利用常数代换法求最值【例1-2】 (2019·潍坊调研)函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0上,且m ,n 为正数,则1m +1n 的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y =a 1-x 恒过定点A ,x =1时,y =1, ∴A (1,1).将A 点代入直线方程mx +ny -1=0(m >0,n >0), 可得m +n =1,∴1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ·(m +n )=2+n m +m n≥2+2n m ·mn=4, 当且仅当n m =m n 且m +n =1(m >0,n >0),即m =n =12时,取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a +b )的转化【例1-3】 (经典母题)正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9,+∞)【解析】 ∵a ,b 是正数,∴ab =a +b +3≥2ab +3,解得ab ≥3,即ab ≥9. 【迁移探究】 本例已知条件不变,求a +b 的最小值. 【答案】 见解析【解析】 ∵a >0,b >0,∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22,即a +b +3≤⎝⎛⎭⎫a +b 22,整理得(a +b )2-4(a +b )-12≥0, 解得a +b ≥6或a +b ≤-2(舍).故a +b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,主要有两种思路:(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有:折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0,b >0且2a +b =4,则1ab 的最小值为( )A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0,b>0,故2a +b≥22ab(当且仅当2a =b 时取等号). 又因为2a +b =4,∴22ab ≤4⇒0<ab≤2,∴1ab ≥12,故1ab 的最小值为12(当且仅当a =1,b =2时等号成立). (2)由x +3y =5xy 可得15y +35x =1,所以3x +4y =(3x +4y )⎝⎛⎭⎫15y +35x =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5(当且仅当3x5y=12y 5x ,即x =1,y =12时,等号成立),所以3x +4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2+x2360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 【答案】 见解析【解析】 (1)设所用时间为t =130x (h),y =130x ×2×⎝⎛⎭⎫2+x 2360+14×130x ,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y =130×18x +2×130360x ,x ∈[50,100](或y =2 340x +1318x ,x ∈[50,100]).(2)y =130×18x +2×130360x ≥2610,当且仅当130×18x =2×130360x ,即x =1810时等号成立.故当x =1810千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x =3-2t +1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5【解析】由题意知t =23-x -1(1<x <3),设该公司的月利润为y 万元,则y =⎝⎛⎭⎫48+t 2x x -32x -3-t =16x -t 2-3=16x -13-x +12-3 =45.5-⎣⎡⎦⎤16(3-x )+13-x ≤45.5-216=37.5,当且仅当x =114时取等号,即最大月利润为37.5万元.考点三 基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中,a 3=7,a 9=19,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S n +10a n +1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC =120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD =1,则4a +c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3=7,a 9=19,∴d =a 9-a 39-3=19-76=2,∴a n =a 3+(n -3)d =7+2(n -3)=2n +1,∴S n =n (3+2n +1)2=n (n +2),因此S n +10a n +1=n (n +2)+102n +2=12⎣⎡⎦⎤(n +1)+9n +1≥12×2(n +1)·9n +1=3,当且仅当n =2时取等号.故S n +10a n +1的最小值为3.(2)法一 依题意画出图形,如图所示.易知S △ABD +S △BCD =S △ABC ,即12c sin 60°+12a sin 60°=12ac sin 120°, ∴a +c =ac ,∴1a +1c=1,∴4a +c =(4a +c )⎝⎛⎭⎫1a +1c =5+c a +4ac ≥9, 当且仅当c a =4a c ,即a =32,c =3时取“=”.法二 以B 为原点,BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D (1,0),∵AB =c ,BC =a ,∴A ⎝⎛⎭⎫c 2,32c ,C ⎝⎛⎭⎫a 2,-32a .∵A ,D ,C 三点共线,∴AD →∥DC →. ∴⎝⎛⎭⎫1-c 2⎝⎛⎭⎫-32a +32c ⎝⎛⎭⎫a 2-1=0, ∴ac =a +c ,∴1a +1c=1,∴4a +c =(4a +c )⎝⎛⎭⎫1a +1c =5+c a +4ac ≥9, 当且仅当c a =4a c , 即a =32,c =3时取“=”.【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是: 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立,完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )=32x -(k +1)3x +2,当x ∈R 时,f (x )恒为正值,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,22-1) C.(-1,22-1)D.(-22-1,22-1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中,若a 2 018=22,则1a 2 017+2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x -(k +1)3x +2>0,解得k +1<3x +23x .又3x +23x ≥22(当且仅当3x =23x ,即x =log 3 2时,等号成立).所以k +1<22,即k <22-1.(2)∵{a n }为等比数列,∴a 2 017·a 2 019=a 22 018=12.∴1a 2 017+2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019=24=4.当且仅当1a 2 017=2a 2 019,即a 2 019=2a 2 017时,取得等号.∴1a 2 017+2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b 22,ab ≤a +b 2≤a 2+b 22(a >0,b >0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y =x +mx (m >0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时:35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2+b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 由a >b >0,可知a 2+b 2>2ab ,充分性成立,由ab <a 2+b 22,可知a ≠b ,a ,b ∈R ,故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1,lg x +1lg x ≥2B.1x 2+1<1(x ∈R ) C.当x >0时,x +1x≥2 D.当0<x ≤2时,x -1x 无最大值【答案】 C【解析】 对于A ,当0<x <1时,lg x <0,不等式不成立; 对于B ,当x =0时,有1x 2+1=1,不等式不成立;对于C ,当x >0时,x +1x≥2x ·1x=2,当且仅当x =1时等号成立; 对于D ,当0<x ≤2时,y =x -1x 单调递增,所以当x =2时,取得最大值,最大值为32.3.(2019·绵阳诊断)已知x >1,y >1,且lg x ,2,lg y 成等差数列,则x +y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】 由题意得2×2=lg x +lg y =lg (xy ),所以xy =10 000,则x +y ≥2xy =200,当且仅当x =y =100时,等号成立,所以x +y 有最小值200.4.设a >0,若关于x 的不等式x +a x -1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2【答案】 C【解析】 在(1,+∞)上,x +a x -1=(x -1)+a x -1+1 ≥2(x -1)×a(x -1)+1=2a +1(当且仅当x =1+a 时取等号).由题意知2a +1≥5.所以a ≥4.5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2+y 2=1上的一个动点,且A (-1,0),B (1,0),则|PA |+|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】 由题意知∠APB =90°,∴|PA |2+|PB |2=4, ∴⎝⎛⎭⎫|PA |+|PB |22≤|PA |2+|PB |22=2(当且仅当|PA |=|PB |时取等号),∴|PA |+|PB |≤22,∴|PA |+|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】 设每批生产产品x 件,则每件产品的生产准备费用是800x 元,仓储费用是x8元,总的费用是⎝⎛⎭⎫800x +x 8元,由基本不等式得800x +x 8≥2800x +x 8=20,当且仅当800x =x8,即x =80时取等号. 7.若实数a ,b 满足1a +2b =ab ,则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】 依题意知a >0,b >0,则1a +2b≥22ab =22ab,当且仅当1a =2b,即b =2a 时,“=”成立.因为1a +2b =ab ,所以ab ≥22ab ,即ab ≥22(当且仅当a =214,b =254时等号成立),所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·衡水中学质检)正数a ,b 满足1a +9b =1,若不等式a +b ≥-x 2+4x +18-m 对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6]D.[6,+∞)【答案】 D【解析】 因为a >0,b >0,1a +9b =1,所以a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +9b =10+b a +9ab ≥16, 当且仅当b a =9ab,即a =4,b =12时取等号.依题意,16≥-x 2+4x +18-m ,即x 2-4x -2≥-m 对任意实数x 恒成立. 又x 2-4x -2=(x -2)2-6,所以x 2-4x -2的最小值为-6,所以-6≥-m ,即m ≥6. 二、填空题9.函数y =x 2+2x -1(x >1)的最小值为________.【答案】 23+2【解析】 y =x 2+2x -1=(x 2-2x +1)+2x -2+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+3x -1=(x -1)+3x -1+2≥23+2.当且仅当x -1=3x -1,即x =3+1时,等号成立.10.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位:万元)与机器运转时间x (单位:年)的关系为y =-x 2+18x -25(x ∈N *),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】 8【解析】 每台机器运转x 年的年平均利润为y x =18-⎝⎛⎭⎫x +25x ,而x >0,故yx≤18-225=8,当且仅当x =5时等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大值为8万元.11.已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________.【答案】 6【解析】 因为x >0,y >0,所以9-(x +3y )=xy =13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x +3y 22,当且仅当x =3y ,即x =3,y =1时等号成立.设x +3y =t >0,则t 2+12t -108≥0,所以(t -6)(t +18)≥0,又因为t >0,所以t ≥6.故当x =3,y =1时,(x +3y )min =6.12.已知直线mx +ny -2=0经过函数g (x )=log a x +1(a >0且a ≠1)的定点,其中mn >0,则1m +1n的最小值为________.【答案】 2【解析】 因为函数g (x )=log a x +1(a >0且a ≠1)的定点(1,1)在直线mx +ny -2=0上,所以m +n -2=0,即m 2+n 2=1. 所以1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ⎝⎛⎭⎫m 2+n 2=1+n 2m +m 2n≥1+2n 2m ·m 2n =2, 当且仅当n 2m =m 2n,即m 2=n 2时取等号, 所以1m +1n的最小值为2. 【能力提升题组】(建议用时:15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m =(a -1,2),n =(4,b ),且m ⊥n ,a >0,b >0,则log 13a +log 3 1b有( ) A.最大值log 3 12B.最小值log 32C.最大值log 13 12D.最小值0【答案】 B【解析】 由m ⊥n ,得m ·n =0,即4(a -1)+2b =0,∴2a +b =2,∴2≥22ab ,∴ab ≤12(当且仅当2a =b 时,等号成立). 又log 13 a +log 3 1b =log 13 a +log 13 b =log 13 (ab )≥log 1312=log 3 2,故log 13a +log 3 1b有最小值为log 3 2. 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1,内切圆半径也为1,若△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,则4a +b+a +b c 的最小值为( ) A.2B.2+ 2C.4D.2+2 2 【答案】 D【解析】 因为△ABC 的面积为1,内切圆半径也为1,所以12(a +b +c )×1=1,所以a +b +c =2, 所以4a +b +a +b c =2(a +b +c )a +b +a +b c =2+2c a +b+a +b c ≥2+22, 当且仅当a +b =2c ,即c =22-2时,等号成立,所以4a +b+a +b c 的最小值为2+2 2. 15.(2017·天津卷)若a ,b ∈R ,ab >0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ,b ∈R ,ab >0,∴a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab =4ab +1ab ≥24ab ·1ab=4, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2=2b 2,4ab =1ab ,即⎩⎨⎧a 2=22,b 2=24时取得等号. 16.已知函数f (x )=x 2+ax +11x +1(a ∈R ),若对于任意的x ∈N *,f (x )≥3恒成立,则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎣⎡⎭⎫-83,+∞ 【解析】 对任意x ∈N *,f (x )≥3,即x 2+ax +11x +1≥3恒成立,即a ≥-⎝⎛⎭⎫x +8x +3. 设g (x )=x +8x ,x ∈N *,则g (x )=x +8x≥42, 当x =22时等号成立,又g (2)=6,g (3)=173, ∵g (2)>g (3),∴g (x )min =173.∴-⎝⎛⎭⎫x +8x +3≤-83,∴a ≥-83,故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫-83,+∞. 【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ,y 满足x +y =1,则x -y 的取值范围为________,1x +x y的最小值为________. 【答案】 (-1,1) 3【解析】 ∵正数x ,y 满足x +y =1,∴y =1-x ,0<x <1,∴-y =-1+x ,∴x -y =2x -1,又0<x <1,∴0<2x <2,∴-1<2x -1<1,即x -y 的取值范围为(-1,1).1x +x y =x +y x +x y =1+y x +x y ≥1+2y x ·x y =1+2=3,当且仅当x =y =12时取“=”;∴1x +x y的最小值为3.。
2020届江苏高考数学(理)总复习讲义:基本不等式及其应用
答案: 25
1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.“当且仅当 a= b 时等号成立”的含义是“ a= b”是等号成立的充要条件,这一点 至关重要,忽略它往往会导致解题错误.
3.连续使用基本不等式求最值,要求每次等号成立的条件一致. [ 小题纠偏 ]
9 1. (2019 ·启东检测 )函数 y= x+x- 1(x> 1)的最小值为 ________. 解析: ∵ x> 1,∴ x- 1> 0,
3- x2
解析: 由题意得 y=
,
2x
所以
2
x+
y=
2
x+
3
-
x2 =
3
x2
+
3
=
3
2x
2x 2
1 x+x
≥ 3,
当且仅当 x= y= 1 时,等号成立.
答案: 3
3. (2017
·天津高考
)若
a,
b∈
R,
ab>
0
,则
a
4+
4b4+ ab
1
的最小值为
________ .
解析:因为
ab>
0,所以
a
4+
20 000 + (8x + 20) ·
10+ 160 = x
5 80 10 2 x+ x +4 160(x> 1).
5
(2) S(x)= 80
10 2
x+
+ 4 160≥ 80 x
10 × 2
2 x·5 + 4 160 = 1 600+ 4 160= x
5 760,当且仅当 2 x= 5 ,即 x= 2.5 时,等号成立,此时 a= 40, ax= 100. x
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1.函数y =2x +22x 的最小值为( )A .1B .2C .22D .4 答案:C解析:因为2x >0,所以y =2x +22x ≥22x ·22x =22 ,当且仅当2x =22x ,即x =12时取“=”.故选C.2.若a >0,b >0且2a +b =4,则1ab的最小值为( )A .2B .12C .4D .14答案:B解析:∵a >0,b >0,∴4=2a +b ≥22ab (当且仅当2a =b ,即:a =1,b =2时等号成立),∴0<ab ≤2,1ab ≥12 ,∴1ab 的最小值为12.3.下列结论正确的是( )A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x≥2B .当x ∈⎝⎛⎦⎤0,π2 时,sin x +4sin x的最小值为4 C .当x >0时,x +1x ≥2D .当0<x ≤2时,x -1x无最大值答案:C解析:当x ∈(0,1)时,lg x <0,故A 不成立,对于B 中sin x +4sin x≥4,当且仅当sinx =2时等号成立,等号成立的条件不具备,故B 不正确;D 中y =x -1x在(0,2]上单调递增,故当x =2时,y 有最大值,故D 不正确;又x +1x ≥2x ·1x=2(当且仅当x =1x即x =1时等号成立).故C 正确. 4.下列不等式恒成立的是( )A .a 2+b 2≤2abB .a 2+b 2≥-2abC .a +b ≥2|ab |D .a +b ≥-2|ab | 答案:B解析:对于A ,C ,D ,当a =0,b =-1时,a 2+b 2>2ab ,a +b <2ab ,a +b <-2|ab | ,故A ,C ,D 错误;对于B ,因为a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|a |·|b |=2|ab |≥-2ab ,所以B 正确.故选B.5.若x >0,y >0,x +2y =1,则xy2x +y的最大值为( )A .14B .15C .19D .112答案:C解析:x +2y =1⇒y =1-x 2 ,则xy2x +y =x -x 23x +1 .∵x >0,y >0,x +2y =1,∴0<x <1.设3x +1=t (1<t <4),则x =t -13,原式=-t 2+5t -49t =59 -⎝⎛⎭⎫t 9+49t ≤59 -2481 =19 ,当且仅当t 9 =49t ,即t =2,x =13 ,y =13 时,取等号,则xy 2x +y 的最大值为19 ,故选C.6.已知a >0,b >0,c >0,且a 2+b 2+c 2=4,则ab +bc +ac 的最大值为( )A .8B .4C .2D .1 答案:B解析:∵a 2+b 2≥2ab ,a 2+c 2≥2ac ,b 2+c 2≥2bc ,∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +bc +ca ),∴ab +bc +ca ≤a 2+b 2+c 2=4.7.若直线x a +yb=1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于( )A .2B .3C .4D .5 答案:C解析:因为直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,1),所以1a +1b=1.所以a +b =(a +b )·⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+a b +b a ≥2+2a b ·b a =4,当且仅当a b =b a 即a =b =2时取“=”,故选C.8.若向量a =(x -1,2),b =(4,y ),a 与b 相互垂直,则9x +3y 的最小值为( ) A .12 B .2 C .3 D .6 答案:D解析:∵a ⊥b ,∴a ·b =(x -1,2)·(4,y )=4(x -1)+2y =0,即2x +y =2, ∴9x +3y =32x +3y ≥232x +y =232 =6,当且仅当2x =y =1时取等号,∴9x +3y 的最小值为6.9.用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型面积的最大值为( ) A .9 cm 2 B .16 cm 2 C .4 cm 2 D .5 cm 2 答案:C解析:设矩形模型的长和宽分别为x cm ,y cm ,则x >0,y >0,由题意可得2(x +y )=8,所以x +y =4,所以矩形模型的面积S =xy ≤(x +y )24 =424 =4(cm 2),当且仅当x =y =2时取等号,所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时,面积最大,为4 cm 2.故选C.二、填空题10.已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +18b 的最小值为________.答案:14解析:∵a -3b +6=0,∴ a -3b =-6,∴ 2a +18b =2a +2-3b ≥22a ·2-3b =22a -3b=22-6 =14 .当且仅当2a =2-3b ,即a =-3,b =1时,2a +18b 取得最小值为14.11.已知函数f (x )=4x +ax(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.答案:36解析:∵x >0,a >0,∴4x +a x ≥24x ·ax=4 a ,当且仅当4x =a x ,即:x =a 2 时等号成立,由a2 =3,a =36.12.[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0,b >0,3a +b =2ab ,则a +b 的最小值为________.答案:2+3解析:由3a +b =2ab , 得32b +12a=1, ∴a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫32b +12a =2+b 2a +3a2b ≥2+2b 2a ·3a 2b =2+3 (当且仅当b 2a =3a2b即b =3 a 时等号成立).[能力提升]13.[2024·合肥一中高三测试]若a ,b 都是正数,则⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4ab 的最小值为( ) A .7 B .8C .9D .10 答案:C解析:⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4a b =5+b a +4ab≥5+2b a ·4a b =9(当且仅当b a =4ab即b =2a 时等号成立).14.(多选)已知a >0,b >0,且a +b =1,则( )A .a 2+b 2≥12B .2a -b >12C .log 2a +log 2b ≥-2D . a + b ≤2 答案:ABD解析:对于选项A ,∵a 2+b 2≥2ab ,∴2(a 2+b 2)≥a 2+b 2+2ab =(a +b )2=1,∴a 2+b 2≥12,正确;对于选项B ,易知0<a <1,0<b <1,∴-1<a -b <1,∴2a -b >2-1=12,正确;对于选项C ,令a =14 ,b =34 ,则log 214 +log 234 =-2+log 234 <-2,错误;对于选项D ,∵2 =2(a +b ) ,∴[2(a +b ) ]2-( a + b )2=a +b -2ab =( a - b )2≥0,∴ a + b ≤2 ,正确.故选ABD.15.(多选)已知a ,b ,c 为正实数,则( )A .若a >b ,则ab <a +c b +cB .若a +b =1,则b 2a +a 2b 的最小值为1C .若a >b >c ,则1a -b +1b -c ≥4a -cD .若a +b +c =3,则a 2+b 2+c 2的最小值为3 答案:BCD解析:因为a >b ,所以a b -a +c b +c =c (a -b )b (b +c ) >0,所以ab >a +c b +c ,选项A 不正确;因为a +b =1,所以b 2a +a 2b =⎝⎛⎭⎫b 2a +a +⎝⎛⎭⎫a 2b +b -(a +b )≥2b +2a -(a +b )=a +b =1,当且仅当a =b =12 时取等号,所以b 2a +a 2b的最小值为1,故选项B 正确;因为a >b >c ,所以a -b >0,b -c >0,a -c >0,所以(a -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =[](a -b )+(b -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =2+b -c a -b +a -b b -c≥2+2b -c a -b ·a -bb -c=4,当且仅当b -c =a -b 时取等号,所以1a -b +1b -c ≥4a -c,故选项C 正确;因为a 2+b 2+c 2=13 [(a 2+b 2+c 2)+(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]≥13(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca )=13 [(a +b )2+2(a +b )c +c 2]=13 (a +b +c )2=3,当且仅当a =b =c =1时等号成立,所以a 2+b 2+c 2的最小值为3,故选项D 正确.16.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________.答案:30解析:一年的总运费为6×600x =3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元. 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x +4x 万元.因为3 600x +4x ≥2 3 600x ·4x =240,当且仅当3 600x =4x ,即x =30时取得等号,所以当x =30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.。
2020年高考数学二轮复习解题思维提升专题(不等式训练)及答案解析
专题20不等式训练【训练目标】1、 掌握不等式的性质,能利用不等式的性质,特殊值法等判断不•等式的正谋:2、 熟练的解一元二次不等式,分式不等式,绝对值不等式,对数不等式,指数不等式,含根式的不等式;3、 掌握分类讨论的思想解含参数的不等式;4、 京握恒成立问题,存在性问题;5、 掌握利用基本不等式求最值的方法:6、 掌握线性规划解决瑕优化问题;7、 学握利用线性规划,基本不等式解决实际问题。
【温馨小提示】在高考中,不等式无处不在,不论是不等式解法还是线性规划,基本不等式,一般单独出现的是线性规划或 基本不等式,而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。
【名校试题荟萃】1、若实数6b €斤且a > b,则卞列不等式恒成立的是()【答案】C【解析】根据函数的图象与不等式的性质町知:粧>则,2a >2b 为匸确选项,故选c.h.p>Q B.p<g C .P >Q D .P【答案】A【解析】因为a A 2,贝Ija - 2 > 0,,又a > 20屯一屮 + 4<z — 2 = -(“ - 2尸 + 2 < 2,即q < 22 = 4,所以p > q.故选 A.a.b.c.d € $ = 匕 十 b 十 c 十 d3、,设 a+b + c b c+ d c -\-d + a & + a+b,则卜•列判断中正确的是()A. 0 < S < 1B. 1 < ^ < 2C. 2<S<3D. 3 < S < 4•【答案】Ba =b =c =d = 11 . 1 . 1 . 14 j = —H —— + —=— 【解析】令 ,则 3 3 3 33,故选B4、 若。
>方>(),且ah = \t 则下列不等式成立的是()卄吳刍小缶©")A < log, (a+/»)<«+ 1A. b 2B. 2 bA. aB.C 1c.2e >2b lg(<2 — b) > 0pq = 2一» 十仏一52@ > 21a + —< log. (a +/>) < —loe. (u + />) < a +丄 v —Cb 订丿2* D・%丿b【答案】D【解折】kx-y + 2k-l=険形为上@ + 2) = " + 1,所以过定点(-2,-1),代入直线得2m + n = ln _ 4m 当曰仅当石=7厂时等召成⑺ 取得最小倩&【答案】B > 1,0 < A < 1,/. A •5、袋子此时从中任取1个球是红球的概率记为几, C.D . P ,>Pi【答案】D 【解析】 由题竜得: P i=—__>o + 2m-n m-\ m + " — 2 m >(} 〉■:选6、 若a>\, 0<c<b lo ^2ci® a > log 20U h log*【答案】c A. 2 B. 4 C. 6 D.88、己知b>l,直线(62+1)2: + ^+2 = 0与直线T-(5-1)2/ -1 = 0互相垂直,贝临的最小值等于A . 2\/2-lB .2 辺+1c.2 辺+2【答案】c 【解析】b > 1,因为直线(於+1)工+ ay + 2 = 0与直线工_ @ 一1)弓一 1 = 0互相垂直,a =[亠)=b - 1 +2+ 2 > 2V2 + 2D — 10—1号成立.a > 1 Vx > 0.2a; + — > c9、若“一 8”是“ 工 ”的充分不必要条件,则实数c 的取值范围为( )A. 0 < c < 1B. 0 < c < 1C. c < 1D.c > 1【答案】c 【解析】a— c 22TE + — > 2\/2a > c => a > — 若c<0.则aAO,符介题总,若c>0,则 工一 8 ,于是c 2 1 . (—< - =>0<c<l =8 8•所以 c<l.10、点比B 在单位圆O 上,OA. 方是两个给定的夹角为120°的向量,F 为单位圆上动点,设且设m +冗的最人值为M,最小值为N •则M - N 的值为(A. 2B.2\/2C .4F. 2\/3【答案】C【解析】由题意刃•辰一~2, OP 2,— (^mOA + nOI3)2— m 2+n 2 — mn — 1,即(m+n)2=l+3mn<l+3(^r 解得-2 “ i < 2,故耐 _ N = 4.选 C.X < 1z = ax + by (a > 0、b > 0)策2{D.2A /2-2(b? + 1) — a (6 — 1) = 0 所以当0=血+1时,等 OP = mOA + nOBrr + y-lAO 下,目标函数的绘大值为1,则ab 的绘大 在直角坐标系中作出可行城如下图所示]又a>0.&>0,由线件规划知识町知,当目标函数z = ax + by ab — 1a (2b ) < 】(a + 加)2 —丄经过可行域中的点 C (l ,2)时冇最人值,所以有a + 2b=l, " = 丿- E 2 )= 8, 且仅a — 2& =—当一 2时成立,故选D ・12、若厶ABC 的内角满足sin 虫+ x/2sinE = 2sin6 则cosC 的最小值是()727373 + 72v^6 —\/2 A. 4 B. 4C.4D.4【答案】D【解析】•.Win 虫 + dsinE = 2sinC …・.a + 履= 2c,所以值等于()\ 31 1 C.4c O/ /+X-扣+岳| cos C = --------------- = ------------------------------lab lab/ + »-2血3 2屈方-2屈& &迥 -------------------- 2 ----------------------= ------------Sab Sab13、对一切实数©,不等式®$ +° 1韵+ 1 2 °恒成立,则实数a 的収值范闌是( B」—2、2]c 」Q +°°) D.I-2, +8)----- + ------- —M 、设69均为正数,且丄+ 1 y + i 2,则邛的最小值为( )A. 16B.15C. 10D.9【答案】DA .(-8,-2) 【答案】D1当H = 0时, 2、 当⑦丰°时, x 2+a\x\+l=l >0所以a取.任=_(|乂| + ]—7)I 刘,所以a> -2,故本题的正确选项为D工+ y+ 2 _ 1xy = x + ?/ + 3所以(工+1)® + 1)空,整理可得:由基本不等式町紂刊-2祸+ 3,整理可得(\砌 -2祸一 3 > 0,解得辰> 3或< -1 (舍去),所以型2 9.当且仅= y 时取等号,故刊的故小值为9•故选D.2r + y S 10ar + 2y < 14 ___z + ,则列的最大值为()25 49 A. 2B. 2C. 12D. 16【答案】A 【解析】画出可行域如圉所示.可知当曲线"卞与线段AC 相切时芒取得最大值,此时2x+y =109故丰,当且仅当.2 £5时取等号,对应点落在线段AC 上,故可的最1 l f 2x + y x2 25 5 xu = - • Zxu < -(——-——)=— x = -K y = D2 ”一2' 2 ' 2 ,当11仅当 2“ 时取等号,25対应点落在线段AC 上,故列的最人值为2,选A.% = 2r_ 916、己知正数叭9满足呻+ 则y 的最大值为 ____________ .【答案】'* 3{【解析】因为兀2/均为匸数1 -21「2x+p25.此时2x +【解析】2阿【答案】5 【解析】••(2± + y)2 = 4x 2 + t/2 + 4ry ,\4x 2 +『=(2x + y)2 — 4ry .4J ? + v 2 +4J ^* -3xy = 10 (2x+y)x =1 +- • 2x-y < 1+-j "+> j ,7岁 I •乡 4 V ,解得°v 叫.17、设sy 为实数,若4^2+y 2+xy = l,则2x + y 的瑕人值是 ____________ .= 2x + — > 218、己知正数眄9满足d 2 4 2列一 3 = 0,则2x4-j/的最小值是 ________ r _【答案】3 【解析】 19、在△/BC 中,角儿B,C 的对边分别是She ,若sin B +sin J则C 二 ________[:]2 【解析】20、给出平面区域如图所示,其中°(1,1),B ⑵5),C(4, 3)若使目标函数乙=好一 y 仅在点C 处取得最人值,则a 的取值范围是 ______ ・【答案角T【解析】a — 1 <4a — 3r 2a —5<4a — 3 => a > — 由题意得:只需 3...(工 + y W 2 < x> I21、已知实数込9满足I y ~x ,且数列为等差数列,则实数w 的最人值是 _______________________ .【答案】3【解析】因为数列纽夠勾为等』数列,即2z = 4z + 2i/,即目标函数为名= 2x+y,画出可行域如图所小•,由图町知,当目标函数过点(1J)时収到瑕人值,垠人值为^=2xl + l = 3x — y — 2 < 0a: + 21/ — 5 > 0 y xy — 2 5 0 ■则一匚孑的取值范鬧是 ________________ . {【答案】 【解析】 作出可行域,y 1 则由7的儿何总乂对知取点F 时,t 取得最犬値2•取山Q 时,t 取得最小值乐则 1 7 =_1 f{i) = t 一丄 t,由9 =七及"一一F 单调递增,町知 亡单调递増,故 3 __ y _x 2,所以—⑦ 卩的取值范用是 8 3' 3’ 2,又N23、设变鼠汉9满足约束条件,则乙=工一和的取值范用是 _________ .【答案】【-4,1]【解析】画出不等式组表示的平面区域,如圉所示.由團可知,当直线工= = — 3y 分别过点几C 时取得最大值和最小值.又4仏0), %2,2),所以【解析】1 3A (—1,0)? J5(2,0)? C7(—?—)町行域表示一个三角形ABC 及其内部,其中' h f '2'2丿,而冃标函数表示町行域内的点M 到点巩一L J )距离平方,因此所求敲小值为点尸(一1,1)直线?1C :②一 9 + 1 = °距离的平方: 1f x- y+ l>0=(2?+ I)2 +(?/ - I)2 I x + y<224、已知%0满足约束条件1 1妙二°.,求 的最小值是. max = 1一 3x0=1, -min =2 — 2x3= —4即工的取值范围是m a25、在尺上定义运算:°=ad —he X-]若不等式4+1 (7-2 >1 X 对任意实数X 恒成立,则实数"的最人r —v —2=0值为________【解析】原不等式等价于 v <即x 2-x-l>(</+1 )(u - 2)对任意实数可亘成立,——X 所以426、若不等式X 3+°'°对-切"I ㈣恒成立,则°的取值范闱是 _________________ .【答案】卜'00) 【解析】心-(兀丄]/(x) = -(x*2 ,xw(O,l ],由题意得,I 兀丿,设 II 则只要 由于函数在八®在 (°,1]上单调递增,所以"⑴]呎=/⑴Z ,故沦-5.x~ +_ x — (_)"艺 027、若关于x 的不等式 2 2 对任意X AT 在.“(-叫刃上恒成立,则实常数几的取值范围是 [答案](一°°,一1]【解析】F+丄 x >(-)" . (l )w 1 x~+丄 “n 丄 xn 丄不等式可化为 2 2 ,由nwN ,得2的最人值为2,则 2 2 ,解得 2或x<-l, 又x w (-OO./JJ ,故实常数Z 的取值范围是 d .25心0,28、设 则不等式/(工)【答案】 (-CO,02(0,1)【解析】答案为(-叫02(0計).29. 关于E 的不等式* +皿一 2 < 0在区间£4]上冇解,则实数口的取值范闱为() A.(-8,l)C.(^ +°°) D 」l ,+°°)【答案】A【解析】 a V ’ /M = --x要满足题盘即° x~ ”在区间山4”j 解,设2丿=匚一工,则a <心的瑕人值.因为论)在区间山创 为减函数,所以的最人值为1,所以a<l ・选A.X 2-X -2>030、 ____________________________________________________________________________________ 若不等式组l2〃+(5 + 2g + 5"O 的解集中所含的整数解只有_2,则斤的取值范围是 _______________________ .【答案】【72)【解析】^2-X -2>0 的解集为(一8,」2(2,*0>•/ 2.v 2+(5 + 2A)x + 5A = (2x + 5)(x + A)<05 •/ 2x 2 +(5+2尤)兀 + 5上 <0k<- •:当 2时,x J-2>0 d又•・•此时若不等式组I" +($+2的x + 510的解集中所含整数解只右_2 则-2v-ks3,即-3<k<22x 2 +(5 + 2^)才+ 5*<0又・・•当一3时,的解集为0,不满足要求 k>5 2宀(5 + 2灯工 + 5*<0 (_&_』)当 空时,的解集为‘ '2 ,不满足要求 …/(.V)> 2 ■.•丿⑴>2解集为(Y. 02(0,1),故的解集为 x<0综上k的取值范|十;|为[-3.2),故答案为[-3,2).。
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1.基本不等式若a>0,,b>0,则a +b 2≥ab ,当且仅当时取“=”.这一定理叙述为:两个正数的算术平均数它们的几何平均数.注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:(1)各项或各因式均正;(一正)(2)和或积为定值;(二定)(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等)2.常用不等式(1)a 2+b 2≥ab 2(a ,b ∈R ).2a b +()0,>b a 注:不等式a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形:ab≤(2b a +)2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ,b ∈R ). (4)b a +a b ≥2(a ,b 同号且不为0). (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2+b 22(a ,b ∈R ). (6)ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥;(),,0a b c>3.利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2+b2≥.(2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥22a·2b=22a+b=42,当且仅当a=b=32时取等号,故选B.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤12.当且仅当a=1,b=12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()A.a<v<abB.v=abC.ab<v<a+b2 D.v=a+b2解:设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b,∴v=2ssa+sb=2aba+b<2ab2ab=ab.又v -a =2ab a +b -a =ab -a 2a +b >a 2-a 2a +b=0,∴v >a.故选A. (2014·上海)若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+2y 2的最小值为________.解:由xy =1得x 2+2y 2=x 2+2x 2≥22,当且仅当x =±42时等号成立.故填22.点(m ,n )在直线x +y =1位于第一象限内的图象上运动,则log 2m +log 2n 的最大值是________.解:由条件知,m >0,n >0,m +n =1,所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m +n 22=14, 当且仅当m =n =12时取等号,∴log 2m +log 2n =log 2mn ≤log 214=-2,故填-2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y =(x >-1)的值域.解:∵x >-1,∴x +1>0,令m =x +1,则m >0,且y ==m ++5≥2+5=9,当且仅当m =2时取等号,故y min =9.又当m →+∞或m →0时,y →+∞,故原函数的值域是[9,+∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x +≥2(x ≠k π,k ∈Z )C.x 2+1≥2||x (x ∈R )D.1x 2+1>1(x ∈R ) 解:A 中,x 2+14≥x (x >0),当x =12时,x 2+14=x.B 中,sin x +1sin x ≥2(sin x ∈(0,1]);sin x+1sin x≤-2(sin x∈[-1,0)).C中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R).D中,1x2+1∈(0,1](x∈R).故C一定成立,故选C.点拨:这里(1)是形如f(x)=ax2+bx+cx+d的最值问题,只要分母x+d>0,都可以将f(x)转化为f(x)=a(x+d)+ex+d+h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t>0,则函数f(t)=t2-4t+1t的最小值为.解:∵t>0,∴f(t)=t2-4t+1t=t+1t-4≥-2,当且仅当t=1时,f(t)min=-2,故填-2.(2)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(Ⅰ)xy的最小值;(Ⅱ)x+y的最小值.解:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=,∵x>0,∴y>2,则x+y=y+=(y-2)++10≥18,当且仅当y-2=,即y=6,x=12时等号成立.解法二:由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当y=6,x=12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有()A.2∈M,0∈MB.2∉M,0∉MC.2∈M,0∉MD.2∉M,0∈M解法一:求出不等式的解集:(1+k2)x≤k4+4⇒x≤=(k2+1)+-2⇒x≤=2-2(当且仅当k2=-1时取等号).解法二(代入法):将x=2,x=0分别代入不等式中,判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨:一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题:(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;(3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min;(4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.解:由条件知m(e x+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立.令t=e x(x>0),则t>1,且m≤-t-1t2-t+1=-1t-1+1t-1+1对任意t>1成立.∵t-1+1t-1+1≥2(t-1)·1t-1+1=3,∴-1t -1+1t -1+1≥-13,当且仅当t =2,即x =ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位:元),修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位:元).(1)将y 表示为x 的函数;(2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m ,则y =45x +180(x -2)+180·2a =225x +360a -360.由已知xa =360,得a =360x ,所以y =225x +3602x -360(x ≥2).(2)∵x ≥0,∴225x +3602x ≥2225×3602=10800,∴y =225x +3602x -360≥10440,当且仅当225x =3602x ,即x =24时等号成立.答:当x =24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔排出,设箱体的长度为am,高度为b m,已知排出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2,问a,b各为多少m时,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔面积忽略不计).解法一:设y为排出的水中杂质的质量分数,根据题意可知:y=kab,其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小,只需ab最大.由题设得:4b+2ab+2a≤60(a>0,b>0),即a+2b≤30-ab(a>0,b>0).∵a+2b≥22ab,∴22·ab+ab≤30,得0<ab≤32.当且仅当a=2b时取“=”号,ab最大值为18,此时得a=6,b=3.故当a=6 m,b=3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二:同解法一得b≤30-aa+2,代入y=kab求解.1.若a>1,则a+的最小值是()A.2B.aC.3D.解:∵a>1,∴a+=a-1++1≥2+1=2+1=3,当a=2时等号成立.故选C.2.设a,b∈R,a≠b,且a+b=2,则下列各式正确的是()A.ab<1<a2+b22 B.ab<1≤a2+b22 C.1<ab<a2+b22 D.ab≤a2+b22≤1解:运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22⇒ab ≤1以及(a +b )2≤2(a 2+b 2)⇒2≤a 2+b 2(由于a ≠b ,所以不能取等号)得,ab <1<a 2+b 22,故选A.3.函数f (x )=在(-∞,2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解:当x <2时,2-x >0,因此f (x )==+(2-x )≥2·=2,当且仅当=2-x 时上式取等号.而此方程有解x =1∈(-∞,2),因此f (x )在(-∞,2)上的最小值为2,故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方M20元,侧面造价是每平方M10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解:假设底面的长、宽分别为x m , m ,由条件知该容器的最低总造价为y =80+20x +≥160,当且仅当底面边长x =2时,总造价最低,且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ,b ∈R ,则b a +a b ≥2b a ·ab =2B.若x ,y 都是正数,则lg x +lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0,则x +4x ≥-2x ·4x =-4D.若x ≤0,则2x +2-x ≥22x ·2-x =2解:对于A ,a 与b 可能异号,A 错;对于B ,lg x 与lg y 可能是负数,B 错;对于C ,应是x +4x =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-x )+4-x ≤-2(-x )·4-x=-4,C 错;对于D ,若x ≤0,则2x +2-x ≥22x ·2-x =2成立(x =0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a +4b )=log 2,则a +b 的最小值是( )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4解:因为log4(3a+4b)=log2,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且即a>0,b>0,所以+=1(a>0,b>0),a+b=(a+b)=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号.故选D.7.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.解:因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),所以有=≤=,即的最大值为,故填a≥.8.()设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m +3=0交于点P(x,y),则|P A|·|PB|的最大值是________.解:易知定点A(0,0),B(1,3).且无论m取何值,两直线垂直.所以无论P与A,B重合与否,均有|P A|2+|PB|2=|AB|2=10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2+|PB|2)=5.当且仅当|P A|=|PB|=5时,等号成立.故填5.9.(1)已知0<x<,求x(4-3x)的最大值;(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值.解:(1)已知0<x<,∴0<3x<4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤=,当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立.∴当x=时,x(4-3x)取最大值为.(2)已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,所以x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4.当且仅当即x=,y=时“=”成立.∴当x=,y=时,2x+4y取最小值为4.10.已知a>0,b>0,且2a+b=1,求S=2-4a2-b2的最大值.解:∵a>0,b>0,2a+b=1,∴4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab.且1=2a+b≥2,即≤,ab≤,∴S=2-4a2-b2=2-(1-4ab)=2+4ab-1≤.当且仅当a=,b=时,等号成立.11.如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S,则S=xy.解法一:由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤,即S≤.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使每间虎笼面积最大.解法二:由2x+3y=18,得x=9-y.∵x>0,∴0<y<6.S=xy=y=(6-y)y.∵0<y<6,∴6-y>0.∴S≤=.当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.解法一:∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长度最小.解法二:由xy=24,得x=.∴l=4x+6y=+6y=6≥6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析
专题2.2 基本不等式及其应用1.(2021·曲靖市第二中学高三二模(文))已知(),,0,a b c ∈+∞,320a b c -+=的( ) AB C D .最小值是3【答案】B 【解析】 由题意得32a cb +=,再代入所求式子利用基本不等式,即可得到答案; 【详解】因为320a b c -+=,所以32a cb +=, =≤3a c =. 故选:B.2.(2021·山东高三其他模拟)已知a b ,均为正实数,则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的( ) A .充分不必要条件 B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤,反过来,由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+,然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==,则2002102ab a b =<+,但20016ab =>,所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤, 练基础反过来,若16ab ≤,则2ab a b ≤=≤+,当且仅当4a b ==时取等号, 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+,所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件, 故选:C3.(2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟(文))在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ,则ABC 的三个内角大小为( ) A .60A B C === B .90,45A B C === C .120,30A B C === D .90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+,利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒,由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥,所以()221142S b c bc =+≥(当且仅当b=c 时取等号). 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥,即sin 1A ≥,所以sin =1A , 因为A 为三角形内角,所以90A =︒. 又因为b=c ,所以90,45A B C ===. 故选:B4.(2021·浙江高三月考)已知实数x ,y 满足2244x y +=,则xy 的最小值是( )A .2-B .C .D .1-【答案】D 【解析】运用三角代换法,结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=,令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩, 因此2cos sin sin 2xy θθθ==,因为1sin 21θ-≤≤,所以11xy -≤≤, 因此xy 的最小值是1-, 故选:D5.(2021·北京高三二模)某公司购买一批机器投入生产,若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数,*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-,要使年平均利润最大,则每台机器运转的年数t 为( ) A .5 B .6C .7D .8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.4基本不等式及其应用讲义含解析
§2.4 基本不等式及其应用1.基本不等式:ab ≤a +b2(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ). (2)b a +a b≥2(a ,b 同号). (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22 (a ,b ∈R ).(4)a 2+b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22(a ,b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a =b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值2p .(简记:积定和最小)(2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值p 24.(简记:和定积最大)概念方法微思考1.若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?提示 不一定.若这两个正数能相等,则这两个数的积一定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值. 2.函数y =x +1x的最小值是2吗?提示 不是.因为函数y =x +1x 的定义域是{x |x ≠0},当x <0时,y <0,所以函数y =x +1x无最小值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )=cos x +4cos x ,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y +y x≥2”的充要条件.( × ) (3)(a +b )2≥4ab (a ,b ∈R ).( √ ) (4)若a >0,则a 3+1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2≥ab 有相同的成立条件.( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ ) 题组二 教材改编2.[P100A 组T1]设x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A .80B .77C .81D .82 答案 C解析 ∵x >0,y >0,∴x +y2≥xy ,即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x +y 22=81,当且仅当x =y =9时,(xy )max=81.3.[P100A 组T2]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ,面积为y m 2则另一边为12×(20-2x )=(10-x )m,0<x <10,∴y =x (10-x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +(10-x )22=25,当且仅当x =10-x ,即x =5时,y max =25. 题组三 易错自纠4.“x >0”是“x +1x≥2成立”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时,x +1x≥2x ·1x =2. 因为x ,1x同号,所以若x +1x≥2,则x >0,1x>0,所以“x >0”是“x +1x≥2成立”的充要条件,故选C.5.若正数x ,y 满足3x +y =5xy ,则4x +3y 的最小值是( ) A .2B .3C .4D .5 答案 D解析 由3x +y =5xy ,得3x +y xy =3y +1x=5,所以4x +3y =(4x +3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y +1x=15⎝⎛⎭⎪⎫4+9+3y x +12x y≥15(4+9+236)=5, 当且仅当3y x =12xy,即y =2x 时,等号成立,故4x +3y 的最小值为5.故选D.6.(2018·温州市适应性考试)已知2a+4b=2(a ,b ∈R ),则a +2b 的最大值为________. 答案 0解析 因为2=2a+4b≥22a +2b,当且仅当a =b =0时等号成立,所以a +2b ≤0,即a +2b的最大值为0.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1,则x (4-3x )取得最大值时x 的值为________. 答案 23解析 x (4-3x )=13·(3x )(4-3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x +(4-3x )22=43,当且仅当3x =4-3x ,即x =23时,取等号.(2)(2019·台州质检)当x >0时,x +ax +1(a >0)的最小值为3,则实数a 的值为________.答案 4解析 因为当x >0,a >0时,x +a x +1=x +1+a x +1-1≥2a -1,当且仅当x +1=ax +1时,等号成立,又x +ax +1(a >0)的最小值为3,所以2a -1=3,解得a =4.命题点2 常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a >0,b >0,且满足a +2b =2.若不等式abt +(t -2)a -b ≤1恒成立,则实数t 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤-∞,94解析 因为对于任意的a >0,b >0,a +2b =2,不等式abt +(t -2)a -b ≤1恒成立,即1a +2b +1≥t 恒成立.因为1a +2b +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b +1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4+b +12=54+b +12a +a 2(b +1)≥54+1=94,当且仅当b +12a =a 2(b +1),即a =b +1=43,b =13时,取到最小值,所以t ≤94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ,b 满足a 2-b +4≤0,则u =2a +3b a +b ( )A .有最大值145B .有最小值145C .有最小值3D .有最大值3答案 B解析 ∵a 2-b +4≤0,∴b ≥a 2+4, ∴a +b ≥a 2+a +4. 又∵a ,b >0,∴aa +b ≤aa 2+a +4,∴-aa +b≥-aa 2+a +4,∴u =2a +3b a +b =3-a a +b ≥3-a a 2+a +4=3-1a +4a+1≥3-12a ·4a+1=145, 当且仅当a =2,b =8时取等号.故选B.思维升华 (1)前提:“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法.跟踪训练1(1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x ,y 满足x 2+2xy -1=0,则2x +y 的最小值是( ) A.22B.2C.32D. 3 答案 D解析 由x 2+2xy -1=0,得y =12x -x 2,所以2x +y =2x +12x -x 2=32x +12x =12×⎝⎛⎭⎪⎫3x +1x ≥3x ·1x =3,当且仅当3x =1x ,即x =33时,等号成立,此时y =33,符合题意,所以2x +y 的最小值为3,故选D.(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x ,y >0,且x +y +1x +12y =194,则3x -716y 的最小值是________. 答案 -14解析 因为x +y +1x +12y =194,所以3x -716y =3x -716y +x +y +1x +12y -194=x +4x +y +116y -194≥92-194=-14,当且仅当x =4x ,y =116y ,即x =2,y =14时,取等号.题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC 中,点P 满足BP →=2PC →,过点P 的直线与AB ,AC 所在直线分别交于点M ,N ,若AM →=mAB →,AN →=nAC →(m >0,n >0),则m +2n 的最小值为( ) A .3B .4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →=AB →+BP →=AB →+23()AC →-AB → =13AB →+23AC →=13m AM →+23n AN →, ∵M ,P ,N 三点共线,∴13m +23n=1,∴m +2n =(m +2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m +23n =13+43+2n 3m +2m 3n ≥53+22n 3m ×2m 3n=53+43=3, 当且仅当m =n =1时等号成立. 命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·杭州七校联考)设x ,y 是正实数,若不等式x 4x +y +y x +4y ≤a ≤x x +4y +y4x +y 恒成立,则实数a 的值是________. 答案 25解析 令t =y x>0,则x 4x +y +y x +4y =14+y x +yx1+4y x=14+t +t 1+4t =14+t -14+16t +14=4+16t -4-t (4+t )(4+16t )+14=15t 16+68t +16t 2+14=1516t +16t+68+14≤15100+14=25,当且仅当t =1,即x =y 时,取等号,所以a ≥25.又x x +4y +y 4x +y =11+4y x +yx4+y x=11+4t +t 4+t =11+4t -44+t+1=4+t -4-16t (1+4t )(4+t )+1=1-15t4+17t +4t2=1-154t +4t+17≥1-1525=25,当且仅当t =1,即x =y 时,取等号,所以a ≤25.综上,a =25.跟踪训练2(2018·金华名校统练)已知正实数x ,y 满足x -y >0,x +y -2≤0,若m ≤2x +3y+1x -y恒成立,则实数m 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,3+224解析2x +3y +1x -y =⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3y +1x -y ×44≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3y +1x -y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2y 4= ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3y +1x -y ·x +3y -y +x 4=14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3+2(x -y )x +3y +x +3y x -y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫3+2 2(x -y )x +3y ·x +3y x -y =3+224, 当且仅当x +y =2,2(x -y )x +3y =x +3yx -y 时取等号,此时x =22-1,y =3-22,符合题意, 所以2x +3y +1x -y 的最小值为3+224,即m ≤3+224.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学的语言表达问题,用数学的方法构建模型解决问题.过程主要包括:在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型,最终解决实际问题.例某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x =3-km +1(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解 (1)由题意知,当m =0时,x =1, ∴1=3-k ,解得k =2, ∴x =3-2m +1, 每万件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元),∴2019年的利润y =1.5x ×8+16xx-8-16x -m=4+8x -m =4+8⎝⎛⎭⎪⎫3-2m +1-m =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m +1+(m +1)+29(m ≥0). (2)∵m ≥0时,16m +1+(m +1)≥216=8, ∴y ≤-8+29=21, 当且仅当16m +1=m +1, 即m =3(万元)时,y max =21(万元).故该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值.1.函数f (x )=x 2+4|x |的最小值为( )A .3B .4C .6D .8 答案 B解析 f (x )=x 2+4|x |=|x |+4|x |≥24=4,当且仅当x =±2时,等号成立,故选B.2.若x >0,y >0,则“x +2y =22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A .x =y B .x =2y C .x =2且y =1 D .x =y 或y =1答案 C解析 ∵x >0,y >0,∴x +2y ≥22xy ,当且仅当x =2y 时取等号.故“x =2且y =1”是“x +2y =22xy ”的充分不必要条件.故选C. 3.已知正数a ,b 满足a +b =1,则4a +1b的最小值为( )A.53B .3C .5D .9 答案 D解析 由题意知,正数a ,b 满足a +b =1, 则4a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b (a +b )=4+1+4b a+ab≥5+24b a ·ab=9,当且仅当4b a =a b ,即a =23,b =13时等号成立,所以4a +1b的最小值为9,故选D.4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F 在半圆O 上,点C 在直径AB 上,且OF ⊥AB ,设AC =a ,BC =b ,则该图形可以完成的无字证明为( )A.a +b2≥ab (a >0,b >0)B .a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0) C.2aba +b≤ab (a >0,b >0)D.a +b2≤a 2+b 22(a >0,b >0)答案 D解析 由AC =a ,BC =b ,可得圆O 的半径r =a +b2,又OC =OB -BC =a +b2-b =a -b2,则FC 2=OC 2+OF 2=(a -b )24+(a +b )24=a 2+b22,再根据题图知FO ≤FC ,即a +b2≤a 2+b 22,当且仅当a =b 时取等号.故选D.5.(2018·杭州模拟)若实数x ,y ,z 满足2x+2y=2x +y,2x+2y +2z =2x +y +z,则z 的最大值为( ) A .2-log 23 B .2+log 23 C.43 D .log 23答案 A 解析 因为2x +y=2x +2y ≥22x ·2y =22x +y(当且仅当x =y 时取等号),所以2x +y≥4.又2x+2y+2z=2x +y +z,所以2x +y+2z =2x +y·2z,所以2z=2x +y2x +y -1=1+12x +y -1,由2x +y ≥4得2z的最大值为43,从而z 的最大值为2-log 23.6.(2018·嘉兴市教学测试)已知x +y =1x +4y+8(x >0,y >0),则x +y 的最小值为( )A .53B .9C .4+26D .10 答案 B解析 由题意可知(x +y )2=(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y +8=5+8(x +y )+⎝ ⎛⎭⎪⎫y x +4x y ,由基本不等式可知y x+4x y≥2y x ·4x y=4(当且仅当y =2x 时取等号),令t =x +y (t >0),则t 2≥5+8t +4,即t 2-8t -9=(t -9)·(t +1)≥0,得t ≥9,从而当x =3,y =6时,x +y 取得最小值,最小值为9,故选B.7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图,在△ABC 中,点D ,E 是线段BC 上两个动点,且AD →+AE →=xAB →+yAC →,则1x +4y的最小值为( )A.32B .2C.52D.92 答案 D解析 设AD →=mAB →+nAC →,AE →=λAB →+μAC →, ∵B ,D ,E ,C 共线,∴m +n =1,λ+μ=1, ∵AD →+AE →=xAB →+yAC →=()m +λAB →+()n +μAC →,则x +y =m +n +λ+μ=2,∴1x +4y =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y ()x +y =12⎝ ⎛⎭⎪⎫5+y x +4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2y x ·4x y =92,当且仅当x =23,y =43时,等号成立.故1x +4y 的最小值为92,故选D. 8.(2018·湖州五校模拟)已知x 2-3xy +2y 2=1(x ,y ∈R ),则x 2+y 2的最小值为( ) A.10-6 B.10+6 C .210+6 D .210-6答案 D解析 方法一 ∵x 2-3xy +2y 2=(x -y )(x -2y )=1,∴可设x -y =t ,x -2y =1t(t ≠0),∴x=2t -1t ,y =t -1t,代入所求式子得x 2+y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫2t -1t 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫t -1t 2=5t 2+2t2-6≥210-6,当且仅当5t 2=2t2时等号成立,∴x 2+y 2的最小值为210-6.方法二 设x 2+y 2=t 2,x =t cos θ,y =t sin θ,代入已知等式得,t 2cos 2θ-3t 2sin θcos θ+2t 2sin 2θ=1,∴1t 2=cos 2θ-3sin θcos θ+2sin 2θ=1-32sin2θ+1-cos2θ2=32-12(3sin2θ+cos2θ)=32-12×10·sin(2θ+φ)≤3+102,其中sin φ=1010,cos φ=31010. ∴t 2≥23+10=210-6,∴x 2+y 2的最小值为210-6.9.(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x ,y 满足2x +y =2,则当x =________时,1x-y 取得最小值为________. 答案2222-2 解析 因为x ,y 为正数,则2x +y =2⇒y =2-2x >0⇒0<x <1,所以1x -(2-2x )=1x+2x -2≥22-2,当且仅当1x =2x ,即x =22时等号成立.10.已知a ,b 为正实数,且(a -b )2=4(ab )3,则1a +1b的最小值为________.答案 2 2解析 由题意得(a -b )2=(a +b )2-4ab , 代入已知得(a +b )2=4(ab )3+4ab ,两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b ab 2=4(ab )3a 2b 2+4ab a 2b 2=4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab +1ab ≥4·2ab ·1ab=8,当且仅当ab =1时取等号. 所以1a +1b≥22,即1a +1b的最小值为2 2.11.(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m ,n 满足2m +n +6=mn ,则mn 的最小值是________. 答案 18解析 ∵2m +n ≥22mn ,∴mn =2m +n +6≥22mn +6,即mn ≥22mn +6,令t =2mn >0,则12t 2≥2t +6,解得t ≤-2或t ≥6,又t >0,∴t ≥6,即2mn ≥6,∴mn ≥18,当且仅当2m =n =6时,等号成立,故mn 的最小值为18.12.(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x ,y ,z 满足x +2y +3z =1,x 2+4y 2+9z 2=1,则z 的最小值是________. 答案 -19解析 因为1-9z 2=(x +2y )2-2·x ·2y ≥(x +2y )2-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2y 22,又x +2y =1-3z ,则1-9z 2≥12(1-3z )2,解得-19≤z ≤13,即z 的最小值为-19.13.(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x ,y 满足x +2y +3=xy ,且对任意的实数x ∈(2,+∞),y ∈(1,+∞),不等式(x +y -3)2-a (x +y -3)+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,21510B .(-∞,25]C .[25,+∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫21510,+∞ 答案 A解析 因为x ∈(2,+∞),y ∈(1,+∞),所以x +y -3>0,所以不等式(x +y -3)2-a (x +y -3)+1≥0可转化为(x +y -3)+1x +y -3≥a .令t =x +y -3,t >0,则f (t )=t +1t≥a ,且函数f (t )在区间[1,+∞)上单调递增.方法一 等式x +2y +3=xy 可化为(x -2)(y -1)=5,令m =x -2,n =y -1,则m >0,n >0,且mn =5,则t =m +n ≥2mn =25,当且仅当m =n ,即x =y +1,即x =2+5,y =1+5时等号成立,故f (t )≥f (25)=25+125=21510,所以a ≤21510.方法二 x +2y +3=xy 可化为y =1+5x -2(x >2),故直线x +y -3-t =0与函数y =1+5x -2(x >2)的图象有公共点,当两者相切时是临界位置,此时y ′=-5(x -2)2=-1,得x =2+5,y =1+5,此时,t =25,数形(图略)结合可知当t ≥25时,符合题意,故f (t )≥f (25)=25+125=21510,所以a ≤21510.14.对任意实数x >1,y >12,不等式x 2a 2(2y -1)+4y2a 2(x -1)≥1恒成立,则实数a 的最大值为( )A .2B .4C.142D .2 2 答案 D解析 依题意得a 2≤x 22y -1+4y2x -1.令x -1=m >0,2y -1=n >0,则x 22y -1+4y 2x -1=(m +1)2n +(n +1)2m ≥(2m )2n +(2n )2m =4m n +4n m≥24m n ×4nm=8,即x 22y -1+4y 2x -1≥8, 当且仅当m =n =1时取等号,因此x 22y -1+4y 2x -1的最小值是8,从而a 2≤8,-22≤a ≤22,且a ≠0, 故实数a 的最大值是2 2.15.(2018·宁波模拟)已知x ,y 均为非负实数,且x +y ≤1,则4x 2+4y 2+(1-x -y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,4 B .[1,4] C .[2,4] D .[2,9]答案 A解析 因为x ≥0,y ≥0,所以(x +y )22≤x 2+y 2≤(x +y )2,则4x 2+4y 2+(1-x -y )2=4(x 2+y 2)+[1-(x +y )]2≤4(x +y )2+[1-(x +y )]2=5(x +y )2-2(x +y )+1,又因为0≤x +y ≤1,所以4x 2+4y 2+(1-x -y )2≤5(x +y )2-2(x +y )+1≤4,当且仅当xy =0且x +y =1,即⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1时,等号成立;另一方面4x 2+4y 2+(1-x -y )2=4(x 2+y 2)+[1-(x+y )]2≥2(x +y )2+[1-(x +y )]2=3(x +y )2-2(x +y )+1,又因为0≤x +y ≤1,所以4x 2+4y 2+(1-x -y )2≥3(x +y )2-2(x +y )+1≥23,当且仅当x =y 且x +y =13,即x =y =16时,等号成立.综上所述,4x 2+4y 2+(1-x -y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,4,故选A.16.(2018·杭州学军中学模拟)若x ,y ∈R 满足2sin 2(x +y -1)=(x +1)2+(y -1)2-2xyx -y +1,则xy 的最小值为________.答案 (π-2)216解析 2sin 2(x +y -1)=(x +1)2+(y -1)2-2xy x -y +1=x 2+2x +1+y 2-2y +1-2xyx -y +1=(x -y +1)2+1x -y +1=x -y +1+1x -y +1,又因为2sin 2(x +y -1)∈[0,2],x -y +1+1x -y +1≥2或x -y +1+1x -y +1≤-2,所以x -y +1+1x -y +1=2,此时⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1=1,sin 2(x +y -1)=1,即⎩⎪⎨⎪⎧x =y ,sin (2x -1)=±1,则2x -1=π2+k π,k ∈Z ,解得x =π4+12+k π2,k ∈Z ,则xy =x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+12+k π22,k ∈Z ,所以当k =-1时,xy =⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+12+k π22取得最小值(π-2)216.。
2020年高考数学《基本不等式及其应用(2)》专项训练及答案解析
基本不等式及其应用(2)一、基础检测1、(2017苏北四市一模)已知正数a ,b 满足1a +9b=ab -5,则ab 的最小值为________.【答案】. 36【解析】因为正数a ,b 满足1a +9b =ab -5,所以ab -5≥29ab,当且仅当9a =b 时等号成立,即ab -5ab -6≥0,解得ab ≥6或ab ≤-1(舍去),因此ab ≥36,从而(ab )min =36. 2、(2015镇江期末) 已知正数x ,y 满足1x +1y =1,则4x x -1+9yy -1的最小值为________.【答案】25【解析】因为1y =1-1x ,所以4x x -1+9y y -1=4x x -1+91-1y=4x x -1+9x =4+4x -1+9(x -1)+9=13+4x -1+9(x -1)=13+4x -1+9(x -1).又因为1y =1-1x >0,所以x >1,同理y >1,所以13+4x -1+9(x -1)≥13+24×9=25,当且仅当x =53时取等号,所以4x x -1+9y y -1的最小值为25.3、(2016苏州期末) 已知ab =14,a ,b ∈(0,1),则11-a +21-b 的最小值为________.【答案】. 4+423【解析】思路分析 两元问题通常化为一元问题,先尝试消去一个变量.由题意得b =14a ,所以0<14a <1,即a ∈(14,1),消去b ,得11-a +21-b =11-a +8a 4a -1=11-a+24a -1+2. 解法1 若注意到4(1-a )+(4a -1)=3,记S =11-a +24a -1,则S =44-4a +24a -1=13[(4-4a )+(4a -1)](44-4a +24a -1)=2+23[4-4a 4a -1+24a -14-4a]≥2+423,当且仅当4-4a4a -1=24a -14-4a时等号成立,所以最小值为4+423.解法2 11-a +24a -1=2a +11-a 4a -1,令2a +1=x ,原式=2x-2x 2+9x -9=2-2x -9x+9≥29-22x ·9x=2+423. 以下同解法1.4、(2016苏北四市期末) 已知正数a ,b ,c 满足b +c ≥a ,则b c +ca +b的最小值为________.【答案】. 2-12【解析】因为正数a ,b ,c 满足b +c ≥a ,所以b c +1≥a c ,2b c +1≥a c +b c ,其中b c >0,ac>0, 所以b c +c a +b =b c +1a c +b c ≥b c +12bc+1,(*)令t =2b c +1(t >1),则b c =t 2-12,所以(*)可化为b c +12b c +1=t 2-12+1t≥2t 2·1t -12=2-12, 当且仅当t 2=1t 即t =2时取等号,于是b c +c a +b ≥2-12,即b c +c a +b 的最小值为2-12.5、(2017无锡期末)已知a >0,b >0,c >2,且a +b =2,则ac b +c ab -c 2+5c -2的最小值为________.【答案】. 10+ 5【解析】思路分析根据目标式的特征,进行恰当的变形,利用基本不等式知识求解.因为a>0,b>0,所以ab+1ab-12=ab+a+b24ab-12=ab+a2+2ab+b24ab-12=5a4b+b4a≥52,当且仅当b=5a时等号成立.又因为c>2,由不等式的性质可得acb+cab-c2+5c-2=cab+1ab-1 2+5c-2≥52c+5c-2.又因为52c+5c-2=52(c-2)+5c-2+5≥10+5,当且仅当c=2+2时等号成立.所以acb+cab-c2+5c-2的最小值为10+ 5.解后反思多变量函数的最值问题,通常需要消元.本题的关键是首先通过固定变量c(视a,b为主元),然后利用代换(齐次化),配凑等技巧对代数式进行两次变形,为利用基本不等式创造了条件,并结合不等式的性质,巧妙地求得了最小值.6、(2019通州、海门、启东期末)已知实数a>b>0,且a+b=2,则3a-ba2+2ab-3b2的最小值为________.【答案】3+54【解析】思路分析1注意到问题中含有两个变量a,b,且满足a+b=2,因此可以考虑进行消元,将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理.思路分析2注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式,为此想到将它们转化为齐次式来加以处理,即将分子利用条件a+b=2,通过常数代换转化为二次式,进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理.思路分析3注意到所求的代数式的分母可以因式分解为(a+3b)(a-b),因此,将a+3b,a-b分别作为两个新的变量m,n,从而将问题转化为以新变量m,n的形式来加以处理.解析1(消元法):因为a+b=2,所以0<b=2-a<a,解得1<a<2,从而3a-ba2+2ab-3b2=3a-(2-a)a2+2a(2-a)-3(2-a)2=2a-1-2(a2-4a+3),令t=2a-1∈(1,3),则3a-ba2+2ab-3b2=2t-t2+6t-5=26-(t+5t)≥26-25=3+54,当且仅当t=5时等号成立.解析2(化齐次式法):因为a+b=2,所以3a-ba2+2ab-3b2=(a+b)(3a-b)2(a2+2ab-3b2)=32+2(-ab+2b2)a2+2ab-3b2=32+2(2-ab)(ab)2+2·ab-3,令u=2-ab,因为a+b=2,a>b>0,所以2-b>b>0,故0<b<1,从而u=2-ab=2-2-bb=3-2b∈(-∞,1),则3a-ba2+2ab-3b2=32+2uu2-6u+5=32+2u+5u-6当u∈(0,1)时,u+5u-6>0,此时3a-ba2+2ab-3b2>32;当u<0时,u+5u-6=-⎝⎛⎭⎪⎫-u+5-u-6≤-6-25,此时3a-ba2+2ab-3b2≥32+2-6-25=3+54,当且仅当u=-5时等号成立.因此3a-ba2+2ab-3b2的最小值为3+54.解析3(换元法):因为3a-ba2+2ab-3b2=3a-b(a-b)(a+3b),令m=a-b,n=a+3b,从而a=3m+n4,b=n-m4,从而3a-ba2+2ab-3b2=3a-b(a-b)(a+3b)=5m+n2mn=12(1m+5n),由a+b=2得m+n=4(m,n>0),故由(m+n)(1m+5n)=6+nm+5mn≥6+25,当且仅当n=5m时等号成立,此时3a -b a 2+2ab -3b 2=12(1m +5n )≥3+54.二、拓展延伸题型一 运用基本不等式解决含参问题知识点拨:对于不等式中的成立问题,通常采取通过参数分离后,转化为求最值问题, 例1、(2019扬州期末)已知正实数x ,y 满足x +4y -xy =0,若x +y≥m 恒成立,则实数m 的取值范围为_________. 【答案】、(-∞,9]【解析】、m≤x+y 恒成立,m≤(x+y)min .解法1(消元法) 由x +4y -xy =0,得y =xx -4,因为x ,y 是正实数,所以y>0,x>4,则x +y =x +x x -4=x +x -4+4x -4=x +4x -4+1=(x -4)+4x -4+5≥2(x -4)·4x -4+5=9,当且仅当x =6时,等号成立,即x +y 的最小值是9,故m≤9.解法2(“1”的代换) 因为x ,y 是正实数,由x +4y -xy =0,得4x +1y =1,x +y =(x +y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +1y =4y x +xy +5≥24y x ·xy+5=9,当且仅当x =6,y =3时,等号成立,即x +y 的最小值是9,故m≤9.解法3(函数法) 令t =x +y ,则y =t -x ,代入x +4y -xy =0,得x 2-(3+t)x +4t =0.Δ=(t +3)2-16t =t 2-10t +q≥0,得t≤1或t≥9.又y =x x -4>0,且x>0,则x>4,故t>4,从而t≥9.所以m≤9.解后反思对于含有多个变量式的最值如何求?解法1用了最基本的方法一消元转化为一元变量,对于一元变量的求量值的方法就很多了,这里用了基本不等式法,解法2直接运用了不等式中的“1”的代换法的技巧,显得很方便.一般地,在条件与结论中分别含有mx +ny 以及a x +by (m ,n ,a ,b 为正常数,x ,y 为正参数)形式的代数式时,要求相关的最值,利用两式相乘来构造基本不等式的形式求最值是一种基本手段;解法3则采用了方程的思想,通过将问题转化为方程有解,进而转化为方程有解来解决,这种解法用来求二元函数的最值问题是非常有效的.这里的解法1是虽然是通法,但往往计算相对比较复杂,而解法2有一定的技巧,但求解比较方便.解法3则比较通用,没有技巧,计算也不复杂.【变式1】、(2017镇江期末) 已知不等式(m -n)2+(m -ln n +λ)2≥2对任意m∈R ,n ∈(0,+∞)恒成立,则实数λ的取值范围为________. 【答案】、[1,+∞)【解析】、思路分析 由于条件“(m -n )2+(m -ln n +λ)2≥2”中平方和的特征,可联想到两点(m ,m +λ),(n ,ln n )的距离公式,而点(m ,m +λ),(n ,ln n )分别是直线y =x +λ和曲线f (x )=ln x 上动点,故可转化为直线y =x +λ和曲线f (x )=ln x 上点之间的距离大于等于 2.条件“不等式(m -n )2+(m -ln n +λ)2≥2对任意m ∈R ,n ∈(0,+∞)恒成立”可看作“直线y =x +λ以及曲线f (x )=ln x 上点之间的距离恒大于等于2”.如图,当与直线y =x +λ平行的直线与曲线f (x )=ln x 相切时,两平行线间的距离最短,f ′(x )=1x=1,故切点A (1,0),此切点到直线y =x +λ的距离为|1+λ|2≥2,解得λ≥1或λ≤-3(舍去,此时直线与曲线相交).【变式2】、(2016徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x +y +4=2xy 的任意正实数x ,y ,都有x 2+2xy +y 2-ax -ay +1≥0,则实数a 的取值范围是________. 【答案】、⎝⎛⎦⎥⎤-∞,174【解析】、思路分析 不等式x 2+2xy +y 2-ax -ay +1≥0的构造比较特殊,可以化为关于x +y的不等式,再根据不等式及x+y+4=2xy求出x+y的范围即可.对于正实数x,y,由x+y+4=2xy得x+y+4=2xy≤x+y22,解得x+y≥4,不等式x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0可化为(x+y)2-a(x+y)+1≥0,令t=x+y(t≥4),则该不等式可化为t2-at+1≥0,即a≤t+1t对于任意的t≥4恒成立,令u(t)=t+1t(t≥4),则u′(t)=1-1t2=t2-1t2>0对于任意的t≥4恒成立,从而函数u(t)=t+1t(t≥4)为单调递增函数,所以u(t)min=u(4)=4+14=174,于是a≤174.易错警示在求函数u(t)=t+1t(t≥4)的最小值时,有的考生直接用基本不等式求出u(t)min=2,没有注意到t≥4的限制,从而得到错误的答案a≤2.【关联1】、在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式CD→2≥(m-2)OC→·OD→+m(OC→·OB→)·(OD→·OA→)对任意实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是________.【答案】、5-1【解析】、思路分析本题首先将所给不等式中的向量用坐标代入,然后再将其转化为关于a,b,c,d四元的不等式问题,再利用基本不等式处理最值问题.CD→2≥(m-2)OC→·OD→+m(OC→·OB→)·(OD→·OA→)对任意实数a,b,c,d都成立等价于a2+b2+c2+d2≥m(ac+bd+bc)对任意a,b,c,d都成立,由于求m的最大值,所以可只考虑m>0的情形,当ac+bd+bc≤0时,a2+b2+c2+d2≥m(ac+bd+bc)恒成立,当ac+bd+bc>0时,则需m≤a2+b2+c2+d2ac+bd+bc恒成立,下面用待定系数法求a2+b2+c2+d2ac+bd+bc的最小值,a2+b2+c2+d2ac+bd+bc=a2+xc2+yb2+d2+1-y b2+1-x c2ac+bd+bc≥2xac+2ybd+21-x1-y bcac+bd+bc,令x=y=1-x1-y,其中x,y ∈(0,1),解得x =3-52,x =5-12,所以a 2+b 2+c 2+d 2ac +bd +bc ≥5-1,所以m ≤⎝⎛⎭⎪⎫a 2+b 2+c 2+d 2ac +bd +bc min=5-1,故m 的最大值为5-1.题型二 不等式的综合运用知识点拨:多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式,其中“减元策略”的常见方法有:①通过消元以达到减少变量的个数,从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题;②通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”,一般地,关于多变元的“齐次式”多用此法.而应用基本不等式求最值时,要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理,为了凸现“和”与“积”的关系,可以通过换元的方法来简化问题的表现形式,从而达到更易处理的目的,例2、(2018镇江期末) 已知a ,b∈R ,a +b =4,则1a 2+1+1b 2+1的最大值为________. 【答案】、2+54【解析】、思路分析1 将1a 2+1+1b 2+1通分,变形为关于(a +b)和ab 的式子,将ab 作为一个变元,用导数作为工具求最大值,或用不等式放缩求最大值,但要先求出ab 的取值范围.思路分析2 注意到所研究的问题的条件与所求均为对称形式,若直接进行消元去处理会打乱它的对称性,为此,应用均值换元来进行处理.解法1(ab 作为一个变元) ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=4, 1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+2(a 2+1)(b 2+1)=(a +b )2-2ab +2(a +b )2-2ab +a 2b 2+1=2(9-ab )17-2ab +a 2b 2.设t =9-ab≥5,则2(9-ab )17-2ab +a 2b 2=2t t 2+80-16t ≤2t 85t -16t =5+24,当且仅当t 2=80时等号成立,所以,1a 2+1+1b 2+1的最大值为5+24.解法2(均值换元) 因为a +b =4,所以,令a =2+t ,b =2-t ,则f(t)=1a 2+1+1b 2+1=1t 2+4t +5+1t 2-4t +5=2(t 2+5)(t 2+5)2-16t 2,令u =t 2+5≥5,则g(u)=2u u 2-16u +80=2u +80u-16≤285-16=2+54,当且仅当u =45时等号成立.所以1a 2+1+1b 2+1的最大值为5+24.解后反思 “减元”是解决不等式求最值问题的重要途径,常用的减元方法有代入消元、换元消元、二合一消元、放缩消元,本题通过变形先将条件代入,所求式子就变成了ab 的函数2(9-ab )17-2ab +a 2b 2,而这样的分式常将低次的看成一个整体进行换元,从而达到化简的目的.当然,本题也可以直接进行消元,然后利用导数的方法来求它的最大值,只不过,此法比较繁琐.而应用均值换元的方法保持了它的对称性,从而运算比较简单,比较容易操作.【变式1】、(2018扬州期末) 已知正实数x ,y 满足5x 2+4xy -y 2=1,则12x 2+8xy -y 2的最小值为________. 【答案】73【解析】、思路分析1 注意到所给出的条件比较复杂,且左边能进行分解因式,因此,通过双变量换元,将它转化为以新的变量为元的问题来加以处理.思路分析2 注意到条件与所研究的结论是关于x ,y 的二次齐次式,因此,利用“常数1的代换”,将所研究的问题转化为“单变量”的问题来加以解决.思路分析3 注意到条件与所研究的结论是关于x ,y 的二次齐次式,因此,利用“基本不等式”进行放缩,将所研究的问题转化为条件等式的“倍式”来加以解决.思路分析4 令t =12x 2+8xy -y 2,这样,它就与已知条件构成了两个方程,它们所构成的方程组有解,通过消元后,得到关于一个元的方程,利用方程有解来进行处理.解法1(双变量换元) 因为x>0,y>0,且满足5x 2+4xy -y 2=1,由此可得(5x -y)(x +y)=1,令u =5x -y ,v =x +y ,则有u>0,v>0,uv =1,并且x =u +v 6,y =5v -u6,代入12x 2+8xy -y 2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫u +v 62+8·u +v 6·5v -u 6-⎝ ⎛⎭⎪⎫5v -u 62=u 2+9v 2+22uv 12≥2u 2·9v 2+22uv 12=28uv 12=28×112=73,当且仅当u =3v ,uv =1,即u =3,v =33,亦即x =239,y =39时,12x 2+8xy -y 2取得最小值73.解法2(常数1的代换) 因为x>0,y>0,且满足5x 2+4xy -y 2=1,由此可得(5x -y)(x +y)=1,因为x>0,y>0,x +y>0,所以5x -y>0,即有0<y x <5,令t =yx ,则0<t<5,所以12x 2+8xy -y 2=12x 2+8xy -y 21=12x 2+8xy -y 25x 2+4xy -y 2=1+7x 2+4xy 5x 2+4xy -y 2=1+7+4·yx 5+4·y x -⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2=1+4t +7-t 2+4t +5. 再令f(t)=1+4t +7-t 2+4t +5(0<t<5). 令f′(t)=4(-t 2+4t +5)-(4t +7)(-2t +4)(-t 2+4t +5)2=2(2t -1)(t +4)(-t 2+4t +5)2=0,因为0<t<5,所以t =12.当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12时,f′(t)<0,f(t)单调递减;当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,5时,f′(t)>0,f(t)单调递增,所以当t =12时,f(t)取极小值,也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=73.此时x =2y ,结合5x 2+4xy -y 2=1,解得x =239,y =39,即当x =239,y =39时,12x 2+8xy -y 2取得最小值73.解法3(基本不等式) 因为x>0,y>0,设u>0,v>0,则ux 2+vy 2≥2uvxy.12x 2+8xy -y 2≥12x2+8xy -y 2+(2uvxy -ux 2-vy 2),即12x 2+8xy -y 2≥(12-u)x 2+(8+2uv)xy -(v +1)y 2.令(12-u)x 2+(8+2uv)xy -(v +1)y 2=t(5x 2+4xy -y 2)=t ,则12-u =5t ,8+2uv =4t ,v +1=t ,解得t =73,u =13,v =43,所以12x 2+8xy -y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2+8xy -73y 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2+43y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2+8xy -73y 2+213x 2·43y 2=353x 2+283xy -73y 2=73(5x 2+4xy -y 2)=73,当且仅当x =2y ,结合5x 2+4xy -y 2=1,解得x =239,y =39,即当x =239,y =39时,12x 2+8xy -y 2取得最小值73.解法4(利用方程组有解) 令t =12x 2+8xy -y 2=7x 2+4xy +1,则y =t -1-7x 24x,代入5x 2+4xy -y 2=1并化简得81x 4-(30t -46)x 2+(t -1)2=0,从而以u =x 2(u>0)为元的二次方程 81u 2-(30t -46)u +(t -1)2=0有正数解,故⎩⎨⎧Δ=4(15t -23)2-4×81(t -1)2≥0,30t -46>0,解得t≥73,当t =73时,x =239,y =39 ,故等号成立,从而12x 2+8xy -y 2取得最小值73.【变式2】、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调) 已知对任意的x ∈R,3a (sin x +cos x )+2b sin2x ≤3(a ,b ∈R)恒成立,则当a +b 取得最小值时,a 的值是________. 【答案】-45【解析】、由a +b 取最小值,故令3(sin x +cos x )=2sin2x =λ<0,则a +b ≥3λ,即a +b 的最小值是3λ.设sin x +cos x =t ,其中t ∈[-2,2],则sin2x =t 2-1.由λ=3t =2(t 2-1),解得t =-12,则λ=-32,此时-32(a +b )≤3,所以a +b ≥-2.当a +b 取最小值-2时,3at +2(-a -2)(t 2-1)≤3对t ∈[-2,2]恒成立, 即2(a +2)t 2-3at -2a -1≥0对t ∈[-2,2]恒成立. 记f (t )=2(a +2)t 2-3at -2a -1,t ∈[-2,2].因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=0是f (t )的最小值,所以只能把f (t )看成以t 为自变量的一元二次函数,所以⎩⎨⎧2a +2>0,3a 4a +2=-12,解得a =-45.【变式3】、(2017南京三模)已知a ,b ,c 为正实数,且a +2b ≤8c ,2a +3b ≤2c ,则3a +8bc的取值范围为 ▲ . 【答案】.[27,30]【解析】、本题所给条件为关于,,a b c 的三元不等式,所以首先利用整体思想将其转化为,a b c c的二元问题,再根据条件和结论的特征,利用线性规划的思想解决取值范围.由题意可得:28232a bc c c c a b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,设,a b x y c c ==,则28232,0x y x yx y ⎧+≤⎪⎪+≤⎨⎪⎪>⎩,所求可转化为:38t x y =+.又28232x y x y +≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩可化为28333222221,0x y x y x x x y +≤⎧⎪⎪≥=+⎨--⎪>>⎪⎩,可行域如下图所示,当直线38t x y =+与曲线322xy x =-相切时有最小值,当直线38t x y =+经过点A 时有最大值.令28322x y x y x +=⎧⎪⎨=⎪-⎩,解得()2,3A ,即max 30t =.又322x y x =-,所以()263'822y x -==--,解得3x =,94y =,即切点坐标为93,4⎛⎫⎪⎝⎭, 所以min 27t =,即t 的取值范围为[27,30].【变式4】、(2017苏锡常镇调研(一)) 若正数x ,y 满足15x -y =22,则x 3+y 3-x 2-y 2的最小值为________. 【答案】、1【解析】、思路分析 本题最主要的解法是代入消元,然后用导数解决,但计算比较复杂,其余解法是猜特殊值.解法1 由已知y =15x -22,所以x 3+y 3-(x 2+y 2)=x 3+(15x -22)3-[x 2+(15x -22)2]=3 376x 3-15 076x 2+22 440x -11 132.令f (x )=3 376x 3-15 076x 2+22 440x -11 132,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2215,+∞,则f ′(x )=8(633x -935)(2x -3),所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2215,935633上单调递增,在⎝⎛⎭⎪⎫935633,32上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞上单调递增.所以f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=1.解法2 由f (x )=x 3-x 2, 得f ′(x )=3x 2-2x .令g (x )=f (x )-f ′(x 0)(x -x 0)-f (x 0), 故g (x )=(x -x 0)2(x +2x 0-1).当x 0≥12时,g (x )≥0,令x 0=32,则x 3-x 2≥154x -92;令x 0=12,则x 3-x 2≥-14x ,即y 3-y 2≥-14y ,所以x 3+y 3-x 2-y 2≥14(15x -y )-92=1.解法3 因为y 3-y 2+14y =14y (4y 2-4y +1)=14y (2y -1)2≥0.当y =12时,x =32.所以y 3-y 2≥-14y ①.令u =x 3-x 2,则u ′=3x 2-2x .当x =32时,u ′=154,u =x 3-x 2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32,98.切线为y =154⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32+98,即y =154x -92,即证x 3-x 2≥154x -92②.令h (x )=x 3-x 2-154x +92,h ′(x )=3x 2-2x -154=⎝⎛⎭⎪⎫3x +52⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32.令h ′(x )=0得x =32.当x =32时,h (x )min =0,所以x 3-x 2≥154x -92(x >0)恒成立,①+②得x 3+y 3-x 2-y 2≥15x -y 4-92=224-92=11-92=1. 解法4 由题意y =15x -22>0,则x >2215,y >0,又x 3+y 3-x 2-y 2=(x 3-x 2)+(y 3-y 2),其中y 3-y 2≥-14y ,当且仅当y =12时取等号.那么,当x =32时,f (x )=x 3-x 2在x =32处的导数为k =3x 2-2xx =32=154.x 3-x 2≥154x -92等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322(x +2)≥0,此式成立.因此有(x 3-x 2)+(y 3-y 2)≥-y 4+154x -92=1,当且仅当x =32,y =12时取等号.解法 5 x 3+y 3-x 2-y 2=x 3+94x +y 3+14y -x 2-y 2-94x -14y ≥3x 2+y 2-x 2-y 2-94x -14y =2x 2+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322-94x -14y -92≥6x -94x -14y -92=154x -14y -184=15x -y -184=1,当且仅当x =32,y =12时等号成立. 解后反思 本题考查代数推理与等价转化的数学思想方法,能力要求高,运算较繁.如何找到解决问题的突破口是关键.我们可以这样思考,从条件正数x ,y 满足15x -y =22出发,可以发现x >1,将x 3+y 3-x 2-y 2写成x 2(x -1)+y 2(y -1),如果y >1,那么x 3+y 3-x 2-y 2不可能有最小值,因此估计0<y <1,从二分法的角度思考,猜想y =12,代入条件可得x =32,此时可以猜得其最小值为1,下面再用基本不等式的方法加以证明.【变式5】、(2016泰州期末)若正实数x ,y 满足(2xy -1)2=(5y +2)(y -2),则x +12y的最大值为________. 【答案】322-1【解析】、思路分析 处理双元最值问题,常用消元法或整体法,也可以构建方程转化为方程有解去处理.如本题,思考方向一,可以设x +12y=z ,代入之后转化为关于y 的方程(4z 2-5)y 2-8(z -1)y +8=0在(2,+∞)上应有解,由Δ≥0解出z 的范围,并验证最大值成立;思考方向二,消去x 再用均值不等式去处理;思考方向三,观察得到⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1y 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫2y +22=9,直接通过均值不等式整体去处理;思考方向四,通过等比中项,引用一个新的参数q ,把x +12y用q 来表示再整理求最值.解法1 令x +12y =z ,则2xy =2yz -1,代入(2xy -1)2=(5y +2)(y -2)整理得(4z 2-5)y 2-8(z -1)y +8=0 (*),由题意得y -2≥0,该方程在[2,+∞)应有解,故Δ≥0,即64(z-1)2-32(4z 2-5)≥0,化简得2z 2+4z -7≤0, 故0<z ≤-1+322.检验:当z =322-1时,方程(*)可化为(17 -122)y 2-(122-16)y +8=0, 此时y 1+y 2=122-1617-122>0,y 1·y 2=817-122>4,故方程必有大于2的实根,所以x +12y 的最大值为322-1. 解法2 (2xy -1)2=(5y +2)(y -2),即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2y ,则x =⎝⎛⎭⎪⎫5+2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2y +1y 2,所以x +12y =12⎝⎛⎭⎪⎫5+2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2y +1y=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1y +12+94+⎝ ⎛⎭⎪⎫1y +1-1 ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝ ⎛⎭⎪⎫1y+12+94+⎝ ⎛⎭⎪⎫1y +12-1=322-1,当且仅当 -⎝ ⎛⎭⎪⎫1y +12+94=1y +1,即y =432-4>2时等号成立,所以x +12y 的最大值为322-1. 解法3 由(2xy -1)2=(5y +2)(y -2)得⎝⎛⎭⎪⎫2x -1y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2y ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1y 2=9-⎝ ⎛⎭⎪⎫2y +22,即⎝⎛⎭⎪⎫2x -1y 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫2y +22=9,所以9=⎝⎛⎭⎪⎫2x -1y 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫2y +22≥122x -1y +2y +22,所以x +12y ≤322-1.解法4 (2xy -1)2=(5y +2)(y -2)即⎝⎛⎭⎪⎫x -12y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫52+1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1y ,所以12-1y ,x -12y ,52+1y 成等比数列,设公比为q(q>1),将x ,1y用q表示,则x+12y =3q-1q2+1+12=3q -1+2q-1+2+12≤322-1,当且仅当q-1=2q-1,即q=2+1时等号成立.解后反思处理此类双元最值问题,要有方程、减元和整体意识,要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系,要带着方向和目标去解题,并能熟练掌握和运用不等式链:ab≤a+b2≤a2+b22(a,b>0)和ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a+b22≤a2+b22(a,b∈R).【变式6】、(2016南京三模)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1,则x-2y5x2-2xy+2y2的最大值为________.【答案】2 4【解析】、思路分析在2x2+xy-y2=1中,独立变量有两个,因为用x表示y或用y表示x均不方便,可引入第三个变量来表示x,y.由2x2+xy-y2=1,得(2x-y)(x+y)=1,设2x-y=t,x+y=1t,其中t≠0.则x=13t+13t,y=23t-13t,从而x-2y=t-1t,5x2-2xy+2y2=t2+1t2,记u=t-1t,则x-2y5x2-2xy+2y2=u u2+2=1u+2u≤12u·2u=24,当且仅当u=2u,即u=2时取等号,即最大值为24.思想根源实质上,已知条件为(2x-y)(x+y)=1,而x-2y5x2-2xy+2y2=2x-y-x+y2x-y2+x+y2.相当于:已知ab=1,求a-ba2+b2的最大值.【变式7】、(2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)设实数x,y满足x24-y2=1,则3x2-2xy的最小值是________.【答案】6+4 2【解析】、思路分析1 注意到所求的代数式为二次齐次式,所以应用“1的代换”将它进行转化.思路分析2 令t =3x 2-2xy ,由此来消去y ,转化为关于x 的方程,利用方程有解来加以解决.思路分析3 注意到x 24-y 2=1是一个可分解的二次式,因此,将它分解为两个一次因式,令其中一个为t ,将x ,y 转化为t 的代数式来加以处理.解法1 因为x 24-y 2=1,所以3x 2-2xy =3x 2-2xyx 24-y 2=3-2yx 14-⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2,令k =y x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12,则3x 2-2xy =3-2k 14-k 2=43-2k1-4k 2,再令t =3-2k ∈(2,4),则k =3-t 2,故3x 2-2xy =4t-t 2+6t -8=4-⎝⎛⎭⎪⎫t +8t +6≥46-28=6+42,当且仅当t =22时等号成立. 解法2 令t =3x 2-2xy ,则y =3x 2-t 2x ,代入方程x 24-y 2=1并化简得8x 4+(4-6t )x 2+t 2=0,令u =x 2≥4,则8u 2+(4-6t )u +t 2=0在[4,+∞)上有解,从而由⎩⎨⎧Δ=4-6t2-32t 2≥0,6t -416>0,得t 2-12t +4≥0,解得t ≥6+42,当取得最小值时,u=2+322满足题意. 解法 3 因为x 24-y 2=1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-y ,所以令x 2+y =t ,则x 2-y =1t ,从而⎩⎪⎨⎪⎧x =t +1t ,y =12⎝ ⎛⎭⎪⎫t -1t ,则3x 2-2xy =6+2t 2+4t2≥6+42,当且仅当t 2=2时等号成立.解后反思 本题的思维入口宽,可从多个角度来加以思考,从而考查了学生的思维的灵活性以及选择性.解题过程中,要善于从不同的角度来认识问题,这样就可以更快地找到解题的途径.【变式8】、已知正实数x ,y 满足24310x y x y+++=,则xy 的取值范围为 ▲ . 【答案】[1,83]【解析】法一:令t =xy ,则x =t y ,于是24310t y y y t y+++=.所以, 10=21(3)(4)y t ty+++≥,解得1≤t ≤83.当21(3)(4)y t t y +=+时,得y =423t t++.当t =1时,y =1,x =1;当t =83时,y =43, x =2.所以,1≤t ≤83为所求. 法二:令t =xy ,则y =t x,于是23410+++=t x x xx t.可得(1+4t )x 2-10x +2+3t =0,由△=100-4(1+4t)(2+3t )≥0,得1≤t ≤83.。
2020年高考数学二轮提升专题训练考点14 基本不等式及其应用(1)含答案
考点14 基本不等式及其应用(1)【自主热身,归纳总结】1、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ,满足1x y +=,则4yxy +的最小值是 ▲ .【答案】、8【解析】、因为正实数x y ,满足1x y +=, 所以4()444yy x y y xx yxy x y ⨯++=+=++424448y x x y≥⨯+=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研(一)) 已知a>0, b>0,且2a +3b =ab ,则ab 的最小值是________. 【答案】 26【解析】、思路分析 利用基本不等式,化和的形式为积的形式.因为ab =2a +3b ≥22a ·3b ,所以ab≥26,当且仅当2a =3b =6时,取等号.3、(2017苏北四市期末). 若实数x ,y 满足xy +3x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12,则3x +1y -3的最小值为________.【答案】. 8【解析】、解法1 因为实数x ,y 满足xy +3x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12,所以y =3x -3(y >3),所以3x +1y -3=y +3+1y -3=y -3+1y -3+6≥2y -3·1y -3+6=8,当且仅当y -3=1y -3,即y =4时取等号,此时x =37,所以3x +1y -3的最小值为8. 解法2 因为实数x ,y 满足xy +3x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12,所以y =3x -3(y >3),y -3=3x -6>0,所以3x +1y -3=3x +13x -6=3x -6+13x -6+6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -6·13x -6+6=8,当且仅当3x -6=13x -6,即x =37时取等号,此时y =4,所以3x +1y -3的最小值为8.解后反思 从消元的角度看,可以利用等式xy +3x =3消“实数x ”或消“实数y ”,无论用哪种消元方式,消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟.4、(2015苏北四市期末)已知a,b为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,则2a+3b的最小值为________.【答案】25【解析】、由于直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,所以a(b-3)=2b,即2 a+3b=1(a,b均为正数),所以2a+3b=(2a +3b)⎝⎛⎭⎪⎫2a+3b=13+6⎝⎛⎭⎪⎫ba+ab≥13+6×2ba×ab=25(当且仅当ba=ab即a=b=5时取等号).5、(2017南京、盐城、徐州二模)已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sinαsinβ,则tanα的最大值是________.【答案】2 4【解析】、思路分析注意研究目标,故先要将cos(α+β)应用两角和的余弦公式展开,然后利用同角三角函数式将tanα表示为β的函数形式,利用求函数的最值方法可得到结果.由cos(α+β)=sinαsinβ得cosαcosβ-sinαsinβ=sinαsinβ,即cosαcosβ=sinα⎝⎛⎭⎪⎫sinβ+1sinβ,由α,β均为锐角得cosα≠0,tanβ>0,所以tanα=sinαcosα=cosβsinβ+1sinβ=sinβcosβsin2β+1=tanβ2tan2β+1=12tanβ+1tanβ≤122=24,当且仅当2tanβ=1tanβ,即tanβ=22时,等号成立.解后反思根据所求的目标,将所求的目标转化为相关的变量的函数,是研究最值问题的基本方法.6、(2016宿迁一模)若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是________.【答案】2【解析】、解法1 因为a2-ab+b2=1,即(a+b)2-3ab=1,从而3ab=(a+b)2-1≤3a+b24,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2,所以(a+b)max=2.解法2 令u=a+b,与a2-ab+b2=1联立消去b得3a2-3au+u2-1=0,由于此方程有解,从而有Δ=9u2-12(u2-1)≥0,即u2≤4,所以-2≤u≤2,所以(a+b)max=2.解法3 由于a2-ab+b2=1与代数式a+b是对称的,根据对称极端性原理,当a=b时取得最值,此时a2=1,从而a=±1,所以(a+b)max=2a=2.7、(2017苏北四市一模) 已知a ,b 为正实数,且a +b =2,则a 2+2a +b 2b +1的最小值为________.【答案】2+223【解析】、思路分析 令b +1=c ,通过换元,使得“别扭”变“顺眼”,本题就变得比较常规了. 设b +1=c ,则b =c -1,a +c =3,且0<a <2,1<c <3.所以a 2+2a +b 2b +1=a +2a +c -12c=a +c+2a +1c -2=1+2a +1c =1+13(a +c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1c =2+13⎝ ⎛⎭⎪⎫a c +2c a ≥2+223,当且仅当a =2c ,即c =3(2-1)∈(1,3)时,取等号.8、(2019苏州三市、苏北四市二调) 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c>0(a ,b ,c ∈R )的解集为{x |3<x <4},则c 2+5a +b 的最小值为________.【答案】 4 5思路分析 先根据一元二次不等式的解集,确定a<0,以及a ,b ,c 的关系,再将所求c 2+5a +b 运用消元法,统一成单变量a 的函数问题,运用基本不等式求最值.依题意得a<0,且3和4是方程ax 2+bx +c =0的两根,即⎩⎪⎨⎪⎧-b a =7,c a =12,则⎩⎨⎧b =-7a ,c =12a ,所以c 2+5a +b =144a 2+5a -7a =144a 2+5-6a =(-24a)+⎝ ⎛⎭⎪⎫5-6a ≥2(-24a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫5-6a =45,当且仅当144a 2=5,即a =-512时取等号,所以所求最小值为4 5.9、(2015扬州期末)设实数x ,y 满足x 2+2xy -1=0,则x 2+y 2的最小值是________. 【答案】5-12思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.注意中消去y 较易,所以消去y .解法 1 由x 2+2xy -1=0得y =1-x 22x ,从而x 2+y 2=x 2+⎝⎛⎭⎪⎫1-x 22x 2=5x 24+14x 2-12≥2516-12=5-12,当且仅当x =±415时等号成立.思路分析2 由所求的结论x 2+y 2想到将条件应用基本不等式,构造出x 2+y 2,然后将x 2+y 2求解出来.解法2 由x 2+2xy -1=0得1-x 2=2xy ≤mx 2+ny 2,其中mn =1(m ,n >0),所以(m +1)x 2+ny 2≥1,令m +1=n ,与mn =1联立解得m =5-12,n =5+12,从而x 2+y 2≥15+12=5-12.【问题探究,变式训练】题型一、利用基本不等式求最值问题知识点拨:利用基本不等式求最值的问题,关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形,配凑出使用基本不等式的条件,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这三个条件缺一不可!. 例1、(2019苏锡常镇调研)已知正实数a ,b 满足a +b =1,则bb a a 421222+++的最小值为 . 【答案】、..11【解析】、思路分析:由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出使用基本不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解.1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=,即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”,所以b b a a 421222+++的最小值为.11【变式1】、(2019常州期末)已知正数x ,y 满足x +y x =1,则1x +xy 的最小值为________. 【答案】、4【解析】、思路分析 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解.解法1(直接消元) 由x +y x =1得y =x -x 2,故1x +x y =1x +x x -x 2=1x +11-x =1x (1-x )≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1-x 22=4,当且仅当x =1-x ,即x =12时取“=”.故1x +xy 的最小值为4.解法2(直接消元) 由x +y x =1得y x =1-x ,故1x +x y =1x +11-x,以下同解法1.解法3(消元,分离常数凑定值) 同解法1,2得1x +x y =1x +11-x =1-x +x x +1-x +x 1-x =2+1-x x +x 1-x ≥4,当且仅当1-x x =x 1-x,即x =12时取“=”.故1x +xy 的最小值为4. 解法4(“1”的代换) 因为x +y x =1,所以1x +x y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y x =2+y x 2+x 2y ≥4,当且仅当y x 2=x 2y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =14时取“=”.故1x +x y 的最小值为4.【变式2】、(2019镇江期末)已知x >0,y >0,x +y =1x +4y ,则x +y 的最小值为________. 【答案】、3【解析】、思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解.解法1 因为x>0,y>0,所以x +y =12x +22y ≥(1+2)2x +y ,得x +y≥3,当且仅当x =1,y =2时取等号.解法2 x +y =(x +y )2=(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =5+y x +4x y ≥5+24=3,当且仅当y x =4xy ,即x =1,y =2时取等号.【变式3】、(2019苏北三市期末)已知a>0,b>0,且a +3b =1b -1a ,则b 的最大值为________. 【答案】、 13【解析】、由a +3b =1b -1a ,得1b -3b =a +1a .又a>0,所以1b -3b =a +1a ≥2(当且仅当a =1时取等号),即1b -3b≥2,又b>0,解得0<b≤13,所以b 的最大值为13.【变式4】、(2019宿迁期末) 已知正实数a ,b 满足a +2b =2,则1+4a +3bab的最小值为________.【答案】、252【解析】、解法1(消元法) 由a +2b =2得a =2-2b >0,所以0<b <1,令f(b)=1+4a +3bab =9-5b2b -2b 2,f′(b)=-10b 2+36b -18(2b -2b 2)2=-2(5b -3)(b -3)(2b -2b 2)2.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,35时,f′(b)<0,f(b)单调递减;当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35,1时,f′(b)>0,f(b)递增,所以当b =35时,f(b)有唯一的极小值,也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35=252.解法2(齐次化) 因为a +2b =2,所以1+4a +3b ab =12a +b +4a +3b ab =9a +8b2ab =(9a +8b )(a +2b )4ab=9a 4b +4b a +132≥29a 4b ·4b a +132=252,当且仅当a =45,b =35时取等号,所以所求的最小值为252.解后反思 求互相制约的双变元问题的最值,最直接的方法就是消元后转化为一元问题,如解法1;对于分式的最值问题也常常通过齐次化后用基本不等式求解,如解法2.解法2用到了“1”的代换.【变式5】、(2018苏锡常镇调研(二)) 已知a b ,为正实数,且()234()a b ab -=,则11a b+的最小值为 ▲ .【答案】、【解析】、解题过程:因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+,所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥,故2211≥+ba ,当且仅当⎩⎨⎧=-=4)(12b a ab ,即⎩⎨⎧-=+=1212b a 时取得等号,所以11a b +的最小值为.22题型二 利用基本不等式解决多元问题知识点拨:多元最值问题是最典型的代数问题,代数问题要注重结构的观察和变形,变形恰当后,直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化,具体归纳如下:(1)多元最值首选消元:三元问题→二元问题→一元问题. (2)二元最值考查频率高,解决策略如下:策略一:消元.策略二:不好消元——用基本不等式及其变形式,线性规划,三角换元. (3) 多元问题不好消元的时候可以减元,常见的减元策略:策略一:齐次式——同除减元.策略二:整体思想——代入消元或者减元.策略三:局部思想——锁定主元(本题就是).例2、(2019南京、盐城一模)若正实数a ,b ,c 满足ab =a +2b ,abc =a +2b +c ,则c 的最大值为________. 【答案】、 87【解析】、思路分析1 注意到求c 的最大值,所以将参数c 进行分离,为此,可以利用abc =a +2b +c 进行分离得c =a +2b ab -1=a +2b a +2b -1=1+1a +2b -1,从而将问题转化为求a +2b 的最小值; 思路分析2 结合abc =a +2b +c 与ab =a +2b 化简得abc =ab +c 来进行分离得c =abab -1=1+1ab -1,进而求ab 的最小值. 思路分析3 由于所求解的c 与a ,b 有关,而a ,b 不对称,因此,将2b 看作一个整体,则它与a 就是对称的,根据对称原理可以猜想得到问题的答案. 解法1 由abc =a +2b +c 得,c =a +2b ab -1=a +2b a +2b -1=1+1a +2b -1,由ab =a +2b 得,1b +2a =1,所以a +2b =(a +2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b +2a =4+a b +4b a ≥4+2a b ·4b a =4+4=8,故c≤87.解法2 因为abc =a +2b +c ,ab =a +2b ,所以abc =ab +c ,故c =ab ab -1=1+1ab -1,由ab =a+2b 利用基本不等式得ab≥22ab ,故ab≥8,当且仅当a =4,b =2时等号成立,故c =1+1ab -1≤1+18-1=87.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a·2b =a +2b ,12·a·2b·c =a +2b +c”,故a 与2b对等,不妨设a =2b ,解得a =2b =4,c =87,故c 的最大值为87.解后反思 解法1,2都是应用了分离参数的方法,即将所求的参数c 用a ,b 表示出来,从而将问题转化为求与a ,b 有关的代数式的最值问题来加以解决,其中解法2更容易把握.这是两种基础的解法.而解法3则是将“非对称式”应用整体转化的方法转化为“对称式”来加以处理,对思维能力的要求很高.【变式1】、(2019苏北三市期末) 已知x>0,y>0,z>0,且x +3y +z =6,则x 3+y 2+3z 的最小值为________. 【答案】、374【解析】、思路分析 本题消元后转化为二元问题研究.解法1(配方+导数求函数最值) x 3+y 2+3z =x 3+y 2+3(6-x -3y)=x 3-3x +y 2-33y +18=x 3-3x +⎝⎛⎭⎪⎫y -3322+454≥x 3-3x +454,当且仅当y =332时取等号.设g(x)=x 3-3x ,g′(x)=3x2-3.令g′(x)=0得x =1,得g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而g(x)min =g(1)=-2,所以(x 3+y 2+3z)min =-2+454=374,即所求最小值为374,当且仅当x =1,y =332,z =12时取等号.解法2(基本不等式配凑) 由x 3+1+1≥3x(当且仅当x =1,取等号),y 2+274≥33y ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y =332取等号,得x 3+y 2+3z +2+274≥3(x +3y +z)=18,x 3+y 2+3z≥374(当且仅当x =1,y =332,z =12取等).【变式2】、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调) 已知a ,b ,c 均为正数,且abc =4(a +b),则a +b +c 的最小值为________. 【答案】、8【解析】、由a ,b ,c 均为正数,abc =4(a +b),得c =4a +4b ,代入得a +b +c =a +b +4a +4b =⎝ ⎛⎭⎪⎫a +4a +⎝ ⎛⎭⎪⎫b +4b ≥2a·4a +2b·4b =8,当且仅当a =b =2时,等号成立,所以a +b +c 的最小值为8. 解后反思 1. 利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是:参数是否为正;二定是:和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是:最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点:一是相等时参数是否在定义域内;二是多次用“≥”或“≤”时等号能否同时成立).2. 研究多变量问题的基本方法是简化问题,即进行减元处理,而减元的基本策略就是消元,这一点要高度重视.【变式3】、(2018苏州期末)已知正实数a ,b ,c 满足1a +1b =1,1a +b +1c =1,则c 的取值范围是________. 【答案】、⎝ ⎛⎦⎥⎤1,43【解析】、思路分析 由第二个等式知,要求出c 的取值范围,只要先求出a +b 的取值范围,而这可由第一个等式求得.解法1 因为a +b =(a +b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =2+a b +b a ∈[4,+∞),所以1a +b ∈⎝⎛⎦⎥⎤0,14, 从而1c =1-1a +b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,1,得c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1,43.解法2 由题两等式得ab =a +b ,c +(a +b)=c(a +b),所以c +ab =c(ab),即c =abab -1=1+1ab -1.因为ab =a +b≥2ab ,所以ab≥4,所以c =1+1ab -1∈⎝⎛⎦⎥⎤1,43. 【变式4】、(2018南京、盐城一模)若不等式k sin 2B +sin A sin C>19sin B sin C 对任意△ABC 都成立,则实数k 的最小值为________. 【答案】、 100【解析】、 思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边,然后再利用三角形中的边的不等关系,消元后转化为二元问题研究.二元问题的最值问题,可以用基本不等式来处理.解法1(函数的最值) 因为k sin 2B +sin A sin C>19sin B sin C ,所以由正弦定理可得kb 2+ac>19bc ,即k>19bc -ac b 2.因为△ABC 为任意三角形,所以a>|b -c|,即19bc -ac b 2<19bc -|b -c|cb 2= ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ,0<cb ≤1,-⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ,c b >1.当0<c b ≤1时,⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤19;当c b >1时,-⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤100,即19bc -|b -c|cb 2的最大值为100,所以k≥100,即实数k 的最小值为100.解法2(基本不等式) 因为k sin 2B +sin A sin C>19sin B sin C ,所以由正弦定理可得kb 2+ac>19bc ,即k>19bc -ac b 2.又19bc -ac b 2=c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b .因为c<a +b ,所以c b <1+a b ,即c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b <⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b 24=100(要求最大值,19-a b 至少大于0).当且仅当1+a b =19-a b ,即a b=9时取等号.题型三 运用双换元解决不等式问题知识点拨:若题目中含是求两个分式的最值问题,对于这类问题最常用的方法就是双换元,分布运用两个分式的分母为两个参数,转化为这两个参数的不等关系。
2020高考数学二轮微专题基本不等式考点考题考向(5页)
⑴已知兀<2,则函数尸芝斗的最大值是2020高考数学二轮微专题基本不等式考点考题考向基本不等式作为C 级考点,每年必考,但基本上都是作为工具在其他知识 点里面出现. 年份 填空题2017 T10应用题中的最值2018 T13三角形中边长和的最值2019T7,T19基本不等式的应用逅典型例題目标1基本不等式应用于一元函数的最值(2)已知在△血c 中,,ABACrCACB ,则tan A +taH B +tan c 的最小值为. 点评:2.已知函数f(x)=X2+6X+11x(Q W R),若对于任意的x W N*,f(x)23恒成立,【思维变式题组训练】1.____________________________________________ 已知函数沧)=2兀7100—X2,贝I」沧)的最大值为则a的取值范围是3.已知a,卩均为锐角,且cos(a+0)=sin g,则tan a的最大值是目标2给定条件下二元变量的最值问题例2(1)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是.(2)已知x>0,冋’则寻+甘話的最大值是a221⑶已知a,b均为正数,且ab~a~2b=0,则扌-|+b2-1的最小值为点评:【思维变式题组训练】1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则cos A+2cos C的最大值为.(1、312. _______________________________________________________ 若实数x,y满足xy+3x=3^0<x<2j,则-+y^■的最小值为4.已知函数T(x)=x—sin x,若正数a,b满足f(2a—1)+f(b—1)=0,贝U 2a2 a+1丄b2+l+~~的最小值为3._______________________________________________________ 若实数x,y满足2x2+xy~y2=1,则5二2;;2y2的最大值为目标3用基本不等式解应用题例3如图,长方形ABCD表示一张6X12(单位:分米)的工艺木板,其四周有边框(图中阴影部分),中间为薄板.木板上一瑕疵(记为点F)到外边框AB,AD的距离分别为1分米,2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN,其中M,N分别在AB,AD上.设AM,AN的长分别为m分米,n分米.(1)为使剩下木板MBCDN的面积最大,试确定m,n的值;(2)求剩下木板MBCDN的外边框长度(MB,BC,CD,DN的长度之和)的最大值.点评:思维变式题组训练】如图,某城市有一块半径为1(单位:百米)的圆形景观,圆心为C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路,便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问:4B两点应选在何处,可使得小道AB最短?。
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考点14 基本不等式及其应用(1)【知识框图】【自主热身,归纳总结】1、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ,满足1x y +=,则4yxy +的最小值是 ▲ .【答案】、8【解析】、因为正实数x y ,满足1x y +=, 所以4()444yy x y y xxy xy x y ⨯++=+=++424448y x x y≥⨯+=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研(一)) 已知a>0, b>0,且2a +3b =ab ,则ab 的最小值是________. 【答案】 26【解析】、思路分析 利用基本不等式,化和的形式为积的形式.因为ab =2a +3b ≥22a ·3b ,所以ab≥26,当且仅当2a =3b =6时,取等号.3、(2017苏北四市期末). 若实数x ,y 满足xy +3x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12,则3x +1y -3的最小值为________.【答案】. 8【解析】、解法1 因为实数x ,y 满足xy +3x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12,所以y =3x -3(y >3),所以3x +1y -3=y +3+1y -3=y -3+1y -3+6≥2y -3·1y -3+6=8,当且仅当y -3=1y -3,即y =4时取等号,此时x =37,所以3x +1y -3的最小值为8. 解法2 因为实数x ,y 满足xy +3x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12,所以y =3x -3(y >3),y -3=3x -6>0,所以3x +1y -3=3x +13x -6=3x -6+13x -6+6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -6·13x -6+6=8,当且仅当3x -6=13x-6,即x =37时取等号,此时y =4,所以3x +1y -3的最小值为8.解后反思 从消元的角度看,可以利用等式xy +3x =3消“实数x ”或消“实数y ”,无论用哪种消元方式,消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟.4、(2015苏北四市期末) 已知a ,b 为正数,且直线 ax +by -6=0与直线 2x +(b -3)y +5=0互相平行,则2a +3b 的最小值为________. 【答案】25【解析】、由于直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0互相平行,所以a (b -3)=2b ,即2a +3b =1(a ,b 均为正数),所以2a +3b =(2a +3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +3b =13+6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b ≥13+6×2b a ×a b =25(当且仅当b a =ab 即a =b =5时取等号).5、(2017南京、盐城、徐州二模) 已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin αsin β,则tan α的最大值是________. 【答案】24【解析】、思路分析 注意研究目标,故先要将cos(α+β)应用两角和的余弦公式展开,然后利用同角三角函数式将tan α表示为β的函数形式,利用求函数的最值方法可得到结果.由cos(α+β)=sin αsin β得cos αcos β-sin αsin β=sin αsin β,即cos αcos β=sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin β+1sin β,由α,β均为锐角得cos α≠0,tan β>0,所以tan α=sin αcos α=cos βsin β+1sin β=sin βcos βsin 2β+1=tan β2tan 2β+1=12tan β+1tan β≤122=24,当且仅当2tan β=1tan β,即tan β=22时,等号成立.解后反思 根据所求的目标,将所求的目标转化为相关的变量的函数,是研究最值问题的基本方法.6、(2016宿迁一模) 若a 2-ab +b 2=1,a ,b 是实数,则a +b 的最大值是________. 【答案】2【解析】、解法1 因为a 2-ab +b 2=1,即(a +b )2-3ab =1,从而3ab =(a +b )2-1≤3a +b24,即(a +b )2≤4,所以-2≤a +b ≤2,所以(a +b )max =2.解法2 令u =a +b ,与a 2-ab +b 2=1联立消去b 得3a 2-3au +u 2-1=0,由于此方程有解,从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0,即u 2≤4,所以-2≤u ≤2,所以(a +b )max =2.解法3 由于a 2-ab +b 2=1与代数式a +b 是对称的,根据对称极端性原理,当a =b 时取得最值,此时a 2=1,从而a =±1,所以(a +b )max =2a =2.7、(2017苏北四市一模) 已知a ,b 为正实数,且a +b =2,则a 2+2a +b 2b +1的最小值为________.【答案】2+223【解析】、思路分析 令b +1=c ,通过换元,使得“别扭”变“顺眼”,本题就变得比较常规了. 设b +1=c ,则b =c -1,a +c =3,且0<a <2,1<c <3.所以a 2+2a +b 2b +1=a +2a +c -12c=a +c+2a +1c -2=1+2a +1c =1+13(a +c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1c =2+13⎝ ⎛⎭⎪⎫a c +2c a ≥2+223,当且仅当a =2c ,即c =3(2-1)∈(1,3)时,取等号.8、(2019苏州三市、苏北四市二调) 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c>0(a ,b ,c ∈R )的解集为{x |3<x <4},则c 2+5a +b 的最小值为________.【答案】 4 5思路分析 先根据一元二次不等式的解集,确定a<0,以及a ,b ,c 的关系,再将所求c 2+5a +b 运用消元法,统一成单变量a 的函数问题,运用基本不等式求最值.依题意得a<0,且3和4是方程ax 2+bx +c =0的两根,即⎩⎪⎨⎪⎧-b a =7,c a =12,则⎩⎨⎧b =-7a ,c =12a ,所以c 2+5a +b =144a 2+5a -7a =144a 2+5-6a =(-24a)+⎝ ⎛⎭⎪⎫5-6a ≥2(-24a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫5-6a =45,当且仅当144a 2=5,即a =-512时取等号,所以所求最小值为4 5.9、(2015扬州期末)设实数x ,y 满足x 2+2xy -1=0,则x 2+y 2的最小值是________. 【答案】5-12思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量,从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,从而求它的最小值.注意中消去y 较易,所以消去y . 解法 1 由x 2+2xy -1=0得y =1-x 22x ,从而x 2+y 2=x 2+⎝⎛⎭⎪⎫1-x 22x 2=5x 24+14x 2-12≥2516-12=5-12,当且仅当x =±415时等号成立.思路分析2 由所求的结论x 2+y 2想到将条件应用基本不等式,构造出x 2+y 2,然后将x 2+y 2求解出来.解法2 由x 2+2xy -1=0得1-x 2=2xy ≤mx 2+ny 2,其中mn =1(m ,n >0),所以(m +1)x 2+ny 2≥1,令m +1=n ,与mn =1联立解得m =5-12,n =5+12,从而x 2+y 2≥15+12=5-12. 【问题探究,变式训练】题型一、利用基本不等式求最值问题知识点拨:利用基本不等式求最值的问题,关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形,配凑出使用基本不等式的条件,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这三个条件缺一不可!. 例1、(2019苏锡常镇调研)已知正实数a ,b 满足a +b =1,则bb a a 421222+++的最小值为 . 【答案】、..11【解析】、思路分析:由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出使用基本不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解.1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=,即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”,所以b b a a 421222+++的最小值为.11【变式1】、(2019常州期末)已知正数x ,y 满足x +y x =1,则1x +xy 的最小值为________. 【答案】、4【解析】、思路分析 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解.解法1(直接消元) 由x +y x =1得y =x -x 2,故1x +x y =1x +x x -x 2=1x +11-x =1x (1-x )≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1-x 22=4,当且仅当x =1-x ,即x =12时取“=”.故1x +xy 的最小值为4.解法2(直接消元) 由x +y x =1得y x =1-x ,故1x +x y =1x +11-x,以下同解法1.解法3(消元,分离常数凑定值) 同解法1,2得1x +x y =1x +11-x =1-x +x x +1-x +x 1-x =2+1-x x +x 1-x ≥4,当且仅当1-x x =x 1-x,即x =12时取“=”.故1x +xy 的最小值为4. 解法4(“1”的代换) 因为x +y x =1,所以1x +x y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y x =2+y x 2+x 2y ≥4,当且仅当y x 2=x 2y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =14时取“=”.故1x +x y 的最小值为4.【变式2】、(2019镇江期末)已知x >0,y >0,x +y =1x +4y ,则x +y 的最小值为________. 【答案】、3【解析】、思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解.解法1 因为x>0,y>0,所以x +y =12x +22y ≥(1+2)2x +y ,得x +y≥3,当且仅当x =1,y =2时取等号.解法2 x +y =(x +y )2=(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y =5+y x +4x y ≥5+24=3,当且仅当y x =4xy ,即x =1,y =2时取等号.【变式3】、(2019苏北三市期末)已知a>0,b>0,且a +3b =1b -1a ,则b 的最大值为________. 【答案】、 13【解析】、由a +3b =1b -1a ,得1b -3b =a +1a .又a>0,所以1b -3b =a +1a ≥2(当且仅当a =1时取等号),即1b -3b≥2,又b>0,解得0<b≤13,所以b 的最大值为13. 【变式4】、(2019宿迁期末) 已知正实数a ,b 满足a +2b =2,则1+4a +3bab的最小值为________. 【答案】、252【解析】、解法1(消元法) 由a +2b =2得a =2-2b >0,所以0<b <1,令f(b)=1+4a +3bab=9-5b2b -2b 2,f′(b)=-10b 2+36b -18(2b -2b 2)2=-2(5b -3)(b -3)(2b -2b 2)2.当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,35时,f′(b)<0,f(b)单调递减;当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35,1时,f′(b)>0,f(b)递增,所以当b =35时,f(b)有唯一的极小值,也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35=252.解法2(齐次化) 因为a +2b =2,所以1+4a +3b ab =12a +b +4a +3b ab =9a +8b2ab =(9a +8b )(a +2b )4ab =9a 4b +4b a +132≥29a 4b ·4b a +132=252,当且仅当a =45,b =35时取等号,所以所求的最小值为252.解后反思 求互相制约的双变元问题的最值,最直接的方法就是消元后转化为一元问题,如解法1;对于分式的最值问题也常常通过齐次化后用基本不等式求解,如解法2.解法2用到了“1”的代换.【变式5】、(2018苏锡常镇调研(二)) 已知a b ,为正实数,且()234()a b ab -=,则11a b+的最小值为 ▲ . 【答案】、22【解析】、解题过程:因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+,所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥,故2211≥+b a ,当且仅当⎩⎨⎧=-=4)(12b a ab ,即⎩⎨⎧-=+=1212b a 时取得等号,所以11a b +的最小值为.22题型二 利用基本不等式解决多元问题知识点拨:多元最值问题是最典型的代数问题,代数问题要注重结构的观察和变形,变形恰当后,直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化,具体归纳如下:(1)多元最值首选消元:三元问题→二元问题→一元问题. (2)二元最值考查频率高,解决策略如下:策略一:消元.策略二:不好消元——用基本不等式及其变形式,线性规划,三角换元. (3) 多元问题不好消元的时候可以减元,常见的减元策略:策略一:齐次式——同除减元.策略二:整体思想——代入消元或者减元. 策略三:局部思想——锁定主元(本题就是).例2、(2019南京、盐城一模)若正实数a ,b ,c 满足ab =a +2b ,abc =a +2b +c ,则c 的最大值为________. 【答案】、 87【解析】、思路分析1 注意到求c 的最大值,所以将参数c 进行分离,为此,可以利用abc =a +2b +c 进行分离得c =a +2b ab -1=a +2b a +2b -1=1+1a +2b -1,从而将问题转化为求a +2b 的最小值; 思路分析2 结合abc =a +2b +c 与ab =a +2b 化简得abc =ab +c 来进行分离得c =abab -1=1+1ab -1,进而求ab 的最小值. 思路分析3 由于所求解的c 与a ,b 有关,而a ,b 不对称,因此,将2b 看作一个整体,则它与a 就是对称的,根据对称原理可以猜想得到问题的答案. 解法1 由abc =a +2b +c 得,c =a +2b ab -1=a +2b a +2b -1=1+1a +2b -1,由ab =a +2b 得,1b +2a =1,所以a +2b =(a +2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b +2a =4+a b +4b a ≥4+2a b ·4b a =4+4=8,故c≤87.解法2 因为abc =a +2b +c ,ab =a +2b ,所以abc =ab +c ,故c =ab ab -1=1+1ab -1,由ab =a+2b 利用基本不等式得ab≥22ab ,故ab≥8,当且仅当a =4,b =2时等号成立,故c =1+1ab -1≤1+18-1=87.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a·2b =a +2b ,12·a·2b·c =a +2b +c”,故a 与2b对等,不妨设a =2b ,解得a =2b =4,c =87,故c 的最大值为87.解后反思 解法1,2都是应用了分离参数的方法,即将所求的参数c 用a ,b 表示出来,从而将问题转化为求与a ,b 有关的代数式的最值问题来加以解决,其中解法2更容易把握.这是两种基础的解法.而解法3则是将“非对称式”应用整体转化的方法转化为“对称式”来加以处理,对思维能力的要求很高.【变式1】、(2019苏北三市期末) 已知x>0,y>0,z>0,且x +3y +z =6,则x 3+y 2+3z 的最小值为________. 【答案】、374【解析】、思路分析 本题消元后转化为二元问题研究.解法1(配方+导数求函数最值) x 3+y 2+3z =x 3+y 2+3(6-x -3y)=x 3-3x +y 2-33y +18=x 3-3x +⎝⎛⎭⎪⎫y -3322+454≥x 3-3x +454,当且仅当y =332时取等号.设g(x)=x 3-3x ,g′(x)=3x2-3.令g′(x)=0得x =1,得g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而g(x)min =g(1)=-2,所以(x 3+y 2+3z)min =-2+454=374,即所求最小值为374,当且仅当x =1,y =332,z =12时取等号.解法2(基本不等式配凑) 由x 3+1+1≥3x(当且仅当x =1,取等号),y 2+274≥33y ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y =332取等号,得x 3+y 2+3z +2+274≥3(x +3y +z)=18,x 3+y 2+3z≥374(当且仅当x =1,y =332,z =12取等).【变式2】、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调) 已知a ,b ,c 均为正数,且abc =4(a +b),则a +b +c 的最小值为________. 【答案】、8【解析】、由a ,b ,c 均为正数,abc =4(a +b),得c =4a +4b ,代入得a +b +c =a +b +4a +4b =⎝ ⎛⎭⎪⎫a +4a +⎝ ⎛⎭⎪⎫b +4b ≥2a·4a +2b·4b =8,当且仅当a =b =2时,等号成立,所以a +b +c 的最小值为8. 解后反思 1. 利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是:参数是否为正;二定是:和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是:最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点:一是相等时参数是否在定义域内;二是多次用“≥”或“≤”时等号能否同时成立).2. 研究多变量问题的基本方法是简化问题,即进行减元处理,而减元的基本策略就是消元,这一点要高度重视.【变式3】、(2018苏州期末)已知正实数a ,b ,c 满足1a +1b =1,1a +b +1c =1,则c 的取值范围是________. 【答案】、⎝ ⎛⎦⎥⎤1,43【解析】、思路分析 由第二个等式知,要求出c 的取值范围,只要先求出a +b 的取值范围,而这可由第一个等式求得.解法1 因为a +b =(a +b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =2+a b +b a ∈[4,+∞),所以1a +b ∈⎝⎛⎦⎥⎤0,14,从而1c =1-1a +b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,1,得c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1,43.解法2 由题两等式得ab =a +b ,c +(a +b)=c(a +b),所以c +ab =c(ab),即c =abab -1=1+1ab -1.因为ab =a +b≥2ab ,所以ab≥4,所以c =1+1ab -1∈⎝⎛⎦⎥⎤1,43.【变式4】、(2018南京、盐城一模)若不等式k sin 2B +sin A sin C>19sin B sin C 对任意△ABC 都成立,则实数k 的最小值为________. 【答案】、 100【解析】、 思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边,然后再利用三角形中的边的不等关系,消元后转化为二元问题研究.二元问题的最值问题,可以用基本不等式来处理.解法1(函数的最值) 因为k sin 2B +sin A sin C>19sin B sin C ,所以由正弦定理可得kb 2+ac>19bc ,即k>19bc -ac b 2.因为△ABC 为任意三角形,所以a>|b -c|,即19bc -ac b 2<19bc -|b -c|cb 2= ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ,0<cb ≤1,-⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ,c b >1.当0<c b ≤1时,⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤19;当c b >1时,-⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2+20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤100,即19bc -|b -c|cb 2的最大值为100,所以k≥100,即实数k 的最小值为100.解法2(基本不等式) 因为k sin 2B +sin A sin C>19sin B sin C ,所以由正弦定理可得kb 2+ac>19bc ,即k>19bc -ac b 2.又19bc -ac b 2=c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b .因为c<a +b ,所以c b <1+a b ,即c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b <⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫19-a b 24=100(要求最大值,19-a b 至少大于0).当且仅当1+a b =19-a b ,即ab =9时取等号.题型三 运用双换元解决不等式问题知识点拨:若题目中含是求两个分式的最值问题,对于这类问题最常用的方法就是双换元,分布运用两个分式的分母为两个参数,转化为这两个参数的不等关系。