向量组的线性相互与线性无关
向量组地线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
线性相关与线性无关
线性相关与线性无关线性相关和线性无关是线性代数中重要的概念，它们描述了向量之间的关系以及它们在空间中的位置和方向。
在本文中，我们将探讨线性相关和线性无关的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 定义线性相关是指存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。
换句话说，如果存在不全为零的常数c1、c2、…、cn，使得c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的。
而线性无关则是指不存在一组非全零系数，使得这组向量的线性组合等于零向量。
简而言之，如果c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0只有当c1= c2 = … = cn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, …, vn}是线性无关的。
2. 性质线性相关和线性无关有一些重要的性质。
2.1 线性相关性的传递性如果向量组{v1, v2, …, vn}中的某个向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。
具体而言，如果存在c1、c2、…、cn-1，使得vn = c1v1 + c2v2 + … + cn-1vn-1，则这个向量组是线性相关的。
2.2 仅有一个向量的向量组是线性无关的只含一个向量的向量组肯定是线性无关的。
因为要使c1v1 = 0成立，必须令c1 = 0。
2.3 子集的线性相关性如果向量组{v1, v2, …, vn}是线性相关的，那么它的任意子集也是线性相关的。
这是因为如果向量组中的向量可以线性表示成零向量，那么删除其中的向量后，仍然可以通过相同的系数得到零向量。
3. 应用线性相关和线性无关在实际问题中具有广泛的应用。
3.1 线性方程组的解的个数对于一个包含n个未知数和m个线性方程的线性方程组，如果系数矩阵的秩等于扩展矩阵的秩，那么方程组的解存在且唯一。
换句话说，如果方程组的系数向量是线性无关的，那么方程组有唯一解。
3.2 判断向量空间的维数对于一个向量空间，其中向量组的线性无关的最大个数称为该向量空间的维数。
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
向量组的线性相关与线性无关分析
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。
一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。
2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。
二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。
2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。
三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。
§3.3 向量组的线性相关性
证明 记A (1,2 , ,m ), B (1,2 , ,m ,b),
则有R( A) R(B). 因A组线性无关,有R( A) m; 因B组线性相关,有R(B) < m 1.
所以m R(B) < m 1, 即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组(1,2 , ,m )x b
因 1,2,3 线性无关,
故有:
x1 x3 0 x1 x2 0,
1 01
x2 x3 0
1 1 0 2 0 , 故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 , 011
所以向量组 1, 2, 3 线性无关.
二、几个简单结论
定理3.10 设向量组A：1,2, ,m 线性相关,则 向量组B :1, ,m ,m1 也线性相关.
则向量 a, b, c 线性相关, 但 c 不可由 a,b 线性表示.
3. 线性相关性在线性方程组中的应用
当方程组中有某个方程是其他方程的线性组 合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方 程)是线性相关的；当方程组中没有多余方程, 就称 该方程组(各个方程)线性无关．
பைடு நூலகம் 定理3.9 向量组 1,2,,m 线性相关的充要条件是 它所构成的矩阵A=(1, 2,,m )的秩小于向量的
向量组 A：a1, a2, …, am
线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A) < m
说明
(1) 含有零向量的向量组必线性相关.
(2) 向量组只含一个向量 时: 若 =0, 则向量组线性相关; 若 0, 则向量组线性无关.
(3) 两个向量 1,2 线性相关的充分必要条件是 存在常数k, 使得 1= k2 .
向量组线性相关与线性无关解析
向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2 向量组线性相关和线性无关的定义定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域P 中没有不全为零的数12,m k k k ，使0332211=++++m m k k k k αααα ，称它是线性无关.3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α，()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.命题3 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关. 证明 设m ααα,,,21 线性相关，s m m m ++ααααα,,,,,,121 是包含m ααα,,,21 的一组向量，由于m ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12,m k k k 使得0332211=++++m m k k k k αααα 此时有0001332211=+++++++++s m m m m k k k k αααααα ,因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121 线性相关.证毕.由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.3.2.1 运用定义判定由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,, ，证明，当m 为偶数时，123,,,m ββββ线性相关.证明 令1122330ββββ+++=m m k k k k ，即()()()01322211=++++++a a k a a k a a k m m ，又即()()()0121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k ，取1,142131-========-m m k k k k k k ，则有0332211=++++m m k k k k ββββ .由线性相关的定义知，m βββ,,,21 线性相关.3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例2 设向量组()()()1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321--=-=-=ααα，判断321,,ααα的线性相关性.解()()0,0,0,04,453,2,242321321321321332211=-+++---++=++k k k k k k k k k k k k k k k ααα得0321===k k k ，于是321,,ααα线性无关.例3 设向量组m ααα,,,21 线性无关，且可由向量组m βββ,,,21 线性表示.证明：m βββ,,,21 也线性无关，且与12,,,m ααα等价.证明 如果m βββ,,,21 线性相关，假设r βββ,,,21 是它的一个极大无关组，如果m r =,就说明了m βββ,,,21 就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下面考虑m r <.又因为向量组m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示，则m ααα,,,21 也可由m βββ,,,21 线性表示,于是有r m ≤,矛盾！由于m βββ,,,21 线性无关，则()m R m =βββ,,,21 ,又m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示,所以，{}≅m βββ,,,21 {}m m βββααα,,,,,,,2121 等价，所以()m R m m =βββααα,,,,,,,2121 .于是m ααα,,,21 和m βββ,,,21 都是{}m m βββααα,,,,,,,2121 的极大无关组.所以它们是等价的，证毕.命题6 设m ααα,,,21 为n 维列向量,矩阵),,,(21m A ααα =. (i)当()m A R <时，向量组12,,m ααα线性相关; (ii)当()m A R =时，向量组12,,m ααα线性无关.例4 判断向量组()12,1,0,5αT=,()27,5,4,1αT=-- ,()33,7,4,11αT=--线性相关性.解 利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯形矩阵=A 2731-5-70445-1-11⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-1-54403727-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101101107-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000001107-5-1 由行阶梯形矩阵知()23RA =<,所以向量组321,,ααα是线性相关的.上面是以321,,ααα为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用321,,ααα为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.3.2.3 利用行列式的值判断命题7 若()()()nn n n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,21222212112111 ===ααα,以n ααα,,,21 作为列向量构成的矩阵),,,(21n A ααα =是一个方阵，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n a a a a a a a a a A 212221212111(i)当0=A 时，向量组ααα12,,n 线性相关. (ii)当A 0≠时，向量组ααα12,,n 线性无关.例 5 设()αT=11,1,1,()()ααTT==231,2,3,1,3,t 问t 取何值时，向量组321,,ααα线性相关.解 向量组321,,ααα的个数和维数相等都为3，=A 531321111-=t t可见当5=t 时，0=A ，所以向量组321,,ααα线性相关.3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断对于()111211,,,n a a a αT=,()212222,,,n a a a αT=,()12,,,m m m nm a a a αT=的线性相关判断命题8 若m ααα,,,21 为系数向量的齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，则向量组m ααα,,,21 线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组m ααα,,,21 线性无关.例6 已知()11,1,1α=,()21,2,3α= ,()31,3,t α= (i)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？ (ii)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？(iii)当向量组321,,ααα线性相关，将3α表示为1α和2α的线性组合. 解 设有实数321,,x x x 使0332211=++αααx x x 则可以得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020320321321321tx x x x x x x x x 其系数行列式 =D t31321111(i)当5≠t 时，0≠D ，方程组只有零解，即0321===x x x ，这时，向量组123,,a a a 线性无关.(ii)当5=t 时0=D 方程组有非零解，即存在不全为零的数，321,,x x x 使，0332211=++αααx x x此时321,,ααα线性相关，(iii)当5=t 时，由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531321111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002101-01,此时有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x令2,121==x x ，有ααα-+=12320,从而3α可由12,αα,表示ααα=-+3122.在运用定义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用定义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法.区别是，适用的前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出的向量组；秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向量组的线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法.以上是从向量组的分量是否具体给出两个大的方面介绍了向量组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向量组的分量是具体给出的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，定理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义，定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力.3.2.5 用反证法在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例7 设向量组m ααα,,,21 中任一向量i α不是它前面1-i 向量的线性组合，且0≠i α证明向量组m ααα,,,21 线性无关.证明 假设向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数mk k k k ==== 321使得,0332211=++++m m k k k k αααα , ○1 不妨设0≠m k 由上式可得,mm m m m m k a k k a k k a k a 112211------= ,即m α可以由它前面1-m 个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0=m k .于是○1式转化为011332211=++++--m m k k k k αααα ，类似于上面的证明可得0221====--k k k m m ,○1式转化为011≠αk ,但01≠α，所以01≠k 这与m k k k === 21不全为零的假设相矛盾,所以向量组线性无关. 3.2.6运用相关结论判定定理1 向量n ααα,,,21 )2(≥n 线性相关的充要条件是这n 个向量中的一个为其余1-n 个向量的线性组合.例8 判断向量组1α= (0,3,1,-1), 2α= (6,0,5,1), 3α= (4,-7,1,3)是否线性相关？解 将321,,ααα以行排成矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--317415061130→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000011302472 矩阵A 化为阶梯形矩阵后出现零行，则321,,ααα中必有一向量能被其余剩下的向量线表示，故由定理1知，向量组321,,ααα线性相关.我们注意到，例9中的矩阵A 在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定n ααα,,,21 中必有一个向量能被其余剩下的1-n 个向量线性表示，从而向量组线性相关.定理2 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.例9 判断向量组：=1α ()1,2,4,0,1T, =2α()0,1,8,1,2T, =3α ()0,2,3,0,5T的线性相关性.解 取=1β()1,0,0T，=2β()0,1,1T，=3β()0,2,0T，因为由321,,βββ为列向量的行列式不为零，所以向量组321,,βββ线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所得向量组321,,ααα是线性无关的.定理3 任意1+n 个n 维向量必线性相关.定理 4 如果向量组123,,,m αααα可由向量组s βββ,,,21 线性表示，若s m >,则123,,,m αααα线性相关.证明 设02211=+++n n x x x ααα ，由已知可知()m i kk k k j sj jis si i i i 112211==+++=∑=ββββα带入上式可得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111要证明123,,,m a a a a 线性相关，只需证明存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得02211=+++n n x x x ααα 成立，即只要存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111中的每一个j β前的系数均为零即可.要使每个j β前面的系数为零，则可得到,⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111m sm s s m m m m x k x k x k x k x k x k x k x k x k 因为s m >即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解,所以123,,,m a a a a 线性相关.定理 5 如果向量组r βββ,,,21 可以由123,,,r αααα线性表示为且123,,,rαααα是线性无关的，设r j a rj jij i ,,2,1,1==∑=αβrrr r r r a a a a a a a a a A 212222111211=，若0≠A 则r βββ,,,21 线性无关.证明 设02211=+++r r k k k βββ ,将()r i a a a a r ir i i rj jij i 2,122111=+++==∑=ααααβ代入上式，得()()()022112222211211221111=++++++++++++r r rr r r r r r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a ααα 由123,,,r αααα线性无关,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r rr r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a则r βββ,,,21 线性无关,所以系数全为零，即方程组只有零解，0212222111211212221212111≠=rrr r r rrrr rr r a a a a a a a a a a a a a a a a a a得证！例10 设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组123,,,r αααα线性无关，求向量组r βββ,,,21 的线性相关性.解 因为r βββ,,,21 由123,,,r αααα线性表示，由定理5可得,0110011011≠== A因为123,,,r αααα线性无关，且0≠A 所以r βββ,,,21 线性无关.结束语本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判定方法，总介绍定义入手，介绍了它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结了一些方法，例如；利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.参考文献[1]姚慕生，吴泉水，高等代数学[M]，第2版，上海，复旦大学出版社，2008.[2]刘仲奎，杨永保，程辉，等，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[3]钱吉林，高等代数题解精粹[M]，北京，中央民族大学出版社,2002.[4]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[5]董明秀，判断向量组线性相关与线性无关[J]，考试周刊，12;7（2013）， 61-63.[6]黄娟霞，关于向量组线性相关性的初步探讨[J]，广东石油化工学报，18;11(2012)， 40-44.[7]段辉明，李永红，线性相关性若干问题的分析和探究[J]，科技创新导报，15;9(2013)，20-23.Identification Method of Linear Dependence and Linear IndependenceAbstract The vector group’s Linear dependence and linear independence are most abstract concepts in linear algebra. How to determine Linear dependence and linear independence is the key factor to understand vector correctly. This paper introduces the relationship between determinant, matrix, the solution of linear equations and it, also concludes the methods to determine the vector's linear dependence and linear independent.Keywords Vector group Linear dependence Linear independence Matrix Rank。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合.【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2。
线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示.如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：（1） 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价。
向量组线性相关与线性无关
向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2 向量组线性相关和线性无关的定义定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域P 中没有不全为零的数12,m k k k ，使0332211=++++m m k k k k αααα ，称它是线性无关.3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α，()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.证明 假设()n a a a ,,,21 =α，()n b b b 21,=β线性相关，则存在不全为0的数21,k k ，命题3 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.证明 设m ααα,,,21 线性相关，s m m m ++ααααα,,,,,,121 是包含m ααα,,,21 的一组向量，由于m ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12,m k k k 使得0332211=++++m m k k k k αααα 此时有0001332211=+++++++++s m m m m k k k k αααααα ,因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121 线性相关.证毕.由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.3.2.1 运用定义判定由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,, ，证明，当m 为偶数时，123,,,m ββββ线性相关.证明 令1122330ββββ+++=m m k k k k ，即()()()01322211=++++++a a k a a k a a k m m ，又即()()()0121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k ，取1,142131-========-m m k k k k k k ，则有0332211=++++m m k k k k ββββ .由线性相关的定义知，m βββ,,,21 线性相关.3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例2 设向量组()()()1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321--=-=-=ααα，判断321,,ααα的线性相关性.解()()0,0,0,04,453,2,242321321321321332211=-+++---++=++k k k k k k k k k k k k k k k ααα得0321===k k k ，于是321,,ααα线性无关.例3 设向量组m ααα,,,21 线性无关，且可由向量组m βββ,,,21 线性表示.证明：m βββ,,,21 也线性无关，且与12,,,m ααα等价.证明 如果m βββ,,,21 线性相关，假设r βββ,,,21 是它的一个极大无关组，如果m r =,就说明了m βββ,,,21 就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下面考虑m r <.又因为向量组m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示，则m ααα,,,21 也可由m βββ,,,21 线性表示,于是有r m ≤,矛盾！由于m βββ,,,21 线性无关，则()m R m =βββ,,,21 ,又m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示,所以，{}≅m βββ,,,21 {}m m βββααα,,,,,,,2121 等价，所以()m R m m =βββααα,,,,,,,2121 .于是m ααα,,,21 和m βββ,,,21 都是{}m m βββααα,,,,,,,2121 的极大无关组.所以它们是等价的，证毕.命题6 设m ααα,,,21 为n 维列向量,矩阵),,,(21m A ααα =. (i)当()m A R <时，向量组12,,m ααα线性相关; (ii)当()m A R =时，向量组12,,m ααα线性无关.例4 判断向量组()12,1,0,5αT=,()27,5,4,1αT=-- ,()33,7,4,11αT=--线性相关性.解 利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯形矩阵=A 2731-5-70445-1-11⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-1-54403727-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101101107-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000001107-5-1 由行阶梯形矩阵知()23R A=<,所以向量组321,,ααα是线性相关的.上面是以321,,ααα为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用321,,ααα为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.3.2.3 利用行列式的值判断命题7 若()()()nn n n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,21222212112111 ===ααα,以n ααα,,,21 作为列向量构成的矩阵),,,(21n A ααα =是一个方阵，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n a a a a a a a a a A212221212111(i)当0=A 时，向量组ααα12,,n 线性相关. (ii)当A 0≠时，向量组ααα12,,n 线性无关.例 5 设()αT=11,1,1,()()ααTT==231,2,3,1,3,t 问t 取何值时，向量组321,,ααα线性相关.解 向量组321,,ααα的个数和维数相等都为3，=A 531321111-=t t可见当5=t 时，0=A ，所以向量组321,,ααα线性相关.3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断对于()111211,,,n a a a αT=,()212222,,,n a a a αT=,()12,,,m m m nm a a a αT=的线性相关判断命题8 若m ααα,,,21 为系数向量的齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，则向量组m ααα,,,21 线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组m ααα,,,21 线性无关.例6 已知()11,1,1α=,()21,2,3α= ,()31,3,t α= (i)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？ (ii)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？(iii)当向量组321,,ααα线性相关，将3α表示为1α和2α的线性组合. 解 设有实数321,,x x x 使0332211=++αααx x x 则可以得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020320321321321tx x x x x x x x x 其系数行列式 =D t31321111(i)当5≠t 时，0≠D ，方程组只有零解，即0321===x x x ，这时，向量组123,,a a a 线性无关.(ii)当5=t 时0=D 方程组有非零解，即存在不全为零的数，321,,x x x 使，0332211=++αααx x x此时321,,ααα线性相关，(iii)当5=t 时，由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531321111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002101-01,此时有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x令2,121==x x ，有ααα-+=12320,从而3α可由12,αα,表示ααα=-+3122.在运用定义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用定义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法.区别是，适用的前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出的向量组；秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向量组的线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法.以上是从向量组的分量是否具体给出两个大的方面介绍了向量组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向量组的分量是具体给出的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，定理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义，定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力.3.2.5 用反证法在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例7 设向量组m ααα,,,21 中任一向量i α不是它前面1-i 向量的线性组合，且0≠i α证明向量组m ααα,,,21 线性无关.证明 假设向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数mk k k k ==== 321使得,0332211=++++m m k k k k αααα , ○1 不妨设0≠m k 由上式可得,mm m m m m k a k k a k k a k a 112211------= ,即m α可以由它前面1-m 个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0=m k .于是○1式转化为011332211=++++--m m k k k k αααα ，类似于上面的证明可得0221====--k k k m m ,○1式转化为011≠αk ,但01≠α，所以01≠k 这与m k k k === 21不全为零的假设相矛盾,所以向量组线性无关. 3.2.6运用相关结论判定定理1 向量n ααα,,,21 )2(≥n 线性相关的充要条件是这n 个向量中的一个为其余1-n 个向量的线性组合.例8 判断向量组1α= (0,3,1,-1), 2α= (6,0,5,1), 3α= (4,-7,1,3)是否线性相关？解 将321,,ααα以行排成矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--317415061130→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000011302472 矩阵A 化为阶梯形矩阵后出现零行，则321,,ααα中必有一向量能被其余剩下的向量线表示，故由定理1知，向量组321,,ααα线性相关.我们注意到，例9中的矩阵A 在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定n ααα,,,21 中必有一个向量能被其余剩下的1-n 个向量线性表示，从而向量组线性相关.定理2 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.例9 判断向量组：=1α ()1,2,4,0,1T, =2α()0,1,8,1,2T, =3α ()0,2,3,0,5T的线性相关性.解 取=1β()1,0,0T，=2β()0,1,1T，=3β()0,2,0T，因为由321,,βββ为列向量的行列式不为零，所以向量组321,,βββ线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所得向量组321,,ααα是线性无关的.定理3 任意1+n 个n 维向量必线性相关.定理 4 如果向量组123,,,m αααα可由向量组s βββ,,,21 线性表示，若s m >,则123,,,m αααα线性相关.证明 设02211=+++n n x x x ααα ，由已知可知()m i kk k k j sj jis si i i i 112211==+++=∑=ββββα带入上式可得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111要证明123,,,m a a a a 线性相关，只需证明存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得02211=+++n n x x x ααα 成立，即只要存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111中的每一个j β前的系数均为零即可.要使每个j β前面的系数为零，则可得到,⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111m sm s s m m m m x k x k x k x k x k x k x k x k x k 因为s m >即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解,所以123,,,m a a a a 线性相关.定理 5 如果向量组r βββ,,,21 可以由123,,,r αααα线性表示为且123,,,rαααα是线性无关的，设r j a rj jij i ,,2,1,1==∑=αβrrr r rr a a a a a a a a a A212222111211=，若0≠A 则r βββ,,,21 线性无关.证明 设02211=+++r r k k k βββ , 将()r i a a a a r ir i i rj jij i 2,122111=+++==∑=ααααβ代入上式，得()()()022112222211211221111=++++++++++++r r rr r r r r r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a ααα 由123,,,r αααα线性无关,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r rr r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a则r βββ,,,21 线性无关,所以系数全为零，即方程组只有零解，0212222111211212221212111≠=rrr r rrrr r rr r a a a a a a a a a a a a a a a a a a得证！例10 设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组123,,,r αααα线性无关，求向量组r βββ,,,21 的线性相关性.解 因为r βββ,,,21 由123,,,r αααα线性表示，由定理5可得,011011011≠==A因为123,,,r αααα线性无关，且0≠A 所以r βββ,,,21 线性无关.结束语本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判定方法，总介绍定义入手，介绍了它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结了一些方法，例如；利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.参考文献[1]姚慕生，吴泉水，高等代数学[M]，第2版，上海，复旦大学出版社，2008.[2]刘仲奎，杨永保，程辉，等，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[3]钱吉林，高等代数题解精粹[M]，北京，中央民族大学出版社,2002.[4]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[5]董明秀，判断向量组线性相关与线性无关[J]，考试周刊，12;7（2013）， 61-63.[6]黄娟霞，关于向量组线性相关性的初步探讨[J]，广东石油化工学报，18;11(2012)， 40-44.[7]段辉明，李永红，线性相关性若干问题的分析和探究[J]，科技创新导报，15;9(2013)，20-23.Identification Method of Linear Dependence and Linear IndependenceAbstract The vector group’s Linear dependence and linear independence are most abstract concepts in linear algebra. How to determine Linear dependence and linear independence is the key factor to understand vector correctly.This paper introduces the relationship between determinant, matrix, the solution of linear equations and it, also concludes the methods to determine the vector's linear dependence and linear independent.Keywords Vector group Linear dependence Linear independence Matrix Rank（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）推荐精选。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
这样的表示就是有好处的。
2、线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M 有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价。
向量的线性相关与线性无关
向量的线性相关与线性无关线性代数是数学的一个重要分支，研究的是与向量、线性方程组和线性变换相关的性质和问题。
在线性代数中，我们经常遇到一个重要的概念，即向量的线性相关和线性无关。
一、向量的线性相关和线性无关的定义在介绍向量的线性相关和线性无关之前，我们先来了解一下什么是向量。
向量是由一些按照一定顺序排列的数所组成的有序数组，常用来表示空间中的一个点或者一个有方向和大小的物理量。
1. 向量的定义在几何学中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，而箭头的方向表示向量在空间中的方向。
我们可以用两个点表示一个向量，即起点和终点的坐标差。
一个向量由其大小和方向共同决定。
2. 向量的线性相关和线性无关对于一组向量，如果存在一组不全为零的标量，使得它们的线性组合等于零向量，则称这组向量是线性相关的；如果不存在这样的标量，即只有当所有标量均为零时，线性组合才等于零向量，那么这组向量就是线性无关的。
二、判断向量的线性相关与线性无关判断向量的线性相关与线性无关主要通过向量的线性组合来进行。
对于一组向量，我们可以用以下两种方法来判断其是否线性相关或线性无关。
1. 行列式判断法对于n个n维向量构成的矩阵A，可以将其写成行向量的形式，即A=[a1,a2,...,an]。
通过计算矩阵A的行列式，如果行列式的值不等于零，则这组向量线性无关；反之，如果行列式的值等于零，则这组向量线性相关。
2. 线性组合判断法对于一组向量V1,V2,...,Vn，我们可以设想存在标量C1,C2,...,Cn，使得C1V1+C2V2+...+CnVn=0。
如果这组向量是线性相关的，那么至少存在一个标量不等于零；如果线性无关，则所有的标量均为零。
三、向量的线性相关与线性无关的应用1. 线性方程组的解的唯一性线性方程组的解的唯一性与系数矩阵的行列式是否为零有关。
如果系数矩阵的行列式不等于零，则线性方程组有唯一解；如果行列式等于零，则方程组有无穷多个解或者无解。
向量组的线性相关性与线性无关性
且 －1，k2，k3，…，km这m个数不全为0 （至少－1不为0），故α1, α2，α3，…， αm线性相关。证毕。 定理1 指出了向量组的线性相关性与其中 某一个向量可用其它向量线性表示之间的联 系。但它并没有断言究竟是哪一个向量可由其 它向量线性表示。下面的定理2即回答了这样 一个问题（当然是在更强的条件下）。
k1 k2 β =− α1 − α2 − km +1 km +1 km − αm km +1
下面用反证法证明 km+1≠0. 假设km+1= 0，则有不全为0的m个数k1， k2，…，km 使得k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0, 这与α1，α2，…，αm线性无关矛盾！
下面再证明表示式唯一。设有两个表示式： β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm 及 β = l1α1 + l2 α2 + … + lm αm 则两式相减就有 0 = (k1－l1)α1+ (k2－l2)α2 + (k3－l3 )α3 + … + (km－lm )αm， 由α1，α2，…，αm 线性无关, 知 (k1－l1 ) = (k2－l2 ) = … = (km－ lm ) = 0， 即 k1= l1, k2= l2 , … , km= lm 故表示式唯一。
例 设e1 = (1, 0, 0 )T, e2 = (0, 1, 0 ) T, e3 = (0, 0, 1) T, 证明：e1, e2 , e3线性无关。 证明：如果存在数k1 ，k2 ，k3使得 k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 = 0，即 ⎛1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k1 ⎜ 0 ⎟ + k2 ⎜ 1 ⎟ + k3 ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 通过左边的数乘和加法，上述等式即是
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得 则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
因此，b 可由12,,,ta a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
(3) 传递性 若向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合;备注1按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;这样的表示是有好处的;2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;因此,b 可由12,,,ta a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅;3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的;向量组等价的性质：1 自反性 任何一个向量组都与自身等价;2 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价;3 传递性 若向量组I 与II 等价,向量组II 与III 等价,则向量组I 与III 等价;证明：自反性与对称性直接从定义得出;至于传递性,简单计算即可得到;设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅,向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅;向量组II 可由III 线性表示,假设1tj kj k k b y c ==∑,1,2,,j s =⋅⋅⋅;向量组I 可由向量组II 线性表示,假设1si ji j j a x b ==∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅;因此,11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅因此,向量组I 可由向量组III 线性表示;向量组II 可由I 线性表示,III 可由II 线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组III 可由I 线性表示;因此,向量组I 与III 等价;结论成立4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,否则,称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;按照线性表示的矩阵记法,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组有非零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<;12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,即只有零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=;特别的,若t n =,则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=,当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆,当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠;例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =,线性无关即0a ≠;因为,若a 线性相关,则存在数0k ≠,使得0ka =,于是0a =;而若0a =,由于10a a ⋅==,10≠因此,a 线性相关;例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行,即其对应分量成比例;因为,若,a b 线性相关,则存在不全为零的数12,k k ,使得120k a k b +=;12,k k 不全为零,不妨假设10k ≠,则21k a b k =-,故,a b 平行,即对应分量成比例;如果,a b 平行,不妨假设存在λ,使得a b λ=,则0a b λ-=,于是,a b 线性相关;例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示,且表示方法唯一;事实上,5.线性相关与无关的性质1 若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关;证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,其中有一个为零,不妨假设0t a =,则因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;2 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关;证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得这样,12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,因此,1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关;后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确;3 若一个向量组线性无关,在其中每个向量相同位置之间增添元素,所得到的新向量组仍然线性无关;证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量;不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后,成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量;令则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==;结论得证4 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示;证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量;必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,设0j k ≠,则充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设j a 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合,则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅,使得也就是但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零,因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;备注2请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以;5 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关,n b R ∈,使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,则b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,且表示方法唯一;证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,因此,存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅,使得10t k +≠,否则10t k +=,则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==,这样,121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零,与其不全为零矛盾这样,因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,则由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=,即因此,表示法唯一;备注 3 刚才的证明过程告诉我们,如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,则表示法唯一;事实上,向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解;而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关,即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=;因此,若有解,当然解唯一,即表示法唯一;6 若线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则t s ≤;证明：假设结论不成立,于是t s >;12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;假设112111112121121(,,,)s s s s x xa xb x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭,122221212222122(,,,)s s s s x xa xb x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭,……………………………………………………….12112212(,,,)t t t t t st s s st x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 任取12,,,t k k k ⋅⋅⋅,则由于111212122212t t s s st x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为一个s t ⨯阶矩阵,而t s >,因此,方程组 必有非零解,设为12t k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,于是11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,这与向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关矛盾因此,t s ≤;7 若两线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则t s =;证明：由性质6,t s ≤,s t ≤,因此,s t =;备注4等价的线性无关向量组所含向量个数一样;8 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,P 为n 阶可逆矩阵,则12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关当且仅当12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性无关;b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,当且仅当Pb 可由12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性表示;若可以线性表示,表示的系数不变;证明：由于P 可逆,因此如此,结论得证6.极大线性无关组定义1 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在部分向量组12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,使得 1 12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关；2 12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示； 则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;备注5 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为其极大线性无关组;按照定义,12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示;但另一方面,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅也显然可以由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅与12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅等价;也就是说,任何一个向量组都与其极大线性无关组等价;向量组的极大线性无关组可能不止一个,但都与原向量组等价,按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的,即可以相互线性表示;它们又都是线性无关的,因此,由之前的性质7,向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数; 这是一个固定的参数,由向量组本身所决定,与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数;备注6按照定义,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,充分必要条件即其秩为t ;定义2设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果其中有r 个线性无关的向量12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,但没有更多的线性无关向量,则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组,而r 为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩;备注7 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义;一方面,有r 个线性无关的向量,体现了“无关性”,另一方面,没有更多的线性无关向量,又体现了“极大性”;备注8两个定义之间是等价的;一方面,如果12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关,且12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,那么,12,,,t a a a ⋅⋅⋅就没有更多的线性无关向量,否则,假设有,设为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,s r >;12,,,s b b b ⋅⋅⋅当然可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,且还线性无关,按照性质6,s r ≤,这与假设矛盾另一方面,假设12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅中r 个线性无关向量,但没有更多的线性无关向量,任取12,,,t a a a ⋅⋅⋅中一个向量,记为b ,则12,,,,r i i i a a a b ⋅⋅⋅线性相关;按照性质5,b 可有12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示且表示方法唯一;备注9设向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩为r ,则其极大线性无关向量组含有r 个向量;反过来,其中任何r 个线性无关向量所成的向量组也是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组;这从定义即可得到;6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩,行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A 的行秩;定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩;证明：设()m n ij A a R ⨯=∈,()r A r =;将其按列分块为12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅;存在m 阶可逆矩阵P ,使得PA 为行最简形,不妨设为100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且PA 中其余列向量都可以由其线性表示,因此, 100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为PA 的极大线性无关组,其个数为r ,因此,12,,,r a a a ⋅⋅⋅线性无关,且A 中其余列向量均可由其线性表示且表示的系数不变;因此,A 的列秩等于A 的秩;将A 按行分块,1T T m b A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则12(,,,)T m A b b b =⋅⋅⋅,因此,按照前面的结论,A 的行秩为TA 的秩,而T A 的秩等于A 的秩;至此,结论证明完毕备注10证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法;7.扩充定理定理 2 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,秩为r ,12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅为其中的k 个线性无关的向量,k r ≤,则能在其中加入12,,,t a a a ⋅⋅⋅中的()r k -个向量,使新向量组为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组; 证明：如果k r =,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量; 如果k r <,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为1k i a +,由性质5,向量组121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅线性无关;如果1k r +=,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如果1k r +<,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为2k i a +,由性质5,向量组1212,,,,,k k k i i i i i a a a a a ++⋅⋅⋅线性无关;同样的过程一直进行下去,直到得到r 个线性无关的向量为止;备注11证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法;只是,这方法并不好实现;8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组12,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现; 1 将12,,t a a a ⋅⋅⋅合在一起写成一个矩阵12(,,)t A a a a =⋅⋅⋅；2 将A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为111211,11,2222,12,,1,0000000000000r r n r r n rr r r r n b b b b b b b b b A B b b b +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,0,1,2,,ii b i r ≠=⋅⋅⋅,()r r A = 3 在上半部分找出r 个线性无关的列向量,设为12,,,r j j j ⋅⋅⋅列,则12,,,r j j j ⋅⋅⋅为B 列向量组的极大线性线性无关组,也是A 列向量组的极大线性线性无关组,也就是12,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;为了在上半部分寻找r 个线性无关向量,必须且仅须在上半部分寻找r 阶的非奇异子矩阵;r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关;显而易见,上面矩阵第1到第r 列即向量组的一个极大线性无关组;其余情形同理; 4 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合;这时候得解方程组;我们将矩阵化为行最简形,则一步就很容易完成了;不妨设行最简形为 在B 中第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量;于是,在A 中,第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数与B 中的一致;我们的理论依据是性质8;例4.设矩阵21112112144622436979A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭,求A 的列向量组的一个极大线性无关组,并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示; 解答 记12345(,,,,)A a a a a a =,因此,A 的列向量的一个极大线性无关组为124,,a a a ,312a a a =--, 4123433a a a a =+-;。
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向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
(3) 传递性 若向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅，向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅。
向量组II 可由III 线性表示，假设1tj kj k k b y c ==∑，1,2,,j s =⋅⋅⋅。
向量组I 可由向量组II 线性表示，假设1si ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅。
因此，11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。
向量组II 可由I 线性表示，III 可由II 线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。
因此，向量组I 与III 等价。
结论成立！ 4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，否则，称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。
按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M有非零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。
12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。
特别的，若t n =，则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。
例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。
因为，若a 线性相关，则存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。
而若0a =，由于10a a ⋅==，10≠因此，a 线性相关。
例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。
因为，若,a b 线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。
12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，则21k a b k =-，故,a b 平行，即对应分量成比例。
如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，则0a b λ-=，于是,a b 线性相关。
例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示，且表示方法唯一。
事实上，121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.线性相关与无关的性质(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，其中有一个为零，不妨假设0t a =，则121000100t a a a -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。
(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。
证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。
存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=这样，1122120000t t s k a k a k a βββ++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，因此，1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关。
后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。
(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量。
不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量。
令112212*********t t t t t t t a k a k a k a a a k k k b k b k b k b b b ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。
由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==。
结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量。
必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，设0j k ≠，则111111j j j j t tj jk a k a k a k a a k --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设ja 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合，则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，使得111111j j j j j t t a k a k a k a k a --++=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+也就是1111110j j j j j t t k a k a a k a k a --+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零，因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。
【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。
(5) 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关，n b R ∈，使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，则b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示，且表示方法唯一。
证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅，使得112210t t t k a k a k a k b +++⋅⋅⋅++=10t k +≠，否则10t k +=，则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。
由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==，这样，121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零，与其不全为零矛盾！这样，11221t tt k a k a k a b k +++⋅⋅⋅+=-因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则111222()()()0t t t x y a x y a x y a -+-+⋅⋅⋅+-=由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=，即1122,,,t t x y x y x y ==⋅⋅⋅=因此，表示法唯一。
【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，则表示法唯一。
事实上，向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解。
而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关，即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=。
因此，若有解，当然解唯一，即表示法唯一。