融合图像的频率定量分析及其空间分辨率的确定方法_段伟

摘 要：图像融合是获取高质量图像的重要步骤之一，本文首先在频域 中 进 行 公 式 推 导，根 据 高 采 样 率 奈奎斯特频率、低采样率奈奎斯特频率和信号频率三者之间的关系给出了 图 像 融 合 前 后 信 号 频 率 的 变 化规律，然后以此为依据对融合图像的频率进行定量分析并确定图像空间分辨率 ，研究认为高分辨率图 像中频率位于高采样率奈奎斯特频率和低采样率奈奎斯特频率之间的频率信息为高频信息。最后结合 常用的融合方法和遥感图像对本文提出的观点进行验证，试验结果表明本 文 得 到 的 结 论 与 试 验 中 的 结 果是符合的。 关 键 词 ：图 像 融 合 ；信 号 频 率 ；分 辨 率 ；地 物 频 率 ；傅 里 叶 变 换 ；奈 奎 斯 特 频 率 中 图 分 类 号 ：Ｐ２３７ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００１－１５９５（２０１６）０６－０６９１－０７ 基 金 项 目 ：国 家 科 技 支 撑 计 划 （２０１２ＢＡＪ２３Ｂ０３）
融合图像的频率定量分析及其空间分辨率的确定方法
段 伟 ，闫 利
武汉大学测绘学院，湖北 武汉 ４３００７９
Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｄｏｍａｉｎ ａｎｄ Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｐａｔｉａｌ Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｉｍａｇｅ Ｆｕｓｉｏｎ
不同的融合方法 使 用 的 叠 加 方 法 也 不 同，这 里 用
下式表示融合的过程
Ｇ＝ＭＭ＋Ｎｇ１（ｘ）＋ＭＮ＋Ｎｇ２（ｘ） （２）
式中， Ｍ 、 Ｎ 分别表示归一化后高采样率 Ｍ ＋Ｎ Ｍ ＋Ｎ
信号和低采样率信号对应的系数。不同以发现，融
合之后高采样率和低采样率得到的信号幅度相对
ＤＵＡＮ Ｗｅｉ，ＹＡＮ Ｌｉ
Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｇｅｏｄｅｓｙ ａｎｄ Ｇｅｏｍａｔｉｃｓ，Ｗｕｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００７９，Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｍａｇｅ ｆｕｓｉｏｎ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｓｔｅｐｓ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｈｉｇｈ ｑｕａｌｉｔｙ ｉｍａｇｅｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｆｕｓｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｎｙｑｕｉｓｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｈｉｇｈ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｒａｔｅ，Ｎｙｑｕｉｓｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｌｏｗ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｒａｔｅ ａｎｄ ｓｉｇｎａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｓｅｄ ｉｍａｇｅｓ ｉｓ ｑｕａｎｔｉｆｙｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｐａｔｉａｌ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｎ ｉｍａｇｅ ｆｕｓｉｏｎ．Ｔｈｅ ｈｉｇｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｈｉｇｈ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｎｙｑｕｉｓｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｈｉｇｈ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｒａｔｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｎｙｑｕｉｓｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｌｏｗ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｒａｔｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅ ｆｕｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｒｅｍｏｔｅ ｓｅｎｓｉｎｇ ｉｍａｇｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｖａｌｉｄａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅ ｆｕｓｉｏｎ；ｓｉｇｎａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｏｂｊｅｃｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；Ｎｙｑｕｉｓｔ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｓｕｐｐｏｒｔ：Ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｋｅｙ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｐｒｏｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（Ｎｏ２．０１２ＢＡＪ２３Ｂ０３）
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Ｊｕｎｅ ２０１６ Ｖｏｌ．４５ Ｎｏ．６ ＡＧＣＳ
ｈｔｔｐ：∥ｘｂ．ｓｉｎｏｍａｐｓ．ｃｏｍ
法［４－５］、基 于 模 型 的 融 合 方 法 和 ［６－９］ 基 于 多 分 辨 率 分析的 融 合 方 法 。 ［１０－１１］ 不 过 虽 然 融 合 的 思 路 有 差异，但最终融合 的 效 果 一 般 都 是 将 高 频 信 息 作 为新加入的有用信息采用一定的融合方法与低分 辨率图 像 融 合 在 一 起 。 ［１２－１３］ 这 其 中 对 图 像 中 的 地物频率进行分析以及定量的确定高频信息是能 否得到高质量融 合 图 像 的 重 要 步 骤，同 时 图 像 信 号频率与图像分 辨 率 之 间 有 很 重 要 的 联 系，在 用 不同分辨率的图 像 融 合 时，需 要 定 量 的 确 定 融 合 前后图像 中 的 分 辨 率 从 而 能 够 达 到 最 好 的 融 合 效果。
于融合之前会有所降低。
因为信号频率的２ 倍 ２ｆ、高 采 样 率 Ｆ１ 和 低 采样率 Ｆ２ 三者之间 的 关 系 对 融 合 后 的 频 率 有 很 重要 的 影 响，下 面 分 为 ２ｆ ＜Ｆ２、Ｆ２ ＜２ｆ ＜Ｆ１、 Ｆ１＜２ｆ进 行 讨 论 。
当２ｆ＜Ｆ２ 时，根据采样定 律，高 采 样 率 和 低 采样率都能获取信号 频 率，则 ｇ１（ｘ）和 ｇ２（ｘ）可 以分别表示为
目前，人们关 注 比 较 多 的 问 题 是 图 像 融 合 的 方法和图像融合 后 的 图 像 质 量，而 对 融 合 图 像 中 地物频率的变化研究较少。本文结合多种图像融 合的方法首先从水平方向对图像融合前后频率的 变化进行了分析 和 公 式 推 导，然 后 将 其 扩 展 到 二 维，给出了不同分 辨 率 图 像 进 行 图 像 融 合 后 频 率 的变化规律，最后 结 合 遥 感 图 像 对 本 文 中 的 结 论 进行了验证。
第６期
段 伟 ，等 ：融 合 图 像 的 频 率 定 量 分 析 及 其 空 间 分 辨 率 的 确 定 方 法
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高采样率往往存 在 倍 数 关 系，这 种 倍 数 关 系 对 最
终的信号频率有 一 定 的 影 响，这 种 影 响 主 要 体 现
（６）
（ ） ｇ２（ｘ）＝Ａｓｉｎ
２πｆｘ Ｆ２ ＋φ
（７）
式中，ｘ 为正整数，公式（７）可以进一步表示为
（ ） ｇ２（ｘ）＝Ａｓｉｎ ２πｆ－Ｆｎ２Ｆ２ｘ＋φ
（８）
式中，ｎ 为整数；ｘ 为正整数。对于 低 采 样 率 得 到
的 信 号 ，由 于 不 能 准 确 获 取 信 号 频 率 ，可 以 看 作 是
重采样的过 程。 根 据 奈 奎 斯 特 定 理，需 要 离 散 系
统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或
带宽，才能避 免 混 叠 现 象。 本 文 中 根 据 高 采 样 率
奈奎斯特频率、低 采 样 率 奈 奎 斯 特 频 率 和 信 号 频
率三者之间的关系进行分类讨论。
设正弦信号的表达式为
Ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（２πｆｘ＋φ）
当 Ｆ１＜２ｆ 时，高 采 样 率 和 低 采 样 率 均 不 能 准 确 获 得 信 号 频 率 ，则 融 合 后 的 表 达 式 为
Ｇ＝ＭＭ＋ＮＡｓｉｎ（２π ｆ－ｎ１Ｆ１ ｘ＋φ）＋
ＭＮ＋ＮＡｓｉｎ（２π ｆ－ｎ２Ｆ２ ｘ＋φ） （１１） 式中，ｎ１、ｎ２ 为整数，ｆ≠Ｆ１ 且 满 足 ｆ－ｎ１Ｆ１ ＜ ２ｆ 及 ｆ－ｎ２Ｆ２ ＜２ｆ。 在 融 合 时，低 采 样 率 和
第 ４５ 卷 第 ６ 期
２０ １６ 年 ６ 月
测 绘 学 报 Ａｃｔａ Ｇｅｏｄａｅｔｉｃａ ｅｔ Ｃａｒｔｏｇｒａｐｈｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ
Ｖｏｌ．４５，Ｎｏ．６ Ｊｕｎｅ，２０１６
引文格式：段伟，闫利．融合图 像 的 频 率 定 量 分 析 及 其 空 间 分 辨 率 的 确 定 方 法 ［Ｊ］．测 绘 学 报，２０１６，４５（６）：６９１－６９７．ＤＯＩ：１０．１１９４７／ｊ． ＡＧＣＳ．２０１６．２０１５０１４６． ＤＵＡＮ Ｗｅｉ，ＹＡＮ Ｌｉ．Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｄｏｍａｉｎ ａｎｄ Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｐａｔｉａｌ Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｉｍａｇｅ Ｆｕｓｉｏｎ［Ｊ］． Ａｃｔａ Ｇｅｏｄａｅｔｉｃａ ｅｔ Ｃａｒｔｏｇｒａｐｈｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２０１６，４５（６）：６９１－６９７．ＤＯＩ：１０．１１９４７／ｊ．ＡＧＣＳ．２０１６．２０１５０１４６．
（１）
式中，Ａ 为振 幅；ｆ 为 频 率；φ 为 相 位。 图 像 融 合
中使用不同采样 率 对 信 号 进 行 采 样，设 高 采 样 率
为 Ｆ１，低 采 样 率 为 Ｆ２，高 采 样 率 得 到 的 信 号 为 ｇ１（ｘ），低采样率得到的 信 号 为 ｇ２（ｘ），融 合 的 过 程可以看作是两种不同采样率得到信号的叠加，
图像融合的方 法 众 多，不 同 的 融 合 方 法 得 到
的融合效果 也 各 不 相 同 。 ［２－３］ 图 像 融 合 方 法 可 以 分 为 像 素 级 、特 征 级 和 决 策 级 ３ 种 类 型 ，这 其 中 像 素级的融合方法 适 应 性 最 强，也 是 最 常 用 的 融 合 方法，本文中 重 点 讨 论 像 素 级 的 融 合 方 法。 像 素 级的融合方法一般都需要将低分辨率图像进行重 采样，使低分辨率 图 像 与 高 分 辨 率 图 像 有 相 同 的 尺寸大小。像素级的融合方法可以根据其融合的 思路 进 一 步 分 为 ３ 类，基 于 成 分 替 换 的 融 合 方